Разработка аналитической теории сетей массового обслуживания тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.17, доктор физико-математических наук Ивницкий, Виктор Аронович

• Ивницкий, Виктор Аронович
• доктор физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Ивницкий, Виктор Аронович

Введение

Часть 1. Марковские сети массового обслуживания.

Глава 1. Основные определения и леммы. Характеристики сетей массового обслуживания.

1.1. Основные определения.

1.2. Основные леммы.

1.3. Основные характеристики сетей массового обслуживания и способы их определения. ^ *

Глава 2. Сети массового обслуживания Джексона. ^

2.1. Постановка задачи.

2.2. Стационарные вероятности состояний сети Джексона.

2.3. Нестационарное распределение вероятностей состояний сети Джексона. ^

2.4. Нестационарное распределение вероятностей состояний сети Джексона с зависимыми от времени параметрами потока и обслуживания.

2.5. Нахождение нестационарного распределения вероятностей состояний сети Джексона методом итераций.

2.6. Стационарные вероятности для замкнутой сети Джексона.

2.7. Нестационарные вероятности состояний замкнутой сети Джексона.

2.8. Нахождение нестационарного распределения вероятностей состояний замкнутой сети Джексона методом итераций.

Глава 3. Марковские сети с параметрами, зависящими от их состояния.

3.1. Постановка задачи. ^

3.2. Стационарные вероятности состояний марковской сети с параметрами, зависящими от их состояния.

3.3. Марковские сети с зависимой циркуляцией.

3.4. Замкнутые марковские сети с зависимой циркуляцией.

3.5. Определение нестационарных вероятностей состояний обобщенной схемы обслуживания в простейших предпосылках методом итераций. 4 о

3.6. Определение нестационарных вероятностей состояний марковских сетей с зависимой циркуляцией методом итераций.

3.7 Выражение характеристик сети через стационарное распре-деление вероятностей состояний.

Глава 4. Марковские системы массового обслуживания с разными классами требований и параметрами, зависящими 1Я ь" сети с разными классами требовании и циркуляцией.

Нестационарный режим для СеМО с разными классами

Замкнутая СеМО с разными классами требований. различными каналами в узлах. Многоканальная СМО с различными каналами. Замкнутая марковская СеМО с обобщенной дисциплиной разделения процессора и различными каналами в узлах. Замкнутая марковская СеМО с обобщенной дисциплиной разделения процессора и различными неравнодоступными каналами в узлах.

36 £32. от их состояния.

4.1. Постановка задачи. ±

4.2. Стационарные вероятности состояний марковской СМО с параметрами обслуживания, зависящими от ее состояния.

4.3. Стационарные вероятности состояний марковской СМО с параметрами входящего потока, зависящими от их состояния.

4.4. Стационарные вероятности состояний марковской СМО с

144 1НЦ

Глава 5. Марковские сети с разными классами требований и параметрами, зависящими от их состояния. Разомкнутая марковская СеМО. Постановка задачи. вероятностей состояний для и

Глава 7. Другие марковские сети.

7.1. Марковские сети с возможностью обхода узлов требованиями. £

7.2. Частные случаи.

7.3. Замкнутые марковские сети с возможностью обхода узлов требованиями. 23 ^

7.4. Разомкнутые марковские сети с возможностью обхода узлов требованиями и зависимостью интенсивности обслуживания от состояния сети. <

7.5. Марковские сети с ненадежными каналами обслуживания.

7.6. Марковские сети с ненадежными каналами обслуживания и зависимостью интенсивности обслуживания от состояния сети. л г-/

Комментарий к части 1. ^

Часть 2. Кусочно - линейные сети массового обслуживания.

Глава 1. Сети со случайным выбором канала в узле и ^ ^ обобщенным разделением процессора.

1.1. Вступительные замечания. ^ ^

1.2. Разомкнутая сеть случайным выбором канала в узле и дисциплиной "обобщенное разделение процессора".

1.3. Стационарное распределение вероятностей состояний Я 7о замкнутой СеМО.

1.4. Разомкнутая КЛСеМО с дисциплиной "обобщенное разделение процессора" и зависимостью скорости обслуживания от ее состояния.

1.5. Разомкнутая КЛСеМО с дисциплиной "обобщенное разделение процессора" и зависимостью параметров обслуживания и циркуляции от ее состояния.

1.6. Разомкнутая КЛСеМО с зависимостью параметров Л 88 обслуживания, циркуляции и распределения требований по каналам от ее состояния.

1.7. Частный случай разомкнутой КЛСеМО с зависимостью Л36 параметров обслуживания и распределения требований по каналам от ее состояния.

1.8. Замкнутые КЛСеМО с зависимой циркуляцией. ^^

Глава 2. Кусочно - линейные сети с дисциплиной "обоб- 3 огщенное разделение процессора" и разными классами требований.

2.1. Разомкнутая сеть с дисциплиной "обобщенное разделение 302 процессора" и разными классами требований.

2.2. Разомкнутая КЛСеМО с разными классами требований и З'В параметрами потока, обслуживания и циркуляции, зависящими от ее состояния.

2.3. Стационарное распределение вероятностей состояний 335 замкнутой КЛСеМО с требованиями разных классов.

2.4. Стационарное распределение вероятностей состояний зчо замкнутой КЛСеМО с требованиями разных классов и зависимой циркуляцией.

Глава 3. Сети однолинейных систем массового обслуживания требованной разных классов с абсолютным приоритетом поступающего требования и дообслу-жнванием.

3.1. Однолинейная СМО с требованиями разных классов и абсолютным приоритетом поступающего требования и дообслуживанием.

3.2. Разомкнутая СеМО однолинейных СМО.

3.3. Разомкнутая СеМО однолинейных СМО с зависимой 365 циркуляцией.

3.4. Замкнутая кусочно - линейная СеМО однолинейных СМО.

3.5. Замкнутая кусочно - линейная СеМО однолинейных СМО с зависимой циркуляцией.

3.6. Замкнутая КЛСеМО однолинейных СМО с зависимой циркуляцией и сменой класса требования при переходе.

Глава 4. Сети однолинейных систем массового обслуживания с 39Я

разделением процессора и обобщенным групповым обслуживанием

ЪВР8).

4.1. Система массового обслуживания с разделением процессора и 33$ обобщенным групповым обслуживанием (ЬВР8).

4.2. Система массового обслуживания с дисциплиной ЬВРБ и 4 АО зависимостью параметров от дополнительных непрерывных компонент.

4.3. Разомкнутая сеть однолинейных систем массового обслужива- Ш5 ния с разделением процессора и обобщенным групповым обслуживанием (ЬВР8).

4.4. Замкнутая сеть однолинейных систем массового обслуживания с разделением процессора и обобщенным групповым обслуживанием (ЬВР8).

Комментарий к части %.>

Часть 3. Кусочно - непрерывные сети массового 4 3 5Г обслуживания.

Глава 1. Проблематика кусочно - непрерывных сетей массового обслуживания.

1.1. Краткое описание кусочно - непрерывной сети массового МЪ5 обслуживания.

1.2. Актуальность исследования кусочно - непрерывных сетей 4 ъ8 массового обслуживания.

