Равновесие и устойчивость конечных деформаций изгиба и растяжения упругих тел при учете собственных напряжений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат наук Шубчинская, Наталия Юрьевна

• Шубчинская, Наталия Юрьевна
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Шубчинская, Наталия Юрьевна

Содержание

Введение

Глава 1. Равновесие и устойчивость изгибаемого нелинейно-упругого бруса

1.1. Равновесие прямоугольного бруса при чистом изгибе

1.2. Устойчивость изгиба

1.3. Изгиб бруса из полулинейного материала

1.4. Изгиб бруса из материала Блейтца и Ко

1.5. Численные результаты

Глава 2. Равновесие нелинейно-упругого цилиндра с собственными

напряжениями

2.1. Собственные напряжения возникающие вследствие клиновой дисклинации

2.2. Винтовая дислокация в нелинейно-упругом цилиндре

Глава 3. Устойчивость нелинейно-упругого цилиндра с собственными напряжениями

3.1. Линеаризация уравнений равновесия и бифуркационный анализ устойчивости

3.2. Численный анализ устойчивости цилиндра с дисклинацией при растяжении и сжатии

Заключение

Литература

Приложение А

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Равновесие и устойчивость конечных деформаций изгиба и растяжения упругих тел при учете собственных напряжений»

Введение

Нелинейная теория упругости, как отдельная область механики деформируемого твердого тела, начала формироваться в конце 40-х годов прошлого столетия, как реакция науки на потребности техники и технологии, прежде всего связанные с производством и обработкой высокоэластичных материалов типа резин. Другими стимулирующими факторами ее развития стали экспериментально обнаруженные явления, не описываемые в рамках линейной теории упругости, например, изменение длины скручиваемого кругового цилиндра, известное как эффект Пойнтинга. Позже нелинейная теория упругости нашла широкое применение для описания других конструкционных материалов, испытывающих большие деформации - полимеров, композитов на основе эластомеров и т.д. Новый этап интереса к нелинейным задачам вызвало развитие биомеханики и необходимость моделирования упругого поведения мягких биологических тканей и клеточных мембран.

Проблемами деформирования трехмерных тел в рамках нелинейной теории занимались многие отечественные ученые: С.I I. Тимошенко, В.А. Еремеев, JI.M. Зубов, П.А. Жилин, А.И. Лурье, А.Н. Гузь, М.И. Карякин, В.В. Новожилов, К.Ф. Черных, А.Б. Фрейдин, Н.Ф. Морозов, В.А. Пальмов, А.А Роговой, В.И. Ерофеев. Среди зарубежных авторов стоит выделить S.S. Antman, R.W. Ogden, J.L. Encksen, С. Trusdell, W. Noll, M.F. Beatty, J. Ball, R.S. Rivlin.

Зачастую в задачах, стоящих перед теорией упругости, не удается получить точное решение, несмотря даже на достаточно простую форму изучаемого объекта и граничные условия. В таких случаях часто используется полуобратный метод Сен-Венана [36J. С помощью этого метода удалось исследовать большой круг задач, рассмотренных в работах Л.М. Зубова [37-42], А.И. Лурье [9], М.И. Карякина [15, 16, 43-46J, В.А. Еремеева [2], Д.Н. Шей-дакова [47, 48] R.W. Ogden [29], Е. Kirkinis, R.W. Ogden и D.M. Haughton [49].

Одной из важных задач, рассмотренных полуобратным методом Сен-

Венана, является задача об изгибе прямоугольного бруса торцевыми моментами. Она была решена в рамках линейной теории упругости еще самим автором данного метода [36]. С тех пор было много попыток обобщить это решение на случай больших деформаций, но успеха в этом достиг лишь А.И. Лурье [9]. Одной из значимых причин изучения задачи об изгибе призматических тел является то, что изгиб является одним из широко распространенных видов деформирования конструкций различного рода. Большое количество результатов, рассмотренных исключительно для несжимаемых материалов, представлены в работах Р. Ривлина [50], С.О. Horgan и J.G. Murphy [51]. Задача об изгибании прямоугольного бруса в сектор цилиндра относится к универсальным деформациям [52]. Это означает, что такое описание удовлетворяет уравнениям равновесия для любого вида определяющих соотношений изотропных материалов. Исследованиям устойчивости изгиба посвящено много работ, например Triantafyllidis [53], Haughton [54], Coman and Destrade [55], Destrade, Gilchrist и Murphy [56].

