Разработка и исследование метода идентификации системы механических параметров на тестирующем симметричном двухосном сферическом движении тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.11.01, кандидат технических наук Шаховал, Сергей Николаевич

• Шаховал, Сергей Николаевич
• кандидат технических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат технических наук Шаховал, Сергей Николаевич

СПИСОК терминов, условных обозначений и сокращений

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы.

Научная новизна.

Объект исследования.

Цель диссертационной работы

Задачи исследования.

Практическая значимость.

Методы исследования.

Достоверность результатов.

Апробация.

Список публикаций.

Поддержка.

Структура диссертации.

Научные положения, выносимые на защиту.

ГЛАВА

Сведения из истории и теории, относящиеся к проблеме определения элементов тензора инерции.

1.1. Исторический обзор методов определения тензора инерции.

1.2. Тензор инерции твердого тела.

1.3. Динамические уравнения механической системы.

1.4. Выводы.

ГЛАВА

Определение элементов тензора инерции относительно различных осей.

2.1. Обусловленность расчетной линейной системы алгебраических уравнений.

2.2. Общие формулы для исследования функций на экстремум.

2.3. Частные случаи расположения пучков осей.

2.3.1. Одна ось направлена вдоль Ох, а пять осей лежат на круговом конусе.

2.3.2. Одна ось направлена вдоль оси симметрии кругового конуса, совпадающей с Ог, а пять осей лежат на нем.

2.3.3. Все оси распределены равномерно по поверхностям двух конусов.

2.3.4. Случай, когда все оси лежат на поверхности кругового конуса.

2.3.5. Случай расположения осей на сегменте кругового конуса.

2.3.6. Случай, когда шестая ось направлена по нормальной оси конуса, а остальные равномерно распределены по его сегменту.

2.4. Выводы.

ГЛАВА

Параметрическая идентификация тензоров инерции тел на сферических движениях с медленным собственным вращением.

3.1. Кинематика устройства.

3.2. Динамические уравнения механической системы.

3.3. Динамические уравнения системы тело - устройство.

3.4. Требования к автоматизированным системам, осуществляющим способы измерения тензора инерции.

3.5. Выводы.

ГЛАВА

Расчет методом конечных элементов модели несущей конструкции исполнительного устройства.

4.1 Идея метода конечных элементов.

4.2 Решение задачи в системе инженерного анализа (CAE).

4.3. Построение основной планируемой модели устройства.

4.4. Расчет модели несущей конструкции исполнительного устройства методом Мора-Верещагина.

4.5. Погрешности измерения работы вращающего момента и угловой скорости программного движения.

4.6. Выводы. 119 ЗАКЛЮЧЕНИЕ 120 Список литературы

СПИСОК ТЕРМИНОВ, УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ И СОКРАЩЕНИЙ

• Пространство трехмерно, непрерывно, изотропно (одинаково по всем направлениям) и содержит в себе весь видимый окружающий нас мир.

• Время одномерно, непрерывно, равномерно и является монотонно возрастающим параметром, связанным с реальными периодическими процессами, которые можно использовать для определения интервалов или последовательности событий.

• Твердое тело есть ограниченная, замкнутая, связная часть пространства (область), заполненная материей, для которой сохраняется неизменным взаимное расстояние для любых двух точек.

• Материальной точкой называют твердое тело, размерами которого в процессе исследования можно пренебречь.

• Масса является единой мерой вещества материальных тел и мерой инерции при их движении в результате взаимодействия с другими телами.

• Движение - это изменение относительного положения или текущего состояния рассматриваемых материальных тел в результате взаимодействия.

• Механическая система определяется как выделенная конечная совокупность материальных точек и твердых тел, взаимодействующих между собой и с другими объектами. Сила есть результат проявления взаимодействия, который характеризуется величиной и направлением, а, следовательно, может полагаться вектором.

• Система координат есть совокупность параметров, которые позволяют однозначно определять положение всех тел механической системы в процессе движения.

• Радиус-вектор определяет положение материальной точки относительно выбранной декартовой прямоугольной системы координат.

• Вектор скорости есть производная радиус-вектора материальной точки по времени.

