Разработка и исследование двухшаговых методов минимизации выпуклых функций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.16, кандидат физико-математических наук Малинов, Валериан Григорьевич

• Малинов, Валериан Григорьевич
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Малинов, Валериан Григорьевич

ВВЕДЕНИЕ

Глава -1. ИССЛЕДОВАНИЕ ДВУХПАРАМЕТРИЧЕСКЖ ДВУХШАГОВЫХ

МЕТОДОВ БЕЗУСЛОВНОЙ МИНИМИЗАЦИЙ.

1.0. Обзор результатов первой главы

1.1. Двухпараметрический двухшаговый метод и его многошаговые аналоги

1.2. Исследование обобщенных двухпараметрических двухшаговых методов

Глава 2. ДВУХШАГОВЫЕ ЧЕТЬРЕХПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ

БЕЗУСЛОВНОЙ МИНИМИЗАЦИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

2.0. Обзор результатов второй главы

2.1. Исследование двухшаговых четырехпараметрических методов первого порядка для задачи безусловной минимизации

2.2. Непрерывный метод безусловной минимизации

Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЕКЦИОННЫХ ЧЕТЫРЕХПАРАМЕТРИЧЕСКИХ И ОБОБЩЕННЫХ ДВУХПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ДВУХШАГОВЫХ МЕТОДОВ МИНИМИЗАЦИИ.

3.0. Обзор результатов третьей главы

3.1. Исследование проекционных четырехпараметрических двухшаговых методов первого порядка.

3.2. Исследование проекционных обобщенных двухпараметрических двухшаговых методов первого порядка. о "О

Глава 4. ИССЛЕДОВАНИЕ РЕГУЛЯРИЗОВАННЫХ ДВУХШАГОВЫХ

ПРОЕКЦИОННЫХ МЕТОДОВ МИНИМИЗАЦИИ.

4.0. Обзор результатов четвертой главы.

4.1. Регуляризованный четырехпараметрический двухшаговый проекционный метод минимизации первого порядка

4.2. Регуляризованный двухшаговый обобщенный двух-параметрический проекционный метод

Глава 5. ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДОВ МИНИМИЗАЦИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

5.0. Обзор результатов пятой главы

5.1. Регуляризованный метод минимизации квадратичной функции

5.2. Квадратичная зкономико-математическая модель задачи оптимизации реактивной мощности

5.3. Экономикс-математическая модель выше второй степени для задачи оптимальной КРН

5.4. Квадратичная математическая модель задачи оптимального регулирования напряжения и реактивной мощности

5.5. Математическая модель выше второй степени задачи оптимизации напряжения и реактивной мощности

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка и исследование двухшаговых методов минимизации выпуклых функций»

Разработка и исследование конструктивных методов решения современных экстремальных задач., неразрывно связанных с актуальными оптимизационными задачами научно-технических приложений, в настоящее время остается одной из важнейших проблем вычислительной математики. Поэтому., хотя имеются многочисленные методы решения самых различных экстремальных задач (см. например. [13-[1213 и другие работы), имеются и появляются новые экстремальные задачи, требующие более быстродействующих и точных численных методов решения. Ввиду этого разрабатываются численные методы решения., с. одной стороны., целых классов экстремальных задач., а с другой стороны - узкого круга специальных экстремальных задач. Последние, как отмечается во многих работах (см., например, [73-1193, [273 и другие работы) при решении конкретных задач могут оказаться наиболее ценными. В настоящее время не известно универсального метода, эффективно решающего все задачи минимизации.

Из сказанного следует, что в теории и практике решения экстремальных задач, а особенно - связанных с минимизацией функций с поверхностями уровней "овражной" структуры, актуальна проблема разработки и исследования метода, несложно реализуемого на ЭВМ, с широкой областью сходимости, экономичного.

За прошедшие 5-7 лет, в 90-ые годы, в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова в трудах научного семинара, руководимого профессором кафедры Оптимального управления фак -та ВМиК МГУ Ф. П. Васильевым, предложены и исследованы многошаговые проекционные итерационные методы минимизации, построены непрерывные проекционные методы минимизации высоких порядков, разработаны и исследованы их регуляризованные варианты.

Многошаговые методы минимизации, как отмечено в целом ряде исследований различных авторов, обладают преимуществом перед од-ношаговыми методами минимизации в скорости сходимости при минимизации функций с "овражными" поверхностями уровней, лучшей приспособленностью к распараллеливанию вычислений.

Целью настоящей работы является разработка, исследование схо-. димости: 1) итерационных четырехпараметрических двухшаговых методов минимизации; 2) двухшаговых обобщенных двухпараметрических методов минимизации; 3) некоторых версий двухшаговых двухпараметрических методов; 4) регуляризованных четырехпараметрических двухшаговых методов минимизации. Объектами применения разработанных автором методов минимизации являются конструируемые оптимизационные математические модели научно-технических задач линейного и нелинейного программирования.

Результаты исследования двухшаговых методов минимизации, простейших случаев многошаговых методов, предложенных■ и исследованных в диссертации, получены при участии в работе семинаров проф. Ф. П. Васильева и методами, развитыми в работах Ф. П. Васильева, А. С. Антипина и их учеников. диссертация состоит из введения, пяти глав, разбитых на параграфы, и списка литературы, содержащего 165 наименований. Нумерация теорем и формул своя в каждом параграфе. Ссылки на формулы и теоремы другого параграфа и другой главы состоят соответственно из двух и трех чисел, разделенных точками, где первой цифрой обозначен номер главы, второй -параграфа, третьей - номер формулы или теоремы. Объем работы составляет 171 страниц, включая 16 страниц цитированной литературы.

