Разработка аналитических методов синтеза оптимальных траекторий для автономного космического наведения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.07.09, доктор технических наук Азимов, Дильмурат Мухамаджанович

• Азимов, Дильмурат Мухамаджанович
• доктор технических наук
• 2006

Оглавление диссертации доктор технических наук Азимов, Дильмурат Мухамаджанович

1 ВВЕДЕНИЕ

1.1 Исследование вариационной задачи.

1.2 Исследования траекторий движения с малой тягой.

1.3 Исследования траекторий движения с большой тягой

1.4 Общая стратегия и основные задачи

1.5 Краткое описание глав.

2 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ АКТИВНЫХ УЧАСТКОВ

2.1 Вариационная задача.

2.2 Соседние дуги.

2.3 Первый дифференциал расширенного функционала.

2.4 Второй дифференциал расширенного функционала.

2.5 Вспомогательная задача оптимизации

2.6 О положительной определенности второго дифференциала расширенного функционала.

2.7 О сопряженных точках.

2.8 Экстремали с угловыми точками

2.8.1 Постановка задачи с угловыми точками.

2.8.2 Первый дифференциал расширенного функционала.

2.8.3 Второй дифференциал расширенного функционала.

2.8.4 Выполнимость необходимых и достаточных условий оптимальности

2.9 Вариационная задача в постановке Лоудена.

2.10 Вариационная задача в альтернативной постановке.

2.11 Условия стационарности и допустимые участки.

2.12 Классификация возможных участков тяги.

2.13 О выполнимости условия Лежандра-Клебща.

2.14 Каноническая система уравнений.

2.15 Методология аналитического определения оптимальных и экстремальных траекторий.

3 ДВИЖЕНИЕ С МАКСИМАЛЬНОЙ МОЩНОСТЬЮ И ПЕРЕМЕННЫМ УДЕЛЬНЫМ ИМПУЛЬСОМ

3.1 Канонические уравнения и первые интегралы.

3.2 Круговые участки малой тяги.

3.3 Спиральные участки малой тяги.

3.4 Уменьшение радиационной дозы при прохождении через радиационный пояс Земли.

4 ДВИЖЕНИЕ С ПЕРЕМЕННОЙ МОЩНОСТЬЮ И ПОСТОЯННЫМ УДЕЛЬНЫМ ИМПУЛЬСОМ

4.1 Первые интегралы и инвариантные соотношения.

4.2 Сферические участки промежуточной тяги

4.3 Случай, когда время полета фиксировано, а функционал задачи явно зависит от полярного угла.

4.4 О спиралях Лоудена.

4.5 Два класса экстремалей для маневров с нефиксированным временем

4.5.1 Первый класс экстремалей.

4.5.2 Второй класс экстремалей.

4.5.3 Пример задачи перелета на заданную эллиптическую орбиту при помощи экстремалей первого класса

4.6 Уравнение Гамильтона-Якоби для участков промежуточной тяги.

4.7 О неиптегрируемости уравнения Гамильтона- Якоби методом разделения переменных.

4.8 Интегрирование уравнения Гамильтона-Якоби и квадратуры для участков промежуточной тяги.

4.9 Классификация участков промежуточной тяги.

5 ДВИЖЕНИЕ С МАКСИМАЛЬНОЙ МОЩНОСТЬЮ И ПОСТОЯННЫМ УДЕЛЬНЫМ ИМПУЛЬСОМ

5.1 Система уравнений для активных участков.

5.2 Аналитические решения для участков максимальной тяги.

6 АКТИВНЫЕ УЧАСТКИ В ЛИНЕЙНОМ ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ

6.1 Аппроксимация ньютоновского поля линейным центральным.

6.2 Канонические уравнения и первые интегралы.

6.3 Аналитические решения для участков максимальной тяги.

6.4 Первые интегралы для участков промежуточной тяги.

6.5 Участки промежуточной тяги в линейном центральном поле.

7 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛА АКТИВНЫХ УЧАСТКОВ

7.1 Методика применения аналитических решений для активных участков

7.1.1 Основные уравнения непрерывности переменных.

7.1.2 Случай траектории с одним активным участком.

7.1.3 Случай траектории с двумя активными участками.

7.1.4 Случай траектории с тремя активными участками.

7.1.5 Случай траектории с п активными участками.

7.2 О числе активных участков на траектории.

7.2.1 Число уравнений в точках переключения

7.2.2 Число неизвестных в уравнениях непрерывности.

7.2.3 Число активных участков

8 НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ПЕРЕЛЕТОВ В НЬЮТОНОВСКОМ ПОЛЕ

8.1 Перелет между эллиптическими орбитами при помощи участка малой тяги с постоянным удельным импульсом.

8.2 Перелет с заданного положения на эллиптическую орбиту при помощи участка малой тяги с переменным удельным импульсом.

8.3 Перелет между эллиптическими орбитами при помощи участка малой тяги с переменным удельным импульсом.

8.4 Поворот плоскости эллиптической орбиты при помощи участка промежуточной тяги с постоянным удельным импульсом.

8.5 Перелет между круговыми орбитами при помощи двух участков максимальной тяги с постоянным удельным импульсом.

8.6 Сравнение результатов расчетов по аналитическим решениям с известными результатами численной оптимизации.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка аналитических методов синтеза оптимальных траекторий для автономного космического наведения»

1.1 Исследование вариационной проблемы

Диссертационная работа посвящена развитию аналитических и приближенно - аналитических методов решения вариационной проблемы об определении оптимальных траекторий ракеты в гравитационных полях и применению полученных результатов для решения практических проблем динамики полета. Исследования этой проблемы были начаты Р.Годдардом, Г.Обертом, Г.Гамелем, В.Гоманом, А.А. Космодемьянским, А.Ю. Ишлин-ским и другими учеными. Теоретически и практически важное значение имеют работы, посвященные анализу оптимальных движений ракеты в центральном ньютоновском поле

1], й, [3].

Актуальность исследования аналитических решений вариационной проблемы может быть объяснена следующим образом. Эффективность осуществления маневров существенно зависит от характеристик бортовой системы наведения, обеспечивающей функционирование космических аппаратов (КА). Наведение обеспечивается в реальном масштабе времени, в частности, автономным образом на активных участках траекторий маневров выхода на промежуточную орбиту, перехода на межпланетную траекторию, входа в орбиту паркования и посадки на требуемой местности на повехности небесного тела.

Проблема автономного наведения может быть описана следующим образом: Пусть в некоторый момент времени t\ задано текущее состояние КА, которое характеризуется некоторыми отклонениями параметров КА от их номинальных значений. Требуется найти такие управляющие воздействия, которые приводят КА из этого состояния в назначенное состояние в момент времени i2) и чтобы все или часть параметров К А имели бы отклонения от номинальных значений в заданных пределах.

