Разработка и обоснование новых режимов в технологии концевого фрезерования при условии обеспечения устойчивого резания тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.02.07, кандидат наук Кравченко Константин Юрьевич

• Кравченко Константин Юрьевич
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Кравченко Константин Юрьевич

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1 АНАЛИТИЧЕСКИЕ ПОДХОДЫ К ОПРЕДЕЛЕНИЮ УСТОЙЧИВОСТИ КОНЦЕВОГО ФРЕЗЕРОВАНИЯ, КАК СИСТЕМЫ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

1.1 Постановка задачи

1.2 Одномерная модель фрезерования

1.2.1 Описание модели

1.2.2 Случай линейной зависимости

1.2.3 Случай нелинейной зависимости

1.2.4 Численное решение

1.3 Модель фрезерования с несколькими степенями подвижности системы

1.3.1 Описание модели

1.3.2 Численное решение

1.4 Интенсификация режимов резания

1.5 Выводы к Главе

ГЛАВА 2 НОВЫЙ АНАЛИТИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ВОПРОСУ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОБЛАСТЕЙ УСТОЙЧИВОСТИ КОНЦЕВОГО

ФРЕЗЕРОВАНИЯ

2.1 Одномерная модель фрезерования. Унифицированное уравнение

2.2 Устойчивость унифицированного уравнения

2.3 Модель фрезерования с двумя степенями подвижности системы

2.4 Интенсификация режимов резания

2.4.1 Устойчивость резания и производительность обработки

2.5 Выводы к Главе

ГЛАВА 3 ОЦЕНКА ДОСТОВЕРНОСТИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ НОВОГО АНАЛИТИЧЕСКОГО МЕТОДА ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОБЛАСТЕЙ УСТОЙЧИВОСТИ

3.1 Численные исследования одномерной модели фрезерования

3.2 Исследование моделей фрезерования c несколькими степенями подвижности

3.2.1 Постановка задачи

3.2.2 Использование аналитического подхода и эксперимента

3.2.3 Использование аналитического подхода и имитационного

моделирования

3.2.4 Прямой эксперимент для проверки аналитических результатов

3.3 Выводы к Главе

ГЛАВА 4 ВНЕДРЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ИССЛЕДОВАНИЯ В ПРОЦЕСС ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВКИ ПРОИЗВОДСТВА

4.1 Описание проблемы и производственных задач

4.2 Интенсификация режимов резания по условию устойчивости

процесса обработки

4.3 Результаты внедрения

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

ПРИЛОЖЕНИЕ А. Проекции силы резания на координатные оси

ПРИЛОЖЕНИЕ Б. Дополнение к доказательству утверждения

ПРИЛОЖЕНИЕ В. Методика проведения модального анализа

ПРИЛОЖЕНИЕ Г. Определение динамических характеристик системы ДИПС

Г.1 Общее описание

Г.2 Модальный анализ

Г.3 Анализ переходных процессов

Г.4 Гармонический анализ

ПРИЛОЖЕНИЕ Д. Результаты имитационного моделирования модели с одной степенью подвижности

ПРИЛОЖЕНИЕ Е. Результаты имитационного моделирования модели с двумя степенями подвижности фрезы

ПРИЛОЖЕНИЕ Ж. Документы, подтверждающие практическую значимость диссертации

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка и обоснование новых режимов в технологии концевого фрезерования при условии обеспечения устойчивого резания»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Стратегическим направлением развития современного машиностроительного производства является интенсификация технологических процессов с целью повышения их производительности. Среди операций механической обработки одно из первых мест по применяемости и объему срезаемого с заготовок металла занимает фрезерование, в первую очередь, торцовое и концевое. Использование интенсивных режимов резания при черновом и получистовом фрезеровании сдерживается, главным образом, потерей динамической устойчивости системы. Динамика процессов резания является важным вопросом повышения эффективности механической обработки. Колебания, как показатель неустойчивости резания, могут быть причиной преждевременного износа режущего инструмента, низкого качества обработанной поверхности, снижения размерной точности и возникновения шума. Для предотвращения возможного брака по причине неустойчивости резания при обработке лезвийным инструментом режимы резания занижаются, тем самым снижая общую производительность. В свете этой проблемы перед инженерами встает задача определения оптимальных режимов резания для обеспечения высокоэффективной обработки.

Под устойчивостью понимается свойство системы сохранять свое состояние под воздействием внешних возмущений. Появление неустойчивого режима работы системы резания приводит к ухудшению шероховатости обрабатываемой поверхности и к размерной неточности. Вопрос устойчивости обработки резанием исследовался многими авторами. Впервые проблема устойчивости была сформулирована Кашириным А.И. [1], впоследствии развита Куди-новым В.А. [2, 3], Эльясбергом М.Е. [4], исследовалась в работах Соколовского А.П. [5], Ильницкого И.И. [6], Кедрова С.С. [7], Орликова М.Л. [8] и др.

Относительно природы первичного источника возбуждения автоколебаний при резании единой точки зрения до настоящего времени нет. Однако наиболее популярной гипотезой является точка зрения Ташлицкого Н.И. о запаздывании изменения силы резания при изменении толщины срезаемого слоя вследствие сближения и удаления инструмента и заготовки в процессе резания. Посредством обработки «по следу» (понятие введено Кудиновым В.А.) в автоколебательный контур вносится подавляющая доля энергии для поддержания автоколебаний.

Процесс обработки «по следу» среди зарубежных авторов впервые рассмотрели авторы Tobias S.A. и Fishwick W. [9], а также Tlusty J. и Polacek M. [10]. Независимо друг от друга группы авторов пришли к общему выводу. В частности, они объяснили, что модуляция толщины срезаемого слоя, вызванное автоколебаниями, вызывает колебательное поведение силы резания. Tlusty J. и Polacek M. [10] получили условие устойчивости, при котором граница устойчивости может быть определена на основе модальных параметров системы. Tobias S.A. [11] и Merritt H.E. [12] занимались вопросом моделирования вторичных автоколебаний. Авторы предложили использовать теорию устойчивости дифференциально-разностных уравнений для исследования динамики вторичных колебаний. Исследование устойчивости дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом для анализа моделей фрезерования позволило получить уравнения для определения областей устойчивости, которые графически отображаются на диаграммах устойчивости. Такие диаграммы позволяют технологу подобрать корректные режимы обработки и обеспечить устойчивость резания [13,14].

Последующие исследования были направлены на изучение автоколебаний при фрезеровании [15-18]. Математическая модель для фрезерования усложнена по сравнению с моделью, описывающей процесс точения, поскольку учитывается сила резания, действующая на режущую кромку каждого зуба фрезы. Также часть работ была посвящена изучению частных случаев возникновения вибраций при механической обработке. Например, в работе [19] автор рассматривает случай возникновения вибраций при наружном точении тонкостенных заготовок; в работе [20] рассматривается влияние силы закрепления заготовки на устойчивость резания; в [21] авторы рассматривают влияние скорости вращения шпинделя на устойчивость автоколебаний; в [22] авторы, используя конечно-элементный анализ, предлагают метод определения динамических характеристик системы резания с целью уменьшения уровня вибраций при внутреннем точении; в работе [23] авторы исследуют устойчивость плунжерного фрезерова-

Часть исследований в вопросе устойчивости автоколебаний при механической обработке резанием направлена на определение нелинейности силы реза-

ния [24-26]. Влияние износа инструмента на поведение системы при колебаниях также является одной из популярных тематик последних исследований [27-31].

Существенный вклад в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, которая применяется в настоящее время для изучения явления обработки «по следу», внесли Мышкис А.Д. [32], Красовский Н.Н. [33], Хейл Дж.К. [34], Халанай А. [35], Эльсгольц Л.Э. [36]

Степень разработанности темы исследования. Существующие методы определения границы устойчивости, предложенные Tlusty J. [10, 37], Stepan G. [38-40], Budak E. и Altintas Y. [41,42], позволяют определить значение осевой глубины резания и скорость вращения шпинделя, соответствующие устойчивому режиму автоколебаний, только для уникальной системы деталь-инструмент-приспособление-станок (ДИПС). Актуальной является задача построения унифицированной границы устойчивости для группы систем ДИПС со схожим параметром относительного демпфирования.

В 2005 г. Budak E. и Tekeli A. [43] предложили алгоритм интенсификации режимов резания, а именно, осевой глубины резания, ширины фрезерования и скорости вращения шпинделя, соответствующие устойчивому резанию. Однако, согласно предложенному методу, для отыскания корректного значения ширины фрезерования требуется многократные трудоемкие вычисления пар осевая глубина резания - скорость шпинделя. В связи с этим актуальной является задача разработки нового алгоритма отыскания режимов резания по условию устойчивости обработки и реализация единого компьютеризированного решения.

Целью работы является разработка новых режимов в технологии концевого фрезерования и изучение механизмов возникновения автоколебаний при концевом фрезеровании для интенсификации режимов резания по критерию асимптотической устойчивости.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Изучить механизм вторичного возбуждения колебаний под действием вибрационного следа при концевом фрезеровании;

2. Получить линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, не зависящее от абсолютных динамических параметров системы ДИПС. Исследовать решение полученного уравнения на устойчивость;

3. Разработать алгоритм интенсификации режимов резания с требованием обеспечить устойчивость процесса обработки резанием;

4. Предложить режимы резания, обеспечивающие устойчивость процесса фрезерования для систем с одной и несколькими степенями свободы для процесса концевого фрезерования;

5. Разработать векторные схемы сил резания;

6. Создать имитационные модели для систем с несколькими степенями свободы, описывающих процессы концевого фрезерования. Экспериментально определить достоверность результатов имитационного моделирования.