Заключение диссертации по теме «Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (по отраслям наук)», Малинов, Валериан Григорьевич

7. Выводы.

1. Предложенная ММ (1) - (6) для решения эксплуатационной задачи ОКРН и регулирования напряжения в ЭСП, в отличие от ЭММ, позволяет точнее учитывать в расчетах реальные физические процессы генерации и потребления РМ в ЭСП.

2. Четырехпараметрический двухшаговый метод первого порядка и его проекционный вариант с достаточной точностью и быстродействием решают задачу минимизации овражных вспомогательных функций для МШФ решения задачи (?); они пригодны для решения задач безусловной минимизации, а также задач минимизации с ограничениями в вычислительной схеме МШФ.

5.5. Математическая модель выше второй степени задачи оптимизации напряжения и реактивной мощности

1. В предыдущих параграфах 5.2 - 5.4 дан краткий анализ экономико-математических моделей проблемы ОКРН. В параграфе 5.4 (см. [89]) рассмотрены основные недостатки ЭММ по сравнению с математическими моделями и предложена квадратичная математическая модель для решения данной проблемы. В [142] исследована ЭММ с кваV дратичной функцией затрат от потерь активной мощности (AM) и квадратичным уравнением баланса РМ, позволяющая значительно повысить точность решения задачи регулирования РМ в ЭСП. Отметим, что ЭММ из работ [142], [145] проблему регулирования напряжения в ЭСП не рассматривают. Ввиду отсутствия математической модели, позволяющей оптимизировать режим напряжений с учетом влияния генерируемой в ЭСП РМ, в работе [893 предложена такая ММ и с ее помощью исследована конкретная ЭСП (см. п. 5.4). ММ из [89] с нелинейной функцией потерь AM и нелинейным уравнением баланса РМ использует матрицу сопротивлений взаимного влияния потребителей в ЭСП, позволяет рассчитывать и учитывать изменение напряжения в узлах ЭСП от генерации РМ в ЭСП на каждом шаге оптимизации. Следуя этой работе, в параграфе 5.4 рассмотрены возможности математической модели, не присущие ЭММ.

2. Построим математическую модель для решения проблемы ОКРН, в которой используются минимизируемая функция потерь РМ и уравнение баланса РМ с нелинейностями выше второй степени.' В новой ММ учитываются высокие нелинейности, обусловленные учетом потерь РМ на низших ступенях иерархии ЭСП в качестве дополнительных нагрузок по РМ для высших ее ступеней, по идее из работы [145]. Кроме того, в новой ЭММ рассчитывается и учитывается изменение

- 150 напряжения в узлах ЭСП от генерации РМ источниками в ЭСП. Разработка такой ММ, объединяющей достоинства ММ из работы [89] и ЭММ из работы [145.], является логическим продолжением работы по конструированию ММ. адекватно отражающей физические процессы в проблеме ОКРН. Рассматриваемая модель предложена в работе [1573 и формулируется в виде следующей задачи математического программирования: найти минимум функции потерь АМ в ЭСП от перетоков РМ, я ,-Д гл1п[г(у.) = (У1) + 2-1=1 ДСЬ (У) ], У = (У1 ,., уп) (1) при выполнении условия баланса РМ т п 1

Н(у) « 2-1=1и:н - Цз=1У.з + £1=1 Д&л (у) - Чв = 0, (2) диапазоне генерации РМ

У1пип ^ У1 ^ V1 ^ 1 ^ П, (8) где п - количество ИРМ в ЭСП: 1 - число элементов сети (кроме ИРМ), для которых вычисляются потери АМ и РМ: - величина РМ, генерируемой 1-м ИРМ: Др1(у1) - потери в 1 - м ИРМ: ДРд(у) и Д0.1 (у) ~ потери соответственно АМ и РМ в 1 - м элементе ЭСП,

ДР1 (у) » Д^Гь Д01(у)-Д1Х1, Д1 = (ч13 - ¥1з + Д0.1з)^/и*!^; (4) Си - реактивная нагрузка в 1 - м узле; т - число узлов, имеющих реактивную нагрузку; напряжение на электроприемнике с номером Г (или в узле с номером Г) вычисляется по формуле ьу = [(и'ог)" + 2^.3=1*(Г, з) Уз ]"" (5) иог - напряжение на электроприемнике с номером Г без учета влияния генерируемой в сети РМ; г(г.я - реактивная составляющая сопротивления влияния для узлов Г и з; v - число узлов ЭСП, влияющих на узел с номером f■} Гз и х.з - активное и реактивное сопротивления о -го элемента ЭСП; ДО/з - потери РМ в иерархии ЭСП "ниже1"' узла о; Ун - суммарная генерируемая "ниже" узла ,1 в иерархии ЭСП РМ; рв - входное значение РМ.

