Равновесие и устойчивость кристаллических твердых тел при малых и конечных деформациях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат наук Подольская, Екатерина Александровна

• Подольская, Екатерина Александровна
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Подольская, Екатерина Александровна

2.2 Треугольная решетка..................................................50

2.2.1 Геометрия........................................................50

2.2.2 Условия устойчивости..........................................51

2.2.3 О границах областей устойчивости............................55

2.2.4 Произвольная аффинная деформация........................59

2.3 ГЦК и О ЦК решетки ..................................................64

2.3.1 Растяжение и сжатие вдоль осей кубической симметрии . . 64

2.3.2 Описание структурного перехода ГЦК - ОЦК..............68

2.3.3 Произвольная аффинная деформация ГЦК решетки .... 70 2.4 Геометрически идеальная ГПУ структура............................71

2.4.1 Критерий устойчивости сложной решетки....................71

2.4.2 Область устойчивости..........................................73

Заключение 77

Приложения 81

А Некоторые сведения из прямого тензорного исчисления 81

В Вывод формулы для тензора 4С}0 для простой решетки 83

С Компоненты тензора для простой решетки 84

С.1 Треугольная решетка ..................................................84

С.2 ГЦК решетка............................................................87

Ю Об определении модуля Юнга и модуля сдвига деформированной треугольной решетки 90

Е Вывод формул для тензоров 2О, для сложной двухатомной решетки 91

Список литературы 93

Введение Актуальность темы

Для обеспечения работоспособности материала и прогнозирования возникновения предельных состояний требуется построение моделей разрушения на разных масштабных уровнях с учетом внутренней структуры материала. При этом и с научной, и с практической точки зрения особое значение приобретает изучение поведения материалов с идеальной геометрической структурой. Это объясняется тем, что кристаллическая структура характерна для металлов, которые широко используются в технике, а их прочность существенно зависит от различного рода дефектов. Поэтому все большее применение находят монокристаллы, характеризующиеся достаточно малым числом дефектов, что позволяет повысить как прочность конструкции, так и существенно уменьшить метрологические погрешности, что особенно важно для упругих элементов приборов.

Одной из возможных причин разрушения материала является потеря устойчивости его внутренней структуры. Потеря устойчивости может также привести к структурному переходу, в том числе в другое устойчивое состояние. Поэтому актуальной является задача исследования устойчивости материала относительно произвольной вариации напряженно-деформированного состояния: при приближении к критическим деформациям материал может быть устойчив по отношению к приращению напряжений или деформаций вдоль пути нагруже-ния, но при этом неустойчив относительно других возмущений. Исследование устойчивости сред с микроструктурой при конечных деформациях само по себе актуально в связи с тем, что в классической механике деформируемого твердого тела не существует общепринятого определения устойчивости и ее потери.

Так как для построения модели материала на микроуровне методами механики дискретных сред используются потенциалы, характеризующие взаимодействие частиц в узлах кристаллической решетки, а большинство известных в литературе потенциалов изначально разрабатывалось для описания физико-химических, но не механических свойств твердых тел, актуальной является так-

же задача построения моделей, обладающих предсказательной силой в отношении механических параметров, не участвующих в калибровке модели.

Методика исследований

В данной работе применяются методы механики деформируемого твердого тела и аппарат, необходимый для решения задач нелинейной теории упругости; строится связь между дискретным и континуальным описанием. Объектом исследования является идеальная бесконечная кристаллическая решетка, как двумерная треугольная, так и трехмерные ГЦК (одноатомная) и ГПУ (двухатомная), и энергетически эквивалентная им сплошная среда. При этом предполагается, что дефекты отсутствуют, объемные силы и тепловые эффекты не рассматриваются. Считается, что частицы, формирующие регулярную решетку и находящиеся в ее узлах, взаимодействуют посредством парных потенциалов: силовых, зависящих только от относительного смещения частиц, и моментных, зависящих также от относительного поворота частиц. Это означает, что связь между частицами имеет продольную (силовое взаимодействие) и поперечную (момент-ное взаимодействие) жесткости. При переходе к сплошной среде используется правило Коши-Борна и его модификация для сложных решеток, устанавливающие связь между макродеформацией материального объема и градиентом перемещения частиц. Таким образом устанавливается и связь между упругими характеристиками на микро- и макроуровне. Предсказательная сила модели проверяется путем расчета не использовавшихся при калибровке упругих модулей и сравнения полученных значений с экспериментальными данными. При исследовании устойчивости используется метод наложения малой деформации на конечную.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Равновесие и устойчивость кристаллических твердых тел при малых и конечных деформациях»

Цель работы

Целью данной работы является построение моделей для описания механических характеристик деформируемых твердых тел с регулярной микроструктурой, определение упругих свойств кристаллов с использованием дискретных

методов механики деформируемого твердого тела и исследование устойчивости внутренней структуры кристаллов при конечных деформациях.

Научная новизна

Новизну работы составляют следующие положения, выносимые на защиту:

1. Получена аналитическая связь между упругими характеристиками металлов с ГПУ структурой на микро- и макроуровне при силовом и момент-ном взаимодействии. Показана эффективность моделирования ковалентно-сти связи при помощи моментного взаимодействия для описания упругих свойств.

2. Предложен парный силовой потенциал, обеспечивающий устойчивое равновесие геометрически неидеальной ГПУ структуры, корректное соотношение между упругими модулями и энергетическую выгодность по сравнению с более плотноупакованной ГЦК структурой; подобраны параметры для ряда металлов.

3. Метод наложения малой деформации на конечную применен к исследованию устойчивости материалов с микроструктурой. Для простых решеток при силовом взаимодействии показана эквивалентность используемого критерия устойчивости условию сильной эллиптичности уравнений равновесия и положительности второй вариации потенциальной энергии деформации в случае жесткого нагружения.

4. Аналитически построена область устойчивости треугольной решетки в пространстве конечных деформаций; выявлен структурный переход от вертикальной ориентации решетки к горизонтальной; дана трактовка границ области устойчивости в терминах упругих модулей деформированной среды.

5. Получены области устойчивости ГЦК решетки в шестимерном пространстве деформаций. Выявлен структурный переход, связанный со сменой ориентации ГЦК решетки, и переход ГЦК-ОЦК.

6. Получена область устойчивости идеальной ГПУ структуры в трехмерном пространстве деформаций; выявлен структурный переход ГПУ-ГЦК. В качестве критерия использовалась положительность второй вариации потенциальной энергии деформации.

Достоверность полученных результатов

Достоверность полученных результатов обеспечивается строгой постановкой математических задач, использованием апробированных физических моделей и проверена путем сравнения с экспериментальными данными (равновесие и устойчивость ГПУ структур при малых деформациях) и с результатами проведенного на кафедре вычислительного эксперимента (устойчивость треугольной и ГЦК решеток).