Решение этой проблемы включает рассмотрение следующих частных подпроблем: 1) определение требуемой траектории движения; 2) построение законов изменения управляющих параметров, т.е. алгоритмов управления, которые обеспечивают полет по требуемой траектории. Эти подпроблемы могут быть решены построением необходимых активных участков (АУ) и синтезом требуемой номинальной траектории маневра.

Решение проблемы автономного наведения обеспечивается бортовой системой наведения, которая является частью системы управления полетом и основным элементом которой является бортовой компьютер. Разработка, обоснование и внедрение методов синтеза оптимальных номинальных траекторий для бортовых систем наведения КА и представляет собой основную цель данной работы.

Рассмотрим важнейшие особенности бортовых систем наведения КА, такие как

- энергетические затраты на осуществления маневра, -способность функционирования в длительных интервалах времени,

- обеспечение непрерывного изменения параметров КА,

- простота и точность закона наведения.

Энергетические затраты в процессе наведения зависят от числа и длительности активных участков траектории. Поэтому, выбор приемлемого алгоритма управления на актив-пом участке, его простота и обьем являются очень важными и актуальными требованиями при разработке системы автономного наведения.

Новейшие двигательные системы характеризуются, в частности, управляемостью и величиной удельного импульса, принципом работы и эффективностью использования топлива. Например, полет КА Deep Space 1 (DS1) уже успешно демонстрировал современный электрический двигатель, который обеспечивает удельный импульс, в 10 раз превышающий удельный импульс химического двигателя. Кроме того, новейшие магнетонлазмеиные двигатели тина VASIMR (Variable Specific Impulse Magnetoplasma Rocket), находящиеся в экспериментальных исследованиях и предназначенные для полетов на Марс и другие планеты, производят управляемый удельный импульс, который может достичь 100000 секунд, что превышает удельный импульс химических двигателей в среднем до 200 раз. Предложено также много других проектов с использованием двигателей малой и большой тяг, такие как полеты к астероидам Главного Пояса, проекты Фобос-Грунт, MUSEC-C, Пламя, JIMO (Jupiter Isy Moon Orbiter), ETS-V1 (Engineering Test Satellite), Dawn, ESA Earthguard 1, Pluto Orbiter Probe. Протяженность активных участков с такими двигателями может составлять от нескольких минут до нескольких месяцев. Развитие таких систем обусловило необходимость пересмотра известных законов наведения, построенных для коротких активных участков движения и создание новых законов для участков с протяоюенностъю до нескольких месяцев, а также разработки адекватных методов синтеза траекторий КА. Необходимо отметить законы наведения, развитые для двигательных систем с постоянным удельным импульсом (работы Лоудена) неприменимы в системах с переменным удельным импульсом.

Обеспечение непрерывного изменения параметров КА тесно связано с вопросом сходимости итерации в реальном масштабе времени. Характерной особенностью численных методов является то, что они позволяют учесть эффекты неосновных гравитирующих тел и дают возможность быстро решать комплексные задачи полета, моделирование которых в рамках проблемы оптимизации представляет различные трудности. В то же время, при численном интегрировании возникают проблемы сходимости и непрерывности параметров при переходе от одного режима тяги к другому, что в частности, связано с трудностью нахождення начальных значений множителей Лагранжа. Например, значения параметров в конце некоторого участка тяги и в начале следующего участка могут быть не равны между собой из-за неизвестности соответствующих множителей Лагранжа в начальной точке второго участка. Приравнепие значений параметров в этой точке потребует неизвестное число итераций, что в общем, может занимать память и время бортового компьютера. Эти проблемы наводят на мысль, что проинтегрированные таким образом траектории могут не всегда обеспечить приемлемую точность и непрерывное автономное наведение. Следовательно, для успешнего решения задачи наведения необходимо иметь надежный и простой алгоритм, не требующий решения проблем сходимости параметров в момент изменения режима работы двигателя.

Простота и точность закона наведения являются важнейшими требованиями для бортовых систем наведения, так как известные законы наведения, развитые для различных маневров основаны на существенных упрощениях в моделировании движения КА. К этим упрощениям относятся, в частности, замена вектора гравитационного ускорения и/или реактивного ускорения постоянным вектором, импульсное изменение скорости не изменяя положение КА и другие. Например, бортовой компьютер спускаемых аппаратов миссий "Аро11о"в 1969-1972 годах использовал среднее значение гравитационного ускорения при автономном наведении (Average G guidance) по мягкой посадке на поверхности Луны, или текущие проектно-баллистические расчеты по проекту "Научная Лаборатория по Марсу агеиства NASA"("NASA Mars Science Laboratory") предполагают постоянное и линейное изменение реактивного ускорения спускаемого аппарата для наведения при посадке на повехность Марса. Однако, развитие и внедрение новых двигательных систем и комплексные цели полетов привели к пересмотру и развитию существующих алгоритмов и программных обеспечений бортовых компьютеров КА. Это в свою очередь налагает соответствующие требования на точность бортовых законов наведения. Повышение точности этих законов может быть достигнуто путём снятия вышеупомянутых упрощений в моделировании движения КА и установлением явных зависимостей между указанными параметрами.

В дополнении к вышеупомянутым особенностям бортовых систем наведения, следует отметить, что существующие численно интегрированные траектории для КА (например, оборудованных двигателем VASIMR) не позволяют построить надежные законы наведения из-за возможного существования следующих проблем:

- при интегрировании уравнений движения с текущими (начальными) условиями могут возникать проблемы со сходимостью элементов вектора состояния (радиус вектор, вектор скорости или другие параметры КА);

- неизвестность начальных значений множителей Лаграпжа в каждой точке переключения режима тяги требует неизвестное количество итераций и сходимость итераций не всегда гарантирована из-за произвольности начальных условий для этих итераций;

- последовательность участков тяги при автономном наведении заранее неизвестна и автономный выбор может быть не самым лучшим;

- известные траекторные решения для ряда маневров и соответствующие алгоритмы бортовых систем управления не гарантируют высокую точность достижения требуемых значений параметров в пределах ограничений, наложенных на параметры КА в требуемые моменты времени.

Резюмируя вышесказанное, отметим, что система и алгоритм автономного наведения КА должны удовлетворять, в частности, следующим требованиям:

- должно быть обеспечено необходимое соответствие между алгоритмом наведения и характеристиками двигателя,

- алгоритм должен быть простым и надежным с точки зрения его реализации,

- должна быть достигнута необходимая точность и приемлемые энергетические затраты,

- способность обеспечения решения задачи наведения на любом участке траектории с любыми значениями параметров КА, включая тех, которые сильно отклонены от номинальных значений.

