Разработка алгоритмов численного статистического моделирования специальных негауссовских случайных процессов и полей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, кандидат наук Сересева Ольга Владимировна

• Сересева Ольга Владимировна
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Сересева Ольга Владимировна

Введение

Глава 1. Нестационарные кусочно-линейные процессы на пуассоновских потоках

1.1 Алгоритм численного моделирования кусочно-линейного процесса на пуассоновских потоках и некоторые свойства характеристик пуассоновского потока точек, его определяющих

1.2 Математическое ожидание и дисперсия кусочно-линейного процесса с

аддитивным случайным процессом в опорных точках

Глава

Асимптотически стационарные кусочно-линейные процессы на пуассоновских

точечных потоках

2.1 Кусочно-линейный процесс с независимыми одинаково распределенными

величинами в пуассоновских опорных точках

2.2. Численное исследование корреляционной структуры процесса с независимыми одинаково распределенными величинами в пуассоновских

опорных точках

Глава 3. Алгоритмы моделирования некоторых специальных типов негауссовских случайных полей

3.1 Алгоритм для приближенного численного моделирования условно распределенных негауссовских полей

3.2 Приближенный алгоритм численного моделирования условно распределенных индикаторных полей с использованием порогового преобразования гауссовских полей

3.3 Приближенный алгоритм численного моделирования условно распределенных полей суточных сумм жидких осадков

3.4 Алгоритм для оценки степени неоднородности пространственных метеорологических полей

Глава 4. Численное статистическое моделирование полей суточных сумм жидких осадков и оценка статистических характеристик аномальных режимов выпадения осадков

4.1 Численное статистическое моделирование пространственных полей сумм жидких осадков

4.2 Верификация мультипликативной модели

4.3 Численное статистическое моделирование пространственно--временных полей суточных сумм жидких осадков

4.4 Приближенное численное моделирование пространственно-временных случайных полей суточных сумм жидких осадков

4.5 Численная оценка степени неоднородности пространственных полей суточных сумм жидких осадков

4.6 Приближенное численное моделирование неоднородных индикаторных полей

осадков

Заключение

Список литературы

93

4

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка алгоритмов численного статистического моделирования специальных негауссовских случайных процессов и полей»

Введение

Методы и алгоритмы статистического моделирования случайных процессов и полей позволяют решать большое число задач, связанных с моделированием реальных процессов и явлений [16, 20, 62, 73]. Среди них важное место занимают задачи, в которых случайные процессы или поля являются параметрами некого природного или техногенного процесса. Например, в задачах агрометеорологии [12], гидрологии [45, 58], в задачах, связанных с лесными пожарами [17], выхолаживанием жилых и производственных помещений (теплосбережением при эксплуатации отопительной системы) в зависимости от внешних метеорологических условий [5] и др. влияющими параметрами являются метеорологические случайные процессы или поля. В нефтяной промышленности на шельфах важно учитывать влияние аномального волнения и ветра на нефтедобывающие конструкции [70]. Большое значение имеют задачи, которые используют как динамические, так и стохастические свойства реальных процессов [51, 52, 53, 64]. Модели случайных полей используются также для учета влияния неопределенности в начальных данных, обусловленной ограниченностью сети наблюдений, на точность гидрометеорологического прогноза [29, 30] и др. Стохастические модели реальных процессов имеют также и самостоятельное значение, например, при описании и исследовании метеорологических и океанологических процессов и расчете характеристик аномальных явлений [8, 14, 21, 22, 24, 32, 36, 42, 43, 70].

Необходимый для решения этих задач аппарат моделирования случайных процессов и полей включает методы моделирования гауссовских и негауссовских стационарных процессов и однородных полей дискретного и непрерывного аргумента. К ним относится набор общих и специальных, точных и приближенных алгоритмов моделирования гауссовских процессов и полей, основанных на использовании линейных преобразований независимых гауссовских величин [3, 4, 10, 11, 18, 23, 31, 33, 40, 54, 71], на спектральном

представлении случайных процессов и полей [27, 28, 41, 57] и др. Для моделирования негауссовских процессов и полей в ряде случаев может быть использован метод условных распределений [28, 50], а также методы, основанные на использовании различных типов нелинейных преобразований гауссовских процессов и полей [2, 38, 62, 66]. При решении различных задач с использованием метода статистического моделирования также широко используется метод обратных функций распределения [39, 40], который позволяет при моделировании точно учитывать заданные одномерные распределения, а также учитывать точно или с достаточной степенью приближения корреляционную структуру моделируемых полей [25, 63]. Большой интерес для приложений представляют методы моделирования кусочно-постоянных процессов и полей с произвольным одномерным распределением, основанные на использовании различных классов точечных потоков. Например, корреляционные функции процессов и полей на потоках Пальма описывается классом произвольных выпуклых вниз корреляционных функций [26, 27, 55]. Модели кусочно-постоянных процессов на регулярных потоках позволяют объединять методы моделирования процессов и полей дискретного и непрерывного аргумента [15]. Специфика реальных полей требует соответствующих алгоритмов, позволяющих воспроизводить в моделях различные характерные особенности статистической структуры реальных процессов. Например, в задачах метеорологии наряду с выпуклыми корреляционными функциями широко используются корреляционные функции, имеющие точку перегиба, т.е. не относящихся относящиеся к классу выпуклых корреляционных функций. В связи с этим в диссертации, в частности, рассматриваются класс асимптотически стационарных кусочно-линейных процессов на точечных потоках с корреляционными функциями с точкой перегиба.