- 151

3/ Математическая модель (1)-(3), как и в параграфе 5.4, формализуется в задачу математического программирования вида (4.7). Наиболее простым, надежным, достаточно точным методом решения задачи (4.7) нелинейной минимизации с нелинейными ограничениями, как и в предыдущем параграфе, является метод штрафных функций на базе четырехпараметрического двухшагового метода (2.1.5) к к к-'1 ^ к ьу = Xй -- ХК = ХГч + ОСкУ\ хк+1 = + Вк (Т1к Ук - Т2к Г?(2к)), к > О, предложенного в [893 для решения аналогичной задачи в форме записи, отличающейся от (2.1.5) . По результатам оптимизации на ММ (1)-(3) вычисляется величина ущерба от нарушения режима по РМ и напряжению, а также от несимметрии электрической нагрузки по фазам и от несинусоидальности тока. Величины ущербов от последних двух факторов, а также от снижения срока службы оборудования вследствие указанных выше нарушений качества электроэнергии, могут быть вычислены по одной из известных методик.

D.&. Некоторые результаты численных экспериментов

Для проверки вычислительных способностей предлагаемых двухша-говых четырехпаршетрических методов семейств (2.1.5), (2.1.6) и (2.1.7), их сравнения с ивестными методами проведены сравнительные численные эксперименты по решению задач минимизации на известных тестовых функциях, руководствуясь обширной литературой (см., например, [81 - [12], [14], [15], [18], [243-[273, [31], [35]-[39], [46]- [50], [54]-[55], [603- [62], [68]-[71],. [73], [83]-[84], [150], [152], [156], [1583-[1663). Нами использовались тест-функции из работ [38], [73], [1503, [1583-[1663 и других: 1) по решению задач безусловной минимизации; 2) решению задач минимизации с простыми (координатными) ограничениями. При этом использовалось и тест - функции, обладающие худшими свойствами, чем предполагавшиеся для них свойства в доказательствах сходимости. С. 4M сравнивались методы: наискорейшего спуска (МНС) [13, [43, [73. - [133.; Нестерова (MN) [80]; Гамбурда (МГ) [743; Le D (LED) [733); три версии метода сопряженных градиентов (МОГ: Поляка - Полака - Рибьера (PPR) [103; Флетчера-Ривса (MFR) [103, [ИЗ; Соренсена (MS)); двухшаговые обобщенные.двухпараметричес-кие методы (0ДМ) (1.2.4). В реализациях 4M использовалась одномерная минимизация, в направлении вектора рк"= «кУК - Y2kf* (Z*-) для метода из (2.1.5), вида plk = «кУк - i2kfг(zk)/|f?(zk)I для метода из (2.1.6) и р2к = «кук/|ук| - T2kf? (2k)/|fг (zk) ¡1 -для метода семейства (2.1.7). Счет проводился на IBM PC AT с . одинарной точностью. В таблицах 1 - 3 для иллюстрации приведены результаты решения задачи- минимизации f (х) inf, х £ Еп, где f(х> - непрерывно дифференцируемая функция в п - мерном евклидовом пространстве Еп, "овражная" выпуклая функция с некриволинейным "оврагом", или невыпуклая.

Обозначения в таблицах: . qit - количество итераций; qg -количество вычислений градиента; qcf - количество вычислений значения функции; nrg - норма градиента; fvit - полученное методом значение функции, при останове; 5х = max ]хч - Xi*|, i 6 1:п. Останов методов происходил по одному из признаков: 1) норма градиента меньше числа, s = 1. е-4; 2) значения функции совпали на трех последовательных итерациях с точностью si = 1.0е-14; 3) превышено 100 итераций.

В таблице 1 приведены результаты минимизации известной тест -функции Розенброка: f(X) = 100(X2-Xi2)~ + (1-Xi)z, Х° = (-1.2;!), fo = 24.2; X* - (1;1), f* - 0; n=2.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Малинов, Валериан Григорьевич, 1999 год

1. Поляк Б. Т. Методы минимизации функций многих переменных /У •ЭММ. 1967. Т. 3. N. 6. С. 881-902.

2. Cayльев В. К., Самойлова И. И. Приближенные методы безусловной оптимизации функций многих переменных //" В сб.: Итоги науки и техники. Математический анализ. М.: ВИНИТИ АН СССР, 1973. Т. 11. С. 91 128.

3. Поляк Б. Т. Методы минимизации при наличии ограничений /7 В кн.: Итоги науки и техники. Математический анализ. М.: ВИНИТИ АН СССР. 1974. С. 147-197.

4. Базара М,, Шетти К. Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы. М.: Мир. 1982. 584 с.

5. Батищев Д. И. Методы оптимального проектирования. М.: Радио и связь. 1984. 248 с.

6. Бейко И. В., Бублик Б. Н., Зинько П. Н. Методы и алгоритмы решения задач оптимизации. Киев: Вища школа. 1983. 512 с.

7. Васильев Ф. П. Лекции по методам решения экстремальных задач. М.: Изд-во МГУ, 1974. 376 с.

8. Васильев Ф. П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука,1981. 400 с.

9. Пшеничный Б. Н., Данилин Ю. М. Численные методы в экстремальных задачах. М.: Наука, 1975. 320 с.

10. Поляк Б. Т. Введение в оптимизацию. М.: Наука. 1983. 384 с.

11. Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1988. 552 с.

12. Карманов В. Г. Математическое программирование. М.: Наука, 1975. 272 с.

13. Габасов Р. Ф., Кириллова Ф. М. Методы оптимизации. Минск: Изд-во БГУ, 1981. 352 с.

14. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. М. : Мир. 1985. 509 с.

15. Аоки М. Введение в методы оптимизации. М.: Наука,1977. 344с.

16. Гирсанов И. В. Лекции по математической теории экстремальных задач. М.: Изд-во МГУ, 1970. 118 с.

17. Демьянов В. Ф., Рубинов А. М. Приближенные методы решения экстремальных задач. Л.: Изд-во ЛГУ, 1968. 180 с.

18. Евтушенко Ю. Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. М.: Наука, 1982. 432 с.

19. Еремин И. И., Астафьев Н. Н. Введение в теорию линейного и выпуклого программирования. М.: Наука, 1976. 192 с.

20. Зангвилл У. И. Нелинейное программирование. М.: Радио и связь, 1972. 312 с.

21. Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. 480 с.

22. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984. 750 с. •

23. Ляшенко И. Н., Карагодова Е. А., Черникова Н. В., Шор Н. 3. Линейное и нелинейное программирование, Киев: Вища школа.1. У / гЗ « чЗ (¡С С ,24. мину М. Математическое программирование: Теория и алгоритмы. М. : Наука, 1990, 485 с.

24. Моисеев Н. . Н., Мванилов Ю. П., Столярова Е. М. Методы оптимизации. М.: Наука, 1978. 352 с.

25. Мухачева Е. А., Рубинштейн Г. Ш. Математическое программирование. Новосибирск: Наука, 1987, 271 с,

26. Нестеров Ю. Е. Эффективные методы в нелинейном программировании. М.: Радио и связь, 1989. 304 с.- 158

27. Полак Э. Численные методы оптимизации. Единый подход. М.: Мир, 1974. 376 с.

28. Пшеничный Б. Н. Метод линеаризации. М.: Наука. 1983, 136 с.

29. Пшеничный Б. Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М.: Наука,. '1980. 320 с.

30. Рейклейтис Г., Рейвиндран А., Рэгсдел К. Оптимизация в технике. В двух книгах. М.: Мир. 1986. Книга 1 350 е. Книга 2 - 320 с.

31. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973. 472 с.-33. Демьянов В. Ф., Малоземов В. Н. Введение в минимакс. М.: Наука, 1972. 368 с.

32. Стронгин Р, Г. Численные методы в многоэкстремальных задачах. М. Наука, 1978. 240 с.

33. Сухарев А. Г., Тимохов А. В., Федоров В. В, Курс методов оптимизации. М.; Наука. 1986. 328 с.

34. Федоренко Р. П. Приближенное решение задач оптимального управления. М.: Наука. 1978. 488 с.

35. Фиакко А., Мак-Кормик Г. Нелинейное программирование. Методы последовательной безусловной минимизации. М,: мир, 1972. 240 с.

36. Химмельблау Д, Прикладное нелинейное программирование. М.: Наука, 1975. 534 с.

37. Шор Н. 3. Методы минимизации недифференцируемых функций и их приложения. Киев: Наукова думка. 1979. 200 с.

38. Frankel S. Convergence rates of iterative treatments of partial differencial equations /7 Math. Tables and other aids Cornput. 1950. 4. P. 65-75.

39. Абрамов А. А. Об одном способе ускорения итерационных процессов /7 ДАН СССР. 1951. Т. 74. N. 6. С. 1051-1052.

40. Рябенький В. С., Филиппов А. Ф. Об устойчивости разностных- 159 уравнений. М.: Гостехиздат. 1956. 171 с.

41. Поляк Б. Т. О некоторых способах ускорения сходимости итерационных методов // IBM и МФ. 1964. Т. 4. N. 5. С. 791-803.

42. Поляк Б. Т. Метод сопряженных градиентов в задачах на экстремум // ЖВМ и МФ. 1969. Т. 9. N. 4. С. 807-821.

43. Forsythe G. Е. On .the asimptotic directions of the s-dimensional optimum gradient method // Numer. Math. 1968. V.11. N.1.' P. 57-76.

44. Miele A., Cantre11 J. w. Study on a Memory Gradient Method for the Minimization of Functions // JOTA. 1969. V.4. N.3. P. 191-205.

45. Gragg E.E. Levy A. V. Study on a Supermemory Gradient Method for the Minimization of Functions // JOTA. 1969. V.4, N.3, P. 191-205.

46. Myers G. E. Properties of the Conjugate Gradient and Davidon Methods // JOTA. 1968. V. 2. N. 4. P. 209-219.

47. Fletcher R., Reeves С. M. Function Minimization by Conjugate Gradients // Computer J. 1964. V. 7. N. 2. P. 149-154.

48. Miele A.3 Cantre11 J. W. Memory Gradient Method for the Minimization of Functions //' Lecture Notes in Mathematics.

49. N. 132. Simposiurn on Optimization. Springer. 1970. P,252-263.

50. Ковригин А. Б. Оценка быстроты сходимости к шагового градиентного метода /7 Вестник Ленингр. ун-та. Серия математич. 1970. вып.З. N. 13. С. 34-36.

51. Хотеев С. В. и многошаговых градиентных методах в задачах оптимизации. В 15., С. 104-111. ■

52. Завриев С. К., Костюк Ф. В. Метод тяжелого шарика в невыпуклых задачах оптимизации /7 Программное обеспечениеи модели системного анализа. М.: Изд-во МГУ, 1991. С.179-186.

