Разделенная алгебра Брауэра и простые блуждания по градуированным графам тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Никитин, Павел Павлович

• Никитин, Павел Павлович
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Никитин, Павел Павлович

Введение

1 Конечномерные алгебры Брауэра

1.1 Определение алгебр Брауэра.

1.2 Определение алгебр Тураева.

1.3 Описание коммутанта разделенной алгебры Брауэра

1.4 Образующие и соотношения для алгебры H/.ti(n).

1.5 Конструкция Джонса, теория представлений алгебр Брауэра

1.6 Построение полинома размерностей.

1.7 Описание представлений и ветвления для алгебр

1.8 Реализация неприводимых представлений алгебры Брауэра

1.9 Характеры неприводимых представлений алгебры Брауэра

1.10 Реализация неприводимых представлений разделенной алгебры Брауэра.

1.11 Характеры неприводимых представлений разделенной алгебры Брауэра.

2 Бесконечномерные алгебры Брауэра

2.1 Определения и теоремы из теории л.п.п. алгебр.

2.2 Паскализация графов и л.п.п. алгебры Вг^, Вг^оо, Partoo

2.3 Теорема о центральных мерах на паскализованном графе

2.4 Описание характеров алгебр Брауэра.

2.4.1 Характеры алгебры Вгоо.

2.4.2 Характеры алгебры Br00i00.

2.5 Замечания о -Й^-функторе.

2.5.1 Группа инфинитезимальных элементов.

2.5.2 Группа размерностей Ко(Вгоо ).

2.5.3 Группа размерностей Kq^Bt^oo)

А Реализация некоторых представлений группы S/

А.1 Двустрочечные диаграммы.

А.2 Доказательства.

А.З Диаграммы в форме крюка.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разделенная алгебра Брауэра и простые блуждания по градуированным графам»

Диссертация посвящена исследованию одного класса локально-полупростых алгебр — алгебр Брауэра и близких к ним — возникших в теории классических групп и в современных исследованиях квантовых групп.

История возникновения этих алгебр такова. Пусть классическая группа (GLn(С), Оп(С), Spn(С)) действует в конечномерном векторном пространстве V. Рассмотрим диагональное действие этой группы в тензорном произведении V®^, определяемое формулой

А • (ui ® . ® Vf) = Avi <g>. ® Avf.

Если мы рассмотрим действие симметрической группы1 Sf в этом же пространстве, о ■ (ы ® . ® vf) = (va(i) ® . ® va(f)), a е Sf, то несложно проверить, что построенные действия групп GLn(С) и Sf коммутируют. На самом деле справедливо намного более сильное утверждение, именно, как доказал в в 1901 году И. Шур в своей диссертации [39], эти действия порождают коммутанты друг друга. Этот факт носит название двойственности Шура-Вейля и является одним из центральных фактов теории представлений обеих групп.

Например, вопрос о разложении диагонального действия полной линейной группы в End(V®^) на неприводимые компоненты сводится к описанию коммутанта Cf(Gln(С)) образа этого действия [1]. Соответственно, тот же вопрос для ортогональной группы приводит нас к рассмотрению алгебры С/(Оп(С)). Однако, по выражению Г. Вейля, эта последняя алгебра является "несколько загадочной", что вынудило его прибегнуть при исследовании действия ортогональной группы к другим методам.

Для изучения коммутанта Cf(On(С)) Р. Брауэр [15] в 1937 году ввел ассоциативную алгебру диаграмм Бг/(п) и гомоморфизм

Ьг : Brf(n) Cf(On(С)).

Определение алгебры Brf(n) (алгебры Брауэра) имеет смысл при любом пвС, причем при достаточно больших по модулю числах п £ Z гВ теории алгебр Брауэра принято буквой п обозначать параметр алгебры (размерность пространства V), а число тензорных сомножителей — буквой /. Поэтому для симметрической группы используется несколько непривычное обозначение 5/. алгебра не является полупростой. Сравнительно долгое время не удавалось ни доказать, что алгебра является полупростой при п £ Z, ни построить описание факторалгебры по радикалу при п € Z. Частичные результаты были получены в 1956 году Брауном [13, 14], однако полное описание неприводимых представлений и ветвления для семейства алгебр {Вг/(тг)} было получено только в 1988 году X. Венцлем [45] при помощи условных ожиданий и основной конструкции В. Джонса.