Важное место среди алгоритмов моделирования гауссовских и негауссовских процессов и полей занимают алгоритмы моделирования условных процессов и полей. Использование этих алгоритмов, в частности, позволяет при моделировании аномальных явлений учитывать реальные метеорологические или

океанологические ситуации, на фоне которых происходит соответствующее явление. Методам моделирования условных гауссовских полей посвящены работы [30, 60, 61, 63]. В данной диссертационной работе предложены и исследуется некоторые приближенные алгоритмы моделирования условных негауссовских полей. Эти алгоритмы используются при моделировании пространственных и пространственно-временных полей суточных сумм жидких осадков и исследовании характеристик аномальных осадков.

Актуальность. В последние годы привлекает большое внимание проблема исследования стихийных природных явлений с тяжелыми последствиями для населения и большими ущербами для экономики. Создание методов и алгоритмов численного статистического моделирования случайных атмосферных, океанологических и физических явлений, позволяющих методами прямого численного моделирования оценивать вероятности возникновения аномальных ситуаций, является актуальной тематикой исследований, которая отвечает приоритетным направлениям науки и техники Российской Федерации.

При существующем большом разнообразии практических приложений методов статистического моделирования, постоянно увеличиваются требования к качеству и сложности моделей, более точно описывающих различные природные среды и позволяющих на более высоком уровне решать широкий класс задач в различных областях науки. Поэтому существует потребность в разработке новых подходов к моделированию случайных процессов и полей, отвечающая реалиям сегодняшнего дня. Тема диссертационной работы, связанная с разработкой новых алгоритмов моделирования случайных процессов и полей, учитывающих специфику реальных процессов, и применением этих алгоритмов для построения численных статистических моделей реальных гидрометеорологических процессов и полей является актуальной.

Цель исследования. Основной целью диссертационной работы является разработка алгоритмов численного моделирования нестационарных и асимптотически стационарных негауссовских кусочно-линейных случайных процессов на пуассоновских потоках, исследование вероятностных свойств этих

процессов, построение алгоритмов численного моделирования негауссовских условно распределенных случайных полей, разработка алгоритмов численного стохастического моделирования однородных и неоднородных полей осадков, построение на основе реальных данных с использованием этих алгоритмов численных стохастических параметрических моделей полей осадков, верификация моделей, оценка по модельным данным характеристик аномальных осадков. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи.

Задачи исследования: 1. Разработка алгоритмов моделирования нестационарных и асимптотически стационарных кусочно-линейных негауссовских случайных процессов на пуассоновских потоках, теоретическое и численное исследование вероятностных свойств этих процессов.

2. Разработка алгоритмов численного моделирования негауссовских условно распределенных случайных полей. Разработка алгоритма для оценки степени неоднородности реальных полей.

3. Разработка алгоритмов приближенного моделирования однородных и неоднородных полей осадков. Построение численных параметрических стохастических моделей однородных пространственных и пространственно -временных полей суточных сумм жидких осадков.

4. Разработка алгоритмов верификации моделей и их применение для оценки качества моделей однородных и неоднородных полей осадков.

5. Проведение численных экспериментов по моделированию и верификации полей осадков, а также по оценке характеристик аномальных осадков по модельным реализациям.

Научная новизна. Впервые предложены алгоритмы моделирования и изучены свойства кусочно-линейных случайных процессов на пуассоновских потоках со значениями в пуассоновских опорных точках в виде накапливающейся суммы независимых одинаково распределенных случайных величин. Получены точные выражения для функции распределения случайных переменных,

образующих этот процесс, их начальных моментов произвольного порядка и дисперсии как функций от времени. Для кусочно-линейного процесса этого типа получены точные выражения для математического ожидания и дисперсии как функций от времени. Показано, что математическое ожидание и дисперсия являются асимптотически линейными функциями.

Впервые теоретически изучены свойства кусочно-линейных случайных процессов на пуассоновских потоках с независимыми одинаково распределенными величинами в пуассоновских опорных точках. Получены точные выражения для математического ожидания, дисперсии, а также коэффициентов асимметрии и эксцесса этого процесса. Численно исследована корреляционная структура процесса, показано, что в отличие от выпуклых корреляционных функций кусочно-постоянных процессов на точечных потоках, корреляционная функция рассматриваемого процесса имеет точку перегиба.

Построены новые алгоритмы численного стохастического моделирования негауссовских условно распределенных полей на регулярных сетках; новые алгоритмы численного стохастического моделирования пространственных и пространственно-временных полей суточных сумм жидких осадков, а также алгоритмы верификации модели.

Разработан новый алгоритм для оценки степени неоднородности реальных полей.

Научная и практическая значимость.

