Разработка и моделирование элементов резонансных ускоряющих структур методом эквивалентных схем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.20, кандидат наук Мациевский Сергей Викторович

• Мациевский Сергей Викторович
• кандидат наук
• 2021

Оглавление диссертации кандидат наук Мациевский Сергей Викторович

Введение

Глава 1. Эквивалентные схемы

1.1 Эквивалентные схемы различного типа

1.2 Распределение электрического поля в секции

1.3 Дисперсионная характеристика секции

1.4 Входное сопротивление секции

1.5 Переходные процессы в секции

1.6 Соединение секций при помощи волновода

1.7 Согласование секции на бегущей волне

1.8 Нагрузка резонатора ускоряемым пучком

1.9 Собственные виды колебаний

Выводы по главе

Глава 2. Расчёт ЭДХ ускорителей с использованием разработанной

программы

2.1 Структура программы

2.2 Расчёт распределения поля и входного сопротивления секций

2.2.1 Секция на стоячей волне

2.2.2 Секция на бегущей волне

2.3 Дисперсионные характеристики ускоряющих структур

2.4 Переходные процессы в секциях

2.5 Соединение секций при помощи волновода

Выводы по главе

Глава 3. Линейный ускоритель электронов гибридного типа

3.1 Схема ускорения

3.2 Определение параметров секций ускорителя

3.3 Устойчивость работы генератора СВЧ

3.4 Переходный режим

3.5 Гибридный ускоритель с циркулятором

Стр.

3.6 Расчёт и моделирование элементов ускорителя

3.6.1 Электронная пушка

3.6.2 Секция на стоячей волне

3.6.3 Секция на бегущей волне

3.7 Чувствительность секций к расстройке параметров

3.8 Измерения характеристик макета секции на стоячей волне

Выводы по главе

Глава 4. Ввод мощности в сверхпроводящий полуволновый резонатор

4.1 Устройства ввода мощности в сверхпроводящие резонаторы

4.2 Выбор оптимальной связи и величины подводимой мощности

4.3 Модель устройства ввода мощности

4.3.1 Электродинамический расчёт

4.3.2 Тепловой расчёт

4.3.3 Механический расчёт

4.3.4 Мультипакторный разряд в устройстве ввода мощности

4.4 Тестовый ввод мощности

Выводы по главе

Заключение

Список сокращений и условных обозначений

Список литературы

Приложение А. Код программы LinacCalc

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка и моделирование элементов резонансных ускоряющих структур методом эквивалентных схем»

Введение

В настоящее время развитие ускорителей заряженных частиц (УЗЧ) происходит в двух основных направлениях: прикладном и научном.

Для прикладного направления особый интерес представляют ускорители электронов с выходной энергией пучка до 10 МэВ [1] в силу того, что в указанной области энергий электронов отсутствует рождение радиоактивных изотопов на материалах ускорителя и мишени [2]. Для прикладных целей часто используют линейные ускорители электронов (ЛУЭ), построенные с использованием цепочек связанных резонаторов (ЦСР). Данный вид ускорителей компактен, технологичен, имеет хорошие параметры пучка и широкие возможности для перестройки энергии.

Другим актуальным направлением развития ускорительной техники является создание крупных ускорительных комплексов для фундаментальных научных исследований. В таких установках широкое применение находят сверхпроводящие (СП) ускоряющие структуры (УС), обладающие целым рядом особенностей, отсутствующих у структур, работающих при нормальной температуре и требующих специального рассмотрения. Одним из крупных проектов ускорительного комплекса, использующего СП УС, является ионный коллайдер NICA [3].

Для расчёта электродинамических характеристик (ЭДХ) и динамики частиц УС ЛУЭ используется набор программ САПР. Для расчёта динамики пучка электронов в УС наиболее популярными являются программы CST Particle Studio [4], Parmela [5], Kobra [6] и Astra [7]. Кроме того, в НИЯУ МИФИ разработаны программы Hellweg 2D [8], Beamdulac [9] и др. Электродинамические характеристики (ЭДХ) ячеек, используемые в качестве входных данных этими программами, обычно рассчитываются при помощи методов конечных элементов (МКЭ) или конечных разностей (МКР). Популярными реализациями данных алгоритмов являются Poisson SuperFISH [10] для решения двумерных задач распределения электромагнитного поля в аксиально симметричных устройствах; COMSOL [11], Ansys HFSS [12], CST [4], Opera3D [13] и GdfidL [14] для решения трёхмерных задач. Данные алгоритмы непосредственно решают уравнения Максвелла на аппроксимирующей геометрию устройства сетке и позволяют найти решение задачи распределения электрического поля с высокой точностью. При проектировании реальных устройств размер решаемой задачи может большим, и её решение может

требовать значительного количества вычислительных ресурсов ЭВМ и занимать длительное время. При учёте связи не только между соседними ячейками УС, но и с удалёнными ячейками, размер решаемой задачи при использовании данных методов кратно возрастает.

Для уменьшения времени, требуемого для оптимизации характеристик ЦСР, можно воспользоваться методом эквивалентных схем (МЭС). Данный метод позволяет исследовать как одиночные резонаторы, так и секции на стоячей волне (СВ) и бегущей волне (БВ) [15—17]. При этом, количество решаемых уравнений равно количеству ячеек секции, благодаря чему метод является значительно менее требовательным к ресурсам ЭВМ. Кроме того, аналитический анализ некоторых типов УС позволяет в упрощённом случае находить оптимальные параметры ячеек секций [18]. Применение МЭС в комбинации с МКР и МКЭ позволяет значительно сократить трудозатраты на разработку УС, тем самым снизив их стоимость.

ЛУЭ на СВ получили широкое распространение в диапазоне энергий до 10 МэВ за счёт высокого КПД в стационарном режиме работы и относительной простоты настройки [19]. Однако, заполнение ускоряющих секций на СВ мощностью занимает некоторое время, из-за чего начало импульса тока задерживается относительно начала импульса СВЧ мощности. Заполнение УС на БВ мощностью происходит значительно быстрее, но их КПД при этом меньше. Гибридные ЛУЭ, состоящие из группирователя на СВ и ускоряющей секции на БВ сочетают в себе качества УС на СВ и БВ — короткий переходной процесс, эффективную группировку без необходимости использования внешнего магнитного поля, хорошие параметры пучка [20; 21]. Такая схема использована некоторых промышленных ускорителях [22—25]. Однако вопросы СВЧ питания таких структур освещены недостаточно.

В настоящее время растёт количество ускорителей, в том числе прикладного применения, работающих в СП режиме. Особенности СП ускорителей требуют особой проработки узлов СВЧ питания, в частности, устройств ввода мощности (УВМ). Разработка и исследование УВМ СП резонаторов является важной задачей, т.к. большой степени УВМ определяет как эффективность, так и надёжность всей установки [26]. Между тем, применение МЭС в сочетании с другими методами расчёта может позволяет существенно облегчить задачу разработки и оптимизации УВМ.

Цели и задачи исследования:

1. Развитие математической модели УС, представленных в виде цепочек элементов с сосредоточенными параметрами. Обобщение метода на случай связи ячеек УС как с соседними, так и с удалёнными ячейками; учёт устройств связи с подводящим трактом, соединительных трактов.

2. Разработка основанной на МЭС программы численного моделирования и оптимизации ЭДХ резонаторов и ЦСР.

3. Сравнение результатов расчётов УС различных конфигураций, проведённых при помощи разработанной программы, с данными моделирования с использованием МКЭ.

4. Численное моделирование и расчёт характеристик гибридного ЛУЭ, состоящего из группирователя на СВ и УС на БВ, при различных токах пучка и длинах секций. Экспериментальное исследование характеристик макета группирователя на СВ.

5. Разработка и оптимизация параметров УВМ в СП полуволновый резонатор для проведения криогенных тестов, а также для работы в составе ускорительного комплекса с широким диапазоном тока ускоряемого пучка NICA.

Научная новизна:

1. Разработана программа расчёта резонаторов и ЦСР с произвольными ЭДХ ячеек, построенная на основе МЭС, позволяющая без больших затрат машинных ресурсов и времени проводить моделирование и оптимизацию УС на СВ и БВ с большим количеством ячеек с учётом связи как с соседними, так и с удалёнными ячейками; с учётом устройств связи с подводящим трактом, соединительных трактов. Проведена экспериментальная проверка разработанных алгоритмов и программ на макете группирователя на СВ.

2. Предложен и реализован метод моделирования переходных процессов в секциях на СВ и БВ с возможностью учёта связи с соседними и удалёнными ячейками.

3. Проведён анализ системы питания гибридного ЛУЭ с группирующей секцией на СВ и ускоряющей секцией на БВ при различных токах пучка и длинах секций. Сформулированы требования к секциям гибридного ЛУЭ, обеспечивающие устойчивую работу генератора.