Открытие В. Джонсом и JL Кауффманом полиномиальных инвариантов узлов (см. [25, 26]), а также исследования квантовых групп позволили обобщить эти алгебры. Дж. Бирман и X. Венцль в 1989 году построили двухпараметрическую алгебру Сп(1, т) (алгебру Бирман-Венцля), частным случаем которой оказалась алгебра Брауэра (см. [17, 35]). Обобщение построенных инвариантов привело В. Г. Тураева к введению в том же году в работе [11] алгебр Hk,i(x, у), описывающих инварианты связок. При соответствующем выборе параметров Hkti(x(n),y(n)) = Hk,i(ri) С Brk+i(n).

Разделенные алгебры Брауэра Hkti(n) являются предметом изучения первой главы настоящей диссертации. Основные результаты: показано, что эта алгебра для общего значения параметра п может быть определена как коммутант алгебры, порожденной диагональным действием группы Gln(С) в смешанных тензорах; доказано задание алгебры Н^п) через образующие и соотношения. Доказано, что эта алгебра является полупростой при п £ Z, для полупростого случая найден список неприводимых представлений, построен граф ветвления, найдена реализация представлений и предложен новый способ доказательства формул для характеров.

Вторая глава диссертации посвящена изучению бесконечномерных алгебр Брауэра с точки зрения теории локально-полупростых (л.п.п.) алгебр. Л.п.п. алгебры, как и их С*-оболочки, аппроксимативно-конечные (AF) алгебры, полностью определяются своим графом ветвления (диаграммой Браттели). Мы используем соответствующие построения диаграмм Браттели для алгебр Брауэра (X. Венцль, [45]), алгебр разбиений (П. Мартин, [34]) и разделенных алгебр Брауэра (§1.7). Задача о нахождении характеров AF-алгебры, как показано А. М. Вер-шиком и С. В. Керовым (см. [4, 5]), есть задача об инвариантных (центральных) мерах на пространстве путей графа ветвления, которая может быть решена при помощи эргодического метода, включающего метод конечномерных приближений. Этот метод применяется в диссертации для описания следов рассматриваемых л.п.п. алгебр.

Полным инвариантом AF-алгебры А является тройка {Kq{A), Kq(A), е), где К0(А) —Группа Гротендика AF-алгебры, изоморфная группе размерностей любой диаграммы Браттели этой алгебры, К$(А) — конус истинных модулей и е — порядковая единица в Kq(A) (см. работы Г. Эллиотта [19], Э. Эффроса, Д. Хандельмана, К. Шена [18]). Мы приводим описание группы размерностей для бесконечномерных алгебр Брауэра и разделенных алгебр Брауэра.

Работа построена следующим образом: в параграфах §1.1 и §1.2 даются определения алгебры Брауэра Brj(n) и алгебры Hk,i(n), введенной В. Г. Тураевым. В параграфе §1.3 показывается, что если рассмотреть действие группы GLn(C) в смешанных тензорах V®k (g)V*®1 и обозначить через Ck,i(GLnС) коммутант алгебры, порожденной этим действием, то выполняется

Ьг(Нкг1(п)) C^iGLnC), (1) при отождествлении V®k (££) V*®1 = V®k+l (здесь br — отображение, введенное Р. Брауэром, см. выше). Далее в параграфе §1.4 алгебра Н^п) задается через образующие и соотношения. В параграфах §1.5 и §1.6 мы вводим понятие основной конструкции Джонса и подсчитываем некоторые размерности представлений GLnС, необходимые для описания в параграфе §1.7 неприводимых представлений и графа ветвления для семейства алгебр (Ям(п)}. При подготовке работы к публикации выяснилось, что алгебра Hk,i{n) была также введена К. Койке в работе [31], и утверждения настоящей диссертации частично доказаны в работах [16, 33, 32] (см. также [22]). Различие наших подходов в том, что в указанных работах в определение положено свойство (1), в то время как в настоящей диссертации алгебра Hk,i(n) вводится как подалгебра алгебры Брауэра, а соответствующее свойство становится теоремой.

Далее в параграфах §§1.8, 1.10 строятся реализации представлений алгебры Brf(n) и Hk,i(ri), что позволяет предложить новый, более естественный способ подсчета характеров этих алгебр в параграфах §1.9, 1.11.

Параграф §2.1 содержит необходимые определения и формулировки теории локально-полупростых алгебр, в параграфе §2.2 вводится операция паскализации графа (построение по градуированному графу Г графа простого блуждания по Г) и задаются л.п.п. алгебры. Параграф §2.3 содержит основной результат второй главы: при некоторых уеловиях на граф ветвления всякая центральная мера на паскализованном графе сосредоточена на исходном графе как подграфе паскализованного, и, тем самым, совпадает с некоторой центральной мерой на самом графе. В качестве следствия описаны центральные меры и конечные следы на бесконечномерных алгебре Брауэра, разделенной алгебре Брауэра и алгебре разбиений. Параграф §2.4 содержит более подробное описание следов на этих алгебрах, в §2.5 изучается их -К"0-функтор.