Научная новизна.

1. Впервые в технологии механической обработки материалов разработан алгоритм определения относительных режимов резания при некоторых неизвестных динамических характеристик системы ДИПС;

2. Получены уравнения для определения фазового сдвига между фазой функции запаздывания и фазой функции без запаздывания;

3. Впервые получено дифференциальное уравнение с запаздыванием, описывающее процесс концевого фрезерования, в унифицированной форме в скалярном и векторном виде с положительными безразмерными коэффициентами. Сформулирована теорема об асимптотической устойчивости полученного дифференциального уравнения;

4. Впервые получена функция кривой устойчивости для унифицированного дифференциального уравнения с запаздыванием в явном виде, позволяющая определить зоны устойчивого и неустойчивого резания на плоскости относительных параметров резания;

5. Разработана имитационная модель процесса концевого фрезерования в ортогональной плоскости;

6. Доказано существование экстремумов функции зависимости критического значения осевой глубины фрезерования от величины относительного радиального врезания;

7. Предложен алгоритм интенсификации режимов обработки по критерию асимптотической устойчивости;

8. Выполнено сравнение экспериментальных данных и результатов расчета с использованием аналитического метода, показавшее существование высо-

кой связи между результатами. Выполнено сравнение результатов имитационного моделирования и результатов, полученных в ходе расчета аналитической модели, показавшее существование заметной связи между моделями.

Научная значимость. Диссертационная работа вносит значительный вклад в развитие технологии механической обработки, что заключается в формулировании условия устойчивости процесса резания для моделей концевого фрезерования фрезой с постоянным шагом зубьев. Совокупность полученных результатов позволяет расширить представления:

— о закономерностях изменения устойчивости автоколебаний в зависимости от заданных режимов резания;

— о роли функции кривой устойчивости при определении зон устойчивого и неустойчивого резания на плоскости относительных параметров резания;

— о зависимости производительности механической обработки от динамики процесса резания.

Практическая значимость. Практически значимыми являются диаграммы, позволяющие определить параметры устойчивого фрезерования на стадии технологической подготовки производства, а также метод интенсификации параметров резания (скорости вращения шпинделя, осевой глубины резания и ширины фрезерования) по критерию асимптотической устойчивости, который позволяет за счет выбора комбинации параметров резания увеличить производительность обработки.

Методология и методы исследования. Методы исследования включают в себя аналитические (первый метод Ляпунова для линейных периодических систем дифференциальных уравнений с последействием) и численные методы исследования (метод Рунге-Кутта, модифицированный метод Эйлера) устойчивости динамических систем. Вычисления проводятся в среде объектно-ориентированного программирования Python 2.6. При отыскании приближенных значений функции запаздывания при имитационном моделировании используется сплайновая кубическая интерполяция. Для оценки корректности аналитических расчетов используются экспериментальные данные, полученные и неоднократно использованные другими авторами. В рамках сравнения экспериментальных и аналитических результатов применяется корреляционный анализ.

Достоверность полученных аналитических результатов обеспечивается строгими математическими доказательствами. Результаты находятся в соответствии с результатами, полученными другими авторами. Также аналитически полученные данные подтверждены экспериментально.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы обсуждены на следующих мероприятиях: XIII научно-практической конференции «Дни науки - 2013», г. Озерск, 2013 г.; XVI Международной научно-практической конференции «Технические науки — от теории к практике», г. Новосибирск, 2013 г.; XIII Международной научно-практической конференции «Перспективы развития информационных технологий», г. Новосибирск, 2013 г. Положения, выносимые на защиту:

1. Совокупность разработанных автором режимов резания, обеспечивающих устойчивость концевого фрезерования алюминиевой заготовки;

2. Метод интенсификации режимов резания по критерию асимптотической устойчивости автоколебания при концевом фрезеровании;

3. Имитационная модель двухмассовой системы ДИПС при концевом фрезеровании;

4. Результаты экспериментальной проверки корректности нового метода определения областей устойчивости, полученные в ходе проведения эксперимента, а также методология самого эксперимента.

Реализация и внедрение результатов работы. Результаты исследования внедрены на ОАО «Воткинский завод», г. Воткинск, Удмуртская Республика и на ОАО «СКБ «Турбина», г. Челябинск Челябинской области.

Личный вклад автора в получение результатов, выносимых на защиту, является определяющим. Автор принимал непосредственное участие, на всех этапах исследований и в работах, опубликованных в соавторстве с научным руководителем.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 7 печатных изданиях [44-49], 4 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК [44-47], 3 - в тезисах докладов [48-50].

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и приложения. Полный объем диссертации 142 страницы текста, в том числе 178 рисунков и 7 таблиц. Список литературы содержит 135 наименований.

ГЛАВА 1

АНАЛИТИЧЕСКИЕ ПОДХОДЫ К ОПРЕДЕЛЕНИЮ УСТОЙЧИВОСТИ КОНЦЕВОГО ФРЕЗЕРОВАНИЯ, КАК СИСТЕМЫ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

1.1 Постановка задачи

Проблема обеспечения устойчивости движения при механической обработки возникла практически одновременно с появлением металлообрабатывающего оборудования и до сих пор является одним из центральных вопросов в исследованиях многих ученых. С развитием области станкостроения и повышением требований к точности и качеству обработки при максимальной производительности задача обеспечения устойчивости резания также не теряет актуальности. Достижение устойчивого режима работы оборудования, в частности, при резании металла - актуальная задача с точки зрения экономики (увеличение периода стойкости инструмента, повышение производительности за счет интенсификации режимов резания), трибологии (снижение уровня износа инструмента и узлов станка), а также безопасности труда (снижение уровня шума).

Проблема устойчивости актуальна и для прецизионной обработки, когда амплитуда автоколебаний сравнима с полем допуска на обработку. Кроме того с развитием теории высокоскоростной обработки (ВСО) проблема устойчивости резания также начинает активно исследоваться [24,51,52], поскольку одним из основных условий обеспечения режимов ВСО является постоянство сечения срезаемого слоя материала.

При механической обработке существуют три основных вида механических колебаний, вызванных несовершенством жестко-вязкой системы ДИПС, -свободные колебания, вынужденные колебания и автоколебания.

Свободные колебания возникают при некоторых начальных условиях, например, отклонение системы от положения равновесия. Свободные колебания протекают на собственных частотах системы и, поскольку любая реальная система склонна к диссипации энергии, затухают.

Вынужденные колебания возникают в системе под продолжительным воздействием внешней периодической силы. При вынужденных колебаниях подача энергии извне (для компенсации потерь на трение и сопротивление) о существ-

ляется и регулируется источником внешней периодической силы. Внешняя сила вынуждает систему колебаться с частотой, с которой колеблется она сама, и определяет амплитуду вынужденных колебаний. Вынужденные колебания не затухают, пока источник внешней силы обеспечивает подвод энергии, достаточной для компенсации диссипации.

Автоколебания очень похожи на вынужденные колебания, однако подача энергии от внешнего источника регулируется не внешнем воздействием, а самой системой. Характерным элементом автоколебательной системы является звено запаздывания в цепи обратной связи между упругой системой и источником автоколебаний (процессом резания). Автоколебания при резании возникают при отсутствии видимых внешних причин. Источником автоколебаний является сила резания, которая создается и управляется самими колебаниями. Относительно природы первичного источника возбуждения автоколебаний при резании единой точки зрения до настоящего времени нет. Однако наиболее популярной гипотезой является гипотеза Ташлицкого Н.И. [53,54] о запаздывании изменения силы резания при изменении толщины срезаемого слоя вследствие сближения и удаления инструмента и заготовки в процессе резания.

Автоколебания являются наиболее сложным видом осцилляций с точки зрения регулирования, поскольку в отличие от свободных и вынужденный колебаний, не затухают в диссипативной системе. Автоколебания при резании классифицируются на первичные и вторичные [55]. Первичные колебания также классифицируются на колебания, вызванный трением между передней поверхностью режущего инструмента и поверхностью стружки, трением между задней поверхностью инструмента и поверхностью детали, термомеханические колебания и колебания, вызванные наличием сочленений в системе ДИПС (шарниры, муфты и др.). Вторичные автоколебания возникают при снятии стружки переменной толщины при последующих резах.

Причинами возникновения автоколебаний при резании могут быть:

1. непостоянство силы трения сходящей стружки о резец и резца о заготовку;

2. непостоянство нароста, приводящее к изменению в процессе резания угла резания и площади поперечного сечения среза;

3. неравномерное упрочнение срезаемого слоя по его толщине;

4. запаздывание сил резания при перемещениях инструмента.

В работе рассматривается фрезерование концевыми фрезами, как один из самых распространенных способов обработки материалов резанием. В представленной работе решается техническая задача обеспечения устойчивости концевого фрезерования алюминиевых заготовок на нежестком оборудовании на этапе технологической подготовки производства.