Практическая значимость работы

Полученные выражения, связывающие упругие модули на микро- и макро/

уровнях, позволяют вычислить упругие характеристики эквивалентной сплошной среды и могут применяться для верификации и сравнения результатов молекулярно-динамического моделирования с расчетами на основе механики сплошных сред, в том числе в пакетах прикладных программ. Также может быть получена трактовка уже имеющихся экспериментальных результатов, например, в области создания новых конструкционных материалов. Предложенный потенциал для описания взаимодействия частиц, составляющих решетку реальных геометрически неидеальных ГПУ металлов, может быть использован при проведении вычислительных экспериментов и аналитических исследований, причем использование радиуса обрезания, не превышающего удвоенного равновесного расстояния, в сочетании с простым видом формулы для

силы взаимодействия позволяет значительно увеличить скорость выполнения численных расчетов. Разработанный подход к исследованию устойчивости материалов с микроструктурой может быть применен для прогнозирования работоспособности элементов конструкций, для повышения достоверности расчетов по определению надежности конструкции при больших деформациях и для определения предельных нагрузок, диктуемых структурными превращениями, в том числе связанными с переходом в другое устойчивое состояние. Это в дальнейшем даст возможность улучшить массогабаритные характеристики конструкции и получить оптимальное соотношение между прочностью и жесткостью элементов, что в свою очередь позволит повысить экономичность, так как значительная часть стоимости конструкции приходится на стоимость материала.

Апробация работы

Результаты работы докладывались на семинарах Института проблем машиноведения РАН (Санкт-Петербург), кафедры Теоретическая механика СПбГПУ, Института Геохимии и Аналитической Химии им. В.И. Вернадского РАН (Москва), Физического факультета университета г. Севилья (Испания), а также на всероссийских и международных конференциях: Advanced Problems in Mechanics (Санкт-Петербург, 2008, 2009, 2011, 2012), Всероссийский форум студентов, аспирантов и молодых ученых «Наука и инновации в технических университетах» (2008), Международная научно-практическая конференция Неделя науки СПбГПУ (Санкт-Петербург, 2009, 2010), XIII Международная конференция «Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов» (BEM-FEM 2009), Международная научная конференция по механике «Пятые Поляховские чтения» (2009), Международная научная конференция по механике «Шестые Поляховские чтения» (2012), 8th European Solid Mechanics Conference (ESMC 2012), Trilateral Scientific Seminar «Generalized Continua as Models for Materials with

Multi-scale Effects or under Multi-field Actions» (2012), 84th Annual Meeting of the International Association of Applied Mathematics and Mechanics (GAMM 2013), European Congress and Exhibition on Advanced Materials and Processes (EUROMAT 2013).

Исследования автора на различных этапах работы поддерживались грантами РФФИ (08-01-00865-а, 09-01-12096-офи_м, 11-01-00809-а, 12-01-09221-моб_з, 12-05-90838-мол_рф_нр, 12-01-31297-мол_а) и премиями правительства Санкт-Петербурга победителям конкурса грантов для студентов, аспирантов вузов и академических институтов, расположенных на территории Санкт-Петербурга (2008, 2011, 2012).

Структура и объем работы

Работа состоит из введения, двух глав и заключения. Работа содержит 104 страницы, 33 рисунка, 5 приложений, список литературы содержит 99 наименований.

Публикации по теме исследования

а) Публикации в изданиях, входящих в перечень ВАК:

1. Подольская Е. А., Кривцов А. М., Панченко А. Ю. Исследование устойчивости и структурного перехода в ГЦК-решетке при больших деформациях / Е. А. Подольская, А. М. Кривцов, А. Ю. Панченко // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1. Математика. Механика. Астрономия. - 2012. - Ж 3. - С. 123-128.

2. Подольская Е. А., Кривцов А. М. Описание геометрии кристаллов с гексагональной плотноупакованной структурой на основе парных потенциалов взаимодействия / Е. А. Подольская, А. М. Кривцов // Физика твердого тела. - 2012. - Т. 54. - Ж 7. - С. 1327-1334.

3. Подольская Е. А., Кривцов А. М., Панченко А. Ю., Ткачев П. В. Устойчивость идеальной бесконечной двумерной кристаллической решетки / Е.

А. Подольская, А. М. Кривцов, А. Ю. Панченко, П. В. Ткачев // Доклады Академии наук. - 2012. - Т. 442. - Ж 6. - С. 755-758.

4. Podolskaya Е. A., Panchenko A. Yu., Bukovskaya К. S. Influence of shear strain on stability of 2D triangular lattice / E. A. Podolskaya, A. Yu. Panchenko, K. S. Bukovskaya // Наносистемы: физика, химия, математика. - 2011. - Т. 2. - Ж 3. - С. 60-64.

5. Podolskaya Е. A., Panchenko A. Yu., Krivtsov А. М. Stability of 2D triangular lattice under finite biaxial strain / E. A. Podolskaya, A. Yu. Panchenko, A. M. Krivtsov // Наносистемы: физика, химия, математика. - 2011. - Т. 2. - №. 2. - С. 84-90

6. Кривцов А. М., Подольская Е. А. Моделирование упругих свойств кристаллов с гексагональной плотноупакованной решеткой / А. М. Кривцов, Е. А. Подольская // Изв. РАН. МТТ. - 2010. - Ж 3. - С. 77-86.

б) Другие публикации:

1. Теоретическая механика. Упругие и тепловые свойства идеальных кристаллов: учеб. пособие / И. Е. Беринский, Н. Г. Двас, А. М. Кривцов, А. М. Кударова, В. А. Кузькин, А. А. JIe-Захаров, О. С. Лобода, И. И. Нейгебау-эр, Е. А. Подольская; под ред. A.M. Кривцова. - СПб.: Изд-во Политехи, ун-та, 2009. - 144 с.

2. Panchenko A. Yu., Podolskaya Е. A., Krivtsov А. М. MD modeling of structural transitions in solids with FCC and BCC crystal lattice with defects at nonzero temperature / A. Yu. Panchenko, E. A. Podolskaya, A. M. Krivtsov // CD-ROM Book of abstracts of European Congress and Exhibition on Advanced Materials and Processes «EUROMAT 2013», Seville, Spain. - 2013.

3. Podolskaya E. A. On Stability Criteria of Ideal Crystalline Solids under Finite Strain within Force and Moment Interaction Models / E. A. Podolskaya // Book of abstracts «GAMM 2013», Novi Sad, Serbia. - 2013. - P. 219

4. Podolskaya E. A., Krivtsov A. M., Panchenko A. Yu. Stability and Structural Transitions in Crystal Lattices / E. A. Podolskaya, A. M. Krivtsov, A. Yu. Panchenko // Surface Effects in Solid Mechanics. Advanced Structured Materials. № 30. - Springer Berlin Heidelberg, 2013. - P. 123-133.

