Разработка и исследование конечноэлементных методов моделирования акустоэлектронных компонент на поверхностных волнах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.06, кандидат технических наук Нгуен Ван Шо

• Нгуен Ван Шо
• кандидат технических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат технических наук Нгуен Ван Шо

СПИСОК УСЛОВНЫХ СОКРАЩЕНИЙ И СИМВОЛОВ.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1 ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ ПО МЕТОДАМ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПОВЕРХНОСТНЫХ АКУСТИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ.

1.1 ПАВ и устройства на ПАВ.

1.1.1 ПАВ.

1.1.1.1 Волны в изотропной среде.

1.1.1.2 Волны в анизотропной среде.

1.1.2 Устройства на ПАВ и материалы для них.

1.1.2.1 Устройства на ПАВ.

1.1.2.2 Материалы для устройств на ПАВ.

1.2 Методы вычисления ПАВ.

1.2.1 Аналитические методы.

1.2.2 Метод конечных элементов.

1.2.2.1 Общие сведения о методе конечных элементов.

1.2.2.2 Ограничения метода конечных элементов и способы их преодоления.

1.3 Математические модели устройств на ПАВ.

1.3.1 Классические модели ПАВ.

1.3.1.1 Модель дельта-функций.

1.3.1.2 Модель эквивалентных схем.

1.3.2 Современные модели ПАВ.

1.3.2.1 Модель связанных мод.

1.3.2.2 Модель Р-матрицы.

ГЛАВА 2 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ БЕСКОНЕЧНО ПРОТЯЖЕННЫХ СИСТЕМ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ.

2 Л Математическая постановка задачи.

2 Л Л Задача распространения ПАВ на свободной поверхности.

2Л.2 Задача распространения ПАВ при наличии электродов.

2.2Л Приведенные уравнения для областей.

2.2.2 Приведенные уравнения для граничных условий.

2.3 Результаты моделирования и их анализ.

2.3.1 Скорости ПАВ и распределение параметров ПАВ по глубине для случая свободной поверхности.

2.3.2 Собственные частоты области вычислений и скорости ПАВ при наличии электродов.

2.3.2.1 Колебание внутри структуры при распространении в ней ПАВ.

2.3.2.2 Ширина полосы частот.

2.3.2.3 Фазовая скорость.

2.4 Применение разработанных подходов для расчета слоистых структур

2.5 Выводы ко второй главе.

ГЛАВА 3 ИЗУЧЕНИЕ ДИСПЕРСИИ ПРИ РАСПРОСТРАНЕНИИ ПОВЕРХНОСТНЫХ АКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН В ПЬЕЗОЭЛЕКТРИКАХ ПРИ НАЛИЧИИ ЭЛЕКТРОДОВ.

3.1 Постановка задачи.

3.2 Подход к моделированию задачи.

3.3 Результаты моделирования и их анализ.

3.3.1 Собственные частоты области вычислений.

3.3.2 Скорости ПАВ.

3.4 Выводы к третьей главе.

ГЛАВА 4 РАСЧЕТ ПАРАМЕТОВ СВЯЗАННЫХ МОД.

4.1 Методы расчета СОМ-параметров.

4.1.1 Метод возмущений.

4.1.2 Анализ, основанный на волновой теории.

4.1.3 Метод РЕМ/БЭЛ.

4.1.4 Метод РЕМ/ВЕМ.

4.2 Извлечение СОМ-параметров.

4.2.1 Анализ собственных мод.

4.2.2 Частотный анализ.

4.3 Выводы к четвертой главе.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка и исследование конечноэлементных методов моделирования акустоэлектронных компонент на поверхностных волнах»

Актуальность темы и подход к ее решению. Смартфоны признаны первой среди 11 -ти основных технологий последнего десятилетия [1], а акустоэлектронные устройства находят широкое применение в мобильной связи, навигации и медицинской аппаратуре, где выполняют функции фильтров, резонаторов, осцилляторов, датчиков и устройств обработки сигналов [2]. Их бурное развитие в последние десятилетия главным образом основано на компьютерных моделированиях, поскольку этот путь намного дешевле и быстрее, чем изготовление и исследование конкретных прототипов.

Изучение параметров поверхностных акустических волн (ПАВ), распространяющихся в пьезоэлектрическом материале при наличии встречно-штыревого преобразователя (ВШП) играет важную роль при проектировании устройств акустоэлектроники. Эту задачу можно решать различными методами, которые условно можно разделить на две группы. К первой группе относятся методы, основанные на построении аналитического решения, которое затем рассчитывается с использованием численных процедур, методы этой группы будем называть традиционными. Ко второй группе отнесем полностью численные методы, основанные на конечно элементной дискретизации модели, это методы конечных и граничных элементов и их модификации. Применение традиционных методов ограничивается довольно простыми геометриями (например, прямоугольным сечением электродов) и существенными приближениями (например, электроды считаются тонкими), что недостаточно для многих реальных практических задач.