В приложении к данной работе описывается реализация представлений симметрической группы Sf, отвечающих двустрочечным диаграммам. Эта тема входит в программу намеченного А. М. Вершиком нового подхода к теории представлений симметрических групп ([7, 2]). Случай двустрочечных диаграмм является весьма специальным, и предлагаемая реализация проще классических "модулей Шпехта"; она может быть использована при изучении индуцированных представлений бесконечной симметрической группы (см. [41], [42]). Параграф §А.1 содержит формулировки полученных результатов, параграф §А.2 — доказательства. В параграфе §А.З приведены аналогичные утверждения для представлений, отвечающих диаграммам в форме "крюка".

Автор глубоко благодарен А. М. Вершику за постановку задач и постоянное внимание к работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Никитин, Павел Павлович, 2006 год

1. Вейль Г. Классические группы. Москва, 1947.

2. Вершик А. М. Индуктивное доказательство правила Юнга. Ц Моск. мат. журнал. Вып. 6. 2006.

3. Вершик А. М., Цилевич Н. В. О преобразовании Фурье на бесконечной симметрической группе. // Зап. науч. сем. ПОМИ. Т. 325. С. 61-82. 2006.

4. Вершик A.M., Керов С.В. Асимптотическая теория характеров симметрической группы. // Функ. ан. и прил. Т. 15. Вып. 4. С. 15-27. 1981.

5. Вершик А. М., Керов С. В. Локально полупростые алгебры. Комбинаторная теория и Ко-функтор. // Соврем, проблемы матем., ВИНИТИ АН СССР. Т. 26. С. 3-56. 1985.

6. Вершик А. М., Кохась К. П. Вычисление группы Гротендика алгебры C(PSL(2,k)), где к — счетное алгебраически замкнутое поле. // Алгебра и анализ. Т. 2. Вып. 6. С. 98-106. 1990.

7. Вершик А. М., Окуньков А. Ю. Новый подход к теории представлений симметрических групп. II. // Зап. Науч. Сем. ПОМИ. Т. 307. С. 57-98. 2004.

8. Джеймс Г. Теория представлений симметрических групп. М., "Мир", 1982.

9. Клячко А. А. Централизаторы инволюций и модели симметрической и полной линейной групп. // Исследования по теории чисел.7. Саратов. С. 59-64. 1978.

10. Макдональд И. Симметрические функции и многочлены Холла. М., "Мир", 1985.

11. Тураев В. Г. Операторные инварианты связок и R-матрицы. // Известия АН СССР, сер. матем. Т. 53. Вып. 5. С. 1073-1107. 1989.

12. Bratteli О. Inductive limits of finite dimensional c*-algebras. // Trans. Amer. Math. Soc. V. 171. P. 195-234. 1972.

13. Brown Wm. P. An algebra related to the orthogonal group. // Michigan Math. J. V. 3. N. 1. P. 1-22. 1955-1956.

14. Brown Wm. P. The semisimplicity of и1}. // Ann. of Math. V. 63. P. 324-335. 1956.

15. Brauer R. On algebras which are connected with the semisimple continious groups. // Ann. of Math. V. 38. N. 4. P. 854-872. 1937.

16. Benkart G., Chakrabarti M., Halverson Т., Leduc R., Lee C. and Stroomer J. Tensor product representations of general linear groups and their connections with Brauer algebras. // J. Algebra. V. 166. N. 3. P. 529-567. 1994.

17. Birman J. S., Wenzl H. Braids, link polynomials and a new algebra. // Trans. AMS. V. 313. N. 1. P. 249-274. 1989.

18. Effros E., Handelman D., Shen C. Dimension groups and their affine representations. // Amer. J. Math. V. 102. N. 3. P. 385-407. 1980.

19. Elliott G. On classification of inductive limits of sequences of semisimple finite dimensional algebras. // J. Algebra V. 38. P. 29-44. 1976.

20. Fulton W. Young Tableaux. Cambridge University Press, 1997.

21. Goodman F. M., de la Harpe P., Jones V. F. R. Coxeter Graphs and Towers fo Algebras, volume 14 of Math. Sci. Research. Inst. Publ. Springer-Verlag, 1989.

22. Halverson T. Characters of the centralizer algebras of mixed tensor representations of gl(r, C) and the quantum group Uq(gl(r, C)). // Pacific J. of Math. V. 174. N. 2. P. 359-410. 1996.