1.3. О мультипликативной форме.

1.4. Однолинейная система обслуживания с ограниченной ЧЧ^ емкостью для содержания требований.

Глава 2. Кусочно - непрерывные марковские процессы. Ун

2.1. Краткое описание кусочно - непрерывного марковского процесса.

2.2. Простейший кусочно - непрерывный марковский процесс. ^

2.3. Определение характеристик потока событий, порожденных кусочно - непрерывным марковским процессом.

2.4. О связи стационарных вероятностей состояний кусочно - 4б?2 непрерывного марковского процесса в моменты произвольный, поступления и ухода требований.

Глава 3. Сети с дисциплиной обслуживания "обобщенное ^^

разделение процессора".

3.1. Система с дисциплиной обслуживания "обобщенное разделение процессора".

3.2. Разомкнутая сеть массового обслуживания с дисциплиной 5"° "обобщенное разделение процессора".

3.3. Стационарное распределение вероятностей состояний замкну- 5М? той СеМО.

3.4. Разомкнутая сеть с дисциплиной "обобщенное разделение о процессора" и зависимостью скорости обслуживания от ее состояния.

3.5. Разомкнутая сеть с дисциплиной "обобщенное разделение процессора" и зависимостью параметров обслуживания и цирку» ляции от ее состояния.

Глава 4. Сети с дисциплиной обслуживания "обобщенное

разделение процессора" и разными классами требований.

4.1. Система с дисциплиной обслуживания "обобщенное разделение процессора" и разными классами требований.

4.2. Разомкнутая сеть с дисциплиной обслуживания "обобщенное 5'5Ц разделение процессора" и разными классами требований.

4.3. Разомкнутая сеть с разными классами требований и параметрами потока, обслуживания и циркуляции, зависящими от ее состояния.

4.4. Стационарное распределение вероятностей состояний замкну» 5 той сети с требованиями разных классов.

4.5. Стационарное распределение вероятностей состояний замкну- 5"в$ той сети с требованиями разных классов и зависимой циркуляцией.

Глава 5. Сети однолинейных систем массового обслуживания требований разных классов с абсолютным приоритетом поступающего требования и дообслуживанием и зависимостью параметров СеМо от их состояния.

5.1. Однолинейная СМО с требованиями разных классов абсолют- ¿>iD ным приоритетом поступающего требования и дообслуживанием.

5.2. Разомкнутая СеМО однолинейных СМО.

5.3. Разомкнутая СеМО однолинейных СМО с зависимой цирку- £ зз ляцией.

5.4. Замкнутая СеМО однолинейных СМО.

5.5. Замкнутая КНСеМО однолинейных СМО с зависимой цирку- й^ ляцией.

5.6. Замкнутая КНСеМО с зависимой циркуляцией и сменой класса требования при переходе.

Глава 6. Сети массового обслуживания с конкретными видами зависимой циркуляци.

6.1. Замкнутая звездообразная сеть массового обслуживания при зависимости вероятностей перехода от состояний узлов.

6.2. Замкнутая звездообразная СеМО с зависимой циркуляцией, обобщенной дисциплиной разделения процессора и различными неравнодоступными каналами в узлах.

6.3. Разомкнутая сеть однолинейных систем с потерями. T-oz

Глава 7. Сети массового обслуживания с различными каналами в узлах.

7.1. Многоканальная СМО с потерями.

7.2. Замкнутая СеМО с обобщенной дисциплиной разделения >zh процессора и различными каналами в узлах.

7.3. Замкнутая СеМО с обобщенной дисциплиной разделения 7-зэ процессора и различными неравнодоступными каналами в узлах.

Комментарий к части 3.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка аналитической теории сетей массового обслуживания»

В настоящее время в связи с развитием процессов информатизации в большинстве стран, информационно-вычислительных систем, систем связи и передачи данных, глобализацией экономических связей и структур, международным разделением труда в процессе производства значительной части промышленной продукции, транспортных систем для обслуживания этого разделения труда, усложнением самого процесса производства этой продукции и т.п. весьма актуальными становятся сетевые модели, с достаточно высокой степенью адекватности описывающие эти процессы и помогающие тем самым находить рациональные решения для таких сложных систем.

Одними из наиболее часто применяющихся сетевых моделей, связанных с взаимоувязкой во времени процессов функционирования множества разнородных подсистем, из которых состоят вышеуказанные сложные системы, являются сети массового обслуживания.

Сети массового обслуживания являются достаточно адекватными моделями самой ЭВМ, локальных сетей ЭВМ и ПЭВМ, информационно-вычислительных сетей, сетей связи и передачи данных, транспортных сетей, производственных сетей и т.д. Возникнув как модели ЭВМ и сетей ЭВМ, они интенсивно расширяют области своего применения.

Сети массового обслуживания состоят из конечного числа узлов и характеризуются входящим потоком требований, нуждающихся в обслуживании в узлах, дисциплинами обслуживания в узлах, характером циркуляции требований по узлам, распределениями длительностей обслуживания в узлах и т.д.

Первая работа по сетям массового обслуживания появилась в 1957 г. Это знаменитая статья Джексона по разомкнутым экспоненциальным сетям массового обслуживания ( с входящим пуассонов-ским потоком и экспоненциально распределенной длительностью обслуживания), в которых закончившее обслуживаться требование направлялось в другой узел с определенной вероятностью (марковская маршрутизация). Гордон и Ньюэлл получили соответствующие результаты по таким же, но замкнутым экспоненциальным сетям массового обслуживания через 10 лет в 1967 г. В 1968 г. Познер и Бернхольц обобщили эти результаты на случай разных классов требований. В 1972 было опубликовано 3 работы. В 1973 г. - одна (Бьюзен, 1973 г., по алгоритмам расчета нормирующих констант). В 1974 г. - 5 работ, в 1975 г. - 11 работ ( по данным, доступным автору)

В этом же году была опубликована знаменитая теорема ВСМР (Baskett, Chandy, Müntz, Palacios) по сетям массового обслуживания с разными дисциплинами обслуживания, длительностями обслуживания, преобразования Лапласа которых являются дробно-рациональными функциями, и марковской маршрутизацией. В этом же году была опубликована статья Келли по сетям массового обслуживания с детерминированной маршрутизацией, т.е. маршрут движения требования по узлам задавался детерминировано. С тех пор оба этих направлений стали интенсивно развиваться и количество публикуемых ежегодно статей стало исчисляться десятками и сотнями.

Появились обзоры работ по сетям массового обслуживания. В СССР первый такой обзор под названием " Сети массового обслуживания и их применение в ЭВМ " был опубликован автором в 1977 г. [14 в лит. к ч. 1J. Затем в 1983 г. был опубликован Башариным Г. П. и Толмачевым A.JT. обзор под названием " Теория сетей массового обслуживания и ее приложения к анализу информационно-вычислительных систем " [5 в лит. к ч. i].

В 1979 г. появилась первая монография по аналитическим методам расчета характеристик сетей массового обслуживания (с детерминированной маршрутизацией). Она принадлежала Келли. В этом же году появилась монография по расчету характеристик сетей массового обслуживания методом статистического моделированию с помощью регенерирующих случайных процессов. Ее авторами были Иглхарт и Шедлер.

