Разработка численно-аналитических методов расчета эффективных характеристик пьезокомпозитов 3-0 и 1-3 связности тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Бондарев, Павел Михайлович

• Бондарев, Павел Михайлович
• кандидат физико-математических наук
• 2002

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Бондарев, Павел Михайлович

Введение

1 Основные уравнения электроупругости

1.1 Уравнения состояния.

1.2 . Формулировка краевых задач.

2 Математическое моделирование пористых пьезоком-позитов 3-0 связности

2.1 Представление пористых пьезокомпозитов, постановка задачи.

2.2 Эффективные постоянные пьезокомпозитов.

2.2.1 Метод эффективных модулей для представительного объема упругого композита.

2.2.2 Метод эффективных модулей для представительного объема упругого пьезокомпозита

2.3 Конечно-элементное моделирование представительного объема пьезокомпозитов 3-0 связности.

2.3.1 Постановка задачи.

2.3.2 Слабая вариационная постановка.

2.3.3 Триангуляция представительного объема, сведение обобщенной трехмерной задачи электроупругости к матричному виду

2.3.4 Задание пористости

2.3.5 Возможность применения сферических изопа-раметрических конечных элементов при моделировании пористых композитов.

2.3.6 Построение электроупругой глобальной матрицы жесткости. Решение электроупругой задачи - нахождение узловых значений механических перемещений и электрического потенциала

2.4 • Эффективные модули и характеристики пористого пьезокомпозита 3-0 связности

2.5 Программная реализация.

3 Построение одномерной модели пьезокомпозитов 1связности

3.1 Представление пьезокомпозитов 1-3 связности

3.2 Эффективные модули и характеристики для высокочастотных приложений

3.2.1 Постановка задачи.

3.2.2 Вывод уравнений эффективных постоянных

3.2.3 Эффективные характеристики и их свойства

3.3 Эффективные модули и характеристики для низкочастотных приложений.

3.3.1 Постановка задачи.

3.3.2 Вывод уравнений эффективных постоянных

3.3.3 Эффективные характеристики и их свойства

3.4 Сравнительный анализ полученных результатов

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка численно-аналитических методов расчета эффективных характеристик пьезокомпозитов 3-0 и 1-3 связности»

Пьезоэлектрическими материалами считаются такие, которые генерируют электрическое поле под воздействием механической деформации и наоборот - результатом воздействия электрического поля является механическая деформация.

В последнее время в механике сплошной среды появился и получил широкое распространение новый раздел - электроупругость, основным направлением которого является изучение материалов с пьезоэлектрическими свойствами. Эффект связности поля механической деформации и электрического поля получил огромное применение во' многих областях медицины (литотриптеры, ультразвуковые приборы), в подводных сканирующих устройствах (сонары, сенсоры, актуаторы), в дефектоскопии и др. Вполне очевидно, что работа устройств в вышеозначенных областях должна отличаться высокой надежностью и точностью, т.к. зачастую именно от их результатов зависит здоровье и жизнь людей. В связи с этим необходимо точное и доскональное изучение свойств и характеристик пьезо-мических материалов, и сопряженных электроупругих полей в них. Общие положения и постановку задач электроупругости, которые описывают' процессы в пьезокерамических и сегнетокерамических средах, можно получить в работах В.А. Бабешко, A.B. Белоконя, И.И. Воровича, В.Т. Гринченко, Э. Дьелесан, Б.А. Кудрявцева, У.

Кэди, У. Мэзона, В.З. Партона, А.Ф. Улитко, Ю.А. Устинова, Б. Яффе и др. [5, 8, 14, 15, 18, 20, 23, 26, 28, 29, 30, 36, 39].

Использование пьезокерамических материалов при производстве преобразователей зависит от многих факторов, таких как их физические свойства, цена, долговечность в употреблении, трудоемкость производства и др. И хотя большинство механических характеристик хорошо изучено и прекрасно поддаются описанию и пониманию, существуют, однако, внутренние физические характеристики, которые можно измерить, но порой трудно понять и предсказать их поведение в тех или иных условиях. Поэтому зачастую правильный выбор материала при использовании его в приборе играет немаловажную роль. Результаты, представленные в работах G. Fleury, G. Gondard, N. Jong, М. Burn, М. Lach, R.E. Newnham, J.F. Trassier, A. Sedat, G. Splitt [65, 87, 90, 95, 97, 109] говорят о том, что некоторые свойства пьезокерамики зачастую служат фактором, ограничивающим ее использование при производстве пьезопреобразователей. И поскольку модификация пьезоэлектриков дорога, трудоемка и порой приводит к нежелательным результатам, то возникает вполне резонный вопрос, а что же делать дальше в этом направлении. Здесь есть два пути, первый из которых предлагает изобретение новых пьезокерамических материалов для получения новых свойств и характеристик. Однако, он очень дорог и трудоемок, и зачастую результаты не оправдывают надежд. Поэтому более верным, простым, а потому и наиболее предпочтительным кажется другой путь, в котором на смену чистым пьезоэлектрическим материалам приходят пьезоком-позиты — некие гетерогенные структуры, которые являются смесью пьезоактивной керамики с неактивным веществом, которое может быть как мягче керамики (например, полимерный заполнитель), так и жестче ее (к примеру, металлические компоненты) . Однако здесь существуют проблемы, связанные с изучением свойств и характеристик пьезокомпозитных материалов, т.к. стоимость экспериментальных тестов пьезокомпозитов по определению констант и характеристик довольно высока, что связано с технологическими трудностями при производстве пьезоэлектрических композитов. Поэтому для целенаправленного поиска оптимальных составляющих композита и прогнозирования его свойств требуется умение теоретически определять эффективные параметры композита в зависимости от свойств материалов его составляющих [37].

Можно говорить о том, что появление пьезоэлектрических композитных материалов стало очередным шагом в истории электроупругости, т.к. открываются новые широкие возможности для поиска и создания современных материалов, свойства которых зависят не только от природы, содержания и характера связности составляющих компонент композитов, но также и от формы, размера, расположения компонент и т.п. И что самое главное, характерные свойства новых материалов могут изменяться в несколько раз, и даже возможно появление новых характеристик. При этом управление параметрами пьезокомпозитов оказалось намного более простым по сравнению с чистой пьезокерамикой.

По данным [65, 83, 84, 90, 95, 97, 109], акустический импеданс, к примеру, довольно высок у пьезокерамических материалов, но низок у композитов. А, например, коэффициент электромеханической связи - наоборот, низок у керамики, но довольно высок у композитов. Далее, при использовании пьезокомпозитных материалов вместо чистой пьезокерамики можно наблюдать значительное увеличение широты пропускания частотного диапазона, которое порой достигает значений, на порядок превышающие аналогичные для чистой керамики [90]. Кроме того, не стоит забывать и о гибкости пьезокомпо-зитов, основанной на использовании мягких полимерных заполнителей, что упрощает создание устройств со сложной формой.