В диссертации предложена модификация известного метода [26,27] моделирования случайных кусочно-постоянных процессов и полей на точечных потоках с произвольным одномерным распределением и выпуклой вниз корреляционной функцией. Представленная автором в работе модификация основана на кусочно-линейном представлении случайного процесса на точечных потоках, что позволяет моделировать процессы с корреляционными функциями, имеющими точку перегиба. Это существенно расширяет область приложений для алгоритмов моделирования случайных процессов с использованием точечных потоков. Предложена также модификация алгоритмов моделирования процессов

на точечных потоках, позволяющая моделировать нестационарные процессы, реализации которого представляют собой кусочно-линейные функции.

Разработанные в диссертации алгоритмы моделирования условных негауссовских полей могут быть использованы при построении параметрических стохастических моделей реальных процессов и полей, в частности в метеорологии и океанологии при усвоении реальных данных, в задачах гидрологии при совместном моделировании стока рек и пространственно-временных полей сумм осадков. Построенная численная стохастическая параметрическая модель пространственных и пространственно-временных полей суточных сумм жидких осадков имеет самостоятельное значение для оценки характеристик аномальных осадков.

Таким образом, задачи, рассматриваемые в данной диссертационной работе, являются актуальными и имеют научную и практическую значимость. Методы исследования.

В настоящей диссертационной работе для решения поставленных задач использовались методы теории вероятностей, математической статистики, математического анализа, а также методы численного моделирования случайных процессов и полей:

- методы моделирования гауссовских процессов и полей;

- методы моделирования негауссовских полей с использованием нелинейных преобразований гауссовских полей, в том числе на основе различных модификаций метода обратных функций распределения;

- методы стохастической интерполяции случайных процессов и полей дискретного аргумента;

- методы моделирования бинарных полей на основе специальных преобразований гауссовских полей.

Положения, выносимые на защиту:

1. Алгоритмы численного моделирования нестационарных и асимптотически стационарных негауссовских кусочно-линейных процессов непрерывного аргумента на пуассоновских потоках и их свойства.

2. Алгоритмы численного моделирования негауссовских условных полей на регулярных сетках.

3. Алгоритм оценки степени неоднородности пространственных полей, представленных данными метеорологических наблюдений на нерегулярной сети станций.

4. Численные стохастические параметрические модели пространственных и пространственно-временных однородных и неоднородных полей суточных сумм жидких осадков. Результаты оценки характеристик аномальных осадков.

Личный вклад. Все основные результаты, изложенные в настоящей диссертации, получены автором лично. В совместных работах научному руководителю д.ф.-м.н. Огородникову В.А. принадлежит первоначальная постановка задач и определение направлений исследований. Часть теоретических результатов, касающихся, распределения величины, образующей нестационарный процесс, получены при личном участии автора совместно с профессором Л.Я. Савельевым. Помимо получения теоретических результатов, автор самостоятельно выполнил все численные эксперименты и разработал комплекс соответствующих вычислительных программ.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения, списка использованной литературы. Объем диссертационной работы - 100 страниц, в том числе 24 рисунка, 6 таблиц. В списке литературы содержится 73 наименования на русском и английском языках. Краткое содержание работы.

В первой главе диссертационной работы приведены результаты исследования нестационарного кусочно-линейного процесса на пуассоновских потоках, значения которого в опорных точках являются суммой независимых одинаково распределенных величин (с последовательно увеличивающимся числом слагаемых) с произвольным одномерным распределением. Рассмотрены некоторые вероятностные свойства характеристик пуассоновского потока точек, определяющих этот кусочно-линейный процесс. Получены точные выражения для

функции распределения случайных переменных, образующих этот процесс, их начальных моментов порядка к, к = 1,2,... и дисперсии как функций от времени. Для кусочно-линейного процесса получены точные выражения для математического ожидания и дисперсии как функций от времени. Исследованы асимптотические свойства этих функций.

Во второй главе рассматривается кусочно-линейный процесс с независимыми негауссовскими случайными величинами в пуассоновских опорных точках. Для процесса данного типа получены точные выражения для математического ожидания, дисперсии, коэффициентов асимметрии и эксцесса как функций от времени. Показано, что по этим характеристикам процесс является асимптотически стационарным. Численно исследована корреляционная функция процесса. Показано, что в отличие от выпуклых корреляционных функций кусочно-постоянных процессов на точечных потоках, корреляционная функция рассматриваемого процесса имеет точку перегиба.

В третьей главе сформулированы алгоритмы моделирования некоторых специальных типов негауссовских случайных полей. Рассмотрен алгоритм для приближенного численного моделирования условно распределенных негауссовских полей при фиксированных значениях в заданных точках, основанный на использовании метода обратных функций распределения и метода нормализации фиксированных значений. Приведены алгоритм для приближенного численного моделирования условно распределенных индикаторных полей с использованием порогового преобразования гауссовских полей и алгоритм для приближенного численного моделирования условно распределенных суточных сумм жидких осадков. Сформулирован алгоритм для оценки степени неоднородности пространственных метеорологических полей.

