Разработка и исследование алгоритмов преобразования координат объектов на лунной поверхности тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат технических наук Шарафутдинов, Ильгизар Мансурович

• Шарафутдинов, Ильгизар Мансурович
• кандидат технических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат технических наук Шарафутдинов, Ильгизар Мансурович

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1. МЕТОДЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КООРДИНАТ ЛУННЫХ ОБЪЕКТОВ

1.1. Основные понятия и определения лунной астрометрии (селенодезии)

1.2. Каталоги пространственных координат объектов на видимой стороне Луны

1.3. Каталоги пространственных координат объектов на всей поверхности Луны

1.4. Методы трансформации координат и сводные КСК

1.5. Проблемы при формировании селеноцентрической системы координат

1.6. Постановка цели и задач

2. МЕТОДИКА И АЛГОРИТМЫ РЕАЛИЗАЦИИ ГИБРИДНОГО МЕТОДА ТРАНСФОРМАЦИИ СЕЛЕНОЦЕНТРИЧЕСКИХ КООРДИНАТ

Введение

2.1. Алгоритмы оценивания параметров моделей при решении задачи расширения КСК

2.1.1.А. Аналитический алгоритм

2.1.1.Б. Численный алгоритм

2.1.2. Восъмипараметрический алгоритм

2.2. Алгоритм синтеза адаптивных регрессий для преобразований при решении задачи сгущения КСК

2.2.1. Обоснование алгоритма

2.2.2. Обобщенный алгоритм синтеза адаптивных регрессий

2.2.3 Процедура формирования и анализа регрессий

2.3. Методика обработки данных при распространении опорной селеноцентрической сети

3. ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ «АВТОМАТИЗИРОВАННАЯ СИСТЕМА ТРАНСФОРМАЦИИ СЕЛЕНОЦЕНТРИЧЕСКИХ КООРДИНАТ» (АС ТСК)

3.1. Базовая версия АС ТСК

3.2. Обзор входных и выходных файлов АС ТСК

3.3. Функциональное наполнение АС ТСК

3.3. ¡.Модули первичной обработки данных

3.3.2.Модули формирования детерминированных моделей

3.3.3. Модуль трансформации координат

3.3.4. Процедура автоматического синтеза адаптивной регрессии

в среде «Система поиска оптимальных регрессий» (СПОР-2011)

3.4. Архитектура АС ТСК

4. АНАЛИЗ ЭФФЕКТИВНОСТИ МОДЕЛЕЙ ТРАНСФОРМАЦИИ КООРДИНАТ И ИХ ПРИМЕНЕНА

4.1. Статистический анализ эффективности методов оценивания и структурно-параметрической идентификации

4.1.1. Анализ эффективности методов ТК при решении задачи сгущения (интерполяции) сети

4.1.2. Анализ задачи расширения (экстраполяции) сети

4.2. Модели преобразования координат объектов каталогов в систему КСК-1162

4.2.1. Решение задачи интерполяции

4.2.2. Опыт редукции глобальной сети ULCN 2005 в динамическую

систему КСК-1162

4.3. Опытная версия глобальной селеноцентрической сети в системе КСК-1162

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

УСЛОВНЫЕ СОКРАЩЕНИЯ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Фрагмент исходного кода АС ТСК

ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Оценка точности по двум детерминированным методам ТК на малых выборках по координате £

ПРИЛОЖЕНИЕ 3. Фрагмент сводного селеноцентрического каталога в системе КСК-1162

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка и исследование алгоритмов преобразования координат объектов на лунной поверхности»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. В настоящее время и в ближайшей перспективе исследования Луны космическими аппаратами (КА) имеют все усиливающую практическую направленность: поиск воды, площадок для установки лунных баз, различного рода ресурсов и др. При этом эффективность управления КА при лунной навигации с минимизацией расхода энергетических ресурсов напрямую зависит от точности реализации селеноцентрической системы координат (ССК) и лунного гравитационного поля.

Практически ССК может быть реализована так называемым каталогом селеноцентрических координат (КСК) объектов, приближенно равномерно распределенных по всей лунной поверхности и образующих в совокупности так называемую глобальную селеноцентрическую опорную сеть. Первым приближением к КСК можно считать систему UL.CN 2005 [58], полученную на основе ряда каталогов координат лунных объектов (ККЛО) видимой стороны Луны, результатов обработки лимбовых и детальных фотоснимков и лазерной локации поверхности обратной стороны с КА. Последующие варианты этой системы отличаются большей плотностью опорных объектов и некоторой корректировкой нуль-пункта системы.

Основой этой системы и ее версий является сводная ССК на видимую сторону Луны, закрепляемая путем преобразования (трансформации) пространственных координат отдельных ККЛО в систему принятого опорного (базисного) каталога. Последний корректируется для достижения свойств селеноцентричности с привлечением результатов, полученных с КА.

Главной проблемой с начала селенодезических исследований (определение координат кратера Местинг А) и по настоящее время является проблема точности определения координат, формируемой ошибками идентификации в ККЛО и ошибками трансформации отдельной ККЛО в сводную систему по общим объектам.

Предметом исследований в работе является сводная селеноцентрическая система координат, закрепляемая сводным каталогом селеноцентрических координат; объектом исследований - модели и методы трансформации координат.

В диссертационной работе рассматривается решение задачи прецизионного перевода пространственных координат объектов из отдельного KKJIO (каталога координат лунных объектов) в базисный по общим точкам для создания сводного селеноцентрического каталога координат.

Вопросами разработки моделей преобразования лунных координат из одной системы в другую по общим объектам и методами оценивания их параметров занимались многие исследователи (Алексашин Е.П., Валеев С.Г., Гаврилов И.В., Кислюк B.C., Липский Ю.Н., Никонов В.А. и др.).

В настоящее время наиболее приемлемым путем распространения известного каталога селеноцентрических координат 1162 (КСК-1162), созданного в Казани в системе с центром масс и осями, совпадающими с осями инерции Луны, на большую часть поверхности Луны или при определенных условиях на всю ее сферу является применение детерминированного метода трансформации координат (ТК). Элементы матрицы перехода и вектора смещения начал можно получить по общим точкам для КСК-1162 и преобразуемого в его систему того или иного каталога, включая координатные системы, построенные по материалам орбитальных съемок с космических аппаратов (КА) серий «Зонд» и «Аполлон». Однако отмеченная выше детерминированная модель ТК (трансформации координат) не в состоянии описать разнообразные ошибки, которыми обременены прямоугольные координаты объектов в сравниваемых системах. Кроме того, при использовании для оценивания коэффициентов модели ТК метода наименьших квадратов (МНК) не учитываются условия его применения и, соответственно, не применяются адаптивные

вычислительные схемы обработки данных, что влечет к снижению точности преобразования координат. Возможность повышения точности координат объектов сводного КСК при сведении в селеноцентрическую систему отдельного или ряда ККЛО даже на относительно небольшой процент (с учетом потребностей окололунной навигации) требует своей реализации.

С учетом сказанного решаемая в данной работе задача разработки прецизионных математических моделей ТК является актуальной.

Целью диссертационной работы является повышение точности трансформации координат лунных объектов при сгущении и расширении опорной селеноцентрической сети на основе моделей координатных преобразований с наилучшими линейными оценками параметров.

Для достижения указанной цели в работе решались следующие задачи:

1. Анализ подходов к разработке моделей пространственных координатных преобразований.

2. Разработка методики и алгоритмов координатных преобразований при нарушении условий получения наилучших линейных оценок параметров моделей.

3. Разработка комплекса программ для сгущения и расширения опорной селеноцентрической системы координат.

4. Моделирование координатных преобразований для трансформации координат объектов ряда систем в селеноцентрическую систему координат и исследование их эффективности.

5. Сгущение и расширение опорной селеноцентрической системы координат КСК-1162.

Диссертационная работа выполнялась в соответствии с г/б направлением НИР УлГТУ «Оптимизация математических моделей обработки данных и информационные технологии»; поддержана грантами РФФИ № 08-02-01214 (Построение глобальной селеноцентрической опорной сети на основе данных наблюдений миссий «Зондов» и «Аполлон»),

№ 11-02-91160 - ГФЕН_а (Спин-орбитальная эволюция, динамика лунного ядра, селенодезия и селенографическая система координат на базе данных китайского спутника Чанг'Е и других международных лунных программ), № 11-02-92113 - ЯФ_а (Космическая геодезия и геофизика Луны, Марса, Юпитера и их спутников с применением новых радио-интерферометрических и астрометрических технологий).

Методы исследования. В диссертационной работе применены методы математического моделирования, численные методы решения систем линейных уравнений, численные методы оптимизации, математической статистики, объектно-ориентированного программирования. Научная новизна результатов, выносимых на защиту В диссертационной работе впервые разработаны:

1. Модели трансформации координат с наилучшими линейными оценками параметров для координатных систем, преобразуемых в селеноцентрическую систему координат.

2. Гибридный метод моделирования координатных преобразований по критерию минимума ошибки прогноза по общим объектам координатных систем, реализованный в виде методики и алгоритмов и основанный при расширении сети на детерминированных моделях с учетом условий ортогональности преобразований и при ее сгущении на аппроксимирующих моделях в виде адаптивных регрессий, а также при сгущении сети в виде двухкомпонентной модели, состоящей из детерминированной и аппроксимирующих частей и позволяющий уменьшить систематические и случайные ошибки трансформации координат.

3. Алгоритм получения оптимальных по критерию минимума ошибки прогноза адаптивных регрессий (аппроксимирующих моделей трансформации координат) для решения задачи сгущения селеноцентрической сети на видимой стороне Луны.

4. Программный комплекс для решения задач координатного обеспечения на поверхности Луны, позволяющий получать наилучшие линейные оценки параметров с последующим их использованием для расширения и сгущения базовой селеноцентрической сети и обеспечивающий повышение точности при трансформации координат по сравнению с используемыми ранее методами.

5. Сводная селеноцентрическая система координат, закрепляемая координатами объектов на всей поверхности Луны, представляющая собой первый опыт расширения и сгущения опорной системы КСК-1162 на основе сети объектов системы ЦЬСК 2005.

Достоверность полученных результатов обеспечивается корректным применением методов математического моделирования и информационных технологий и подтверждена итогами численных экспериментов, а также результатами использования алгоритмов, программного и координатного обеспечения при внедрении.

Пакет прикладных программ для решения задач координатного обеспечения на поверхности Луны, созданный на основе алгоритмов трансформации селеноцентрических координат с учетом условия ортогональности перехода из одной системы координат в другую и аппроксимирующего подхода используется конечными пользователями, позволяя получать наилучшие линейные оценки параметров с последующим их использованием для расширения и сгущения базовой селеноцентрической сети и обеспечивая повышение точности при трансформации координат по сравнению с используемыми ранее методами. Первая версия глобальной селеноцентрической сети на основе базисной сети КСК-1162 и каталога иЬСМ 2005 используется для научных целей.

Практическая значимость работы. В практической перспективе селеноцентрическая сеть объектов, задающая координатную систему на Луне с центром, совпадающим с центром масс и осями, направленными вдоль осей

инерции, может стать одним из базовых элементов координатно-временного обеспечения для лунной навигации с использованием картографических материалов и опорных объектов.

Внедрение результатов. Программное обеспечение, алгоритмы и практические результаты внедрены в рамках грантов РФФИ № 08-02-01214, № 11 -02-91160 - ГФЕН а, № 11 -02-92113 - ЯФ_а, в Казанском (Приволжском) федеральном университете (Астрономическая обсерватория им. В.П. Энгельгардта при К(П)ФУ), а также в учебном процессе УлГТУ при курсовом и дипломном проектировании по специальности «Прикладная математика», что подтверждается соответствующими актами о внедрении.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и симпозиумах:

- Международная научная конференция «100-летие: прошлое, настоящее и будущее Крымской астрофизической обсерватории» (Украина, 2008);

- European Geosciences Union, EGU General Assembly 2009, Geophysical Research Abstracts (Vienna, Austria, 2009);

- Конференция ИВТ-2010 «Информатика и вычислительная техника» (Ульяновск, 2010);

- International Astronomical Congress «Astrokazan-2011» (Kazan, 2011);

- European Planetary Science Congress 2011 (Nantes, France, 2011);

- Конференции профессорско-преподавательского состава УлГТУ (Ульяновск, 2008, 2009, 2010, 2011 годы).