Однако, говоря о преимуществах пьезокомпозитов, не стоит забывать и об их недостатках, основным из которых является низкий температурный порог. При высоких температурах заполнитель меняет свои физические характеристики, сжимается и вследствие этого пье-зокерамические элементы теряют свою механическую устойчивость. Также необходимо обратить внимание на высокую себестоимость большинства видов пьезокомпозитов. Но все же их рентабельность настолько велика, что зачастую окупает высокую себестоимость.

Хочется заметить, что история производства, расчетов и моделирования пьезокомпозитов не представляется очень долгой, она ограничивается двумя-тремя десятилетиями для различных типов пьезокомпозитных материалов. Не так давно была проведена классификация пьезокомпозитов, разделение их на классы и типы [95, 96, 97, 98].'Как правило, тип пьезокомпозита представляет из себя набор из двух цифр, первая из которых обозначает размерность пье-зоактивной фазы, а вторая, соответственно, неактивный материал. Рассмотрим краткую классификацию существующих типов (рис. 1, приложение).

Пьезокомпозиты 3-3 связности. Были исследованы одними из первых и, вследствие этого, одними из первых получили применение в устройствах, где требовалась прочность при сравнительно высоких

Частицы в полимере Сферы в полимере Графированный композит Стержни в полимере 0-я (1-3} (1-3) (1-3)

Слоистый композит (2-2)'

Перфорировэнный СЗ-1)

Перфорированный (3-2)

Поперечнопаляризованный Композитная оболшка композит (2-2) (2-3)

Honeycomtf' (3-1 s>

Скелетный" композит (3-3)

Honeycomb1 (3-1Р) burps композит

3-3) tlji'Honeycomtf' (3-1)

Лестничным" композит (3-3)

Рис. 1: Типы связности пьезокомпозитов деформациях. При этом было обнаружено, что подобные материалы обладают, в добавок ко всему, еще и повышенной пьезочувстви-тельностью, что и послужило толчком к развитию новой области в электроупругости. Существует несколько видов 3-3 композитов: "лестничные", "скелетные" и BURPS (BURned out Polymer Spheres), которые еще имеет название псевдо 1-3 пьезокомпозит. Первоначально 3-3 композиты создавались простым путем перемешивания материалов и придания им необходимой формы и заданных физических условий.

Кроме того, к пьезокомпозитам 3-3 связности относятся пористые композиты, в которых поры являются открытыми и связанными между собой. Из-за высокой пьезочувствительности и низкого акустического импеданса они получили широкое распространение в акустических датчиках.

Пьезокомпозиты связности 0-3 представляют из себя смесь, состоящую из случайного массива пьезочастиц, вставленных в трехмерную полимерную матрицу. Главным преимуществом этих композитов является возможность быть сформированными в любую форму, и в тоже время оставаться пьезоактивными. Используются очень малые частицы размера 20 — 500 * 106 м. Использование полимера с высоким порогом тепловой чувствительности делает возможным поляризовать композит при повышенных температурах. Пьезоком-позиты данного типа связности часто используются в принтерах как гибкий направляющий пьезокраситель, а также как вибрационный модальный сенсор.

Тип связности 3-0 у пьезокомпозитов - это обычно пористая керамика, которая, как и 3-3 композит обладает высокими пьезоактив-нми характеристиками, вследствие чего получила в последнее время все более широкое распространение во многих технических приложениях.

Пьезокомпозиты 3-1 и 3-2 связности (перфорированные). Традиционно, композиты представленные такими типами связанности состоят из пьезокерамических блоков с цилиндрическими отверстиями в одной стороне (тип 3-1) или обеих сторонах (тип 3-2), в направлении, перпендикулярном направлению поляризации керамики. Отверстия обычно заполнены полимером. Как правило, столь нехитрые приспособления позволяют повысить продольную деформацию керамики без каких-либо побочных эффектов. В пьезокомпозитах, сделанных по такой технологии, диэлектрические константы, также как и объемный пьезомодуль ((1^) и пьезочувствительность (дь) являются функциями размера отверстий, расстояния между ними, толщины пьезокерамики, поляризации. Другая конфигурация 3-1 композитов представляет собой тонкостенную трехмерную пьезоке-рамическую структуру, похожую на медовые соты (honeycomb), за-поляризованные параллельно стенкам. Обычно их используют, чтобы задействовать пьезомодуль d^i путем поперечной поляризации образца и нанесения электродов на его боковые грани. Существуют две конфигурации этого композита, в первой из которых верх и низ имеют плоское покрытие, а внутреннее пространство - воздушное. В этом частном случае с?зз практически исключается, компоненты напряжения, перпендикулярного стенкам, практически нулевые. Вторая конфигурация имеет внутреннее заполнение мягким полимером, что придает большую прочность всему образцу. Теперь с?зз не полностью подавляются, компонент напряжения, перпендикулярный стенкам, не нулевой. В таких средах сильно уменьшен коэффициент Пуассона, что также часто используют разработчики при проектировании пьезопреобразователей.

Следующим рассматриваемым типом являются пьезокомпозиты связности 2-3. Они обычно больших размеров, состоят из керамических нитей, вставленных в двухмерную или трехмерную полимерные матрицы. Размеры нитей, количество которых достигает несколько сотен, диаметром около 10 — 20 * 10~6 м. Таким образом, создается что-то типа пленки, оболочки или тонкой пластины, которые используются в качестве датчиков растяжения-сжатия и т.п.

Далее рассмотрим пьезокомпозиты 1-3 связности. Это наиболее изученный 'тип, состоящий из продольнополяризованных керамических стержней, параллельно вставленных в полимерную матрицу. Диаметр стержней, расположение их, толщина композита и полимерное заполнение - все это влияет на характеристики композита. Пьезокомпозиты 1-3 связности получили широкое распространение в ультразвуковых подводных сенсорах, где они имеют довольно большие размеры (1.5 —15 мм х0.2 — 1мм х0.2-1мм стержни, количество которых варьируется от нескольких десятков до нескольких сотен); в медицинских ультразвуковых приборах, где их размеры значительно меньше (50 * Ю-4 мм - 1.5 мм х10 * Ю-4 - 0.2 мм хЮ * Ю-4 - 0.2 мм). Интерес подобные конструкции представляют с точки зрения изучения их коэффициента объемного заполнения, жесткости полимерного заполнителя, формы пьезоактивных компонент и пр.