В четвертой главе рассматриваются численные стохастические параметрические мультипликативные модели пространственных и пространственно-временных однородных полей суточных сумм жидких осадков на регулярной сетке. Приведены результаты верификации моделей. Рассмотрена также модель пространственно-временных полей суточных сумм жидких осадков,

в которой отсутствие осадков отождествляется с их нулевым количеством. Приведены результаты сравнения этой модели с мультипликативной моделью. Алгоритм для оценки степени неоднородности пространственных метеорологических полей использован для оценки степени неоднородности пространственных поле индикаторов суточных сумм жидких осадков. Показано, что поле индикаторов, представленное данными реальных наблюдений является неоднородным по корреляциям. В связи с этим рассмотрена модель неоднородного пространственного поля индикаторов осадков, основанная на специальной стохастической интерполяции значений индикаторов со станций в узлы регулярной сетки.

Заключение содержит перечень основных результатов диссертационной работы.

Достоверность полученных результатов. В диссертационной работе использованы научные методы обоснования полученных результатов и выводов. Проведены теоретические исследования и соответствующие численные эксперименты. Полученные алгоритмы протестированы методами статистического моделирования. Проведена верификация построенных моделей. Апробация работы.

Основные результаты настоящей диссертационной работы были представлены на конференциях и семинарах различных уровней: на Eight International Workshop on Simulation (Австрия, г. Вена, 21-25 сентября, 2015 г.), Международной научной конференции «Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики», посвященной 90-летию со дня рождения академика Г.И. Марчука (г. Новосибирск, Академгородок, 19-23 октября 2015 г.), The Third International Workshop AMSA «Applied Methods of Statistical Analysis, Nonparametric Approach» (г. Новосибирск, Белокуриха 14-19 сентября 2015 г.), XI Международной выставке и научном конгрессе «Итерэкспо ГЕО-Сибирь» (Россия, г. Новосибирск, 14-15 апреля 2015 г.), Международной научной конференции «Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики», (г. Новосибирск, Академгородок, 8-11 июня 2014 г.), X

Международном научном форум «ИНТЕРЭКСПО ГЕО-СИБИРЬ - 2014» (Россия, г. Новосибирск, 16-18 апреля 2014 г.), Конференции молодых ученых ИВМиМГ СО РАН (Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, Россия, г. Новосибирск, 7-9 апреля 2014 г.), XIX, XX, XXI и XXII Рабочих группах «Аэрозоли Сибири», (Россия, г. Томск, 2012, 2013, 2014, 2015 гг.), Международной научной конференции «Методы создания, исследования и идентификации математических моделей», (г. Новосибирск, Академгородок, 1013 октября 2013 г.), The International Workshop AMSA «Applied Methods of Statistical Analysis. Applications in Survival Analysis, Reliability and Quality Control» (г. Новосибирск, 25-27 сентября 2013 г.), на Seventh International Workshop on simulation (Италия, г. Римини, 21-25 мая 2013 г.), IX Международной выставке и научном конгрессе «ИНТЕРЭКСПО ГЕО-СИБИРЬ 2013» (Россия, г. Новосибирск, 15-26 апреля 2013 г.), Конференции молодых ученых ИВМиМГ СО РАН (Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, Россия, г. Новосибирск, 2-4 апреля 2013 г.), XIII Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (г. Новосибирск, 15-17 октября 2012 г.), Всероссийской научной конференции «Современные проблемы стохастической гидрологии и регулирования стока» (г. Москва, 10-12 апреля 2012 г.), VIII Международной выставке и научном конгрессе «ИНТЕРЭКСПО ГЕО-СИБИРЬ 2012» (г. Новосибирск, 10-20 апреля 2012 г.), Всероссийской конференции «Актуальные проблемы вычислительной математики и математического моделирования» (г. Новосибирск, 12-15 июня 2012г.), Всероссийской конференции по вычислительной математике КВМ-2011 (г. Новосибирск, Академгородок, 29 июня - 1 июля 2011г.), Всероссийской конференции по вычислительной математике КВМ-2007 (г. Новосибирск, Академгородок, 18-20 июня 2007г.), XLIII Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (г. Новосибирск, Академгородок, 1214 апреля 2005г.), Конференции молодых ученых ИВМиМГ СО РАН (Россия, г. Новосибирск, 24-28 марта 2005 г.), Учебно-научных семинарах «Методы Монте-

Карло в вычислительной математике и математической физике» ИВМиМГ СО РАН.

По теме диссертации опубликовано 16 научных работ (без учета тезисов конференций) [34-38, 44, 46-48, 58, 65-69, 72], 6 статей [36, 38, 47, 65, 67, 69] в журналах, включенных в перечень ВАК РФ.

Диссертационная работа выполнена при финансовой поддержке грантов РФФИ (грант № 11-01-00641-а, грант № 12-05-00169-а, №15-01-01458-а), программы «Ведущие научные школы Российской Федерации» НШ-5111.2014.1

Автор выражает искреннюю благодарность научному руководителю д.ф.-м.н. В.А. Огородникову за постоянное внимание к работе и ценные советы, члену-корреспонденту РАН Г.А. Михайлову за поддержку, профессору Л.Я. Савельеву за сотрудничество и полезные обсуждения, а также профессору С.М. Пригарину за полезные советы.