1.2 Одномерная модель фрезерования

1.2.1 Описание модели

При фрезеровании вращающийся инструмент перемещается относительно заготовки, снимая часть материала для получения необходимой формы поверхности. В отличие от точения, при фрезеровании вращается инструмент относительно неподвижной заготовки, что позволяет производить обработку изделий самой разнообразной формы. Фреза включает в себя несколько режущих кромок, каждая из которых участвует в процессе резания с некоторой периодичностью. При контакте режущей кромки с заготовкой в процессе фрезерования возникает сила резания. Сила, возникающая в процессе резания, пропорциональна площади контакта поверхности стружки с режущей частью инструмента, а также эта сила зависит от свойств обрабатываемого материала. Существует несколько формул для определения усилия резания. Далее в работе будут рассмотрены две наиболее распространенные формулы, однако существует целый ряд выражений для определения силы резания [56,57].

Линейная зависимость (1.1). Предложена учеными Altintas Y. и Budak E.

[41].

^лин = Ksab (1.1)

где Ks - удельная сила резания, Н/мм2, a - осевая глубина резания, мм, b -толщина стружки, мм.

Нелинейная зависимость (1.2). Предложена Stepan G. [58].

^Нел = KsabXF (1.2)

где xF - безразмерная постоянная величина. Для различных условий резания параметр xF колеблется в пределах 0,7^0,8.

Соответственно, уравнения, описывающие движение системы резания, могут быть линейными или нелинейными. Система резания, в совокупности, является нелинейной структурой. Однако, приняв ряд допущений (например, сократив количество степеней свободы), можно избавиться от большинства нели-

V_/ T-V VJ V VJ

нейных величин. В отношении устойчивости линейные и нелинейные системы проявляют себя неодинаково. Устойчивая при малых возмущениях линейная система будет устойчива и при больших возмущениях. Система, описанная нелинейным дифференциальным уравнением, может быть устойчива при малых возмущениях и неустойчива при больших.

Коэффициент удельной силы резания определяется экспериментально. Ведущие производители инструментов составляют таблицы параметров Ks для основных сплавов металлов.

Ширина фрезерования B зависит от угла зацепления между фрезой и заготовкой. Иногда ширину фрезерования сводят к безразмерной величине - относительное радиальное врезание RI (от англ. Radial Immersion), выраженную в процентах от диаметра фрезы Дфр (1.3).

При возникновении колебаний величина толщины стружки начинает осциллировать, что приводит к осцилляциям силы резания. Параметр а постоянен при обработке концевой фрезой. При контурной обработке сферическим инструментом осевая глубина резания будет квазипериодической. Таким образом, исследование устойчивости процесса фрезерования сводится к определению границы устойчивости в зависимости от параметра глубины резания в осевом направлении толщины стружки. Процесс концевого фрезерования представлен на рисунке 1.1. Поскольку при концевом фрезеровании отсутствует осевая составляющая силы резания, рассмотрим схему резания в ортогональной плоскости. Также в работе рассматривается процесс резания, в ходе которого образуется сливная стружка при резании одним зубом фрезы.

Модуль толщины стружки можно рассматривать как сумму статической и динамической АН составляющей. В общем случае:

B

RI =--100%

(1.3)

b = h0 + A h

(1.4)

Рисунок 1.1 - Процесс фрезерования концевой фрезой в ортогональной

плоскости.

где ho = ft sin ф (ft - подача на зуб).

Подставив в(1.1)и(1.2) значение параметра b получим:

F™ = Ksa (ho + Ah)

= Ksa (ho + Ah)

Xp

(1.5)

(1.6)

Для определения границ устойчивости составим одномерную модель колебательной системы, описывающей один зуб фрезы, на который действует сила резания. Модель представлена на рисунке 1.2 (гоб - общее количество режущих кромок).

Уравнение движения, описывающее смещение режущей кромки под действием периодической силы в случае с одной степенью свободы, имеет вид (1.7).

d2q{t)

+ 2СшСоб

dq(t) dt

ш

+ =

k

(1.7)

упр

где ((Ь) - обобщенная координата вибросмещения, м; С - коэффициент относительного демпфирования; шсоб - частота собственных колебаний системы, рад/с; купр - коэффициент жесткости, Н/м; Г - вынуждающая сила, Н.

Согласно (1.4) величина Ь включает в себя статическую и динамическую составляющую. Постоянный параметр ho зависит от подачи и не оказывает вли-

Рисунок 1.2 - Одномерная модель фрезерования.

яние на устойчивость системы, а определяет лишь амплитуду колебаний. Тот факт, что подача практически не влияет на устойчивость системы при обработке острозаточенным инструментом, подтвержден Санкином Ю.Н. в работе [59]. Изменяющийся во времени параметр АН зависит от смещения режущей кромки относительно заготовки, а также зависит от неровности поверхности, оставленной после предыдущего реза. Эта поверхность является той же функцией смещения д от времени £, но сдвинутой по времени на период прохода между зубьями Т. Таким образом,

ь = Но + д(г — Т) - д(г) (1.8)

где Т - период запаздывания, а функция д ^ — Т) называется функцией запаздывания.

1.2.2 Случай линейной зависимости

Подставив (1.5), (1.8) в общее уравнение движения (1.7), получим:

<2д(£) <д(£) ш2

+ 2Сшсоб^ + ш2обд(£) = ~^К8а (Н0 + - Т) - (1.9)

упр

Выражение (1.9) называется линейным дифференциальным уравнением с постоянным запаздыванием. Дифференциальное уравнение описывает движение

системы с запаздыванием на период Т (1.10) системы с одной степенью свободы.

60

Т =

¿об N

(1.10)

где £об - количество зубьев фрезы, N - скорость вращения шпинделя, об/мин

Впервые модель, описывающую процесс образования и возбуждения вторичных колебаний, предложил МетИ [12]. До сих пор эта модель остается актуальной и широко используется в моделировании процесса резания. Выражение (1.9) можно представить схематично в виде графической системы (рисунок 1.3). С(з) - передаточная функция при 5 = гш (г - мнимая единица, ш -частота осцилляций).

Рисунок 1.3 - Система управления одномерной модели фрезерования.

Для исследования устойчивости систем применяют алгебраические критерии (Гурвица, Рауса и др.) или частотные критерии устойчивости (Михайлова, Найквиста). Однако для определения зон устойчивости уравнений с запаздыванием алгебраические методы не подходят, поскольку дифференциальное уравнение с запаздыванием имеет бесконечное множество корней характеристического уравнения. Используем далее частотный критерий Найквиста, согласно которому для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая характеристика (АФХ) не охватывала точку с координатами [-1,10] на комплексной плоскости при изменении ш от 0 до го . Передаточная функция системы с одной степенью свободы в случае вынужденных колебаний под действием периодической силы имеет вид (1.11).

Wо(iш) =

ш

соб

шс2об - ш2

ш

соб

купр (ш2об - ш2)2 + (2Сшсобш)2

-г2СШсобШ

(1.11)

купр (ш2об - ш2)2 + (2СШсобШ):

= Яв[Шо ] + Иш[Шо ]

2

+

2

где Яе\Ш0] - вещественная часть функции W0, 1т[№0] - мнимая часть.

Обратим внимание на отрицательность мнимой части передаточной функции. При всех положительных значениях ш передаточная будет располагаться только в третьей и четвертой четвертях комплексной плоскости. При этом фазовый угол будет изменяться в пределе от 0 до —п. Фазовое положение ф^ определяется выражением (1.12):

Яе^о]

Поскольку смещение режущей кромки происходит с той же частотой ш, что и колебание величины возмущающей силы резания, решение будет определено в виде:

д(г) = Qel(шt—фt) (1.13)

а координату запаздывания зададим в виде:

д(г — Т ) = Qeг(ш(t—T )—фт) = Qeг(шt—фt)e—г(шT= д(1)е—г(шТ —^ (1.14)

где - амплитудное значение выбросмещения, г = л/—I, - отставание по фазе вектора смещения от вектора вынуждающей силы в момент времени £, фТ - отставание по фазе в момент времени (£ — Т), £ф - фазовый сдвиг между ф^ и фТ, причем £ф = ф^ — фТ. Фазовый сдвиг лежит в пределах от 0 до 2п. При значениях £ф = 0 и £ф = 2п координаты совпадают, а при £ф = п находятся в противофазе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Кравченко Константин Юрьевич, 2016 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Каширин А.И. Исследование вибраций при резании металла / А.И. Каши-рин. - М.: АН СССР, 1944. - 133 с.

2. Кудинов В.А. Общность задач устойчивости движения в станках и других механических системах / В.А. Кудинов // Исследование колебаний металлорежущих станков при резании металлов: сб. тр. - 1958. - № 1. - С. 29-36.

3. Кудинов В.А. Динамика станков / В.А. Кудинов. — М.: Машиностроение, 1967. — 359 с.

4. Эльясберг М.Е. Об устойчивости процесса резания металлов / М.Е. Эльяс-берг // Изв. АН СССР. - 1958. - № 9. - С. 37-58.

5. Соколовский А.П. Вибрации при работе на металлорежущих станках / А.П. Соколовский // Исследование колебаний металлорежущих станков при резании металлов: сб. тр. - 1958. - № 1. - С. 120.

6. Ильницкий И. И. Колебания в металлорежущих станках и пути их устранения / И. И. Ильницкий. — М.: Свердловск, 1958. — 120 с.

7. Кедов С.С. Колебания металлорежущих станков / С.С. Кедов. — М.: Машиностроение, 1978. — 200 с.

