Разработка алгоритмов и программного обеспечения для оптимального управления классом динамических нелинейных объектов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат технических наук Янда, Мирослав

• Янда, Мирослав
• кандидат технических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат технических наук Янда, Мирослав

Введение

Глава I. Обзор и анализ методов и алгоритмов построения оптимальных систем. Постановка задачи, .ю I.I.Задачи оптимального управления динамическими объектами; класс нелинейных управляемых объектов.Ю

1.2.Обзор и анализ работ в области оптимального управления.

1.3.Принцип Л.С.Понтрягина и особенность его применения к классу исследуемых объектов.

1.4.Постановка задачи и цели работы.

1.5.Вывод ы.

Глава 2. Итеративные численные алгоритмы на основе принципа Понтрягина.

2.1.Выбор критерия оптимальности.

2.2. Блок - схема и описание алгоритма оптимального быстродействия.

2.3.Анализ алгоритма.

2.4.Блок - схема и описание алгоритма оптимального управления по минимуму расхода энергии.

2.5. Выводы.

Глава 3. Разработка программного обеспечения, оценка вычислительных аспектов предлагаемого алгоритма с помощью машинного моделирования.

3.1.Системы, оптимальные по быстродействию. Базовая программа.

3.2.Системы, оптимальные по минимуму энергии. Базовые программы.

3.3.Машинное моделирование и сравнение оптимального управления нелинейными и линеаризованными моделями.

3.4. Выводы.

Глава 4. Решение прикладных задач.

4.1. Оптимальное управление движением автомобиля.

4.2.Оптимальное управление движением крана с грузом.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка алгоритмов и программного обеспечения для оптимального управления классом динамических нелинейных объектов»

Из программы научно-технического развития, утвержденной ХУ1 съездом КПЧ, вытекает, что одним из главных с направлений научно-технической политики является интенг сивное и эффективное использование всех источников энергии. Из этого вытекает необходимость повышения качества управления на всех уровнях внедрения новых достижений науки в производство, использования достижений технической кибернетики и робототехники.

Сложные задачи, поставлены, в частности, перед машиностроением, которое в Чехословакии является одной из ведущих отраслей народного хозяйства. При анализе проблемы развития любой отрасли современного народного хо -зяйства мы всегда должны базироваться на достижениях машиностроения, учитывать технический уровень и качество его изделий. Дальнейшее развитие машиностроения во многом зависит от темпов внедрение новых идей и разработок технической кибернетики, оптимальных и адаптивных систем, от широкого внедрения в практику матаматических методов решения инженерных задач и др.

В настоящее время большое внимание уделяется исследованию и созданию оптимальных систем управления динамическими объектами. В настоящей работе исследуется оптимальное управление кяасосм .динамических объектов, которые можно описать матеметической моделью в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Несмотря на физическую ясность методов синтеза оптимального управления, часто в практических задачах возникают определенные математические и вычислительные трудности. В связи с этим одним из актуальных направлений в развитии теории и практики оптимального управления является создание алгоритмических методов оптимизации систем управления, основанных на использовании средств вычислительной техники.

Диссертационная работа посвящена разработке и проверке численных итерационных алгоритмов решения задачи оптимального управления одного класса нелинейных динамических объектов, линейных относительно вектора управления. Предпологается, что управление ограничено по величине.

В работе рассмотрена задача синтеза систем, оптимальных по быстродействию и расходу энергии. Эти задачи являются очень важными, особенно при проектировании систем оптимального управления движущимися объектами, имеющими ограниченный запас энергии для осуществления управления. Эти две задачи очень тесно связаны между собой, но являются противоречивыми, а поэтому рассматривать их надо совместно. В работе исследуется класс нелинейных динамических объектов, которые можно описать системой обыкновенных дифференциальных уравнений, что характерно для описания большинства механических систем. Решение поставленных задач выполнялось на основе принципа Л.С. Понтрягина.

Тематика работы соответствует планам научно-исследовательских работ Научно-исследовательского автомобиль

- б ного института в Праге (ЧССР) и решалась в рамках государственного задания Р 19-124-257 "Исследование новых приводов".

В первой главе диссертации дается постановка задачи и краткий обзор известных методов и алгоритмов построения оптимальных систем.

В начале сформулированна общая задача оптимального управления динамическими нелинейными объектами.