Проектирование устройств, работающих на поверхностных акустических волнах, с использованием метода конечных элементов (МКЭ) является перспективным направлением научных исследований, имеющим ярко выраженное практическое приложение. Постоянное ужесточение требований к параметрам таких устройств приводит к необходимости совершенствования методов их расчета, а МКЭ позволяет учитывать реальную геометрию электродов, что не удается в рамках аналитических методов.

Исторически методы численных расчетов таких устройств развивались на протяжении последних двадцати лет, однако, были практически полностью привязаны к необходимости разработки специализированных программных средств, обусловленных специфичностью задачи и ограниченностью вычислительных ресурсов. МКЭ предлагался в совокупности с другими методами или даже полностью замещался такими методами. В настоящее время в силу высокой производительности вычислений предпочтительным является использование именно универсального МКЭ, что позволяет расширить число разработчиков, которым доступно моделирование устройств акустоэлектроники и резко ускорить во времени процесс расчета акустических характеристик новых устройств.

В последнее десятилетие бурно развиваются численные подходы, первоначально основанные на разработке собственного программного обеспечения "с нуля", что было трудоемким и позволяло решать ограниченный круг задач. С развитием универсальных пакетов (таких как ANS YS или NASTRAN) делались попытки их применения в задачах ПАВ, однако, многие из таких задач выходили за рамки используемых в этих пакетах моделей. В последнее время все более широкое распространение получает коммерчески доступный пакет COMSOL Multiphysics, считающийся особенно удобной для исследователей, так как он построен на тесной взаимосвязи с программой MATLAB и позволяет использовать отдельные функции для решения новых задач, пока не реализованных в этой или других программах.

В большинстве случаев рассматривается затратная с точки зрения вычислений трехмерная модель, хотя для многих приложений достаточно ограничиться двухмерной моделью. На пути использования стандартных МКЭ пакетов для пьезоэлектрических анизотропных сред встает проблема специфической сложности такой задачи, связанной, прежде всего, с необходимостью вычислений всех трех компонент смещений для двумерной задачи распространения ПАВ. Попытка ограничиться только двумя компонентами смещений (для той плоскости, в которой рассматривается решение) приводит к существенным погрешностям, выходящим за рамки допустимых. Подчеркнем, что ПАВ для анизотропных пьезоэлектриков, применяющихся в устройствах акустоэлектроники, не является в чистом виде волной Рэлея, обладающей сагиттальной поляризацией, т.е. имеющей только две компоненты смещения. Поэтому актуальным для моделирования устройств на ПАВ является разработка и исследования методов расчета, позволяющих учитывать все три пространственные компоненты механического смещения в двухмерной задаче.

Цель и задачи работы. Целью диссертационной работы является разработка и исследование методов расчета параметров поверхностных акустических волн в пьезоэлектрических анизотропных средах с использованием метода конечных элементов. Для достижения указанной цели в работе решаются следующие задачи:

- исследование распространения поверхностной акустической волны в полубесконечной пьезоэлектрической среде как при отсутствии, так и при наличии решетки металлических электродов, нанесенной на поверхность пьезоэлектрика;

- исследование влияния учета двух и трех компонент механических смещений на характеристики акустических полей в двухмерной задаче распространения ПАВ;

- исследование зависимости параметров ПАВ от геометрической формы металлических электродов, конфигурации решетки электродов и материала подложки;

- анализ дисперсии скорости распространения ПАВ в пьезоэлектриках при наличии решетки электродов;

- расчет СОМ-параметров для системы с бесконечно периодической решеткой электродов.

Методы исследования. Основные теоретические и прикладные результаты работы получены в рамках применения методов математической физики, математического моделирования, а также численных методов расчета. Математическое моделирование проводилось с использованием математических пакетов МАТЬАВ, СОМБОЬ МиШркузгся; результаты моделирования сравнивались с опубликованными данными измерений.

Научные положения, выносимые на защиту. На защиту выносятся следующие научные положения, вытекающие из поставленной цели и решения сформулированных задач:

1. При расчете параметров устройств на ПАВ с использованием метода конечных элементов следует использовать модель с тремя компонентами вектора механических смещений при решении двухмерной задачи распространения ПАВ.

2. Двухмерная задача распространения ПАВ в системе с металлическими электродами при наличии трех ненулевых компонент вектора механического смещения сводится к обобщенной системе дифференциальных уравнений, допускающей применение общедоступных вычислительных пакетов МКЭ.