Преимущества аналитический решений. Вышеприведенные требования для разработки систем автономного наведения указывают на важность наличия номинальных (или опорных) траекторных решений, которые выражаются аналитически. Преимущество наличия таких решений по сравнению с численно построенными решениями состоит в том, что аналитические решения не связаны с вопросами сходимости, позволяют заранее определить начальные значения множителей Лагранжа, обеспечивают непрерывность параметров траектории при изменении режима тяги и содержат важные функциональные зависимости между параметрами КА и траектории. В совокупности, эти качества аналитических решений вместе с концепцией наведения на основе номинальной траектории позволяют анализировать поведение параметров КА, построить законы наведения, а также качественно оценить точность алгоритма управления.

Здесь отметим, что существуют два типа систем наведения. Первый тип этих систем строится на принципах программного управления и функционирует по методу " жестких" траекторий. Эти системы обеспечивают движение КА по заранее рассчитанной номинальной траектории. Недостатками этого типа систем управления являются трудность оперативного перехода на новую траекторию при изменении условий или целей наведения и значительные динамические ошибки управления. При наличии аналитических решений эти вопросы исключаются путём правильного выбора констант движения и решением уравнений непрерывности в точках изменения режима тяги.

Второй тип систем управления строится на принципах терминального управления и реализует наведение по методу "гибких"траекторий. Система управления в соответствии с целью наведения и на основе текущих параметров КА сама формирует программу изменения тяги в реальном масштабе времени. Эта программа может быть формирована при помощи явных зависимостей, которые составляют основу аналитических решений.

Как видно, закон наведения в обеих системах может быть построен на основе соответствующих аналитических решений вариационной задачи оптимизации.

Существуют также другие подходы к наведению, такие как наведение по достижению заданной скорости, наведение по заданной дели, наведение по заданным эксцентриситету и большой полуоси орбиты, наведение на основе комбинации навигационных измерений и другие. Преимущество выбора наведения по номинальной траектории заключается в осуществлении наведения как решение проблемы оптимизации, которое обеспечивает приемлемую точность, простоту бортовых алгоритмов и явную связь параметров проблемы.

Начиная с 50-х годов, вопросам аналитического решения проблемы оптимизации посвящены работы Д.Е. Охоцимского, В.А. Энеева, В.А. Егорова, А.И. Лурье, В.К. Исаева, B.C. Новоселова, А.Г. Азизова, Н.А. Коршуновой, Д.Ф. Лоудена, Дж. Лейтмана, Т.Н. Эдельбаума, С. Пайнса, Г.Дж. Келли, Г.М. Роббинса и других. Однако, несмотря на многочисленные исследования, к настоящему времени не существует общей теории или метода для анализа активных участков траекторий, оценки их оптимальности, критерия их применимости для решения практических проблем. Остаются нерешенными вопросы об определении новых аналитических решений для активных участков, их классификации, анализе их оптимальности, оптимальном сопряжении различных участков, определении структуры траектории и другие. Исследование таких вопросов является важным составным элементом построения теории аналитической оптимизации и позволило бы свести вариационную проблему к законченной форме, открывая тем самым широкие возможности для решения проблемы наведения. Данная работа посвящена исследованию этих вопросов.

Здесь и в дальнейшем, где это необходимо, будем рассматривать космический аппарат (КА) как материальную точку переменной массы.

Как известно, основы общей теории оптимальных траекторий космических аппаратов были изложены в работах Охоцимского [1] и Лоудена [2]. Соответствующая вариационная проблема динамики полета об определении оптимальных траекторий ракеты, движущейся с постоянной скоростью истечения и ограниченным секундным расходом массы в ньютоновском поле известна как проблема в постановке Лоудена [3]. Было показано, что оптимальная траектория может содержать участки трех типов: участки нулевой тяги (НТ), промежуточной тяги (ПТ) и максимальной тяги (МТ). Траектория должна удовлетворять тем условиям, которые удобно представить при помощи функции переключения и базис вектора. Функция переключения характеризует переход от одного режима тяги к другому, а базис вектор определяет направление тяги. Эти результаты были получены в случае связи (т.е. ограничения или условия, которые должны быть выполнены), наложенной на секундный расход массы, которая имеет место при описании химических двигательных систем большой тяги с низким и постоянным удельным импульсом [4]. Отсюда следует, что участки ПТ и МТ, являются частями траекторий движения с большой тягой. Однако, существует другой тип траекторий, называемых участками малой тяги (МалТ), и такие участки не получаются при связях, упомянутых выше. Участки малой тяги образуются двигателями ограниченной тяги или ограниченной мощности. В случае двигателей ограниченной тяги скорость истечения является постоянной, а секундный расход массы имеет максимальное значение, которое ограничивает тягу, производимую двигателем. В случае двигателей ограниченной мощности (электрических или ионных) обычно используют ограничения на мощность. Такие двигатели производят малую тягу с переменной скоростью истечения. Было показано, что в случае таких связей оптимальная траектория может содержать участки нулевой мощности (НМ) и максимальной мощности (ММ) [3]. Современные космические аппараты конструируются с учетом требований на их способность совершать маневр с использованием двигателей малой и / или большой тяги. Однако, результаты, полученные для движения с ограниченным секундным расходом массы и постоянной скоростью истечения, не применимы в случае движения, при котором мощность и скорость истечения ограничены связами. Другими словами, результаты, полученные для движения с химическими двигателями, не применимы в случае движения с двигателями ограниченной мощности и наоборот. Однако, если требуется совершать маневры с использованием обоих типов двигателей, то для определения оптимальной траектории маневра необходимо исследовать такую вариационную проблему, которая позволяла бы учитывать любые типы двигателей, характеризуемые соответствующими связями. Такая постановка проблемы особенно важна в связи с тем, что в настоящее время планируются различные полеты на Марс, Юиитер, Меркурий, на различные астероиды и в коропу Солнца с использованием двигателей малой и большой тяги [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11], [12], [13], [14].

Как известно, уход (захват) космического аппарата с Земли может быть реализован по параболической или гиперболической траектории с использованием химических двигателей большой тяги [4], [5], [14], [15]. Существующие численные решения для участков МалТ требуют несколько сот оборотов вокруг центра притяжения (Земля или Марс), которые могут привести к трудностям, связанным с навигацией и наведением, а также опасностью радиационного облучения в случае пилотируемых полетов [4]. Могут существовать также и комбинации участков малой и большой тяг, которые позволяют совершать маневр более эффективно [5], [10], [12]. Но такие комбинации не анализируются в случае задач, которые включают связи, справедливые только для двигателей малой или большой тяги. С этой точки зрения очень важно анализировать различные типы участков тяги в контексте постановки проблемы, которая получалась бы изменением уравнений связей в постановке Лоудена с целью учета характеристик двигателей малой и большой тяг. Во второй главе данной работы показано, что рассмотрение вариационной проблемы со связями на направляющие косинусы, удельный импульс и мощность позволяет получить траекторию с постоянной или переменной скоростью истечения с произвольным уровнем тяги или мощности. Это приводит к классификации участков тяги и мощности в зависимости от значений некоторых управляющих переменных. Ниже приводятся обзоры работ, посвященные исследованиям участков малой и большой тяг. Заметим, что аналитические решение для участков НТ в случае ньютоновского поля и соответствующего базиса были получены в работах [2], [16], [17].

