Разработка алгоритмов обработки данных с декомпозицией информационной матрицы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат технических наук Салфетников, Александр Иванович

• Салфетников, Александр Иванович
• кандидат технических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат технических наук Салфетников, Александр Иванович

Введение.

1. Состояние проблемы оценивания традиционным методом взвешенных наименьших квадратов. Обоснование новой концепции направленного взвешивания.

1.1. Выбор класса моделей наблюдения в алгоритмах оценивания.

1.2. Традиционная концепция взвешивания метода наименьших квадратов.

1.3. Работа традиционного метода взвешенных наименьших квадратов в условиях нормального функционирования идентифицируемого объекта. Недостатки традиционной концепции взвешивания.

1.4. Вырождение информационной матрицы традиционного метода взвешенных наименьших квадратов. Предпосылки для выработки новой концепции «направленного» взвешивания.

2. Концепции направленного взвешивания в методе наименьших квадратов.

2.1. Причины появления и сущность направленного взвешивания.

2.2. Метод наименьших квадратов с взвешиванием поступающих измерений.

2.3. Ограниченность сверху и снизу информационной матрицы метода наименьших квадратов с направленным взвешиванием.

2.4. Метод направленного взвешивания основанный на декомпозиции информационной матрицы R(i).

2.5. Ограниченность информационной матрицы метода наименьших квадратов с декомпозицией.

3. Разработка алгоритма оценивания методом наименьших квадратов с декомпозицией информационной матрицы.

3.1. Критерий метода наименьших квадратов с декомпозицией информационной матрицы.

3.2. Оценка вектора параметров методом наименьших квадратов с ортогональной декомпозицией информационной матрицы.

3.3. Анализ сходимости и свойства метода наименьших квадратов с декомпозицией информационной матрицы.

4. Метод наименьших квадратов с адаптивной настройкой коэффициента взвешивания.

4.1. Адаптивная настройка скалярного коэффициента взвешивания.

4.2. Меры количества информации в методе наименьших квадратов

4.3. Адаптивная настройка коэффициента взвешивания метода наименьших квадратов с декомпозицией информационной матрицы.

5. Оценка нестационарных параметров статической характеристики пьезокерамического преобразователя.

5.1. Уравнение статической характеристики пьезокерамического преобразователя с нестационарными параметрами.

1.2. Выбор алгоритма оценивания нестационарных параметров пьезокерамического преобразователя.

1.3. Оценка параметров пьезокерамического преобразователя методом наименьших квадратов с ортогональной декомпозицией информационной матрицы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка алгоритмов обработки данных с декомпозицией информационной матрицы»

Задача идентификации систем является одним из важнейших направлений современной теории автоматического управления. Значительная часть объектов управления и систем описывается уравнениями с нестационарными параметрами, при этом, как правило, априорная информация о вариациях нестационарных параметров практически отсутствует. Как следует, из многочисленных публикаций к этой категории принадлежат системы из самых различных отраслей промышленности и направлений инженерной деятельности, например, таких как авиационная [1,2,3], космическая [4,5,6], нефтедобывающая [7], робототехническая [8], а также в таких направлениях науки как экономика [9], геодезия [10], гидравлика [11] и т.д. И если методы для оценки стационарных параметров разработаны довольно глубоко, то методы для оценки меняющихся во времени параметров продолжают в настоящее время активно развиваться. Так как, системы автоматического управления работают в режиме реального времени, для получения оценок вариаций параметров требуются эффективные и достаточно простые с вычислительной точки зрения рекуррентные алгоритмы оценивания. Наиболее предпочтительным в большинстве случаев, оказывается метод взвешенных наименьших квадратов [12]. Данный метод основан на классическом методе наименьших квадратов, разработанном Гауссом в XVIII веке и способном оценивать стационарные параметры систем в условиях помех измерений.

В связи с повсеместным распространением цифровой техники уравнения объектов и алгоритмы оценивания будут представлены в дискретной форме. Пусть наблюдения описываются линейным уравнением регрессии и §N -- текущая оценка метода взвешенных наименьших квадратов. Благодаря коэффициенту взвешивания на формирование новой оценки в момент времени п влияет лишь несколько последних измерений A=N-K (К>0). Таким образом, в каждый момент времени N оценка §N аппроксимирует истинную функцию вариаций параметров. На данном свойстве и основывается способность метода взвешенных наименьших квадратов оценивать нестационарные параметры.