В случае сжимаемых материалов задаче изгиба призматического бруса было уделено меньше внимания. Несмотря на это, есть точное исследование в книге R. Ogden [29], в которой приведены аналитические решения задачи об изгибе бруса для нескольких видов определяющих соотношений сжимаемых нелинейно-упругих материалов. Точное нелинейное решение задачи о чистом изгибе бруса в рамках плоской деформации в случае больших изгибных деформаций для гармонического материала опубликовано в [9]. Аналитическое решение для модели материала Блейтца и Ко было представлено в работе Carrol и Horgan [57]. Работы Агоп и Wang [58], Bains, Xiao и Meyers [59] посвящены различным аспектам задач об изгибе бруса прямоугольного поперечного сечения. Задача об изгибе трансверсально-изотропного упругого бруса представлена в работе R.W. Ogden и F. Kassianidis [60].

Специальная нелинейная теория чистого изгиба призматического бруса была опубликована в статье А.А. Зелениной и Л.¡VI. Зубова [61]. В этой рабо-

те трехмерная задача изгиба была сведена к двумерной нелинейной краевой задаче для плоской прямоугольной области. Линеаризованная задача предварительно напряженного призматического бруса при изгибе в рамках теории малой деформаций, наложенной на конечную, была исследована Л.М. Зубовым [62].

Для исследования эффектов второго порядка в задаче об изгибе обычно проводится анализ начальноизогнутых тел [63], то есть начальное состояние, когда брус не изогнут, не берется в расчет. Такое игнорирование случая прямого бруса может быть связано с характером традиционного полуобратного представления, описывающего изгиб бруса прямоугольного поперечного сечения в сектор цилиндра. Это представление истинно для ненулевого значения параметра изгиба (кривизны панели), но неприменимо к прямому переходу панели в состояние до деформации. Модификация традиционного полуобратного представления приведена в работе [64], которая позволяет избежать появления особенности при рассмотрении бруса в начальном состоянии.

Наряду с исследованием задач о больших деформациях нелинейно-упругих тел, анализа устойчивости и закритического поведения, нелинейная теория упругости позволяет изучать эффекты образования несовершенств в упругих телах и их влияние на напряженно-деформированное состояние. Изучение дефектов в структуре кристаллов является на данный момент одной из быстро развивающихся областей механики и физики твердого тела. Известно, что рост кристалла неизбежно сопровождается формированием в нем дислокаций. Такие дефекты влияют на целый ряд свойств этого кристалла, такие как: механические характеристики, диффузию, тепловые и электромагнитные свойства; их учет важен при моделировании фазовых переходов и пластических деформаций. Еще одним толчком к развитию теории дислокаций явилось изучение прочности кристаллов. Поэтому изучению дислокаций как в структуре кристаллов, так и в твердых телах на данный момент посвящено огромное количество экспериментальных и теоретических работ. Подробные исследо-

вания появления и влияния такого дефекта приведено в работах А. Келли и Г. Гровса [65], Д. Хирта и И. Лоте [66].

К первым работам о собственных напряжениях, появляющихся благодаря дислокациям, в рамках линейной теории относятся работы В. Вольтер-ры [67] и А. Лява [68], причем в них рассматривались упругие свойства цилиндра с разрезом, где представлены описания дислокаций: краевых и винтовых, клиновых дисклинаций. Только много позже появились труды, связанные с процессами скольжения в кристаллах. Теория поворотных дислокаций или дисклинаций нашла свое применение в изучении различных биологических объектов, таких как холестерические жидкие кристаллы [69], при изучении зарождения трещин, связанных с сильными внутренними напряжениями [70]. Установлено, что дисклинационную модель в упругом теле можно использовать для предсказания профиля трещины в нанотрубках [71].