Заключение диссертации по теме «Динамика, баллистика, дистанционное управление движением летательных аппаратов», Азимов, Дильмурат Мухамаджанович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе рассмотрена вариационная задача динамики полета об определении оптимальных траекторий центра масс ракеты {космического аппарата) в центральных гравитационных полях. На основе анализа опубликованных ранее работ по исследованию численных, аналитических и приближенно-аналитических методов решения вариационной проблемы для активных участков определен круг наиболее важных вопросов, подлежащих дальнейшему исследованию в настоящей работе. Активными участками являются те отрезки траектории, на которых тяга (мощность) имеет ненулевое значение. Получены следующие основные результаты:

• Вариационная проблема об определении оптимальных траекторий центра масс КА, алтернативная известной проблеме Лоудена и в отличии от неё, позволяет построить активные участки не только с постоянным, но и переменным удельным импульсом и максимальной мощностью. Оптимальными могут быть активные участки только с максимальной мощностью и постоянным удельным импульсом. Участки движения с переменной мощностью и переменным удельным импульсом не являются экстремалями задачи. Число активных участков и структура оптимальной или экстремальной тректории зависят от числа констапт движения этих участков;

• Точность известного закона наведения Бэттина (Battiii) (активные участки заменяются импульсами, а гравитационное ускорение представляется постоянным вектором) может быть значительно улучшена при помощи использования участков максимальной тяги непулевой длительности вместо импульсов и представления гравитационного ускорение линейной функцией от радиуса вектора центра масс КА;

• Синтез траекторий может быть произведен при помощи только частных решений Га-мильтоповой системы уравнений вариационной проблемы оптимизации траекторий КА для активных участков, а общее решение этой системы имеет только теоретическое значение;

• При планировании маневра перелета с границы сферы действия Земли на заданную околоземную слабоэллиптическую орбиту паркования, в целях минимизации радиационного облучения и уменьшения вероятности соударения с телами различного происхождения рекомендуется разделение траектории на две части. А именно, на траекторию снижения до определенной высоты ниже 800 км и траекторию перелета с этой высоты на заданную орбиту. Прохождение КА через зону радиации за кратчайшее время приводит к резкому уменьшению радиационной аккумуляции и значительному израсходованию топлива. Более долгие перелеты являются соответственно более экономичными с энергетической точки зрения;

• Существует явная зависимость дозы радиационного облучения, аккумулированной на заданной высоте от мгновенного изменения дозы на данной высоте, площади, образованной осью высоты и кривым изменения дозы. Эта зависимость является основой стратегии минимизации израсходуемого топлива и уменьшения общей аккумуляции дозы облучения при прохождении через радиационный пояс Земли;

• Разработана методология аналитического определения экстремальных траекторий, включая определение числа активных участков и структуры траектории.

Разработана методика применения аналитических решений для активных участков при построении экстремальных траекторий для решения задач межорбитальных перелетов.

Показано, что по существу, решение вариационой проблемы маневра может быть сведено к решению только определенного числа алгебраических уравнений.

Даны детальные решения следующих задач:

Задача перелета между эллиптическими орбитами при помощи участка малой тяги с постоянным удельным импульсом;

Задача перелета между двумя эллиптическими орбитами при помощи участка малой тяги с переменным удельным импульсом;

Задача маневра перелета с заданного положения па эллиптическую орбиту ири помощи участка малой тяги с переменным удельным импульсом;

Задача поворота плоскости эллиптической орбиты при помощи сферического участка промежуточной тяги с постоянным удельным импульсом;

Задача перелета между круговыми орбитами при помощи двух участков максимальной тяги с постоянным удельным импульсом.

Вышеперечисленные межорбитальные маневры могут быть осуществлены следующим образом:

Перелет между эллиптическими орбитами и перелет с заданного положения на эллиптическую орбиту можно осуществить при помощи одного участка малой тяги с постоянным или переменным удельными импульсами и описаны полностью аналитически. Продолжительность движения на спиральных участках движения с переменным импульсом и постоянным реактивным ускорением и число оборотов вокруг небесного тела зависят только от поведения угла тяги;

Перелеты между заданными круговыми орбитами, а также между круговой и гиперболическими орбитами можно осуществить при помощи двух и одного участков максимальной тяги с постоянным удельным импульсом соответственно. Эти маневры описываются полностью аналитически и с энергетической точки зрения являются почти оптимальными, так как абсолютная разница между безразмерными характеристическими скоростями этих манвров и соответствующими импульсными перелетами составляет в среднем только 0.0001 и 0.0006 соответственно.

Поворот плоскости эллиптической орбиты можно осуществить при помощи одного сферического участка промежуточной тяги с постоянным удельным импульсом. Для некоторых значений угла поворота и размера орбиты, этот поворот является энергетически лучшим в среднем на 0.1 процента чем соответствующие одно-, двух- или трех-импульсные повороты.

Глава 10

Список литературы диссертационного исследования доктор технических наук Азимов, Дильмурат Мухамаджанович, 2006 год

1. Оходимский Д.Е., Енеев Т.М. Некоторые задачи запуска исскуственных спутников Земли // Успехи Физических Наук. -Москва: Наука. - 1957. Т.63, В.1а.

2. Lawden D.F. Optimal Trajectories for Space Navigation. -Butterworths. London. 1963. -pp. 55-99.

3. Melbourne W.G., Sauer C.G.Jr. Optimum thrust programs for power-limited propulsion systems //Acta Astronautica. -1962. V.VIII, N.4. -pp. 205-227.

4. Irving J.H. Space technology. New York: Wiley and Sons. -1959. Edited by Seifert. -pp. 3.05-10.16.

5. Энеев T.M., Ахметшин P.3., Егоров В.А., Ефимов Г.Б. Динамика систем с двигателями с малой тягой, -Москва: ИПМ -2002. -С. 53.

6. Akim E.L., Stepaniants V.A., Tuchin A.G. Accuracy of orbit determination for low thrust trajectory to the Mars //Advances in the Astronautical Sciences. AAS 98-387. -1998. -pp. 1-13.

7. Белецки В.В., Егоров В.А., Ершов М.Г. Анализ траекторий межпланетных полетов с двигателями постоянной мощности // Космические исследования. -М.:Наука. 1964. Т.З, В.4. -С. 507-522.

8. Ефимов Г.Б., Охоцимский Д.Е. Оптимальное ускорение космического аппарата в центральном поле // Космические исследования. -М.:Наука. 1965. Т.З, В.6. -С. 811825.