Решения задач оптимизации нелинейных систем связаны с большими трудностями. Не все задачи оптимального управления могут быть решены на сегодняшний день применением существующих методов определения оптимумов. Известные методы требуют выполнения различных условий и обеспечивают оптимизацию управления лишь ограниченным классом объектов. Основными трудностями при решении статических нелинейных задач является многоэкстремальность функции цели. Методы применяемые для решения динамических задач оптимизации тоже требуют выполнение определенных условий, например дифференцируемоеть уравнений динамической системы, функционала и уравнений ограничений.

Процессы, протекающие в нелинейных системах, фактически отличеются от процессов, которые протекают в линейных или линеаризованных системах, и если в линейных системах различные значения начальных и граничных условий или внешнего воздействия не влияют на качественную сторону динамики системы, то в нелинейных системах это далеко не так.

При анализе многих практических задач управления классом нелинейных объектов, которые можно описать системой обыкновенных дифференциальных уравнений (которые описывают управление движением массы) оказалось, что управляющая величина (сила, момент) входит линейно. Сюда относится, например, большинство систем, динамику которых можно матеметически описать на основе уравнений Лагранжа. Приведены конкретные примеры таких систем.

В разделе 1.3. рассмотрены особенности и преимущества применения принципа Понтрягина для построения численных методов решения задачи оптимального управления. При использовании принципа Понтрягина для построения численных методов необходимо решать двухточечную краевую задачу для дифференциальных уравнений состояния объекта и сопряженной системы. Задачу можно рассматривать как задачу минимизации некоторой нормы расхождений между требуемыми и полученными в результате решения значениями переменных на противоположном конце траектории по п параметрам. Особенность ее в том, что зависимость минимизируемой функции от искомых параметров за -дана через решение системы уравнений Понтрягина.

Во второй главе дается описание разработанных ал -горитмов численного итеративного решения задачи оптимального управления и подробный анализ алгоритмов. Алгоритмы решают задачу оптимального управления методом варьирования оценки начальных условий сопряженной сис -темы уравнений. Универсальный характер разработаных алгоритмов позволяет решать широкий класс задач оптимального управления для различных типов критериев. В алгоритмах предложена стратегия улучшения оценки граничных условий краевой задачи путем минимизации нормы расхождений между требуемым и достигаемым на каждой итерации состояниями с помощью методов статической оптимизации и вычислением матрицы частных производных. Предложен модифицированный (по сравнению с широко применяемым квадратичным) вид критерия минимума расхода энергии.

В третьей главе разработано программное обеспечение и методика его адаптации для решения оптимального управления конкретными объектами. Предложены универсальные базовые программы, включающие 16 программ и подпрограмм (для трех видов критериев оптимального управления), из которых легко получить рабочие программы путем подстановки уравнений состояния и вспомогательных переменных конкретной системы. Описаны примеры создания конкретной программы (42 программы и подпрограммы). Особое внимание в главе уделено решению конкретных примеров, заданных в численном виде. Подобная иллюстрация является лучшим средством для демонстрации возможностей предлагаемого метода. Осуществлена оценка эффективности предлагаемых алгоритмов оптимального управления путем постановки машинных экспериментов и сравнения результатов управления нелинейными и соответствующими линеаризованными системами, которые свидетельствуют об эффективности предложенных алгоритмов для оптимального управления нелинейными объектами.

В четвертой главе диссертации указано решение прикладных задач, связанных с оптимизацией управления с реальными движущимися механическими объектами.

Разработанные в диссертации алгоритмы и методы прошли экспериментальную проверку и нашли практическое применение в решении прикладных задач по оптимизации управления в Научно-исследовательском автомобильном институте в Праге и на автомобильных заводах в Чехословакии.

I . ОБЗОР И АНАЛИЗ МЕТОДОВ И АЛГОРИТМОВ ПОСТРОЕНИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ СИСТЕМ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

I.I. Задачи оптимального -управления динамическими объектами, класс управляемых объектов

Проблемы, связанные с оптимальными решениями, хорошо известны. Нахождение лучших вариантов при определенных возможностях выбора всегда представляло интерес, и с этими задачами постоянно приходится сталкиваться. Начиная с классических работ Бернулли, Эйлера, Лагранжа, Гамильтона, Больца и др., положивших основу вариационному исчислению, проблеме оптимальных решений было посвящено много работ, существенно расширивших класс решаемых задач.

Для интенсивного и элективного использования всех источников энергии требуется повысить качество управления. В настоящее время большое внимание уделяется исследованию и созданию оптимальных систем управления динамическими объектами.

В практических задачах часто возникают определенные математические и вычислительные трудности, обыкновенно не существует аналитического решения задач оптимального управления. В связи с этим одним из актуальных направлений является создание численных итерационных методов оптимизации систем управления.