8. Орликов М. Л. Динамика станков: учебное пособие - 2-е изд., перераб. и доп. / М. Л. Орликов. — К.: Выща шк., 1989. — 268 с.

9. Tobias S.A. The chatter of lathe tools under orthogonal cutting conditions / S.A. Tobias, W. Fishwick // Transactions of ASME. - 1958. - Vol. 80. - Iss. 1. -P. 1079-1088.

10. Tlusty J. The stability of the machine tools against self-excited vibrations in machining / J. Tlusty, M. Polacek // International Research in Production Engineering. - 1963. - Vol. 1. - Iss. 1. - P. 465-474.

11. Tobias S.A. Machine tool vibration / S.A. Tobias. — New York: Wiley, 1961. — 352 p.

12. Merritt H.E. Theory of self-excited machine-tool chatter - Contribution to machine-tool chatter research - 1 / H.E. Merritt // Journal of Engineering for Industry-Transactions of the ASME. - 1965. - Vol. 87. - Iss. 1. - P. 447-454.

13. Improving High-Speed Machining Material Removal Rates by Rapid Dynamic Analysis / T.L. Schmitz, M.A. Davies, K. Medicus, J. Snyder // CIRP Annals -Manufacturing Technology. - 2001. - Vol. 50. - Iss. 1. - P. 263-268.

14. An automatic spindle speed selection strategy to obtain stability in high-speed milling /1. Bediaga, J. Munoa, J. Hernandea, L.N. Lopez de Lacalle // International Journal of Machine Tools and Manufacture. - 2009. - Vol. 49. - Iss. 5. -P. 384-394.

15. Hohn R. E. A stability algorithm for a special case of the milling process / R. E. Hohn, R. Sridhar, G. W. Long // ASME Journal of Engineering for Industry. - 1968. - Vol. 90. - Iss. 2. - P. 325-329.

16. Sridhar R. A general formulation of the milling process equation / R. Sridhar, R. E. Hohn, G. W. Long // ASME Journal of Manufacturing Science and Engineering. - 1968. - Vol. 90. - Iss. 2. - P. 317-324.

17. Sridhar R. A Stability Algorithm for the General Milling Process / R. Srid-har, R. E. Hohn, G. W. Long // ASME Journal of Manufacturing Science and Engineering. - 1968. - Vol. 90. - Iss. 2. - P. 330-334.

18. Minis I. Analysis of linear and nonlinear chatter in milling /1. Minis, R. Yanu-shevsky, A. Tembo // Annals of the CIRP. - 1990. - Vol. 34. - Iss. 1. - P. 357362.

19. Shanker A. An analysis of chatter vibration while turning slender workpieces between centres / A. Shanker // CIRP Annals - Manufacturing Technology. -1976. - Vol. 25. - Iss. 1. - P. 273-276.

20. Rahman M. Effect of Clamping Conditions on Chatter Stability and Machining Accuracy / M. Rahman, V.C. Venkatesha // CIRP Annals - Manufacturing Technology. - 1985. - Vol. 34. - Iss. 1. - P. 339-342.

21. Smith S. Stabilizing chatter by automatic spindle speed regulation / S. Smith, J. Tlusty // CIRP Annals - Manufacturing Technology. - 1992. - Vol. 41. -Iss. 1.-P. 433-436.

22. Yen K.Z.Y. Suppression of chatter vibration in inner-diameter cutting / K.Z.Y Yen, W C. Hsueh // JSME International Journal. Series C, Dynamics, control, robotics, design and manufacturing. - 1996. - Vol. 1. - Iss. 39. - P. 2533.

23. Suzuki N. Effect of cross transfer function on chatter stability in plunge cutting / N. Suzuki, K.N.E. Shamoto, K. Yoshino // Journal of Advanced Mechanical Design, Systems, and Manufacturing. - 2010. - Vol. 4. - Iss. 1. - P. 883-891.

24. Tlusty J. Dynamics of High-Speed Milling / J. Tlusty // Journal of Manufacturing Science and Engineering. - 1986. - Vol. 108. - Iss. 2. - P. 59-67.

25. Tlusty J. Basic non-linearity in machining chatter / J. Tlusty, F. Ismail // CIRP Annals - Manufacturing Technology. - 1981. - Vol. 30. - Iss. 1. - P. 229-304.

26. Tlusty J. Special aspects of chatter in milling / J. Tlusty, F. Ismail // ASME Journal of Vibration, Stress and Reliability in Design. - 1983. - Vol. 105. -Iss. 1. - P. 24-32.

27. Clancy B.E. A comprehensive chatter prediction model for face turning operation including tool wear effect / B.E. Clancy, Y.C. Shin // International Journal of Machine Tools and Manufacture. - 2005. - Vol. 42. - Iss. 9. - P. 1035-1044.

28. Chiou R.Y. Chatter stability of a slender cutting tool in turning with tool wear effect / R.Y. Chiou, S.Y. Liang // International Journal of Machine Tools and Manufacture. - 1998. - Vol. 42. - Iss. 4. - P. 315-327.

29. Moradi H. Bifurcation analysis of nonlinear milling process with tool wear and process damping: Sub-harmonic resonance under regenerative chatter / H. Mora-di, G. Vossoughi, M.R. Movahhedy // International Journal of Mechanical Sciences. - 2014. - Vol. 85. - Iss. 1. - P. 1-19.

30. Saadabad N.A. Global Optimization and Design of Dynamic Absorbers for Chatter Suppression in Milling Process with Tool Wear and Process Damping / N.A. Saadabad, H. Moradi // Procedia CIRP. - 2014. - Vol. 21. - Iss. 1. -P. 360-366.

31. Lamraoui M. Cyclostationarity approach for monitoring chatter and tool wear in high speed milling / M. Lamraoui, M. Thomas, M.El. Badaoui // Mechanical Systems and Signal Processing. - 2014. - Vol. 44. - Iss. 1-2. - P. 177-198.

32. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом/ А.Д. Мышкис. — М.-Л.: Гостехиздат, 1951. — 255 с.

33. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения / Н.Н. Красовский. — М.: Издательство Физико-математической литературы, 1959. — 211 с.

34. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений / Дж. Хейл. — М.: Мир, 1984. — 421 с.

35. Halanay A. Differential equations. Stability, oscillations, time lags / A. Ha-lanay. — New york and London: Academic Press, 1966. — 543 p.

36. Эльсгольц Л.Э. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом / Л.Э. Эльсгольц, С.Б. Норкин. — М.: Наука, 1971. — 296 с.

37. Smith S. An overview of modelling and simulation of the milling process / S. Smith, J. Tlusty // Journal of Engineering for Industry. - 1991. - Vol. 113. -Iss. 2. - P. 169-175.

38. Insperger T. State-dependent delay in regenerative turning processes / T. In-sperger, G. Stepan, J. Turi // Nonlinear Dynamics. - 2007. - Vol. 47. - Iss. 1. -P. 275-283.

39. Insperger T. Semi-discretization method for delayed systems / T. Insperger, G. Stepan // International Journal for Numerical Methods in Engineering. -2002. - Vol. 55. - Iss. 1. - P. 503-518.

40. Insperger T. Semi-discretization for time-Delay systems: stability and engineering application / T. Insperger, G. Stepan. — New York: Springer Science & Business Media, 2011. — 184 p.

41. Budak E. Analytical prediction of chatter stability in milling - Part I: general formulation / E. Budak, Y. Altintas // Journal of Dynamic Systems, Measurement and Control, Transactions of the ASME. - 1998. - Vol. 6. - Iss. 1. - P. 22-30.

42. Altintas Y. Manufacturing automation: metal cutting mechanics, machine tool vibrations, and CNC design / Y. Altintas. — New York: Cambridge University Press, 2000. — 382 p.

43. Budak E. Maximizing Chatter Free Material Removal Rate in Milling through Optimal Selection of Axial and Radial Depth of Cut Pairs / E. Budak, A. Tekeli // CIRP Annals - Manufacturing Technology. - 2005. - Vol. 54. - Iss. 1. - P. 353356.

44. Красильников А.Я. Исследование устойчивости систем с запаздыванием, описывающих процесс фрезерования в случае с одной степенью свободы / А.Я. Красильников, К.Ю. Кравченко // Вестник машиностроения. - 2013. -№ 9. - С. 67-75.

45. Красильников А.Я. Аналитические методы исследования устойчивости систем с запаздыванием, описывающие процесс фрезерования / А.Я. Красильников, К.Ю. Кравченко // Справочник. Инженерный журнал с приложением. - 2013. - Т. 9. - № 198. - С. 23-31.

46. Красильников А.Я. Устойчивость линейных дифференциальных уравнений с постоянным запаздыванием, описывающих процесс фрезерования, и оптимизация режимов резания [Электронный ресурс] / А.Я. Красильников, К.Ю. Кравченко // Инженерный вестник Дона. Электрон. журн. - 2014. - Т. 28. - № 1. - Режим доступа: http://www.ivdon.ru/magazine/archive/n1y2014/2250.

47. Красильников А.Я. Интенсификация режимов концевого фрезерования по критерию асимптотической устойчивости / А.Я. Красильников, К.Ю. Кра-

вченко // Вестник Саратовского государственного технического университета. - 2015. - Т. 2. - № 77. - С. 64-71.