9. Konstantinov M.S., Fedotov G.G. Electric Propulsion Mission to Mercury / Second Europian Spacecraft Propulsion Conference Proceesdings. -1997. May 27-29. ESA SP-398. ESA. August. -1997.

10. Федотов Г. Г. Оптимизация перелетов между орбитами искусственных спутников двух планет при использовании комбинации большой и малой тяги // Космические исследования. -М.: Наука. 2002. Т.40, В.6. -С. 616-625.

11. Федотов Г.Г. Методические основы проектно-баллистического анализа межпланетных КА с ЭРД // Авторефер. докт. дисс. техн. наук. МАИ, Москва. 2002. -С. 43.

12. Усачев В.В. Оптимизация траекторий и миссий в корону Солнца. Авторефер. докт. дисс. техн. наук. МАИ, Москва. -2004. -С. 51.

13. Ахметшин Р.З. Экспедиции в главный астероидный пояс с малой тягой с гравитационным маневром у Марса. -Москва: ИПМ -2002. -С. 145.

14. Battin R.H. An Introduction to the Mathematics and Methods of Astrodynamics. -New York:AIAA Education Series. -1987. -pp. 550-566.

15. Tapley B.D. Regularization and the computation of optimal trajectories //Celestial Mechanics. 1970. V.2. -pp. 319-333.

16. Азизов А.Г., Коршунова Н. А. Применение метода Леви-Чивита при анализе оптимальных траекторий //Космические исследования. -Москва: Мир. 1979. Т.17, -Вып.З. -С. 378-386.

17. Лебедев В.Н. Расчет движения космического аппарата с малой тягой. Москва. ВЦ АН СССР. 1968.

18. Салмин В.В. Оптимизация космических перелетов с малой тягой. Москва. Машиностроение. 1987.

19. Гришин С.Д., Захаров Ю.А., Одолевский В.К. Проектирование космических аппаратов с двигателями малой тяги. Москва. Машиностроение. 1990.

20. Marec J. P. Optimal Space Trajectories. -Amsterdam: Elsevier Scientific Publishing Company. 1979. -pp. 7-101.

21. Chang Diaz, F.R., Hsu,M.M., Braden, E. Johnson, Yang T.F. Rapid Mars Transits With ExhaustModulated Plasma Propulsion / NASA Technical Paper. 1995. N.TN-3539.

22. Melbourne W.G. Interplanetary trajectories and payload capabilities of advanced propulsion vehicles / JPL Tehcnical Report. JPL. Pasadina. California. 1961. -C. 32-68.

23. Konstantinov M.S., Fedotov G.G. Estimation of an opportunity of Mercury mission with use of solar electric propulsion //Acta Astronautica, V. 51, N.ll, 2002, pp.807-818.

24. Malyshev V.V., Usachov V.E., Tychinski Y.D. Optimization of the Solar Probe Trajectory with Electric Thrusters and Gravitation Maneuvers / 50-th International Atsronautical Congress, Section A.6.02 / Amsterdam, Netherlands. October 4-8, -1999.

25. Malyshev V.V., Usachov V.E., Tychinski Y.D. The guidance strategy for the Russian solar probe within "Fire"mission / 48-th International Atsronautical Congress / Italy, Turin. -1997.

26. Malyshev V.V., Usachov V.E., Tychinski Y.D. Analisis and Optimization of Guidance of a Solar Probe with Allowance for Stochastic and Uncertain Disturbances // Journal of Computer and Systems Sciences International. V.38, N.4, 1999.

27. Рыжов Ю.А., Малышев В.В., Пичхадзе К.М., Усачов В.Е. Анализ и синтез космических миссий для прямых исследований короны Солнца // Известия РАН. Теория систем и управления, N.4, 2001, с. 131-152.

28. Akhrnetshin R.Z., Eneev G.B., Efiinov G.B. On the possibility of asteroid renezvous with sample return to the Earth Abstract. IAU Colloquium. -1996. -p.l.

29. Petukhov V., Konstantinov M.C. . Spacecraft Insertion into High Working Orbit Using Light-Class Launcher and Electric Propulsion. ISSFD-17, 2003. (http://issfd.kiaml.rssi.ru/abstracts/pl63pdf).

30. Coverstone-Carroll V., Williams S.N. Optimal low-thrust trajectories using differential inclusion concepts //The Journal of the Astronautical Sciences. -Springfield: AAS. -1994. V.42, N.4. October- December, -pp. 379-393.

31. Braden E.M., Cockrell B.F., Bordano A.J. Power -Limited Human Mission to Mars / Lyndon B. Jonson Space Center. Aerospace and Flight Mechanics Division. 1998. JSC: Houston. V.28436. September, -pp. 1-35.

32. Markopoulos N. Analytically exact non-Keplerian motion for orbital transfers / AIAA/AAS Astrodynarnics Conference. AIAA 94 - 3758 - CP. - 1994, August 1-3, Scottsdale, Arizona, -pp. 383-412.

33. Tapley B.D, Miner W.E., Power W.F. The Hamilton -Jacoby method applied to the low-thrust trajectory problem / Belgrad. 1968. Proceedings of Astrodynarnics Congress, -pp. 293-305.

34. Ивашкин В.В., Чернов А.В. Определение оптимальных траекторий космических полетов к сбилижающемуся с Землей астероиду с использованием малой тяги / Институт Прикладной Математики им. М.В. Келдыша. -1997. Москва. Россия. Препринт ИПМ N.19.

35. Ивашкин В.В. и Чернов А.В. Оптимизация траекторий перелетов космического аппарата к сбилижающемуся с Землей астероиду при использовании малой тяги / Институт Прикладной Математики им. М.В. Келдыша. -1996. Москва. Россия. Препринт ИПМ N.62.

36. Ivaslikin V.V., Zaytsev A.V., Chernov A.V. Optimal Flights to Near-Earth Asteroid // Acta Astronautica. 1999. V.44, N.5. -pp. 219-229.

37. Федотов Г. Г. Об использовании возможностей комбинации большой и малой тяги при полетах к Марсу // Космические Исследования, Т.39, В.6, 2001, с.613-621.

38. Константинов М.С., Федотов Г.Г., Ефимов Г.Б. Проектно-баллистический анализ КА с ЭРД для полетов к Меркурию. //Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша. М., 2001 с.28.

39. Константинов М.С., Попов Г.А., Федотов Г.Г. Оценка использования солнечной электрореактивной установки для выведения спутника Юпитера //Космические Исследования, Т.40, В.2, 2002, с.201-208.

40. Eneev Т.М., Efimov G.B., Konstantinov M.S., Akhmetshin R.Z., Fedotov G.G., Petukhov V.G. Advanced interplanetary missions with solar-nuklear electric propulsion //Preprint Keldysh Institute of Applied Mathematics. N.35, 1996.