5. Podolskaya E. A. Influence of Moment Interaction on Stability of Plane Triangular Lattice Under Finite Strain / E. A. Podolskaya // Book of abstracts, Second Trilateral Seminar «Generalized continua as models for materials with multi-scale effects or under multi-field actions», Lutherstadt Wittenberg, Germany.

- 2012. - P. 32.

6. Podolskaya E. A., Krivtsov A. M., Panchenko A. Yu. Stability and Structural Transitions in Crystal Lattices / E. A. Podolskaya, A. M. Krivtsov, A. Yu. Panchenko // CD-ROM Book of abstracts of 8th European Solid Mechanics Conference, Graz, Austria. - 2012.

7. Podolskaya E. A., Krivtsov A. M., Panchenko A. Yu. Structural transitions in 2D and 3D ideal crystal lattices / E. A. Podolskaya, A. M. Krivtsov, A. Yu. Panchenko // Book of abstracts of XL Summer School-Conference «Advanced Problems in Mechanics», St. Petersburg. - 2012. - P. 70.

8. Подольская E. А., Кривцов A. M., Паиченко А. Ю. Исследование устойчивости и фазового перехода в ГЦК решетке при больших деформациях / Е. А. Подольская, А. М. Кривцов, А. Ю. Панченко // Тезисы докладов Международной научной конференции по механике «Шестые Поляховские чтения», 31 января-3 февраля 2012, Санкт-Петербург. - 2012. - С. 241-242.

9. Podolskaya Е. A., Panchenko A. Yu., Bukovskaya К. S. Influence of shear strain on stability of 2D triangular lattice / E. A. Podolskaya, A. Yu. Panchenko, K. S. Bukovskaya // Proceedings of XXXIX International Summer School-Conference «Advanced Problems in Mechanics», St. Petersburg. - 2011. - P. 358-363.

10. Podolskaya E. A., Panchenko A. Yu., Krivtsov A. M. Stability of 2D triangular lattice under finite biaxial strain / E. A. Podolskaya, A. Yu. Panchenko, A. M. Krivtsov // Proceedings of XXXIX International Summer School-Confercncc «Advanced Problems in Mechanics», St. Petersburg. - 2011. - P. 350-357.

11. Подольская E. А., Ткачев П. В. Кривцов А. М. Исследование устойчивости ГЦК решетки / Е. А. Подольская, П. В. Ткачев, А. М. Кривцов // XXXIX Неделя науки СПбГПУ, 6-11 декабря, 2010. Материалы международной научно-практической конференции. Часть V. - СПб.: Изд-во Политехи, унта, 2010. - С. 111-112

12. Подольская Е. А. Моделирование механических свойств кристаллов с гексагональной плотноупакованной решеткой с помощью парных потенциалов взаимодействия / Е. А. Подольская // Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов. Труды XIII Международной конференции. 28 сентября-01 октября, 2009, Санкт-Петербург. - 2009. - Т.1. - С. 161-162

13. Podolskaya Е. A. Modeling and design of mechanical properties and structure of HCP lattice using pair potentials / E. A. Podolskaya // Book of abstracts of XXXVII Summer School-Conference «Advanced Problems in Mechanics», St. Petersburg. - 2009. - P. 71.

14. Подольская E. А. Моделирование упругих свойств гексагональной плотно-упакованной решетки. / Е. А. Подольская // Избранные труды Международной научной конференции по механике «Шестые Поляховские чтения», 3-6 февраля 2009, Санкт-Петербург. - 2009. - С.321-326.

15. Подольская Е. А. Моделирование упругих свойств гексагональной плотно-упакованной решетки. / Е. А. Подольская // Тезисы докладов Международной научной конференции по механике «Шестые Поляховские чтения», 3-6 февраля 2009, Санкт-Петербург. - 2009. - С. 187

16. Podolskaya E. A. Modeling of hexagonal close-packed crystal lattices / E. A. Podolskaya // Proceedings of XXXVI Summer School-Conference «Advanced Problems in Mechanics», St. Petersburg. - 2008. - P. 533-539

17. Подольская E. А. ГПУ решетка при силовом и моментном взаимодействии / Е. А. Подольская // Наука и инновации в технических университетах: Материалы Всероссийского форума студентов, аспирантов и молодых ученых. - СПб.: Изд-во Политехи, ун-та, 2008. - С. 168

Обзор литературы

Основы современной механики дискретных сред заложены М. Борном в его работах по анализу динамики кристаллических решеток [4, 5, 46]. Им был разработан метод длинных волн, с помощью которого стало возможным получение соотношений упругости для идеального кристалла, а метод впоследствии использовался многими авторами, занимавшимися механикой кристаллических решеток [23, 31, 34]. В начале 1960-х годов появились первые работы [41, 73] по численному моделированию на основе метода молекулярной динамики. Согласно этому методу материал, то есть сплошную среду, можно представить в виде совокупности материальных точек (атомов, ионов, молекул или, наоборот, астрономических объектов), взаимодействующих друг с другом и с внешними полями по определенным законам. Стоит также отметить работы [42, 78], в которых содержится подробная информация об исследованиях в области компьютерного моделирования методом динамики частиц.

Регулярная кристаллическая структура характерна для металлов, которые составляют большой процент конструкционных материалов, представляя таким образом интерес в качестве объектов исследования. Согласно [6] «связь в металлическом кристалле ненаправленная, то есть сферически-симметричная», в связи с чем в кристаллографии реальный атом металла заменяют твердым шаром, радиус которого — так называемый металлический радиус атома — равен половине расстояния между соседними атомами. Для описания плотноупакованных

структур, которые можно таким образом представить в виде совокупности шаров, уложенных слоями в некотором объеме, эффективно применяются парные силовые потенциалы, зависящие только от расстояния между атомами и не учитывающие симметрию кристалла: потенциалы Леннард-Джонса [81], Морзе, Ми. При данном виде взаимодействия две частицы действуют друг на друга силами, направленными вдоль соединяющей их линии. Парные силовые потенциалы хорошо описывают на качественном уровне деформирование и разрушение твердых тел, фазовые превращения, некоторые тепловые эффекты [24], а для инертных газов позволяют получить хорошее количественное соответствие. В работе [76] предложена модификация потенциала Морзе, содержащая зависимость от температуры и применяющаяся для описания мартенситного перехода в материалах с эффектом памяти формы. Тем не менее, использование парных силовых потенциалов зачастую не позволяет количественно описать свойства металлов. В работе [64] содержится критика потенциала Леннард-Джонса. В кристалле, атомы которого взаимодействуют посредством этого потенциала, имеется строгое соотношение между энергией образования вакансий и энергией когезии, не наблюдающееся у реальных металлов (под энергией когезии понимается разница между энергией, приходящейся на атом в кристалле, и энергией свободного атома). Еще одна проблема связана с описанием упругих свойств. При парном силовом взаимодействии выполняется так называемое соотношение Коши-Борна, связывающее компоненты тензора жесткости С\2 и С44, приводящее к тому, что, например, выбор закона взаимодействия не влияет на коэффициент Пуассона, численное значение которого зависит только от типа решетки, что противоречит экспериментальным данным. Кроме того, парные силовые потенциалы практически не применимы к описанию неплотноупако-ванных структур, например, графита, так как не обеспечивают устойчивость равновесия модельного материала.