Пьезокомпозиты 2-2 связности (слоистые). Для акустических проекторов с большими площадями, где необходимо генерировать большие поверхностные смещения в широком частотном диапазоне, 1-3 композиты часто не могут быть использованы из-за ограничений по температуре, импедансу и т.д Поэтому в подобных конструкциях 1-3 композиты заменяются композитами связности 2-2 со слоисто-пластинчатой конфигурацией, то есть такой, где существуют чередующиеся между собой пьезоактивные и неактивные пластины. Область применения композитов подобного типа, как уже упоминалось, это акустические излучатели большой величины, часто используемые в подводных акустосканирующих устройствах.

Однако многообразие существующих типов не означает, что все они получили широкое распространение в различных технических устройствах. Одними из наиболее используемых в акустирующих и сканирующих приложениях, а потому и интересных для исследований можно считать пьезокомпозиты связности 1-3 (стержневые) и 3-3 или 3-0 (пористые).

История развития пьезокомпозитов 1-3 связности более длинна, и именно поэтому для них было построено больше моделей и методик расчета.

В работах И.П. Гетмана, А.А. Грекова, В.А. Молькова, Y. Benve-niste, J.B. Castillero и др. [12, 13, 32, 45, 46, 47, 56, 76] рассмотрены задачи для пьезокомпозитов 1-3 связности с целью построения и изучения их характеристик, где композиты представляются в качестве волокнистых [27, 31]. И, исходя из этого, производятся построения моделей и их расчетов.

В работе [56] на основе метода объемного усреднения [27, 31] предлагается способ определения значений эффективных модулей для гибридного однонаправленного волокнистого композита асимптотически, где пьезоактивная фаза представлена в виде однонаправленных цилиндрических волокон периодической структуры. Здесь каждая периодическая ячейка среды сама является двухфазным композитом, где пьезоэлектрик - это электроупругий материал гексагональной структуры. Для получения обобщенных усредненных модулей пьезокомпозитного материала было использовано аналитическое решение поставленной задачи в рядах дваждыпериодических эллиптических функций Вейерштрасса. Как правило, в решении задач подобными методами используется так называемая "вилка" Ха-шина-Штрикмана [77], то есть определяются верхние и нижние границы рассматриваемых параметров. Однако такой метод зачастую дает большие погрешности, лежащие в пределах 30%.

Работы [45, 46, 47, 48, 49] также посвящены поиску точных отношений, которые могут существовать между эффективными модулями волокнистых пьезокомпозитов с цилиндрическими пьезоактивными волокнами. Однако здесь присутствуют также пироэлектрические компоненты, то есть рассматривается влияние температуры на общие свойства материала. Решение задачи производится на основе метода эффективных модулей [38, 63, 64], а также путем разложения существующей задачи на две, но с различными граничными условиями.

Следующий класс задач, связанных с изучением свойств пьезо-композитов 1-3 связности, посвящен оптимизации композита. Здесь существует два направления. Первое проводит топологическую оптимизацию пьезоактивной фазы, то есть решением задачи является оптимальная форма пьезокерамических стержней при заданных желаемых характеристиках. Здесь модули материала представляются У-периодическими функциями, то есть наблюдается периодическая повторяемость геометрии композита. Решение задачи часто основано на методе конечных элементов для некоторой части рассматриваемого пьезокомпозитного материала. Результаты данного направления можно найти в работах таких авторов, как F.M. Espinosa, J.S. Fonseca, N. Kikuchi, Е.С. Silva и др. [100, 101, 102, 103, 104]. Следует заметить, что по результатам решения некоторых задач были проведены экспериментальные тесты и сравнение численных результатов с экспериментальными оказалось очень хорошим [100].

Второе направление оптимизационных задач однонаправленных 1-3 пьезокомпозитов связано с геометрическим расположением пье-зоактивных компонент композита и физико-механическими свойствами полимерного заполнителя. Данное направление в исследованиях 1-3 пьезокомпозитов разрабатывают L.V. Gibiansky, S. Torquato [74, 75]. Здесь, в основном, рассматриваются задачи для гидростатических приложений, а композит берется как материал, где пьезоэлектрические стержни вставлены в трансверсальноизотропную полимерную матрицу. Основным результатом данных исследований можно считать, что оптимальным 1-3 композитом является материал, состоящий из гексагонального массива стержней, вставленных в высокоанизотропную полимерную матрицу с отрицательным коэффициентом Пуассона в некоторых направлениях [74, 75, 107]. Для решении задач используется упомянутый выше метод Хашина-Штрикмана, поэтому здесь также присутствует существенный разброс верхней и нижней границ полученных результатов.

Следующий тип задач, рассмотренных D. Certon, G. Feuillard, В. Karlsson, F. Lavassort, F. Patat [57], связан с изучением волновых процессов в композитах и, в частности, с возможностью влияния изменений свойств композита на его частотный диапазон . То есть здесь рассматриваются возможности увеличения ширины рабочих частот или наоборот - получение так называемых "stopband", то есть полностью нерабочего частотного диапазона. Для решения поставленных задач в данных работах предлагается два различных подхода, первый из которых основан на использовании волновой теории Блока [42, 43]. Второй метод решения - это так называемый мембранной метод, который состоит в численном решении уравнений движения в двухфазной среде с периодической структурой. Результатом решения задачи данным методом является графическое изображение волнового движения среды. Для отдельно взятой моды были получены результаты, сравнительный анализ которых дает погрешность порядка пяти процентов.

Не менее интересными представляются работы N.N. Abboud, X.Q.

Bao, J. Bennet, R. Hamilton, K.Y. Hashimoto, G. Hayward, J. Hossak, J.H. Jeng, N. Kikuchi, H. Makita, J. Mould, V. Murray, L. Nikodom, E.C. Silva, V.K. Varadan, D.K. Vaughan, G. Wojcik, M. Yamaguchi [50, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 86, 103, 112, 113, 114, 115, 116, 117], в которых 'проводится численный анализ пьезокомпозитов, и в качестве основного метода используется метод конечных элементов. Как правило, целью подобных исследований является расчет конкретных задач, включающих применение конкретных материалов и конструкций. Данные работы посвящены, как правило, расчету наперед заданных характеристик на предмет их оптимизации, модернизации и т.п. Положительной стороной этих задач можно считать возможность расчета пьезокомпозитов (в данном случае 1-3 связности) со стержнями любой формы и любого расположения в композите. Кроме того, здесь существует возможность прямой визуализации полученных результатов, в том числе и визуализации формы композита, стержней, заполнителя, собственных форм при любых заданных условиях. Однако при всех достоинствах метода огромным минусом можно считать трудоемкость проведения расчета для всего рассматриваемого пьезокомпозитного образца, так как при этом сильно увеличивается число конечных элементов для триангуляции рассматриваемого образца (число которых порой может достигать десятков и сотен миллионов), что, несомненно, является проблематичным1 даже для современных вычислительных систем. Поэтому метод конечных элементов на практике можно использовать только для конкретных задач при расчете подобластей пьезокомпозитных материалов.