41. Eneev T.M., Konstantinov M.S., Akhmetshin R.Z.,Efimov G.B., Fedotov G.G., Petukhov V.G. Mercury-to-Pluto range missions with solar-nuclear electric propulsion //Preprint Keldysh Institute of Applied Mathematics. N.lll, 1996.

42. Seywald H. Trajectory optimization based on differential Inclusion //Journal of Guidance, Control arid Dynaics. -New York: AIAA. -1994. V.17, N.3. May-June. -pp. 480487.

43. Kluever C.A. Optimal low-thrust interplanetary trajectories by direct method techniques //The Journal of the Astronautical Sciences. -Springfield: AAS. 1997. V.45, N.3. July-September, -pp. 247-262.

44. Ocainpo С. COPERNICUS, A General Spacecraft Trajectory Design and Optimization System / The University of Texas at Austin. Dept. Aerospace Engineering and Engineering Mechanics. 2001. October 25.

45. Sheel W., Conway B.A. Optimization of very-low thrust many -revolution spacecraft trajectories //Journal of Guidance, Control and Dynamics. -New York: AIAA. 1994. V.17, N.6. -pp. 1275-1282.

46. Thorne J.D., Hall C.D. Minimum -Time Continuous thrust orbit transfers // The Journal of the Astronautical Sciences. -Springfield: AAS. 1997. V.45, N.4. -pp. 411-432.

47. Tang S., Conway B.A. Optimization of low-thrust interplanetary trajectories using collocation and nonlinear programming //Journal of Guidance, Control and Dynamics. -New York: AIAA. 1995. V.18, N.3. -pp. 599-604.

48. Vadali S.R., Nah R., Braden E., Jpohnson I.L.Jr. Fuel-optimal planar interplanetary trajectories using low-thrust exhaust-modulated propulsion / Paper AAS 99-132. AAS/AIAA Space Flight Mechanics Meeting. 1999. Breckenridge, Colorado. February 7-10.

49. Crain Т., Bishop R.H., Fowler W., Kenneth R. Optimal interplanetary trajectory design via Hybrid Genetic Algorithm: Recursive quadratic program search //Advances in the Astronautical Sciences. AAS 99-133. -1999. -pp. 449-465.

50. Kelly H. G., Kopp R. E., Moyer H. G. Singular extremals / Topics in Optimization. Academic Press. Edited by Leitmann G., 1967. -pp. 63-102.

51. Роббинс X.M. Оптимальность активных участков промежуточной тяги траекторий ракеты //Ракетная техника и космонавтика. 1965. Т.З, -Вып.8. -С. 139-145.

52. Lawden D.F. Necessary conditions for optimal Rocket Trajectory //Quart S.Mech. Appl. Math. 1959. V.12. -pp. 476.

53. Лоуден Д.Ф. Межпланетные траектории ракет //Космические траектории. М:Мир. 1963. -С. 177-242.

54. H.J. Kelly. Method of Gradients. 6. Optimization Techniques. New York: Academic Press. - 1962. -pp. 206-252.

55. Venbeke de B.M.F., Geerts J. Optimization of multiple impulse orbital transfers by maximum principle 1964. Rept.OA-4. Русский перевод: де Вёбек Б.М.Ф., Гёртс Ж.Сб: Механика, N.1 (95). 1966. -С. 27-49.

56. Johnson C.D. Sinqular solutions in problem of optimal control. New-York-London. Edited by Leondes C.G. 1965. V.2. Advances in Control Systems. Theory in applications. -pp. 209-269.

57. Габасов P., Кириллова Ф. M. Особые оптимальные управления. М.:Наука. 1965. -С.256.

58. Габасов Р., Кириллова Ф. М. К теории необходимых условий оптимальности высокого порядка //Дифференциальные уравнения. -М: Наука. 1970. Т.VI, -Вып.4. -С. 665-676.

59. Зеликин М.И. N мерный вариант задачи Лоудена / 6 - Всесоюзный съезд по теор. и прикл. механике: Аннот . докл.1986. Ташкент. 24 -30 сент. -1986. -С. 63.

60. Завалищин С. Т. Дополнение к теории Лоудена //Прикладная математика и механика. -М: Наука. 1989. -Вып.5. -С. 731-738.

61. Goh B.S. The second variation for the singular Bolza problem //SIAM J. Control. 1966. V.4, N.2, -pp. 309-325.

62. Goh B.S. Necessary conditions for singular extremals involving multiple control variables //SIAM J. Control. 1966. V.4, N.4. -pp. 716-731.

63. Срочко В.А. Особые управления в оптимальных системах -Иркутск: Из-во Иркутского гос.ун-та. 1971. Автореф. канд. дисс.

64. Келли Г. Необходимое условие для особых экстремалей, основанное на второй вариации //Ракетная техника и космонавтика. -М: Наука. 1964. Т.8, -Вып.6. -С. 26-29.

65. Kelly H.J. A transformation approach to singular subarcs in optimal trajectory and control problems //SIAM J. Control. 1964. V.2, N.2. -pp. 234-240.

66. Кротов В.Ф. Методы решения вариационных задач на основе достаточных условий абсолютного минимума.1. //Автоматика и телемеханика. -М: Наука. 1962. T.XXIII, -Вып. 12. -С. 1571-1583.

67. Кротов В.Ф. Методы решения вариационных задач на основе достаточных условий абсолютного минимума.II. //Автоматика и телемеханика. -М: Наука. 1962. T.XXIV, -Вып.5. -С. 581-598.

68. Гурман В.И. К вопросу об оптимальности особых режимов движения ракет в центральном поле //Космические исследования. -М: Наука. 1965. T.IV, -Вып.4. -С. 499509.

69. Bell D. J., Jacobson D.H. Singular optimal control Problems -New York: Academic Press. -1975. -pp. 61-151.

70. Azizov A. G., Korshunova N. A. On an Analytical Solution of the Optimum Trajectory Problem in a Gravitation Field //Celestial Mechanics. 1986. V.38, N.4. -pp. 297-306.

71. Коршунова H.A. Вопросы интегрирования уравнений вариационной задачи в центральном поле / МГУ имени М.В.Ломоносова, Механико-математический факультет. Москва. 1977. Авторефер. дис. канд. физ.-мат. наук. -С. 1-24.

72. Азимов Д.М. Участки промежуточной тяги в вариационной задаче Майера //ПММ.-М:Наука. -2000. Т.64, -Вып.1. -С. 92-101. English translation: D. М.

73. Aziinov. Intermediate Thrust Arcs in Mayer's Variational Problem. Journal of Applied Mathematics and Mechanics. Pergamon, -2000, -Vol.64, No.l, pp. 87-95.

74. Коршунова H.A. Об оптимальных траекториях ракеты в центральном поле .

75. Азимов Д.М. К вопросу об оптимальности участков промежуточной тяги //Алгоритмы и численные решения задач вычислительной и прикладной математики -Ташкент: Ташк. гос. ун-т им. В. И. Ленина. 1988. -С. 6-9.