Глава 1. Нестационарные кусочно-линейные процессы на пуассоновских

потоках

В работах [46, 59] рассматривались некоторые подходы, связанные с использованием кусочно-линейных негауссовских процессов применительно к моделированию ценовых рядов и исследованию торговых алгоритмов на основе этих моделей. В случае, когда корреляционные связи достаточно слабы, как это наблюдается в ценовых рядах, целесообразно аппроксимировать реальный случайный процесс некоторыми кусочно-линейными функциями. Узловые точки кусочно-линейной функции образуют поток точек, распределения интервалов между которыми, а также распределения значений процесса в них можно использовать в качестве входных характеристик для модели.

В работе [13] специальные кусочно-линейные процессы использовались для построения моделей прогнозирования климата. Характерная особенность этих процессов состоит в том, что сегменты кусочно-линейной функции не образуют непрерывную функцию. Данные работы показали перспективность использования алгоритмов моделирования кусочно-линейных процессов для решения практических задач.

Для численного статистического моделирования кусочно-линейных процессов, которые могут быть использованы для описания некоторых реальных процессов, необходимо задавать вероятностные характеристики для моделирования потока опорных точек и распределения случайных величин в этих опорных точках.

В данной главе приведены результаты исследования нестационарного процесса на пуассоновских потоках, значения которого в опорных точках являются суммой независимо одинаково распределенных величин (с последовательно увеличивающимся числом слагаемых) с произвольным одномерным распределением. Рассмотрены некоторые вероятностные свойства характеристик пуассоновского потока точек, определяющих процесс. Для

процесса этого типа получены точные выражения для математического ожидания и дисперсий как функций от времени.

1.1 Алгоритм численного моделирования кусочно-линейного процесса на пуассоновских потоках и некоторые свойства характеристик пуассоновского потока точек, его определяющих

Рассмотрим кусочно-линейный случайный процесс [44, 47, 65], принимающий в интервале ,), п = 1,2,... следующие значения:

т=(Гп-¥п_1)^^ + ¥п_1=(Гп-¥п_Ж0+Уп_1, <¿<5^,77 = 1,2,.... (1.1)

Здесь

п

5 = 0, 5 =£х, п > 1,

I=1

X - независимые положительные случайные величины с экспоненциальной плотностью распределения /(х) = Хехр(-Хх), х > 0 и параметром X.

Характер рассматриваемого процесса (1.1) существенно зависит от того, каким способом задаются случайные величины Уп. В данной диссертационной

работе будет рассмотрено два способа задания этих случайных величин. Для наглядности процесс вида (1.1) схематично представлен на Рисунке 1.1 ниже.

Рисунок 1.1 - Случайный процесс У (¿) вида (1.1)

Выражение для У (г) может быть использовано для численного моделирования некоторых типов нестационарных процессов, реализации которого представляют собой кусочно-линейные функции.

Последовательность {Бй} процесса У(г) вида (1.1) описывает случайное блуждание на прямой. Случайная величина Би, (п > 1) имеет гамма-распределение с параметрами Л, п [56]. Соответствующая плотность и функция распределения выражаются равенствами

ёп(У)

е-л , у > о

(п —1)! 0, у < 0

Оя (У)

Рг(Б < У) = 1 - е

—Лу

С п—1

X

т=0

(Лу)т

т!

У > о

о, у < о

Математическое ожидание и дисперсия равны соответственно п/Л и п/ЛЛ

В ряде случаев [44] можно представить выражение (1.1) для процесса У (г) в

виде

У (;) = (УУ(г)— У)—^ У )—1 =

Бу(г) Бу(г)—1

(1.2)

(Уу(г) Уу(г)—1 Ш ) + Уу(;)—1, Бу(г)—1 <г <

где целочисленная случайная величина

у(г) = Мп{п > 1: Б >;} е [0, да), г > 0. Так как Бу{(н < г < Бу{(), то [56]

Рг{у(;) = п} = оя—1(г) — Оя (г) =

(Лг)

п 1

е Л, 1 < п <да

(п — 1)!

Заметим, что

X Рг{у(г) = п} = е"Л = 1.

п=1

<

;

Случайная величина у(г) выражает номер п = у(г) интервала длины Хп, которому принадлежит точка г (другими словами интервала, накрывающего точку г ).

Для первого Е[у(г)] и второго Е[у2 (г)] начальных моментов случайной величины у(г) верны равенства

Еу(г) = X п е-Лг =1 + Лг,

= Х (п — 1)! (1.3)

ЕУ2 (г) = X п2 ^^ е-Лг =1 + 3Лг + Л2г2. х (п — 1)!

Рассмотрим некоторые вероятностные свойства величин, связанных с процессом У (г) вида (1.1), (1.2). Случайная величина

Х (г) = Ху(г) = Бу(г) — Бу(г )—1

описывает длину интервала [Бк,н, }], накрывающего точку г, и имеет плотность [56]

£ (х) =

Л2хе~Лх, 0 < х < г

Л(1 + Л )е"Лх, х > г Заметим, что £ (х) ф £ (х) [56]. Рассмотрим случайную величину

Ж (г) = Бу( г) —г.