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка условных сокращений, списка литературы и трех приложений. Общий объем составляет 183 страницы, основной текст изложен на 134 страницах, включая 17 рисунков и 13 таблиц. Список литературы содержит 118 наименований использованных литературных источников.

Во введении сформулированы актуальность темы, цель и задачи диссертации, научная новизна и практическая значимость исследований, приведена информация об использовании, реализации, апробации результатов работы и содержание диссертации.

В первой главе приведена информация об основных понятиях и определениях лунной астрометрии; описываются существующие каталоги координат лунных объектов (ККЛО); дается обзор методов трансформации координат; анализируются проблемы, возникающие при формировании селеноцентрической системы координат.

Во второй главе рассматриваются методика обработки данных, математические алгоритмы и модели трансформации координат с наилучшими линейными оценками параметров для координатных систем, преобразуемых в селеноцентрическую систему координат.

В третьей главе описывается программное обеспечение «Автоматизированная система трансформации селеноцентрических координат» (АС ТСК), позволяющая в автоматизированном режиме отождествления общих объектов сравниваемых координатных сетей (каталогов) получать положения объектов одного из каталогов в системе другого как для детерминированных моделей при ортогональной матрице ориентации, так и для аппроксимирующих преобразований при применении пакета программ адаптивного регрессионного моделирования.

В четвертой главе анализируются результаты применения пакета «Автоматизированная система трансформации селеноцентрических координат (АС ТСК) для сгущения на видимой стороне и расширения на обратную сторону Луны сети базисных точек КСК-1162, фиксирующей систему селеноцентрических координат с центром, совпадающим с центром массы Луны и осями, направленными вдоль ее осей инерции.

В заключительной части сформулированы основные результаты и выводы работы, намечены перспективы дальнейших исследований.

1. МЕТОДЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КООРДИНАТ ЛУННЫХ

ОБЪЕКТОВ

1.1. Основные понятия и определения лунной астрометрии

(селенодезии)

В прямоугольной системе координат положение объектов на лунной поверхности задается величинами (кси), г| (этта), С, (дзетта). При этом центр прямоугольной системы совмещают либо с геометрическим центром фигуры, либо с центром масс Луны. Одна из осей (г|) направлена по оси вращения Луны. Две другие (С, и £,) расположены в плоскости лунного экватора. Ось £ направлена к Земле, а ось - направо к востоку (см. рис. 1.1). В современной лунной картографии север располагается вверху, юг - внизу, восток - справа и запад - слева, т. е. также как на картах Земли.

Рис. 1.1 Прямоугольная система координат объектов на лунной поверхности

В сферической системе координат широты (/?) принято определять длиной дуги вдоль меридиана фиксируемой точки поверхности, а долготы (Я) отсчитывают от нулевого меридиана. В связи с тем, что фигура Луны описывается сферой, значения широт, определяемые длиной дуги меридиана и центральным углом, равны между собой.

Прямоугольные и сферические селенодезические координаты связаны следующими выражениями: С, - р cos Я cos ¡5

£ = р sin /Icos/? (1)

r¡ = psin /?

P = ^2+1?2 + C2,

где p - селеноцентрический радиус-вектор.

В лунной картографии, как правило, используется сфера радиусом R = 1738,0 км. Так как объект находится над сферой, либо под ней, то наряду с X и /?, используется высота h, а радиус-вектор р равен сумме величин:

p = R + h. (2)

Назовем условно селенодезической системой координат систему, у которой центр совпадает с центром фигуры Луны (близок к нему), а селеноцентрической - систему, при построении которой предприняты усилия по совмещению ее центра с центром массы Луны и осей координат с главными осями инерции нашего спутника.

На лунной поверхности система координат закреплена с помощью селенодезических сетей опорных пунктов, координаты которых определены высокоточными измерениями.

Исходным пунктом селенодезических сетей служит небольшой четкий кратер вблизи центра видимого полушария Луны - МестингА. Диаметр кратера составляет около 15 км, а координаты многократно определялись учеными из различных стран.

Всю поверхность видимого полушария условно разделили на сектора. В каждом секторе было выбрано по нескольку кратеров, которые называются

опорными точками «первого класса». Координаты этих кратеров определяются либо относительно точек края видимого диска, либо относительно положения кратера Местинг А [40].

В лунной картографии, в основном, используются кратеры «второго» и «третьего» классов. Их координаты определяются относительно положения «первоклассных» опорных пунктов. В каталогах, объединяющих точки селенодезической основы, как правило, приводятся их прямоугольные координаты г|) или сферические координаты (А,, (3) и абсолютные высоты (И), отнесенные к сфере стандартного радиуса [52].

Эффективность управления космическими аппаратами (КА) напрямую зависит от точности задания селеноцентрической системы координат (ССК) и лунного гравитационного поля.

Практически ССК может быть задана так называемым каталогом селеноцентрических координат (КСК) объектов, приближенно равномерно распределенных по всей лунной поверхности. Первым приближением к КСК можно считать систему UI.CN 2005 [59, 60], полученную на основе ряда каталогов координат лунных объектов (ККЛО) видимой стороны Луны, результатов обработки лимбовых и детальных фотоснимков и лазерной локации поверхности обратной стороны с КА. Последующие варианты этой системы отличаются большей плотностью опорных объектов и некоторой корректировкой нуль-пункта системы.

Основой этой системы является сводная ССК на видимую сторону Луны, закрепляемая путем преобразования (трансформации) пространственных координат отдельных ККЛО в систему принятого опорного (базисного) каталога. Последний корректируется для достижения свойств селеноцентричности с привлечением результатов, полученных с КА.

1.2. Каталоги пространственных координат объектов на видимой

стороне Луны

Исследователи в области астрометрии подразделяют каталоги координат лунных объектов на 1) исходные, которые построены по результатам непосредственных измерений, 2) производные, или сводные, которые созданы на основе нескольких исходных каталогов. Исходные каталоги делятся на 1) абсолютные, которые получены с помощью абсолютных наблюдений, 2) относительные, которые получены дифференциальными методами [48]. Существующие каталоги координат лунных объектов в основном являются относительными, по той причине, что при их построении координаты опорных объектов измерялись относительно системы Franz из девяти точек [81 ] или через каталог Schrutka-Rechtenstamm I [108]. Следует отметить, что восемь из них измерены дифференциальным способом относительно кратера МестингА. Большинство существующих опорных сетей не являются независимыми, а считаются системами «третьего» порядка. Причем системы [см. 31, 32, 34, 67, 79] являются производными, так как они получены в результате объединения группы исходных каталогов.

В каталоге картографической службы инженерных войск армии США Army Map Service (AMS) [72] ориентация определялась независимо от системы Franz.

Абсолютной можно назвать лишь единственную точку на Луне -кратер Местинг А. Координаты этого кратера впервые определил Franz [80], которые потом уточнил Koziel К. [92, 93].

Совокупность опорных, базисных объектов в каждом каталоге закрепляет на Луне вполне определенную координатную систему со своим центром и ориентацией координатных осей.

Опорные селенодезические системы координат реализуются в виде каталогов координат лунных объектов, которые измерены с максимально возможной точностью. Определение координат опорных объектов относительно лунного экватора и начального меридиана тесно связано с задачей изучения фигуры Луны, элементов ее орбиты и либрационных постоянных и требует от исследователей весьма тщательного подхода при огромном объеме работ.

Наземные наблюдения используются при построении опорных сетей для видимого полушария Луны. При этом применяются различные модификации метода аналитической фотограмметрии, в основе которого лежит анализ малых вариаций, возникающих за счет оптической и физической либрации Луны [33, 50, 61, 62, 63, 99].

До начала 1950-х годов все работы по селенодезии опирались на систему Franz J.H.G.

Каталог Schrutka-1. В 1950-х годах Schrutka-Rechtenstamm G. обработал измерения 150 кратеров [82] на основе теории физической либрации Луны. Он получил не только селенодезические координаты объектов, но и их абсолютные высоты над сферой радиуса 1738,0 км [108].

Каталог Baldwin содержит 696 опорных точек, для которых были определены как сферические координаты, так и высоты. В 1963 году Baldwin R.B. [69] опубликовал результаты измерений, полученных на 36" рефракторе Ликской обсерваториию. Измерения он производил в системе [108]. По оценке автора возможная ошибка определения высоты составляла от ± 680 м до ± 840 м.

В этом каталоге приводятся 1) прямоугольные координаты Ъ, и г\ по каждой пластинке и их усредненные значения по всем измерениям, а также для некоторых точек - по каталогам [82, 106, 107, 108 и др.]; 2) высоты над средней сферой по данным всех этих авторов, а также высоты вала кратера

над окружающей поверхностью и превышение лунной поверхности над средней сферой; 3) диаметр измеренной детали.

Следует отметить, что, хотя каталог содержит большое количество точек, каждая из них измерялась в среднем лишь на 2-х - 3-х пластинках, поэтому система в целом не может быть хорошо согласованной [99].

Каталог AMS появился на свет в 1963 году. Картографической службой инженерных войск армии США (Army Map Service, US Army, Corps of Engineers) проводилось определение плановых координат и абсолютных высот 256 объектов лунной поверхности (AMS) [72]. Измерения осуществлялись с пятнадцати пластинок с повышенной контрастностью, полученных на 36" рефракторе Ликской обсерватории. Ориентация этой системы определялась по восьми точкам Watts C.B. [118] в краевой зоне Луны. Таким образом, она также отнесена к геометрическому центру фигуры Луны. Исходя из этого, система AMS рассматривается [36] как независимая от системы [108]. Однако, масштаб определялся по-прежнему из измерений лунных деталей - двадцати шести «фундаментальных» опорных кратеров. Координаты исходного кратера Местинг А брались по данным Koziel 1948 г. [92]. Еще одна особенность этой системы в том, что многие фотопластинки получены в фазах, далеких от полнолуния, что может вызвать дополнительные ошибки [99].

Средние квадратические ошибки данной системы составляют ± 858 м для абсолютных высот и ± 1094 м для плановых координат кратеров. Ошибка положения центра системы координат авторами не указана. Можно предположить, что она превышает 1 км [44].

В каталоге координат лунных объектов AMS приведены прямоугольные координаты кратеров т|, Ç, их сферические координаты X, [3, высота h над средней сферой и номер по списку Международного астрономического союза (MAC) [71].

Каталог ACIC [98] опубликован в 1965 г. С 1961 года Центр аэронавигационных карт и информации ВВС США (Aeronautical Chart and Information Center, USAF) проводит работу по исследованию Луны, в частности, по определению точных координат лунных объектов. В каталоге ACIC точность полученных координат увеличилась за счет подробного исследования влияния различных факторов (условия наблюдений, эффект фазы Луны, измерительные ошибки и др.).

Селенодезическая опорная система ACIC включает 196 точек, для которых даются сферические координаты X, |3, а таже радиус-вектор. Измерения проводились с негативов, полученных во время полнолуния на астрономических обсерваториях Пик-дю-Миди и Флагстафф. Особое внимание уделялось снижению эффекта атмосферной турбуленции, для чего использовалось либо несколько последовательных снимков с короткой экспозицией, либо один - с длинной.

Масштаб и ориентация пластинок определялись по измерениям тридцать одного объекта из каталога координат лунных объектов [108]. Таким образом, за начало системы координат брался центр геометрической фигуры Луны. Оценка точности селенодезической системы ACIC авторами не производилась.

Каталог Schrutka-2. В 1966 году Schrutka-Rechtenstamm опубликовал свой второй каталог опорных объектов на Луне [109]. Каталог координат лунных объектов Schrutka-2 содержит 137 кратеров из списка, предложенного Weimer Т. в соответствии с рекомендациями конференции по проблемам лунной топографии, которая проходила в Бонер-де-Бигор в 1960 году [105]. Для измерений использованы одиннадцать копий с негативов Ликской обсерватории, причем три из них - полнолунные, а остальные восемь - в меньших фазах. Это, естественно, отрицательно сказалось на точности данного каталога. За основу в качестве опорных было

взято восемь из девяти объектов Franz (за исключением кратера Aristarchus), три из четырех объектов Hayn (за исключением кратера Tycho) и еще одиннадцать объектов из каталога координат [82]. Для того, чтобы уточнить координаты двадцати двух избранных объектов, были обработаны три полнолунные фотографии. Шестнадцать объектов затем использовались как опорные при обработке оставшихся восьми снимков Луны.

В каталоге Schrutka-2 приводятся номера кратеров по списку Международного астрономического союза (MAC) [71] и по каталогу Saunder S.A. [107], названия, прямоугольные селенодезические, а также плановые сферические координаты и абсолютные высоты.