4. Предложена схема УВМ в СП полуволновый резонатор с широким диапазоном рабочего тока пучка, обеспечивающая существенное снижение механических напряжений в керамическом СВЧ окне.

Практическая значимость:

1. Разработанная и верифицированная программа численного расчёта резонаторов и ЦСР на СВ и БВ позволяет значительно ускорить разработку УЗЧ за счёт использования МЭС. Алгоритм позволяет моделировать УС с учётом связи соседних и удалённых ячеек. Код зарегистрирован в реестре программ для электронных вычислительных машин ФИПС под именем LinacCalc и номером 2018664631 [27].

2. Обоснованы требования к системе питания гибридного ЛУЭ, состоящего из секций на СВ и БВ, обеспечивающие устойчивую работу установки. Использование рассмотренной схемы питания позволяет эффективно использовать СВЧ мощность за счёт сокращения времени заполнения секции на СВ мощностью. Результаты проведённого исследования характеристик ускоряющей секции с энергиями пучка около 10 МэВ позволили разработать технический проект гибридного ЛУЭ в S-диапазоне с импульсным током пучка порядка 0,1 А.

3. Разработано УВМ для СП полуволнового резонатора коллайдера NICA. Устройство обеспечивает более эффективное, чем в устройствах с фиксированной антенной, использование СВЧ мощности. Предложенная конструкция со скользящими контактами снижает механические напряжения в керамическом СВЧ окне, тем самым повышая надёжность устройства. Разработанное устройство предполагается к использованию в инжекторе ионного коллайдера NICA.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Методика, алгоритм, выражения и программа для расчёта распределения ускоряющих полей, входных сопротивлений и переходных процессов ускоряющих структур различных типов с учётом связи соседних и удалённых ячеек, подводящих и соединительных трактов при помощи метода эквивалентных схем в секциях на стоячей и бегущей волнах.

2. Результаты верификации разработанной программы расчёта характеристик резонаторов и цепочек связанных резонаторов методом эквивалентных схем путём сравнения результатов моделирования с результатами моделирования в других программах. Результаты экспериментальной

проверки расчётных результатов на макете группирователя на стоячей волне.

3. Результаты оценки требований к системе питания гибридного линейного ускорителя электронов, состоящего из секций на стоячей и бегущей волнах, обеспечивающих устойчивую работу СВЧ генератора на рабочей частоте секции. Результаты моделирования и оптимизации характеристик электронной пушки, группирователя на стоячей волне и ускоряющей секции на бегущей волне; расчёта динамики электронных пучков в них. Результаты экспериментального исследования и настройки макета группирователя на стоячей волне гибридного линейного ускорителя электронов.

4. Результаты электродинамического, теплового и механического моделирования, оптимизации параметров и настройки устройства ввода мощности в сверхпроводящий полуволновый резонатор для ионного инжектора коллайдера NICA.

Достоверность полученных результатов численного моделирования обеспечивается использованием многосторонне апробированного программного обеспечения, сравнением результатов расчётов, проведённых различными программами, сравнением расчётов тестовых моделей со справочными данными и результатами измерений ЭДХ макетов устройств.

Достоверность математических выкладок обеспечивается проверкой при помощи библиотек символьного вычисления, а также сравнения результатов расчётов с тестовыми моделями.

Апробация результатов диссертации. Основные результаты работы докладывались на российских и международных конференциях

- XXIX Linear Accelerator Conference (LINAC 18), Beijing, China, 2018;

- XVIII International Conference on RF Superconductivity (SRF 2017), Lanzhou, China, 2017;

- VIII International Particle Accelerator Conference (IPAC 17), Copenhagen, Denmark, 2017;

- XXVIII Linear Accelerator Conference (LINAC 16), East Lansing, MI USA, 2016;

- VII International Particle Accelerator Conference (IPAC 16), Busan, Korea, 2016;

- XXVI Russian Particle Accelerator Conference (RuPAC 2018), Portvino, Russia, 2018.

- XXV Russian Particle Accelerator Conference (RuPAC 2016), Saint-Petersburg, Russia, 2016;

- XXIV Russian Particle Accelerator Conference (RuPAC 2014), Obninsk, Russia, 2014;

- I-IV Международная конференция «Лазерные, плазменные исследования и технологии» ЛаПлаз, 2017-2020;

- Научная сессия НИЯУ МИФИ, Москва 2013-2015;

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 14 печатных работах, из них 3 —в научных изданиях, индексируемых в международных базах данных Web of Science и Scopus, 1 — в рецензируемых изданиях, включённых в Перечень ВАК, 1 — свидетельство на программу для электронных вычислительных машин, 9 — в сборниках трудов международных конференций.

Личный вклад. Дополнен разработанный рядом авторов метод эквивалентных схем для анализа системы связанных резонаторов выводами для двух вариантов нормировок выражений — ёмкостной и индуктивной связи между резонаторами. Проведено обобщение выражений и алгоритмов численного расчета характеристик переходного процесса в системах связанных резонаторов.

Проведена оценка требований к секциям на СВ и БВ гибридного ЛУЭ, обеспечивающих устойчивую работу устройства на рабочей частоте в отсутствии ферритовой развязки. Настроена электронная пушка, группирователь и ускоряющая секция, проведён расчёт динамики электронного пучка. Измерен и настроен макет трёхячеечного группирователя на СВ, построенного на основе ячеек бипе-риодической ускоряющей структуры (БУС).

Для CП полуволнового резонатора обоснованы требования к мощности генератора и диапазону подстройки связи. Разработана модель тестового и рабочего УВМ, проведены электродинамические, тепловые и механические расчёты.

Объём и структура работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения и 1 приложения. Полный объём диссертации составляет 141 страницу, включая 107 рисунков и 10 таблиц. Список литературы содержит 152 наименования.

Глава 1. Эквивалентные схемы

1.1. Эквивалентные схемы различного типа

При разработке СВЧ устройств УЗЧ широко применяется метод эквивалентных схем [15; 17; 28—33]. Основная идея метода заключается в представлении областей с превалирующим электрическим и магнитным полями в виде сосредоточенных элементов — ёмкостей и индуктивностей. Ёмкость в данном случае является элементом, запасающим энергию в виде электрического поля, индуктивность — в виде магнитного. Введение в схему резистивного элемента позволяет учесть омические потери. Данная замена позволяет использовать для анализа поведения ЦСР хорошо разработанные методы электротехники [34]. Математическое обоснование замены приведено в работе [35].

На рис. 1.1 изображены распределения электрического и магнитного полей в объёмных резонаторах на типах волн Ер10 и Ер0 [36; 37].

а) Призматический резонатор б) Цилиндрический

резонатор

Рис. 1.1 — Распределение электрического и магнитного полей в резонаторах для

типов волн Еро и ЕР

010

Области сосредоточения электрических и магнитных полей в данных резонаторах можно представить в виде эквивалентных ёмкостей и индуктивно-стей [38]. Эти элементы образуют ЭС резонатора. Возможно представление резонатора в виде последовательного или параллельного RLC контуров [17; 39].

Для последовательного и параллельного представлений собственная частота резонатора будет определяться выражениями

где параметры Я, Ь, С и Я, Ь, С — сопротивления, индуктивности и ёмкости последовательной и параллельной схем соответственно [40].

Аналитические выражения для нахождения абсолютных значений эквивалентных ёмкости, индуктивности и сопротивления получены только для резонаторов простейших геометрий [36]. Для работы с другими УС требуется сведение радиотехнических параметров ЭС к электродинамическим параметрам резонатора, значения которых поддаются прямому измерению.

Однако исследование ЭС одиночных резонаторов, не подключённых к генератору, не представляет большого интереса. Чаще МЭС применяется для описания связи одиночного резонатора с подводящей линией или цепочки связанных резонаторов, образующих секцию на СВ или БВ [33; 41].

Связь, как с подводящей линией, так и с соседними резонаторами, может быть обеспечена посредством электрического, магнитного или обоих полей [42]. В этих случаях она называется ёмкостной, индуктивной или комбинированной связью соответственно. Для каждого реализуемого в секции вида колебаний вид связи определяется геометрией и расположением устройства связи, распределением электромагнитного поля вблизи него. Таким образом, именно этим

*-» *-» г—Ч 1

определяется пригодность той или иной ЭС для описания процессов в радиотехническом устройстве.

На рис. 1.2 представлена секция связанных резонаторов, состоящая из двух ячеек, настроенных на вид колебаний . Её ЭС будет адекватно описывать также режимы работы на видах колебаний со сходным расположением элементов связи относительно электромагнитного поля. Стоит отметить, что большая часть возникающих в секциях волн высших типов имеет отличное распределение полей в областях элементов связи, и для их описания требуется уточнять вид используемой ЭС [43; 44].