3. СОМ-параметры для поверхностных акустических волн в системе «пьезоэлектрик - бесконечно периодическая система металлических электродов» определяются методом конечных элементов с помощью набора двух типов задач: нахождения собственных частот и частотного отклика.

4. При распространении ПАВ в системе с металлическими электродами возникает область аномальной дисперсии скорости ее распространения. Расчет аномальной дисперсии рекомендуется осуществить предложенным методом с использованием предложенного способа задания граничных условий.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Предложен новый метод, основанный на использовании уравнений пьезоакустики в обобщенной системе дифференциальных уравнений РБЕ-элемента метода конечных элементов, позволяющий учитывать все три компоненты механических смещений и эффект механической нагрузки электродов в двухмерной задаче распространения поверхностных акустических волн.

2. Предложен способ задания граничных условий для использования метода конечных элементов в случае несовпадения периода электродов и длины поверхностной акустической волны, который был использован для получения дисперсионных зависимостей скорости ПАВ.

3. Применение предложенного метода для расчета СОМ-параметров, набор которых позволяет рассчитать произвольное устройство на ПАВ с применением известных процедур.

4. Получены расчетные зависимости параметров ПАВ от формы электродов, среза материала подложки и от ряда других факторов для типовых пьезоэлектрических материалов.

Достоверность научных и практических результатов.

Достоверность научных положений, результатов и выводов диссертации подтверждается путем сопоставления результатов предложенных методов с результатами аналитических расчетов и ранее опубликованными данными экспериментов:

- в случае исключения металлических электродов известны точные аналитические решения, результаты которых полностью совпали с предложенными методами;

- для случаев материалов и срезов, где в поверхностной акустической волне присутствуют лишь две компоненты смещений, что позволяет решать задачу в известных пакетах; было проведено сравнение, показавшее идентичность результатов расчетов по предложенным методам;

- для ряда сложных геометрий доказательства достоверности брались из опубликованных ранее результатов эксперимента.

Практическая ценность результатов работы заключается в:

- возможности использования стандартного программного обеспечения метода МКЭ для проведения расчетов ПАВ в двухмерных системах с произвольной геометрической структурой;

- применении двухмерного метода конечных элементов для задачи распространения ПАВ с тремя ненулевыми компонентами механических смещений;

- возможности использования выявленных зависимостей параметров ПАВ от формы электродов и параметров материала подложки;

- возможности проектирования устройств на ПАВ, таких как фильтры, линии задержки, резонаторы и т.д. на основе СОМ-параметров, рассчитанных с использованием предложенного метода;

- внедрении в практику научных исследований и в учебный процесс кафедры электроакустики и ультразвуковой техники Санкт-петербургского государственного электротехнического университета "ЛЭТИ" при выполнении выпускных квалификационных работ бакалавров и магистров по направлению «Акустические приборы и системы».

Апробация результатов исследования. Основные результаты исследований докладывались и обсуждались в научно-технической семинаре «Инновационные разработки в технике и электронике СВЧ» (г. Санкт-Петербург, 25-26 января 2011); Международной научной конференции «Days on diffraction» (г. Санкт-Петербург, 28 мая - 1 июня, 2012); Всероссийской конференции «Микроэлектроника СВЧ» (г. Санкт-Петербург, 4-7 июня 2012); V научно-технической конференции молодых специалистов по радиоэлектронике (г. Санкт-Петербург, 18 апреля 2012); семинаре по вычислительной и теоретической акустике Научного Совета по акустике РАН (г. Санкт-Петербург, 3 апреля 2012; научный руководитель - д.ф.-м.н., профессор Коузов Д.П.); а также на научно-технической конференции профессорско-преподавательского состава СПбГЭТУ "ЛЭТИ".

Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 статей, из них - 3 статьи в ведущих рецензируемых изданиях, рекомендованных в действующем перечне ВАК, 2 статьи в других изданиях, 4 доклада на международных, всероссийских и межвузовских научно-технических конференциях.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав с выводами, заключения, списка условных сокращений и символов, списка литературы и приложений.

Заключение диссертации по теме «Акустика», Нгуен Ван Шо

4.3 Выводы к четвертой главе

Рассмотрена СОМ-модель и проведен расчет СОМ-параметров с использованием метода конечных элементов. При расчете СОМ-параметров использованы два типа вычислений: анализ собственных мод (для расчета фазовой скорости и коэффициента отражения) и анализ отклика (по кривой частотной характеристики проводимости можно определить остальные СОМ-параметры: коэффициент преобразования, коэффициент затухания и удельную емкость). СОМ-уравнения учитывают многократные отражения и акустоэлектрическое взаимодействие между ПАВ и зарядами на электродах. Результаты расчета СОМ-параметров служат для проектирования широкого класса устройств на ПАВ.