• Вектор ускорения есть вторая производная радиус-вектора по времени.

• Количество движения есть одна из характеристик процесса движения, для материальной точки определяют как результат произведения массы на вектор скорости.

• Момент количества движения для материальной точки определяют как результат векторного произведения радиус-вектора на количество движения.

• Кинетическая энергия для материальной точки определяется как произведение массы на квадрат скорости и деленная пополам.

• Момент инерции твердого тела относительно оси служит мерой инерции вращательного движения. Тензором инерции тела называют матрицу коэффициентов, которая выражает инертность тела при его вращении вокруг заданного центра.

• Управление в задачах динамики предполагает, что есть возможность изменения условий реализации процесса движения по собственному выбору параметров или функций, которые определяют процесс и входят в уравнения движения, в соответствии с заданными требованиями, пожеланиями или критериями.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка и исследование метода идентификации системы механических параметров на тестирующем симметричном двухосном сферическом движении»

Актуальность темы.

Проблема автоматизации процесса для экспериментального определения моментов инерции и тензоров инерции тел произвольной формы, малых и крупных габаритов является технически сложной проблемой выявления характеристик тела. Потребность в определении этих инерционных параметров возникает для различных тел и серийно изготавливаемых изделий, которые должны осуществлять движения в пространстве, сопровождаемые сложными вращениями. В частности, тензор инерции тела наряду с его массой и центром масс является важной характеристикой в определении кинетической энергии или кинетического момента механических систем или отдельных тел, в том числе различных транспортных средств (автомобилей, кораблей, самолетов, космических аппаратов), существенно определяющей маневренность объектов. Осевые моменты инерции, тензоры инерции, статические моменты характеризуют механические свойства приборов на подвижных платформах и подвижных элементов различных электромеханических приборов.

Параметры манипуляционных роботов, совершающих сложные пространственные движения, также характеризуются их массой, положением центра масс, тензором инерции и другими механическими параметрами, которые влияют на точность выполняемых действий.

Для воздушных и космических аппаратов знание тензора инерции и центра масс имеет решающее значение для управления полетом. Для обеспечения требуемых маневренных характеристик самолетов и морских судов конструкторам требуется знать моменты инерции их основных массивных деталей. Но из-за сложности конструкции некоторых элементов, таких как силовые установки, аналитически получить их моменты инерции не представляется возможным. Возникает задача быстрого и точного измерения моментов инерции многих массивных крупногабаритных тел.

В настоящее время широко применяются методы определения моментов инерции на устройствах с малым конструктивным трением и малым аэродинамическим сопротивлением, тензор инерции определяется через шесть измеренных осевых моментов инерции. В связи с этим возникают проблемы, обусловливающие актуальность темы диссертационных исследований: в приборе для измерения осевых моментов инерции следует использовать только элементы и кинематические пары с малым трением; движения, на которых осуществляется идентификация моментов инерции, должны быть медленными, с малым аэродинамическим сопротивлением; необходимость шестикратной последовательной выставки тестируемого тела в шести угловых положениях относительно оси вращения, что требует значительных затрат времени и осуществляется сложными дополнительными устройствами; ограниченность ресурсов и высокая стоимость зарубежных аналогов, в которых для повышения точности измерений используются сложные элементы.

Научная новизна.