1 1

(1.1)

2пл/СЪ 2п\Л5! '

добротность резонатора — выражениями

(1.2)

Е Н

а) Схематичное б) ЭС секции

изображение секции

Рис. 1.2 — Секция связанных по электрическому полю резонаторов на виде колебаний Е0Р0 с вводом мощности по магнитному полю

Применяемые в ускорительной технике замедляющие структуры делят на три класса по значению относительной фазовой скорости волны в УС [41]. К первому классу относят структуры, применяемые для ускорения тяжёлых ионов с относительной фазовой скоростью вф = ^ф/о = 0,005-0,1, ко второму —для ускорения протонов и дейтронов вф = 0,04-0,5. Третий класс структур рассчитан на ускорение электронов и протонов с относительной фазовой скоростью вф = 0,4-1. С точки зрения МЭС эти классы не имеют различий, за исключением характера связи. Если в структурах с большой фазовой скоростью, где коэффициент связи между ячейками относительно мал, связь ячеек как правило имеет превалирующий ёмкостной или индуктивных характер, то в структурах с малой фазовой скоростью связь практически всегда является комбинированной. В последнее время предпринимаются попытки увеличения связи ячеек УС с большой фазовой скоростью [45].

В данной работе будут рассмотрены ЭС УС с большой фазовой скоростью, предназначенных для ускорителей. Вследствие рассмотрения задачи в общем виде, полученные выражения можно использовать и для других типов УС.

1.2. Распределение электрического поля в секции

На рис. 1.3а изображена секция, состоящая из N связанных резонаторов [30]. В общем виде каждая ячейка имеет комбинированную связь с другими ячейками. Для УС линейных ускорителей электронов (ЛУЭ) часто хорошим приближением является наличие связи либо по электрическому, либо по магнитному

© © © ©

е е е 0

полю только между соседними ячейками. ЭС каждой ячейки секции, корме первой и последней, представлена на рис. 1.3б.

Е Н

оеоеомофоео

—► <--><-->\ \—--х-->

^ ©! ©! © ^

^ ©! ©! © ^

а) УС из N ячеек б) ЭС одной из ячеек

Рис. 1.3 — Ячейки УС

ЭС каждой ячейки представляет собой RLC контур с собственными ёмкостью С, индуктивностью Ь и сопротивлением Я. При наличии подключённых к ячейке УВМ или поглощающей нагрузки, их учёт производится путём добавления в схему источника напряжения иг с волновым сопротивлением Яг или сопротивления Ян соответственно. Пролетающий по оси секции пучок представляется в виде дополнительного источника напряжения ип.

Связь соседних ячеек между собой представлена в виде ёмкостей связи С и индуктивностей связи Ы^. Для учёта связи между ячейками через одну, через две и т.д. можно добавить дополнительные элементы связи. В данной главе вывод выражений будет представлен в общем виде, при связи каждой ячейки с каждой; упрощения модели будут упоминаться отдельно.

Применив метод контурных токов для схемы, представленной на рис. 1.3б, можно записать уравнение

N . п= 1 ^

3 шС,

1 ^ 1п + (я + Ян + Яг + 3шЬ + I = и + ип. (1.3)

Данное уравнение содержит в себе радиотехнические параметры схемы. Для дальнейшего анализа требуется исключить все радиотехнические параметры, заменив их электродинамическими. Этот переход производится при помощи выражений, приведённых ниже [18].

Введём параметр суммарной эквивалентной ёмкости ячейки с учётом ёмко-

стей связи с остальными ячейками

С£ =

N

С-1 + £ С

-1

п

п=1

1

(1.4)

Собственные резонансная частота и добротность контура определяются выражениями

ш°=тт; (1-5а)

^ -оТ 1 1 ГТ

Яо == -¡^Я = н\1о; ■ (1'5б)

Напряжение от генератора мощностью Рг и выходным сопротивлением Яг можно найти из выражения

И = У/8ЙГРТ. (1.6)

Коэффициенты связи секции с генератором и нагрузкой можно записать в виде

Яг Ян ... „ч

Хг = в; Хн = (1-7)

где Яг и Ян — выходное сопротивление генератора и входное сопротивление нагрузки соответственно. Я — омические потери в ячейке секции [36].

Коэффициенты связи по электрическому и магнитному полям определяются в виде

КЕ = р VС£ тС£п ; кН = р Мт;п (1 о)

рт;п V ТтТп

где Ст;п и Мт;п — ёмкость и индуктивность связи между ячейками т и п соответственно. Отметим, что приведённое выражение для коэффициента связи по электрическому полю верно только при условии превалирования собственной ёмкости ячейки над ёмкостями связи р ^ С [40].

Запишем преобразованное при помощи выражений (1.5) — (1.8) уравнение (1.3) в виде

N

(«Е + аН) ХХп + а0Х = Ьг + Ьп. (1.9)

п=1

Это выражение можно записать в двух представлениях. Представление с комплексной амплитудой ячеек, выраженной через ёмкость ячеек

XXС = тЬ, (1.10)

будем называть ёмкостным представлением; представление с комплексной амплитудой ячеек, выраженной через индуктивность ячеек

-ь

XXь = /\/Т, (1.11)

будем называть индуктивным представлением.

В случае ёмкостного представления компоненты уравнения (1.9) преобразуются к виду

/2 / 1

ао = 1 + 3тп (1 + Хг + Хн); (1.12а)

/о /0 Ч

аЕ = - ^; аН = - /; (1.12б)

Ьг = 3 4Д//Ч ехр(з ф), (1.12в)

в случае индуктивного представления — к виду

/2 3 /Ч

ао = 1 - ^ - У-- (1 + Хг + Хн); (1.13а)

аН = КН; аЕ = КЕ /; (1.13б)

Ьг = -3у/^ ехр (3ф). (1.13в)

Для ёмкостного представления можно записать отношение шунтового сопротивления резонатора к добротности в виде [16]

Яш_ и2 _ 2С^

~Ч = Щж = шоС2, для индуктивного представления — в виде

Яш и2 2 (1.15)

(1.14)

Ч шоЖ шоЬ

С использованием (1.12) и (1.14) для ёмкостного представления и (1.13) и (1.15) для индуктивного представления можно записать выражение связи комплексных амплитуд X с амплитудами ускоряющего электрического поля и в ячейках

ТТ А1 I1 /о Яш лтС 1п/24 лтЬ (116)

и = -3 ^ п /2 ~ЧХ =3 2У /ЯШх- (1Л6)

Систему уравнений, описывающую всю ускоряющую секцию, можно представить в матричной форме

[А][х] = [Ь]. (1.17)

Здесь матрица [Л] характеризует параметры секции. Диагональные элементы матрицы ai;i описывают отдельно взятые ячейки секции и их связь с подводящим генератором или поглощающей нагрузкой; связь между ячейками г и ] определяется элементами а^ ,г = ]; вектор [Ь] характеризует вынуждающие воздействия на устройство: ввод мощности и нагрузку током.

Для секций с большой фазовой скоростью и учётом связи только между соседними ячейками матрица [Л] будет трёхдиагональной. Для решения такой системы уравнений можно воспользоваться аналитической рекурсивной формулой нахождения обратной матрицы [46]

Используя численные методы решения СЛАУ, можно найти вектор [±] без введения дополнительных ограничений на вид матрицы [Л] [47].

Слагаемое Ьп в формуле (1.9) характеризует влияние пространственного заряда пучков заряженных частиц, проходящих через резонатор. Его можно представить в виде эквивалентного источника тока с использованием следующих приближений [33]:

- при похождении ячейки скорость частиц меняется незначительно;

- частота прохождения сгустков кратна частоте поля в резонаторе;

- частицы в сгустках имеют нормальное пространственное распределение;

- волны высших типов имеют незначительное влияние на частицы. Тогда импульсный ток пучка заряженных частиц можно представить в виде независимого источника переменного тока величиной 1п « гп/2 [15].

Перейти от эквивалентного источника тока и источнику напряжения можно, рассмотрев ЭС возбуждаемого проходящими пучками заряженных частиц резонатора в двух представлениях: последовательном и параллельном (рис. 1.4) [17]. Для

где итерационные коэффициенты вычисляются по формулам

е,

?

ф,+1

ео = 1, е1 = а1, е, = а,е,_1 — ь^с^е^;

фп+1 = 1, фп = ап, ф = агфг+1 _ Ьгсгфг+2.

п

ь

я

с

I

ип

ь

(С

я

а) Последовательная схема б) Параллельная схема

Рис. 1.4 — Эквивалентная схема ячейки с нагрузкой пучком

рассматриваемого резонатора можно записать систему уравнений

я + 3 2п/ь + /) 1 = иип; 5 + ¿2/ + 32п1р) и = 1п.