48. Красильников А.Я. К вопросу о структуре устойчивых и неустойчивых решений дифференциально-разностного уравнения / А.Я. Красильников, К.Ю. Кравченко // Технические науки — от теории к практике: сборник материалов XXVI международной научно-практической конференции. — Новосибирск, 12-17 октября 2013 г. — С. 51-60.

49. Красильников А.Я. Обеспечение устойчивости и оптимизация режимов механической обработки / А.Я. Красильников, К.Ю. Кравченко // Дни науки - 2013: тезисы докладов XIII научно-практической конференции. — Озерск, 26-27 апреля 2013 г. — С. 96-98.

50. Красильников А.Я. Модифицированный метод Рунге-Кутта для решения дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом / А.Я. Красильников, К.Ю. Кравченко // Перспективы развития информационных технологий: сборник материалов XIII Международной научно-практической конференции. — Новосибирск, 24 июня 2013. — С. 53-57.

51. On the stability of high-speed milling with spindle speed variation / S. Seguy, T. Insperger, L. Arnaud et al. // The International Journal of Advanced Manufacturing Technology. - 2010. - Vol. 48. - Iss. 1. - P. 883-895.

52. Pal Pandian P. Identification of stability lobes in high-speed machining of thin ribs / P. Pal Pandian, V. Prabhu Raja, K. Sakthimurugan // International Journal of Engineering and Science. - 2012. - Vol. 1. - Iss. 8. - P. 1-6.

53. Ташлицкий И.И. Первичный источник автоколебаний при резании металлов / И.И. Ташлицкий // Вестник машиностроения. - 1960. - № 2. - С. 4550.

54. Ташлицкий И.И. Явления запаздывания усилий при прерывистом резании с переменной толщиной среза / И.И. Ташлицкий // Вестник машиностроения. - 1969. - № 4. - С. 67-68.

55. Wiercigroch M. Sources of nonlinearities, chatter generation and suppression in metal cutting / M. Wiercigroch, E. Budak // Phil. Trans. R. Soc.: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. - 2001. - Vol. 1781. - Iss. 359. - P. 663-696.

56. Shi H.M. Theory offinite amplitude machine tool instability / H.M. Shi, S.A. Tobias // International Journal of Machine Tool Design and Research. - 1984. -Vol. 24. - Iss. 1. - P. 45-69.

57. Dombovari Z. Estimates of the bistable region in metal cutting / Z. Dombovari, R.E. Wilson, G. Stepan // Proceedings of the royal society. A mathematical physical and engineering sciences. - 2008. - Vol. 464. - Iss. 2100. - P. 32553271.

58. Insperger T. Stability of the milling process / T. Insperger, G. Stepan // International Journal of Non-Linear Mechanics. - 2000. - Vol. 44. - Iss. 1. - P. 47-57.

59. Санкин Ю.Н. Усточивосгь токарных станков при нелинейной характеристике процесса резания / Ю.Н. Санкин, Н.Ю. Санкин. — Ульяновск: УлГТУ, 2008. — 137 с.

60. Modeling of Machining Processes for Predictive Analysis of Self-excited Vibrations / L. Vela-Martinez, J. C. Jauregui-Correa, O. Gonzalez-Brambila et al. // Ingenieria Mecanica. Tecnologia y Desarrollo. - 2008. - Vol. 1. - Iss. 3. - P. 1-9.

61. Schmitz T.L. Machining Dynamics. Frequency Response to Improved Productivity / T.L. Schmitz, K.S. Smoth. — New York: Springer US, 2009. — 303 p.

62. Budak E. Analytical prediction of stability lobes in milling / E. Budak, Y. Alt-intas // CIRP Annals - Manufacturing Technology. - 1995. - Vol. 44. - Iss. 1. -P. 357-362.

63. Milling stability analysis with simultaneously considering the structural mode coupling effect and regenerative effect / X. J. Zhang, C. H. Xiong, Y. Ding et al. // International Journal of Machine Tools and Manufacture. - 2012. -Vol. 1. - Iss. 53. - P. 127-140.

64. Weck M. CAD assisted chatter-free NC tool path generation in milling / M. Weck, Y. Altintas, C. Beer // International Journal of Machine Tools and Manufacture. - 1994. - Vol. 34. - Iss. 6. - P. 879-891.

65. Budak E. Mechanics and dynamics of milling thin walled structures: Ph.D thesis: Ph.D thesis / the University of British Columbia. — Vancouver, 1994. — 284 P.

66. Саммерфилд М. Программирование на Python 3. Подробное руководство. -Перевод с английского / М. Саммерфилд. — СПб: Символ-Плюс, 2009. — 608 с.

67. Бизли Д.М. Язык программирования Python. Справочник / Д.М. Бизли. — К.: ДиаСофт, 2000. — 336 с.

68. Лутц М. Изучаем Python. - 3-е изд. / М. Лутц. — СПб: Символ-Плюс, 2009. — 848 с.

69. Kuisalaas J. Numerical Methods in Engineering with Python / J. Kuisalaas. — Cambridge: Cambridge University Press, 2005. — 424 p.

70. Волков Е.А. Численные методы. - Учеб. пособие для вузов. - 2-е изд., испр/Е.А. Волков. — М.: Наука, 1987. — 248 с.

71. Сандуляк Д.В. Явление буферности в уравнениях с запаздыванием / Д.В. Сандуляк // Модел. и анализ информ. систем. - 2008. - Т. 15. - № 2. -С. 18-25.

72. Ismail F. Improving Stability of Slender End Mills Against Chatter / F. Ismail, A. Bastami // Journal of Engineering for Industry. - 1986. - Vol. 108. - Iss. 4. -P. 264-268.

73. Бабенко К.И. Основы численного анализа / К.И. Бабенко. — М.: Наука, 1986. — 374 с.

74. Totis G. RCPM - A new method for robust chatter prediction in milling / G. Totis // International Journal of Machine Tools and Manufacture. - 2009. -Vol. 49. - Iss. 3-9. - P. 273-284.

75. Балинова В.С. Статистика в вопросах и ответах: Учеб. пособие / В.С. Ба-линова. — М.: ТК. Велби, Изд-во Проспект, 2004. — 344 с.

76. Денисов В.И. Оптимальное группирование при обработке экспериментальных данных / В.И. Денисов, Б.Ю. Лемешко // Измерительные информационные системы. - 1979. - № 1. - С. 5-14.

77. Хамитов Р.С. Моделирование экосистем. - Учебное пособие / Р.С. Хамитов, Ю.М. Авдеев. — Вологда-Молочное: ИЦ ВГМХА, 2011. — 62 с.

78. On stability prediction for milling / J. Gradisek, M. Kalveram, T. Insperger et al. // International Journal of Machine Tools and Manufacture. - 2005. -Vol. 45. - Iss. 7-8. - P. 769-781.

79. Suppression of period doubling chatter in high-speed milling by spindle speed variation / S. Seguy, T. Insperger, L. Arnaud et al. // Machining Science and Technology. - 2011. - Vol. 15. - Iss. 2. - P. 153-171.

80. Insperger T. Criticality of Hopf bifurcation in state-dependent delay model of turning processes / T. Insperger, D.A.W. Barton, G. Stepan // International Journal of Non-Linear Mechanics. - 2008. - Vol. 43. - Iss. 2. - P. 140-149.

81. Sigmund M.Y. Dynamics of low immersion milling / M.Y. Sigmund. — New York: BiblioLabsII, 2011. — 118 p.

82. Limit cycles, bifurcations, and accuracy of the milling process / B.P. Mann, P.V.. Bayly, M.A. Davies, J.E. Halley // Journal of Sound and Vibration. -2004. - Vol. 277. - Iss. 1-2. - P. 31-48.

83. Subdivision of chatter-free regions and optimal cutting parameters based on vibration frequencies for peripheral milling process / Q. Song, G. Ju, Z. Liu, X. Ai // International Journal of Mechanical Sciences. - 2014. - Vol. 83. -Iss. 1. - P. 172-183.

84. Patel B.R. Uncharted islands of chatter instability in milling / B.R. Patel, B.P. Mann, K.A. Young // International Journal of Machine Tools and Manufacture. - 2008. - Vol. 48. - Iss. 1. - P. 124-134.

85. The Stability of Low Radial Immersion Milling / M.A. Davies, J.R. Pratt, B.S. Dutterer, T.J. Burns // CIRP Annals - Manufacturing Technology. - 2000. -Vol. 49. -Iss. 1. - P. 37-40.

86. Stability Prediction for Low Radial Immersion Milling / M.A. Davies, J.R. Pratt, B.S. Dutterer, T.J. Burns // Journal of Manufacturing Science and Engineering. -2002. - Vol. 124. - Iss. 2. - P. 217-225.

87. Инженерный анализ в Ansys Workbench. - Учебное пособие. Часть 1 / В.А. Бруяка, В.Г. Фокин, Е.А. Солдусова и др. — Самара: Самар. гос. техн. ун-т, 2010. — 271 с.

88. Инженерный анализ в Ansys Workbench. - Учебное пособие. Часть 2 /

B.А. Бруяка, В.Г. Фокин, Е.А. Солдусова и др. — Самара: Самар. гос. техн. ун-т, 2013. — 148 с.

89. Огородникова О.М. Кострукционный анализ в среде Ansys. - Учебное пособие / О.М. Огородникова. — Екатеринбург: УГТУ-УПИ, 2004. — 68 с.