Исследуется новый метод идентификации осевых и центробежных моментов инерции и матриц тензоров инерции различных тел на специальных исполнительных устройствах с учетом сил трения и аэродинамического сопротивления. В них использовано свойство следящих систем управления, которые позволяют осуществить требуемые программные движения в условиях неизвестной диссипации и неизвестной интервальной инерционной нагрузки. При этом предложены типы программных разгонно-тормозных двухэтапных движений. Первым свойством этих движений является динамическая симметричность либо реверсионная антисимметричность, а вторым свойством является равноуровневость либо полнооборотность. Путем использования этих свойств удается отделить в расчетных формулах инерционную нагрузку от неизвестных величин - диссипативной и гравитационной нагрузок. В результате получена расчетная формула для параметрической идентификации момента инерции, не содержащая момента трения и момента силы тяжести. Используются разгонно-тормозные вращения вокруг системы осей, которые обеспечивают аналитическое исключение моментов сил трения из расчетных формул. Матрица тензора инерции тела определяется посредством идентификации шести осевых моментов инерции. В связи с этим объект управления синтезированной системы должен исполнять две функции: программное вращение тела вокруг оси и последовательное шестикратное изменение углового положения тела относительно оси вращения. В работе предложено сравнительно простое исполнительное устройство с двумя электродвигателями. Однако, второй электродвигатель (осуществляющий собственное вращение) служит лишь для изменения положения тела относительно осей. То есть устройство можно рассматривать как устройство с одним электродвигателем без необходимости остановки на смену положения испытуемого тела. Такое существенное упрощение исполнительного устройства и вместе с ним всей системы достигнуто за счет того, что момент инерции тела определяется относительно конкретных шести осей вращения, а именно -относительно шести осей додекаэдра, мысленно связываемого с телом.

Новизна заключается в том, что пять тестирующих вращательных движений вокруг неподвижных осей заменены одним двухосным однонаправленным вращением, обеспечивающим непрерывные изменения положений в теле мгновенной оси вращения, из которых используются пять конкретных положений.

Объект исследования.

В качестве объекта исследования в данной работе рассматривается система осевых моментов инерции и тензор инерции тестируемого тела.

Задача определения тензора инерции является важной для областей науки и техники, относящихся к машиностроению и управлению движением различными объектами. Возникла необходимость разработки соответствующих математических алгоритмов, являющихся предметом исследования, для реализации новых устройств и управления процессами. Настоящая диссертация посвящена созданию этих алгоритмов и анализу погрешности определения моментов инерции тела. Выполнен синтез двух систем программного управления углом поворота и угловой скоростью, осуществляющих параметрическую идентификацию моментов инерции и тензоров инерции тел. В процессе синтеза систем была решена проблема компенсации диссипативных возмущений и изменений от опыта к опыту инерционной нагрузки, создаваемой испытуемым телом. Получены математические модели двух синтезированных систем управления в виде нелинейных систем дифференциальных уравнений с нелинейностями типа насыщения. Проведено аналитическое и численное исследование динамических и точностных свойств полученных систем управления с применением компьютерного моделирования.

Цель диссертационной работы.

Целью диссертационной работы является разработка нового энергетического быстрого, точного и не требующего больших ресурсов метода определения тензоров инерции тел, реализуемого с помощью достаточно простых исполнительных устройств и приборов, не содержащих сложных дорогостоящих узлов. А также реализация прибора на основании нового метода.

Задачи исследования.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие основные задачи:

1. Анализ взаимного расположения осей для определения моментов инерции, дающих большую точность и простоту конструкции исполнительного устройства. За оси принимаются шесть положений мгновенных осей вращения на подвижном аксоиде.

2. Получение расчетных формул для идентификации тензора инерции тела, в которые в виду специфики тестирующего движения не входят, но при этом учитываются моменты диссипативных сил, а действие активных моментов, обеспечивающих движение, выражается через текущий расход электрической энергии.

3. Разработка нового энергетического метода, использующего неравномерное однонаправленное разгонно-тормозное симметричное движение с быстрым прецессионным и сравнительно медленным собственным вращением тестируемого тела.

4. Разработка схемы исполнительного устройства, содержащего два расположенных соответственно на осях прецессии и собственного вращения электродвигателя, которое осуществляет предложенный новый метод.

5. Вычисление погрешностей идентификации осевых моментов инерции и тензоров инерции, вызванных отклонениями мгновенных осей вращения от заданных значений, а также влиянием деформаций элементов несущей конструкции исполнительного устройства.

Практическая значимость.

Разработанный метод способствует автоматизации процесса определения тензоров инерции малогабаритных и крупногабаритных технических объектов. Он может быть практически реализован в виде соответствующих автоматизированных устройств и математических алгоритмов, что позволит более эффективно и точно вычислять необходимые характеристики технических изделий произвольной формы, габаритов и геометрии масс. Предложенный прибор показывает один из способов применения разработанного метода.

Методы исследования.