76. Азимов Д.М. Исследование оптимальных траекторий в центральном ньютоновском поле. Автореферат канд. дис. Университет Дружбы Народов им. П. Лумумбы. Москва. 1991. -С. 13.

77. Азизов А.Г., Коршунова Н.А. Вариационные задачи механики космического полета / Ташк. гос. ун-т. -1991. -С. 1-84.

78. Azimov D. M. A New Classes for Intermediate-Thrust Arcs of Flight Trajectories in a Newtonian Field //AIAA Journal of Guidance, Control and Dynamics. New-York: AIAA. - 2000. V.23, N.l. -pp. 142-145.

79. Летов A.M. Динамика полёта и управление. М.-.Наука. 1969. -С. 259.

80. Клих Ю. А., Макаров О.Ф., Плотников В. О. О включении особых участков в оптимальную траекторию //Матем. физ. Республ. межвед. сб. 1968. -Вып.4. -С. 42-49.

81. Burns Е., Rowland. A study on the optimal Rocket trajectory //AIAA Paper. 1971. N.20. -pp. 1-8.

82. Ильин В.А., Кузмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов. М.:Наука. 1976. -С. 744.

83. Макаров О.Ф. О структуре оптимального по минимуму энергетических затрат режима управления двжением в гравитационнном поле //Проблемы механики управляемого движения. -Пермь: Пермск.гос.ун-т. 1989. -С. 87-89.

84. Lurie A.I. Thrust Programming in a Central Gravitational Field / Topics in Optimization. Academic Press. -1967. -pp. 103-146.

85. Коршунова H.A. Аналитическая теория оптимизации траекторий точки в гравитационных полях / Автореферат докт. дисс. физ.-мат. наук. МГУ им. М.В.Ломоносова, Механико-математический факультет. Москва. 1992. -С. 1-24.

86. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.:Наука. -1979. -С. 370-407.

87. Milyutin А.А., Osmolovski N.P. Calculus of variations and optimal control. Translations in mathematical monographs. Providence, Rhode Island 1998. V.180. -pp. 7-148.

88. Новоселов B.C. Аналитическая теория оптимизации в гравитационных полях. -Ленинград: Из-во ЛГУ. 1972. -С.317.

89. Лейтман Дж. Вариационные задачи с ограничениями на управления Под ред. Лейт-мана Дж. Методы оптимизации с приложениями к механике космического полёта. -М.: Мир. -1965. -С. 209-243.

90. Bryson E.Jr., Yu-Chi Но. Applied Optimal Control. Optimization, Estimation and Control. -Waltham, Massachussets: Ginn and Company, A Xerox Company. 1969. -pp. 177-211.

91. Krotov V.F. Global methods in optimal control theory -New York: Marcel Dekker, Inc. 270 Madison Avenue, New York. 1996. -pp. 133-179.

92. Bliss G.A. Calculus of variations. Chicago. Illinois: The Open Court Publishing Company. The Mathematical Association of America. 1925. -pp. 128-136.

93. Fletcher R., Powell MJ.D. A Rapidly Convergent Descent Method For Minimization //The Computer Journal. 1963. V.6, N.2. -pp. 163-168.

94. Григорьев К.Г. О маневрах космического аппарата при минимальных затратах массы и ограниченном времени // Космические исследования. -М: Наука. 1994. Т.32, В.2, -С. 45-60.

95. McCue G.A. Quazilinearization Determination of Optimum Finite-Thrust Orbital Transfers //AIAA Journal. -New-York : AIAA. 1967. V.5, N.4. -pp. 755-763.

96. Brown K.R., Harrold E.F., Johnson G.W. Rapid optimi- zation of multiple -burn rocket flights / NASA. 1969. N.CR-1430.

97. Bryson А.Е., Denham, W.F. A steepest ascent method for solving optimum programming problems //J.Apply.Mech. 1962. N.87. -pp. 247-257.

98. Григорьев К.Г., Федына А.В. Оптимальные перелеты космического аппарата с реактивным двигателем большой ограниченной тяги между компланарными круговыми орбитами // Космические исследования. -М: Наука. 1995. Т.ЗЗ, В.4. -С. 403-416.

99. Kornhauser A.L., Lion P.M., Hazelrigg G.A. An Analytic Solution for Constant-Thrust, Optimal Cost, Minimurn-Propellant Spacc Trajectories //AIAA Journal. New-YorkrAIAA. - 1971. N.7. -pp. 1234-1239.

100. Robbins H.M. An Analytical Study of the Impulsive Approximation //AIAA Journal. -New-York:AIAA. 1966. V.4, N.8. -pp. 1417-1423.

101. Andrus J.F., Burns I.F., Woo J.Z. Nonlinear optimal guidance algorithms / NASA. -1969. N.CR-86160.

102. Marchal C., Marec J.P., Winn C.B. Survey paper-synthesis of the analitical rezults on optimal transfers between keplerian orbits //ONERA tire a part. 1967. N.515.

103. Marchal C. Transferts optimax entre orbites elliptiques (duree indifferente). These de doctorat. AO 1609. Faculte des Sciences de Paris. 1967.

104. Новоселов B.C. Общая схема аналитических приближений экстремальных переходов между орбитами с малыми наклонениями и эксцентриситетами //Вестн.С.-Петербург.ун-та. 1997. Т.1, -Вып.1. -С. 82-86.

105. Новоселов B.C. Вариация функционала и упрощенное построение аналитических приближений в экстремальных задачах управления движением //Вестн.С.-Петербург.ун-та. 1995. Т.1, -Вып.З. -С. 92-100.

106. Азизов А.Г., Коршунова Н. А. К вопросу определения аналитических решений на участках максимальной тяги // Управляемые динамические системы и их приложения. -Ташкент: Ташк. гос.уп-т им. В. И.Ленина. 1987. -С. 10-13.

107. Исаев В.К. Принцип максимума Л.С.Понтрягина и оптимальное программирование тяги ракет //Автоматика и телемеханика. -М: Наука. 1961. Т.21, -Вып.8. -С. 9861001.

108. Jezewski D.E., Stoolz J.M. A closed -form solution for maximum- fuel, constant-thrust trajectories //AIAA Journal. 1970. V.8. N.7. -pp. 1229-1234.

109. Ежевски Д., Розендаль. Эффективный метод расчета оптимальных N импульсных траекторий полета в космическом пространстве //Ракетная техника и космонавтика. -М: Мир. - 1968. Т.6, -Вып.11. -С. 138-145.

110. Andrus J.F. Elliptic Integral Solutions to a Class of Space Flight Optimization Problems //AIAA Journal. New-York:AIAA. - 1976. V.14, N.8. -pp. 1026-1030.

111. Азимов Д.М. К вопросу об определении точек переключения на оптимальной траектории // Управляемые динамические системы. -Ташкент:Ташк. гос.ун-т им. В. И.Ленина. 1990. -С. 18-20.