К настоящему времени по сетям массового обслуживания имеются уже тысячи публикаций, изучены самые разнообразные сети с различными особенностями, присущими реальным сетям. Опубликовано 13 монографий. Получено много прекрасных результатов. Вместе с тем целесообразна выработка единого подхода к методике аналитического исследования характеристик разнообразных сетей массового обслуживания.

Такая попытка и предпринята в настоящейработе. В ней выработан единый подход к методике аналитического исследования характеристик разнообразных сетей массового обслуживания, базирующийся на:

- формировании для каждой рассматриваемой сети массового обслуживания посредством расширения пространства состояний соответствующего марковского процесса,

- составлении системы линейных дифференциальных уравнений для нестационарного режима или линейных алгебраических уравнений для стационарного режима для вероятностей состояний марковского процесса ( для марковских сетей ), составлении системы дифференциальных уравнений в частных производных в стационарном режиме для функций распределения вероятностей состояний марковского процесса ( с добавлением непрерывных переменных, эти состояния марковского процесса называются микросостояниями ) для кусочно-линейных сетей массового обслуживания. Эти непрерывные переменные уменьшаются по кусочно-линейному закону, т.е. скорость обслуживания является кусочно-постоянной функцией от них, поэтому такие сети называются кусочно-линейными сетями массового обслуживания, составлении системы дифференциальных уравнений в частных производных в стационарном режиме для плотностей распределения вероятностей микросостояний марковского процесса для кусочно-непрерывных сетей массового обслуживания. Эти непрерывные переменные уменьшаются по кусочно-непрерывному закону, т.е. скорость обслуживания (их уменьшения ) является кусочно-непрерывной функцией от самих непрерывных переменных, поэтому такие сети называются кусочно- непрерывными сетями массового обслуживания, получении аналитического решения (точного или приближенного) для системы линейных дифференциальных уравнений для нестационарного режима или точного аналитического решения для системы линейных алгебраических уравнений для стационарного режима для вероятностей состояний марковского процесса ( для марковских сетей ), получении точного аналитического решения для системы дифференциальных уравнений в частных производных в стационарном режиме для функций распределения вероятностей микросостояний марковского процесса для кусочно-линейных сетей массового обслуживания, а затем по ним и распределения вероятностей состоя-ний марковского процесса в части дискретных компонент (которое называем для краткости распределением вероятностей состояний марковского процесса),

- получении точного аналитического решения для системы дифференциальных уравнений в частных производных в стационарном режиме для плотностей распределения вероятностей микросостояний марковского процесса для кусочно-непрерывных сетей массового обслуживания, а затем по ним и распределения вероятностей состояний марковского процесса с учетом сказанного выше,

- нахождении необходимых и достаточных условий на исходные данные сетей массового обслуживания для представления вышеуказанных распределений в полученном аналитическом виде,

- нахождении достаточных условий на исходные данные сетей массового обслуживания для регулярности и эргодичности рассматриваемого марковского процесса.

Основное внимание уделяется нахождению аналитического вида распределений вероятностей состояний исследуемой сети, так как по этому распределению можно определять наиболее употребительные основные характеристики сетей массового обслуживания как моделей реальных вышеуказанных сложных систем.

Сети массового обслуживания как обобщения систем массового обслуживания позволяют найти простые объяснения некоторым феноменам систем массового обслуживания, которые казались загадочными . В качестве примера такого феномена приведем любопытный факт - доказанную рядом авторов ( Абольников [1 в лит. к ч.1], Ивницкий [13 там же]и др.) инверсность системы МЛЗ/1 с ограниченной очередью и резервированной системы типа О/М/1. Приведем соответствующее утверждение без формульных записей.

Утверждение состоит в следующем: если для системы МАг/1 с ограниченной очередью и резервированной системы типа О/М/1, могущих содержать одинаковое максмальное количество требований, инверсны последовательности начальных условий и исходных данных, то инверсны и последовательности их выходных характеристик - распределений числа требований в системах.

Эта инверсность находит очень простое объяснение, если рассмотреть замкнутую сеть массового обслуживания, состоящую из двух узлов, один из которых имеет произвольное распределение длительности обслуживания, а второй - экспоненциальное распределение длительности обслуживания.

Рассматриваются сети массового обслуживания в следующих предпосылках:

1. Входящий в сеть поток требований является входящим потоком марковского типа, т.е. пуассоновским потоком с интенсивностью, зависящей от состояния сети или ее агрегированных показателей.

2. Осуществлялось стремление к максимальному учету зависимостей параметров входящего потока, дисциплины обслуживания, распределений длительностей обслуживания, циркуляции требований по сети (переходных вероятностей) от состояния сети или ее агрегированных показателей в рамках получения аналитических решений соответствующих систем уравнений.

3. Рассматриваются в возможно более общих предпосылках сети массового обслуживания в математическом аспекте. Вопросы интерпретации и применения полученных результатов с учетом реальных особенностей к конкретным сетям, моделирующим функционирование вышеуказанных сложных систем, остаются прерогативой специалистов в этих областях.

4. Необходимые и достаточные условия для представления полученных результатов в представленном аналитическом виде формулируются для известных исходных данных исследуемых сетей массового обслуживания, что позволяет их легко проверить.

5. Вводится и широко используется для доказательства необходимости понятие "взаимной независимости" исходных данных, что имеет достаточно прозрачный смысл: изменение одних исходных данных никак не сказывается на значениях других исходных данных сети массового обслуживания.

6. Вводятся в рассмотрение сети массового обслуживания, у которых скорость обслуживания требования ( скорость уменьшения оставшегося количества работы по обслуживанию требования ) зависит от оставшегося количества работы по его обслуживанию, что существенно расширяет класс сетей массового обслуживания, поддающихся аналитическому исследованию.

7. Как правило, изложение начинается с рассмотрения соответствующей системы массового обслуживания, на примере которой проявляются определенные закономерности, которые затем развиваются и обобщаются на сети массового обслуживания данного класса. Сами же сети исследуются в естественном порядке нарастания сложности и общности.

Диссертация состоит из 3 частей. В первой части приводятся основные определения и леммы и рассматриваются марковские сети массового обслуживания. Сначала рассматриваются сети Джексона, в том числе, и в нестационарном режиме, для которого получены точные (для определенных начальных условий) и приближенные для произвольных начальных условий) решения. Далее исследуются марковские сети с параметрами, зависящими от их состояния, марковские сети с разными классами требований. Здесь уже существенно используется известное условие Коваленко, обобщенное в требуемой степени. Затем рассматриваются марковские сети с различными каналами в узлах, с возможностью обходов узлов требованиями, с ненадежными каналами обслуживания.

Кусочно-линейным сетям массового обслуживания посвящена вторая часть. Исследуются разомкнутые и замкнутые сети со случайным выбором канала в узле, обобщенным разделением процессора и марковской маршрутизацией, что является в определенной степени обобщением сетей ВБМР. Затем рассматривается зависимость параметров обслуживания и циркуляции требований по узлам от состояния сети. Далее исследуются такие же сети, но с разными классами требований и учитывается зависимость параметров входящего потока от наполненности сети требованиями разных классов. Здесь также существенно используется обобщенное условие Коваленко, для установления инвариантности стационарного распределения вероятностей состояний.