Постановка эксперимента с целью получения необходимых наблюдений для расчета оценки предполагает выполнение ряда определенных условий влияющих на функционирование оцениваемого объекта. Например, тестовый сигнал на входе должен возбуждать все собственные колебания данного объекта, только в этом случае мы можем получить измерения, содержащие полную информацию о значениях параметров объекта. Но довольно часто для идентификации параметров * объекта используются измерения полученные в режиме нормального функционирования объекта оценивания [13,14]. В этом случае приходится ограничиваться пассивными наблюдениями. В традиционном методе взвешенных наименьших квадратов никак не учитываются свойства сигнала на входе объекта оценивания - благодаря постоянному скалярному коэффициенту взвешивания старые измерения продолжают обесцениваться независимо от того содержат или нет последние измерения новую «информацию» о вариациях параметров. Например, система может периодически достаточно долгое время находиться в установившемся режиме и каждое новое поступающее измерение равно предыдущим и не несет в себе новой информации, но, тем не менее, из-за постоянного (■% скалярного коэффициента взвешивания предыдущие измерения продолжают обесцениваться. В этом случае, использование традиционного метода взвешенных наименьших квадратов со скалярным коэффициентом взвешивания может привести к вырождению информационной матрицы Фишера метода наименьших квадратов и, как следует из неравенства Крамера-Рао, резкому увеличению ошибки оценивания параметров [15]. Вырождение информационной матрицы приводит к стремлению к нулю некоторых ее собственных чисел. Поэтому, данный алгоритм теряет способность оценивать параметры в «направлениях» связанных с этими собственными числами. Для решения данной проблемы в настоящее время предлагается концепция «направленного» взвешивания. В этом случае используется векторный коэффициент взвешивания, и старые измерения информационной матрицы обесцениваются только в том «направлении», в котором поступает новая информация. На различной трактовке понятия «направления» поступления новой информации основываются различные алгоритмы «направленного» взвешивания [16-20].

Традиционно коэффициент взвешивания выбирался постоянным (X=const), что является существенным недостатком метода взвешенных наименьших квадратов. Очевидно, что существует некоторая закономерность, позволяющая рассчитать коэффициент взвешивания исходя из динамики (частота, скорость, дисперсия и т.д.) изменения параметров. При этом, должен быть учтен следующий компромисс: чем меньше коэффициент взвешивания, тем меньше последних измерений участвует в формировании оценки и тем более способность алгоритма расчета оценки своевременно отслеживать вариации нестационарных параметров, но, в этом случае, повышается чувствительность алгоритма к помехам измерений и, наоборот, чем больше коэффициент взвешивания тем лучше действует эффект усреднения помех измерений, но также теряется способность своевременного реагирования алгоритма на вариации параметров. Таким образом, задача нахождения указанной закономерности является довольно сложной — требуется, чтобы полученный алгоритм как эффективно отслеживал вариации нестационарных параметров, так и максимально исключал воздействие на оценку помех измерений, в то же время сохраняя остальные привлекательные свойства метода наименьших квадратов, в том числе, и простоту вычислительной реализации. В настоящий момент это направление интенсивно разрабатывается, подтверждением чему является ряд публикаций, например [21-29].

Целью данной работы является:

1) Найти причины вырождения информационной матрицы метода наименьших квадратов и, как следствие, появления резких неограниченных всплесков оценок в случае использования традиционной концепции взвешивания измерений в режиме нормальной работы объекта оценивания;

2) исходя из условий вырождения информационной матрицы традиционного метода взвешенных наименьших квадратов, выявить предпосылки появления и обосновать целесообразность использования новой концепции «направленного» взвешивания;

3) анализ свойств существующих алгоритмов «направленного» взвешивания информационной матрицы метода наименьших квадратов и выявление наилучшего;

4) синтез (независимого от свойств сигнала на входе объекта оценивания) алгоритма расчета оценок неизвестных параметров объекта на основе выбранной схемы «направленного» взвешивания матрицы измерений; анализ сходимости и изучение свойств полученного алгоритма;

5) анализ алгоритмов адаптивной настройки коэффициента взвешивания позволяющих эффективно отслеживать вариации нестационарных параметров с переменой динамикой; выявление наилучшего и, путем объединения его с алгоритмом полученным на предыдущем этапе, синтез комплексного метода оценивания позволяющего как эффективно отслеживать вариации параметров с переменной динамикой, так и независимого к свойствам сигнала на входе объекта оценивания;

6) верификация полученного алгоритма на дискретной модели пьезокерамического преобразователя с помощью пакета программного обеспечения MATLAB;

7) вывод рекомендаций к практическому применению полученного комплексного алгоритма оценивания нестационарных параметров объекта.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Салфетников, Александр Иванович

Результаты работы данного алгоритма отражены в нижеследующей таблице.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе разрабатывались методы идентификации параметров нестационарных линейных объектов в режиме их нормального функционирования, основанные на технологии рекуррентных процедур метода наименьших квадратов в линейной схеме наблюдений.