90. Shaik J.H. Influence of Secondary Factors of Spindle Geometry on the Dynamic Stability in End-milling Operation / J.H. Shaik, J. Srinivas // Journal of Mechanical Design and Vibration. - 2014. - Vol. 2. - Iss. 2. - P. 35-46.

91. Mahdavinejad R. Finite element analysis of machine and workpiece instability in turning / R. Mahdavinejad // International Journal of Machine Tools and Manufacture. - 2005. - Vol. 45. - Iss. 1. - P. 753-760.

92. Cheng K. Machining Dynamics. Fundamentals, Applications and Practices / K. Cheng. — London: Springer-Verlag London, 2009. — 328 p.

93. Kurniawan D. Numerical Methods in Engineering with Python / D. Kurniawan, F.M. Nor. — Pfaffikon: Trans Tech Publications, 2014. — 276 p.

94. Nonlinear Dynamics of Production Systems / N. Van de Wouw, R.P.H. Faassen, J.A.J. Oosterling, H. Nijmeijer. — New York: Wiley, 2005. — 352 p.

95. Бухаров С.Н. Вибрация и шум в нестационарных процессах трения /

C.Н. Бухаров, В.П. Сергиенко. — Минск: Беларус. нвука, 2012. — 346 с.

96. Бронштейн И.Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов / И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев. — М.: Наука, 1986. — 544 с.

97. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике / М.Я. Выгодский. — М.: Наука, 1975. — 972 с.

98. Пановко Я.Г. Устойчивость и колебания упругих систем. Современные концепции, парадоксы и ошибки. - 4-е изд., перераб. / Я.Г. Пановко, Губанова И.И. — М.: Наука, 1987. — 352 с.

99. Пановко Я.Г. Введение в теорию механических колебаний. - Учебное пособие для вузов. - 3-е изд., перераб. / Я.Г. Пановко. — М.: Наука, 1991. — 256 с.

100. Подураев В.Н. Обработка резанием с вибрациями / В.Н. Подураев. — М.: Машиностроение, 1991. — 350 с.

101. Яворский Б.М. Справочник по физике для инженеров и студентов ВУЗов / Б.М. Яворский, А.А. Детлаф. — М.: Наука, 1979. — 940 с.

102. Ahmadi K. Analytical stability lobes including nonlinear process damping effect on machining chatter / K. Ahmadi, F. Ismail // International Journal of Machine Tools and Manufacture. - 2011. - Vol. 51. - Iss. 4. - P. 296-308.

103. Ahmadi K. Experimental investigation of process damping nonlinearity in machining chatter / K. Ahmadi, F. Ismail // International Journal of Machine Tools and Manufacture. - 2010. - Vol. 50. - Iss. 11. - P. 1006-1014.

104. Ahmadi K. Machining chatter in flank milling / K. Ahmadi, F. Ismail // International Journal of Machine Tools and Manufacture. - 2010. - Vol. 50. - Iss. 1. -P. 75-85.

105. Chatter stability of milling in frequency and discrete time domain / Y. Altintas, G. Stepan, D. Merdol, Z. Dombovari // CIRP Journal of Manufacturing Science and Technology. - 2008. - Vol. 1. - Iss. 1. - P. 35-44.

106. Banihasan M. Chaotic vibrations in high-speed milling / M. Banihasan, F. Bakhtiari-Nejad // Nonlinear dynamics. - 2011. - Vol. 66. - Iss. 4. - P. 557574.

107. Stability of Interrupted Cutting by Temporal Finite Element Analysis / P. V. Bayly, J. E. Halley, B. P. Mann et al. // ASME Journal of Manufacturing Science and Engineering. - 2001. - Vol. 125. - Iss. 2. - P. 220-225.

108. Analysis of milling dynamics for simultaneously engaged cutting teeth / O.A. Bobrenkov, F.A. Khasawneh, E.A. Butcher, B.P. Mann // Journal of Sound and Vibration. - 2010. - Vol. 329. - Iss. 5. - P. 585-606.

109. Budak E. Identification and modeling of process damping in turning and milling using a new approach / E. Budak, L.T. Tunc // CIRP Annals - Manufacturing Technology. - 2010. - Vol. 59. - Iss. 1. - P. 403-408.

110. Cardi A.A. Workpiece dynamic analysis and prediction during chatter of turning process / A.A. Cardi, Bement M.T. Liang S.Y. Firpi, H.A. // Mechanical Systems and Signal Processing. - 2008. - Vol. 22. - Iss. 6. - P. 1481-1494.

111. On the Dynamics of High-speed Milling with Long, Slender Endmills / M.A. Davies, B.S. Dutterer, J.R. Pratt, A.J. Schaut // Journal of Manufacturing Science and Engineering. - 1998. - Vol. 41. - Iss. 1. - P. 55-60.

112. Hamdan M.N. An approach to study the effects of tool geometry on the primary chatter vibration in orthogonal cutting / M.N. Hamdan, A.E. Bayoumi // Journal of Sound and Vibration. - 1989. - Vol. 128. - Iss. 3. - P. 451-469.

113. Lee A. C. Analysis of Chatter Vibration in the End Milling Process / A. C. Lee, C. S. Liu // International Journal of Machine Tools and Manufacture. - 2014. -Vol. 31. - Iss. 4. - P. 471-479.

114. Cutting stability investigation on a complicated free surface machining / S.Y. Lin, R.W. Chang, C.T. Chung, C.K. Chan // Journal of Achievements in Materials and Manufacturing Engineering. - 2008. - Vol. 2. - Iss. 31. - P. 531539.

115. Insperger T. Vibration Frequencies in High-Speed Milling Processes or a Positive Answer to Davies, Pratt, Dutterer and Burns / T. Insperger, G. Stepan // Journal of Manufacturing Science and Engineering. - 2004. - Vol. 126. - Iss. 3. -P. 481-487.

116. Nosyreva E.P. Analysis of nonlinear vibrations in metal cutting / E.P. Nosyreva, A. Molinari // International Journal of Mechanical Sciences. - 1998. - Vol. 40. -Iss. 8. - P. 735-748.

117. Tarng Y. S. The change of spindle speed for the avoidance of chatter in end milling / Y. S. Tarng, T. C. Li // Journal of Materials Processing Technology. -1994. - Vol. 41. - Iss. 2. - P. 227-236.

118. A new process damping model for chatter vibration / E. Turkes, S. Orak, S. Ne-seli, S. Yaldiz // Measurement. - 2011. - Vol. 4. - Iss. 8. - P. 1342-1348.

119. Tyler C.T. Process Damping Milling Model Database / C.T. Tyler, T.L. Schmitz // Proceedings of NAMRI/SME. - 2014. - Vol. 42. - P. 1-10.

120. Quintana G. A new experimental methodology for identification of stability lobes diagram in milling operations / G. Quintana, J. Ciurana, D. Teixidor // International Journal of Machine Tools and Manufacture. - 2008. - Vol. 48. -Iss. 15. - P. 1637-1645.

121. Wallace P.W. Machining forces: some effects of tool vibration / P.W. Wallace, C. Andrew // Journal of Mechanical Engineering Science. - 1965. - Vol. 7. -Iss. 2. - P. 152-162.

122. A unified stability prediction method for milling process with multiple delays / M. Wan, W.-H. Zhang, J.-W. Dang, Y. Yang // International Journal of Machine Tools and Manufacture. - 2010. - Vol. 50. - Iss. 1. - P. 29-41.

123. Wahi P. Self-interrupted regenerative metal cutting in turning / P. Wahi, A. Chat-terjee // International Journal of Non-Linear Mechanics. - 2008. - Vol. 43. -Iss. 2. - P. 111-123.

124. The finite element modeling and stability prediction of high-speed spindle system dynamics with spindle-holder-tool joints / B. Wang, W. Sun, K. Xu et al. // Journal of Vibroengineering. - 2014. - Vol. 16. - Iss. 3. - P. 1188-1199.

125. Zhang X. Note on a novel method for machining parameters optimization in a chatter-free milling process / X. Zhang, H. Ding // International Journal of Machine Tools and Manufacture. - 2013. - Vol. 1. - Iss. 72. - P. 11-15.

126. Zheng C. M. Analytical Prediction of the Critical Depth of Cut and Worst Spindle Speeds for Chatter in End Milling / C. M. Zheng, J.-J. Junz Wang, C. F. Sung // Journal of Manufacturing Science and Engineering. - 2013. - Vol. 136. - Iss. 1. - P. 1-10.

127. Городецкий Ю.И. О колебаниях при резании металлов / Ю.И. Городецкий // Динамика систем. - 1974. - № 3. - С. 58-88.

128. Городецкий Ю.И. Повышение виброустойчивости и производительности вертикально фрезерных консольных станков / Ю.И. Городецкий // Станки и инструмент. - 1982. - № 8. - С. 8-12.

129. Городецкий Ю.И. Исследование динамических характеристик многоцелевого станка / Ю.И. Городецкий // Станки и инструмент. - 1985. - № 1. -С. 22-24.

130. Есаян П.М. К вопросу о виброусточивости динамической системы станка с ЧПУ / П.М. Есаян, О.А. Барсегян // Вестник машиностроения. - 1984. -№ 2. - С. 60-63.

131. Корендясев Г.К. О физических моделях возбуждения автоколебаний при резании / Г.К. Корендясев // Вестник научно-технического развития. - 2013. -№ 7. - С. 15-25.