При разработке алгоритмов определения моментов инерции тел использовались методы классической механики, теории колебаний и устойчивости процессов динамических систем [1,17,20,21,28,32,36,59], теории идентификации параметров линейных и нелинейных систем [10,13,27,47,48], теории возмущения матричных операторов [14,19], теории оптимального управления движением механических систем [2,3,5,6,8,9,12,16,18,25], методы компьютерного моделирования, методы анализа реакции конечно-элементной модели с заданными граничными условиями на приложенные нагрузки при использовании системы инженерного анализа, которая имеет возможность задавать свойства материалов [39].

Достоверность результатов.

Достоверность основана на использовании методов классической механики, теории колебаний и устойчивости процессов динамических систем, теории идентификации параметров линейных и нелинейных систем, анализе чувствительности определяемых динамических параметров исполнительных устройств и основного тела к погрешности измерений и влияния на алгоритм определения инерционной матрицы системы, а также подтверждается результатами численных экспериментов и сравнением с известными аналитическими результатами.

Апробация.

Основные результаты диссертации обсуждались на семинарах кафедры теоретической и прикладной механики Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, на секции теоретической механики Санкт-Петербургского Дома Ученых РАН (16 февраля 2011 г.), а также были доложены на следующих конференциях:

1. Международная научная конференция «Шестые Поляховские чтения». 2012.

2. ХЬ научно-методическая конференция Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики. 2011.

3. XXXIX научно-методическая конференция Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики. 2010.

4. XXXVII научно-методическая конференция Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики. 2008.

5. V Всероссийская межвузовская конференция молодых ученых. 2008.

Список публикаций.

По теме диссертации автором были подготовлены статьи в журналах, рекомендованных ВАК:

1. Шаховал С.Н. Исследование матричных алгебраических уравнений, определяющих тензор инерции через осевые моменты инерции // Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики. 2008. № 47. С. 196-201.

2. Шаховал С.Н., Мельников Г.И. Оптимизация расположения пучка осей при экспериментальном определении элементов тензора инерции // Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики. 2010. Том 70. № 6. С. 120.

3. Мельников В.Г., Едачев A.C., Мельников Г.И., Шаховал С.Н. Метод определения тензора инерции на программных движениях // Известия Самарского научного центра Российской академии наук. 2010. Том 12(33) № 1(2). С. 445-448.

4. Мельников Г.И., Шаховал С.Н. Параметрическая идентификация тензоров инерции тел на сферических движениях с медленным собственным вращением // Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики. 2012. № 1(77). С. 152-153.

5. Мельников Г.И., Шаховал С.Н., Мельников В.Г., Кравчук Р.Ю. Идентификация тензора инерции тела на реверсивно-симметричных прецессиях в ограниченном угловом интервале // Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики. 2012. № 1(77). С. 153-154.

А также публикации в издательствах, не включенных в перечень ВАК.

Поддержка.

Исследования автора на этапах работы над диссертацией поддержаны грантом РФФИ №10-08-01046-а.

Структура диссертации.

Структура диссертации соответствует логике исследования и включает в себя введение, четыре главы, заключение, список литературы

Заключение диссертации по теме «Приборы и методы измерения по видам измерений», Шаховал, Сергей Николаевич

4.6. Выводы.

1. Проведен анализ поведения объекта и оценка погрешностей с помощью вычислительной системы.

2. В результате анализа получены численные значения, подтверждающие достоверность разработанных схем.

120

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе работы автором решены поставленные задачи:

1. Разработан новый метод параметрической идентификации элементов тензора инерции твердого тела на тестирующих сферических движениях, состоящих из вращательного периодического симметричного однонаправленного разгонно-тормозного движения вокруг вертикальной оси прецессии и медленного равномерного собственного вращения тела вокруг подвижной наклонной оси, который обеспечивает аналитическое исключение моментов сил трения из расчетных формул.

2. Выведены точные и приближенные расчетные формулы для идентификации параметров матрицы тензора инерции тел и получены правила для их применения. Определяются максимальные абсолютные значения определителя при типовых расположениях осей, относительно которых экспериментально определяются моменты инерции, в зависимости от угловых расстояний между осями.