Сформулируем общую задачу оптимального управления

25,27,32,39] :

Пусть динамический объект описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений состояния в векторной форме: xttb/M.uw] , АЛ/ где Х(0 — П -мерный вектор состояния ?

U(t) — Г-мерный вектор управления ^ нелинейная (в общем случае) вектор-функция . I

Исходя из физических соображений, ограничим класс управляющих воздействий Ц({) кусочно-непрерывными управлениями с ограниченными компонентами. Предполагается, что u4)&и ; il-ju: |u;(t)| ^uimx 1-<г,.г где область допустимого управления U представляет собой замкнутое и ограниченное (компактное) подпростг ранство г -мерного евклидова пространства К , не зависящее от t . Полагаем также, что функция J [хВД] непрерывна и имеет непрерывные частные производные по переменным XL .

Основная задача оптимального управления формулируется следующим образом : в начальный момент {„ = Q система находится в состоянии х(и=х(0) , Xeff 5 /1.2/ с помощью допустимого управления Uffl система должна быть переведена в заданное состояние x(tk)= xfTj , XcRn, А-3/ в конечный момент времени ik « "J* , где время У может быть как закреплено, так и свободно. Допустимое управление U(t) называется оптимальным, если функционал

X(i),U(t). dt , /1.4/ представляющий характеристику управления, достигает минимума.

Предполагается, что подинтегральное выражение f0 ) U (f)] удовлетворяет условиям гладкости, принятым выше для вектор-функции J [ X Ш]. Важным классом задач теории оптимального управления являются задачи на быстродействие. В этом случае /1.4/ имеют вид \ и I "" Т. Управление оптимально, если оно обеспечивает минимальное конечное время Т. Траектория X (t )= Х*Ю , порождаемая оптимальным управлением Ц Ш в Ц (t) , называется оптимальной траекторией. Эта траектория является решением векторного дифференциального уравнения /1.1/, в правой части которого стоит оптимальное управление Ll*(t).

Управление tAfi и траектория Х*М » удовлетворяющие необходимым условиям оптимальности, называется соответственно экстремальным управлением и экстремальной траекторией. Любое оптимальное управление является также экстремальным, так как оно удовлетворяет необходимому условию. Обратное утверждение в общем случае неверно: чтобы экстремальное управление было в то же время и оптимальным, оно должно также удовлетворять достаточным условиям.

Задачу оптимального управления иногда удобно сформулировать также в несколько ином виде. Добавим еще одну переменную состояния, определяемую с помощью интеграла: 1

1.5/ где j0 - функция из выражения /1.4/ и О — К — i ^Т-При этом x.(i) = J x(t), a(t)Jd.t . x,(0)= 0 хЯ)= I

1.6/

Дифференцируя выражение /1.5/, получим

X(i) u(ti

Введем теперь (п + 1)-мерные векторы: х=[х0; х ]

И/-, п

1.7/

1.8/

Как следует из выражений /1.1/ и /1.7/, векторное уравнение состояния можно записать в виде

Х= f (x,u) .

1.9/

Управление является оптимальным, если составляющая Х0 принимает в момент времени tk = Т* наименьшее возможное значение;

Х.(Т)— win

Сформулированная задача представляет собой задачу Май-ера на условный экстремум. Однако в силу ограничений, накладываемых на допустимое управление, методами классического вариационного исчисления эта задача не решается.

Нелинейные системы очень многообразны. Решения задач оптимизации нелинейных систем связаны с большими трудностями.

Одна из основных трудностей при решении практических задач заключается в построении математической модели задачи - построение математического выражения оптимизируемой функции и функционала, а также системы ограничений.

Далее предстоит решение самой задачи оптимизации управления нелинейными объектами, но не все задачи могут быть решены на сегодняшний день применением существующих методов определения оптимумов. Известные методы требуют выполнения различных условий, и обеспечивают оптимальное управление лишь ограниченным классам объектов. Основными трудностями при решении статических нелинейных задач является многоэкстремальность функции цели, а также необходимость выполнения условия дифферен-цируемости этой функции в любой точке и особенно в точке искомого экстремума. Методы,применяемые для решения динамических задач оптимизации,тоже требуют выполнения вполне определенных условий,без которых они не могут быть использованы. К указанным условиям относится диф-ференцируемость уравнений динамической системы, функционала и уравнений ограничений. К сожалению эти условия не всегда выполняются. Кроме того, некоторые применяемые условя определения экстремумов и экстремалей, по сути дела, являются только необходимыми условиями. Это говорит о том, что мы определяем на сам экстремум, а точку, которая подозреваема на экстремум, что наряду с другими факторами чрезвычайно затрудняет проблему решения динамической задачи оптимизации.