В 1984 году был предложен потенциал погруженного атома (ЕАМ) [54], основная идея которого состоит в том, что потенциальная энергия системы ионов

может быть представлена в виде функции электронной плотности. Потенциал состоит из двух частей: парный потенциал, описывающий взаимодействие ионов, и многочастичная часть, зависящая от локальной электронной плотности в той точке, где находится атом, которая, в свою очередь, зависит от положений соседних атомов. В работе [66] потенциал применен для описания свойств ряда ГЦК металлов (Ag, Аи, Си, N1, Рс1, Р^. В [88] показано, что потенциал погруженного атома корректно описывает некоторые ГПУ металлы. Для других ГПУ металлов требуется модификация [44], связанная с введением дополнительных слагаемых, учитывающих изменение угла между связями, так как решетка реальных ГПУ металлов, в отличие от ГЦК, обладает меньшей плотностью упаковки, что соответствует укладке не шаров, а эллипсоидов вращения. Подробный исторический обзор на тему развития методов типа погруженного атома приведен в работе [57]. Еще один класс потенциалов, применимых для неплотноупакованных структур, составляют потенциалы Терзоффа [93], Бреннера [48] и их модификации. Реакция потенциала на изменение угла между связями моделирует ковалентность связей, для которых сила взаимодействия не является центральной (наряду с продольными силами возникают поперечные). Подробный обзор литературы по межатомным потенциалам для ковалентных систем приведен в [82].

Альтернативой многочастичным потенциалам, имеющим зачастую нетривиальную форму записи и содержащим большое число параметров, являются потенциалы, моделирующие ковалентность связи путем учета ее изгибной жесткости [21, 22, 3]. Такие потенциалы называются парными моментными, так как они моделируют как силовое, так и моментное взаимодействие между атомами, которые представляются уже не материальными точками, а твердыми телами; потенциалы зависят как от относительных положений, так и от относительных поворотов этих тел. Концепция моментного взаимодействия, примененная в данной работе к описанию упругих свойств ГПУ металлов, показала свою эффективность по сравнению с чисто силовым взаимодействием при том же

количестве параметров. В механике сплошной среды аналогом этого подхода является моментная теория упругости [53, 19, 29].

Ключевым понятием в классической континуальной теории является удельная потенциальная энергия деформации ги. Существование такой функции, согласно [32], «связывается с приписываемой упругой среде способностью аккумулировать работу внешних сил при нагружении и возвращать запасенную энергию при разгружении». Вариация удельной потенциальной энергии равна элементарной работе внешних сил, отнесенной к объему тела в отсчетной конфигурации. Исходя из определения элементарной работы и предполагая, что удельная потенциальная энергия является функцией деформационного градиента, можно получить выражение для тензора напряжений Пиола, как производной от из по деформационному градиенту. При переходе от дискретного описания к континуальному в качестве ги используется так называемая энергия Коши-Борна [46], равная сумме потенциальных энергий взаимодействия частиц, отнесенной к удвоенному объему элементарной ячейки.

Конкретному заданию функции ги отвечает некоторая группа материалов. Очевидно, что ги должна обладать рядом свойств, которые вытекают из сравнения расчетов с результатами простейших экспериментов (одноосное растяжение, простой сдвиг и т.д.). В линейной теории упругости ги является положительно определенной квадратичной формой, что согласуется с вариационными принципами минимума: при отсутствии деформаций потенциальная энергия минимальна, и она возрастает в процессе деформирования. В этом случае материал считается устойчивым в энергетическом смысле. Вообще говоря, положительная определенность т является свойством, приписываемым упругому телу [32]. В классической линейной теории упругости так называемые «С-неравенства»

е • -4С • -е > О

и требование Сктр<} = Сткт достаточны для того, чтобы типичная краевая задача имела решение и чтобы это решение было устойчивым и единственным [39].

Здесь 4С — тензор упругости:

а =4С ■ •£.

В теории конечных деформаций функция ии имеет более сложный вид. Все рассуждения проводятся в терминах ее первых и вторых производных по различным аргументам: компонентам и инвариантам тензоров и мер деформаций. Основной проблемой нелинейной теории упругости, согласно [39], является определение подходящих классов функций IV, в том числе обеспечивающих устойчивость материала.

В нелинейной теории при наложении малых деформаций на конечную рассматривается набор условий устойчивости. Обычно ограничиваются только однородными конфигурациями, что означает аффинность преобразования координат при переходе от отсчетной конфигурации в актуальную, и полагают, что материал гиперупругий, то есть для него существует удельная потенциальная энергия деформации, производная от которой по транспонированному деформационному градиенту есть тензор напряжений Пиола. В этом случае необходимым условием устойчивости является неравенство Адамара [77]. В работе [12] предложена методика проверки условий Адамара, которую можно использовать как при выборе уравнения состояния материала, так и при анализе применимости найденных решений конкретных задач нелинейной теории.

Кроме того, рассматривают условие сильной эллиптичности уравнений равновесия, фактически являющееся строгим неравенством Адамара и означающее, что скорости распространения в предварительно напряженной упругой среде плоских волн вещественны и не обращаются в ноль. Вводится понятие акустического тензора, собственные числа которого пропорциональны квадратам скоростей распространения волн, то есть условие сильной эллиптичности эквивалентно требованию положительной определенности акустического тензора. В [20] для однородной изотропной упругой среды получен новый критерий выполнимости условия сильной эллиптичности и на его основе предложено новое определяющее неравенство нелинейной теории упругости. В работе [15] вы-

водятся условия сильной эллиптичности в моментно-упругих средах, условия устойчивости стержня в постановке Коссера-Тимошенко [18] получены в [30]. Согласно [45] условие сильной эллиптичности в механике сплошной среды, вообще говоря, является слишком ограничивающим, так как исключает из рассмотрения жидкости.

Доказано, что условие сильной эллиптичности является достаточным при граничных условиях первого рода типа «жесткая обойма» [39, 32]. Важным следствием, применяемым в теории фазовых переходов [80], является то, при выходе из области сильной эллиптичности новая равновесная конфигурация, если она существует, не аффинна, а потенциальная энергия в ней меньше, чем в отсчетной [32]. Этого условия недостаточно для моделирования фазовых превращений, то есть нахождения такой функции потенциальной энергии деформации, которая позволит предсказывать поведение материала при различных видах нагружения и геометрических условиях. Возможным решением является изучение различных двухфазных деформаций для широкого класса функций энергии, с тем чтобы учесть полученные результаты при конструировании функции энергии при решении конкретной задачи [68, 14, 40, 69, 9].