Затем рассматриваются сети однолинейных систем массового обслуживания требований разных классов с абсолютным приоритетом поступающего требования и дообслуживанием, причем как параметры потока, так и параметры обслуживания зависят и от непрерывных компонент состояния узла кроме обслуживающегося требования. Исследуются также сети однолинейных систем массового обслуживания требований разных классов с разделением процессо-ра и обобщенным групповым обслуживанием ( 1аз1-Ьа1сЬ-ргосе88ог-БИагш^ ), введенным Ноетзелом. Эта дисциплина обобщает ряд известных дисциплин обслуживания.

Кусочно-непрерывным сетям массового обслуживания посвящена третья часть. Дается кратко проблематика кусочно-непрерывных сетей массового обслуживания, краткое описание кусочно-непрерывных марковских процессов, используемых далее для исследования таких сетей. Определяются характеристики потока событий, порожденных кусочно-непрерывными марковскими процессами, связи стационарных вероятностей состояний этих процессов в моменты произвольный, поступления и ухода требований.

Кусочно-непрерывные сети массового обслуживания являются совершенно новым объектом математического исследования. Для них скорость обслуживания требования зависит от оставшегося количества работы по обслуживанию этого же требования. В силу этого приходится составлять дифференциальные уравнения в частных производных для плотностей вероятностей микросостояний и они в известной степени усложняются. Однако при определенных условиях на исходные данные можно получать аналитические решения этих уравнений. Они и приводятся в этой части.

Исследуются кусочно-непрерывные сети массового обслуживания с дисциплиной "обобщенное разделение процессора" и зависимостью параметров обслуживания и циркуляции от их состояния в части дискретных компонент. Затем эти результаты обобщаются на случай требований разных классов.

Рассматриваются также разомкнутые и замкнутые кусочно-непрерывные сети однолинейных систем массового обслуживания требований разных классов с абсолютным приоритетом поступающего требования и дообслуживанием, причем как параметры потока, так и параметры обслуживания зависят и от непрерывных компонент состояния узла, в том числе и от непрерывной компоненты обслуживающегося требования.

Затем рассматриваются замкнутые звездообразные кусочно-непрерывные сети массового обслуживания с конкретными видами зависимой циркуляции, с обобщенной дисциплиной разделения процессора, различными неравнодоступными каналами в узлах, разомкнутые кусочно-непрерывные сети массового обслуживания однолинейных систем с потерями. Далее исследуются замкнутые кусочно-непрерывные сети массового обслуживания с обобщенной дисциплиной разделения процессора и различными каналами в узлах, в том числе и неравнодоступными.

Нумерация формул отдельная в каждом параграфе. При ссылках на теоремы и формулы из других параграфов, глав, частей указывается номер части, номер главы и номер соответствующего параграфа. ьл

1. Основные определения и леммы. ч

Характеристики сетей массового обслуживания.

В данной главе будут приведены основные определения и леммы, которые в дальнейшем систематически используются при формулировках и доказательствах различного рода утверждений для систем и сетей массового обслуживания, изучаемых в этой работе.

Заключение диссертации по теме «Теоретические основы информатики», Ивницкий, Виктор Аронович

Заключение

По результатам проведенных в работе исследований и полученных результатов можно сделать следующие выводы:

1. Разработан аналитический метод получения стационарных распределений вероятностей состояний широкого класса марковских и кусочно-линейных сетей массового обслуживания с параметрами потока, обслуживания и циркуляции, зависящими в той или иной форме от состояния сетей в целом.

2. Установлены необходимые и достаточные условия представимости стационарных распределений вероятностей состояний марковских и кусочно-линейных сетей массового обслуживания в полученном аналитическом виде.

3. Установленные необходимые и достаточные условия накладываются не на вероятности состояний, а на исходные данные, как-то, параметры входящих потоков, обслуживания, вероятностей перехода требования из одного узла в другой, распределения поступившего в узел требования по каналам.

4. Вводятся в рассмотрение кусочно-непрерывные сети массового обслуживания, в которых скорость обслуживания требования зависит от оставшегося количества работы по обслуживанию этого требования. Для достаточно широкого класса таких сетей также разработан аналитический метод получения стационарных распределений вероятностей их состояний и установлены необходимые и достаточные условия их представимости в полученном аналитическом виде. Причем установленные необходимые и достаточные условия накладываются не на вероятности состояний, а на вышеуказанные исходные данные, а также на зависимости скоростей обслуживания требований от оставшихся количеств работ по их обслуживанию.

5. Получены стационарные распределения вероятностей состояний в явном аналитическом виде для целого ряда классов сетей массового обслуживания с различными дисциплинами обслуживания в узлах: обобщенное разделение процессора обобщенное групповое обслуживание, абсолютный приоритет поступающего требования с дообслуживанием, с разными каналами в узлах и т.д.

6. Установлено необходимое и достаточное условие представимости стационарного распределения вероятностей состояний разомкнутой сети Джексона и нестационарного распределения вероятностей состояний разомкнутой сети Джексона с бесконечным числом каналов в каждом узле в аналитическом виде. Произведено обобщение этого результата на случай зависимости от времени параметров потока и обслуживания. В общем случае предложено нахождение нестационарного распределения вероятностей состояний разомкнутой сети Джексона методом итераций. Аналогичные результаты получены для замкнутой сети Джексона.

7. Для марковской сети с параметрами обслуживания, зависящими от ее состояния, установлены необходимые и достаточные условия представимости стационарного эргодического распределения вероятностей состояний в аналитическом виде. Произведено обобщение этих результатов на случай зависимой циркуляции. Произведена детализация составляющей стационарных вероятностей состояний, обусловленной зависимой циркуляцией. Приведено выражение характеристик сети через стационарное распределение вероятностей ее состояний. Сформулирована обобщенная схема массового обслуживания в простейших предпосылках и для нее произведено нахождение нестационарных вероятностей состояний методом итераций для зависимых от времени интенсивностей перехода из одного состояния в другое.

8. Для марковской системы массового обслуживания с разными классами требований и параметрами обслуживания и входящего потока, зависящими от ее состояния, установлено необходимое и достаточное условие представимости стационарного распределения вероятностей состояний в аналитическом виде.

9. Для разомкнутой марковской сети массового обслуживания с разными классами требований и параметрами обслуживания и входящего потока, зависящими от ее состояния, установлены необходимые и достаточные условия представимости стационарного распределения вероятностей состояний в аналитическом виде. Произведено обобщение полученных результатов на случай зависимой циркуляции, когда вероятности перехода требования из одного узла в другой зависят от номера его класса, количества требований в каждом узле сети и состава очереди в каждом узле сети. Для случаев независимости и зависимости параметров входящего потока, обслуживания и циркуляции от времени для получения нестационарных вероятностей состояний предложен метод итераций, причем в случае независимости эти вероятности представляются в виде сходящихся рядов по степеням г (время). Аналогичные результаты получены для замкнутой марковской сети массового обслуживания с разными классами требований , в том числе и с возможностью смены класса требования при циркуляции.