132. Криворучко Д.В. Индетификация режима автоколебаний в технологической системе при фрезеровании концевыми фрезами / Д.В. Криворучко, В.А. Залога, С.С. Емельяненко // Труды Одесского политехнического университета. - 2008. - № 29. - С. 73-78.

133. Зелик В.П. Колебания в зоне резания и шероховатость поверхности / В.П. Зелик // Известия вузов. Машиностроение. - 1986. - № 12. - С. 98-101.

134. Петрушин С.И. Теория несвободного резания материалов. Расчет напряженно, деформированного состояния в зоне резания / С.И. Петрушин, А.В. Проскоков // Вестник машиностроения. - 2010. - № 2. - С. 40-44.

135. Петрушин С.И. Теория несвободного резания материалов. Стружкообра-зование с развитой зоной пластических деформаций / С.И. Петрушин, А.В. Проскоков // Вестник машиностроения. - 2010. - № 1. - С. 53-58.

ПРИЛОЖЕНИЕ А. Проекции силы резания на координатные оси.

Спроецируем касательную и нормальную составляющие силы резания на координатные оси.

FXj = -Ftj cos ф, - Fn,j sin ф,

(А.1)

Fy.j = Ft,j Sin Ф, - Fn,j cos ф,

Fx,j = —Ktb(Ax sin ф, + Ay cos ф,) cos ф, —

—KnKtb(Ax sin ф, + Ay cos ф,) sin ф, =

= —Ktb (Ax(sin ф, cos ф, + Kn sin2 ф,) + Ay(cos2 ф, + Kn sin ф, cos ф,))

(А.2)

Fyj- = Ktb(Ax sin ф, + Ay cos ф,) sin ф, — —KnKtb(Ax sin ф, + Ay cos ф,) cos ф, = (А.3)

= Ktb (Ax(sin2 ф, — Kn sin ф, cos ф,) + Ay(sin ф, cos ф, — Kn cos2 ф,))

и . sin(2ф) . 2

Используем тригонометрические замены sin ф cos ф = -, smJ ф =

2

1 — cos(2ф) 2 1+cos(2ф)

=-И COS^ ф =-.

2 2

Fx,j = --Ktb{Ax{sm{2<pj) + Kn{ 1 - сов(2ф.,-)) +

2 ' 1 " ' ' 1 (A.4)

+Ay(1 + cos(2фj) + Kn sin^,)))

Fyj = -Ktb{Ax{ 1 - со8(2ф,) - Knsm{2<pj)) +

1

+Ау^п(2ф,) - Кп(1 + cos(2фj)))) Равнодействующая сил Fxj и Fy ^ определяется по принципу суперпозиции для всех режущих кромок, одновременно участвующих в резании.

г г

Fx = ^ Fx,t; Fy = ^ Fy,t (А.6)

j=l j=l

ПРИЛОЖЕНИЕ Б. Дополнение к доказательству утверждения 1.

Приведем выражение для A0 (2.6) к зависимости от фд = фех — ф^.

z

А0 = (2cpea;cos |3 - sin(2cpea; + (3) - 2ф^со8 (3 + sin(2cpsí + (3)) = 8п

z

= -— (2фд eos (5 - 2sin<pA cos(<p„ + <ps( + (5)) =

8П (Б.1)

= -— (2фд eos (3 - 2зтфдсо8(2ф^ + фд + (3)) = 8п

z

= -— (2фД eos (3 - 2 sin фд со8(2феж - фд + (3)) 8п

Пусть в случае попутного фрезерования фех = п и фех > ф^, ав случае встречного ф^ = п и фех < ф^. Тогда (Б.1) для попутного фрезерования примет вид:

z

Ао = — — (2фд eos (3 — 2 sin фд cos(фд — (3)) (Б.2)

8п

А в случае встречного фрезерования:

z

А0 = — (2фд eos (3 - 2 sin фд сов(фд + (3)) (Б.З)

8п

Аналогично для модели фрезерования с двумя степенями подвижности, описанной в разделе 2.3.

феж Vst

axx axy

ayx Oyy

фе

Vst

(Б.4)

где

IV

ex

axx = 2ф cos в — sin (2ф + в)

o-xy = 2ф sin в — cos (2ф + в) I Vex

феж Vst

феж ф^

(Б.5)

ayx = —2ф sin в — cos (2ф + в) ayy = 2ф cos в + sin (2ф + в) Выполним аналогичные замены и преобразования:

axx = 2^ex — ф^) cos в —

Л. (2фex + в) — (2ф^ + в) (2фет + в) + (2фв4 + в) А ~

— I 2 sm---cos---j = (Б.6)

axy = 2^ex — ф^) sin в —

í. (2фет + в) — (2фв4 + в). (2фв* + в) + (2фя* + в)'

— ~rZ Sill-Sill-

V 2 2

= 2фд sin в +2 sin фд Sin(фex + фя* + в)

Oyx = — 2^ex — фя*) sin в — í 0. (2фex + в) — (2ф^ + в) • (2фex + в) + (2ф^ + в)'

- sin - sin -

= —2фд sin в +2 sin фд sin^ex + фя* + в)

ttyy = 2(фex — фя*) cos в + ( . (2фет + в) — (2фв4 + в) (2фет + в) + (2фя* + в) ^

+ 2 sin-cos- ,

V 2 2 )

= 2фд cos в + 2 sin фд cos^^ + ф^ + в) Таким образом, для случая попутного фрезерования:

= (Б.7)

(Б.8)

(Б.9)

2фд cos в — 2 sin фд cos(фД — в) 2фд sin в — 2 sin фд sin(фД — в) —2фд sin в — 2 sin фд sin(фД — в) ayy = 2фд cos в + 2 sin фд cos(фД — в)

CXxx —

axy

Oyx

(Б10)

Для случая встречного фрезерования:

— (2фд cos в — 2 sin фд cos(фД + в))

— (2фД sin в — 2 sin фД sin(фД + в))

— (—2фД sin в — 2 sin фД sin^ + в)) ayy = — (2фД cos в + 2 sin фД cos(фД + в))

axy ayx

(Б. 11)

ПРИЛОЖЕНИЕ В. Методика проведения модального анализа.

В ходе модального анализа определяются динамические характеристики жестко-вязкой системы, которые в дальнейшем используются для определения передаточной функции системы. На рисунке В.1 приведена схема экспериментальной установки для проведения модального анализа системы с несколькими степенями подвижности.

Пьезоэлектрический акселерометр 2 устанавливается на режущую кромку инструмента 1 в ту область, которая в ходе резания будет контактировать с заготовкой. Особенностью такого акселерометра является малая масса, что позволяет не учитывать собственные колебания акселерометра в модели. Акселерометр соединен с платой сбора данных 4 через усилитель 3. В ходе анализа сигнал от акселерометра поступает на усилитель сигнала, а затем улучшенный сигнал поступает на плату и преобразуется в цифровой сигнал, который далее поступает на в компьютер 5 с предустановленным программным обеспечением для обработки и отображения данных. Основной характеристикой акселерометра является величина разрешения. Чем выше разрешение датчика, тем выше точность измерений.

Возбудитель сигнала, молоточек 6, используется для нанесения ударного импульса по инструменту. Возбудитель также соединен через усилитель 7 с платой 4, что позволяет программному обеспечению на компьютере отслеживать уровень возбуждающего воздействия. Конструкция и масса молоточка, а также материал наконечника определяют возможный диапазон частот для исследования. В частности, материал наконечника молоточка определяет продолжительность периода контакта между наконечником и исследуемым объектом. Продолжительность контакта обратно пропорциональна диапазону возможных частот. Стальные наконечники позволяют возбуждать высокочастотные колебания, наконечники из полимерных материалов (пластик, винил) позволяют возбуждать низкочастотные колебания.

В ходе эксперимента проводятся по три теста для каждого из выбранных направлений координатных осей, при этом требуется переустановка акселерометра для каждого направления. В ходе каждого теста производится возбуждение колебаний посредством удара инструмента молоточком (рисунок В.2). При этом компьютер фиксирует величину возбуждающего сигнала, поступающего

Рисунок В.1 - Схема экспериментального стенда для выполнения модального

анализа.

и *

\ > 4

XX \

у о

> >

I ш

х

Рисунок В.2 - Выполнение теста.

от возбудителя, и величину ответного сигнала, поступающего от акселерометра. Используя эти сведения программное обеспечение компьютера определяет и строит передаточную функцию исследуемой системы.

Рассчитанная передаточная функция имеет пики, соответствующие собственным частотам колебаний системы. Передаточная функция реальной системы ДИПС может иметь множество максимальных значений, что является следствием модульности такой системы. Другими словами, каждый компонент системы ДИПС (фреза, патрон, корпус шпинделя, подшипники и т.д.) вибрирует на собственной частоте колебаний. Каждое значение собственных частот компонентов системы ДИПС соответствует максимальному значению передаточной

функции, причем чем меньше жесткость компонента сборки, тем больше значение магнитуды передаточной функции.

Кратко поясним, как программное обеспечение компьютера определяет передаточную функцию и динамические характеристики системы на основе поступивших сигналов. Исходный сигнал, переданный на порт компьютера от платы сбора данных, является оцифрованным, т.е. представляет из себя дискретную функцию во временной области. Применяя быстрое преобразование Фурье можно определить соответствующую функцию в частотной области (В.1).