Необходимым условием сильной эллиптичности является эллиптичность уравнений равновесия, гарантирующая отсутствие поверхностей «слабого» разрыва поля перемещений [39]. В линейной теории для изотропного материала собственные числа акустического тензора равны К + |// и /л, где К — модуль объемного сжатия, ^ — модуль сдвига, поэтому уравнения равновесия эллиптические при + сильно эллиптические при К + > 0 и ¡л > 0. Поскольку положительность удельной потенциальной энергии деформации линейно-упругого тела, то есть возможность его существования, равносильна положительности К и ¡1 [32], то условие сильной эллиптичности в этом случае выполняется и подавно.

Альтернативным подходом является требование выпуклости энергии, которое может коррелировать с устойчивостью [87]: нарушение выпуклости мо-

жет означать, что материал становится неустойчивым при «мертвом» нагру-жении, или же может негативно влиять на сходимость численных схем решения краевой задачи. Еще один подход заключается в требовании монотонности преобразования от деформационного градиента к тензору Пиола, которое является обобщением соображений о соответствии знаков компонент тензоров напряжения и деформации. Модификация этого требования, позволяющая учесть возможность жесткого поворота среды, — обобщенное условие Колемана-Нолла [51]. В линейном приближении это условие сводится к требованию положительности работы напряжений при любой нежесткой деформации. Согласно [45] оно является слишком слабым для применения его в качестве критерия устойчивости. Условие Колемана-Нолла и неравенство Адамара, несмотря на похожую форму записи в рассматриваемых предположениях, являются несравнимыми, так как первое требует выполнение неравенства на классе симметричных тензоров, а второе — на классе диад.

Широкое распространение получил метод длинных волн, позволяющий перейти от дискретной системы к эквивалентному континууму, свойства которого далее исследуются методами механики сплошной среды. При этом переходе используется приближение Коши-Борна [46], заключающееся в том, что при наложении малой деформации на материальный объем изменение положения каждой частицы будет описываться одним и тем же деформационным градиентом, если решетка простая (то есть совпадает со своей решеткой Браве). Для сложных решеток ввиду наличия внутренних степеней свободы, это правило должно быть изменено. Один из вариантов, используемый в данной работе, представлен в [26]. Обзор, посвященный модификациям приближения Коши-Борна, приведен в статье [65]. Во многих исследованиях в качестве иллюстрации используется двумерная квадратная решетка. Так, в работе [59] изучается квадратная решетка, атомы которой взаимодействуют посредством парного силового потенциала, и доказывается, что такая решетка неустойчива; авторы же работы [70], соединившие атомы «пружинами», допускают устойчивость, рав-

но как и авторы работы [52], использовавшие континуальную теорию. Таким образом, при использовании атомистического подхода, с одной стороны, решается вопрос о задании с помощью приближению Коши-Борна удельной потенциальной энергии деформации ги, с другой стороны, ввиду того, что структура материала частично определяет его механические свойства (например, для простых решеток при парном силовом взаимодействии коэффициент Пуассона не зависит от выбора закона взаимодействия и является конкретным числом [24]), возникает проблема выбора адекватного метода исследований.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Подольская, Екатерина Александровна, 2013 год

Список литературы

[1] Альтенбах X., Еремеев В.А., Морозов Н.Ф. Об уравнениях линейной теории оболочек при учете поверхностных напряжений / X. Альтенбах, В А. Еремеев, Н.Ф. Морозов // Известия РАН. Механика твердого тела. - 2010. - № 3. - С. 30-44.

[2] Баранов М. А., Дубов Е. А., Дятлова И. В., Черных Е. В. Атомно-дискретное описание влияния анизотропных межатомных взаимодействий на упругие свойства ГПУ металлов / М. А. Баранов, Е. А. Дубов, И. В. Дятлова, Е. В. Черных // Физика твердого тела. - 2004. - Т. 46. - Ж 2. -С. 212-217.

[3] Беринский И. Е., Иванова Е. А., Кривцов А. М., Морозов Н. Ф. Применение моментного взаимодействия к построению устойчивой модели кристаллической решетки графита / И. Е.Беринский, Е. А. Иванова, А. М. Кривцов, Н. Ф. Морозов // Известия РАН. Механика твердого тела. -2007. - №. 5. - С. 6-16.

[4] Борн М. Динамика кристаллической решетки / М. Борн. - М., 1932.

[5] Борн М., Гепперт-Майер М. Теория твердого тела / М. Борн, М. Гепперт-Майер. - М.-Л., 1938. - 364 с.

[6] Васильев Д. М. Физическая кристаллография / Д. М. Васильев. -М.:Металлургия, 1981. - 256 с.

[7] Вильчевская Е. Н. Тензорная алгебра и тезорный анализ: учеб. пособие / Е. Н. Вильчевская. - СПб.: Изд-во Политехи, ун-та, 2012. - 44 с.

[8] Гольдштейн Р.В., Городцов В.А., Устинов К.Б. Влияние поверхностных остаточных напряжений и поверхностной упругости на деформирование шарообразных включений нанометровых размеров в упругой матрице /

P.B. Гольдштейн, В.А. Городцов, К.Б. Устинов // Физическая мезомеха-ника. - 2010. - Т. 13. - Ж 5. - С. 127-138.

[9] Греков М. А. Два типа дефектов межфазной поверхности / М. А. Греков // Прикладная математика и механика. - 2011. - Т. 75. - №. 4. - С. 678-697.

[10] Физические величины: справочник / Под ред. И.С. Григорьева, Е.З. Мей-лихова. - М.: Энергоатомиздат, 1991. - 1232 с.

[11] Гузев М.А., Дмитриев A.A. Бифуркационное поведение потенциальной энергии системы частиц / М.А. Гузев, A.A. Дмитриев // Физическая ме-зомеханика. - 2013. - Т. 16. - № 3. - С. 27-33.

[12] Гурвич Е. JL Условия Адамара в нелинейной теории упругости / Е. JI. Гурвич // Изв. АН СССР. МТТ. - 1979. - Ж 1. - С. 45-51.

[13] Дмитриев С. В., Баимова Ю. А., Савин А. В., Кившарь Ю. С. Границы устойчивости плоского листа графена при деформации в плоскости / С. В. Дмитриев, Ю. А. Баимова, А. В. Савин, Ю. С. Кившарь // Письма в Журнал экспериментальной и теоретической физики. - 2011. - Т. 93. - Ж. 10. - С. 632-637.

[14] Еремеев В. А., Зубов JI. М. Об устойчивости равновесия нелинейно-упругих тел, испытывающих фазовые превращения / В. А. Еремеев, JI. М. Зубов // Изв. АН. МТТ. - 1991. - Ж 2. - С. 56-65.