53. Жук П. Ф. Асимптотическое поведение s шагового метода наискорейшего спуска при минимизации квадратичного функционала в гильбертовом пространстве /"/" ЖВМ и МФ. 1995. Т. 35. N. 2. С. 163-177. , .

54. Малинов В. Г. Сходимость двухпараметрического метода минимизации первого порядка // Тез. докл. 16-й науч.-техн. конфер. ОрПтИ. Инж.-экон. факульт. Оренбург, 1994. С. 56.

55. Малинов В. Г. Двухпараметрический двухшаговый метод и его обобщения /7 Оптимизация информационных систем. Межвузовский сб. науч. тр. Ч. 1. Оренбург, 1997. С. 60-65.

56. Поляк В. Т., Шостаковский Б. И. Одна задача на максимум функции нескольких переменных /7 Вычислительные методы и программирование. М.: ВЦ МГУ, 1966. Вып. 5. С. 107-114.

57. Царицына И. В. Об одном приеме ускорения сходимости методов отыскания минимума функции многих переменных /7 Вестник Ленинградского ун-та. Серия математическая. 1971. N. 7. Вып.2. С. 47-51.

58. Потапова А. Ф, Об ускорении сходимости метода скорейшего спуска // Журнал вычисл. матем. и матем. физики. 1971. Т. И. N. 3. С. 749-752.

59. Бельтюков Н. Б., Шурыгина М. Н. исследование одного адаптивного метода решения задач математического программирования// Методы оптимизации и их приложения. Иркутск. 1988. С. 5-13.

60. Хиленко В, В. Решение многомерных овражных задач оптимизации на основе декомпозиции // Докл. АН УССР. Сер. А. физ.-мат. и техн. науки. 1990. N. 12. С. 51-54.

61. Редковский Н. Н. Об одном методе минимизации гладких невыпуклых функций //" Экономика и математическ. методы. 1983. Т. 19. N. 5. С. 906-911.

62. Редковский Н. Н, Метод минимизации с нелинейным преобразованием координат //' ДАН СССР. 1986. Т. 288. N. 3. С. 556-560.

63. Третьяков А. А. Две схемы нелинейного метода оптимизации в экстремальных задачах // IBM и МФ. 1984. Т. 24. N. 7. С. 986-992.

64. Ben-Tal A. Melman A. Zowe J. Curved search Methods for Un-conctrained Optimization /7 Optimization. 1990. V. 21. P. 669-695,

65. Шор H. 3. Использование операции растяжения пространства в задачах минимизации выпуклых функций /7 Кибернетика. 1970. N. 1. С. 6-12.

66. Шор Н. 3. О скорости сходимости метода обобщенного градиентного -спуска с растяжением пространства // Кибернетика. 1970.о р onQh

67. Шор Н. 3.5 Журбенко Г, Г. Метод минимизации, использующий операцию растяжения пространства в направлении разности двух последовательных градиентов /7 Кибернетика. 1971. N. 3. С. 51-59.

68. Скоков В. А. Замечание к методам минимизации, использующим операцию растяжения пространства /7 Кибернетика. 1974. N. 4. С. 115-117.

69. Le D. A Fast and Robust unconstrained optimization method Requiring minimum storage /"/' Mathematical Programming. 1985. V. 32. N. 1. P. 41-68.- 162

70. Гамбурд П. Р. Об одном методе минимизации дифференцируемых функций // Кибернетика. 1973. N. 5. С. 111-113.

71. Гамбурд П. Р. Некоторые методы минимизации дифференцируемых функций /7 Прикладная математика и программирование. 1973. Вып. 9. С. 29-39.

72. Немировский А. С., Юдин Д. В. Сложность задач и эффективность методов оптимизации. М. : Наука,. 1979. 383 с.

73. Нестеров Ю. Е. Метод решения задачи выпуклого программирования со скоростью сходимости 0(1/к*) /У Доклады АН СССР. 1983. Т. 269. N. 3. С. 543-547.

74. Немировский А. С., Нестеров Ю. Е. Оптимальные методы гладкой выпуклой минимизации .// Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1985. Т. 25. N. 3. С. 356-369.

75. Немировский А. С. Орт-метод гладкой выпуклой минимизации // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1982. N. 2. С. 18-29.

76. Нестеров Ю. Е. Об одном классе методов безусловной минимизации выпуклой функции, обладающих высокой скоростью сходимости // ЖВМ и МФ. 1984. Т. 24. N. 7. С. 1090-1093.

77. Гельфанд И. М., Цетлин М. Л. Принцип нелокального поиска в задачах автоматической оптимизации //' Доклады АН СССР. 1961. Т. 137. N. 2. С. 295-298.

78. Гельфанд И. М., Цетлин М. Л. О некоторых способах управления сложными системами // Успехи матем. наук. 1962. Т. 17. Вып. 1(103). С. 3-25.

79. Старосельский Л. А., Шелудько Г. А., Кантор Б. Я. Об однбй реализации метода оврагов с адаптацией величины овражного шага по экспоненциальному закону // Журнал- вычисл. матем. и матем. физ. 1968. Т. 8. N. 5. С. 1161-1167.

80. Белаш К. Н. 0 нерелаксационном методе безусловной оптимизации первого порядка с квадратичной скоростью сходимости // Чис- 163 ленный анализ: методы, алгоритмы, приложения. М.: Изд-во МГУ, 1985. С. 159-164.