Величина Ж (г) описывает расстояние от точки г до конца }, накрывающего ее интервала [Бк,н, Бу{1}], и имеет то же самое экспоненциальное распределение, что и случайные переменные Х [56]

Г] — е~Лх х > 0

Рг{Ж(г) < х} = Рг{Хп < х} = F(х) = ^ , > 0 .

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Сересева Ольга Владимировна, 2016 год

Список литературы

1. Андерсон Т. Введение в многомерный статистический анализ // М: Гос. Издат. Физико-математической литературы, 1963. - 500 с.

2. Анисимова А.В. Численное моделирование индикаторных случайных полей осадков // Труды конференции молодых ученых, Новосибирск: Изд. ИВМиМГ СО РАН, 1997, стр. 3-15.

3. Бокс Дж., Дженкинс Т. Анализ временных рядов (пер. с англ.) // Прогноз и управление. - М.: Мир, 1974. -308 с.

4. Быков В.В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике // М.: Сов. радио, 1971.

5. Гандин Л.С. О влиянии ветра на тепловой режим зданий. Труды ГГо, 1970, 268, стр3-20.

6. Гандин Л.С., Каган Р.Л. Статистические методы интерпретации метеорологических данных // - Л: Гидрометеоиздат, 1976. - 259 с.

7. Градштейн Н.С., Рыжик Н.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений // M.: Физматгиз, 1963. -1100 с.

8. Драган Я.П., Рожков В.А., Яворский И.Н. Методы вероятностного анализа ритмики океанологических процессов // - Л.: Гидрометеоиздат, 1987. - 320 с.

9. Дробышев А.Д., Марченко А.С., Огородников В.А., Чижиков В.Д. Статистическая структура временных рядов суточных сумм жидких осадков в равнинной части Новосибирской области // Труды ЗапСибНИИ Госкомгидромета, 1989, вып. 86, стр. 44-74.

10. Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Статистическое моделирование // - М: Наука, Гл. Изд. Физико-математической литературы, 1982. - 296 с.

11. Ермаков С.М., Павлов А.И., Сизова А.Ф., Товстик Т.М. О пакете программ «Моделирование реализаций случайных процессов и полей» // Ж. Теория вероятностей и её применения, 1982, т. XXV11, вып. 3, стр. 609-610.

12. Жуковский Е.Е., Бельченко Г.Г., Брунова Т.М. Вероятностный анализ влияния изменений климата на потенциал продуктивности агроэкосистем // Ж. Метеорология и гидрология, 1992, No 3, стр. 92-103.

13. Завалишин Н.Н. Об эффективности оценки кусочно-линейных трендов локально-климатической моделью. // Гидрометцентр. Информационный сборник №21. 1993. С.37-44.

14. Каган Р.Л., Канашкин В.К., Федорченко Е.И. О расчете характеристик временных рядов методом статистического моделирования // Труды ГГО, 1972, вып. 286, стр. 71-82.

15. Калашникова Н.И., Огородников В.А. Стохастическая интерполяция однородных случайных полей // Методы и алгоритмы статистического моделирования. - Новосибирск: Изд. ВЦ СО РАН, 1995, стр. 40-51.

16. Кашьяп Р.Л., Рао А.Р. Построение динамических стохастических моделей по экспериментальным данным // - М.: Наука, 1983.- 384 с.

17. Лепп Н. Э., Ушанов С. В., Фадеенков О. В. Влияние характеристик случайного поля скорости распространения на параметры лесного пожара// Сборник материалов молодых ученых: Труды молодых ученых-участников международной конференции «Современные проблемы математики и механики». Томск: Изд-во ТГУ, 2010. С.108-111

18. Марпл С.Л.-мл. Цифровой спектральный анализ и его приложения // - М: Мир, 1990. - 584 с.

19. Марченко А.С. Аппроксимация эмпирического распределения вероятностей суточных сумм жидких осадков // Труды ЗапСибНИИ Госкомгидромета, 1989, вып. 86, стр. 66-74.

20. Марченко А.С., Минакова Л.А. Вероятностная модель временных рядов температуры воздуха // Ж. Метеорология и гидрология, 1982, N 3, стр. 51-56.

21. Марченко А.С., Минакова Л.А., Огородников В.А. Статистическое моделирование редких похолоданий с учетом их длительности // Анализ и прогноз многолетних временных рядов. - Новосибирск, СНИИЗ и ХСХ СО ВАСХНИЛ, 1988, стр. 63-71.

22. Марченко А.С., Огородников В.А. Вероятностные модели последовательности сухих и дождливых суток // Препринт 993 ВЦ СОРАН, Новосибирск, 1991. -22 с.

23. Марченко А.С., Огородников В.А. Моделирование стационарных гауссовских последовательностей большой длины с произвольной корреляционной функцией // Журн. вычисл. математики и матем. физики, 1984, Т. 24, №. 10, стр. 1514-1519.

24. Марченко А.С., Семочкин А.Г. Изучение выбросов относительной влажности воздуха путем статистического моделирования бета-последовательностей // Труды ГГО, 1977, вып. 397, стр. 35-43.