Каталог Schrutka-2 создавался на «фундаментальных» опорных объектах Franz. Можно сделать вывод, что центр системы отнесен к геометрическому центру фигуры Луны.

В связи с подготовкой проекта Apollo, селенодезический отдел картографической службы армии США (Selenodetic Branch of the Army Map Service) вместе с Лунно-планетным отделом центра аэронавигационных карт и информации (Lunar and Planetary Branch of the Aeronautical Chart and Information Center) вели усиленную работу по созданию новой селенодезической системы. В 1967 году они ее опубликовали [79]. Новая система предназначалась для подготовки карт посадочных площадок по новому проекту. При построении системы исследователи, без собственных измерений, создали сводный каталог, используя три источника, а именно систем ACIC [98] и AMS - основной [72] и дополнительной. Изначально по методике AMS каждая из трех систем независимо улучшалась. После чего, методом наименьших квадратов были получены селенодезические координаты X, ß семьсот тридцати четырех лунных объектов. В каталоге приводятся также прямоугольные координаты и высота над средней сферой h. Полученная система (Department of Defence selenodetic

control system 1966) характеризуется, по оценке авторов, среднеквадратическими ошибками ± 972 м - для плановых координат и ± 751 м - для абсолютных высот.

Были проведены статистические исследования с изменением числа обрабатываемых фотопластинок, чтобы дать оценку возможного выигрыша в точности.

Каталог Голосеево-2. В середине 60-х гг. 20 века Гаврилов И.В., Дума A.C., Кислюк B.C. и Курьянова А.Н. в Главной астрономической обсерватории АН УССР (Голосеево) вели работу по определению пространственных координат объектов на лунной поверхности [31, 32]. В результате исследования они опубликовали каталог координат 500 объектов. В ходе работы использовались шестнадцать негативов, полученных на 16" астрографе в Голосееве и на 26" рефракторе Пулковской обсерватории. Для 230 объектов каталога ГАО АН УССР, общих с каталогами [108] и [69], координаты были определены с помощью усреднения по голосеевским измерениям и данным указанных каталогов, для оставшихся 270 объектов -только по голосеевским измерениям. В качестве базисных использовались двенадцать объектов из каталога [108]. Масштаб и ориентация пластинок определялись аналогично. Таким образом, центр системы Голосеево-2 отнесен к геометрическому центру фигуры Луны. Исследователями были получены значения поправок, которые позволяли перейти к системе наиболее современных карт краевой зоны Watts [118].

В сводном каталоге ГАО АН УССР точность координат опорных объектов зависит как от объекта, так и от его положения на видимой части лунного диска. По оценке авторов, среднеквадратические ошибки координат объектов: для плановых координат - от ± 0,15 до ± 3,00 км, для абсолютных высот - от ± 0,40 до ± 2,50 км.

Каталог Голосеево-2 содержит прямоугольные селенодезические координаты точек, а также сферические селенодезические координаты X, /? и высоту h.

Каталог Mills. В конце 60-х гг. 20 века в Манчестерском университете Mills G.A. определил пространственные координаты 906 объектов на видимом полушарии Луны [99, 100, 101]. Mills G.A. использовал обширный наблюдательный материал с повышенной контрастностью со ста двадцати пластинок, которые были полученны на 24" рефракторе обсерватории Пик-дю-Миди. Ориентация пластинок и масштаб были определены по тридцати шести опорным объектам из каталогов [108] и [98]. Таким образом, начало координат системы Mills расположено в геометрическом центре фигуры Луны. Автором не приведены оценки точности полученных координат. Согласно мнению автора, вероятные ошибки в большей степени уменьшены за счет большого количества обрабатываемых фотопластинок (в среднем каждый объект измерялся на более чем 100 фотопластинках, которые описывают широкий диапазон либраций).

Манчестерский каталог Mills заметно отличается от всех предыдущих, во-первых, большим количеством опорных объектов, во-вторых, их равномерным распределением по всему видимому диску Луны, в-третьих, большей однородностью объектов, выбранных в качестве опорных (использованы в основном мелкие кратеры диаметром около 5 км). В каталоге наряду с селенодезическими координатами X, Р и высотой h приводятся также диаметры измерявшихся на снимках деталей. Точность полученной системы не оценивалась.

В 1970 году каталог Mills был переработан Moutsoulas М. [102].

В конце 60-х гг. 20 века в Лунно-планетной лаборатории Аризонского университета (Lunar and Planetary Laboratory, the University of Arizona) Arthur D.W.G. разработал новую оригинальную методику селенодезических

измерений. Она позволяла определять ориентацию системы по снимкам Луны со следами звезд [64]. С применением новой методики были обработаны двадцать пять йерксских фотографий Луны и построена новая селенодезическая система из сорока восьми объектов [65, 66]. Координаты объектов отсчитывались относительно кратера Местинг А по данным Koziel 1963 г. [93]. Но назвать эту систему независимой затруднительно, так как масштаб фотопластинок определялся по кратерам из каталога [108]. Таким образом, начало координат отнесено к геометрическому центру фигуры Луны. Каталог содержит прямоугольные селенодезические координаты кратеров и высоты над сферой радиуса 1738,1 км.

В это же время в Лунно-планетной лаборатории был построен сводный каталог 1355 объектов на видимом полушарии Луны [67]. Он основан на многочисленных измерениях, взятых из различных источников (ACIC, Sauder, ГАО АН УССР и LPL). В него вошли сорок восемь кратеров из [66]. Тем самым, она представляет собой селенодезическую систему, ориентация которой независима. Масштаб системы зависит от системы [108]. Оценка точности авторами не была произведена.

Каталог содержит прямоугольные селенодезические координаты точек, а также сферические селенодезические координаты X, ß и высоту h над сферой радиуса 1738,1 км.

Итак, масштаб и ориентация селенодезических систем почти во всех исследованиях определялись по объектам из каталога Schrutka-Rechtenstamm I [108], который опирается на систему Franz из девяти объектов [81]. По мнению Артура [66, 67], ориентация его системы опирается на измерения Franz [81]. О каталоге AMS Arthur говорил, что он мог бы претендовать на независимость, если бы был построен так, как описано в [72]. Таким образом, ни одну из описанных выше селенодезических систем

нельзя считать абсолютной (хотя Mills называл свой каталог абсолютным [99, 100, 101]).

Первые попытки создания селеноцентрической системы были предприняты Валеевым С.Г. в Астрономической обсерватории имени В.П. Энгельгардта (АОЭ) Казанского университета в 1969г. [6, 8].

Каталог Валеева [10] построен по измерениям одиннадцати негативов с изображениями звезд, полученных совместно с Н.Г. Ризвановым на горизонтальном телескопе АОЭ, и содержит 30 кратеров, общих для систем [32, 82, 98, 106, 108]. В указанной работе, имеющей экспериментальный характер, сделана попытка независимого определения масштаба и ориентации пластинок по звездам, а также определения координат лунных объектов относительно центра массы Луны.

Каталог 1162. В настоящее время для видимой стороны Луны существует несколько отечественных селеноцентрических координатных систем, среди которых наиболее информативен каталог 1162 объектов (КСК-1162) [46], построенный в Астрономической обсерватории имени В.П. Энгельгардта (АОЭ) по крупномасштабным снимкам Луны со звездами, и каталог 264 кратеров [49], полученный ранее на этих же наблюдениях и послуживший основой для КСК-1162.

Опорная сеть КСК-1162 на всю поверхность видимого полушария Луны создавалась на основе крупномасштабных снимков Луны со звездами, которые были получены с помощью не имеющего аналогов в мире уникального метода раздельных пластинок [85]. Так как осуществляется привязка к звездам, то мы получаем абсолютное определение ориентации нуль-пункта системы координат и ее масштаба, в отличие от методов обработки снимков Луны без звезд. Также при отборе лунных кратеров, вошедших в Казанскую опорную сеть КСК-1162, были использованы следующие критерии: 1) взяты кратеры правильной округлой формы;

2) кратеры имеют небольшие размеры; 3) кратеры хорошо наблюдаемы; 4) кратеры сети в основном входят в списки объектов других известных селенодезических каталогов и удовлетворяют рекомендациям MAC (Международного астрономического союза) [23].

Можно упомянуть систему из 4900 объектов, которая была построена в Киеве в Голосеевской обсерватории И.В. Гавриловым и др. [35]. Киевские каталоги получены в «квазидинамической» системе координат [38], в отличие от казанских каталогов, построенных в динамической системе координат [24].

Выводы. На сегодняшний день, во всем мире нет аналога КСК-1162 в виде опорной базисной сети объектов на Луне, которая бы равномерно покрывала все видимое полушарие Луны и построена по наземным наблюдениям в небесной системе координат.

1.3. Каталоги пространственных координат объектов на всей

поверхности Луны

В 80-х годах 20 века каталоги лунных объектов не обновлялись из-за приостановки американской лунной программы. После получения данных с космических аппаратов Клементина в 90-х годах появляются новые каталоги и обновляются существующие. В результате этих исследований появились две основные опорные сети Unified Lunar Control Network (ULCN) [97] и Clementine Lunar Control Network (CLCN) [74, 75, 76, 96]. В 2005 году на основе ULCN и CLCN в США была создана Глобальная сеть опорных точек Unified Lunar Control Network 2005 (ULCN 2005), полученная на основе ряда каталогов координат лунных объектов видимой стороны Луны, результатов обработки лимбовых и детальных фотоснимков и лазерной локации поверхности обратной стороны с космических аппаратов.

Unified Lunar Control Network 2005 (ULCN 2005) являлась до недавнего времени наиболее точной. ULCN 2005 создавалась при поддержке программы NASA и основана на фотограмметрической обработке 43866 снимков Клементины и данных о положении 272931 точек. Точки были привязаны к сфере радиуса 1737,4 км. Высотная точность этой системы оценивается Archinal В. и его коллегами равной приблизительно 100 м [56].

Каждая точка из ULCN 2005 содержит следующую информацию: имя, источник, вертикальная точность в м, широта (в градусах), долгота в системе 360°, долгота в системе ± 180°, радиус-вектор в км и др.

22 точки, являются именными и обозначаются по имени (например, Clerke). Другие точки содержат номер (напр., 655) или начинаются с буквы (напр., М. или Р), либо содержат как буквы, так и числа (напр., Р7084 или М5). Точки, имена которых начинаются с буквы «Р», являются объектами из оригинального ULCN. Точки, имена которых начинаются с буквы «М», являются точками из Mariner 10. Точки Клементины имеют свое обозначение (напр., AF0510C). Цифры от 1 до 5 показывают принадлежность точки к определенной системе (напр., 1 - система Аполлона).

1.4. Методы трансформации координат и сводные КСК

В результате проведенных селенодезических исследований различными государствами, было получено большое количество материала, представляющего собой координаты нескольких тысяч объектов на видимом полушарии Луны. Координаты объектов в различных каталогах были получены разными методами и с различной погрешностью. Это очень затрудняет их сравнительную оценку. В результате очень трудно выбрать наиболее предпочтительную из имеющихся селенодезических систем кординат.

Многие ученые (как правило, авторы каталогов) проводили сравнительную оценку систем, используя координаты общих точек, потому что создание сводных систем, выявление преимущества одной системы относительно другой невозможно без тщательного изучения их отличий как в систематическом, так и в случайном отношении.

Вопросами сравнительной точности каталогов, разработки моделей преобразования лунных координат из одной системы в другую по общим объектам и методами оценивания их параметров занимались многие исследователи (Алексашин Е.П., Валеев С.Г., Гаврилов И.В., Кислюк B.C., Липский Ю.Н., Никонов В.А., и др.)

Задача поиска неизвестных параметров преобразования координатных систем по известным в каждой из систем векторам положений общих объектов, как правило, решается методом наименьших квадратов в линейной постановке. При этом предполагается, что углы взаимной ориентации координатных осей малы, а векторы положений одноименных точек заданы с неизвестными ошибками и не уточняются.

8-параметрический метод. Отличие этого алгоритма, предложенного Алексашиным Е.П., от вышеуказанного заключается в том, что для его использования нет необходимости учитывать малость углов взаимной

ориентации каждой из систем. Кроме того, в процессе оценивания параметров преобразования векторы положений одноименных точек рассматриваются как векторы-выборки измерений с заданными ковариационными матрицами ошибок, что дает возможность одновременно с оценками параметров преобразования корректировать значения векторов положений. Коррекция осуществляется с помощью поправок, вычисленных с учетом ковариационных матриц ошибок векторов и с учетом ограничений, обусловленных требованиями равенства с заданной точностью векторов положений общих объектов при их пересчете из одной системы в другую [4].