[15] Еремеев В. А., Зубов JL М. Об устойчивости упругих тел с моментными напряжениями / В. А. Еремеев, JI. М. Зубов // Изв. РАН. МТТ. - 1994. -ЖЗ. - С. 181-190.

[16] Еремеев В. А., Альтенбах X., Морозов Н. Ф. О влиянии поверхностного натяжения на эффективную жесткость наноразмерных пластин. / В. А. Еремеев, X. Альтенбах, Н. Ф. Морозов // Доклады Академии наук. - 2009. - Т. 424. - Ж 5. - С. 618-620.

[17] Жилин П. А. Векторы тензоры второго ранга в трехмерном пространстве / П. А. Жилин. - СПб.: Нестор, 2001. - 276 с.

[18] Жилин П.А. Прикладная механика. Теория тонких упругих стержней / П. А. Жилин. - СПб.: СПбГПУ, 2007. - 102 с.

[19] Жилин П. А. Рациональная механика сплошных сред: учеб. пособие / П. А. Жилин. - СПб.: Изд-во Политехи, ун-та, 2012. - 584 с.

[20] Зубов Л.М., Рудев А.Н. Критерий сильной эллиптичности уравнений равновесия изотропного нелинейно-упругого материала / Л.М. Зубов, А.Н. Рудев // Прикладная математика и механика. - 2011. - Т. 75. - №. 4. - С. 613-634.

[21] Иванова Е. А., Кривцов А. М., Морозов Н. Ф., Фирсова А. Д. Описание кристаллической упаковки частиц с учетом моментных взаимодействий / Е. А. Иванова, А. М. Кривцов, Н. Ф. Морозов, А. Д. Фирсова // Изв. РАН. МТТ. - 2003. - №. 4. - С. 110-127.

[22] Иванова Е. А., Кривцов А. М., Морозов Н. Ф. Получение макроскопических соотношений упругости сложных кристаллических решеток при учете моментных взаимодействий на микро уровне / Е. А. Иванова, А. М. Кривцов, Н. Ф. Морозов // Прикладная математика и механика. - 2007. - Т. 71. - №. 4. - С. 595-615.

[23] Косевич А. М. Основы механики кристаллической решетки / А. М. Косе-вич. - М.: Наука, 1972. - 280 с.

[24] Кривцов А. М. Деформирование и разрушение твердых тел с микроструктурой / А. М. Кривцов. - М.: Физматлит, 2007. - 304 с.

[25] Кривцов А. М., Морозов Н. Ф. О механических характеристиках нанораз-мерных объектов / А. М. Кривцов, Н. Ф. Морозов // Физика твердого тела. - 2002. - Т. 44. - №. 12. - С. 2158-2163.

[26] Кривцов А. М. Теоретическая механика. Упругие свойства одноатомных и двухатомных кристаллов: учеб. пособие / А. М. Кривцов. - СПб.: Изд-во Политехи, ун-та, 2009. - 126 с.

[27] Теоретическая механика. Упругие и тепловые свойства идеальных кристаллов: учеб. пособие / И. Е. Беринский, Н. Г. Двас, А. М. Кривцов,

A. М. Кударова, В. А. Кузькин, А. А. JIe-Захаров, О. С. Лобода, И. И. Нейгебауэр, Е. А. Подольская; под ред. A.M. Кривцова. - СПб.: Изд-во Политехи, ун-та, 2009. - 144 с.

[28] Лагунов В. А., Синани А. Б. Образование биструктуры твердого тела в компьютерном эксперименте / В. А. Лагунов, А. Б. Синани // Физика твердого тела. - 1998. - Т. 40. - №. 10. - С. 1919-1924.

[29] Л алии В. В. Уравнения нелинейной динамики моментной упругой среды / В.В. Лалин // Научно-технические ведомости Санкт-Петербургского государственного политехнического университета. - 2007. - №. 1. - С. 97-106.

[30] Лалин В.В., Розин Л.А., Кушова Д.А. Вариационная постановка плоской задачи геометрически нелинейного деформирования и устойчивости упругих стержней / В.В. Лалин, Л.А. Розин, Д.А. Кушова // Инженерно-строительный журнал. - 2013. - Ж 1 (36). - С. 87-96.

[31] Лейбфрид Г. Микроскопическая теория механических и тепловых свойств кристаллов / Г. Лейбфрид, пер. с нем. - М.: Физматгиз, 1963. - 312 с.

[32] Лурье А. И. Нелинейная теория упругости / А. И. Лурье. - М.:Наука, 1980. - 512 с.

[33] Максимов Е. Г., Магницкая М. В., Фортов В. Е. Непростое поведение простых металлов при высоких давлениях / Е. Г. Максимов, М. В. Магницкая,

B. Е. Фортов // Успехи физических наук. - 2005. - Т. 175. - №. 8. - С. 793-813.

[34] Марадудин А., Монтролл Э., Вейсс Дж. Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении / А. Марадудин, Э. Монтролл, Дж. Вейс. - М.: Мир, 1965. - 384 с.

[35] Пальмов В. А. Элементы тензорной алгебры и тензорного анализа: учеб. пособие / В. А. Пальмов. - СПб.: Изд-во Политехи, ун-та, 2008. - 108 с.

[36] Ткачев П. В., Кривцов А. М. Критерий устойчивости внутренней структуры материала / П. В. Ткачев, А. М. Кривцов // XXXIII Неделя науки СПбГПУ. Материалы международной научно-практической конференции. Часть V. - СПб.: Изд-во Политехи, ун-та, 2004. - С. 4-6.

[37] Товстик П. Е., Товстик Т. П. Модель двумерного графитового слоя / П. Е. Товстик, Т. П. Товстик // Вестн. С.-Петерб. ун-та. - 2009. - №. 3. - С. 1-11.

[38] Томпсон Д. М. Т. Неустойчивости и катастрофы в науке и технике / Д. М. Т. Томпсон. - М.: Мир, 1985. - 254 с.

[39] Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред / К. Трусделл. - М.: Мир, 1975. - 592 с.

[40] Abeyaratne R. С., Bhattacharya К., Knowles J. К. Strain-energy functions with multiple local minima: modeling phase transformations using finite thermoelasticity / R. C. Abeyaratne, K. Bhattacharya, J. K. Knowles // Nonlinear Elasticity: Theory and Application. - Cambridge University Press, 2001. - P. 433-490.

[41] Alder B. J., Wainwright Т. E. Phase transition for a hard sphere system / B. J. Alder, Т. E. Wainwright // The Journal of Chemical Physics. - 1957. - V. 27. - №. 5. - P. 1208-1209.

[42] Allen M. P., Tildesley A. K. Computer Simulation of Liquids / M. P. Allen, A. K. Tildesley. - Oxford: Clarendon Press, 1987. - 385 p.