В первой главе приведены классы нестационарных моделей и систем, уравнения которых приводятся к стандартному уравнению линейной регрессии , представляющему основной объект проводимых исследований, а в качестве базового алгоритма рассмотрен рекуррентный вариант традиционного метода взвешенных наименьших квадратов, соответствующий задаче идентификации в режиме нормального функционирования объекта. Показано, что работа данного класса алгоритмов может привести к вырождению матрицы измерений и, как следствие, к неограниченному росту погрешности оценивания, что делает невозможным дальнейшие вычисления оценок. Отмеченное обстоятельство является существенным недостатком традиционной схемы взвешивания и требует дополнительных исследований в этой области. В этой связи были выявлены причины вырождения информационной матрицы, и сформулирована содержательная основа предлагаемой концепции направленного взвешивания: смысл данного подхода состоит в том, что в процессе обработки данных решения задачи идентификации, обесцениваются только те вновь поступающие измерения, которые могут быть заменены новыми.

Во второй главе анализируются существующие методы направленного взвешивания с целью выбора наилучшей в смысле структурных свойств матрицы измерений. Показано, что наиболее предпочтительной является концепция направленного взвешивания с ортогональной декомпозицией информационной матрицы. В этом случае вектора составляющие линейное многообразие измерений обесцениваются в направлении ортогональной проекции нового вектора измерений на данное линейное многообразие. При этом, что существенно, информационная матрица остается ограниченной как сверху так и снизу.

В третьей главе на основе концепции направленного взвешивания с ортогональной декомпозицией информационной матрицы разработан рекуррентный алгоритм вычисления оценок нестационарных параметров объекта, а также получен отвечающий этой процедуре критерий минимизации разработанного алгоритма. На основе выведенного критерия минимизации доказана сходимость оценок данного алгоритма в детерминированном случае. Далее, на основе полученных результатов выведены свойства несмещенности и состоятельности получаемых в результате вычислений оценок.

В четвертой главе решена задача о настройке скалярной составляющей коэффициента взвешивания метода наименьших квадратов с декомпозицией информационной матрицы. Данная составляющая позволяет обесценивать накопленные измерения в соответствии с динамикой вариаций параметров. В этой связи , в четвертой главе были проанализированы алгоритмы адаптивной настройки коэффициента взвешивания и выбран наиболее оптимальный с вычислительной точки зрения вариант .

Полученный в результате проведенных исследований метод оценивания представляет собой комплексный алгоритм оценивания нестационарных параметров объекта в условиях нормального функционирования идентифицируемого объекта. Направленное взвешивание с ортогональной декомпозицией информационной матрицы предотвращает ее вырождение в условиях текущих наблюдений , а адаптивная настройка скалярной составляющей коэффициента взвешивания позволяет своевременно отслеживать вариации нестационарных параметров объекта оценивания. При этом, важным обстоятельством является то, что предлагаемому алгоритму не требуется априорной информации о вариациях параметров и характеристиках помехи наблюдений. Данные особенности делают возможным использовать полученные результаты при решении широкого класса нестационарных задач обработки данных, в том числе, в контурах адаптивных систем управления.

В пятой главе результаты проведенных исследований были использованы для расчета оценок нестационарных параметров уравнения статической характеристики пьезокерамического преобразователя. Предлагается полученные оценки использовать как для формирования адаптивного закона управления, так и для последующего изучения характеристик сигнала на выходе преобразователя в режиме текущих наблюдений.

В целом, результаты проведенных исследований обосновывают целесообразность взвешивания измерений в задачах идентификации, свидетельствуют о высокой работоспособности и эффективности разработанных рекуррентных процедур с ортогональной декомпозицией линейного многообразия измерений, позволяют рекомендовать эти алгоритмы для решения широкого класса нестационарных задач обработки данных.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Салфетников, Александр Иванович, 2004 год

1. Крутова И.Н. Обеспечение настраиваемых свойств системы управления самолета методом адаптивной идентификации. Автоматика и телемеханика. 1996. №3. С. 103-107.