где N - количество отсчетов х(п) цифрового сигнала; х(п) - измеренные значения сигнала во дискретных промежутках п = 0,..., N — 1; X(к) - комплексные амплитуды синусоидальных сигналов; к - индекс частоты, причем частота к-го

сигнала равна —, где Т - период времени, в течение которого брались исходные данные, к = 0,..., N — 1.

Полученная с помощью преобразования Фурье функция будет иметь пик в области значения собственной частоты системы. Для одномерной системы спектр Фурье будет иметь один пик, в то время как для многомассовых систем таких пиков будет несколько (рисунок В.3).

На рисунке В.3 результат быстрого преобразования Фурье представлен в виде спектра. Также можно получить отдельно значение вещественной и мнимой частей. В зависимости от способа вывода результата быстрого преобразования Фурье существуют два основных алгоритма определения жестко-вязких характеристик системы. Для первого случая, когда результат представлен в виде спектра, соответствующий алгоритм приведен в приложении Г. Для случая, когда передаточная функция представлена в виде вещественной и мнимой части, последовательность следующая:

1. Определить на графике вещественной части передаточной функции значение частоты, при которой вещественная часть равна нулю. Найденной значение соответствует собственной частоте колебаний системы - шсоб.

2/ \ и и

. Определить максимум вещественной части слева от точки, найденной на предыдущем шаге - Шь

(В.1)

п=0

к

Функции У1 (t), y2(t), yi(t) + У2(t) во Функции y1(ш), у2(ш), У1(ш) + y2(ш) временной области во частной области.

Рисунок В.3 - Результат быстрого преобразования Фурье

Зу ч v_/ v_/ vj

. Определить минимум вещественной части справа от точки, найденной на предыдущем шаге - ш2.

4. Вычислить коэффициент относительного демпфирования В.2:

2шСОб ^ ^

5. На графике мнимой части передаточной функции найти минимум ZmGmin.

6. Вычислить коэффициент жесткости системы как В.3:

2CImGmm

ПРИЛОЖЕНИЕ Г. Определение динамических характеристик системы

ДИПС.

Г.1 Общее описание

Для определения динамических характеристик рассматриваемой системы ДИПС с использованием соответствующих конечно-элементных моделей выполнены последовательно три вида анализа: модальный анализ, анализ переходных процессов и гармонический анализ. Рассматриваемая система ДИПС включает в себя:

• цилиндрическая заготовка диаметром 300 мм, высотой 200 мм, материал заготовки - алюминиевый сплав АМг5;

• зажимное приспособление - четырехкулачковый патрон;

• режущий инструмент - концевая твердосплавная фреза диаметром 10 мм, материал фрезы - Т5К10;

• вспомогательный инструмента - цанговый прецизионный патрон;

• станок - Ккашига Му^ипшоп 5, вертикально-фрезерный станок с пятью управляемыми осями.

С целью сокращения времени выполнения расчетов рассмотрены две подсистемы:

• подсистема инструмента, включающая в себя режущий инструмент, вспомогательный инструмент, шпиндель и направляющую оси Ъ станка;

• подсистема заготовки, включающая в себя заготовку, зажимное приспособление и глобусный стол станка.

Для проведения указанных выше анализов рассчитана конечно-элементная модель для каждой подсистемы (рисунок Г.1). Дополнительно на рисунке Г.2 изображена твердотельная модель сборки режущего и вспомогательного инструмента.

Г.2 Модальный анализ

В ходе модального анализа определяются формы и частоты собственных колебаний конструкции.

а)

Рисунок Г.1 - Конечно-элементные модели: а) подсистема инструмента;

б) подсистема заготовки.

Для проведения модального анализа необходимо указать неподвижную опору для каждой подсистемы. В качестве неподвижной опоры примем поверхность присоединения к порталу станка для подсистемы инструмента и поверхности присоединения к станине станка для подсистемы заготовки (рисунок Г.3).

На рисунках Г.4, Г.5 представлены первые шесть мод собственных колебаний каждой из подсистем.

Рисунок Г.3 - Неподвижные опоры (указаны черным): а) подсистема инструмента; б) подсистема заготовки.

Мода 714,63 Гц

Мода 917,18 Гц

B: Modal

Total Deformation 3 Type; Total Deformation Frequency: 1113.1 Hz Unit: mm 31.10,2014 11:59

5.7693 Max

5.1282

4.4872

3.8462

3.2051

2.5641

1.9231

1.2821

0.64103

0 Min

Мода 1113,1 Гц

Мода 1399,2 Гц Мода 1422,8 Гц Мода 1530,2 Гц

Рисунок Г.4 - Моды собственных колебаний подсистемы инструмента.

Мода 877,46 Гц

Мода 1040 Гц

Мода 994,41 Гц

Мода 1808,5 Гц

Мода 1856,3 Гц Мода 1945,1 Гц

Рисунок Г.5 - Моды собственных колебаний подсистемы заготовки.

Рисунок Г.6 - Переходный процесс подсистемы инструмента.

Г.3 Анализ переходных процессов

Следующей динамической характеристикой для определения является коэффициент относительного демпфирования С, который вычисляется из логарифмического декремента затухания 5 как (Г.1). Для определения уровня диссипации проводится анализ переходных процессов. В ходе такого анализа оценивается реакция динамической системы на приложенное к ней внешнее воздействие с момента приложения этого воздействия до некоторого установившегося значения во временной области.

С =

5

у/{2тг)2 + б2

где

6 = 1п^

х1

(Г.1)

(Г.2)

где Хо, Х1 - две последовательные амплитуды колеблющейся величины в одном и том же направлении.

На рисунках Г.6, Г.7 изображено поведение рассматриваемых подсистем при нагрузке 1 Н, приложенной последовательно в направлениях вдоль осей X и У.

Рисунок Г.7 - Переходный процесс подсистемы заготовки.

Таблица Г.1 - Коэффициенты относительного демпфирования.

вдоль оси X вдоль оси У

подсистема инструмента подсистема заготовки 4, = 0,02559 С,, = 0,0276 Cty = 0,0247 CWy = 0,0505

Г.4 Гармонический анализ

Гармонический (или частотный) анализ необходим для определения передаточной функции конструкции, при этом подразумевается, что система находится под действием внешней периодической силы, подчиненной гармоническому закону. Аналогично анализу переходных процессов, гармонические силы прикладываются последовательно вдоль осей x и у. Передаточная функция конструкции необходима для определения коэффициента жесткости купр (Г.3). При построении передаточной функции также учитывается величина относительного демпфирования С

1

2 ОС

^упр — т (Г.З)

На рисунке Г.8 представлены передаточные функции для подсистем инструмента и заготовки Сх, Оу в направлениях ох и оу соответственно. Каждая из изображенный функций имеет экстремумы, в частности, максимумы указывают на частоты, которые оказывают наибольшее влияние на появление неустойчивого режима автоколебаний. Очевидно, что эти частоты близки по значению к частотам собственных колебаний конструкции, определенных на этапе модального анализа. Рассчитанные значения коэффициентов жесткости приведены в таблице Г.2.

Частота, Гц Частота, Гц

а) б)

Рисунок Г.8 - Передаточные функции: а) подсистема инструмента;

б) подсистема заготовки.

Таблица Г.2 - Коэффициенты жесткости.

вдоль оси X вдоль оси У

подсистема инструмента кутх = 4,7077-Ю10 Н/м куту = 1,137-Ю10 Н/м

подсистема заготовки куп^с = 2,8975-106 Н/м ку„ = 2,94-106 Н/м

ПРИЛОЖЕНИЕ Д. Результаты имитационного моделирования модели с

одной степенью подвижности.

Ниже представлены результаты имитационного моделирования для значений, обозначенных на рисунке 3.1 главы 3 параграфа 3.1.

( х<{)

Рисунок Д.1 - Поведение системы в точке А0.

д(1?)

Рисунок Д.2 - Поведение системы в точке А1.

2.0

Рисунок Д.3 - Поведение системы в точке а2.

Рисунок Д.4 - Поведение системы в точке В0.

( ц*)

Рисунок Д.6 - Поведение системы в точке в2.

Рисунок Д.7 - Поведение системы в точке С0.

1 т

2 °0 10 20 30 40 50 60 70 80 2-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

* Ф

Рисунок Д.10 - Поведение системы в точке

Рисунок Д.12 - Поведение системы в точке

ПРИЛОЖЕНИЕ Е. Результаты имитационного моделирования модели с

двумя степенями подвижности фрезы.

Ниже представлены результаты имитационного моделирования для значений, обозначенных на рисунке 3.6 главы 3 параграфа 3.2.3.

N=10000 об/мин, а = 0,5 мм

n = 10000 об/мин, а = 1,0 мм

Время, с

n =10000 об/мин, а = 1,2 мм

0.04 0.06 0.С

Время, с

n = 10000 об/мин, а = 1,4 мм

Рисунок Е.1 - Результаты имитационного моделирования.

N = 10000 об/мин, а = 1,6 мм

N = 12000 об/мин, а = 0,5 мм

0.10

0.04 0.06

Время, с

0.04 0.06

Время, с

3 2

сг

к

и

а

<и

г

о о

1С

¿5

я

N = 12000 об/мин, а = 0,6 мм

о л ю к

га

-10-

0.00

N = 12000 об/мин, а = 0,8 мм

у' 0.002

гг

„ 0.001 и

§ 0.000 и

д -0.001 2 -0.002 О -0.003 Ю -0.004 ш -0.005