Большинство из рассмотренных выше задач посвящены изучению количественных характеристик пьезокомпозита, то есть расчету каких-то конкретных задач с целью получения конкретного результата при известных условиях. Однако не менее интересным представляется исследование пьезокомпозитов на предмет изучения их качественных характеристик, целью которого является поиск эффективных констант пьезокомпозитного материала, при которых материал можно считать однородным и, соответственно, решать поставленные задачи как с однородным материалом, так как в большинстве прикладных задач невозможно рассчитывать образцы из пьезокомпозитных материалов вследствие их большой неоднородности и сложности геометрического строения. Кажется вполне очевидным, что данное направление может принести достаточно хорошие результаты для исследований свойств пьезокомпозитов. Областью применения полученных результатов может быть предсказание электроупругих свойств композита путем построения его математической модели. Это, несомненно, представляет огромный интерес для производителей пьезокомпозитных материалов, так как затраты на проведение практических экспериментов с композитами различного строения и структуры на порядки выше экспериментов численных, полученных на основе математического моделирования.

Для пьезокомпозитов 1-3 связности A.A. Грековым, С.О. Крамаровым, A.A. Куприенко, W. Smith и др. [59, 76, 105, 106] были рассмотрены задачи для различных приложений, где в качестве основного параметра фигурирует так называемый коэффициент керамического заполнения, который является количественным параметром и показывает заполненность композита пьезоактивным веществом. Однако в этих задачах не проводились исследования свойств материала при изменении его структуры, например, жесткости полимерного заполнителя, свойств пьезокерамики и т.д., а также их влияния на основные характеристики материала для различных прикладных задач. Этот пробел и предлагается заполнить путем построения одномерной модели пьезокомпозита 1-3 связности, где уменьшение размерности происходит за счет введения дополнительных условностей и обоснованных предположений. В данном исследовании строится модель пьезокомпозита 1-3 связности с целью поиска его эффективных постоянных, связывающих между собой как константы пьезоактивного материала, так и неактивного, а также исследования характеристик композита в зависимости от его эффективных свойств.

Однако, говоря о стержневых пьезокомпозитах и их свойствах надо заметить, что при всех их достоинствах существуют области, где их физико-механических характеристик недостаточно и здесь им на смену приходят пористые пьезокомпозиты, которые имеют, довольно низкие значения поперечного пьезомодуля, акустического импеданса, механической добротности, модуля Юнга, а также повышенные значения продольной и объемной пьезочувствительности и фактора приема [24]. Поэтому именно этому классу пьезокомпозитов в последнее время стало уделяться огромное внимание со стороны технологов и производителей, чего нельзя сказать о теоретических исследователях.

Поскольку пористые композиты совсем недавно получили практическое применение, область которого постоянно расширяется, то, конечно же, они представляют огромный интерес в плане изучения их свойств.' Также как и любые другие композиты, пористые пьезокомпозиты достаточно трудны для прямого расчета их в практических задачах, что особенно усугубляет сложная геометрическая структура и высокая неоднородность материала. Для пьезокомпо-зитов данного класса предлагались следующие методы расчета. В работах C.R. Bowen, S.W. Mahon, А. Perry [54, 55] рассматривается пористый композит 3-3 связности, то есть композит с открытыми и связанными между собой порами. Для расчета берется одна ячейка, которая представляется пьезоактивным кубом с полимерной начинкой. Данная структура подвергается гидростатической нагрузке, расчет ведется методом конечных элементов. В качестве независимых параметров используется коэффициент полимерного заполнения, а также геометрическая морфология поры. Получены значения некоторых физических величин, зависящих от силы нагруже-ния, т.е. рассмотрены некоторые количественные задачи на определение поведения поры композита при определенных условиях. В том же направлении рассматриваются пористые композиты в работах [70, 71, 72, 73]. Здесь также исследуется влияние нагрузок и деформаций на ячейку элемента, содержащую пору, однако если в первых .работах основной упор делается на изучение качественных характеристик композита, то во вторых главным считается изучение количественных механических характеристик, то есть целью решения задач является расчет напряжений и деформаций в материале и, в частности, в окрестностях пор, в то время как качественные параметры остаются без какого-либо внимания. Следует заметить, что в последних работах предлагается метод решения задач, основанный на триангуляции Делоне и конечных элементах Вороного, позволяющий значительно упростить и ускорить само решение практически без потери точности.

Однако, как кажется, больший интерес все же представляет изучение качественных характеристик пористых пьезокомпозитов, то есть изучение их на предмет влияния свойств компонент композита на его характеристики, что даст возможность прогнозирования его физико-механических параметров. Также как и в случае композитов 1-3 связности, для пористых пьезокомпозитов интересным представляется поиск эффективных постоянных, зависящих от констант электроупругого материала и заполнителя пор, что позволит рассматривать композит в качестве однородного материала при решении практических задач. Данное направление в математическом моделировании пористых пьезокомпозитов рассматривается в работе И.П. Гетмана, С.А. Лопатина [69], где изучаются электрические свойства пористого композита 3-3 связности, а также находятся эффективные постоянные. Поскольку рассчитывать весь композитный образец не представляется возможным, то предлагается рассматривать некоторую его представительную часть, для которой и находятся эффективные постоянные. В работе композит геометрически представляется кубом, с произвольно вырезанными кубическими отверстиями-норами, которые или пустые, или могут быть заполнены 'каким-то полимером. Для данной модели методом конечных элементов решается задача в условиях линейных однородных деформаций и напряженностей электрического поля, где в качестве результатов получаются значения механических перемещений и электрического потенциала в узлах элементов. Эти значения в дальнейшем используются для построения эффективных постоянных.

На основе данного подхода в настоящей диссертационной работе предлагается построить полную трехмерную модель пьезокомпозита 3-0 связности, где поры геометрически представлены сферами, найти все его эффективные постоянные, а также рассмотреть все наиболее интересные для данного типа композита физико-механические характеристики с целью его оптимизации.