23. Halverson Т., Ram. A. Partition Algebras. // European J. Combin. V. 26. N. 6. P. 869-921. 2005.

24. James G. and Kerber A. The Representation Jheory of the Symmetric Group. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, vol. 16, Addison-Wesley, 1981.

25. Jones V. F. R. Index for subfactors. // Inv. Math. V. 72. P. 1-25. 1983.

26. Kauffman L. H. An invariant of regular isotopy. Preprint, 1986.

27. Kerov S. V. Реализации представлений полугруппы Брауэра. Зап. Науч. Сем. ПОМИ. Т. 164. С. 189-193. 1987.

28. Kerov S. V. Characters of Неске and Birman- Wenzl algebras. // (in Quantum Groups, Proc. Workshops Euler Int. Math. Inst., Leningrad, USSR). Lect. Notes in Math. V. 1510, P. 335-340. 1991.

29. S. V. Kerov, G. I. Olshansky, A. M.Vershik. Harmonic analysis on the infinite symmetric group. A deformation of the regular representation. // Comptes Rendus Acad.Sci.Paris Эёг I. V. 316. P. 773-778. 1993.

30. S. V. Kerov, G. I. Olshansky, A. M.Vershik. Harmonic analysis on the infinite symmetric group. //Inv. Math. V. 158. N. 3. P. 551-642. 2004.

31. Koike K. On the decomposition of tensor products of the representations of classical groups: By means of universal characters. // Adv. in Math. V. 74. P. 57-86. 1989.

32. Murakami J. Kosuda M. Centralizer algebras of the mixed tensor representations of quantum group uq(gl(m, C)). // Osaka J. Math. V. 30. P. 475-507. 1993.

33. Leduc R. A two-parameter version of the centralizer algebra of mixed tensor representations of quantum GL(r). // PhD thesis, University of Wisconsin-Madison, 1994.

34. Martin P. The partition algebra and the potts model transfer matrix spectrum in high dimensions. // J. Phys. A:Math. Gen. V. 33. P. 36693695. 2000.

35. Murakami J. The kauffman polynomial of links and the representation theory. // Osaka J. Math. V. 24. P. 745-758. 1987.

36. Nazarov M. Young's orthogonal form for Brauer's centralizer algebras. // J. Algebra. V. 182. N. 3. P. 664-693. 1996.

37. Ram A. Characters of brauer centralizer algebras. // Pacific J. Math. V. 169. N. 1. P 173-200. 1995.

38. Ram A., Wenzl H. Matrix units for centralizer algebras. // J. Algebra. V. 145. N. 2. P. 378-395. 1992.

39. Schur I. Uber eine Klasse von Matrizen, die sich einer gegebenen. // PhD thesis, 1901.

40. Thoma E. Die unzerlegbarren, positiv-definen Klassenfunktionen der abzahlbar unendlichen, symmetrischen Gruppe. // Math. Z. V. 85. P. 40-61. 1964.

41. Tsilevich N. V., Vershik A. M. Markov measures on Young tableaux and induced representations of the infinite symmetric group. // Prob. Theory Appl. V. 51. N. 1. P. 47-63. 2006.

42. Tsilevich N. V., Vershik A. M. On different nideks if representations of the infinite symmetric group. // to appear in Adv. Appl. Math.

43. Vershik A. M. Gelfand-Tsetlin algebras, expectations, inverse limits, Fourier analysis. // in "Unity of Mathematics. In Honor of the Ninetieth Birthday of I.M.Gelfand". Progr. Math. 244, Birkhauser. 2005.

44. Voiculescu D., StrStilS S. Representations of AF-algebras and of the group U{oo). // Lect. Notes Math. V. 486. P. 1-169. 1975.

45. Wenzl H. On the structure of Brauer's centralizer algebras. // Annals of Mathematics. V. 129. N. 1. P. 173-193. 1988.Публикации автора по теме диссертации

46. Никитин П. П. Реализация неприводимых двустрочечных представлений Sn в бесквадратных симметрических формах. // Зап. научн. семин. ПОМИ. Т. 301. С. 212-218. 2003.

47. Никитин П. П. Теория представлений и граф ветвления семейства алгебр Тураева // Зап. научн. семин. ПОМИ. Т. 325. С. 171-180. 2005.

48. Вершик А. М, Никитин П. П. Следы на бесконечных алгебрах Брауэра. // Функ. ан. и прил. Т. 40. Вып. 3. 2006.

49. Никитин П. П. Описание коммутанта действия группы GLn(С) в смешанных тензорах. // Препринт ПОМИ 08/2006.