Методы Валеева. Валеев С.Г. [5, 7] провел сравнение каталогов [32, 82, 108], используя координаты опорных объектов на поверхности Луны. Целью было определить поправки геоцентрических координат Луны и эфемеридного времени. В результате проведенных исследований им был сделан вывод о том, что попытки улучшить систему Franz не достигли намеченной цели и даже привели к обратному эффекту. По его мнению, при решении задач координатной привязки одной из основных является проблема адекватного преобразования координат из одной системы в другую. Все разнообразие подходов он свел к математическим моделям двух типов: детерминированным и аппроксимирующим преобразованиям [17]. Для решения задачи ТК (трансформации координат) при детерминированном подходе Валеевым С.Г. было предложено применить линейную модель с нелинейными ограничениями в виде равенств, обеспечивающих ортогональность преобразований [18].

На основе наземных и космических фотографий Луны С.Г. Валеевым был выполнен цикл селенодезических исследований [11, 12, 13, 20]. Им развиты методы регрессионного анализа для оптимизации решения задач фотографической астрометрии и селенодезии [15, 16].

7-параметрический метод. Сравнение существующих

селенодезических систем было выполнено Кислюком B.C. в Г АО АН УССР [36, 37]. При составлении сводного каталога им была использована 7-параметрическая модель связи двух систем, включающая три угла поворота, несовпадение начал по трем координатным осям и общее различие масштабов. С использованием данной методики выполнено сравнение восьми селенодезических опорных сетей; из них независимыми являются системы каталогов [66, 72, 108], остальные работы выполнены в системе [108]. Проведя анализ отклонений координат опорных объектов, был сделан вывод о том, что лучше всего согласуются между собой каталоги [66, 98, 108]. Сравнив абсолютные высоты общих объектов для тех же каталогов, был сделан вывод, что хорошо согласуются между собой системы [66, 98, 101, 108].

Гаврил ов И.В., Кислюк B.C. при составлении сводного каталога использовали информацию из одиннадцати селенодезических каталогов, а именно о 4034 положений опорных объектов на Луне. Сводный каталог основан на положениях опорных объектов, которые были определены только по независимым измерениям [34].

Вышеуказанную методику значительно развили и углубили Хабибуллин Ш.Т. и Чиканов Ю.А. [84]. Используя аппарат теории деформации сплошной среды, ими был проведен попарный анализ отклонений координат общих объектов для указанных выше систем. Также ими по главным осям деформации были определены деформации одной селенодезической системы по отношению к другой. Авторы считали, что коэффициент относительного расширения (или сжатия) вдоль главных осей деформации постоянен по всей оси. Ввиду малого количества общих объектов, им не удалось получить более локальные деформации, характерные для определенной местности.

В результате анализа двенадцати отдельных каталогов координат лунных объектов, была построена «Сводная система селенодезических координат 4900 точек лунной поверхности» [35]. Ориентация системы и ее масштаб были заданы каталогом Артура (США), составленным по двадцати пяти снимкам Луны со звездными следами. Попытки привязать систему к центру масс Луны осуществлялись с использованием американских альтиметрических измерений, полученных с помощью космических аппаратов «Аполлон-15,-16».

Метод ГАИТИ (метод последовательной редукции). Липский Ю.Н., Никонов В.А. и Скобелева Т.П. для создания единой системы выбрали девять современных (на тот момент времени) несводных селенодезических каталогов. [31, 32, 69, 72, 98, 100, 108, 109]. Разработанный в Государственном астрономическом институте им. П.К. Штернберга (ГАИШ) метод создания единой системы координат из отдельных селенодезических каталогов рассчитан на использование сферических координат опорных объектов в каталогах: абсолютной высоты Ь над сферой стандартного радиуса 1738,0 км, долготы X и широты [3. У девяти каталогов по прямоугольным координатам и их ошибкам были произведены вычисления сферических координат и их среднеквадратических ошибок.

Существующие методы создания единой системы из отдельных каталогов [34, 36, 37, 79], как отмечают авторы, имеют общий недостаток: систематические отличия между каталогами находились при количестве неизвестных, превышающих количество функционально независимых неизвестных. В результате чего систематические расхождения определены с такими ошибками, которые сопоставимы и даже превышают средние ошибки координат базисных объектов в каталогах [37].

На наш взгляд, авторы справедливо отмечают недостаток классической модели ТК (трансформации координат), не учитывающей взаимозависимость

(мультиколлинеарность) ее параметров. От этого недостатка избавлены предлагаемые модели с учетом условия ортогональности перехода. С другой стороны, мнение о том, что именно этот недостаток приводит к ошибкам трансформации координат, сопоставимым с ошибками координат объектов в каталогах, является не вполне корректным. Ошибки ТК (систематических расхождений) Бд большей частью порождены случайными ошибками определения координат в двух сравниваемых системах. Эти ошибки изначально присутствуют при преобразованиях координат. Назначение той или иной модели трансформации координат состоит в том, чтобы с минимальной собственной ошибкой 80, равной ошибке 8д/л/п, где п -количество общих объектов в контрольной выборке, осуществить перевод координат всех объектов одной системы в другую. Тем не менее, разные модели ТК обладают различными ошибками 80, что обуславливает необходимость исследования их эффективности и разработки новых подходов [29].

При разработке этого метода особое внимание авторами было уделено выделению функционально независимых неизвестных (три параметра отвечают за смещение центров систем координат и три - за разворот координатных осей) и на разделение последних.

Основные принципы этого метода следующие:

1. Раздельно определяются параметры смещения центров и взаимной ориентации координатных осей систем каталогов.

2. Смещение центров определяется площадным способом по расхождениям средних высот общих трапеций 10°х10° (средние высоты вычисляются по гипсометрическим картам) и отдельно по каждой из трех координатных осей.

3.Разворот координатных осей друг относительно друга определяется в трех углах Эйлера после редукции каталогов к единому центру, причем углы

нутации и прецессии определяются только по расхождениям широт, а углы чистого вращения только по расхождениям долгот общих объектов.

За основу для определения вектора смещения центров были взяты гипсометрические карты, построенные по значениям высот объектов девяти каталогов. Все каталожные высоты предварительно были пересчитаны с учетом поправок за вал кратеров; эти поправки в среднем равны 0,3 - 0,4 км, и были рассчитаны по формуле Артура [62] в зависимости от размера кратера. По гипсометрическим картам вычислялись средние высоты трапеций 10°х10° над сферой радиусом 1738,0 км; веса средним высотам назначались в зависимости от числа объектов на трапециях и их средних ошибок высот. По каталогам Болдуина и Артура, где радиус сферы, принятый за единицу, отличается от значения 1738,0 км, все средние высоты трапеций были дополнительно приведены к сфере стандартного радиуса, т. е. к единому масштабу измерений [41].

По полученным результатам был сделан вывод о том, что центр масс смещен относительно центра фигуры на 2,3 км ближе к Земле, на 0,2 км на запад в сторону Океана Бурь и на 2,3 км к северу.

Эти данные использовались для приведения девяти селенодезических каталогов к центру масс путем введения соответствующих поправок в долготы, широты и высоты опорных точек девяти каталогов за параллельный перенос начала координат из центра фигуры в центр масс Луны.

В результате единая селенодезическая система из девяти каталогов, которая была отнесена к центру фигуры и инерциальной ориентации координатных осей, была преобразована в единую систему, отнесенную к центру масс и главным осям инерции Луны.

Единая система была создана методом последовательной редукции. Сначала девять каталогов были редуцированы к центру фигуры видимого полушария Луны. Затем они были приведены к инерциальной ориентации

координатных осей системы Артура. После чего все девять каталогов были редуцированы к центру масс Луны.

В итоге, единая селенодезическая система координат 2900 точек [42] создана в двух вариантах:

1. Система приведена к центру фигуры видимого полушария Луны и инерциальной ориентации координатных осей. Здесь координатные оси девяти систем параллельны главным осям инерции Луны, но не совпадают с ними, т.к. центр фигуры не совпадает с центром масс Луны.

2. Система приведена к центру масс и главным осям инерции Луны.

Таким образом, единая система реализует в теле Луны две

координатные системы с параллельными координатными осями и различными центрами.

Более подробно методы составления единой системы из отдельных каталогов изложены в работе [37].

До сих пор рассматривались сводные каталоги, полученные для видимой стороны Луны.

На сегодняшний день существует единственный глобальный сводный каталог в реализации 11ЬСЫ 2005, не считая ее последующих версий. Однако высокая внутренняя (относительная) точность положений ее объектов не соответствует точности, использованной при построении многоэтапной опорной сети координат объектов на видимой стороне Луны, основанной на ряде рассмотренных в разделе 1.2 - 1.3 исходных ККЛО (каталогов координат лунных объектов) и классической модели ТК (трансформации координат) без учета условия ортогональности.

Из рассмотренных моделей трансформации координат (ТК) и соответствующих методов оценивания их параметров, пригодными для использования при распространении КСК-1162 можно считать детерминированные модели ТК с учетом условия ортогональности перехода:

аналитический и численный алгоритмы оценивания параметров матрицы трансформации координат в предположениях близости начал сравниваемых систем координат и постоянства масштаба по осям и восьмипараметрический итерационный алгоритм. Эти алгоритмы составляют основу предлагаемого нами гибридного метода трансформации координат при решении задачи расширения сети. Роль моделей в этом случае особенно велика, т. к. доля их ошибок в общей ошибке трансформации координат будет резко возрастать. В связи с этим возникает необходимость выявления их сравнительной эффективности как между собой, так и по отношению к классической геометрической модели. Вторую основу гибридного метода трансформации координат (уже для решения задачи сгущения опорной сети) должен составлять новый алгоритм, учитывающий при формировании непостоянной по структуре модели не только погрешности из-за взаимозависимости оценок параметров, но и другие разнообразные ошибки.

1.5. Проблемы при формировании селеноцентрической системы

координат

Основной проблемой с начала селенодезнческих исследований (определение координат кратера Местинг А) и по настоящее время является проблема качества KKJJO, точности определения координат в селенодезической системе, формируемой ошибками методик построения KKJTO (каталога координат лунных объектов) и ошибками трансформации различных отдельных каталогов координат лунных объектов в сводную систему по общим объектам.

Для дальнейшего развития космических технологий необходимо предъявлять особые требования к результатам координатно-временного обеспечения, которое включает установление взаимной ориентации (векторы смещения центров систем координат) инерциальной и динамической систем координат, исследование динамики и геометрии небесных тел, а также реализацию систем отсчета, По-видимому, это относится также и к динамическим, и к геометрическим параметрам Луны, отнесенных к центру ее масс [114].

Однако космические исследования Луны, выполняемые не только в научных, но и в практических целях, не обеспечены селеноцентрической координатной сетью (каталогом опорных объектов), достаточно полно охватывающей ее видимую и обратную стороны и имеющей центр, близкий к центру масс, а оси, совпадающие с осями инерции. Каталог, построенный по наблюдениям с К А «Аполлон», и опорные сети на западном полушарии Луны, полученные при обработке ряда снимков обратной стороны с AMC (Автоматическая межпланетная станция) «Зонд-6», «Зонд-8», охватывают лишь часть лунной поверхности. В работе [78] был выполнен подробный анализ внутренней точности системы Аполлонов. На основе этого анализа сформулированы следующие выводы. Для трансформирования

топографических координат Аполлона использовались три станции ALSEP [77]. «Поскольку среднеквадратичные ошибки трансформации оказались менее 80 м и ошибка измерений около 60 м, можно считать, что точки вблизи и между тремя станциями ALSEP имеют ошибки положения менее чем 150 м. Смещение от места расположения ALSEP увеличивает предполагаемую плановую ошибку до 300 м, а это - большинство территорий в области охвата измерений. Ошибки положений точек, находящихся вблизи границ изученных областей, могут достичь 300 м и даже превысить 1000 м» [23, с.213].

Исследования Луны космическими аппаратами получили широкое распространение по всему миру. Но, несмотря на это, наземные наблюдения не утратили своей значимости и актуальности [22]. Оптимальным путем выполнения селенодезических исследований следует считать разумное сочетание космических и наземных методов наблюдений Луны. И наземная, и космическая астрометрия необходимы, поскольку они дополняют друг друга [39,23]. Наилучшим путем выполнения селенодезических исследований следует считать разумное сочетание космических и наземных методов наблюдений Луны [86].