3. Приведены формулы для расчета тензора инерции по шести экспериментально найденным моментам инерции тела и рекомендации по выбору шести осей, обеспечивающих наиболее простое техническое осуществление на исполнительном устройстве (с оценками погрешностей хорошо обусловленных движений по отношению к оптимальному варианту).

4. Предлагаются и обосновываются варианты расположения в твердом теле шести осей, относительно которых целесообразно идентифицировать шесть осевых моментов инерции, по которым вычисляются элементы матрицы тензора инерции с малой погрешностью.

5. Получены схемы работы исполнительного устройства, содержащего два расположенных на осях прецессии и собственного вращения электродвигателя, и изложен алгоритм проведения экспериментов, осуществляющих разработанный новый метод идентификации.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Шаховал, Сергей Николаевич, 2012 год

1. Александров В.В., Садовничий В.А., Чугунов О.Д. Математические задачи динамической имитации полета. М.: МГУ. 1986. 181 с.

2. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. М.: Наука. 1976.

3. Андрющенко В.А. Теория систем автоматического управления. Л.: Изд-во ЛГУ, 1990.

4. Банит Ю.Р., Беляев М.Ю., Добринская Т.А., Ефимов Н.И., Сазонов В.В., Стажков В.М. Определение тензора инерции Международной космической станции по телеметрической информации // Космические исследования. 2005, Т. 43. № 2. С. 135-146.

5. Башарин A.B., Новиков В.А., Соколовский Г.Г. Управление электроприводами. Л.: Энергоатомиздат, 1982.

6. Беляев А.Н., Дроздов В.Н., Никифоров В.О. Алгоритм управления мехатронным поворотным столом // Электропривод с цифровым и цифроаналоговым управлением. СПб: ЛДНТП, 1992. С. 8-12.

7. Беляков А.О., Сейранян А.П. Определение моментов инерции крупногабаритных тел по колебаниям в упругом подвесе // Известия РАН. Механика твердого тела. 2008. № 2. С. 49-62.

8. Бесекерский В.А., Изранцев В.В. Системы автоматического управления с микроЭВМ. М.: Наука, 1987.

9. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1972.

10. Богданов В. В., Волобуев В. С., Кудряшов А. И. Комплекс для измерения массы, координат центра масс и моментов инерциимашиностроительных изделий // Измерительная техника, 2002. №2. С. 37-39.

11. Буянов Е.В. Методика и установка для точного определения тензора инерции твердого тела // Измерительная техника. 1988. № 12. С. 25-27.

12. Воронов A.A. Введение в динамику сложных управляемых систем. М.: Наука. 1985.

13. Воронин С.Г., Кузьмичев А.Р. Математическая модель для определения координат в электроприводе с вентильным двигателем постоянного тока. // Электричество. 2000. №3.

14. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967.

15. Гернет М.М., Ратобыльский В.Ф. Определение моментов инерции. М.: Машиностроение. 1969. 130 с.

16. Григорьев В.В., Дроздов В.Н., Лаврентьев В.В., Ушаков A.B. Синтез дискретных регуляторов при помощи ЭВМ. Л.: Машиностроение, 1983.

17. Дроздов В.Н., Никифоров В.О. Волков М.А. Математическая модель мехатронного поворотного стола // Электричество. 1997. № 2. С. 46-49.

18. Дроздов В.И., Мирошник И.В., Скорубский В.И. Системы автоматического управления с микроЭВМ. Л.: Машиностроение, 1989.

19. Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. М.: Наука, 1974. С. 357-361.

20. Журавлев В.Ф., Климов Д.М. Прикладные методы в теории колебаний. М.: Наука, 1983. 328 с.

21. Зубов В.И. Колебания в нелинейных и управляемых системах. Л.: Судпромгиз. 1962.

22. Иванов В.А. Опыт измерения угловых ускорений. Л.: ЛДНТП. 1983.

23. Иванов В.А., Привалов В.Е. Применение лазеров в приборах точной механики. СПб: Политехника, 1993.

24. Ишлинский А.Ю., Стороженков В.А., Темченко М.Е. Вращение твердого тела на струне и смежные задачи. М.: Наука. 1991.