(1.18)

Мощность, выделяемая на сопротивлении Я, определяется формулой [40]

Р =

И2 2Я ■

Сопоставив её с определением шунтового сопротивления резонатора [36]

и2

Яш = р

легко найти связь сопротивления параллельного контура и шунтового сопротивления резонатора [15]

Яш = 2Я. (1.19)

После преобразований системы (1.18) с использованием выражений (1.5) — (1.8) получим

X _ /2Х+ 3и* = 3ипЛ//Р;

2п

/с с

/оР'

XX _ XX + 3 ¿4 XX = эи рЛ/ ^

/о

/о С

2пр

(1.20)

/о

где р и р — характеристические сопротивления последовательного и параллельного контуров соответственно; XX = /л/Т и XX = ил/С — характеристики запасённой энергии в контурах. В силу того, что обе схемы на рис. 1.4 описывают один и тот же резонатор, собственные частоты, добротности и запасённые энергии обеих схем должны быть равны:

/ = /; < = <; XX = XX.

Тогда равны левые части уравнений системы (1.20). Следовательно, равны и правые части, и можно найти связь напряжения эквивалентного источника ип и импульсного тока пучка 1п

ип = 1п\/рр. (1.21)

После подстановки (1.21) в (1.3) можно записать выражение учёта нагрузки пучком формулы (1.9) для ёмкостного представления в виде

=

1/п

'п/оД

ш

я

Щ ехр И

п

ф + 2 ]

(1.22)

и для индуктивного представления в виде

= ехР (1

фп

п

2.

(1.23)

В обоих выражениях фп — фаза пролёта пучком резонатора в лабораторной системе отчёта.

1.3. Дисперсионная характеристика секции

Для бесконечной секции, состоящей из одинаковых ячеек, можно определить дисперсионную характеристику — зависимость фазовой скорости распространяющейся в секции волны от частоты [48]. Дисперсия может быть как положительная, так и отрицательная. При положительной дисперсии направления фазовой и групповой скоростей сонаправлены, при отрицательной — противоположны.

Для бесконечной однородной секции параметры ячеек одинаковы /1, /2,... = /о; КЕЕ, К2Е,... = КЕ; КН, К2Н,... = Кн. Кроме того, пренебрежём потерями в ячейках Я1, Я2,... = то. Тогда выражение (1.9) при ёмкостном представлении преобразуется к виду

/ /2 \ М / КЕ КН /2 \

Хо(1 - /) - §(КГ + -г/) Х = 0' (124)

при индуктивном представлении — к виду

Хо (1 - /) + £ (КН + КГ/) Хп = 0. (1.25)

В силу однородности секции, набег фазы на ячейку будет постоянен и равен

Хп = Хо ехр (?пф). (1.26)

После подстановки выражения (1.26) в (1.24) и (1.25) для обоих представлений получится одинаковое выражение

f = 1 -ЕN=i KE cos (ПФ) (127)

/о Vl^ N=1 KH cos (™ф)'

где N — количество учтённых коэффициентов связи между ячейками.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Мациевский Сергей Викторович, 2021 год

Список литературы

1. Шведунов, В. И. Новое поколение ускорителей электронов НИИЯФ МГУ [Текст] / В. И. Шведунов. — 05.2013. — презентация.

2. Барбье, М. Наведённая радиоактивность в ускорителях [Текст] / М. Бар-бье // Труды международной конференции по ускорителям (Дубна, 1963). — М.: Атомиздат, 1964. — С. 1005.

3. Status of R&D on new superconducting injector linac for Nuclotron - NICA [Text] / G. V. Trubnikov [et al.] // Proc. of IPAC'17 (Copenhagen, Denmark). — Geneva : JACoW, 05/2017. — P. 3282—3285. — URL: http://jacow.org/ ipac2017/papers/wepva014.pdf.

4. CST Studio [Electronic Resource]. — 2019. — URL: https://www.cst.com/.

5. Crandall, K. R. Parmela: Phase and Radial Motion in Electron Linear Accelerators [Electronic Resource] / K. R. Crandall, K. Crandall. — 2019. — URL: https://www.laacg.lanl.gov/laacg/services/serv_access.phtml.

6. Spadtke, P. KOBRA3 - three dimensional raytracing including space-charge effects [Текст] / P. Spadtke // IEEE Trans. Nucl. Sci. — 1985. — Окт. — Т. NS—32:5.

7. Floettmann, K. ASTRA: A Space Charge Tracking Algorithm [Electronic Resource] / K. Floettmann. — 03/2017. — URL: https://www.laacg.lanl.gov/laacg/ services/serv_access.phtml.

8. Kutsaev, S. V. Electron dynamics simulations with Hellweg 2D code [Text] / S. V. Kutsaev // Nuclear Instruments and Methods in Physics Research Section A: Accelerators, Spectrometers, Detectors and Associated Equipment. — 2010. — Vol. 618, no. 1. — P. 298—305. — URL: http://www.sciencedirect.com/science/ article/pii/S0168900210003141.

9. Bondarenko, T. V. Beamdulac-Bl code for 3D simulation of electron beam dynamics taking into account beam loading and coulomb field [Text] / T. V. Bondarenko, E. S. Masunov, S. M. Polozov // Problems of atomic science and technology. — 2013. — Dec. — Vol. 6(88). — P. 114.

10. Holsinger, R. F. SUPERFISH - a computer program for evaluation of RF cavities with cylindrical symmetry [Electronic Resource] / R. F. Holsinger, K. Halbach. — 2019. — URL: https://laacg.lanl.gov/laacg/services/download_sf.phtml.

11. COMSOL Multiphysics [Electronic Resource]. — 2019. — URL: https://www. comsol.com/.

12. Ansys [Electronic Resource]. — 2019. — URL: https://www.ansys.com/.

13. OperaFEA [Electronic Resource]. — 2019. — URL: https://www.operafea.com/.

14. GdfidL [Electronic Resource]. — 2019. — URL: http://www.gdfidl.de/.

15. Wilson, P. V. High energy electron linacs: applications to storage ring RF systems and linear colliders [Text] / P. V. Wilson ; SLAC. — Accelerator Center, SLAC, 2575 Sand Hill Rd., Menlo Park, CA 94025, USA, 11/1991. — URL: https:// www.slac.stanford.edu/pubs/slacpubs/2750/slac-pub-2884.pdf.

16. Калюжный, В. Е. Ускоряющие системы с бегущей и стоячей волной для коллайдеров [Текст] : дис. ... д-ра тех. наук : 01.04.20 / Калюжный Валентин Егорович. — М. : МИФИ, 2006. — 305 с.

17. Степнов, В. В. Расчёт характеристик линейного ускорителя электронов со стоячей волной на основе модели связанных контуров [Текст]: дис.... канд. тех. наук: 01.04.20 / Степнов Владимир Викторович. — М.: МИФИ, 1983. — 191 с.

18. Анализ и оптимизация узлов высокочастотных секций линейных ускорителей и дефлекторов заряженных частиц с помощью эквивалентной схемы [Текст] / В. Е. Калюжный [и др.] // Журнал технической физики. — СПб., 2014. — Сент. — Т. 84, № 7. — С. 101—109.

19. Flottmann, K. Comparison of standing and traveling wave operations for a positron pre-accelerator in the TESLA linear collider [Text] / K. Flottmann, V. A. Moiseev, V. V. Paramonov // Proc. of EPAC'00 (Vienna, Austria). — JA-CoW. Geneva : JACoW, 01/2000. — URL: https://accelconf.web.cern.ch/ accelconf/e00/PAPERS/THP4B01.pdf.

20. Design of hybrid electron linac with standing wave buncher and traveling wave structure [Text] / S. V. Kutsaev, N. P. Sobenin, [et al.] // Nuclear Instruments and Methods in Physics Research: Section A: Accelerators, Spectrometers, Detectors and Associated Equipment. — 2011. — Vol. 636, no. 1. — P. 13—30. — URL: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0168900211001252.

21. Pei, S. Studies on the S-band bunching system with the hybrid accelerating structure [Text] / S. Pei, B. Gao // Proc. of SAP'17 (Jishou, China). — Geneva : JACoW, 02/2018. — P. 79—82. — URL: http://jacow.org/sap2017/papers/ moph23.pdf.

22. Бойко, В. А. Формирование пикосекундных импульсов тока пучка электронов на волноводных ускорителях [Текст] / В. А. Бойко, Р. М. Воронков, Ю. С. Павлов // Вопросы атомной науки и техники. — Харьков, 1983. — Т. 15, № 3. — С. 57—59. — (Техника физического эксперимента).

23. Мощный линейный ускоритель для нейтронной спектроскопии [Текст] / Ю. С. Павлов [и др.] // Вопросы атомной науки и техники. — Харьков, 1985. — Т. 23, № 2. — С. 3—5. — (Техника физического эксперимента).