25. Марченко А.С., Сёмочкин А.Г. F ФФ F - метод моделирования временных рядов по наблюдаемым реализациям // Численные методы статистического моделирования. - Новосибирск: Изд. ВЦ СО АН СССР, 1987, стр. 14-22.

26. Михайлов Г.А. Моделирование случайных процессов и полей на основе точечных потоков Пальма // Докл. АН СССР, 1982, т. 3, N 3, стр. 531-535.

27. Михайлов Г.А. Оптимизация весовых методов Монте-Карло // -М: Наука, 1986 [Engl.transl.: Springer-Verlag, 1992].

28. Михайлов Г.А., Войтишек А.В. Численное статистическое моделирование: Методы Монте-Карло: учебное пособие для студентов вузов. М.: Издательский центр «Академия». 2006. - 368 с.

29. Огородников В.А. О динамико-вероятностном прогнозе // Изв. АН СССР, Физика атмосферы и океана, т. 11, No. 8, 1975, стр. 851-853.

30. Огородников В.А. Моделирование трехмерных полей геопотенциала с заданной статистической структурой // Методы Монте-Карло в вычислительной математике и математической физике. - Новосибирск: Изд. ВЦ СО АН СССР, 1979, стр.73-78.

31. Огородников В.А. Моделирование стационарных векторных рядов с заданной корреляционной структурой // Методы и алгоритмы статистического моделирования. - Новосибирск: Изд. ВЦ СО АН СССР, 1983, стр.21-30.

32. Огородников В.А. Некоторые свойства оценок пороговых уровней длительных похолоданий // Методы статистического моделирования. -Новосибирск: Изд. ВЦ СО АН СССР, 1986, стр. 25-34.

33. Огородников В.А. Статистическое моделирование векторных процессов авторегрессии с заданной корреляционной структурой // Теория и приложения статистического моделирования. - Новосибирск: Изд. ВЦ СО АН СССР, 1989, стр. 54-63.

34. Огородников В.А., Каргаполова Н.А., Сересева О.В. Специальные численные алгоритмы стохастического моделирования гидрометеорологических процессов и полей // Труды всероссийской конференция «Актуальные проблемы вычислительной математики и математического моделирования» Россия, г. Новосибирск, 2012 [Электронный ресурс] http://parbz.sscc.ru/fcp/apm2012/pdf/Ogorodnikov.pdf

35. Огородников В.А., Каргаполова Н.А., Басова К.В., Ильина А.А., Сересева О.В. Численные стохастические модели метеорологических процессов и полей // Труды всероссийской научной конференции «Современные проблемы стохастической гидрологии и регулирования стока», Москва, 2012. С. 469 - 478.

36. Огородников В.А., Каргаполова Н.А., Басова К.В., Ильина А.А., Сересева

0.В. Численные стохастические модели метеорологических процессов и полей и некоторые их приложения // Водное хозяйство России, 2012, № 4. С. 33 - 42.

37. Огородников В.А., Сересева О.В. Приближенные модели стохастических полей суточных сумм жидких осадков. // Интерэкспо Гео-Сибирь, 2014, №

1, Т. 4, стр. 151-156.

38. Огородников В.А., Сересева О.В. Мультипликативная численная стохастическая модель полей суточных сумм жидких осадков и ее использование для оценки статистических характеристик экстремальных режимов их выпадения. // Оптика атмосферы и океана. 2015. Т. 28. № 03. С. 238 - 245.

39. Пиранашвили З.А. Некоторые вопросы статистико-вероятностного моделирования случайных процессов // Вопросы исследования операций. -Тбилиси, 1966, стр. 53-91.

40. Пригарин С. М. Методы численного моделирования случайных процессов и полей / Отв. ред. Г. А. Михайлов. - Новосибирск: ИВМиМГ СО РАН, 2005. -259с.

41. Пригарин С.М. Приближенное моделирование гауссовских полей на основе спектрального представления // - Новосибирск, 1989. - 21 с.- (Препринт/ АН СССР. Сиб. отд-ние. ВЦ; 876).

42. Рожков В.А. Методы вероятностного анализа океанологических процессов // -Л.: Гидрометеоиздат, 1979. - 280 с.

43. Рожков В.А., Трапезников Ю.А. Вероятносные модели океанологических процессов // - Л.: Гидрометеоиздат, 1990. -272 с.

44. Савельев Л.Я., Огородников В.А., Сересева О.В. Стохастическая модель кусочно-линейного процесса // Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1, Вып. 7, 2007. С. 67-76.

45. Сванидзе Г.Г. Математическое моделирование гидрологических рядов // - Л.: Гидрометеоиздат, 1977. - 296 с.

46. Сересева О.В. Численные стохастические модели ценовых рядов. // Труды конференции молодых ученых. ИВМиМГ СО РАН, 2005. С. 146-154.

47. Сересева О.В. Стохастическая модель кусочно-линейного процесса на пуассоновском потоке // Вычислительные технологии. Том 13. Специальный выпуск 4, 2008. С. 114 - 119.