2. Киселев С.К. Авиационные магнитометрические системы навигации и перспективы их практического использования. Автоматика и телемеханика. 2001. №7. С. 129-138.

3. Наумов А.И. Применение аналитических прогнозируемых моделей в системах управления летательных аппаратов и в авиационных тренажерах. Автоматика и телемеханика. 2002. №7. С. 178.

4. Рутковский В.Ю., Суханов В.М. Динамическая модель свободнолетающего космического робототехнического модуля. Автоматика и телемеханика. 2000. №5. С. 39.

5. Рутковский В.Ю. Работы Института проблем управления в области беспоисковых адаптивных систем и систем управления космическими аппаратами. Автоматика и телемеханика. 1999. №6. С. 42.

6. Ермилова В.А., Павлов Б.В., Рутковский В.Ю. Оптимизация процессов настройки коэффициентов адаптивного автопилота в условиях действия помех. Автоматика и телемеханика. 1996. №12. С. 84.

7. Ахметзянов А.В., Кулибанов В.Н., Фролов А.И., Хисамов Р.С. Выбор оптимальных режимов отбора жидкости из многопластовых нефтяных месторождений. Автоматика и телемеханика. 1998. №6. С. 67.

8. Завалищин С.Т., Чебан А.В. Транспортный манипулятор в вязкой среде: энергосберегающие алгоритмы перемещения. Автоматика и телемеханика. 1999. №12. С. 166.

9. Цирлин A.M. Оптимальное управление обменом ресурсами в экономических системах. Автоматика и телемеханика. 1995. №3. С. 116.

10. Бобрик Г.И., Голован А.А., Матасов А.И. Фильтр Калмана при гарантирующем подходе к решению задачи топографической привязки. Автоматика и телемеханика. 1997. №10. С. 34.

11. Чипулис В.П. Дискретные диагностические модели в задачах диагностирования гидравлических цепей. Автоматика и телемеханика. 1997. №9. С. 146.

12. Льюнг Л. Идентификация систем. Теория пользователя. М.: Наука, 1991.

13. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. М.: Мир, 1975.

14. Балонин Н.А., Габитов Е.А. Численные алгоритмы идентификации параметров систем в режиме нормального функционирования. Автоматика и телемеханика. 1997. №2. С. 140.

15. Каминскас Н. Статистические методы идентификации динамических систем. Вильнюс.: Минитис, 1975.

16. R. Kulhavy, М. Karny. Tacking of slowly varying parameters by directional forgetting. 9th IFAC World Congress, Budapest. 1984. pp.687-692.

17. Hagglund T. Recursive estimation of slowly time-varying parameters. IFAC Symp. On Identification and System Parameter Estimation. York. 1985. pp.1137-1142.

18. Bertin D., Bittanti S., Bolzern P. Tracking of nonstationary systems by means of different prediction error directional forgetting techniques. 2th IFAC Workshop on Adaptive Systems in Control and Signal Processing. Lund. Sweden. 1990. Pp.91-96.

19. Bittanti S., Bolzern P., Campi M. Convergence and exponential convergence of identification algorithms with directional forgetting factor. Automatica, Vol.26, No.5, pp.929-932,1990.

20. L. Cao, H. Schwartz. A directional forgetting algorithm based on the decomposition of the information matrix. Automatica, Vol.36, pp.17251731, 2000.

21. G. Goodwin, K. Sin. Adaptive filtering, prediction and control. Pretence-Hall, INC. Englewood Cliffs. New Jersey. 1984.

22. Widrow В., Stearns S. Adaptive signal processing. Pretence-Hall, INC. Englewood Cliffs. 1985.

23. Клейман Е.Г. Идентификация нестационарных объектов (обзор). Автоматика и телемеханика. 1999. №10. С. 3.

24. Дроздов A.JI. Алгоритм идентификации характеристик динамической системы по данным наблюдений. Автоматика и телемеханика. 2000. №5. С. 58.

25. Другарян И.С., Пащенко Ф.Ф. Идентификация объектов по критерию максимума количества информации. Автоматика и телемеханика. 2001. №7. С. 91.

26. T.R. Fortescue, S.Kershenbaum, В.Е. Ydstie. Implementation of self-turning regulators with variable forgetting factors. Automatica, Vol.17, No.6, pp.831-835,1981.