В данной главе рассмотрены однородные преобразователи. В настоящее время преобразователи зачастую проектируются неоднородными для обеспечения требуемых частотных характеристик ПАВ-устройств. Неоднородные преобразователи можно рассчитывать как каскадное соединение однородных преобразователей по формулам Р-матриц [2], при этом СОМ-параметры каждого звена неоднородного преобразователя могут определяться по выражениям, приведенным в данной главе.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе:

1. Проведено моделирование ПАВ методом конечных элементов и определены параметры ПАВ для случаев свободной поверхности и при наличии ВШП.

2. Предложен новый метод, основанный на сведении уравнений акустики к обобщенной системе дифференциальных уравнений, позволяющий учитывать все три компоненты механических смещений и эффект механической нагрузки электродов в двухмерной задаче распространения ПАВ. Предлагаемый подход имеет значение преодоления ограничений модулей вычисления ПАВ в СОМБОЬ и в ряд других пакетах. Этот метод позволяет устранять порожденные этими факторами ошибки в вычислениях.

3. Предложен новый способ задания граничных условий, используемых при решении задачи с периодической структурой электродов при несовпадении периода решетки и длины ПАВ; он был использован для получения кривой дисперсии и расчета некоторых параметров для модели связанных мод. Проанализированы физические явления, возникающие при рассогласовании периода ПАВ с периодом системы электродов. Псевдо ПАВ можно моделировать при задании псевдо-периодические граничные условия (т.е. периодические граничные условия со сдвигом фаз и может быть с затуханием).

4. Проведен расчет параметров ПАВ (в частности, параметров для модели связанных мод) с использованием метода конечных элементов. Исследовано влияние формы электродов, влияние материала и также углов ориентации материала подложки на параметры ПАВ. Приведенный расчет может быть полезно использован для проектирования широкого класса акустоэлектронных устройств с однородными (с точки зрения конфигурации) преобразователями, так и с неоднородными. При этом, неоднородные преобразователи можно рассчитывать как каскад однородных преобразователей по формулам Р-матриц.

5. Предлагаемый подход непосредственно обобщается на случай нескольких слоев, лежащих на подложке, на случай двух полубезграничных твердых сред, а также на более сложную геометрию ВШП. Это позволяет вычислять другие волны, например волны Лява, Гуляева-Блюштейна, Сезава, Стоунли и т.д. Кроме того, эти модели также позволяют рассчитать ОАВ и вытекающих волн при обнаружении собственных частот.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Нгуен Ван Шо, 2012 год

1. Ross Р.Е., Romero J.J., Jones W.D., Bleicher A., Calamia J., Middleton J., Stevenson R., Moore S.K., Upson S., Schneider D., Jones W.D., Guizzo E., Perry T.S., Zorpette G. Top 11 technologies of the decade. IEEE Spectrum, Vol. 48, 2011, pp. 27-63.

2. Morgan D. Surface acoustic wave filters. London, Academic Press, 2007.

3. Морган Д. Устройства обработки сигналов на поверхностных акустических волнах. Перевод с английского. М.: Радио и связь, 1990.

4. Фильтры на поверхностных акустических волнах. Перевод с английского, под ред. Г. Мэттьюза. М.: Радио и связь, 1981.

5. Дмитриев В. Ф. Устройства интегральной электроники: Акустоэлектроника. Основы теории, расчета и проектирования: учеб. пособие/ ГУАП. СПб., 2006.

6. Зеленка И. Пьезоэлектрические резонаторы на объемных и поверхностных акустических волнах: Материалы, технология, конструкция, применения: Пер. с чешек. М.: Мир, 1990.

7. Hashimoto K.-Y. Surface Acoustic Wave Devices in Télécommunications: modeling and simulation. Springer, 2000.

8. Балышева О. JI. Материалы для акустоэлектронных устройств. Учебное пособие; ГУАП. СПб., 2005.

9. Элементы кварцевые кристаллические. Условные обозначения срезов. РД 11 0717-89. 1990.

10. Чернышова Т.И., Чернышов Н.Г. Проектирование фильтров наповерхностно-акустических волнах: Учебно-методическое пособие. Тамбов. Издательство ТГТУ, 2008.

11. Шермергор Т. Д., Стрельцова Н. Н. Пленочные пьезоэлектрики. М.: Радио и связь, 1986. 136 с.