81. Антипин А. и. Непрерывные и итеративные процессы с операторами проектирования и типа проектирования // Вопросы кибернетики. Вычислительные вопросы анализа больших систем. М.: Научный совет по комплексной проблеме "Кибернетика" АН СССР, 1989. С. 5-43.

82. Малинов В. Г. О методе оптимизации в экономике математическом моделировании // Формирование рыночного хозяйства: теория и практика. Межвуз. сб. науч. работ. Оренбург, 1996. С. 117-121.

83. Малинов В. Г. Двухпараметрические двухшаговые методы// Вестник Нижегородского гос. ун-та. Математическое моделирование и оптимальное управление. Нижний Новгород. ННГУ, 1997. С. 138-148.

84. Антипин А. С. Методы нелинейного программирования, основанные на прямой и двойственной модификации функции Лагранжа. Препринт. М.: ВНИИ системных исследований, 1979. 73 с.

85. Бочкарев Е. Б., Малинов В. Г. Использование компенсирующих и регулирующих свойств синхронных двигателей для оптимизации внутризаводского электроснабжения. Оренбург. 1987. 18 с. -Деп. в Информэлектро 21.12.87, N. 993-эт.

86. Малинов В. Г. Об одной модификации метода минимизации первого порядка7'/ Состояние и перспективы развития уральского региона. 4.1. Тез. докл. межвуз. н.-т. конф. Оренбург, 1992. С. 65-66.

87. Малинов В. Г. Сходимость численного метода минимизации //Тезисы докладов 15-й науч.-техн. конф. ОрПтй. Ч. 1. Оренбург, 1993. С. 70.

88. Малинов В. Г. Сходимость одного метода первого порядка // Тезисы докладов 27-й науч.-техн. конф. УПИ (февраль 1993г.).- 164

89. Ч. 1. Ульяновск., 1993. С. 49-51.

90. Малинов В. Г. Сходимость численного метода оптимизации первого порядка /7 Тез. докл. междунар. конфер. "Концепция развития и высокие технологии индустрии ремонта транспортных . средств". Оренбург, 1993. С. 204-206.

91. Малинов В. Г. Четырехпараметрические двухшаговые проекционные методы минимизации // Журнал вычислит, математ. и матем. физики 1996. Т. 36. N. 12. С. 48-56.

92. Недич А. Трехшаговый метод проекции градиента для задал минимизации // Известия вузов. Математика. 1993. N. 10. С.1. ОI .

93. Бобылев Н. А., Кутузов А. А. О методе проекции градиента в задачах бесконечномерной оптимизации /7 Автоматика и Телемеханика. 1995. N. 5. С. 19-33.

94. Малинов В. Г. 0 проекционном обобщенном двухпараметрическом методе минимизации // Формирование рыночного хозяйства. Теория и практика. Часть 2. Оренбург, 1997. С. 204-208.

95. Малинов В.Г. Четырехпараметрический двухшаговый регуляризо-ванный проекционный метод минимизации /7 Журнал вычислительной математ. и матем. физики. 1999. Т. 39. № 4. С. 567-572.

96. Недич А. Непрерывный метод проекции градиента третьего порядка для задач минимизации /7 Дифференциальные уравнения. 1994. Т. 30. N. 11. С. 1914-1922.

97. Антипин А. С. Минимизация выпуклых функций на выпуклых множествах с помощью дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. 1994. Т. 30. N. 9. С. 1475-1486.

98. Амочкина Т. В., Недич А, Об одном варианте непрерывного метода проекции градиента второго порядка и его дискретном аналоге /7 Вестник Моск. ун-та. Сер. 15, Вычисл. матем. и кибернет. 1995. N. 2. С. 5-11.- 165

99. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир. 1970. 720 с.

100. Малинов В. Г. Расширение области сходимости и ускорение метода Ньютона // Состояние и перспективы развития уральского региона. Ч. 1. Тезисы докл. 14-й науч.-техн. конф. ОрПтИ. Оренбург, 1992. С. 65-66.

101. Адаменко Г. М. Об одном методе минимизации функции п переменных // Известия АН БССР. Серия физ.-матем. наук. 1972. N. 2. С. 117-119.

102. Васильев Ф. П. О регуляризации неустойчивых задач минимизации /У Труды МИАН СССР. 1988. Т.185. С. 60-65.

103. Бакушинский А. Б., Гончарский А. В. Итеративные методы решения некорректных задач. М.: Наука. 1989. 128 с.

104. Васильев Ф. П., Недич А. Об одном варианте регуляризованно-го метода проекции градиента // Журнал вычисл. матем. и ма-тем. физики. 1994. Т. 34. N. 4. С. 511-519.

105. Васильев Ф. П., Недич А. О трехшаговом регуляризованном методе проекции градиента для решения, задач минимизации с неточными исходными данными // Изв. вузов. Математика. 1993. N. 12. С. 35-43.- 166

106. Васильев Ф. П., Амочкина Т. В. Недич А. Об одном регуляри-зовалном варианте двухшагового метода проекции градиента // Вестник МГУ. Сер. 15, Вычисл. матем. и киберн. 1998. N.1. С. 35-42.