[43] Bain E. C., Dunkirk N. Y. The nature of martensite / E. C. Bain, N. Y. Dunkirk // Trans. Amer. Inst. Min. Metall. Eng. - 1924. - V. 70. - №. 1. - P. 25-46.

[44] Baskes M. I., Johnson R. A. Modified embedded atom potentials for HCP metals / M. I. Baskes, R. A. Johnson // Modelling and Simulation in Materials Science and Engineering. - 1994. - V. 2. - №. 1. - P. 147.

[45] Beatty M. F. Introduction to nonlinear elasticity / M. F. Beatty // Nonlinear effects in fluids and solids. - Springer US, 1996. - P. 13-112.

[46] Born M., Huang K. Dynamical Theory of Crystal Lattices / M. Born, K. Huang. - Oxford: Clarendon, 1954. - 420 p.

[47] Brandes E. A., Brook G. B. Smithells Metals Reference Book / E. A. Brandes, G. B. Brook. - Oxford: Butterworth-Heinemann, 1992. - 1800 p.

[48] Brenner D. W. Empirical potential for hydrocarbons for use in simulating the chemical vapor deposition of diamond films / D. W. Brenner // Physical Review B. - 1990. - V. 42. - №. 15. - P. 9458-9471.

[49] Burgers W. G. On the process of transition of the cubic-body-centered modification into the hexagonal-close-packed modification of zirconium / W. G.Burgers // Physica. - 1934. - V. 1. - №. 7. - P. 561-586.

[50] Cherkaev A., Kouznetsov A., Panchenko A. Still states of bistable lattices, compatibility, and phase transition / A. Cherkaev, A. Kouznetsov, A. Panchenko // Continuum Mechanics and Thermodynamics. - 2010. - V. 22. - №. 6-8. - P. 421-444.

[51] Coleman B. D., Noll W. On the thermostatics of continuous media / B. D. Coleman, W. Noll // Archive for Rational Mechanics and Analysis. - 1959. -V. 4.- №. 1. - P. 97-128.

[52] Conti S., Zanzotto G. A variational model for reconstructive phase transformations in crystals, and their relation to dislocations and plasticity / S. Conti, G. Zanzotto // Archive for rational mechanics and analysis. -2004. - V. 173. - №. 1. - P. 69-88.

[53] Cosserat E., Cosserat F. Theorie des Corps Deformables / E. Cosserat, F. Cosserat. - Paris: Hermann et Fils, 1909.

[54] Daw M. S., Baskes M. I. Semiempirical, quantum mechanical calculation of hydrogen embrittlement in metals / M. S. Daw, M. I. Baskes // Physical Review Letters. - 1983. - V. 50. - №. 17. - P. 1285-1288.

[55] Delph T. J., Zimmerman J. A. Prediction of instabilities at the atomic scale / T. J. Delph, J. A. Zimmerman // Modelling and Simulation in Materials Science and Engineering. - 2010. - V. 18. - №. 4. - 045008 (20 pp.)

[56] Duan H. L., Wang J., Karihaloo B. L. Theory of elasticity at the nanoscale / H. L. Duan, J. Wang, B. L. Karihaloo // Advances in Applied Mechanics. -2009. - V. 42. - P. 1-68.

[57] Duparc O.H. On the origins of the Finnis-Sinclair potentials / O.H. Duparc // Philosophical Magazine Letters, Phil. Mag. - 2009.- V. 89 - №. 34-36. - P. 3117-3131.

[58] Dvas N. G. Stability of plain 4-atomic system / N. G. Dvas. // Proceedings of XXXIV International Summer School-Conference «Advanced Problems in Mechanics», St. Petersburg. - 2006. - P. 138-141.

[59] E W., Ming P. Cauchy-Born rule and the stability of crystalline solids: static problems / W. E, P. Ming // Archive for Rational Mechanics and Analysis. -2007. - V. 183. - №. 2. - P. 241-297.

[60] E W., Ming P. Cauchy-Born rule and the stability of crystalline solids: dynamic problems / W. E, P. Ming // Acta Mathematicae Applicatae Sinica, English Series. - 2007. - V. 23. - №. 4. - P. 529-550.

[61] Einarsdotter K., Sadigh B., Grimvall G., Ozolins V. Phonon Instabilities in fee and bee Tungsten / K. Einarsdotter, B. Sadigh, G. Grimvall, V. Ozolins // Physical review letters. - 1997. - V. 79. - №. 11. - P. 2073-2076.

[62] Elliott R. S., Shaw J. A., Triantafyllidis N. Stability of pressure-dependent, thermally-induced displacive transformations in bi-atomic crystals / R. S. Elliott, J. A. Shaw, N. Triantafyllidis // International journal of solids and structures. - 2002. - V. 39. - №. 13. - P. 3845-3856.

[63] Elliott R. S., Triantafyllidis N., Shaw J. A. Stability of crystalline solids—I: continuum and atomic lattice considerations / R. S. Elliott, N. Triantafyllidis, J. A. Shaw // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. - 2006. - V. 54. - №. 1. - P. 161-192.

[64] Ercolessi F., Parinello M., Tosatti E. Simulation of gold in the glue model / F. Ercolessi, M. Parinello, E. Tosatti // Philosophical Magazine A. - 1988. -V. 58. - №. 1. - P. 213-226.

[65] Ericksen J. L. On the Cauchy-Born Rule / J. L. Ericksen // Mathematics and Mechanics of Solids.- 2008. - V. 13. - №. 3-4. - P. 199-220.

[66] Foiles S. M., Daw M. S., Baskes M. I. Embedded-atom-method functions for fee metals Cu, Ag, Au, Ni, Pd, Pt, and their alloys / S. M. Foiles, M. S. Daw, M. I. Baskes // Phys. Rev. B. - 1986. - V. 33. - №. 12. - P. 7983.

[67] Folkins I., Walker M. B. Configuration-space approach to the fee to hep structural transition / I. Folkins, M. B. Walker // Physical Review Letters. -1990. - V. 65. - P. 127-130.

[68] Fosdick R. L., James R. D. The elastica and the problem of the pure bending for a non-convex stored energy function / R. L. Fosdick, R. D. James // Journal of Elasticity. - 1981. - V. 11. - №. 2. - P. 165-186.

[69] Freidin A. B., Fu Y. B., Sharipova L. L., Vilchevskaya E. N. Spherically symmetric two-phase deformations and phase transition zones / A. B. Freidin,

Y. B. Fu, L. L. Sharipova, E. N. Vilchevskaya // International journal of solids and structures. - 2006. - V. 43. - №. 14. - P. 4484-4508.

[70] Friesecke G., Theil F. Validity and failure of the Cauchy-Born hypothesis in a two-dimensional mass-spring lattice / G. Friesecke, F. Theil //Journal of nonlinear Science. - 2002. - V. 12. - №. 5. - P. 445-478.