12. Wang J., Hashimoto K-Y. A two-dimensional theory for the analysis of surface acoustic waves in finite elastic solids. Journal of Sound and Vibration, Volume 295, Issue 3-5, p. 838-855.

13. Biryukov S.V. and Polevoi V.G. The electrostatic problem for the SAW interdigital transducers in an external electric field Part 11: Periodic structures. IEEE Trans. Ultrason. Ferroelec., Freq. Contr., vol. 43, no. 6, pp. 1160-1170, Nov. 1996.

14. Hashimoto K.-Y., Omori Т., Yamaguchi M. Analysis of SAW excitation and propagation under periodic metallic grating structures. Int. J. of High Speed Electronics and Systems. 2000. - Vol.10, N 3. - pp.685-734.

15. Laude V., Reinhardt A., Ballandras S., Khelif A., Solal M. Fast FEM/BEM computation of SAW harmonic admittance and slowness curves. IEEE Ultras. Symp. 2004. - pp. 445-448

16. Finger N., Kovacs G., Shoberl J., Langer U. Accurate FEM/BEM -simulation of surface acoustic wave filters. IEEE Ultras. Symp. 2003. - pp. 1680-1685.

17. Smole P., Ruile W., Pongratz P. Charaterization of surface acoustic wave propagation in ZnO layer on a conducting substrate. IEEE Ultras. Symp. -2002.-pp. 307-310.

18. Kubat F., Ruile W., Reindl L. P-matrix based calculations of the potentialand kinetic power in resonating SAW-structures. IEEE Ultras. Symp. -2002.-pp. 329-332.

19. Taziev R. M. FEM/BEM for simulation of LSAW devices. IEEE Trans. UFFC. 2007. - V. 54, N. 10. - P. 2060-2069.

20. Чередник В.И., Двоешерстов М.Ю. COM параметры, P матрицы и FEM-BEM теория. Современные наукоемкие технологии. 2006. - № 8.-С. 74-75,

21. Hofer M., Finger N., Kovacs G., Schöberl J., Zaglmayr S., Langer U., Lerch R. Finite-element simulation of wave propagation in periodic piezoelectric SAW structures. IEEE Trans. UFFC. 2006. - V. 53, N. 6. - P. 1192-1201.

22. Bathe K.J. Finite Element Procedures. New Jersey: Prentice Hall, 1996.

23. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975.

24. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. М.: . Мир, 1986.

25. Норри Д., Фриз Ж. де. Введение в метод конечных элементов. М.: Мир, 1981.

26. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. М.: Мир, 1984.

27. М. Buchner. Die Methode der Finiten Elemente zur Berechnvng elektromagnetischer und mechanischer Felder in Filter-Bauelementen. PhD thesis, Universitaet der Bundeswehr, Munich, 1991.

28. Buchner M., Ruile W., Dietz A., Dill R. FEM analysis of the reflection coefficient of saws in an infinite periodic array. IEEE Ultras. Symp., 1991, pp. 371-375.

29. Bauerschmidt P., Lerch R., Machui J., Ruile W., Visintini G. Reflection and transmission coefficients of saw in periodic grating computed by finite element analysis. IEEE Ultras. Symp., 1990, pp. 421-423.

30. Hasegawa K., Koshiba M. Finite-Element Solution of Rayleigh-Wave Scattering from Reflective Gratings on a Piezoelectric Substrate. IEEE Ultras. Symp., 1990, pp. 90-105.

31. Ventura P., Desbois J., Boyer L. A Mixed FEM/analytical model of the electrode mechanical perturbation for SAW and PSAW propagation. IEEE Ultras. Symp., 1993, pp. 205-208.

32. Yong Y.K. Analysis of Periodic Structures for BAW and SAW Resonators. IEEE Ultras. Symp., 2001, pp. 781-790.

33. Hofer M., Finger N., Kovacs G., Schoberl J., Langer U., Lerch R. Finite Element Simulation of Bulk and Surface Acoustic Wave (SAW) Interaction in SAW Devices. IEEE Ultras. Symp., 2002, pp. 53-56.

34. Allik H., Hughes T.J.R. Finite Element Method for Piezoelectric Vibration. International Journal for Numerical Methods in Engineering, vol. 2, pp. 151-157, 1970.

35. Peng D., Fengqi Yu.F. A novel FEA simulation model for RFID SAW tag. IEEE Trans. UFFC. 2009. - V. 56, N. 8. - P. 1753-1760.

36. Matthews G.I., Baghai-Wadji A. Analysis of additional surface mechanical features in micro-acoustic devices A combined FEM-JTFA approach. IEEE Ultras. Symp. - 2009. - P. 2676-2679.