10. Для многоканальной системы массового обслуживания с зависимостью параметров входящего потока и обслуживания от ее состояния и различными каналами установлено необходимое и достаточное условие представимости стационарного распределения вероятностей состояний в аналитическом виде.Для замкнутой марковской сети массового обслуживания с обобщенной дисциплиной разделения процессора, зависимостью параметров обслуживания от ее состояния и различными каналами в узлах также установлены такие условия. Произведено обобщение полученных результатов на случай различных неравнодоступных каналов в узлах.

11. Для разомкнутых марковских сетей массового обслуживания с возможностью обхода узлов требованиями установлено необходимое и достаточное условие представимости стационарного распределения вероятностей состояний в аналитическом виде. Аналогичные результаты получены для соответствующих замкнутых сетей. Для разомкнутых марковских сетей массового обслуживания с возможностью обхода узлов требованиями и зависимостью интенсивности обслуживания от их состояний также установлены необходимые и достаточные условия представимости стационарного распределения вероятностей состояний в аналитическом виде. Для марковских сетей с ненадежными каналами обслуживания и зависимостью интенсивности обслуживания от их состояния при условии, что интенсивности отказов каналов пропорциональны некоторому малому параметру, получено асимптотическое разложение стационарных вероятностей состояний в ряд по степеням этого малого параметра.

12. Для кусочно - линейных разомкнутой и замкнутой сетей с пуас-соновским потоком переменной интенсивности, произвольным распределением количества работы для обслуживания требования, случайным выбором канала в узле и дисциплиной "обобщенное разделение процессора" установлены необходимые и достаточные условия представимости стационарных функций распределения вероятностей микросостояний и стационарного распределения вероятностей состояний в аналитическом виде. Произведено обобщение полученных результатов на случай зависимости скорости обслуживания, вероятностей перехода требования из одного узла в другой и распределения требований по каналам от состояния сети. Полученные результаты распространены на замкнутые кусочно - линейные сети с зависимой циркуляцией.

13. Для кусочно - линейной разомкнутой сети с разными классами требований, пуассоновским потоком с интенсивностью, зависящей от наполненности сети разными классами требований, произвольным распределением количества работы для обслуживания требования, зависящим от номера узла и класса требования, скоростью обслуживания, зависящей от номера узла, номера канала, состава очереди в узле, количеств требований в каждом узле, случайным выбором канала в узле и дисциплиной "обобщенное разделение процессора" установлены необходимые и достаточные условия представимости стационарных функций распределения вероятностей микро состояний и стационарного распределения вероятностей состояний в аналитическом виде. Полученные результаты обобщены на случай зависимости вероятностей перехода требования из одного узла в другой от состояния сети. Для соответствующей замкнутой сети без смены и с возможностью смены класса требования при циркуляции по сети получены аналогичные результаты.

14. Для однолинейной системы массового обслуживания с требованиями разных классов, абсолютным приоритетом поступающего требования и дообслуживанием при зависимости параметров от ее состояния в части дискретных компонент показана инвариантность стационарного распределения вероятностей состояний от функционального вида распределений количеств работы по обслуживанию требований и оно получено в явном аналитическом виде. Для той же же системы при зависимости параметров от ее состояния в части дискретных и непрерывных компонент найден явный вид стационарного распределения вероятностей состояний. Для разомкнутой сети однолинейных систем массового обслуживания с разными классами требований, пуассоновским потоком с интенсивностью, зависящей от наполненности сети требованиями разных классов, той же дисциплиной обслуживания, произвольным распределением количества работы для обслуживания требования и скоростью обслуживания, зависящими от номера узла , состава очереди и соответствующих непрерывных компонент найден явный вид стационарного распределения вероятностей состояний. Произведено обобщение полученных результатов на случай зависимой циркуляции. Соответствующие результаты получены для замкнутой сети однолинейных систем массового обслуживания, в том числе и для случая зависимой циркуляции, а также со сменой класса требования при переходе.

15. Для системы массового обслуживания с требованиями разных классов, разделением процессора и обобщенным групповым обслуживанием при зависимости параметров от ее состояния в части дискретных компонент показана инвариантность стационарного распределения вероятностей состояний от функционального вида распределений количеств работы по обслуживанию требований и оно получено в явном аналитическом виде. Для этой же системы в общем случае зависимости параметров от ее состояния в части дискретных и непрерывных компонент найден явный вид стационарного распределения вероятностей состояний. Для разомкнутой и замкнутой сетей однолинейных систем массового обслуживания с разными классами требований, пуассоновским потоком с интенсивностью, зависящей от наполненности сети требованиями разных классов, произвольным распределением количества работы для обслуживания требования и скоростью обслуживания, зависящими от номера узла и состава очереди найден явный вид стационарного распределения вероятностей состояний.

16. Для кусочно-непрерывной СМО с дисциплиной обслуживания «обобщенное разделение процессора», пуассоновским потоком с интенсивностью, зависящей от числа требований в СМО и произвольным распределением количества работы для обслуживания требования находится в явном аналитическом виде стационарное распределение вероятностей состояний. Оно является инвариантным относительно функционального вида распределения количества работы для обслуживания требования и зависимости скорости обслуживания от остаточного количества работы для обслуживающегося требования при фиксированном математическом ожидании некоторой случайной величины. Для разомкнутой кусочно-непрерывной сети с дисциплиной обслуживания «обобщенное разделение процессора», пуассоновским потоком с интенсивностью, зависящей от числа требований в сети и произвольными и различными распределениями количеств работы для обслуживания требования в различных узлах находится в явном аналитическом виде стационарное распределение вероятностей состояний. Оно является инвариантным относительно функционального вида этих распределений и зависимостей скоростей обслуживания от остаточных количеств работы для обслуживающихся требований в различных узлах при фиксированных математических ожиданиях некоторых случайных величин. Аналогичные результаты получены для соответствующей замкнутой сети. Полученные результаты обобщены для разомкнутой сети на случай зависимости скорости обслуживания в каждом узле от состояния всей сети в части дискретных компонент. Произведено обобщение полученных результатов для разомкнутой сети на случай зависимости параметров обслуживания и циркуляции от состояния сети.

17. Для кусочно-непрерывной СМО с дисциплиной обслуживания «обобщенное разделение процессора», разными классами требований, пуассоновскими потоками с интенсивностями, зависящими от класса и вектора наполненности СМО требованиями разных классов и произвольными распределениями количества работы для обслуживания требований разных классов находится в явном аналитическом виде стационарное распределение вероятностей состояний. Оно является инвариантным относительно функционального вида этих распределений и зависимостей скоростей обслуживания от остаточных количеств работы для обслуживающихся требований разных классов при фиксированных математических ожиданиях некоторых случайных величин. Для разомкнутой сети с дисциплиной обслуживания «обобщенное разделение процессора», разными классами требований, пуассоновскими потоками с интенсивностями, зависящими от класса и вектора наполненности сети требованиями разных классов и произвольными и различными распределениями количеств работы для обслуживания требований разных классов в различных уз-лах находится в явном аналитическом виде стационарно^ распределение вероятностей состояний. Оно является инвариантным относительно функционального вида этих распределений и зависимостей скоростей обслуживания от остаточных количеств работы для обслуживающихся требований разных классов в различных узлах при фиксированных математических ожиданиях некоторых случайных величин. Произведено обобщение полученных результатов для разомкнутой сети с разными классами требований на случай зависимости параметров потока, обслуживания и циркуляции от состояния сети в части дискретных компонент. Аналогичные результаты получены для соответствующих замкнутых сетей.