Таким образом, цель предпринятого автором исследования состояла в следующем. Построить и изучить полную трехмерную модель пористого пьезокомпозита 3-0 связности методом эффективных модулей [38, 44, 63, 64, 66, 69] и методом конечных элементов [19, 34, 35, 89, 118], при этом исследовать возможность применения сферических конечных элементов для моделирования пор в композите. Получить все эффективные постоянные для пьезокомпозита 3-0 связности, рассмотреть основные прикладные задачи для данного композита, получить основные характеристики и на их основе представить возможность оптимизации материала. Кроме этого, поставлена задача построить одномерную модель пьезокомпозита связности 1-3 для высокочастотных и низкочастотных приложений, а также рассмотреть эффективные характеристики композита и влияние на них жесткости полимерного заполнителя и изменение свойств керамических стержней.

Работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения.

В первой главе приводятся основные соотношения линейной теории электроупругости для случая малых деформаций, а также основные граничные механические и электрические условия.

Во второй главе рассматриваются характеристики пористых пье-зокомпозитов 3-0 связности. Здесь методом эффективных модулей и методом конечных элементов построена трехмерная модель представительного объема композита, найдены эффективные постоянные, рассмотрены некоторые характеристики для высокочастотных и низкочастотных приложений. Полученные результаты для рассматриваемых характеристик позволяют определить наиболее оптимальные свойства пьезокомпозита. Также, созданный на базе Compaq Visual Fortran 6.1 и Matlab 5.3 пакет прикладных программ позволяет рассчитывать характеристики 3-0 пористого пьезокомпозита, составленного из любых материалов. Показана возможность применения сферических конечных элементов при моделировании пористых композитов.

В третьей главе строится одномерная модель для пьезокомпо-зитов 1-3 связности, то есть стержневых пьезокомпозитов. Здесь также рассмотрены характеристики для высокочастотных и низкочастотных прикладных характеристик, а также получены основные характеристики для рассматриваемых приложений, которые представлены графически. Рассмотрены задачи о влиянии жесткости полимерного заполнителя на характеристики пьезокомпозита, а также поведение данных характеристик при использовании стержней из пористой пьезокерамики.

Основное содержание диссертации изложено в работах [2, 3, 4, 9, 10, И, 51, 52, 53]. Результаты работ [2, 3, 4] принадлежат обоим авторам, где A.B. Белоконю принадлежит постановка задач и основные идеи решения, а П.М. Бондареву - реализация при решении задач методом конечных элементов [4] и методом усреднений [2, 3]. Результаты апробированы на Международной научно-практической конференции "Фундаментальные проблемы пьезоэлектрического приборостроения" (Азов, 1999), Научной конференции аспирантов Ростовского госуниверситета (Ростов-на-Дону, 1999), VI Международной конференции "Современные проблемы механики сплошной среды" (Ростов-на-Дону, 2000), IV Всероссийском симпозиуме "Математическое моделирование и компьютерные технологии" (Кисловодск, 2000), 16-ом Международном конгрессе по математическому моделированию IMACS-2000 (Лозанна, Швейцария, 2000), Международной конференции по проблемам пьезо- и сегнетоэлектриков "Пьезо-техника-2000" (Зеленогорск, 2000), Международной конференции по проблемам задач прикладной математики и механики "AMCW2001" (Берлин, Германия, 2001), а также на семинарах кафедры математического моделирования, кафедры теории упругости Ростовского Государственного Университета и кафедре механики композитов Московского Госудаственного Университета. Данная научно-исследовательская работа поддержана грантами Российского Фонда Фундаментальных Исследований (00-01-10770-3, 01-01-06113-мас), Швейцарского Национального Научного Фонда (Swiss National Science Foundation), Немецкого Научного Фонда (Deutsche Forschungsgemeinschaft).

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Александру Владимировичу Белоконю за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Бондарев, Павел Михайлович

Заключение

1. Построена полная трехмерная модель пористого пьезокомпо-зита 3-0 связности методом эффективных модулей и методом конечных элементов, где геометрия пор представлена в виде, наиболее приближенном к реальным материалам, т.е. сферическая.

2. Показано, что существует возможность применения изопара-метрических сферических конечных элементов при моделирования пористых композитов.

3. На основе языка программирования Compaq Visual Fortran 6.1 и математического пакета Matlab 5.3 разработан пакет прикладных программ, позволяющий находить все эффективные постоянные пористого пьезокомпозита 3-0 связности для композита, состоящего из любых материалов, электро-механические постоянные которых задаются пользователем.

4. На., примере пьезокерамики ПКР-7М получены все эффективные постоянные пьезокомпозита 3-0 связности, рассмотрены качественные прикладные сенсорные и актуаторные задачи, рассмотрены основные эффективные характеристики для них. На основе полученных результатов показано преимущество пористых пьезокомпозитов по сравнению с чистой пьезокерамикой, рассмотрена возможность оптимизации пористого пьезокомпо-зита для различных приложений.

5. Построена одномерная модель пьезокомпозитов 1-3 связности для различных приложений, получены некоторые эффективные постоянные композита, зависящие как от свойств пьезо-керамики и полимерного заполнителя, так и от коэффициента керамического заполнения. Представлен сравнительный анализ полученных результатов для пьезокомпозитов 1-3 связности с известными, полученными как численно, так и аналитически.

6. Рассмотрено влияние модуля Юнга полимерного заполнителя и влияние пористости керамических стержней при их применении вместо чистой пьезокерамики на основные характеристики 1-3 пьезокомпозита. Показано, что данные свойства материалов оказывают значительное влияние на характеристики композита.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Бондарев, Павел Михайлович, 2002 год

1. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Т.1. Наука, 1975. 632 с.

2. Белоконь A.B., Бондарев П.М. Эффективные характеристики 1-3. пьезокомпозитов при гидростатической нагрузке. Механика композиционных материалов и конструкций. 2000, Т. 6, № 2, С. 200 211

3. Белоконь A.B., Бондарев П.М. Конечно-элементное моделирование пористых пьезокомпозитов 3-0 связности. Сборник научных трудов IV Всероссийского симпозиума "Математическое моделирование и компьютерные технологии", Кисловодск, 2000, Т.2, ч. 1, С. 27 28

4. Белоконь A.B., Ворович И.И. Начально-краевые задачи динамической теории электроупругости. Изв. СКНЦ ВШ. Естеств. науки.1982, № 2, С. 29-32

5. Белоконъ A.B., Наседкин A.B. Колебания термоэлектроупругих тел ограниченных размеров. Современные проблемы механики сплошных сред. Сб. науч. статей. Ростов-на-Дону, "Книга",1995, С. 31 46

6. Белоконъ A.B., Наседкин A.B. О некоторых свойствах собственных частот электроупругих тел ограниченных размеров. ПММ,1996, Т. 60, N1, С. 151 158

7. Берлинкур Д., Керран Д., Жаффе Г. Пьезоэлектрические и пье-зомагнитные материалы и их применение в преобразователях. Физ. акустика / Под ред. Мэзона У. М.: Мир, 1966. - Т.1., ч.А, С. 204 - 326

8. Бондарев П.М. О влиянии формы пьезокерамических стержней на эффективные характеристики 1-3 пьезокомпозита. Сборник трудов научной конференции аспирантов и соискателей, г. Ростов-на-Дону, 1999, С. 29-30

9. Гетман И.П. О магнитоэлектрическом эффекте в пьезокомпо-зитах. ДАН СССР, 1991, т. 317, № 2, С. 1246 1259

10. Гетман И.П., Молъков В. А. об эффективных характеристиках пьезоактивных композитов с цилиндрическими включениями. ПММ, 1992, т. 35, № 3, С. 501 509

11. Гринченко В.Т., Улигпко А.Ф., Шульга H.A. Механика связанных полей в элементах конструкций. Электроупругость. Т. 5. -Киев: Наук, думка , 1989. - 579 с.