37. Smole P., Ruile W., Pongratz P. Characterization of surface acoustic wave propagation in ZnO layer on a conductive substrate // IEEE Ultras. Symp. -2002.-P. 307-310.

38. Rocha-Gaso M.-I., Fernández-Díaz R., Arnau-Vives A., March-Iborra C. Mass sensitivity evaluation of a love wave sensor using the 3D finite element method // IEEE Freq. Contr. Symp. 2010. - P. 228-231.

39. Darinskii A.N., Weihnacht M., Schmidt H. Surface acoustic wave scattering from steps, grooves, and strips on piezoelectric substrates // IEEE Trans. UFFC. 2010. - V. 57, N. 9. - P. 2042-2050.

40. Zhgoon S., Tsimbal D., Shvetsov A., Bhattacharjee K. 3D finite element modeling of real size SAW devices and experimental validation. IEEE Ultras. Symp. 2008. - P. 1932-1935.

41. Chung G-S., Phan D-T. Finite element modeling of surface acoustic waves in piezoelectric thin films. Journal of the Korean Physical Society, Vol. 57, N. 3, September 2010, pp. 446-450.

42. Kannan T. Finite element analysis of surface acoustic wave resonators. Master Thesis, University of Saskatchewan, 2006.

43. Berenger J. A perfectly matched layer for the absorption of electromagnetic waves. Journal of Computational Physics, 1994, 114: 185-200.

44. Berenger J. Three-Dimensional Perfectly Matched Layer for the Absorption of Electromagnetic Waves. Journal of Computational Physics, 1996, 127: 363-379.

45. Basu U. and Chopra A. Perfectly matched layers for time-harmonic elastodynamics of unbounded domains: theory and finite-element implementation. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 192:1337-1375,2003.

46. David S. Bindel. Structured and parameter-dependent eigensolvers for simulation-based design of resonant MEMS. Technical Report EECS-2006-109, UC Berkeley Computer Science Division, 2006.

47. Darinskii A., Weihnacht M., Schmidt H. SAW reflection from surface inhomogeneities of isotropic and anisotropic substrates. IEEE Ultras. Symp., 2009, pp. 1656-1659.

48. Darinskii A., Weihnacht M., Schmidt H. Surface acoustic wave scattering from steps, grooves, and strips on piezoelectric substrates. IEEE Ultras. Symp., 2010, pp. 2042-2050.

49. Darinskii A., Weihnacht M., Schmidt H. Usage of symmetry in the simulation of interdigital transducers. IEEE Ultras. Symp., 2010, pp. 23562359.

50. Tancrell R. H., Holland M. G. Acoustic surface wave fillers. Proc. IEEE 59, 1971, 393-409.

51. Tancrell R. H. Principles of surface wave filter design. In Matthews, 1977, pp. 109-164.

52. Hartmann C. S., Bell D. T., Rosenfeld R. C. Impulse model design of acoustic surface wave filters. IEEE SU, 20:80-93, 1973.

53. Smith W.R., Gerard H. M., Collins J.H., Reeder T.M., Shaw H.J. Analysis of Interdigital Surface Wave Transducers by use of an Equivalent Circuit Model. IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques, vol. 17, pp. 856-864, Nov 1969.

54. Chen D.P., Haus H.A. Analysis of metal strip SAW gratings and transducers. IEEE SU, 32:395-408, 1985.

55. Wright P.V. A new generalized modeling of SAW transducers and gratings. Proc. 43rd Freq. Contr. Symp., 1989, pp. 596-605.

56. Plessky V., Koskela J. Coupling-of-Modes Analysis of SAW Devices.1.ternational Journal of High Speed Electronics and Systems, vol. 10, no. 4, pp. 867-947, 2000.

57. Biryukov S. V., Martin G., Polevoy V. G., and Weihnacht M. Derivation of COM equations using the surface impedance method. IEEE Trans. Ultrason. Ferroelectr. Freq. Control 42, pp. 602- 611, 1995.

58. Biryukov S.V. and Polevoi V.G. The electrostatic problem for the SAW interdigital transducers in an external electric field Part 11: Periodic structures," IEEE Trans. Ultrason. Ferroelec., Freq. Contr., vol. 43, no. 6, pp. 1160-1170, Nov. 1996.

59. Biryukov S.V. Exact closed-form expressions for piezoelectric velocity shift, piezoelectric reflectivity, transduction coefficient, and capacitance in the case of IDT with complex unit cell. IEEE SU, pp. 179-182, 1997.

60. Malocha S., Abbott, B.P. Calculation of COM parameters for an arbitrary IDT cell. Proc. IEEE, 2002, 267-270.

61. Thoma C. Fast COM parameter extraction theoretically derived dispersion relations for SAWs propagating in periodic metallic gratings. IEEE Ultras. Symp., 1999, pp. 151-154.