18. Рассмотрена однолинейная кусочно-непрерывная СМО с требованиями разных классов, абсолютным приоритетом поступающего требования и дообслуживанием и зависимостью параметров потоков и обслуживания от ее состояния в целом, т.е. от дискретных и непрерывных компонент вектора состояния. Найден аналитический вид стационарного распределения вероятностей состояний этой системы и необходимое и достаточное условие его представимости в полученном виде. Исследована разомкнутая кусочно-непрерывная СеМО, состоящая из однолинейных СМО, с требованиями разных классов, абсолютным приоритетом поступающего требования и дообслуживанием и зависимостями параметров входящих потоков от вектора наполненности сети требованиями разных классов и обслуживания в произвольном узле от его состояния в целом, т.е. от дискретных и непрерывных компонент вектора состояния. Найден аналитический вид стационарного распределения вероятностей состояний этой сети и необходимые и достаточные условия его представимости в полученном виде. Произведено обобщение полученных результатов на случай зависимой циркуляции. Аналогичные результаты получены для соответствующих, замкнутых кусочно-непрерывных СеМО. Учтена также возможность смены класса требования при переходе из одного узла в другой.

19. Рассмотрена замкнутая звездообразная кусочно-непрерывная СеМО с зависимостью вероятностей перехода требований из выделенного центрального узла в остальные узлы от состояний этих узлов в части дискретных компонент. В каждом узле достаточно каналов обслуживания, чтобы очереди не возникали. Найден аналитический вид стационарного распределения вероятностей состояний этой сети и необходимые и достаточные условия его представимости в полученном виде. Произведено обобщение полученных результатов на случай различных и неравнодоступных каналов в узлах с обслуживанием требования на одном канале до конца. Исследована также разомкнутая кусочно-непрерывная сеть однолинейных систем с потерями. Также найден аналитический вид стационарного распределения вероятностей состояний этой сети и необходимые и достаточные условия его представимости в полученном виде.

20. Рассмотрена многоканальная кусочно-непрерывная СМО с потерями, различными каналами обслуживания и пуассоновсим потоком, интенсивность которого зависит отсостояния СМО в части дискретных компонент. Найдено в явном аналитическом виде стационарное распределение вероятностей состояний этой СМО и необходимые и достаточные условия его представимости в полученном виде. Исследована замкнутая кусочно-непрерывная СеМО с обобщенной дисциплиной разделения процессора, различными каналами в узлах и скоростью обслуживания в узле, зависящей также от его сотояния в части дискретных компонент. Найден аналитический вид стационарного распределения вероятностей состояний этой сети и необходимые и достаточные уеловия его представимости в найденном виде. Произведено обобще ние полученных результатов на случай различных неравнодос тупных каналов обслуживания в узлах.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Ивницкий, Виктор Аронович, 2003 год

1. Боровков A.A., Предельные теоремы для сетей обслуживания. Теориявероятностей и ее применения, 1 т. XXXI, вып. 3, 474-490, 11 - t.XXXI 1, вып. 2, 282-298.

2. Бочаров П.П., Приближенный метод расчета разомкнутых неэкспоненциальных сетей массового обслуживания конечной емкости с потерями и блокировками. Автоматика и телемеханика, 1987, 15, 55-65.

3. Бусленко Н.П., Калашников В.В., Коваленко И.Н. Лекции по теории сложных систем. М., "Советское радио", 1973 г.

4. Герасимов А.И., Оптимизация замкнутых сетей массового обслуживания с несколькими классами требований. Проблемы передачи информации, 1994, т. 30, вып. 1, 85-96.

5. Герасимов А.И., О нормализующих константах для многолинейных сетей с несколькими классами требований. Автоматика и телемеханика, 1993, № 5, 119-130.

6. Добрушин Р.Л., Сухов Ю.М. Асимптотическое исследование звездообразных сетей коммутации сообщений с большим числом радиальных лучей. Пробл. передачи информ., 1976, т.12, № 1, 70-94.

7. Ивницкий В.А., Об условии инвариантности стационарных вероятностей для сетей массового обслуживания. Теория вероятностей и ее применения, 1982, т. XXVI1 вып. 1, 188-192.

8. Ивницкий В.А., Об условии независимости стационарных вероятностей состояний для разомкнутой сети однолинейных систем с потерями от вида распределений длительностей обслуживания. Изв. АН СССР. Техн. кибернетика, 1981, т. 19, № 4, 136-140.

9. Ивницкий В.А., Об условии инвариантности стационарных вероятностей состояний для сетей однолинейных систем массового обслуживания. Теория вероятностей и ее применения, 1989, т. XXXIV, вып. 3, 576-580.

10. Ивницкий В.А., Об инвариантности стационарных вероятностей состояний замкнутой звездообразной сети массового обслуживания при зависимости вероятностей перехода от ее состояния. Теория вероятностей и ее применения, 1997, т. 42, вып. 1, 179-184.

11. Ивницкий В.А., Об условии инвариантности стационарных вероятностей состояний для сетей многолинейных систем массового обслуживания с абсолютным приоритетом поступающего требования. Автоматика и вычислительная техника, 1997, № 4 , 59-68.

12. Кельберт М.Я., Сухов Ю.М. Об одном классе звездообразных сетей связи с пакетной коммутацией. Пробл. перед, информ., 1979, т.15, № 4, с. 53-72.

13. Кениг Д., Рыков В.В., Шмидт Ф., Стационарные системы массового обслуживания с зависимостями. Итоги науки и техники. Теория вероят. Ма-тем. статист. Теоретич. киберн. 1981, т. 18, 95-186.

14. Коваленко И.Н., Исследования по анализу надежности сложных систем. Киев, изд. " Наукова думка", 1976, 211.

15. Коваленко И.Н., Анализ редких событий при оценке эффективности и надежности систем. Москва, "Советское радио", 1980, 209.

16. Коваленко И.Н., Об условии независимости стационарных распределений от вида закона распределения времени обслуживания. Проблемы передачи информации, 1963, вып. 11, 147-151.

17. Коган Я.Ф., Об асимптотике стационарного распределения длин очередей в замкнутых сетях в условиях большой загрузки. Автоматика и телемеханика, 1991, № ю, 112-120.

18. Малинковский Ю. В., Инвариантность стационарного распределения состояний модифицированных сетей Джексона и Гордона Ньюэлла. Автоматика и телемеханика, 1998, № 9, 29-36.

19. Морозов Е.В., Критерий стационарности одного класса непуассоновских сетей обслуживания. Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1988, № 1, 129-133.