107. Васильев Ф. П., Недич А. О четырехшаговом регуляризованном методе проекции градиента для задач минимизации с неточными исходными данными /7 Mathernatlca niontisriigri. 1995. V. 4. P.83.lul.

108. Васильев Ф. П.,. Обрадович 0. Регуляризованный проксимальный метод для задач минимизации с неточными исходными данными // IBM и МФ. 1993. Т. 33. N. 2. С. 179-188.

109. Васильев Ф. П., Обрадович 0. Регуляризованный проксимальный метод для выпуклых задач минимизации // Труды МИ РАН. 1995. Т. 211. С. 131-139.

110. Васильев Ф. П., Недич А., Обрадович 0. Непрерывный регуляризованный проксимальный метод минимизации77 Численные методы в математической физике. Сб. трудовф>-та БМиК. М.: МГУ, 1996. С. 5-15.

111. Васильев Ф. П., Амочкина Т. В., Недич А. Об одном регуляризованном варианте непрерывного метода проекции градиента второго порядка /7 Вестник МГУ. Сер. 15, Вычисл. матем. и киберн. 1995. N. 3. С. 39-46.

112. Недич А. Регуляризованный непрерывный метод, проекции градиента для задач минимизации с неточными исходными данными /7 Вестник МГУ. Сер. 15, Вычисл. матем. и киберн. 1994. N. 1. С. 3-10.

113. Васильев Ф. П., Недич А. Регуляризованный непрерывный метод проекции градиента второго порядка /7 Вестник МГУ. Сер. 15, Вычисл. матем. и киберн. 1994. N. 2. С. 3-11.

114. Васильев Ф. П., Недич А. Регуляризованный непрерывный методпроекции градиента третьего порядка // дифференциальные уравнения 1994. Т. 30. N. 12. С. 2033-2042.

115. Vasilo'ev F. Р., Nedic. A. A regularized continuous projection gradient method of the fourth order // Yugoslav Journal of Operations research. 1995.V. 5.' N. 2. P. 195-209.

116. Кацман В. E., Малинов В. Г. Оптимизация капитальных вложений в жилищное строительство // Математическое моделирование. 1989. Т. 1. N. 12. С. 82-88.

117. Тихонов а, Н. ,. Арсенин В. Я. Методы решения, некорректных задач. М.: Наука. 1986. 288 с.

118. Тихонов А. Н., Леонов А. С., Ягола А. Г. Нелинейные некорректные задачи. М.Физмат лит., 1995. 312 с.

119. Современное состояние теории исследования операций. М. .* . Наука, 1979. 464 с.'

120. Пападимитриу X., Стайглиц К. Комбинаторная оптимизация. М.: Мир, 1985. 510 с.

121. Муртаф Б. Современное линейное программирование. М.: Мир, 1984. 224 с. .

122. Михалевич В. С., Сергиенко И. В., Лебедев Т. Т., Рощин В.А., Стукало А. С., Трубин В. А., Шор Н. 3. Пакет прикладных программ ДИСПРО, предназначенный для решения задач дискретного программирования // Кибернетика. 1981. N. 3. С. 117-137.

123. Бурова Н. К.,.Станевичене Л. И., Станевичус А.-И. А,, Шкляр П. 3. Система линейного программирования ЛП-БЭСМ-6. М.: ВД• ' АН СССР, 1981. 127 с.

124. Пакет прикладных программ VЛинейное программирование в АСУ" (ППП Ж АСУ). Руководство программиста. Часть 3. Каш-шин. НПО Центрпрограммсистем, 1978. '96 с.»

125. Цурков В. И. Декомпозиция в задачах большой размерности. М.: Наука, 1981, 523 с.

126. Левин Г. М., Танаев В. С. Декомпозиционные методы оптимизации проектных решений. Минск. Наука и техника. 1978. 240 с.

127. Брэгман Л. М., Грибов А. В. Прыгичев А. Н., Сорокина-М. Г., Сурин С. С., Шиндяков А. А. Пакет "Линейное программирование" // Системы программного обеспечения решения задач оптимального планирования: 3-й Всес. симпоз. М.: ЦЭМИ, 1974. С. 69-70.

128. Кривоножко В. Е. Система программ для решения задач большой размерности методами декомпозиции // Труды ВНИИ системных исслед. 1987. N. 2. С. 51-55.

129. Шкляр П. 3. Пакет линейного программирования ЬР-РС для персонального компьютера /У Системы программного обеспечения решения задач оптимального планирования: 9-й. Всес. симпозиум. Краткие тезисы докладов. М.: ЦЭМИ, 1986. С. 176.

130. Кацман В. Е., Малинов В. Г. Пакет линейного программирования для ПЭКВМ "Искра-226" /У" Развитие функциональных подсистем АСПР Госплана РСФСР. М., 1987. С. 95-102.

131. Аккуратов Г. В., Березнев В. А. Инструментальный пакет оптимизации для 1ВМ РС /./' Системы программного обеспечения решения задач оптимального планирования: 10-й Всес. симпоз. М.: ЦЭМИ АН СССР, 1988. С. 8-9.

132. Еремин И, И. Противоречивые модели оптимального планирования. М.: Наука, 1988. 160 с.

133. Сергиенко И. В. Математические модели и методы решения задач дискретной оптимизации, Киев. Наукова думка, 1988, 471с.

134. Васильев Ф. П. ,. Иваницкий А. Ю. Линейное программирование. М.: Факториал. 1998. 176 с.