В настоящее время практически приемлемым путем распространения известного каталога селеноцентрических координат 1162 (КСК-1162), созданного в Казани [45] в системе с центром масс и осями, совпадающими с осями инерции Луны, на большую часть поверхности Луны или при определенных условиях на всю ее сферу является применение детерминированного метода трансформации координат [115]. Элементы матрицы и вектора смещения можно получить по общим точкам для КСК-1162 и преобразуемого в его систему того или иного каталога, включая координатные системы, построенные по материалам орбитальных съемок с космических аппаратов серий «Зонд» и «Аполлон». Однако отмеченная выше

детерминированная модель трансформации координат не в состоянии описать разнообразные ошибки, которыми обременены прямоугольные координаты объектов в сравниваемых системах. Кроме того, при использовании для оценивания коэффициентов модели ТК метода наименьших квадратов (МНК) [43] не учитываются условия его применения и, соответственно, не применяются адаптивные вычислительные схемы обработки данных, что влечет к снижению точности преобразования координат.

Возможность повышения точности координат объектов сводного КСК (каталога селеноцентрических координат) при сведении в его систему отдельного или ряда ККЛО (каталогов координат лунных объектов) даже на относительно небольшой процент (с учетом потребностей окололунной навигации) требует своей реализации. Таким образом, решаемая в диссертационной работе задача повышения точности преобразования координат при создании сводной селеноцентрической системы является важной и своевременной как для исследования Луны, так и других небесных тел.

1.6. Постановка цели и задач

На сегодняшний день Луна является объектом исследований многих космических экспериментов и центром пристального внимания ученых, как в области астрономии, так и планетологии [47]. Запуски американских, японских и китайских научных спутников «Клементина» [103, 110, 111], «Lunar Prospector» [91, 94, 95], «Lunar Reconnaissance Orbiter» [68, 70, 73, 87, 89], «Кагуйа» [54, 55, 83, 90, 104] и «Чанъэ» [88] стремительно и качественно изменили ситуацию в исследовании Луны. «Мощный поток высокоточной и многопараметрической информации, полученной с бортов современных космических аппаратов, породил сильный всплеск всестороннего интереса и исследовательского энтузиазма по промышленному, робототехническому освоению Луны к 2018 году» [23, с.212].

В настоящее время получены высокоточные снимки лунной поверхности с космических аппаратов, которые вели съемку на малых высотах. Сегодня ведется активная работа по получению трехмерных изображений лунной поверхности. Использование этих изображений позволит точнее определить основные структуры и характер поверхности, исследовать формы, размеры и плотность распределения кратеров на Луне. Также появится возможность определить возраст лунной поверхности и в будущем выбрать место посадки для космических аппаратов.

Большое значение имеет составление подробной карты распределения элементов на лунной поверхности по их типу и концентрации. Необходимо провести анализ распределения на поверхности Луны полезных ископаемых, таких как железо и титан, активно используемых в промышленных масштабах. Планируется составление схемы залегания различных геологических пород и минералов, определение областей с большим количеством необходимых элементов, оценка перспектив от разработки и эксплуатации минеральных ресурсов Луны.

Создание высокоточного селеноцентрического каталога координат при лунной навигации имеет огромное практическое значение.

Целью диссертационной работы является повышение точности определения координат объектов при сгущении и расширении опорной селеноцентрической сети на основе моделей координатных преобразований с наилучшими линейными оценками параметров.

Для достижения указанной цели в работе решались следующие задачи:

1. Анализ подходов к разработке моделей пространственных координатных преобразований.

2. Разработка методики и алгоритмов координатных преобразований при нарушении условий получения наилучших линейных оценок параметров моделей.

3. Разработка комплекса программ для сгущения и расширения опорной селеноцентрической системы координат.

4. Моделирование координатных преобразований для трансформации координат объектов ряда систем в селеноцентрическую систему координат и исследование их эффективности.

5. Сгущение и расширение опорной селеноцентрической системы координат КСК-1162.

Решение вышеперечисленных задач будет способствовать прецизионному определению координат объектов при распространении опорной селеноцентрической сети.

2. МЕТОДИКА И АЛГОРИТМЫ РЕАЛИЗАЦИИ ГИБРИДНОГО

МЕТОДА ТРАНСФОРМАЦИИ СЕЛЕНОЦЕНТРИЧЕСКИХ

КООРДИНАТ

Введение

Основной в планетодезии является проблема построения математической основы в виде координатных систем (КС). В 80-х и 90-х годах основной упор исследователей был нацелен на повышение точности наблюдений - производилось картографирование Луны на фоне звезд, лимбовая и маршрутная фотосъемки, зондирование лунной поверхности с бортов космических аппаратов.

Результатом проведенных селенодезических работ являются сводные селенодезические каталоги координат. Такие каталоги были созданы в ГАО АН УССР, которые впоследствии неоднократно уточнялись. Работы по созданию Единой селенодезической системы координат производились как в ГАИШ МГУ, так и АОЭ им. В.П. Энгельгардта К(П)ФУ.

Все разнообразие подходов к решению задачи ТК по общим объектам можно свести к использованию математических моделей двух типов: детерминированным и аппроксимирующим преобразованиям. От детерминированных моделей следует ожидать высокую точность ТК при решении задачи экстраполяции, тогда как задача интерполяции при применении аппроксимирующих выражений и АРМ-подхода [19, 113] может быть решена более точно, чем при детерминированном описании [116].

Основную роль в обеспечении надежности положений, естественно, играет применяемый математический аппарат, который учитывает разнообразные систематические ошибки. Ученые считают, что на уровне точности наблюдений для объектов видимой стороны Луны, исключая зону оптической либрации, возможности классических вычислительных схем уже исчерпаны. Сюда они не включают проблему уточнения селенодезических постоянных - известных параметров физическиой либрации Луны f, I и

смещение центра массы относительно центра фигуры. На сегодняшний день актуальными задачами являются задачи уточнения координат лунных объектов в либрационной зоне и на ее обратной стороне. Для того, чтобы определить координаты этих объектов в этих областях по фотоснимкам космических аппаратов необходимо привлекать новые математические подходы. С позиций регрессионного анализа (РА), из его этапов (постулирование, оценивание, поиск) в данном случае используются два: постулирование - к исходной модели добавляются ограничения на неизвестные параметры, оценивание - вместо линейного МНК применяются другие методы оценивания [19].

Гибридный метод. Из набора условий (требований) корректного применения МНК (метода наименьших квадратов) [21] первоочередными являются требования независимости оцениваемых параметров модели и их статистической значимости. К сожалению, эти и другие условия нарушаются. Для решения этих проблем в работе предлагается, исследуется и применяется гибридный метод трансформации селеноцентрических координат построения сводной ССК, основанный:

- на детерминированных (геометрических) моделях ТК с ограничениями в виде равенств, обеспечивающими ортогональность координатных осей при преобразовании в задаче расширения опорной ССК (селеноцентрической системы координат) на обратную сторону Луны,

- и на аппроксимирующих алгебраических полиномах при решении задачи сгущения опорной ССК с привлечением каталогов координат лунных объектов на видимой стороне.

С помощью геометрических моделей с ограничениями решается проблема независимости оценок; для аппроксимирующих моделей (адаптивных регрессий) - проблемы статистической значимости и независимости оцениваемых параметров. Графически задача распространения сети представлена на рис. 2.1. (1 - сгущение сети, 2 -расширение сети).

РОССИЙСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ БИБЛИОТЕКА

В качестве опорной ССК применяется Казанский каталог селеноцентрических координат на видимую сторону Луны КСК-1162 [451.

2.1. Алгоритмы оценивания параметров моделей при решении задачи

расширения КСК

При расширении КСК-1162 (системы У) основной является проблема прецизионного определения элементов матрицы ориентации и вектора смещения начал при переходе из системы координат X в другую по общим точкам:

У=АХ+Х0, (2.1)

где А - матрица ориентации, Х0 - вектор смещения начала координат системы X по отношению к нуль-пункту системы координат У.

Актуальность точного решения задачи особенно возрастает при экстраполяции координат. В нашем случае это особенно важно, так как объекты обратной стороны Луны находятся вне множества опорных точек [28].

Детерминированные модели основаны на классической модели аффинного преобразования (2.1). Геометрическое преобразование (2.1) не всегда обеспечивает удовлетворительную точность [26]. Из-за ошибок в определении координат в обеих системах и возможной мультиколлинеарности (взаимозависимости) оценок матрица А часто не удовлетворяет условиям ортогональности перехода из X в У, записываемым в виде:

АТА= Е, с!е1А=1. (2.2)

В связи с этим основным детерминированным преобразованием следует считать выражение (2.1), рассматриваемое совместно с условиями (2.2). Эта задача с точностью до расхождения центров систем X и У и масштабного множителя решается в данной работе численным методом оптимизации. В теории оптимизации она рассматривается как задача поиска

X

относительного минимума квадратичной формы 8=е 8 с нелинейными

ограничениями (2.2):

т

тш 8 8,

А, Х0 е в, (2.3)

АТА= Е, 1,

где 8 - вектор ошибок матричного уравнения регрессии, в - допустимая область.

2.1.1.А. Аналитический алгоритм

В работе [53] задачу (2.3) предлагается решить (с точностью до расстояния между центрами систем X и У и масштабного множителя) чисто аналитическим путем. В этом случае вектор смещения Х0 можно определить по остаточным рассогласованиям, как это сделано в работе [112], или по начальному приближению, решая систему (2.1) по достаточно корректной вычислительной схеме МНК. Что же касается масштабного множителя, то при учете различий в средних радиусах Луны по каждому каталогу нет необходимости в его оценивании. Из недостатков метода можно упомянуть то, что в явном виде не определяются элементы вектора смещения.

Рассмотрим предложенный С. Г. Валеевым [14] аналитический алгоритм оценивания для решения типичной селенодезической задачи. Преимущества данного алгоритма в том, что он учитывает условие ортогональности перехода. Метод основан на алгоритме получения матрицы А, предложенном в [53].

Распространенной задачей в лунной астрометрии является задача перехода из мгновенной пространственной системы координат на астронегативе (г,у,х) в стандартную каталожную систему координат

(¿¡,г/,д). Эта задача актуальна также в пространственной геодезии, астронавигации и т.д. Для трансформации координат в пространстве по

общим точкам обычно используются преобразования вида (в обозначениях матричного уравнения РА):

(2.4)

У\ =ХА

У2 =Хр2+£2> УЪ=ХР 3+£3,

где уп уа = т|г-, ув =<;,-, для ¡ = \,п, п - количество общих объектов в обеих системах; Х- матрица размера (п х 4), определяемая выражением

X

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Шарафутдинов, Ильгизар Мансурович

Выводы по решению задачи сгущения сети:

1. Решена проблема выбора детерминированного метода, оптимального по критерию минимума ошибки прогноза по каждой координате на малых выборках (КСК-1162, ARTHUR; КСК-1162, Baldwin; КСК-1162, SCHRUTKA-1; КСК-1162, SCHRUTKA-2; КСК-1162, Goloseevo-1; КСК-1162, Goloseevo-2; КСК-1162, AMS; КСК-1162, ACIC; КСК-1162, MILLS-2) для решения задачи интерполяции в зоне общих точек. Наилучшим по точности прогнозирования является 8-параметрический метод ТК.

2. Точность ТК на малых выборках по координате С,, направленной к Земле, выше при применении детерминированных подходов (модель (2.1) (2.2)), чем при использовании классической модели (2.1) в среднем на 14,5%.

3. При применении детерминированных подходов на больших выборках (КСК-1162, ULCN2005; КСК-1162, Kiev) - все четыре метода имеют примерно одинаковую точность при трансформации селеноцентрических координат (различия статистически незначимы).

4. При решении задачи сгущения сети по большому массиву общих объектов наилучшими по точности прогнозирования (интерполяции) являются адаптивные регрессии, синтезируемые на основе алгебраических полиномов третьей степени по каждой координате и трехэтапного алгоритма структурно-параметрической идентификации, а также двухкомпонентная гибридная модель, содержащая одновременно и детерминированную, и аппроксимирующую части. Параметры адаптивных регрессий имеют свойства наилучших линейных оценок.

4.1.2. Анализ задачи расширения (экстраполяции) сети.