27. B. Ydstie, W. Sargent. Convergence and stability properties of an adaptive regulator with variable forgetting factor. Automatica, Vol.22, No.6, pp.749-751,1986.

28. E. Fogel, Y. Huang. On the value of information in system identification -bounded noise case. Automatica, Vol.18, No.2, pp.229-238,1982.

29. L. Ljung, S. Gunnarsson. Adaptation and tracking in system identification -a survey. Automatica, Vol.26, No.l, pp.7-21,1990.

30. А.Д. Вирцер, Ю.Л. Николаев. Математическая модель статических характеристик пьезокерамических преобразователей. Автоматика и телемеханика. 1992. С. 172-185.

31. Изерман Н. Цифровые системы управления. М.: Наука. 1991.

32. Цыпкин Я.З. Основы информационной теории идентификации. М:. Наука, 1984.

33. Демиденко Е.З. Линейная и нелинейная регрессия. М.: Финансы и статистика, 1981.

34. Себер Д. Линейный регрессионный анализ. М.: Мир. 1980.

35. Рао С. Линейные статистические методы и их применение. М.: Наука. 1968.

36. Алберт А. Регрессия, псевдоинверсия и рекуррентное оценивание. М.: Наука, 1977.

37. Бессонов А.А. Методы и средства идентификации динамических объектов. А. Энергоиздат. 1989.

38. А.И. Салфетников, В.В. Хабалов. Геометрический аспект взвешивания в методе наименьших квадратов. // Сборник научных статей «Современные технологии». Санкт-Петербург. 2003.

39. М. Campi. On the convergence of minimum-variance directional-forgetting adaptive control scheme. Automatica, Vol.28, No.l, pp.221-225,1992.

40. Bittanti S., Bolzern P., Campi M. Adaptive identification via prediction-error directional-forgetting factor: convergence analysis. Int. J. Control, 1989, Vol. 50, No. 6, 2407-2421.

41. M. Salgado, G. Goodwin, R. Middleton. Modified least squares algorithm incorporating exponential resetting and forgetting. Int. J. Control, 1988, Vol. 47, No. 2, 477-491.

42. Astrom K.J., Wittenmark B. Adaptive control (2nd ed.) MA.: Addition-Wesley.

43. Johstone R., Johsone J., Bitmead R., Anderson B. Exponential convergence of recursive least squares with exponential forgetting factor. Systems & Control Letters, 2, pp. 77-82,1982.

44. Салфетников А.И., Хабалов B.B. Алгоритм оценивания методом наименьших квадратов с декомпозицией информационной матрицы. // Сборник докладов Всероссийской научной конференции «Управление и информационные технологии». Санкт-Петербург, 2003.

45. Салфетников А.И., Хабалов В.В. Сходимость метода наименьших квадратов с декомпозицией информационной матрицы. Актуальные проблемы современной науки. №2 (17), 2004, С.204-207.

46. Пропой А.И. О построении функций Ляпунова I. Автоматика и телемеханика. №5, 2000. С. 32.

47. Пропой А.И. О построении функций Ляпунова И. Автоматика и телемеханика. №6, 2000. С. 61.

48. Развитие и применение метода функций Ляпунова. Ред. Матросов. М.: Машиностроение, 1987.

49. F. Schweppe. Recursive state estimation: unknown but bounded error and system inputs. IEEE Transactions on Automatic Control, Vol.AC-13, No.l, 1968, pp.22-28.

50. D. Bertsekas, I. Rhodes. Recursive state estimation for a set-membership description of uncertainty. IEEE Transactions on Automatic Control, Vol.AC-16, No.2,1971, pp.l 17-127.

51. E. Fogel. System identification via membership set constraints with energy constrained noise. IEEE Transactions on Automatic Control, Vol.AC-24, No.5,1979, pp.752-759.

52. A.K. Rao, Y. Huang, S. Dasgupta. ARMA parameter estimation using a novel recursive estimation algorithm with selective updating. IEEE Transactions on Acoustics, Speech and Signal Processing, Vol.38, No.3, 1990, pp.447-457.

53. Салфетников А.И., Хабалов В.В. Адаптивная настройка коэффициента взвешивания метода наименьших квадратов. Естественные и технические науки. №1 (10), 2004. С.98-101.

54. Никольский А.А. Точные двухканальные электроприводы с пьезокомпенсаторами. М.: Энергия, 1988.

55. Джагупов Р.Г., Ерофеев А.А. Пьезокерамические устройства автоматики. JL: Машиностроение, 1986.