Особого внимания заслуживают те методы, которые являются более универсальными (свободными от многих ограничений и однозначными) и дают возможность решать более широкий класс нелинейных объектов и для различных типов критериев оптимального управления.

Как известно, всякая реальная динамическая система по существу является нелинейной, особенно когда процесс рассматривается на достаточно большом интервале изменения функции. Процессы, протекающие в нелинейных системах, фактически отличаются от процессов, которые протекают в линейных или линеаризованных системах, и если в линейных системах различные значения начальных и граничных условий или внешнего воздействия не влияют на качественную сторону динамики системы, то в нелинейных системах это далеко не так. Нелинейная система устойчива при одних начальных значениях, может указаться неустойчивой при других начальных значениях.

Как известно, существует обширный класс нелинейных динамических систем, которые не могут быть линеаризованы. Такие системы иногда называются существенно нелинейными.

Протекающие в системе процессы могут быть исследованы с помощью математической модели, составленной для данной системы. Динамические процессы в системе чаще всего описываются дифференциальными или интегро-диффе-ренциальными уравнениями. Указанные уравнения составляются на основе применения известных законов механики или других отраслей науки.

В данной работе исследован обширный класс нелинейных динамических объектов, которые можно описать системой обыкновенных дифференциальных уравнений, отражающих управление движением массы (ярким примером этого класса являются механические системы).

При анализе многих практических задач этого типа оказалось, что управляющая величина входит в /1.1/ (сила, момент) линейно: х(0- f[x({)] +B(x).U(f) , А.Ю/ где - матрица функций размерности п * г

Сюда относится большинство систем, которые можно математически описать на основе уравнений Лагранжа, описывающих динамику системы через обобщенные координаты и обобщенную силу: dt Ч

L(i.i) г Н "h где р* - вектор обобщенной силы (управляющая величина), % - вектор обобщенных координат, L - функция Лагранжа. Конкретные примеры таких систем: - Задача о вертикальном подъеме ракеты. Движение управляемой системы описывается уравнениями:

--Ц , где Xi(ti - переменная масса,

Xgffy - вертикальная координата (высота), вертикальная скорость, V - постоянная, характеризующая величину реактивной тяги, - заданные постоянные, связанные с силой тяготения, аэродинамическим сопротивлением и убыванием плотности воздуха с высотой. -Движение автомобиля (поезда) гл.4.

- Задача о стабилизации спутника Ы.

Движение управляемой системы описывается уравнениями:

Xj= A^X^Xj-b <Zj и4 1 Xg= А^х^х^ч- Ug j

Уравнения описывают вращение твердого тела (спутника), снабженного тремя реактивными двигателями. ( U,, , Uз - реактивная тяга двигателей)

- Движение механизма вращения (нелинейная кориолисова сила), глава 4.

- Задача оптимизации угла наклона лыжника - прыгуна на лыжах

Г?].

Движение лыжника описывается уравнениями: х = v cos у } у = v sin f i v =-д sin f - -j v* kv Я* ) ZS7? Vkf* ; где cC - Угол наклона (управляющая величина), f - угол полета, V - скорость полета, У - вертикальная координата, х - горизонтальная координата, т - масса лыжника; и другие примеры [33,8,2].

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Янда, Мирослав

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

Основные теоретические и прикладные результаты диссертации сводятся к следующему:

1. Рассмотрены характеристики и особенности оптимального управления классом нелинейных динамических объектов, в дифференциальное уравнение которых управляющая величина входит линейно.

2. Поскольку в общем случае для нелинейных динамических объектов невозможно получить аналитическое решение для оптимального управления, в работе обосновывается необходимость применения итеративных алгоритмов нахождения оптимального управления для данного класса объектов.

3. Для рассмотренного в диссертации класса нелинейных динамических объектов разработаны итеративные алгоритмы решения задачи оптимального управления на основе принципа Понтрягина Л.С. Алгоритмы решают задачу оптимального управления методом варьирования оценки начальных условий сопряженной системы дифференциальных уравнений. Универсальный характер разработанных алгоритмов позволяет решать широкий класс задач оптимального управления для различных типов критериев.