Практически важной задачей является задача экстраполяции селеноцентрической сети, имеющей большую выборку общих точек с переводимой в ее систему сетью, на обратную сторону Луны. Такая проблема решается для пары каталогов (КСК-1162, ЦЬСМ2005) при 450 общих объектах. С учетом ранее полученных экспериментальных результатов для решения этой задачи ТК можно рекомендовать ГМО-3. Аппроксимирующие модели в виде адаптивных регрессий, показавшие наивысшую точность при решении задачи интерполяции, по логике построения пока не могут быть рекомендованы для экстраполяции и требуют дальнейших исследований.

Определенный интерес для анализа могут представлять результаты перевода координат нескольких объектов обратной стороны (ОС) Луны (£,, ц, С,; X, Р, р) из системы ЦЪСЫ 2005 в КСК-1162. В таблице 4.12 в первой строке для каждого из шести объектов ОС (два объекта - в полярной зоне, четыре -в центральной части ОС) приведена информация из каталога иЬСК 2005, в остальных строчках - соответственно результаты ТК при применении модели ГМО-3.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе разрабатывались и исследовались алгоритмы преобразования координат объектов на лунной поверхности, способствующие повышению точности определения координат объектов при сгущении и расширении опорной селеноцентрической сети на основе моделей координатных преобразований с наилучшими линейными оценками параметров.

В ходе проведенного научного исследования были достигнуты следующие результаты.

1. Разработан гибридный метод моделирования координатных преобразований, оптимальный в условиях непостоянства свойств выборок данных для общих объектов координатных систем, основанный на детерминированных моделях с учетом условий ортогональности преобразований и аппроксимирующих моделях в виде адаптивных регрессий соответственно при решении задач расширения и сгущения опорной селеноцентрической сети, а также при сгущении сети в виде двухкомпонентной модели, состоящей из детерминированной и аппроксимирующих частей;

2. Разработан алгоритм формирования адаптивных регрессий, позволяющий учитывать систематические ошибки, включая и ошибки из-за взаимозависимости слагаемых модели ТК (трансформации координат), и тем самым при применении повышающий точность преобразований на 21% по координате на 13% по координате г| и на 11 % по координате £ по сравнению с детерминированными моделями;

3. Предложено решение проблемы выбора детерминированного метода оптимального по критерию минимума ошибки прогноза по каждой координате для решения задачи интерполяции в зоне общих точек, где наилучшим по точности прогнозирования на малых выборках является 8-параметрический метод ТК; точность по координате С,, направленной к Земле, выше, чем при использовании геометрической модели (2.1) в среднем на 14,5%; на больших выборках - все четыре метода имеют примерно одинаковую точность при трансформации селеноцентрических координат (различия статистически незначимы);

4. Получены модели ТК (трансформации координат) с наилучшими линейными оценками параметров для 11 -ти координатных систем, позволяющие осуществить сгущение и расширение опорной селеноцентрической сети на всю поверхность Луны;

5. Построена сводная селеноцентрическая система координат, закрепляемая координатами объектов на всей поверхности Луны, представляющая собой первый опыт расширения и сгущения опорной системы КСК-1162 на основе сети объектов системы ЦЬС1Ч 2005;

6. Разработан программный комплекс АС ТСК для решения задачи координатного обеспечения на поверхности Луны, позволяющий получать наилучшие линейные оценки параметров с последующим их использованием для расширения и сгущения базовой селеноцентрической сети и обеспечивающий повышение точности при трансформации координат по сравнению с используемыми ранее методами.

Результаты наших исследований будут полезны при прецизионном определении координат объектов при распространении опорной селеноцентрической сети.

В практической перспективе селеноцентрическая сеть объектов, задающая координатную систему на Луне с центром, совпадающим с центром масс и осями, направленными вдоль осей инерции, может стать одним из базовых элементов координатно-временного обеспечения для лунной навигации с использованием картографических материалов и опорных объектов. Перспективы дальнейших исследований, на наш взгляд, могут быть направлены на анализ и исследование точности фундаментальных сетей, содержащихся в ULCN 2005.

Основные положения диссертации опубликованы в следущих работах:

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК

1. Валеев, С. Г. Модели, методы и информационные технологии координатных преобразований / С. Г. Валеев, И. М. Шарафутдинов // Автоматизация процессов управления. - 2011. - № 2 (24). - С. 16-21.

2. Валеев, С. Г. Селеноцентрическая координатная сеть, построенная в системе каталога КСК-1162 / С. Г. Валеев, Ю. А. Нефедьев, И. М. Шарафутдинов, Н. Ю. Вараксина // Ученые записки Казанского университета. Сер. физ.-матем. науки.-2011.-Том 153, Кн. 2.-С. 150-157.

Публикации в других изданиях

3. Валеев, С. Г. Модель поверхности Луны / С. Г. Валеев, Ю. А. Нефедьев, К. М. Самохвалов, И. М. Шарафутдинов, М. В. Кутленков, Н. Ю. Вараксина // Известия КрАО. - 2009. - Том 104, № 6. - С. 206-211.

4. Валеев, С. Г. Построение единой селеноцентрической системы координат в системе центра масс и главных осей инерции Луны / С. Г. Валеев, Ю. А. Нефедьев, И. М. Шарафутдинов, М. В. Кутленков // Известия КрАО. - 2009. - Том 104, № 6. - С. 212-216.

5. Валеев, С. Г. Прецизионная трансформация селенодезических координат / С. Г. Валеев, Е. В. Борисова, И. М. Шарафутдинов // Сборник научных трудов Российской конференции ИВТ-2010 «Информатика и вычислительная техника». - Ульяновск : УлГТУ, 2010. - С. 67-71.

6. Valeev, S. Extension and distribution of Kazan Selenocentric reference System. / S. Valeev, Yu. Nefedjev, I. Sharafutdinov, N. Varaksina // International Astronomical Congress «Astrokazan-2011», August 22-30. - Kazan: изд. Казанского федерального университета, 2011. - С.61-64.

7. Valeev, S. Models and software for transformation of coordinate systems. / S. Valeev, I. Sharafutdinov // International Astronomical Congress «Astrokazan-2011», August 22-30. - Kazan : изд. Казанского федерального университета, 2011.-С. 68-72.

Тезисы конференций

8. Valeev, S. The construction method of united celenocentric coordinates system for visible and reverse Lunar sides, brought to the Lunar center masses and main axis of its inertia / S. Valeev, Yu. Nefedjev, I. Sharafutdinov, M. Kuttenkov, N. Varaksina // European Geosciences Union, EGU General Assembly 2009, Geophysical Research Abstracts. - 2009. - Vol. 11. - P. EGU2009-11491.

9. Шарафутдинов, И. M. К вопросу распараллеливания вычислений в пакете АСНИ / И. М. Шарафутдинов // Тезисы докладов 43-й научно-технической конференции. - Ульяновск : УлГТУ, 2009. - С. 127.

10. Валеев, С. Г. Проект программного комплекса ТСК / С. Г. Валеев, И. М. Шарафутдинов // Тезисы докладов 44-й научно-технической конференции. - Ульяновск : УлГТУ, 2010. - С. 156.

11. Valeev, S. Making selenocentric reference coordinates net in the dynamic system / S. Valeev, I. Sharafutdinov, Yu. Nefedyev, N. Varaksina // European Planetary Science Congress 2011, EPSC-DPS Joint Meeting, La Cite Internationale des Congres Nantes Metropole, Nantes, France. - 2011. Vol.6. -P. EPSC-DPS2011-43.

Свидетельства о государственной регистрации программы для ЭВМ

12. Валеев С. Г., Шарафутдинов И. М. Автоматизированная система трансформации селеноцентрических координат (АС ТСК). Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2012611055 от 25.01.2012.

УСЛОВНЫЕ СОКРАЩЕНИЯ

АОЭ КГУ - Астрономическая обсерватория имени В.П. Энгельгардта Казанского государственного университета

AMC - автоматическая межпланетная станция

АР - адаптивные регрессии

АРМ - адаптивное регрессионное моделирование;

АС ТСК - Автоматизированная система трансформации селеноцентрических координат

ГЛИПТ МГУ - Государственный астрономический институт имени П.К. Штернберга Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова

ГМ - геометрическая модель

ГМО-1 - геометрическая модель с ограничениями / аналитический метод

ГМО-2 - геометрическая модель с ограничениями / численный метод

ГМО-3 - геометрическая модель с ограничениями / 8-параметрический метод

ГР - гребневая регрессия

КА - космические аппараты

ККЛО - каталог координат лунных объектов

КВ - контрольная выборка

КС - координатные системы

КСК - каталог селеноцентрических координат

КСК-1162 - каталог селеноцентрических координат 1162 объектов на видимой стороне Луны, созданный в Казани

MAC - международный астрономический союз

MP - множественная регрессия

МНК - метод наименьших квадратов

ОВ - обучающая выборка

ОС - обратная сторона

ПЗ - полином третьей степени

ПП - полный перебор

ПР - пошаговая регрессия

РА - регрессионный анализ

СКО - среднеквадратическая ошибка

ССК - селеноцентрическая система координат

СЭ - скользящий экзамен

ТГМ - теорема Гаусса-Маркова

ТК - трансформация координат

AMS - Army Map Service (каталог, созданный картографической службой инженерных войск армии США)

ULCN 2005 - Unified Lunar Control Network 2005 (Глобальная сеть опорных точек, полученная на основе ряда KKJIO видимой стороны Луны, результатов обработки лимбовых и детальных фотоснимков и лазерной локации поверхности обратной стороны с космических аппаратов).

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Шарафутдинов, Ильгизар Мансурович, 2012 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Алексашин, Е.П. Априорная оценка точности определения ориентации КА по звездам. - Труды ЦНИИТАиК. - Вып. 228. - М. : ЦНИИГАиК, 1981.-С. 39-64.

2. Алексашин, Е.П. Об определении некоторых астрономических селенодезических и гравитационных параметров Луны. / Е.П. Алексашин, Я.Л. Зиман, И.В. Исавнина и др. // Сб. Космическая иконика. - М. : Наука, 1973.-С. 179-190.

3. Алексашин, Е.П.. Селеноцентрическая система координат «Зонд-8». Методы построения и каталог координат опорных точек. / Е.П. Алексашин, Ю.С. Тимофеев, A.M. Ширенин // Сборник науч. трудов ЦНИИГАиК. - М. : ЦНИИГАиК, 1989. - С. 61-65.

4. Алексашин, Е.П. Алгоритм определения параметров преобразования между двумя системами прямоугольных координат и согласования координат одноименных физических точек, заданных своими векторами положения в этих системах. / Е.П. Алексашин, A.M. Ширенин // 220 лет геодезическому образованию в России: тез. докл. междунар. науч.-техн. конф., посвягц. 220-летию со дня основания МИИГАиК, 24-29 мая. -М., 1999.-С. 16-17.

5. Валеев, С.Г. Эфемеридное время и точность селенодезических контрольных систем // Известия Астрономической обсерватории им. Энгельгардта. - 1968. - № 36. - С. 169-184.

6. Валеев, С.Г. К вопросу ориентации селенодезических контрольных систем // Астрономический вестник. - 1969. - Т.З, № 4. - С. 199-207.

7. Валеев, С.Г. Анализ точности селенодезических контрольных систем / С.Г. Валеев // Труды 18-й астрометрической конференции СССР (Пулково, 2-5 июня 1969 г.). - Л. : Наука, 1972. - С. 298-301.

8. Валеев, С.Г. Построение каталога лунных объектов в системе опорных звезд // Труды 18-й астрометрической конференции СССР (Пулково, 2-5 июня 1969 г.). - Л. : Наука, 1972. - С. 301-304.

9. Валеев, С.Г. Абсолютные высоты 146 объектов на видимой стороне Луны, полученные по данным съемки КА серии «Зонд» / С.Г. Валеев // Астрометрия и астрофизика. - 1980. - Вып. 40. - С. 62-68.

10. Валеев, С.Г. Селенодезические положения 117 объектов на видимой стороне Луны / С.Г. Валеев // Астрономический циркуляр, издаваемый Бюро Астрономических Сообщений АН СССР. - [Б. м.], 1982. -№ 1203.-С. 5-7.

11. Валеев, С.Г. Координаты объектов сектора обратной стороны Луны / С.Г. Валеев // Известия Астрономической обсерватории Энгельгардта. - 1985.-№51.-С. 17-40.

12. Валеев, С.Г. Поиск оптимальной структуры условных уравнений при обработке гелиометрического ряда наблюдений Луны / С.Г. Валеев, Ю.А. Нефедьев // Астрономический циркуляр, издаваемый Бюро Астрономических Сообщений АН СССР. - [Б. м.], 1986. - № 1420 (янв.). -С. 5-7.