12. Гузъ А.Н., Махорт Ф.Г. Механика связанных полей в элементах' конструкций. Т. 3. Акустоэлектромагнитоупруготь. Киев. Наукова Думка, 1989. 288 с.

13. Данцигер А.Я., Разумовская О.Н., Резниченко Л.А., Гринева Л.Д., Девликанова Р.У., Дудкина С.И., Гавриляченко C.B., Дергунова Н.В., Клевцов А.Н. Высокоэффективные пьезокера-мические материалы. Справочник. Ростов-на-Дону: АО "Книга", 1994. 30 с.

14. Джорж А., Лю Дж. Численное решение больших разреженных систем уравнений. М.: Мир, 1984. 333 с.

15. Дьелесан Э., Руайе Д. Упругие волны в твердых телах. Применение для обработки сигналов. М.: Наука, 1982. - 424 с.

16. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. М.: Мир, 1986. 318 с.

17. Короткина М.Р. Электромагнитоупругость, М.: Из-во МГУ, 1988. - 304 с.

18. Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного анализа. М.: Из-во АН СССР, 1961. 426 с.

19. Кристенсен Р. Введение в механику композитов. М., "Мир", 1982, 284 с.

20. Кэди У. Пьезоэлектричество и его практическое применение. -М.: Из-во иностр. лит., 1949. 718 с.

21. Лупейко Т.Г., Лопатин С. С. Свойства пористой пьезоэлектрической керамикитипа цирконата-титана свинца. Неорганические материалы. 1991, Т. 27, № 9, С. 1087 1098

22. Лупейко Т.Г. Старые и новые проблемы пьезоматериалове-дения. Сб. тр. межд. научн.-практ. конф. "Фундаментальные проблемы пьезоэлектрического приборостроения". 1999, Т. 1, С. 65-71

23. Мадорский В.В., Устинов Ю.А. Симметричные колебания пьезоэлектрических пластин. Изв. АН Арм.ССР. Механика. 1976, № 5, С. 51-58

24. Мольков В. А., Гурова О.Э. Упругие модули однонаправленного волокнистого композита. Механика композитных материалов. 1986, № 6, С. 1017 1020

25. Мэзон У. Методы и приборы ультразвуковых исследований. Физическая акустика. Т.1, ч.А - М.: Мир, 1966, - 592 с.

26. Мэзон У. Пьезоэлектрические кристаллы и их применение в ультраакустике. М.: Из-во иностр. лит., 1952, - 447 с.

27. Партон В.З., Кудрявцев Б. А. Электромагнитоупругость пьезоэлектрических и электропроводных тел. М., 1988, 541 с.

28. Победрл Б.Е. Механика композиционных материалов. Москва, Изд-во МГУ, 1984, 336 с.

29. Победря Б.Е., Молъков В.А. Эффективные характеристики однонаправленного волокнистого композита с периодической структурой. Изв. АН СССР, МТТ, 1985, № 2, С. 58 71

30. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979, 392 с.

31. Секулович М. Метод конечных элементов. М.: Стройиздат, 1993, 664 с.

32. Сахаров А.С., Алътенбах И.А. Метод конечных элементов в механике твердых тел. Киев, Вища школа, 1982, 479 с.

33. Устинов Ю.А. Электроупругость. Основы теории и некоторые приложения. Соросовский Образовательный Журнал. 1996. № 3, С. 122 126.

34. Устинов Ю.А. Электроупругость. Некоторые вопросы математического моделирования. Соросовский Образовательный Журнал. 1996, № 9, С. 122 127

35. Хорошун Л.Н., Маслов Б.П., Лещенко П.В. Прогнозирование эффективных свойств пьезоактивных композитных материалов. Киев. Наукова Думка, 1989, 347 с.

36. Яффе Б., Кук У., Яффе Г. Пьезоэлектрическая керамика. М.: Мир, 1974. - 288 с.

37. Allik H., Hughes T.J.R. Finite element method for piezoelectric vibration. Int. J. Num. Meth. Eng. 1970, Vol. 2, pp. 151 157

38. Allik H., Webman K.M. Vibrational response of sonar transducers using piezoelectric finite elements. J. Acoust. Soc. Am. 1974, Vol. 56, No. 6, pp. 1782 1791

39. Auld B.A., Shui Y.A., Wang Y. Elastic wave propagation in three-dimensional periodic composite materials. J. Phis. 1984, Vol. 45, pp.'159-163

40. Auld B.A., Wang Y. Waves and vibrations in periodic composite plates. Proc. IEEE Ultrasonoc Symposium. 1984, pp. 528 532

41. Bakhvalov N.S., Panasenko G.P Homogenization: averaging processes in periodic media. Kluwer, Dordrecht, 1989, 548 p.

42. Benveniste Y. Exact results concerning the local fields and effective properties in piezoelectric composites. Journal of Engineering Materials and Technology, 1994, Vol. 116, pp. 36 48

43. Benveniste Y. Exact results in the micromechanics of fibrous piezoelectric composites exhibiting pyroelectricity. Proc. R. Soc. Lond., 1993, No. 441, pp. 59-81

44. Benveniste Y. On the micromechanics of fibrous piezoelectric composites. Mechanics of Materials. 1994, Vol. 18, pp. 183 193

45. Benveniste Y. Piezoelectric inhomogeneity problems in anti-plain shear and in-plain electric fields how to obtain the coupled fields from the uncoupled dielectric solution. Mechanics of Materials. 1997, Vol. 25, pp. 59 - 65

46. Benveniste Y., Dvorak G.J. Uniform fields and universal relations in piezoelectric composites. J. Mech. Phys. Solids, 1992, Vol. 40, No. 6, pp. 1295 1312

47. Bennet J. Development of a finite element modelling system for piezocomposite transducers. Ph.D. dissertation, University of Strathclyde, Glasgow, Scotland, Nov. 1995, 126 p.