24. Ускоряющая структура линейного ускорителя электронов УЭЛВ-10/5-15С [Текст] / Ю. В. Зуев [и др.]. — М., 2001. — 23 с.

25. Павлов, Ю. С. Формирование пикосекундных электронных пучков для радиационно-химических и физических исследований [Текст] : дис. ... д-ра тех. наук : 01.04.20 / Павлов Юрий Сергеевич. — М. : МИФИ, 2006. — 303 с.

26. Delayen, J. RF superconductivity: physics, technology and applications [Text]: Couplers / J. Delayen. — 2015. — USPAS.

27. LinacCalc / С. В. Мациевский // Программы для ЭВМ. Базы данных. Топологии интегральных микросхем. Официальный бюллетень. — ФИПС, М., 2018. — 20 нояб. — № 2018664631.

28. Калюжный, В. Е. Анализ ускоряющих структур на основе круглого диафрагмированного волновода с помощью эквивалентной схемы [Текст] / В. Е. Калюжный // Инженерная физика. — М., 2006. — № 3. — С. 27—37.

29. Калюжный, В. Е. Анализ переходного процесса и установившегося режима в многоячеечных ускоряющих секциях с электрической и магнитной связью между ячейками [Текст] / В. Е. Калюжный, О. В. Калюжный // Инженерная физика. — М., 2008. — № 3. — С. 46—59.

30. Knapp, E. A. Standing wave high energy linear accelerator structures [Text] / E. A. Knapp, B. C. Knapp, J. M. Potter // The Review of Scientific Instruments. — 1968. — July. — Vol. 39, no. 7. — P. 979—991.

31. Kinayman, N. Modern microwave circuits [Text] / N. Kinayman. — Boston, Mass : Artech House, 2005.

32. Заворотыло, В. Н. Возбуждение высокочастотных колебаний и ускорение частиц в линейных ускорителях электронов со стоячей волной [Текст] : дис.... канд. тех. наук: 05.09.04 / Заворотыло Вячеслав Николаевич. — М.: МИФИ, 1979. — 208 с.

33. Padamsee, H. RF superconductivity for accelerators [Text] / H. Padamsee, J. Knobloch, T. Hays. — Weinheim : Wiley-VCH, 2008.

34. Sobenin, N. P. Electrodynamic characteristics of accelerating cavities [Text] : trans. from the Russian by / N. P. Sobenin, B. V. Zverev. — London, UK : CRC Press, 1999. — 288 p.

35. Beringer, R. Resonant cavities as microwave circuit elements [Text] / R. Beringer // Principles of microwave circuits / red. by C. G. Montgomery, R. H. Dicke, E. M. Purcell. — McGraw-Hill Book Company, 1948. — Chap. 7. P. 207—239.

36. Собенин, Н. П. Техника сверхвысоких частот [Текст] / Н. П. Собенин, О. С. Милованов. — 2-е изд. — М.: Энергоатомиздат, 2007. — 545 с.

37. Humphries, S. Principles of charged particle acceleration [Text] / S. Humphries. — Mineola, N.Y : Dover Publications, 2012.

38. Beringer, R. Resonant cavities as microwave circuit elements [Text] / R. Beringer // Principles of microwave circuits / ed. by C. G. Montgomery ; ed. by R. H. Dicke ; ed. by E. M. Purcell. — 1st ed. — McGraw-Hill, 1948. — Chap. 7. P. 207—277.

39. Каминский, В. И. Высокочастотные системы и каналы резонансных ускорителей [Текст] : дис. ... д-ра тех. наук : 01.04.20 / Каминский Владимир Ильич. — М. : МИФИ, 1999. — 280 с.

40. Атабеков, Г. И. Основы теории цепей [Текст] / Г. И. Атабеков. — 1-е изд. — М.: Энергия, 1969. — 424 с.

41. Каминский, В. И. Ускоряющие структуры [Текст] / В. И. Каминский, Н. П. Собенин, М. В. Лалаян. — М., 2005. — 294 с.

42. Wangler, T. P. RF linear accelerators [Text] / T. P. Wangler. — 2nd ed. — Weinheim : Wiley-VCH, 2008.

43. Equivalent scheme and parameters of disc loaded waveguide at dipole mode [Text] / V. E. Kaljuzhny [et al.] // Proc. of EPAC'96 (Barcelona, Spain). — JA-CoW. Geneva : JACoW, 06/1996. — URL: https://accelconf.web.cern.ch/ AccelConf/e96/PAPERS/WEPL/WEP076L.PDF.

44. Собенин, Н. П. Высшие типы волн в элементах ускоряющих структур [Текст] / Н. П. Собенин, В. И. Каминский, В. А. Сенюков; под ред. Т. В. Вол-венковой. — М.: МИФИ, 2002. — 104 с.

45. Biperiodic accelerating structure with inner coupling cells with an increased coupling coefficient [Text] / N. P. Sobenin, E. A. Savin, [et al.] // Proc. of RU-PAC'12 (Vienna, Austria). — JACoW. Geneva: JACoW, 09/2012. — URL: https: //accelconf.web.cern.ch/AccelConf/rupac2012/papers/weppc008.pdf.

46. Usmani, R. A. Inversion of a tridiagonal Jacobi matrix [Text] / R. A. Usmani // Linear Algebra and its Applications. — 1994. — Vol. 212/213. — P. 413—414. — URL: http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0024379594904146.

47. LAPACK users' guide [Text] / E. Anderson [et al.]. — 3rd ed. — 08/1999. — URL: http://www.netlib.org/lapack/lug/.

48. Диафрагмированные волноводы [Текст] : Справочник / О. А. Вальднер, Н. П. Собенин, Б. В. Зверев, И. С. Щедрин. — 3-е изд. — М. : Энергоатом-издат, 1991. — 280 с.

49. Альтман, Дж. Л. Устройства сверхвысоких частот [Текст] / Дж. Л. Альтман ; пер. с англ., под ред. И. В. Лебедев. — М.: Мир, 1968. — 487 с.

50. Fonseca, C. M. da. Explicit inverses of some tridiagonal matrices [Text] / C. M. da Fonseca, J. Petronilho // Linear Algebra and its Applications. — 2001. — Vol. 325, no. 1. — P. 7—21. — URL: http://www.sciencedirect.com/science/ article/pii/S0024379500002895.

51. mpmath: a Python library for arbitrary-precision floating-point arithmetic [Electronic Resource] / F. Johansson [et al.]. — 01/2013. — URL: http://mpmath.org/.

52. Cohen, A. M. Numerical methods for Laplace transform inversion [Text] / A. M. Cohen. — New York, N.Y : Springer, 2007. — URL: https://link.springer. com/content/pdf/bfm%5C%3A978-0-387-68855-8/1.pdf.

53. Matsievskiy, S. V. Simulation of the transitional process in accelerating sections by equivalent circuit method [Text] / S. V. Matsievskiy, V. I. Kaminskiy, Ya. V. Shashkov // Proc. of LINAC'18 (Beijing, China). — Geneva : JACoW Publishing, 08/2018. — P. 145—147. — URL: http://jacow.org/linac2018/papers/ mopo066.pdf.

54. Soetaert, K. deSolve: general solvers for initial value problems of ordinary differential equations (ODE), partial differential equations (PDE), differential algebraic equations (DAE) and delay differential equations (DDE) [Text] / K. Soetaert, T. Petzoldt, R. W. Setzer. — 2016. — URL: http://cran.r-project.org/ web/packages/deSolve/deSolve.pdf ; R package version 1.13.

55. Soetaert, K. Solving differential equations in R: package deSolve [Text] / K. Soetaert, T. Petzoldt, R. W. Setzer // Journal of Statistical Software. — 2010. — Vol. 33, no. 9. — P. 1—25. — URL: http://www.jstatsoft.org/v33/i09.

56. Силаев, М. А. Приложение матриц и графов к анализу СВЧ устройств [Текст] / М. А. Силаев, С. Ф. Брянцев. — М. : Советское радио, 1970. — 248 с.

57. Miano, G. Transmission lines and lumped circuits [Text] / G. Miano. — San Diego : Academic Press, 2001.

58. Marcuvitz, N. Waveguide handbook [Text] / N. Marcuvitz. — New York : McGraw-Hill, 1951. — 423 p.

59. Калюжный, В. Е. Радиочастотные характеристики сложных многорезонансных электродинамических систем ускорителей заряженных частиц [Текст] / В. Е. Калюжный // Ядерная физика и инжиниринг. — М., 2011. — Т. 2, № 1. — С. 80—88.

60. Викулов, В. Ф. Исследование высокочастотных характеристик ускоряющих секций с бегущей волной на основе резонаторной модели [Текст] / В. Ф. Викулов, В. Е. Калюжный // Журнал технической физики. — 1982. — Т. 52, № 11. — С. 2168—2176.