48. Сересева О.В. Вероятностная модель пространственно-временных полей суточных сумм жидких осадков. // Труды конференции молодых ученых. ИВМиМГ СО РАН, 2014. С. 1 - 11.

49. Смирнов И.В., Большев Л.Н. Таблицы для вычисления функции двумерного нормального распределения // - М: Изд. АН СССР, 1962. - 204 с.

50. Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло //- М.: Наука, 1973. - 311 с.

51. Сонечкин Д.М. Динамико-стохастический подход к проблеме долгосрочного прогноза // Труды ГМЦ СССР, 1982, вып. 243, стр. 3-78.

52. Татарский В.И. Использование динамических уравнений при вероятностном прогнозе барического поля // Известия АН СССР, Физика атмосферы и океана, 1969, т. 5, №. 3, стр. 293-297.

53. Тимченко И.Е. Динамико-стохастические модели состояния океана //- Киев. : Наукова Думка, 1981.- 192 с.

54. Товстик Т.М. Моделирование однородного гауссовского поля // Тр Х Всесоюз. симпозиума. Секция 4. Методы представления и аппаратурный анализ случайных процессов и полей. - Л. 1978, стр. 75-77.

55. Тройников В.С. Численное моделирование случайных процессов и полей на основе точечных потоков Пальма в задачах переноса излучения в облачной среде // Изв. АН СССР. Сер. ФАО, 1984, Т. 20, No. 4, стр. 274-279.

56. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. М: Мир, Т.2. 1984.

57. Шалыгин А.С., Палагин Ю.И. Прикладные методы статистического моделирования // - Л.: Машиностроение, 1986. - 320 с.

58. Шлычков В.А., Огородников В.А., Сересева О.В. Совместная численная стохастическая модель временных рядов суточного стока реки и пространственно-временных полей суточных сумм жидких осадков // Новосибирск, Интерэкспо Гео-Сибирь, 2015. Т.4, стр. 145-149.

59. Artemiev S.S., Novikov A.V., Ogorodnikov V.A. Mathematical aspects of computer-aided share trading. Russian journal of numerical analysis and mathematical modelling, (2002) 17, No. 4, pp. 331-348

60. Gringorten I.I. Modelling conditional probability // J. Appl.Meteorol., 1971, v. 10, No. 4, pp. 646-657.

61. Gubina N.I., Ogorodnikov V.A. Some problems of the statistical simulation of conditional processes and fields // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling, Vol. 13, No. 5, pp. 345-358 (1998).

62. Kleiber W., Katz R. W., Rajagopalan B. Daily spatiotemporal precipitation simulation using latent and transformed Gaussian processes // Water Resources Research. 2012. V. 48. P. 11105-11114.

63. Ogorodnikov V.A. and Prigarin S.M. Numerical modeling of random processes and fields: algorithms and applications // VSP, Utrecht, The Netherlands, 1996. - 240 p.

64. Ogorodnikov V.A. and Protasov A.V. Dynamic probabilistic model of atmospheric processes and variational methods of data assimilation // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modeling (1997), V.12, N.5, pp. 399-480.

65. Ogorodnikov V.A., Saveliev L.Ya., Sereseva O.V. Computation stochastic models of piecewise random processes. // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. - 2007. - Vol. 22, No. 3. - P. 505-514.

66. Ogorodnikov V., Sereseva O. Numerical stochastic model of indicator fields of daily sums of liquid precipitation. // Proceedings of International Workshop «Applied Method of Statistical Analysis. Simulation and Statistical Inference». Novosibirsk. 2013. P. 221 - 227.

67. Ogorodnikov V.A., Kargapolova N.A., Sereseva O.V. Numerical stochastic model of spatial fields of daily sums of liquid precipitation. // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. - 2013. - Vol. 28, No. 2. -P. 187-200. doi 10.1515/rnam-2013-0011

68. Ogorodnikov V., Kargapolova N. and Sereseva O. Numerical Stochastic Models of Meteorological Processes and Fields // In: V.B. Melas et al. (eds.), Topics in Statistical Simulation, Springer Proceedings in Mathematics & Statistics, Vol. 114. 2014, p.409-419, doi 10.1007/978-1-4939-2104-1__10

69. Ogorodnikov V. and Sereseva O. Approximate numerical modelling of inhomogeneous stochastic fields of daily sums of liquid precipitation. // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. - 2014. - Vol. 29, No. 6. - P. 375-382. doi 10.1515/rnam-2014-0030.

70. Prigarin S.M., Litvenko K.V., Conditional spectral models of extreme ocean waves, Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling (2012), V.27, No.3, P.289-302

71. Robinson T.A. Multichannel time series analysis and digital computer programs //-S.F.: Holden DAY, 1967.

72. Sereseva Olga V. and Ogorodnikov Vasily A. Piecewise Linear Processes on Pouisson Flow // Proceedings of the International Workshop «Applied Methods of Statistical analysis. Nonparametric approach». Novosibirsk&Belokurikha, 2015, pp. 384-391.

73. Ukhinova O.S. Stochastic model of time series of precipitation sums // Proceedings of the International Conference on Computational Mathematics. - Novosibirsk, 2002, pp. 291-294.