135. Кайман В. Е., Малинов В. Г., Бостан Д. В. Оптимизация плана жилищного строительства /V Молодые ученые и специалисты -народному хозяйству. Тезисы докл. обл. н.-т. конфер. Оренбург, 1989. С. 164-155.

136. Доброжанов В. И., Малинов В. Г. Уточнение решения задачи компенсации реактивной мощности //' Изв. АН СССР. Энергетика и трансп. 1984. N. 6. С. 31-38,

137. Малинов В. Г. Метод одномерного поиска для многомерных нелинейных экстремальных задач // Тезисы докл. 16-й науч.-тех, конф. ОрПтй. йнж.-зкон. фак-т. Оренбург, 1994. С. 56.

138. Железко Ю. С, Компенсация реактивной мощности в сложных электрических системах. М.: Знергоиздат, 1981. 200 с.:

139. Доброжанов В. И., Малинов В. Г. Об экономике-математической модели задачи компенсации реактивной мощности в промышленных электрических сетях // Известия АН СССР. Энергетика и транспорт. 1989. N. 4. С. 74-82.

140. Холмский.В. Г. Расчет и оптимизация режимов электрических сетей. М.: Высш. школа, 1975. 280 с.

141. Ковалев И. И., Татевосян Г.-М. Один из методов компенсации реактивных нагрузок в электрических сетях // Изв. АН СССР, Энергетика и транспорт. 1974. N. 5. С. 56-63.

142. Доброжанов В. И. Учет постоянной составляющей приведенных затрат в задаче оптимального распределения компенсирующих устройств в электрических сетях // Изв. вузов. Энергетика. 1983. N. 4. С. 113-116.

143. Крумм Л. А. Методы оптимизации при управлении энергосистемами. М.: Энергоатомиздат, 1981. 464 с.

144. Поляк Б. Т., Скоков В. А. Стандартная программа- минимизации .- 170

145. Функций многих переменных. Вып. 4. М. : ВЦ МГУ, 1967. 25 с.

146. Малинов В. Г. Проекционный метод минимизации для задали оптимизации реактивной мощности // Соврем, технологии в энергетике, . Матер, региональн. науч. практич. конференц. Вып. 1. Оренбург, гос. ун~ет. Оренбург., 1999. С. 31-34.

147. Скоков В. А., Орлова А. Е. Алгоритм минимизации функции многих переменных при наличии ограничений общего вида. Вып. 4. М. ; ВЦ МГУ., 1971. 15 с.

148. Ковалев И. Н., Фадеев В. В. Квадратичная модель при исследовании компенсации реактивной мощности//Электричество. 1934. N. 4. С. 7-13.

149. Мельников Н. А., Россман Л. В. Принципы автоматического регулирования напряжения .и реактивной мощности. в питающих электрических сетях /7 Электричество. 1971. N. 8. С.14-19.

150. Малинов В. Г., Доброжанов К. В. Алгоритм расчета оптимальной реактивной мощности /./ В 141., С. 66-68.

151. Федоренко-Р. П. Об одном алгоритме решения задач математического программирования //Журнал вычисл. математики и ма-темат. физики. 1982. Т. 22. N. 6. С. 1331-1343.

152. Малинов В. Г., Нелюбов В. М., Вочкарев Е. Б. 0 математической модели проблемы оптимизации реактивной мощности и напряжения в. ЗСП /7 Тезисы докладов региональной конференции 11-14 декабря 1997 г. Оренбург, 1996. С. 12.

153. Адаменко Г. М. Захаров В. В.,. Сорокина Е. л. Тестовые задачи безусловной минимизации. Препринт N. 18(119). Мн,: ММ АН БССР, 1981. .67 с.

154. Huang H. Y., Levy A. Y. Numerical Experiments on Quadrati-caily Convergent Algorithms for function minimization /7 Journal of Optimization Theory and Applications. 1970. N. 6. N. 3. P. 269-282.

155. Chattopadhyay R. A study of Test Functions for Optimization algorithms // Journal of Optirnizat. Theory and Applications, 1971. V. 8. N.-3.' P. 231-136.

156. Hock W., Schittkowski K. A comparative Performance Evaluation of 27 Nonlinear Programming Codes /'./ Computing. 1983. V. 30. N. 4. P. 335-358.

157. Нестеров KX E., Пурмаль E. И. Сравнительный анализ новых схем методов сопряженных градиентов /7 Методич. рекомендац.по программированию на ЕС ЭВМ, Вып. 19. М.; ЦШМ АН СССР, 1981. 21 с.

158. Калинин И, Н. К вопросу исследования и сравнения алгоритмов • оптимизации // Кибернетика. 1984. N. 1. С, 77-80.

159. Нестеров.Ю. Е,, Скоков. В. А. К вопросу тестирования алгоритмов первого порядка безусловной минимизации /7 Численные методы математич.•'программирования. М.: ЦШЙД980. С. 77-91,

160. Михалевич В. С., Редковский Н. Н., Перекатов А. Е, Методы минимизации функций на простых множествах /7 Кибернетика. 1986 № 4. С. 25-35.

161. Conn A. R., Gould N, I. М., Toint Ph. L. Testing a Class of Methods for Solving Minimization Problems with Simple Bounds on the Variables // Mathematics of Computation. 1988. V. 50. № 182. P. 399-430.