48. Bondarev P. 3D finite element simulation of porous piezocomposite using 20-nodal iso-parametric elements. Proceeding of 16-th IMACS World Congress 2000, Lausanne, Sweetzerland, 2000, pp. 25

49. Bondarev P. Mathematical simulation of effective properties for porous piezocomposites. Proceeding of European conference on Numerical Mathematics and Advanced Applications "ENUMATH 2001", Ischia, Italy, 2001, pp. 56 58

50. Bondarev P. An approach to the porous piezocomposites simulation by the homogenization and FEM. Proceeding of SIAM-EMS Conference of Applied Mathematics in our Changing World "AMCW2001", Berlin, Germany, 2001, pp. 87

51. Bowen C.R., Mahon S. W., Perry A. Finite element modelling of 33 piezocomposites. Scripta materialia. 1999, Vol.41, No.9, pp. 1001 -1007

52. Bowen C.R., Mahon S.W., Perry A. Modelling of 3-3 piezocomposites. British Ceramic Proceedings. 1999, Vol. 2, No. 60, pp. 503 504

53. Castillero J.B., Otero J.A., Ramos R.R., Diaz R.G. The overall properties of piezocomposite materials with cylindrical fibres. ICIMAF Report, Havana, Cuba. 1997, 27 p.

54. Certon D., Patat F., Lavassort F., Feuillard G., Karlsson B. Lateral resonances in 1-3 piezoelectric periodic composite: Modeling and experimental results. J. Acoust. Soc. Am., 1997, April, Vol. 101 (4), pp. 58 73

55. Challande P. Optimizing ultrasonic transducers based on piezoelectric composites using a finite-element method. IEEE Transactions on ultrasonic, ferroelectrics, and frequency control. 1990, Vol. 37, No 2, pp. 135 140

56. Chan H., Unsworth J. Simple model for piezoelectric ceramic/polymer 1-3 composites used in ultrasonic transducer applications. IEEE Transactions on ultrasonic, ferroelectrics, and frequency control. 1989, Vol. 36, No 4, pp. 434 442

57. Clenshaw C.W., Curtis A.R. A method for numerical integration on an automatic computer. Numerishe matematik 2. 1960, pp. 197 -205

58. Cook R.D. More in reduced integration and isoparametric elements. Int. Journ. of Num. Meth. in Eng., 1972, Vol. 5, pp. 67 81

59. Cuthill E., McKee J. Reducing the bandwidth of sparse symmetric matrices. Proc. 24th Nat. Conf. Assoc. Comput. Mach. 1969, pp. 157 172

60. Dunn M., Taya M. Micromechanics predictions of effective electro-elastic moduli of piezoelectric composites. Int. J. Solids Structures. 1993, Vol. 30, p. 161 176

61. Dunn M., Li J. Analysis of microstructural fields in heterogeneous piezoelectric solids. International Journal of Engineering Science. 1999, Vol. 37, pp. 665 685

62. Fleury G., Gondard Ch. Improvements of ultrasonic inspections throat the use of piezo-composite transducers. Transl. at the 6th European Conference on non destructive testing, 1994, pp. 41 47

63. Galka A., Telega J., Wojnar R. Homogenization and thermopiezo electricity. Mechanics research communications. 1992, Vol. 2, No. 4, pp. 315 324

64. Gentleman W.M. Implementing Clenshaw-Curtis quadrature. Comm. ACM 15. 1972, pp. 337 346

65. George A., Liu J. W. Computer Solution of Large Sparse Positive Definite Systems. 1981. Prentice-Hall. 387 p.

66. Getman I., Lopatin S. Theoretical and experimental investigation of the porous PZT ceramics. Ferroelectrics. 1996. Vol. 186, pp. 183 -189

67. Ghosh .SMoorthe S. A Voronoi cell finite element model for particle cracking in elastic-plastic composite materials. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 1998, Vol. 151, pp. 377 400

68. Ghosh S., Moorthe S. A model for analysis of arbitrary composite and porous microstructures with Voronoi cell finite elements. Int. J. Numer. Methods Engrg. 1996, Vol. 39, pp. 2363 2398

69. Ghosh S., Moorthe S. Elastic-plastic analysis of arbirary heterogeneous materials with the Voronoi cell finite element method. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 1998, Vol. 151, pp. 377 400

70. Ghosh S., Moorthe S., Liu Y. Voronoi cell finite element method for micropolar thermo-elastic, elasto-plastic heterogeneous meterials. AS ME, Appl. Mech. Rev., 1993, Vol. 47, pp. 207 221

71. Gibiansky L. V., Torquato S. Optimal design of 1-3 composite piezoelectrics. Structural Optimization. 1997, Vol. 13, pp. 23 38

72. Gibiansky L. V., Torquato S. On the Use of Homogenization Theory to Optimally Design Piezocomposites for Hydrophone Applications. Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 1997, Vol. 44, pp. 233 247

73. Grekov A.A., Kramarov S.O., Kuprienko A.A. Effective properties of transversely isotropic piezocomposite with cylindrical inclusions. Ferroelectrics. 1989, Vol. 99, pp. 128 140

74. Hashin Z., Shtrikman S. A variational approach of the theory of elastic behavior of multiphase materials. Journal of mechanics and physics of solids. 1963, Vol. 11, pp. 127- 140

75. Hayward G., Bennet J. Assessing the influence of pillar aspect ratio on the behavior of 1-3 connectivity composite transducers. IEEE

76. Transactions on ultrasonic, ferroelectrics, and frequency control. 1996, Vol. 43, No 1, pp. 98 107

77. Hay ward G., Bennett J., Hamilton R. A theoretical study on the influence on some constituent material properties on the behavior of 1-3 connectivity composite transducers. J. Acoust. Soc. Am., 1995, October, 98(4), pp. 2187-2196

78. Hay ward G., Hossack J. Finite-element analysis of 1-3 composite transducers. IEEE Transactions on ultrasonic, ferroelectrics, and frequency control. 1991, Vol. 38, No 6, pp. 618 629

79. Hay ward G., Hossack J. Computer models for the analysis and design of 1-3 composite transducers. Ultrason. Int. 89 Conf. Proc., 1989, Vol. 2, pp. 531 536

80. H ay ward G., Hossack J. Unidimensional modelling of 1-3 composite transducers. J. Acoust. Soc. Amer., Vol. 88, No. 2, pp. 599 608

81. Hayward G., Bennet J. Assessing the influence of pillar aspect ratio on the behavior of 1-3 connectivity composite transducers. IEEE Transactions on ultrasonic, ferroelectrics, and frequency control. 1996, Vol. 43, No. 1, pp. 98 108

82. Hayward G. A theoretical study on the influence of some constituent material properties on the behavior of 1-3 connectivity composite transducers. Journal of Acoustic Society of America, 1995, No. 98 (4), pp. 2187 2196.