61. Лебедев, А. Н. Основы физики и техники ускорителей [Текст] / А. Н. Лебедев, А. В. Шальнов. — 2-е изд. — М.: Энергоатомиздат, 1991. — 528 с.

62. Padamsee, H. Design topics for superconducting RF cavities and accelerators [Text] / H. Padamsee. — Cornell University, New York.

63. Nagle, D. E. Coupled resonator model for standing wave accelerator tanks [Text] / D. E. Nagle, E. A. Knapp, B. C. Knapp // The Review of Scientific Instruments. — 1967. — Nov. — Vol. 38, no. 11. — P. 1583—1587.

64. Уилкинсон, Дж. Х. Алгебраическая проблема собственных значений [Текст] / Дж. Х. Уилкинсон ; под ред. И. М. Овчинникова, Г. С. Росляков ; пер. с англ. В. В. Воеводин, В. Н. Фадеева. — М. : Наука, 1970. — 564 с.

65. Numerical methods [Electronic Resource]. — 2019. — URL: http://www. numerical-methods.com/.

66. Davidson, D. Computational electromagnetics for RF and microwave engineering [Text] / D. Davidson. — Cambridge New York: Cambridge University Press, 2011.

67. Rumpf, R. C. Engineering the dispersion and anisotropy of periodic electromagnetic structures [Text] / R. C. Rumpf // Solid State Physics. Vol. 66 / ed. by R. E. Camley, R. L. Stamps. — Academic Press, 2015. — Chap. 3. P. 213—300. — (Solid State Physics). — URL: http://www.sciencedirect.com/science/article/ pii/S008119471500003X.

68. The optimization of RF deflector input power coupler [Text] / A. Smirnov [et al.] // Proc. of LINAC'12 (Tel-Aviv, Israel). — Geneva : JACoW Publishing, 09/2012. — P. 528—530. — URL: http://jacow.org/LINAC2012/papers/ tupb023.pdf.

69. Jin, J.-M. Theory and computation of electromagnetic fields [Text] / J.-M. Jin. — Hoboken, N.J : Wiley, 2010. — P. 616.

70. team, R. core. R: a language and environment for statistical computing [Electronic Resource] / R. core team ; R Foundation for Statistical Computing. — Vienna, Austria, 2018. — URL: https://www.R-project.org/.

71. Wickham, H. Advanced R [Text] / H. Wickham. — Boca Raton, FL : CRC Press, 2015.

72. Shiny: web application framework for R [Electronic Resource] / W. Chang [et al.]. — 2018. — URL: https://CRAN.R-project.org/package=shiny.

73. Tierney, L. A byte code compiler for R [Text] / L. Tierney; Department of Statistics and Actuarial Science University of Iowa. — 01/2019.

74. Magnetic coupled disk-loaded waveguide [Text] / N. P. Sobenin [et al.] // Proc. of RuPAC'10 (Protvino). — Geneva : JACoW Publishing, 09/2010. — P. 319—321. — URL: http://jacow.org/r10/papers/thpsc001.pdf.

75. Compact standing wave electron linac with the hybrid accelerating and power generation cell [Text] / S. V. Matsievskiy [et al.] // Proc. of IPAC'16 (Busan, Korea). — Geneva : JACoW, 07/2016. — P. 1797—1799. — URL: http://jacow. org/ipac2016/papers/tupow024.pdf.

76. Layout of the PITZ transverse deflecting system for longitudinal phase space and slice emittance [Text] / A. Anisimov [et al.] // Proc. of LINAC'10 (Tsukuba, Japan). — Geneva : JACoW Publishing, 09/2010. — P. 416—418. — URL: http: //jacow.org/LINAC2010/papers/tup011.pdf.

77. Савин, Е. А. Разработка ускоряющих структур линейных ускорителей прикладного назначения [Текст] : дис. ... канд. тех. наук : 01.04.20 / Савин Евгений Александрович. — М.: МИФИ, 2017. — 166 с.

78. Методика измерений и настройки ускоряющих секций [Текст] / В. И. Шве-дунов [и др.] // Приборы и техника эксперимента. — 2008. — Вып. 4. — С. 71—79.

79. Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика [Текст] / В. Е. Гмурман. — 9-е изд. — М.: Высшая школа, 2003. — 479 с.

80. Inexpensive brazeless accelerator prototype [Text] / S. P. Antipov [et al.] // Proc. of IPAC'18 (Vancouver, Canada). — Geneva : JACoW Publishing, 06/2018. — P. 2528—2530. — URL: http://jacow.org/ipac2018/papers/wepmf068.pdf.

81. Tang, Zh. X. Preliminary physics design of a linac with the variable energy for industrial applications [Text] / Zh. X. Tang, L. Wang, D. R. Xu // Proc. of IPAC'18 (Vancouver, Canada). — Geneva : JACoW Publishing, 06/2018. — P. 530—532. — URL: http://jacow.org/ipac2018/papers/mopml055.pdf.

82. Kutsaev, S. V. Hybrid electron linac based on magnetic coupled accelerating structure [Text] / S. V. Kutsaev, K. I. Nikolskiy, N. P. Sobenin // Proc. of PAC'11 (New York, USA). — JACoW, 2011. — P. 2136—2138. — URL: http://jacow. org/PAC2011/papers/thp001.pdf.

83. Анализ высокочастотных дефлекторов на бегущей и стоячей волнах [Текст] / С. В. Мациевский, А. Ю. Смирнов [и др.] // Вестник национального исследовательского ядерного университета МИФИ. — М., 2014. — Т. 3, № 1. — С. 78—84. — URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=21136675.

84. UTEP EMLab lectures [Electronic Resource]. — 2019. — URL: http://emlab. utep.edu/academics.htm.

85. Shvedunov, V Low energy electron accelerators application [Text] / V. Shve-dunov. — 2011. — presentation.

86. Miller, R. H. Comparison of standing-wave and traveling-wave structures [Text] / R. H. Miller // Proc. of LINAC'86 (Stanford, USA). — JACoW. Geneva: JACoW, 06/1986. — P. 200—205. — URL: https://www.slac.stanford.edu/pubs/ slacpubs/3750/slac-pub-3935.pdf.

87. Shoffstall, D. R. On the relative merits of travelling-wave and resonant operation of linacs [Text] / D. R. Shoffstall, W. J. Gallagher // Proc. of PAC85 (Vancouver, Canada). — JACoW. Geneva : JACoW, 05/1985. — P. 3169—3171. — URL: https://accelconf.web.cern.ch/AccelConf/p85/PDF/PAC1985_3169.PDF.

88. Gao, B. Design studies on an S-band hybrid accelerating structure [Text] / B. Gao, Y. L. Chi, S. Pei// Proc. of SAP'17 (Jishou, China). — Geneva: JACoW, 02/2018. — P. 92—95. — URL: http://jacow.org/sap2017/papers/moph27.pdf.

89. Beam dynamics and RF cavity design of a standing/traveling-wave hybrid pho-toinjector for high brightness beam generation [Text] / A. Fukasawa [et al.] // Proc. of PAC09 (Vancouver, Canada). — JACoW. Geneva : JACoW, 05/2009. — URL: https://accelconf.web.cern.ch/AccelConf/PAC2009/papers/fr5pfp056. pdf.

90. C-band magnetic coupled accelerating structure optimization [Text] / N. P. Sobenin [et al.] // Proc. of LINAC'10 (Tsukuba, Japan). — JACoW, 2010. — P. 202—204. — URL: http://jacow.org/LINAC2010/papers/mop065.pdf.

91. Jin, K. X-band travelling wave accelerating section R&D for HTF [Text] / K. Jin // Proc. of LINAC'16 (East Lansing, USA). — Geneva : JACoW, 09/2017. — P. 152—154. — URL: http://jacow.org/linac2016/papers/moplr009. pdf.

92. Optimized design for a compact linac with collinear absorbing loads at the Hust FEL-THz [Text] / J. Jiang [et al.] // Proc. of LINAC'18 (Beijing, China). — Geneva : JACoW Publishing, 01/2019. — P. 242—245. — URL: http://jacow. org/linac2018/papers/mopo118.pdf.

93. Canon Electron Tubes & Devices Product Catalog [Electronic Resource]. — 2019. — URL: https://etd.canon/en/product/category/microwave/klystron.html.

94. Половков, И. П. Стабилизация частоты генераторов СВЧ внешним объёмным резонатором [Текст] / И. П. Половков ; под ред. Э. М. Горелик. — М. : Советское радио, 1999. — 192 с.