13. Валеев, С.Г. Селеноцентрические координаты объектов западного полушария Луны / С.Г. Валеев // Астрономия и геодезия: сб. статей. - Томск : Изд-во Том. ун-та, 1989. - Вып. 15. - С. 57-69.

14. Валеев, С.Г. Регрессионное моделирование при обработке наблюдений / С.Г. Валеев. - М. : Наука, 1991. - 272 с.

15. Валеев, С.Г. Регрессионное моделирование при решении задач метода наименьших квадратов / С.Г. Валеев // Известия вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. - 1997. -№ 4. - С. 3-13.

16. Валеев, С.Г. Регрессионные модели для трансформации изображений на аэрокосмических снимках / С.Г. Валеев, Л.М. Бугаевский,

H.A. Билибин, Г.Р. Кадырова // Известия вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. -1997.-№ 1.-С. 56-66.

17. Валеев, С.Г. Детерминированные и аппроксимирующие преобразования координатных систем / С.Г. Валеев, A.C. Валеев // Известия вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. - 1999. - № 5. - С. 12-19.

18. Валеев, С.Г. Модели ортогонального преобразования координат с учетом систематических ошибок / С.Г. Валеев, A.C. Валеев // 220 лет геодезическому образованию в России: тез. докл. междунар. науч.-техн. конф., посвящ. 220-летию со дня основания МИИГАиК, 24-29 мая. - М., 1999.-С. 19.

19. Валеев, С.Г. Регрессионное моделирование при обработке данных / С.Г. Валеев. - [2-е изд., доп. и перераб.]. - Казань : ФЭН, 2001. - 295 с.

20. Валеев, С.Г. Гипсометрические исследования «CLEMENTINE-KSC» / С.Г. Валеев, Н.Г. Ризванов // Всероссийская астрономическая конференция: тез. заявл. докл., 6-12 авг. - СПб. : НИИХ СПбГУ, 2001. -С. 27.

21. Валеев, С.Г. Система поиска оптимальных регрессий / С.Г. Валеев, Г.Р. Кадырова. - Казань : ФЭН, 2003. - 160 с.

22. Валеев, С.Г. Исследование макрофигуры Луны по космическим и наземным наблюдениям / С.Г. Валеев, Ю.А. Нефедьев, Н.Г. Ризванов // Основные направления развития астрономии в России: ASTROKAZAN-2004: тр. международной астрономической конференции, 21-25 сентября 2004. -Казань : Казан, гос. ун-т, 2004. - С. 255-256.

23. Валеев, С.Г. Построение единой селеноцентрической системы координат в системе центра масс и главных осей инерции Луны / С.Г. Валеев, Ю.А. Нефедьев, И.М. Шарафутдинов., М.В. Кутленков // Известия КрАО. -2009. - Том 104. - № 6. - С. 212-216.

24. Валеев, С.Г. Модель поверхности Луны / С.Г. Валеев, Ю.А. Нефедьев, K.M. Самохвалов, И.М. Шарафутдинов, М.В. Кутленков, Н.Ю. Вараксина // Известия КрАО. - 2009. - Том 104. - №6. - С. 206-211.

25. Валеев, С.Г. Проект программного комплекса ТСК / С.Г. Валеев, И.М. Шарафутдинов // Тезисы докладов 44-й научно-технической конференции. - Ульяновск : УлГТУ, 2010. - С. 156.

26. Валеев, С.Г. Прецизионная трансформация селенодезических координат / С.Г. Валеев, Е.В. Борисова, И.М. Шарафутдинов // Сборник научных трудов Российской конференции ИВТ-2010 «Информатика и вычислительная техника». - Ульяновск : изд. УлГТУ, 2010. - С. 67-71.

27. Валеев, С.Г. Моделирование потенциальных полей планет разложениями по сферическим функциям высоких порядков / С.Г. Валеев, P.P. Микеев // Информатика и вычислительная техника: сб. науч. тр. Рос. конф. аспирантов, студ. и молодых ученых: ИВТ-2010, 25-26 мая 2010. -Ульяновск : УлГТУ, 2010. - С. 91-96.

28. Валеев, С.Г. Модели, методы и информационные технологии координатных преобразований / С.Г. Валеев, И.М. Шарафутдинов // Автоматизация процессов управления. - 2011. - №2 (24). - С. 16-21.

29. Валеев, С.Г. Анализ эффективности детерминированных и аппроксимирующих моделей при решении задачи трансформации координат / С.Г. Валеев, И.М. Шарафутдинов, A.A. Сидякина // Математические методы и модели: теория, приложения и роль в образовании. Сборник научных трудов. - Ульяновск : УлГТУ, 2011. - Вып.2. - С. 95-101.

30. Валеев, С.Г. Селеноцентрическая координатная сеть, построенная в системе каталога КСК-1162 / С.Г. Валеев, Ю.А. Нефедьев, И.М. Шарафутдинов, Н.Ю. Вараксина // Ученые записки Казанского университета. Сер. физ.-матем. науки. - 2011. - Том 153, Кн.2. - С. 150-157.

31. Гаврилов, И.В. Селеноцентрические координаты 160 базисных точек на поверхности Луны. / И.В. Гаврилов, A.C. Дума, B.C. Кислюк,

A.Н. Курьянова. - Киев : Наукова думка, 1965. - Вып. 2. - С. 40-60.

32. Гаврилов, И.В. Каталог селеноцентрических положений 500 базисных точек на поверхности Луны / И.В. Гаврилов, A.C. Дума,

B.C. Кислюк. - Киев : Наукова думка, 1967. - Вып. 2. - С. 7-55.

33. Гаврилов, И.В. Фигура и размеры Луны по астрономическим наблюдениям. - Киев : Наукова Думка, 1969. - 150 с.

34. Гаврилов, И.В. Сводный каталог селеноцентрических положений 2580 базисных точек на Луне. / И.В. Гаврилов, B.C. Кислюк. - Киев : Наукова думка, 1970.-С. 3-119.

35. Гаврилов, И.В. Сводная система селенодезических координат 4900 точек лунной поверхности. / И.В. Гаврилов, B.C. Кислюк, A.C. Дума - Киев : Наукова думка, 1977. -172 с.

36. Кислюк, B.C. Систематические и случайные различия селенодезических опорных сетей. // Астрономический журнал. - 1970, 47. -№3. - С. 610-612.

37. Кислюк, B.C. Сравнительный анализ современных селенодезических опорных сетей // Астрометрия и астрофзика. Респ. межвед. сб., 1971.-Вып. 13.-С. 19-29.

38. Кислюк, B.C. Геометрические и динамические характеристики Луны: Монография / B.C. Кислюк. - Киев, 1988. - С. 1-184.

39. Ковалевский, Ж. Современная астрометрия. - Фрязино, 2004. -

480 с.

40. Куликов, К.А. Основы лунной астрометрии. / К.А. Куликов, В.Б. Гуревич. - М. : Наука, 1972. - С. 149-166.

41. Липский, Ю.Н. Единая система селенодезических координат из девяти каталогов на видимом полушарии Луны. / Ю.Н. Липский,

B.А. Никонов, Т.П. Скобелева. - М. : Наука, 1973.-384 с.

42. Липский, Ю.Н. Единая система селенодезических координат 2900 точек на видимом полушарии Луны / Ю.Н. Липский, В.А. Никонов, Т.П. Скобелева // Атлас обратной стороны Луны. - М. : Наука, 1975. ч. 3. -

C.59-75.

43. Лоусон, Ч. Численное решение задач метода наименьших квадратов / Ч. Лоусон, Р. Хенсон / Пер. с англ.; Под ред. Х.Д. Икрамова. -М. : Наука, 1986.-230 с.

44. Маршант, М.К. Определение горизонтальных и вертикальных контрольных точек для составления лунных карт. // Новое о Луне. Сб. - М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1963. - С. 82-87.

45. Нефедьев, Ю.А. Каталог 1000 селеноцентрических объектов по крупномасштабным снимкам Луны со звездами / Ю.А. Нефедьев, Н.Г. Ризванов, С.Г. Валеев // Околоземная астрономия-2005: сб. тр. конф., 1924 сент. 2005 г. - Казань : Казан, гос. ун-т, 2006. - С. 315-319.

46. Нефедьев, Ю.А. Разработка моделей независимых селенодезических сетей, методов анализа звездных координатных систем и фигур небесных тел / дисс. ... доктора физико-математических наук: спец. 01.03.01. «астрометрия и небесная механика» / Астрономическая обсерватория им. В.П. Энгельгардта Казанского государственного университета. - Казань, 2007. - 393 с.

47. Нефедьев, Ю.А. Разработка моделей независимых селенодезических сетей, методов анализа звездных координатных систем и фигур небесных тел / автореферат диссертации ... доктора физико-математических наук / Государственный астрономический институт им. П.К.Штернберга МГУ им. М.В.Ломоносова. - Москва, 2007. - 35 с.

48. Подобед, В.В. Фундаментальная астрометрия. Установление фундаментальной системы небесных координат. /В.В. Подобед. - М. : Наука, 1968.-С. 361-386.

49. Ризванов, Н.Г. Система координат 264 опорных кратеров по крупномасштабным снимкам Луны со звездами // Труды Казанской гор. Астрономической обсерватории, 1985. - Т. 49. - С. 80-110.

50. Хабибуллин, Ш.Т. Лунная картография и селенографические координаты. // Луна. Сб. - М. : Физматгиз, 1960. - С. 50-76.

51. Шарафутдинов, И.М. К вопросу распараллеливания вычислений в пакете АСНИ // Тезисы докладов 43-й научно-технической конференции. -Ульяновск : УлГТУ, 2009. - С. 127.

52. Шевченко, В.В. Современная селенография. / В.В. Шевченко. -М. : Наука, 1980.-288 с.

53. Элбакян, К.И. Определение угловой ориентации КЛА и самолётов по фотоснимкам звёзд // Космическая иконика / Под ред. Б.Н. Родионова. -М. : Наука, 1973. - 240 с.

54. Araki Н. Present status and preliminary result of the lunar topography by KAGUYA-LALT mission. / H. Araki, S. Tazawa, H. Noda et al. // Lunar and Planetary Science XXXIX, 2008. [Электронный ресурс]

http.7/adsabs.harvard.edu/abs/2008LPI....39.151 OA (дата обращения 13.02.2012).

55. Araki H., et al. (2009), Lunar global shape and polar topography derived from KAGUYA-LALT laser altimetry, Science, 323, 897-900, doi.TO.l 126/science.l 164146. [Электронный ресурс]

http://www.sciencemag.org/content/323/5916/897.full (дата обращения 13.02.2012).

56. Archinal В., et al., The Unified Lunar Control Network 2005, (2006), USGS, Open-File Report 2006-1367. [Электронный ресурс] http://pubs.usgs.gov/of/2006/1367/ (дата обращения: 13.02.2012).

57. Archinal, В.A. and the Lunar Geodesy and Cartography Working Group, 2008. «Lunar Science Support Activities by The NASA LPRP Lunar Geodesy and Cartography Working Group: Recommendations for Lunar Cartographic Standards», NLSI Lunar Science Conference, July 20-23, 2008, Moffett Field, CA, Abstract №. 2080 [Электронный ресурс] http://www.lpi.usra.edu/meetings/nlsc2008/pdf/2080.pdf (дата обращения: 13.02.2012).

58. Archinal, В.А. Unified Lunar Control Network 2005 and Topographic Model / B.A. Archinal, M.R. Rosiek, B.L. Redding // Lunar Planetary Science, XXXVI, Abstract no. 2106. - Houston: Lunar and Planetary Institute [CD-ROM].

59. Archinal, B.A. Final completion of the Unified Lunar Control Network 2005 and lunar topographic model. / B.A. Archinal, M.R. Rosiek, R.L. Kirk, T.L. Hare, B.L. Redding // Lunar Planetary Science, XXXVIII, Abstract no. 1904. - Houston: Lunar and Planetary Institute, 2007. [CD-ROM].

60. Archinal, B.A. Report on the final completion of the unified lunar control network 2005 and lunar topographic model. / B.A. Archinal, M.R. Rosiek, R.L. Kirk et al. // U.S. Geological Survey Open-File Report, 2007.

61. Arthur, D.W.G. Selenodetic measures on Yerkes lunar photograph №1170. // Communs Lunar and Planet. Lab. - 1965, 4. - № 61. - P. 81-88.