62. Ruppel C.C.W., Ruile W., Scholl G., Wagner K., Manner O. Review of Models for Low-Loss Filter Design and Applications. IEEE Ultras. Symp., 1994, pp. 313-324.

63. Kovacs G. A generalised P-matrix model for SAW filters. IEEE Ultrason. Symp., 2003, pp. 707-710.

64. Soial M. , Laude V., Ballandras S. A P-matrix based model for SAW grating waveguides taking into account modes conversion at the reflection.

65. EE Trans. Ultrason. Ferroelec., Freq. Contr., vol. 51, no. 12, pp. 16901696, Dec. 2004.

66. Abbott B. P., Hartmann C. S., Malocha D. C. A coupling-of-modes analysis of chirped transducers containing reflective electrode geometries. Proc. 1989 IEEE Ultrason. Symp., pp. 129-134.

67. Royer D, Dieulesaint E. Elastic waves in solids. Part I:. Free and guided propagation. Springer, 2000. - 374 p.

68. Викторов И.А. Звуковые поверхностные волны в твердых телах // М.: Наука, 1981.-287 с.

69. Яковлев JI.A. Основные уравнения механики и электродинамики сплошных сред: Учеб. пособие / СПб.: ТЭТУ, 1992. 76 с.

70. Tikka А.С., Al-Sarawi S. F., Abbott D. Finite element analysis of a 3-dimensional acoustic wave correlator response for variable acoustic modes. Proc. of SPIE Vol. 6926, 692603, (2008).

71. Jerez-Hanckes C., Laude V., Nedelec J.-C., Lardat R. 3-D Electrostatic hybrid elements model for SAW interdigital transducers // IEEE Trans. UFFC, Vol. 55, 2008, pp. 686-695.

72. Осетров A.B., Нгуен Ван Шо. Анализ поверхностных акустических волн в области встречно-штыревого преобразователя // Известия СПбГЭТУ «ЛЭТИ». 2011. - № 1. - С. 81 -88.

73. Osetrov А. V., Frolich H.-J., Koch R., Chilla E. Acoustoelastic effect in anisotropic layered structures. Physical Review B, Vol 62, 2000, pp. 13963— 13969.

74. Osetrov A. V., Frolich H.-J., Koch R., Chilla E. Acoustoelastic effect in stressed heterostructures. IEEE Trans. UFFC., Vol. 49, N 1, pp. 94-98, 2002.

75. Morgan D. Surface acoustic wave filters with applications to electroniccommunications and signal processing. Elsevier, 2007. - 448 p.

76. Wright P.V. Modeling and Experimental Measurements of the Reflection Properties of SAW Metallic Gratings. IEEE Ultras. Symp., pp.54-63, 1984.

77. Endoh G., Hashimoto K., Yamaguchi M. Surface acoustic wave propagation characterization by finite-element method and spectral domain analysis. Jpn. J. Appl. Phys., Vol. 34, pp. 2638-2641, 1995.

78. Cherednick V. I., Dvoesherstov M. Y. COM Parameters of STX Quartz and STX+25 Quartz. IEEE Ultras. Symp., 2006, pp. 1855-1858.

79. Bragg W.L. The Diffraction of Short Electromagnetic Waves by a Crystal. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 1913. 17. pp. 43-57.

80. Auld B. A. Acoustic Fields and Waves in Solids. Vol. 2, New York, 1973.

81. Kojima T., Shibayama K. An analysis of an equivalent circuit model for an interdigital surface-acoustic-wave transducer. Jpn. J. Appl. Phys., 27, Suppl. 27-1, 1998, pp. 163-165.

82. Hasegawa K., Inagawa K., Koshiba M. Extraction of all coefficients of coupled-mode equations for natural, singe phase by hybrid finite element method. IEEE Trans. On UFFC, 48(5), 2001, pp. 1341-1350.

83. Wang Z, Cheeke J., Jen C. Pertubation method for analyzing mass sensitivity of planar mutilayer acoustic sensors. IEEE Trans. On UFFC, 43(5), 1996, pp. 844-851.

84. Chen Z.H, Yamanouchi K. Theoretical analysis of relations between directivity of SAW transducers and its diespersion curves. Proc. IEEE Ultrason. Symp., 1989, pp. 71-74.

85. Hasegawa K., Koshiba M. Coupled-mode equations for interdigital transducers for leaky surface acoustic waves. Japanese jounal of applied physics, 42, 2003, pp. 3157-3160.