25. Козлов В.В., Макарычев В.П., Юревич Е.И. Динамика управления роботами. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1984.

26. Кривошеев А.Г., Мельников Г.И. Матричная форма изложения динамики сферического движения // Сборник докладов 1-ого Всероссийского семинара-совещания заведующих кафедрами теоретической механики. СПб: 1994, С. 261-267.

27. Макаров И.М., Менский Б.М. Линейные автоматические системы. М.: Машиностроение, 1977.

28. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Гостехиздат. 1952.

29. Мельников В.Г. Идентификация компонент тензора инерции и координат центра масс тела на реверсивно-симметричных прецессиях //Вестник СПбГУ, сер. 1. 2010. Вып. 3. С. 97-105.

30. Мельников В.Г. Энергетический метод параметрической идентификации тензоров инерции тел // Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики. 2010. № 1. С. 59-63.

31. Мельников В.Г. Параметрические критерии фильтрационных свойств систем управления. // Изв. вузов. Приборостроение. 2000. №3. С. 25-28.

32. Мельников В.Г. О синтезе систем управления при ограничениях на степень устойчивости и колебательность. // Ученые записки. Серия: "Математика и информатика". 1998. Т.1,С. 86-89.

33. Мельников В.Г. Реализация метода Н.Е.Жуковского определения моментов инерции тел на мультифлярных и автоматизированных устройствах. // Международная конференция "Проблемы пространства, времени, движения". СПб: 1998. С. 29-30.

34. Мельников В.Г., Едачев A.C., Мельников Г.И., Шаховал С.Н. Метод определения тензора инерции на программных движениях // Известия Самарского научного центра Российской академии наук. 2010. Том 12(33) № 1(2). С. 445448.

35. Мельников В.Г., Иванов С.Е., Мельников Г.И. Компьютерные технологии в механике приборных систем. СПб: Изд-во Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2006.

36. Melnikov V.G. A new method for inertia tensor and center of gravity identification // Nonlinear Analysis. 2005, T.63. № 5-7. C. 1377-1382.

37. Мирошник И.В., Никифоров В.О., Фрадков A.JI. Нелинейные и адаптивные управления сложными динамическими системами. СПб: Наука. 2000.

38. Мирошник И.В., Никифоров В.О. Методы координации в задачах планирования и управления пространственным движением манипуляционных роботов. // Анализ и управление нелинейными колебательными системами. СПб: Наука, 1998. С. 215-236.

39. Моисеев H.H. Элементы теории оптимальных систем. М.: Наука, 1975. 528 с.

40. Плахтиенко Н.П. О параметрической идентификации цепных систем при инерционном возбуждении. // Прикладная механика. 1990. Т. 26, №9. С. 109-115.

41. Понтрягин JI.C, Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1969. 384 с.

42. Попов Е.П. Теория нелинейных систем автоматического регулирования и управления. М.: Наука. 1988.

43. Попов Е.П., Пальтов И.П. Приближенные методы исследования нелинейных автоматических систем. М.: Физматгиз, 1960.

44. Редько С.Ф., Ушаков В.Ф., Яковлев В.В. Идентификация механических систем. Определение динамических характеристик и параметров. К.: Наукова думка, 1985.

45. Сабинин Ю.А. Динамика электромеханических систем. СПб: Изд-во Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики. 1997.

46. Смолин В.П., Топольский Д.В. Об одном методе определения вращающего момента электрических машин // Электричество. 1999. №7. С. 27-30.

47. Столов Л.И., Афанасьев А.Ю. Моментные двигатели постоянного тока. М.: Энергоатомиздат, 1989.

48. Цыпкин Я.В. Информационная теория идентификации. М.: Наука. Физматлит. 1995.

49. Чернецкий В.И., Дидук Г.А., Потапенко A.A. Математические методы и алгоритмы исследования автоматических систем. Л.: Энергия, 1970.

50. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. М.: Мир. 1975.

51. Элементы и устройства автоматики / Под ред. Ю.А. Сабинина. СПб: Политехника, 1995.

52. Якубович В.А. Метод матричных неравенств в теории устойчивости вынужденных колебаний // Автоматика и телемеханика. 1964. № 7. С. 1017-1029.