83. Irons B.M. Quadrature rules for brick based finite elements. Int. Journ. of Num. Meth. in Eng., 1971, Vol. 3

84. Jeng J.H., Bao X.Q., Varadan V.V., Varadan V.K. A complete finite element-eigenmode analysis for a 1-3 type of composite transducer including the effect of fluid loading and internal losses. Proc. IEEE Ultrason. Syrnp., 1988, pp. 18 26

85. Jong N. de, Burn M. Transducers in medical ultrasound: Part two. Vibrations modes, matching layers and grating lobes. Ultrasonics. July, 1985, pp. 176 182

86. Kagawa Y., Yamabuchi T. Finite element simulation of two-dimensional electromechanical resonators. IEEE Trans. Sonics Ultrason., 1974, Vol. SU-21, pp. 257 283

87. Kohnke P. ANSYS, Theory. Vol. IV.

88. Lach M., Platte M., Ries A. Piezoelectric materials for ultrasonic probes. NDTnet, September, 1996, vol. 1, N 09.

89. Lerch R. Finite element analysis of piezoelectric transducers. Proc. IEEE Ultrason. Symp. 1988, Vol. 2, pp. 643 654

90. Lerch R. Simulation of piezoelectric devices by two- and three-dimensional finite elements. IEEE Transactions on ultrasonic, ferroelectrics, and frequency control. 1990, Vol. 37, No 2, pp. 233 -247'

91. Liu J. W. H. Comparative Analysis of the Cuthill-McKee and the Reverse Cuthill-McKee Ordering Algorithms for Sparse Matrices. SIAM Journal on Numerical Analysis. 1976, Vol. 13, No. 2, pp. 198 213

92. Naillon M., Coursant R., Besnier F. Analysis of piezoelectric structures by a finite element method. Acta electrónica. 1983, Vol. 25, pp. 341 362

93. Newnham Robert E. Molecular mechanisms in smart materials. Material Research Society Bulletin, 1997, Vol. XXII, No. 5, 48 p.

94. Newnham Robert E., Skinner D.P., Cross L.E. Connectivity and piezoelectric-pyroelectric composites. Materials Res. Bull., 1978, Vol. 17, pp. 525 540

95. Newnham Robert E., Tressler James F., Sedat Alkoy Piezoelectric sensors and sensor materials. Journal of Electroceramics, 1998, Vol. 2(4), pp. 655 661

96. Newnham Robert E., Tressler James F., Sedat Alkoy, Bogan A. Functional composites for sensors, actuators and transducers. Composites: Part A: applied science and manufacturing. 1999, Vol. 30 , pp. 477 482

97. Ostergaard D.F., Pawlak T.P. Three-dimensional finite elements for analysing piezoelectric structures. Proc. IEEE Ultrason. Symp., Williamsburg, 1986, pp. 639 642

98. Silva E.C. Nelli, Kikuchi N. Design of piezoelectric transducers using topology optimization. Smart Mater. Struct. 1999, V. 8, pp. 450 -464

99. Silva E.C. Nelli, Nishiwaki Sh., Kikuchi N. Topology optimization design of flextensional actuators. IEEE Transactions on ultrasonic, ferroelectrics, and frequency control. 1993, Vol. 47, No 3, pp. 657 -671

100. Silva E.C. Nelli, Fonseca J.S. Ono, Kikuchi N. Optimal design of periodic piezocomposites. Computer methods in applied mechanics and engineering. 1998, Vol. 159, pp. 49 77

101. Silva E.C. Nelli, Fonseca J.S. Ono, Kikuchi N. Optimal design of piezoelectric microstructures. Computational Mechanics. 1997, Vol. 19, pp. 397 410

102. Smith W. Modeling 1-3 composite piezoelectrics: hydrostatic response. IEEE Transactions on ultrasonic, ferroelectrics, and frequency control. 1993, Vol. 40, No 1, pp. 41 48

103. Smith W., Auld B. Modeling 1-3 Composite Piezoelectrics: thickness-mode oscillations. IEEE Transactions on ultrasonic, ferroelectrics, and frequency control. 1991, Vol. 38, N 1, pp. 40 47

104. Smith W. Optimising electromechanical coupling in piezocomposites using polymers with negative Poisson 's Ratio. Proc. IEEE Ultras. Symp., 1991, pp. 661 666

105. Smith W. The role of piezocomposites in ultrasonic transducers. Proc. IEEE Ultrason. Symp. 1989, pp. 755 766

106. Splitt G. Piezocomposite Transducers a Milestone for Ultrasonic Testing. NDTnet, July, 1996, vol. 1, N 07.

107. Taunaumang H., Guy I.L., Chan H.L.W. Electromechanical properties of 1-3 piezoelectric ceramic/piezoelectric polymer composites. J. Appl. Phys. 1994, Vol. 76(1), pp. 484 489

108. Wersing W., Lubitz K., Mohaupt J. Dielectric, elastic and piezoelectric properties of porous PZT ceramics. Ferroelectrics. 1986. Vol. 68. No. 1/4, pp. 77 79

109. Wojcik G., DeSilets C., Nikodym L., Vaughan D., Abboud N., Mould J. Computer modeling of diced matching layers. Proc. IEEE Ultrason. Symp., 1996, pp. 36 47

110. Wojcik G.L., Vaughan D.K., Murray V., Mould J. Time-domain modeling of composite arrays for underwater imaging. Proc. IEEE Ultrason. Symp., 1994, pp. 17 25

111. Wojcik G.L., Abboud N.N., Vaughan D.K., Mould J., Powell D. J., Nikodim L. Finite element modeling for ultrasonic transducers. Proc. SPIE Int. Symp. Medical Imaging. 1998, San Diego. 23 pp.

112. Wojcik G.L., Abboud N.N., Vaughan D.K., Mould J. Electromechanical modeling using explicit-time-domain finite elements. Proc. IEEE Ultrason. Symp., 1999, Vol. 2, pp. 1107 -1112

113. Yamaguchy M., Hashimoto K.Y., Makita H. Finite element method analysis of dispersion characteristics for 1-3 type piezoelectric composites. Proc. IEEE Ultrason. Symp., 1987, pp. 76-84

114. Zenkiewicz O.C. The finite element method in engineering science. 1971, McGraw-Hill, London, 543 p.