[71] Fu Y. B., Ogden R. W. Nonlinear stability analysis of pre-stressed elastic bodies / Y. B. Fu, R. W. Ogden // Continuum Mechanics and Thermodynamics. - 1999. - V. 11. - №. 3. - P. 141-172.

[72] Geim A. K., Novoselov K. S. The rise of graphene / A. K. Geim, K. S. Novoselov//Nature materials. - 2007. - V. 6. - №. 3. - P. 183-191.

[73] Gibson J. B., Goland A. N., Milgram M., Vineyard G. H. Dynamics of Radiation Damage / J. B. Gibson, A. N. Goland, M. Milgram, G. H. Vineyard // Phys.Rev. - 1960. - V. 120. - №. 4. - P. 1229-1253.

[74] Grekov M., Morozov N. Surface effects and problems of nanomechanics / M. Grekov, N. Morozov // J. Ningbo Univ. - 2012. - V. 25. - №. 1. - P. 60-63.

[75] Grimvall G., Magyari-Kope B., Ozolins V., Persson K. A. Lattice instabilities in metallic elements / G. Grimvall, B. Magyari-Kope, V. Ozolins, K. A. Persson // Reviews of Modern Physics. - 2012. - V. 84. - №. 2. - P. 945-986.

[76] Guthikonda V. S., Elliott R. S. An effective interaction potential model for the shape memory alloy AuCd / V. S. Guthikonda, R. S. Elliott // Continuum Mechanics and Thermodynamics. - 2009. - V. 21. - №. 4. - P. 269-295.

[77] Hadamard J. Leçons sur la Propagation des Ondes et les Equations d'Hydrodynamique / J. Hadamard. - Paris. - 1903.

[78] Hockney R.W., Eastwood J.W. Computer simulation using particles / R.W. Hockney, J.W. Eastwood. - N.Y.: A.Hilger, 1988. - 540 p.

[79] Knowles J. K, Sternberg E. On the ellipticity of the equations of nonlinear elastostatics for a special material / J. K. Knowles, E. Sternberg // Journal of Elasticity. - 1975. - V. 5. - №. 3-4. - P. 341-361.

[80] Knowles J. K., Sternberg E. On the failure of ellipticity and the emergence of discontinuous deformation gradients in plane finite elastostatics / J. K. Knowles, E. Sternberg // Journal of Elasticity. - 1978. - V. 8. - №. 4. - P. 329-379.

[81] Lennard-Jones J. E. The determination of molecular fields I. From the variation of the viscosity of a gas with temperature / J. E. Lennard-Jones // Proceedings of the Royal Society of London. - 1924. - V. 106. - №. 441. - P. 463-477.

[82] Los J. H., Ghiringhelli L. M., Meijer E. J., Fasolino A. Improved long-range reactive bond-order potential for carbon. I. Construction / J. H. Los, L. M. Ghiringhelli, E. J. Meijer, A. Fasolino // Physical Review B. - 2005. - V. 72. - №. 21. - P. 214102.

[83] Marcus P. M., Jona F., Qiu S. L. Epitaxial Bain paths and metastable phases from first-principles total-energy calculations / P. M. Marcus, F. Jona, S. L. Qiu // Physical Review B. - 2002. - V. 66. - №. 6. - P. 064111.

[84] Milstein F. Theoretical strength of a perfect crystal / F.Milstein // Physical Review B. - 1971. - V. 3. - №. 4. - P. 1130-1141.

[85] Milstein F., Fang H. E., Marschall J. Mechanics and energetics of the Bain transformation / F. Milstein, H. E. Fang, J. Marschall // Philosophical Magazine A. - 1994. - V. 70. - №. 4. - P. 621-639.

[86] Milstein F., Rasky D. Theoretical study of shear-modulus instabilities in the alkali metals under hydrostatic pressure / F. Milstein, D. Rasky // Phys. Rev. B. - 1996. - V. 54. - №. 10. - P. 7016-7025.

[87] Ogden R. W. Nonlinear elasticity, anisotropy, material stability and residual stresses in soft tissue / R. W. Ogden // Courses and lectures-international centre for mechanical sciences. - Springer-Verlag, Wien, 2003. - P. 65-108.

[88] Pasianot R., Savino E. J. Embedded-atom-method interatomic potentials for hep metals / R. Pasianot, E. J. Savino // Physical Review B. - 1992. - V. 45. - №. 22. - P. 12704-12710.

[89] Savin A. V., Kivshar Y. S., Hu B. Suppression of thermal conductivity in graphene nanoribbons with rough edges / A. V. Savin, Y. S. Kivshar, B. Hu // Physical Review B. - 2010. - V. 82. - №. 19. - P. 195422.

[90] Schraad M. W., Triantafyllidis N. Scale effects in media with periodic and nearly periodic microstructures - I. Macroscopic properties / M. W. Schraad, N. Triantafyllidis // Journal of Applied Mechanics. - 1997. - V. 64. - №. 4. -P. 751-762.

[91] Schraad M. W., Triantafyllidis N. Scale effects in media with periodic and nearly periodic microstructures - II. Failure mechanisms / M. W. Schraad, N. Triantafyllidis // Journal of Applied Mechanics. - 1997. - V. 64. - №. 4. - P. 762-771.

[92] Simmons G., Wang H. F. Single Crystal Elastic Constants and Calculated Aggregate Properties: A Handbook / G. Simmons, H. F. Wang. - Cambridge: MIT Press, 1971. - 370 pp.

[93] Tersoff J. New empirical model for the structural properties of silicon / J. Tersoff // Physical Review Letters. - 1986. - V. 56. - №. 6. - P. 632-635.

[94] Ting T. C. T. Positive definiteness of anisotropic elastic constants / T. C. T. Ting // Mathematics and Mechanics of Solids. - 1996. - V. 1. - №. 3. - P. 301-314.

[95] Tkachev P. V. Stability of particle triangle under compression / P. V. Tkachev // Proceedings of XXX International Summer School-Conference «Advanced Problems in Mechanics», St. Petersburg. - 2002.

[96] Wagner N. J., Holian B. L., Voter A. F. Molecular-dynamics simulations of two-dimensional materials at high strain rates / N. Wagner J., B. L. Holian, A. F. Voter // Physical Review A. - 1992. - V. 45. - №. 12. - P. 8457-8470.

[97] Wallace D. C., Patrick J. L. Stability of crystal lattices / D. C. Wallace, J. L. Patrick // Phys. Rev. - 1965. - V. 137. - №. 1A. - P. 152-160.

[98] Wang J., Li J., Yip S., Phillpot S., Wolf D. Mechanical instabilities of homogeneous crystalls / J. Wang, J. Li, S. Yip, S. Phillpot, D. Wolf // Phys. Rev. - 1995. - V. 52. - №. 17B. - P. 12627-12635.

[99] WebElements: the periodic table on the WWW [http://www.webelements.com/] Copyright 1993-2012 Mark Winter [The University of Sheffield and WebElements Ltd, UK].