56. Джакупов Р.Г., Ерофеев А.А. Пьезоэлектронные устройства вычислительной техники, систем контроля и управления. Справочник. Санкт-Петербург, 1994.

57. Ерофеев А.А. Пьезоэлектронные устройства автоматики. Л.:Машинострение, 1982.

58. Сыркин Л.Н. Пьезомагнитная керамика. 2-е изд. Л.: Энергия, 1980.

59. Харкевич А.А. Теория электроакустических преобразователей. Избранные труды. Т. 1, 1953.

60. Попов Е.П., Пальтов И.П. Приближенные методы исследования нелинейных автоматических систем. М.:Наука, 1960.

61. М.М. Kogan, J.I. Neimark. Locally optimal adaptive control without persistent excitation. Automatica, Vol.32, No.10, pp. 1463-1467,1996.

62. Буштрук А.Д., Буштрук Т.Н. Структурная идентификация нелинейных динамичеких объектов в режиме пассивного эксперимента. Автоматика и телемеханика, №8, 2001. С. 61-68.

63. S. Dasgupta, B.D. Anderson, R. Кауе. Persistence excitation conditions for partially known systems. Automatica, Vol.30, No.3, pp. 547-550,1994.

64. K. Tsakalis. Performance limitations of adaptive parameter estimation and system identification algorithms in the absence of excitation. Automatica, Vol.32, No.4, pp. 549-560, 1996.

65. B.D.O. Anderson. Adaptive systems, lack of persistency of excitation and bursting phenomena. Automatica, Vol.21, No.3, pp. 247-258,1985.

66. Салфетников А.И., Хабалов В.В. Особенности поведения информационной матрицы метода взвешенных наименьших квадратов в режиме нормального функционирования объекта оценивания. Естественные и технические науки №1(10), 2004. С. 102-104.

67. Салфетников А.И., Хабалов В.В. Идентификация линейных операций. Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного института точной механики и оптики №6, 2002. С.263-265.

68. Гаджиев Ч.М. Прогнозирование технического состояния динамических систем по обновляющей последовательности фильтра Калмана. Автоматика и телемеханика, №5, 1993. С. 163-168.

69. Гаджиев Ч.М. Проверка обобщенной дисперсии обновляющей последовательности фильтра Калмана в задачах динамического диагностирования. Автоматика и телемеханика, №8, 1994. С. 98-106.

70. Гаджиев Ч.М. Проверка ковариационной матрицы обновляющей последовательности при оперативном контроле фильтра Калмана. Автоматика и телемеханика, №7, 1996. С. 170-179.

71. Q. Xia, М. Rao, Y. Ying, X. Shen. Adaptive fading Kalman filter with an Application. Automatica, Vol.30, No.8, pp. 1333-1338,1994.

72. L. Ozbek, F. Aliev. Comments on "Adaptive fading Kalman filter with an Application". Automatica, Vol.34, No.12, pp. 1663-1664,1998.

73. Нефтеперерабатывающая промышленность. Ред. A.M. Сухотин, Ю.И.Арчаков. Л.: «Химия», 1990.

74. П.Д. Лебедев. Теплообменные, сушильные и холодильные установки. Л.: «Энергия», 1966.1. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 1

75. В соответствии с (П. 1.2) возьмем первую частную производную от (П.4) по 9:дО

76. Используя (П. 1.5) получим вторую частную производную:1. П. 1.5)1. M^ (Шб)

77. Другими словами, подставив (П. 1.3) в (П.1.2) и взяв частные производные по 9, для информационной матрицы Фишера получим 13.:1. J = EHtN-1H. (П. 1.7)

78. Так как информационная матрица шума неизвестна, удобно предположить, что и делается в методе наименьших квадратов, что шум белый. Тогда обратная информационная матрица помехи N'1 примет следующий вид:1. N'1 =-V, (ПЛ. 8)где а\ дисперсия помехи.

79. С учетом (П. 1.8) окончательно получим информационную матрицу J:

80. J = \ЕНтН. = -\[НТН]. (П.1.9)

81. Символ математического ожидания в (П.1.9) был опущен так как в соответствии с (П. 1.1) вектора регрессоров (р{к0 +i), составляющие матрицу Я, не содержат ошибок.

82. Но, как было указано выше матрица НТН является вырожденной тогда, с учетом (П. 1.9), очевидно, что и информационная матрица Фишера J является вырожденной. Рассмотрим неравенство Рао-Крамера 15.:v.*дв