95. Vertical test system for superconducting RF cavities at Peking university [Text] / D. Zhou [et al.] // Proc. of SRF'17 (Lanzhou, China). — Geneva : JACoW, 01/2018. — P. 631—634. — URL: http://jacow.org/srf2017/papers/tupb099.pdf.

96. Лебедев, И. В. Техника и приборы СВЧ [Текст]. Т. 1 / И. В. Лебедев; под ред. Н. Д. Девятков. — 2-е изд. — М.: Высшая школа, 1970. — 440 с.

97. Matsievskiy, S. V. Traveling wave accelerating structure power input calculation with equivalent circuit method [Text] / S. V. Matsievskiy, V. I. Kaminskiy // Proc. of LINAC'16 (East Lansing, USA). — Geneva : JACoW, 05/2017. — P. 864—866. — URL: http://jacow.org/linac2016/papers/thplr011.pdf.

98. Industrial radiation processing with electron beams and X-rays [Text] : report / V. L. Auslender [et al.]; International Atomic Energy Agency. — 2011.

99. Chuanxiang, T. Electron linacs for cargo inspection and other industrial applications [Text] / T. Chuanxiang, C. Huaibi, L. Yaohong // International Topical Meeting on Nuclear Research Applications and Utilization of Accelerators (Vienna, Austria). — 05/2009. — URL: https : / / www - pub . iaea. org / MTCD / publications/PDF/P1433_CD/datasets/presentations/SM-EB-28.pdf.

100. Accelerator simulation and theoretical modelling of radiation effects in structural materials [Text]. — Vienna : International Atomic Energy Agency, 2018. — (Nuclear Energy Series ; NF-T—2.2). — URL: https://www.iaea.org/publications/ 10871/ accelerator - simulation - and - theoretical - modelling - of - radiation - effects -in-structural-materials.

101. Electron beam guns for high energy electron accelerators: an overview [Text] / M. Iqbal [et al.] // Journal of Modern Physics. — 2013. — P. 1536—1539.

102. Райзер, Ю. П. Физика газового разряда [Текст] / Ю. П. Райзер. — М.: Наука,

1987. — 592 с.

103. Electron accelerators design and construction at Lomonosov Moscow State University [Текст] / V. I. Shvedunov [и др.] // Radiation Physics and Chemistry. — 2019. — Т. 159. — С. 95—100. — URL: http://www.sciencedirect. com/science/article/pii/S0969806X18309423.

104. Joho, W. Representation of beam ellipses for transport calculations [Text] / W. Joho ; The Swiss Institute for Nuclear Research SIN. — 1980. — 31 p.

105. Matsievskiy, S. V. Three electrode electron gun with the decreased anode voltage geometry optimization [Text] / S. V. Matsievskiy, E. A. Savin // Proc. of RuPAC2014 (Obninsk). — Geneva : JACoW, 06/2016. — P. 45—47. — URL: http://jacow.org/ipac2016/papers/tupow022.pdf.

106. Herrmannsfeldt, B. EGUN:Electron Optics Simulations [Electronic Resource] /

B. Herrmannsfeldt. — 2019. — URL: http://egun-igun.com/.

107. Вальднер, О. А. Линейные ускорители [Текст] / О. А. Вальднер, А. Д. Власов, А. В. Шальнов ; под ред. В. К. Мелешко. — М. : Aтомиздат, 1969. — 249 с.

108. Масунов, Э. С. Эффекты нагрузки током в ускорителях заряженных частиц [Текст] / Э. С. Масунов ; под ред. Э. Я. Школьников. — М.: МИФИ, 1999. —

C. 111.

109. Electron beam dynamics calculation and accelerating structure geometry design in 10 MeV hybrid electron linac [Text] / S. V. Matsievskiy, E. A. Savin, [et al.] // Proc. of RuPAC'16 (St. Petersburg). — Geneva : JACoW, 02/2017. — P. 228—230. — URL: http://jacow.org/rupac2016/papers/tupsa009.pdf.

110. Hybrid electron linac with standing and travelling wave accelerating sections [Text] / S. V. Matsievskiy, E. A. Savin, [et al.] // Proc. of IPAC'16 (Busan, Korea). — Geneva : JACoW, 06/2016. — P. 1791—1793. — URL: http://jacow.org/ ipac2016/papers/tupow022.pdf.

111. Вальднер, О. А. Динамика электронов в линейных ускорителях [Текст] / О. А. Вальднер, А. А. Глазков ; под ред. Н. Н. Антонова. — М. : МИФИ,

1988. — С. 76.

112. Sokolov, I. D. Operating frequency and accelerating structure geometry chose for the hybrid trawelling wave electron linear accelerator [Text] /1. D. Sokolov, R. Yu. Alekhanov, E. A. Savin // Proc. of RuPAC'14 (Obninsk). — JACoW, 2014. — P. 42—44. — URL: http://jacow.org/rupac2014/papers/tupsa04.pdf.

113. Design of couplers for traveling wave RF structures using 3D electromagnetic codes in the frequency domain [Text] / D. Alesini [et al.] // Nuclear Instruments and Methods in Physics Research Section A: Accelerators, Spectrometers, Detectors and Associated Equipment. — 2007. — Vol. 580, no. 3. — P. 1176—1183. — URL: http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0168900207012983.

114. Calculation of beam dynamics in traveling-wave accelerators taking account of the current load [Text] / A. Voronkov [et al.] //Atomic Energy. — 2010. — Dec. — Vol. 109. — P. 106—112.

115. Investigation of the hybrid electron linac with negative group velocity [Text] / S. V. Matsievskiy, E. A. Savin, [et al.] // Journal of Physics: Conference Series. — Bristol, UK, 2016. — Vol. 747, no. 012078. — P. 1—4.

116. Combined generating-accelerating buncher for compact linear accelerators [Text] / S. V. Matsievskiy, E. A. Savin, N. P. Sobenin, [et al.] // Journal of Physics : Conference Series. — Bristol, UK, 2016. — Vol. 747, no. 012079. — P. 1—4.

117. KeysightTechnologies [Electronic Resource]. — 2019. — URL: https://keysight. com/.

118. Смирнов, А. Ю. Высокочастотные дефлекторы на бегущей волне для диагностики пучков заряженных частиц [Текст] : дис. ... канд. тех. наук : 01.04.20 / Смирнов Александр Юрьевич. — М. : МИФИ, 2014. — 179 с.

119. Wang, H. Bead-pulling measurement principle and technique used for the SRF cavities at JLab [Text] / H. Wang, J. Guo. — 2015. — USPAS.

120. GNU General Public License [Electronic Resource]. — Version 3. — Free Software Foundation, 06/29/2007. — URL: http://www.gnu.org/licenses/gpl.html.

121. Beadpull [Electronic Resource]. — Version 19.8. — 2019. — URL: https://pypi. org/project/beadpull/.

122. Debian [Electronic Resource]. — Version 10. — 2019. — URL: https://www. debian.org/.

123. Python [Electronic Resource]. — Version 3.7. — 2019. — URL: https://www. python.org/.

124. Linux GPIB [Electronic Resource]. — Version 4.2. — 2019. — URL: https:// linux-gpib.sourceforge.io/.

125. PyVISA [Electronic Resource]. — Version 1.10. — 2019. — URL: https://pypi. org/project/PyVISA/.

126. QT [Electronic Resource]. — Version 5. — 2019. — URL: https://www.qt.io/.

127. 325 MHz high power RF coupler for the CH-cavities of the FAIR p-LINAC [Text] / F. Maimone [et al.] // Proc. of IPAC'15 (Richmond, USA). — Geneva : JACoW, 06/2015. — P. 3712—3714. — URL: http://jacow.org/ipac2015/papers/ thpf014.pdf.

128. Coupler design for RISP spoke cavity [Text] / V. Zvyagintsev [et al.] // Proc. of RUPAC'18 (Protvino). — Geneva : JACoW Publishing, 11/2018. — P. 372—374. — URL: http://jacow.org/rupac2018/papers/wepsb47.pdf.

129. Power coupler and tuner development for superconducting quarter-wave resonators [Text] / J. Wlodarczak [et al.] // Proc. of LINAC'08 (Victoria, Canada). — Geneva : JACoW Publishing, 09/2008. — P. 1005—1007. — URL: http://jacow. org/LINAC08/papers/thp093.pdf.

130. Pronitchev, O. V. Design of main coupler for 650 MHz SC cavities of PIP-II project [Text] / O. V. Pronitchev, S. Kazakov // Proc. of NAPAC'16 (Chicago, USA). — Geneva : JACoW, 01/2017. — P. 121—123. — URL: https://jacow.org/ napac2016/papers/mopob24.pdf.

131. Power coupler development for ERL main linac in Japan [Text] / H. Sakai [et al.] // Proc. of IPAC'10 (Kyoto, Japan). — Geneva : JACoW Publishing, 05/2010. — P. 2953—2955. — URL: http://jacow.org/IPAC10/papers/wepec029. pdf.