4. В алгоритмах предложена стратегия улучшения оценки граничных условий краевой задачи путем минимизации нормы расхождений между требуемым и достигаемым на каждой итерации состояниями с помощью методов статической оптимизации и вычислением матрицы частных производных (матрицы чувствительности объекта к изменению граничных условий).

5. Доказана единственность предлагаемого решения задачи оптимального управления рассмотренным классом нелинейных динамических объектов.

6. Предложен модифицированный, по сравнению с широко применяемым квадратичным критерием, вид критерия минимума расхода энергии.

7. Разработано программное обеспечение (универсальные базовые программы) и методика его адаптации для решения задач оптимального управления конкретными объектами.

8. Проведена оценка эффективности предлагаемых алгоритмов оптимального управления путем постановки машинных экспериментов и сравнения результатов управления нелинейными и линеаризованными системами.

9. Разработанное алгоритмическое и программное обеспечение нашло практическое применение при решении прикладных задач, связанных с оптимизацией управления движением механических объектов в Научно-исследовательском автомобильном институте в Праге и на ряде автомобильных заводов Чехословацкой Социалистической Республики .

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Янда, Мирослав, 1984 год

1. Aoki,M.: 1.troduction to optimization techniques

2. Mac Millan , New York 1975

3. Введение в методы оптимизации Наука, Москва 1977

4. Athens,R. Falb,Р.: Optimal control

5. Мс Graw Hill , New York 1965

6. Оптимальное управление Машиностроение, Москва 1968

7. Гз. Bellman,R.: Dynamic programming

8. Princeton University Press , Princeton 1957 Динамическое программирование II Л. Москва I960

9. Болтянский В.Г. : Математические методы оптимальногоуправления Наука, Москва 1966, 1969

10. Bellman,R.: Dynamic Programming ang Lagrange Multipliers

11. Pro. Nat. Acad. Sci., 1956 б. Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Понтрягин Л.С.

12. Теория оптимальных процессов

13. И3д. АН СССР сер. мат., I960, 4, N2 I

14. Brunovskj?,P.: Matematickd teorie optimdlneho riadenia nakl. Alfa , Bratislava 1980

15. Математическая теория оптимального управления

16. M Bryson,A.E.-Ho,Y.C.: Applied optimal control Ginn &Co , Walsham 1969

17. Прикладная теория оптимального управления Мир, Москва 1972

18. Ylach,M.: Optimdlni rizeni regulovateln^ch systdmia SNTL , Praha 1975

19. Оптимальное управление регулирующих системю. Доценко В.И. * ^артишвили Г.С.

20. Система управления с использованием модели, работающей в ускоренном масштабе времени Москва 1969 Труды МЭИ11. Иванов В.А., Фалдин Н.В.

21. Теория оптимальных систем автоматическогоуправления1. Москва, Наука 1981

22. Иоффе А.Д. Тихомиров В.М. :

23. Теория экстремальных задач Наука, Москва 1974

24. Kalman R.E.: On the General Theory of Control Systems1. Конф. ИФАК, стр. 481 493м. Колмогоров А.Н. Фомин С.В. :

25. Элементы теории функций и функционального анализа1. Наука, Москва 19721.5".

26. J Kotek Z.-Razim M. : Teorie nelinedrnich, optimdlnlcha adapt, fid. syst. fiVUT , Praha 1980

27. Теория нелинейных, оптимальных и адаптивных управляемых системid. Красовский Н.Н. : К проблеме существования оптимальных траекторий

28. Из высш. учебн. зав., математика 1959 Е'6l7. Kublk S.-Kotek Z.-Нгиёёк J.: Optimdlnl systёmy aut. Wachtl J. rlzenl

29. Chalupa V. SNTL , Praha 1972

30. Оптимальные системы автоматического управленияis. Kublk S.-Kotek Z.-Strejc.V.: Teorie automatick£ho SNTL , Praha 1982 Mzeni a 11 • Теория автоматического управлениян Lee E.B.-Markus L.: Foundations of optimal controltheory1. Wiley , New York 1967

31. Основы теории оптимального управления1. Наука, Москва 1972

32. ЕО^Моисеев Н.Н. : Численные методы в теории оптимальных систем Наука, Москва 1971 gljNeustadt L.W.: Synthesizing Time Optimal Control System J.Math.Anal, and Appl. 1 , I960

33. И Крылов.И.А. Черноусько Ф.А. :

34. Алгоритмы метода последовательных приближений для оптимального управления , Мат. и фиэ. 12, Москва 1972Ы