86. Mayer M., Zidek H., Bauer T., Dagdar-Javid G., Wagner K. Analysis of acoustomigration and acoustic loss in SAW filters employing FEM/BEM. IEEE Ultrason. Symp., 2005, pp. 454-458.

87. Kenny T.D., Pollard T.B., Berkenpas E., Berkenpas E.J., da Cunha M.P. FEM/BEM impedance and power analysis for measured LGS SH-SAW devices. IEEE UFFC., 2006, pp. 402-411.

88. Pastureaud T. Evaluation of the P-Matrix Parameters Frequency Variation Using Periodic FEM/BEM Analysis. IEEE Ultras. Symp. Proc.,2004, pp. 80-84.

89. Wang W., Plessky V., Wang H., Wu H., Shui Y. P2M-4 optimization of STW Resonator by Using FEM/BEM. IEEE Ultras. Symp. Proc., 2006, pp. 1863-1865.

90. Ventura P., Hode J. M., Solal M. A new efficient combined FEM and periodic Green's function formalism for the analysis of periodic SAW structures. IEEE Ultras. Symp. Proc., 1995, pp. 263-268.

91. Perois X., Pastureaud T., Girard P.-A., Lardat R. Analysis of SAW devices using FEM/BEM methodand parallel computing. IEEE Ultras. Symp. Proc.,2005, pp. 1564-1567.

92. Ventura P., Hode I.M., Solal M., Desbois J., Ribbe J. Numerical Methods for SAW Propagation Characterization. IEEE Ultras. Symp. Proc., 1998, pp. 175-186.

93. Laud V., Ballandras S. Slowness curves and characteristics of surface acoustic waves propagating obliquely in periodic finite-thickness electrode gratings. Japaness journal of applied physics, 93, 2003, pp. 10084-10088.

94. Makkonen T., Plessky V., Steichen W., Grigorievski V., Kopp L., Sonal M., Steichen W., Salomaa M. FEM/BEM simulation and experimental study of LLSAW resonator characteristics on YZ-LiNb03. Proc. of IEEE Ultra. Sym., Vol. 1, 2002, pp. 317-320.

95. Koskela J., Plessky V., Salomaa M. SAW/LSAW COM parameter extraction from computer experiments with harmonic admittance of a periodic array of electrodes. IEEE Trans, on UFFC, 46(4), 1999, pp. 806816.

96. Laude V., Reinhardt A., Wilm M., Khelif A., Ballandras S. Fast FEM/BEM simulation of SAW devices via asymptotic waveform evaluation. IEEE Trans, on UFFC, 51(3), 2004, pp. 359-363.

97. Ajay T., Said A.S., Derek A. Acoustic wave parameter extraction with application to delay line modelling using finite element analysis. Sensors & Transducers Journal, Vol. 95 (8), 2008, pp. 26-39.

98. Abbott B. P. A derivation of the coupling-of-modes parameters based on the scattering analysis of SAW transducers and gratings. Proc. IEEE Ultrason. Symp., 1991, pp. 5-10.

99. Haus H.A., Wang K.L. Modes of grating waveguides. J. Appl. Phys. 49, 1978, pp.1061-1069.

100. Hirota K., Nakamura K. Analysis of SAW grating waveguides using 2-D Coupling-of-Modes equations. Proc. IEEE Ultrason. Symp., 2001, pp. 115120.

101. Tokuda O., Hirota K. 2-Dimensional SAW device simulation performed by COMSOL Multiphysics. Proc. of Symposium on Ultrasonic Electronics, Vol.31, 2010, pp. 593-594.

102. Slobodnik A.J., Conway E.D., Delmonico R.T. Microwave acoustic handbook. Vol. 1A—Surface wave velocities. AFCRL-TR-73-0597, 1973, 725 p.

103. Kovacs G., Anhorn M., Engan H.E., Visintini G., Ruppel C.C.W. Improved material constants for LiNb03 and LiTa03. IEEE Ultras. Symp., 1990, pp. 435-438.

104. Auld B. A. Acoustic Fields and Waves in Solids, vol. 1, 2nd ed. Melbourne,1. FL: Krieger, 1990.

105. Salt D., HyQ. Handbook of Quartz Crystal Devices. Van Nostrand Reinhold, England, UK, 1987.

106. Koike J., Tanaka H., Ieki H. Quasi-microwave band longitudinally coupled surface acoustic wave resonator filters using ZnO/Sapphire substrate, Jpn. J. Appl. Phys., 34, Part 1, 5B (1995) pp. 2678-2682.

107. Shikata S., Nakahata H., Hachigo A. new diamond and frontier carbon technology. Vol. 9, № 1,1999, pp. 79-92.