132. Superconducting accelerating cavity pressure sensitivity analysis and stiffening [Text] / J. Rodnizki [et al.] // 27th Linear Accelerator Conference (LINAC'14) (Geneva). — JACoW. Geneva: JACoW, 09/2014. — P. 373—376. — URL: https: //accelconf.web.cern.ch/AccelConf/LINAC2014/papers/mopp134.pdf.

133. Low betta superconducting cavity for the new injector linac for Nuclotron -NICA [Text] / S. V. Matsievskiy [et al.] // Proc. of IPAC'17 (Copenhagen, Denmark). — Geneva : JACoW, 05/2017. — P. 1058—1060. — URL: http://jacow. org/ipac2017/papers/mopva087.pdf.

134. Low betta superconducting cavity for the new injector linac for Nuclotron -NICA [Text] / M. Gusarova [et al.] // Proc. of IPAC'17 (Copenhagen, Denmark). — Geneva : JACoW, 05/2017. — P. 1058—1060. — URL: http://jacow. org/ipac2017/papers/mopva087.pdf.

135. Selection of the type of accelerating structures for the second group of cavity SC linac Nuclotron - NICA [Text] / M. Gusarova [et al.] // Proc. of SRF'17 (Lanzhou, China). — Geneva : JACoW, 01/2018. — P. 125—127. — URL: http: //jacow.org/srf2017/papers/mopb034.pdf.

136. Development of the QWR power coupler for the NICAinjector [Text] / S. V. Matsievskiy, T. A. Lozeeva, [et al.] // Physics of Atomic Nuclei. — Moscow, 2018. — Nov. — Vol. 81, no. 11. — P. 1643—1645.

137. Input power coupler for NICA injector coaxial quater wave SC cavity [Text] / S. V. Matsievskiy, T. A. Bakhareva, [et al.] // Proc. of SRF'17 (Lanzhou, China). — Geneva : JACoW, 01/2018. — P. 61—63. — URL: http://jacow.org/ srf2017/papers/mopb008.pdf.

138. Matsievskiy, S. V. Input power coupler for NICA injector coaxial half wave SC cavity [Text] / S.V. Matsievskiy, M. A. Gusarova, M. V. Lalayan // Proc. of RU-PAC'18 (Protvino). — Geneva : JACoW Publishing, 11/2018. — P. 375—377. — URL: http://jacow.org/rupac2018/papers/wepsb48.pdf.

139. Liepe, M. Microphonics detuning in the 500 MHz superconducting CESR cavities [Text] / M. Liepe, S. Belomestnykh // Proc. of PAC 2003. — 05/2003. — URL: https: //www. classe. cornell. edu/public/SRF /2003/ SRF030512-10/ TPAB0551.pdf.

140. Operation of an SRF cavity tuner submerged into liquid He [Text] / Y. M. Pis-chalnikov [et al.] // Proc. SRF'19 (Dresden, Germany). — JACoW Publishing, Geneva, 08/2019. — P. 660—663. — URL: http://jacow.org/srf2019/papers/ tup085.pdf.

141. Pozar, D. Microwave engineering [Text] / D. Pozar. — Hoboken, NJ : Wiley, 2012.

142. Vacuum technology — Dimensions of non-knife edge flanges [Text] : Standard. — 2nd ed. — Geneva, CH, 01/2000. — 12 p.

143. Kurt J. Lesker [Electronic Resource]. — 2020. — URL: https://lesker.com.

144. Flashover on RF window of HWR SRF cavity [Text] / X. Liu [et al.] // Proc. SRF'19 (Dresden, Germany). — JACoW Publishing, Geneva, 08/2019. — P. 597—599. — URL: http://jacow.org/srf2019/papers/tup064.pdf.

145. Low-reflection RF window for ACS cavity in J-PARC linac [Text] / J. Tamura [et al.] // Proc. of IPAC'18 (Vancouver, Canada). — Geneva : JACoW Publishing, 06/2018. — P. 1051—1053. — URL: http://jacow.org/ipac2018/papers/tupal022. pdf.

146. Materials for cryogenic service: engineering properties of austenitic stainless steels [Text] / ed. by N. D. Institute. — 1974. — 50 p.

147. Brookhaven national laboratory selected cryogenic data notebook [Text] / Brookhaven national laboratory ; ed. by J. E. Jensen [et al.]. — 1980. — 841 p.

148. Simon, N. J. Properties of copper and copper alloys at cryogenic temperatures [Text] / N. J. Simon, E. S. Drexler, R. P. Reed. — 1992. — 869 p.

149. High current density copper-on-copper sliding electrical contacts at low sliding velocities [Text] / J. A. Bares [et al.] // Wear. — 2009. — Vol. 267, no. 1. — P. 417—424. — URL: http : // www. sciencedirect. com/ science/ article/pii/ S004316480900129X ; 17th International Conference on Wear of Materials.

150. Computational methods for analyzing electron multipacting in RF structures [Text] / E. Somersalo [et al.] // Particle Accelerators. — 01/1998. — P. 107—141. — [e-mail].

151. Evolution of 3D simulation multipactoring code MultP [Text] / M. Gusarova [et al.] // Problems of Atomic Science and Technology. — 2008. — Jan. — P. 123—126.

152. The first tests on vertical cryostat GERSEMI at FREIA facility [Text] / J. P. Ther-meau [et al.] // Proc. SRF'19 (Dresden, Germany). — JACoW Publishing, Geneva, 08/2019. — P. 921—924. — URL: http://jacow.org/srf2019/papers/ thp034.pdf.

Приложение А Код программы LinacCalc

В лист. А.1 приведены функции преобразования уравнений в код языка GNU R. В сочетании с лист. А.2 функции А.1 образуют метапрограммное ядро программы, позволяющее пользователю задавать уравнения в форме, близкой к математической записи, а также исследовать синтезированные для конкретного случая уравнения, упрощая отладку дополнений к программе.

Листинг А.1 Функции преобразования уравнений.

replace_macros <- function(string, excluded = c("f")) { string <- gsub(" ", "", string) for (i in excluded) { string <-

gsub(paste0("(?<![<>\\w\\d@$%\"'#])(", i,

")(?![>\\w\\d@$%\"'#])"), paste0(".(", i, ")"), string,

10 perl = TRUE,

fixed = FALSE)

}

string <- gsub("(@.+?>)", "(\\1)", 15 string,

perl = TRUE, fixed = FALSE) string <- gsub("#([A<>%$=]+)", "%#%(\\1)", 20 string,

perl = TRUE, fixed = FALSE) string <- gsub("(?<=@)([A\\s<>%$()=]+)", "\"\\1\"", 25 string,

perl = TRUE, fixed = FALSE) string <- gsub("\\s*(<)\\s*(.+?)\\s*(>)",

%(\\2)",

35

40

45

50

string, perl = TRUE, fixed = FALSE) string <- gsub("@", "cdata%$%", string) return(string)

}

replace_variables <- function(string, index, value, dotwrap = TRUE) { string <- gsub(" ", "", string) if (dotwrap) {

replacement <- paste0(".(\\1_", value, ")") } else {

replacement <- paste0("\\1_", value)

}

string <- gsub(paste0("(\\w+)", "\\{", index, "\\}"), replacement, string, perl = TRUE, fixed = FALSE)

return(string)

}

В лист. А.2 приведена функция упрощения абстрактного древа вызовов языка GNU R. Данный код позволяет обнаружить в уравнениях независимые от переменных выражения и заменить их результатом их вычисления. Таким образом сокращается количество арифметических действий, требующихся для вычисления уравнения в диапазоне значений переменных.

Листинг А.2 Функция упрощения абстрактного древа вызовов.

subbquote <- function(eq, envir = parent.frame()) { for (n in ls(envir, all.names = TRUE)) { assign(n, get(n, envir))

}

subst2 <- function(e, env = parent.frame()) { if (typeof(e) == "language") {

if (identical(e[[1]], as.name("."))) {

e[[2]] } else {

10 if (length(e) > 1) {

e[-1] <- lapply(as.list(e[-1]), function(x) {

subst2(x, env)

})

25

35

} e

}

} else {eval(e, envir = env)}

}

simplify <- function(e, env = parent.frame()) { if (typeof(e) == "language") { if (length(all.vars(e))) { if (length(e) > 1) {

e[-1] <- lapply(as.list(e[-1]), function(x) {

simplify(x, env)

})

e

} else {e} } else {eval(e, env)} } else {e}

}

inverse_bquote <-

function(x, simplify_expr = TRUE, env = parent.frame()) { result <- subst2(substitute(x), env) if (simplify_expr) { simplify(result) } else {result}

}

call <- substitute(inverse_bquote(eq), list(eq = eq)) eval(call)

}