35. Polak Е»: Computational methods in optimization

36. Academic Press , New York 1971 Численные методы оптимизации1. Москва Мир

37. Понтрягин Л.С. Болтянский В.Г. Гамкрелидзе Р.В. - Мищенко Е.Ф. :

38. Математическая теория оптимальных процессов Физматгиз, Москва 19612в. Попов Е.П. : Теория нелинейных систем автоматического регулирования и управления Наука 79

39. N Scott H.M.: Invariant imbedding and its applicationto ordinary differential equations Addison-Wesler , Reuding 197330.sage A.P.-White Gh.C.: Optimum systems control1977

40. Оптимальное управление системы Москва 1982

41. Tabak D.-Kuo В.: Optimal control by mathematicalprogramming1. Prentice-Hall , 1971

42. Оптимальное управление и математическоепрограммирование1. Наука, Москва 1975ы1.H Фелдбаум А.А.:

43. Основы теории оптимальных автоматическихсистем1. Физматгиэ 63, 6633. Федоренко Р.П.

44. Приближенное решение задач оптимального управления Наука, Москва 1978

45. Caratheodory С.: Variationsrechnung und partielledifferentialgleichnungen GmbH Leipnig 193535J Cesari L.: Existence theorems for weak and usualoptimal solutions in Lagrange problems

46. Trans. Am. Math. Soc.,124 , 1966

47. H Csaki F.: Nonlinear, optimal and adaptive systems Akademiai Kiado , Budapest 1972

48. Современная теория управления Мир, Москва 1975

49. Янда М.: Об одном численном методе решения задач оптимального управления Москва 1984,' Труды МЭИм John J•: Program AD1

50. UVMV Praha 1977 f39. Elsgolc L.E.:

51. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление Наука, Москва 1965

52. Janda М.: 6asov6 optim61nl rlzenl procesu 2.r£duve dvou parametrech

53. Dipl. prdce Praha 6VUT , 1976

54. Himmelblau D.M.: Applied Nonlinear Programming

55. Mc Graw-Hill , New York 1972

56. Jacoby S.L.: Iterative Methods for Nonlinear Optimization Problems Prentice-Hall , 197243J Васильев, Ф.П. : Лекции по методам решения экстремальных з адач Изд. МГУ, Москва 197444J Johnson С.: Singular Solutions in Problems of Optimal1. Control

57. Academies Press Inc., New York 197245. Габасов Р, Кириллова Ф. :

58. Особые оптимальные управления Наука, Москва 1973

59. Круг Г.К. : Проблемы планирования эксперимента

60. Раздел 4, стр. 263-273 Наука, москва 1969 Чхартишвили Г.С., Доценко :

61. Определение оптимальных процессов с применением метода матем. план, экспер.

62. Bennet V/.R.: A General Rewiew of Linear Varying

63. Parameter and Nonlinear Circuit Analysis Proc. IRE 1950

64. J4£ij Зубов, В.И. : Лекции по теории управления1. Наука, Москва 1975

65. Хлыпало Е.И. : Нелинейные системы автоматическогорегулированияиздательство "Энергия" М. 1967

66. Курант Р. : Дифференциальные уравненияиздательство "Мир" 1968

67. Арнольд, В.И. : Обыкновенные дифференциальныеуравнения Наука, Москва 1971

68. Понтрягин, Л.С. : Обыкновенные дифференциальныеуравнения Москва 196Iбз. Васильев, Ф.П. : Лекции по методам решения экстремальных задач Изд. МГУ, Москва 1974

69. Жил^ Ж. Пеле грен М. - Декольне П. :

70. Теория и техника следящих систем Машгиз, Москва 196155. Телер Дж. Пестель, М

71. Анализ и расчет нелинейных систем автоматического управления Энергия, Москва 1964бб. Оппельт, В. : Основы техники автоматического регулирования1. Энергоиздат, Москва I960

72. Пугачев, B.C. : Основы автоматического управления1. Наука, Москва 1968бв. Казаков, И.Е. :

73. Проблемы теории статистической линеаризации и ее применений Труды I конгресса ИФАК, Москва I960

74. Казаков, И.Е. * Доступов, Б.Г. :

75. Статистическая динамика нелинейных автоматических систем Физматгиз, Москва 1962

76. Болтянский, В.П. Гамкрелидзе, Р.В. - ^онтрягин,JI.G.: К теории оптимальных процессов ДАН СССР, сер. мат., Москва 19586l. Eaton J.H.: An Iterative Solution to Time Optimal1. Control1. J.Math.Anal.&Appl. , 1962