20. Морозов Е.В., Регенерация и критерий стационарности многоканальных очередей, связанных в тандем. Изв. АН СССР. Техническая кибернетика,1986, № 3.

21. Печинкин A.B., Рыков В.В., О декомпозиции замкнутых сетей с зависимым обслуживанием. Автоматика и телемеханика, 1999, № 11, 58-68.

22. Рыбко А.Н. Стационарные распределения однородных во времени марковских процессов, моделирующих сети связи с коммутацией сообщений. Пробл. передачи информ., 1981, т. 17, № 1,71 -89.

23. Толмачев A.JL, Сети обслуживания заявок с регенерирующими траекториями. Проблемы передачи информации, 1986, т. 22, вып. 2, 59-68.

24. Barbour A.D., Network of queues and the method of stages. Adv. Appl. Pro-bab, 1976, v. 8, № 3, 584-591.

25. Baskett F., Chandy K.M., Müntz R.R. and Palacios F.G., Open, closed, and mixed networks of queues with different classes of customers. J. of ACM, 1975, v. 22, №2, 248-260.

26. Chandy K.M., Howard J.HJr. and Towsley D.F., Product Form and Local Balance in Queueing Networks. J. Of ACM, 1977, v. 24, № 2, 250-263.

27. Chandy K.M., Herzog U., Woo L., Approximate Analysis of General Queueing Networks. IBM J.Res. Develop., 1975, v. 19, № 1, 43-49.

28. Chandy K.M. and Martin A.J., A Characterization of Product form Queueing Networks. J.of the ACM, 1983, v. 30, № 2, 286-9.

29. Chandy K.M. and Sauer C.H., Computational algorithms for product form queueing networks. Communications of ACM, 1980, v. 23, № 10, 573-583.

30. Chandy K.M. and Neuse D., Linearizer: A Heuristic Algorithm for Queueing Networks Models of Computing Systems. Communications of ACM, 1982, v. 25, № 2, 126-133.

31. Chao X., Networks of queues with customers, signals and arbitrare service time distributions. Operations Res., 1995, v. 43, 537-544.

32. Chao X. and Miyazawa M., On quasi-reversibility and local balance: An alternative derivation of th product-form results. Operations Res., 1998, v. 46, 927-933.

33. Chao X., Pinedo M., and Miyazawa M., Queueing Networks: Negative Customers, Signals and Product Form. John Wiley & Sons, New York, 1999.

34. Chao X. and Pinedo M., On generalized networks of queues with positive and negative customers. Probab. Engrg. Inform. Sci., 1993, v. 7, 301-334.

35. Chao X., Pinedo M., and Shaw D., Networks of queues with batch services and customer coalescence. J. Appl. Probab., 1996, v. 33, 858-869.

36. Cohen J.W., The multiple phase service network with generalized processor sharing. Acta Informatica, 1979,v. 12, № 3, 245-284.

37. Daley D.J., Queueing Output Processes. Adv. Appl. Prob., 1976, v. 8, 395-415.

38. Disney R.L., Random flow in queueing networks, a review and critique. AIIE Transact., 1975, v. 7, 268-288.

39. Dowdy L.W., Carlson B.M. and Krantz A.T., Single-Class Bounds of Multi-Class Queueing Networks. J. Of ACM,1992, v. 39, № 1, 188-213.чч*

40. Eager D.L. and Sevcik K.C., Bound Hierarchies for Multi-Class Queueing Networks. J. Of ACM,1986, v. 33, № 1, 179-206.

41. Foss S., Ergodicity of queueing networks. Sib. Math., 1991, v. 32, 184-203.

42. Harrison J.M., Lemoine A.J. Note on Networks of Infinity Server Queues. -J. Appl. Probab., 1981, v. 18, № 2, p.779 793.

43. Ivnitski V.A., Invariance of stationary probabilities of states of multiserver queues. Queueing Systems Theory Appl., 1995, v. 19, 319-329.

44. Ivnitski V.A., Network of Single-Server Queues with Dependent Service Times. Queueing Systems Theory Appl., 2001, v. 37, 363-377.

45. Ivnitski V.A., Invariance of stationary state probabilities for closed networks of multiserver queues under preemptive resume discipline for entering customer. Сб. "Массовое обслуживание. Потоки. Системы. Сети". 1997, Минск, БГУ, 137-141.

46. Jansen U. and Konig D., Insensitivity and steady-state probabilities in product form for queueing networks. Electron. Informationsverarb. und Kybernet., 1980, v. 16, №4.

47. Kelly F.P., Modelling communication networks, present and future. Proc. R. Soc. bond. A, 1995, v. 444, 1-20.

48. Kelly F.P. and Laws C.N., Dynamic routing in open queueing networks: Brownian models, cut constraints and resource pooling.

49. Queueing Systems, 1993, v. 13,47-86.

50. Kelly F.P., Networks of queues. Adv. Appl. Probab., 1976, v. 8, № 2, 416-432.

51. Kelly F.P., Reversibility and Stochastic Networks. John Wiley & Sons, New York, 1979.

52. Kelly F.P. and Williams R.J., Stochastic Networks. The IMA Volumes in Mathematics and its Applications, v. 71, Springer-Verlag, New York, 1995.

53. Kelly F.P., On a class of approximatins for closed queueing networks. Queueing Systems Theory Appl., 1989, v. 4, 69-76.

54. Knessl C. And Tier C., Asymptotic Expansions for Large Closed Queueing

55. Networks. J. Of ACM, 1990, v. 37, № 1, 144-174.

56. Krzesinski A.E., Multiclass Queueing Networks with State-Dependent Routing. Performance Evaluation, 1987, v. 7, 125-143.

57. Kuhn P., Approximate analysis of general queueing networks by decomposition. IEEE Transact, on Communications, 1979, v. 27, 113-126.

58. Lemoine A. J., Networks of queues A survey of equilibrium analysis. Management Sci., 1977, v. 24, 464-481.

59. Malyshev V.A., Networks and Dynamical Systems. Adv. Appl. Prob., 1993, v.25, 140-175.

60. Mandelbaum A. and Pats G., State-dependent stochastic networks. 1. Approximations and applications with continuous diffusion limits. Ann. Appl. Pro-bab.,1998, v. 8, 569-646.

61. Miyazawa M., Insensivity and product-form decomposability of reallocatable GSMP. Adv. Appl. Prob., 1993, v. 25, 415-437.

62. Miyazawa M. and Taylor P.G., A Geometric Product-Form Distribution for a Queueing Networks with Non-Standard Batch Arrivals and Batch Transfers. Adv. Appl. Probab., 1997, v. 29, № 2, 523-544.

63. Noetzel A.S. A Generalized Queueing Discipline for Product Form Network Solutions. J.ACM,1979, v. 26, № 4, p. 248-260.

64. Reiser M. and Kobayashi H., Accurasy of the diffusion approximations for some queueing systems, IBM J. of Res. and Develop., 1974, v. 18, № 2, 110124.

65. Reiser M. and Kobayashi H., Horner's Rule for the Evaluation of General Closed Queueing Networks. Communications of ACM, 1975, v. 18, № 10, 592593.