62. Arthur, D.W.G. The reduction of measures for position on a single lunar photograph. // Communs Lunar and Planet. Lab. - 1965, 4. - № 60. -P. 77-80.

63. Arthur, D.W.G. The computation of selenodetic coordinates using the librations. // Communs Lunar and Planet. Lab. - 1965, 4. - № 62. - P. 89-97.

64. Arthur, D.W.G. The initial reductions of measures on star-trailed lunar photographs. //Communs Lunar and Planet. Lab. - 1966, 5 - № 72. - P. 7-11.

65. Arthur, D.W.G. Selenodetic measures on 25 star-trailed lunar photographs.// Communs Lunar and Planet. Lab. - 1968, 7. - № 129. - P. 269-302.

66. Arthur, D.W.G. A new secondary selenodetic triangularion. // Communs Lunar and Planet. Lab. - 1968, 7. - № 130. - P. 303-312.

67. Arthur, D.W.G., Bates P. The Tucson selenodetic triangulation. // Communs Lunar and Planet. Lab. - 1968, 7. - № 131. - P. 313-360.

68. A Standardized Lunar Coordinate System for the Lunar Reconnaissance Orbiter and Lunar Datasets / LRO Project and LGCWG White Paper, Version 5, 2008 October 1. [Электронный ресурс] //

http://lro.gsfc.nasa.gov/library/LunCoordWhitePaper-10-08.pdf (дата обращения 13.02.2012).

69. Baldwin, R.B. Coordinates of selected lunar features and measured heights relative to a sphere. // The measure of the Moon. - Chicago: Univ. of Chicago Press, 1963. - P. 450-463.

70. Beckman, M. Mission Design for the Lunar Reconnaissance Orbiter / 29th Annual AAS Guidance and Control Conference, February 4-8, 2006. -Breckenridge, Colorado. - 16 p. [Электронный ресурс]

http://lunar.gsfc.nasa.gov/library/LRO AAS Paper 07-057.pdf (дата обращения 01.022012)

71. Blagg, M. / M. Blagg, К. Miiller. Named lunar formations. IAU. -London, 1935.

72. Breece, S. Horizontal and vertical control for lunar mapping. / S. Breece, M. Hardy, M. Q. Marchant. // Army Map Service, Technical Report. -1960-1964. - № 29, pt. I, II. Corps of Engineers, US Army. - Washington, D.C.

73. Chin, G. et al., Lunar Reconnaissance Orbiter Overview: The Instrument Suite and Mission/ Space Science Reviews, Vol. 129 (4) 391 2007.

74. Clementine Project Information [Электронный ресурс] // http://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/clementine.html (дата обращения: 13.02.2012).

75. Cook, А.С. et al. (2000), JGR, 105, E5. - P. 12023-12033.

76. Cook, A.C. et al. (2002), AGU Fall Meeting, Abstract № P22D-09.

77. Davies, M.E. JGR. / M.E. Davies, T.R Colvin. - 2000, 105, E8. -P. 20,277-20,280.

78. Doyle F.J. Selenocentric geodetic reference systems. NOAA Tech. Rep. NOS 70. NGS 5. U.S. Dep. of Commerce. Washington, D.C. 1977. / F.J. Doyle, A.A. Elassal, J.R. Lucas. [Электронный ресурс] // http://www.ngs.noaa.gov/PUBS LIB/Brunswick/NQAATRNOS92NGS22.pdf. (дата обращения 12.01.2012).

79. Eigen J.M., Hathaway J.D. Department of Defence selenodetic control system 1966. Technical report. Army Map Service, USA; Aeronautical Chart and Information Center, USAF. - Washington, 1967.

80. Franz J.H.G. Die Konstanten der physischen Libration des Mondes. // Astr. Beob. Koenigsberg. - 1889, 38. - № 1. - S. 1-47.

81. Franz J.H.G. Die Figur des Mondes. // Astr. Beob. Univ.-Sternw. Königsberg. - 1899, Jg. 38. - № 5. - S. 1-33.

82. Franz J. H.G. Ortbestimmung von 150 Mondkratern. // Mitt. Univ.-Sternw. Breslau.-1901, l.-№ l.-P. 1-51.

83. Gusev, A. Gravitation Investigations on the SELENE mission and the existence of a lunar core. / A. Gusev, N. Kawano, N. Petrova // Astron. & Astroph. Trans. - 2003 - Vol. 22, № 4-5. - P. 579-584.

84. Habibullin Sh.T. Relative deformations of selenodetic nets of coordinates. / Sh.T. Habibullin, Yu.A. Chikanov, V.S. Kislyuk // The Moon. -1972. - Vol.3 - № 4. - P. 371-385.

85. Habibullin Sh.T. Star-calibrated lunar photography by method of separate plates / Sh.T. Habibullin., N.G. Rizvanov, N.F. Bistrov // The Moon. -1974. - Vol.l 1. -№ l.-P. 125-136.

86. Habibullin Sh.T. Independent selenocentric system coordinates / Sh.T. Habibullin, N.G. Rizvanov // Earth, Moon and Planets. - 1984. - Vol. 30. - № 1. -P. 1-19.

87. Houghton M. Design and Operations Considerations for NASA's Lunar Reconnaissance Orbiter. / M. Houghton, C. Tooley, R. Saylor, Jr. Mission. // IAC-07-C1.7.06.

88. Huang Y. Orbit determination of the first Chinese Lunar Exploration Spacecraft CE-1. Doctorial Thesis of Graduate University of Chinese Academy of Sciences. - Shanghai: Shanghai Astronomical Observatory, 2006.

89. Keller J. Lunar Reconnaissance Orbiter: instrument suite and objectives / J. Keller, G. Chin, T. Morgan // IAC-07-A3.6.A.03.

90. Kikuchi F. Preliminary results for vrad mission of Kaguya (SELENE). / F. Kikuchi, Q. Liu, N. Petrova et al. // 39th Lunar and Planetary Science Conf., 2008, - Houston. - 1562. 1-2.

91. Konopliv A.S. Recent gravity models as a result of the lunar prospector mission. /A.S. Konopliv, S.W. Asmar, D.N. Yuan // Icarus, 2001. - 150: 1-18.

92. Koziel K. The Moon's libration and figure as derived from Hartwig's Dorpat heliometric observations. // Acta Astronomica, Ser. a. - 1948-49, 4. -P. 61-193.

93. Koziel K. Crater Moesting A as the first-order point of triangulation on the Moon. // Life Sci. and Space Res. //. - 1964, 2. - P. 140-144.

94. Lawrence D.J. Global Elemental Maps of the Moon: The Lunar Prospector Gamma-Ray Spectrometer / D.J. Lawrence, W.C. Feldman, B.L. Barraclough, A.B. Binder, R.C. Elphic, S. Maurice, D.R. Thomsen // Science, 281, 1484-1489, 1998. [Электронный ресурс]

http://www.sciencemag.org/content/281/5382/1484.full (дата обращения: 13.02.2012).

95. Lawrence D.J., et al., A comparison of Lunar Prospector thorium and magnetic field data within South Pole Aitken basin, 31st Lunar and Planet. Science Conference, Abstract № 1856, 2000.

96. Malin M. Clementine High Resolution Camera Mosaicking Project, / M. Malin, M. Ravine // TR. Malin Space Science Systems San Diego, 1998.

97. Merton E.D. A Unified Lunar Control Network: The Near Side / E.D. Merton, T.R. Colvin// J. Geof. Reseach. - 1987. - Vol. 92. - N. В13. - P. 14,17714,184.

98. Meyer D.L. Coordinates of lunar feaures. / D.L. Meyer, B.W. Ruffm // Icarus. - 1965, 4. № 5-6. - P. 513-527.

99. Mills G.A. Absolute coordinates of lunar features. I. // Icarus. - 1967,

7.-№2.-P. 193-220.

100. Mills G.A. Absolute coordinates of lunar features. II. // Icarus. -1968,

8. - № l.-P. 90-116.

101. Mills G.A., Sudbury P.V. Absolute coordinates of lunar features. III. / G.A. Mills, P.V. Sudbury // Icarus. - 1968, 9. - № 3. - P. 538-561.

102. Moutsoulas M. Absolute coordinates of lunar features. Final Scientific Report. Depart, of Astron. Univ. of Manchester, 1970.

103. Nozette S., et al. The Clementine Mission to the Moon: Scientific Overview // Science, New Series. - Vol. 266. - №5192. - P. 1835-1839. [Электронный ресурс] http://www.sciencemag.Org/content/266/5192/1835.full (дата обращения: 13.02.2012).

104. Petrova N. SELENE-B: Numerical modeling of free modes libration of the three-layers Moon with outer liquid and inner rigid core. / N. Petrova, N. Kawano, A. Gusev // Proc. of Int conf. «Modern direction of astronomical evolution in Russia», Kazan University, Russia, Sept. 21-25, 2004. - Kazan: University Press. - P. 275-281.

105. Promlems of lunar topography. Proceedings of a conference held at Bagneres-de-Bigorre, Apr. 1960. «Astr. Contr. Univ. Of Manchester», 1960, SIII, №90.

106. Saunder S.A. The determination of selenographic positions and the measurements of lunar photographs. III. Results of the measurements of four Paris negatives. // «Mem. Royal Astron. Soc.». - 1905, 57. - Parti. - P. 1-50.

107. Saunder S.A. The determination of selenographic positions and the measurements of lunar photographs. V. Results of the measurements of two Yerks negatives. //«Mem. Royal Astron. Soc.». - 1911, 60. - Part. 1. - P. 1-81.

108. Schrutka-Rechtenstamm G. Neureduktion der 150 Mondpunkte der Bleslauer Messungen von J. Franz. // Mitt. Univ.-Sternw. Wien. - 1958, Jg. 9. -№ 17.-S. 251-303.

109. Schrutka-Rechtenstamm G. Messungen von 137 Mondkratern an der Universitäts-Sternwarte Wien. //«Ann. Univ.-Sternw. Wien». - 1966, Jg. 26. -№ 6. -S. 154-172.

110. Shoemaker E.M., et al. The south pole region of the Moon as seen by Clementine // Science. - 1994, 266, 1851-1854, doi:10.1126/science.266.5192.1851. [Электронный ресурс] http://www.sciencemag.Org/content/266/5192/1851 .full (дата обращения: 13.02.2012).

111. Smith D.E. Topography of the Moon from the Clementine lidar/ D.E. Smith, M.T. Zuber, G.A. Neumann, F.G. Lemoine// J. Geophys. Res. - 1997. -Vol. 102.-P. 1591-1611.

112. Valeev S.G. Coordinates of the Moon reverse side objects // Earth, Moon, and Planets. - 1986. - № 35. - P. 1-5.

113. Valeev S.G. The ARM-Approach Based Local Modelling of the Gravitational Field / S.G. Valeev, K.M. Samokhvalov // Computational Science -ICCS. - Berlin: Springer-Verlag, 2003. - Part II. - P. 471-480.

114. Valeev S. The construction method of united celenocentric coordinates system for visible and reverse Lunar sides, brought to the Lunar center masses and main axis of its inertia / S. Valeev, Ju. Nefediev, I. Sharafutdinov, M. Kuttenkov, N. Varaksina // European Geosciences Union, EGU General Assembly 2009, Geophysical Research Abstracts. - 2009. - Vol.11. - P. EGU2009-11491.

115. Valeev S. Extension and distribution of Kazan Selenocentric reference System. / S. Valeev, Ju. Nefediev, I. Sharafutdinov, N. Varaksina // International Astronomical Congress «Astrokazan-2011», August 22-30. - Kazan, Russia: изд. Казанского федерального университета, 2011. - С. 61-64.

116. Valeev S., Sharafutdinov I. Models and software for transformation of coordinate systems. / S. Valeev, I. Sharafutdinov // International Astronomical Congress «Astrokazan-2011», August 22-30, Kazan, Russia: изд. Казанского федерального университета, 2011. - С. 68-72.

117. Valeev S. Making selenocentric reference coordinates net in the dynamic system / S. Valeev, I. Sharafutdinov, Ju. Nefediev, N. Varaksina // European Planetary Science Congress 2011, EPSC-DPS Joint Meeting, La Cite Internationale des Congres Nantes Metropole. - Nantes, France. - 2011. - Vol.6. -P. EPSC-DPS2011-43.

118. Watts C.B. The marginal zone of the Moon. //Astron. Pap. Americ. Ephem. Naut. Almanac. -1963. - Vol. 1. - P. 1-951.