112. Hull D.G. Optimal control theory for applications. New-York: Springer-Verlag New-York, Inc. 2003. -pp. 258-301.

113. Dmitruk A.V. Jacobi type conditions for the problem of Bolza with inequalities //- Math. Notes of the Acad. Sci. USSR. V.35, 1984.

114. Azimov D.M., Bishop H.R. New Classes of Optimal Analytical Space Trajectories / The World Space Congress 2002. Astrodynamics Symposium. IAC-02-A.6.01. 2002. -pp. 1-10.

115. Лейтман Дж. Введение в теорию оптимального управления М.:Наука. 1968. -С. 1326.

116. Miele A. An extension of the theory of the optimum burning program for the level flight of a rocket-powered aircraft //J.Aeronaut. Sci. 1957. N.24. -pp. 874-884.

117. Miele.A. General variational theory of the flight paths of rocket-powered aircraft, missiles and satellite carriers // Astronant Acta. 1958. N.4. -pp. 264-288.

118. Arutyunov A.V. Optimality conditions. Abnormal and degenerate problems. -Drdrecht. The Netherlands: Kluwer Academic Publishers 2000. -pp. 89-123.

119. Korn, G.A., Korn T.M. Mathematical handbook for scientists and engineers. McGraw-Hill book company, Inc. 1961. In russian: Корн Г., Kopn Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. -1984. -С. 80, 237.

120. Larson С.A., Prussing J.E. Optimal orbital rendezvous using high and low thrust / AAS/AIAA Space Flight Mechanics Meeting. Paper AAS 89-354. 1989. San Diego, CA. August 7-10. -pp. 513-532.

121. Space Flight Mechanics Meeting. Paper AAS 02-155. -20 p. San Antonio, Texas. 2002. January 27-30.

122. Коршунова H. А. Азизов А. Г. К вопросу определения оптимальных траекторий в ньютоновском поле //Проблемы механики управляемого движения. -Пермь: Пермск.гос. ун-т. 1984. -С. 5-10.

123. Коршунова Н.А. О некоторых частных решениях задачи об оптимальной траектории точки переменной массы //ДАН УзССР. 1975. -Вып.8. -С. 13-15.

124. Дубощин Г.Н. Небесная механика. Основные задачи и методы. М: Физматгиз. 1963.

125. Азимов Д.М. Об определении оптимальных траекторий в линейном центральном поле // -Ташкент: УзНИИНТИ. Деп. в УзНИИНТИ. 5.12.88, 887 Уз 88. - 1988. -С. 22.

126. Aziinov D.M., Bishop R.H. Planetary Capture Using Low-Thrust Propulsion / 16th International Symposium on SpaceFlight Dynamics. Pasadena, California. USA. 2001. December 3-6. -pp. 1-31.

127. Azimov D.M., Bishop R.H. Earth-Mars Minimum Fuel Trajectories via Circular and Spiral Low Thrust Arcs / Texas A and M University. -2000. NASA JSC/A and M/UT Meeting. College Station, Texas. USA. December 1. -pp. 1-26.

128. Bishop R.H., Azimov, D.M. Ocampo C., Condon G., Crain Т., etc. Low Thrust Trajectory Work at JSC. Lunar Institute. -2001. Presented to the Mars Program Systems Engineering Team. NASA Lyndon Johnson Space Center. Houston. USA. December 5. -pp. 1-48.

129. Азимов Д.М. Об оптимальных траекториях космического аппарата в ньютоновском поле / Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии. Российский Университет Дружбы Народов. Тезисы докладов. 18-22 апреля, 2005.

130. Азимов Д.М. Обзор работ по исследованию активных участков в гравитационных полях // Автоматика и Телемеханика. -Москва. Российская Академия Наук. 2005, N.11. С.14-34.

131. Pines S. Constants of the motion for optimum thrust trajectories in a Central gravitational field. Topics in optimization, edited by G. Leitmann. -New-York: Academic Press. -1967.

132. Азимов Д.М. Шесть классов траекторий движения с промежуточной тягой в ньютоновском поле //ДАН РУз. -Ташкент: АН РУз. -Вып.2. -1999. -С. 13-16.

133. Lawden D.F. Optimal powered arcs in an inverse square law field //J. Amer. Rocket Soc. 1961. V.31, N.4. -pp. 566-568.

134. Lawden D.F. Optimal intermediate -thrust arcs in a gravitational field //Astronaut. Acta.8. -1962. N.2. -pp. 106-123.

135. Копп P.E., Мойер Г. Необходимое условия оптимальности особых экстремалей //Ракетная техника и космонавтика. 1965. Т.З, Вып.8. -С. 81-94.

136. Азимов Д.М. Интегрирование уравнения Гамильтона-Якоби для участков промежуточной тяги методами аналитической механики // Проблемы механики. -Ташкент: АН РУз. -Вып.1. 1998. -С. 3-7.

137. Azimov D.M., Bishop R.II. Extremal Rocket Motion with Maximum Thrust in a Linear Central Field //Journal of Spacecraft and Rockets. -New-York : AIAA. 2001. V.38, N.5. -pp. 765-776.

138. Азимов Д.М. Участки промежуточной тяги для точки, движущейся в линейном центральном поле // Проблемы механики. -Ташкент: АН РУз. -Вып.6. -1998. -С. 3-8.

139. Азимов Д.М. Об одном классе участков максимальной тяги в центральных нолях //Проблемы механики. -Ташкент: АН РУз. -Вып.2-3. -1999. -С. 3-9.

140. Azirnov D.M., Bishop R.H. Transfer Between Circular and Hyperbolic Orbits Using Analytical Maximum Thrust Arcs // Journal of Spacecraft and Rockets. 2003. V.40, N.3. -pp. 433-436.

141. Азимов Д.М. Активные участки экстремальных траекторий в линейном центральном поле // Автоматика и Телемеханика. -Москва. Российская Академия Наук. 2005, N.10. С.3-23.

142. Azimov D.M., Bishop R.H. Optimal Trajectories for Space Guidance // Annals of New York Academy Sciences. New York, NY., -2005, N.1065, pp.1-21 .

143. Эрике К. Космический полет -М.: Наука. -Т.2., -Ч.З, 1966. -С. 571.

144. Dawn Т. Low-Thrust Piloted, 1-year Roundtrip Mars Mission in 2018. Technical report. NASA/JSC/EG5-Advanced Mission Design Branch. Human Exploration and Development of Space (HEDS). February 12, 2001.

145. Whiffen G.J., Sims, J.A. Application of the SDC Optimal Control Algorithm to Low-Thrust Escape and Capture Trajectory Optimization. AAS/AIAA Space Flight Mechanics Meeting, San-Antonio, Texas. 27-30 January, 2002, 22 p.