66. Reiser M. and Kobayashi H., Queueing Networks with Multiple Closed

67. Chains: Theory and Computational Algorithms. IBM J.Res. Develop., 1975, v. 19, № 1,283-294.

68. Sauer C.H.and Chandy K.M., Approximate Analysis of Central Server Models. IBM J.Res. Develop., 1975, v. 19, № 5, 301-313.

69. Sevcik K.C. and Mitrani I., The Distribution of Queueing Networks States at Input and Output Instants. J. Of ACM, 1981, v. 28, № 2, 358-371.

70. Shassberger R., The insensitivity of stationary probabilities in networks of queues. Adv. Appl. Probab., 1978, v. 10, № 4, 906-912.

71. Stoyan D., Networks of queues Insensitivity and a heuristic approximation. Electron. Informationsverarb. und Kybernet., 1978, v. 14, № 3, 135-143.

72. Towsley D.F., Queueing Network Models with State-Dependent Routing. J. Of ACM, 1980, v. 27, № 2, 323-337.

73. Tsoucas P. and Walrand J., Monotonicity of throughput in non-markovian networks. J. Appl. Prob., 1989, v. 26, 134-141.

74. Van Dijk N.M., On "stop=repeat" servicing for non-exponential Queueing Networks with blocking. J. Appl. Prob., 1991, v. 28, 159-173.

75. Williams R.J., Diffusion approximations for open multiclass queueing networks: sufficient conditions involving state space collapse. Queueing Systems Theory Appl., 1998, v. 30, 27-88.чю1. Литература к части 3.

76. Александров A.M., Кац Б.А., Обслуживание потоков неоднородных событий. Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1973, № 2.

77. Берж К., Теория графов и ее применения. М., ИЛ, 1962.

78. Боровков A.A., Вероятностные процессы в теории массового обслуживания. М., "Наука", 1972.

79. Бусленко Н.П., Калашников В.В., Коваленко И.Н. Лекции по теории сложных систем. М., "Советское радио", 1973 г.

80. Виноградов О.П., Задача о распределении максимума длины очереди и ее применение. Теория вероятн. и ее примен., 1968, т. 13, № 2.

81. Гарифуллин З.Г., Ивницкий В.А., О стационарном распределении вероятностей состояний обобщенной схемы размножения и гибели с симметрическим графом переходов. К., Кибернетика, 1977, т. 4, 92-96.

82. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е., Обобщенные функции и действия над ними. Изд. 2-е, Физматгиз, М., 1959.

83. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н., Введение в теорию массового обслуживания. М., «Наука», 1966.

84. Гнеденко Б.В., Беляев Ю.К., Соловьев А.Д., Математические методы в теории надежности. М., «Наука», 1965.

85. Гуляев В.И., О связи времени пребывания с вероятностями состояний системы массового обслуживания. Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1973, № 1.

86. Ивницкий В.А., Капырин В.А., О времени первого переполнения очереди при ненадежной обслуживающей системе. Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1975, № 5

87. Ивницкий В.А., Исследование нестационарных характеристик ненадежной однолинейной системы с параметрами, зависящими от длины очереди. Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1974, № 1.ш

88. Ивницкий В.А., Исследование нестационарных характеристик одного класса однолинейных систем ( без памяти ). Литовск. матем. сб., 1972, т. 12, №1.

89. Ивницкий В.А., О связи стационарных вероятностей состояний систем обслуживания в моменты произвольный, поступления и ухода требований. Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1979, № 1, 99-109.

90. Ивницкий В.А., Определение характеристик потока событий, порожденных кусочно-непрерывным марковским процессом. Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1980, № 4, 89-96.

91. Ивницкий В.А., Однолинейная система массового обслуживания с очередью. Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1971, № 6.

92. Ивницкий В.А., Об инвариантности стационарных вероятностей состояний замкнутой звездообразной сети массового обслуживания при зависимости вероятностей перехода от ее состояния. Теория вероятностей и ее применения, 1997, т. 42, вып. 1, 179-184.

93. Ивницкий В.А., Кусочно-непрерывная сеть массового обслуживания. Обозрение прикладной и промышленной математики, 2002, т. 9, вып. 2, 384-385.

94. Ивницкий В.А., Кусочно-непрерывная сеть массового обслуживания с дисциплиной «обобщенное разделение процессора». Сб. трудов международной конференции «Информационные системы и технологии, 2002 г., Минск, Беларусь, изд-во БГУ, ч. 1, 234-238.

95. Коваленко И.Н., Исследования по анализу надежности сложных систем. К., «Наукова думка», 1975, 211.

96. Козлов Б.А., Ушаков И.А., Справочник по расчету надежности аппаратуры радиоэлектроники и автоматики. М., «Советское радио», 1975.

97. Крамер Г., Лидбеттер М., Стационарные случайные процессы. М., «Мир», 1969.

98. Тихонов В.И., Выбросы случайных процессов. М., «Наука», 1970.

99. Тихонов В.И., Характеристики выбросов случайных процессов (обзор).

100. Радиотехника и электроника,. 1964, т. 9, № 3.

101. Ушаков И.А., О вычислении среднего времени работы между отказами и среднего времени простоя для систем с большим числом состояний. Надежность и контроль качества, 1969, №3.

102. Ушаков И.А., О вычислении среднего стационарного времени пребывания полумарковского процесса в подмножестве состояний. Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1969, № 4.

103. Франкен П., О стационарных вероятностях состояний систем массового обслуживания в различные моменты времени. Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1975, № 1.

104. Хинчин А .Я., Работы по математической теории массового обслуживания. М., Физматгиз, 1963.

105. Chandy К.М., Howard J.H.Jr. and Towsley D.F., Product Form and Local Balance in Queueing Networks. J. Of ACM, 1977, v. 24, № 2, 250-263.

106. Ivnitski V.A., Ivnitski O.V., Queueing system with « generalized processor-sharing» and dependence of service rate on residual work. Proceeding of me. morial seminar dedicated to the 60th birthday of Vladimir Kalashnikov, 2002,p. 69-71.

107. Konig D., Mattes K., Verallgemeinerungen der Erlangschen Formeln 1. Math. Nachr., 1963, v. 26, № 1-4, 45-56.

108. Konig D., Verallgemeinerungen der Engsetschen Formeln. Math. Nachr., 1965, v. 28, 145-155.

109. Koposinska I. and Koposinski В., Queueing systems with feedback. Bull Acad, polon. sci., CI. Ill, ser. math.,astr. etphys., 1971 v. 19, № 5.

110. Krzesinski A.E., Multiclass Queueing Networks with State- dependent Routing. Performance Evaluation, 1987, v. 7, 125-143.

111. Moran P.A.P. A theory of dams with continuous input and a general release rule. J. Appl. Prob., 1969, v. 6, N 1, p. 88-98.

112. Takacs L., The limiting distribution of the virtual waiting time and queue size for GI/G/1-queue. Sankhya, ser. A, 1963.

113. Towsley D.F., Queueing Network Models with State-Dependent Routing. J. Of ACM, 1980, v. 27, № 2, 323-337.

114. Van Dijk N.M., Queueing systems with restricted workload: an explicit solution. J. Appl. Probab., 1990, v. 27, 393-400.