Большой вклад в развитие теории дислокаций внесла ростовская школа механики во главе с Л.М. Зубовым. Работы [72-76] посвящены исследованию дислокаций в нелинейно-упругих трехмерных телах и оболочках. Работы [6, 12] выполнены в соавторстве с М.И. Карякиным, которому принадлежат исследования изолированной дисклинации в пластинке [14, 43]. Работы, выполненные М.И. Карякиным и О.Г. Пустоваловой [15, 77-80] посвящены изучению сингулярных решений в задачах об образовании дислокации и дисклинации в упругом цилиндре, в них исследовано явление кавитации - существования решения, описывающего образование полости вокруг оси изолированной дислокации и дисклинации в цилиндре.

Зачастую для оценки критических параметров нагружения для конструкций необходим анализ их устойчивости. Исследования по теории устойчивости можно найти в работах А.И. Лурье [8], В.Л. Бидермана [81], А.Н. Гу-зя [10, 11], И.И. Воровича [82], В.А. Еремеева [83], Л.М. Зубова [40], Дж. Ад-кинса и А.Е. Грина [84], С. Тги5с1е11 [31]. Одним из методов анализа устойчивости является бифуркационный подход, основанный на линеаризации урав-

нений равновесия. Исследования в этой области принадлежат ученым, таким как В.В. Новожилов [18], А.И. Лурье [8], Л.М. Зубов [39], А.Н. Гузь [10], А.Е. Грин и Дж. Адкинс [84], С. Trusdell и W. Noll [32]. В перечисленных работах в качестве метода линеаризации краевых задач, получаемых для рассматриваемых тел, используется метод наложения малых деформаций на конечные. Достаточно часто при исследовании устойчивости ученые останавливают свой выбор на несжимаемых материалах, это обусловлено тем, что для них известен достаточно большой выбор универсальных деформаций [9J. В тоже время задачи устойчивости для тел из сжимаемых материалов исследованы недостаточно; лишь для некоторых из них получены уравнения нейтрального равновесия, например, для полулинейного материала и материала Блейтца и Ко упрощенного вида [76, 85].

Интенсивное развитие нелинейной теории упругости обусловлено появлением широкого ряда новых конструкционных материалов, свойства которых остаются до сих пор неизученными. Первым шагом на этом пути является изучение механических свойств при простых видах внешней нагрузки: растяжение, кручение и изгиб образцов; например, многие эластомеры, такие как резины, зачастую испытывают большие (до 100% и выше) деформации, которые не описываются линейной теорией.

Данная диссертация посвящена изучению равновесия и устойчивости конечных деформаций упругих тел при изгибе и растяжении. Проводится рассмотрение некоторых задач о бифуркациях равновесия тел, имеющих форму бруса и цилиндра. Проводится подробный анализ влияния геометрических размеров тел и констант рассматриваемых материалов на потерю устойчивости.

Диссертационная работа состоит из трех глав. В первой главе проводится изучение равновесия и устойчивости изгибаемого нелинейно-упругого бруса. В п. 1.1 на основе измененного полуобратного представления для изгибаемого бруса выводятся все необходимые деформационные характеристики, на

основе которых из определяющего соотношения для изотропного сжимаемого упругого тела выписывается тензор напряжений Пиолы. Через его компоненты формулируется в прямоугольной области краевая задача, описывающая изгиб бруса.

В п. 1.2 на основе модифицированного полуобратного представления линеаризуются уравнения равновесия. Приводится подробное описание схемы линеаризации всех необходимых тензоров и характеристик. Выведены уравнения нейтрального равновесия и граничные условия в терминах линеаризованного тензора Пиолы. Изучение существования нетривиальных решений линеаризованной краевой задачи формулируется при помощи сведения к набору задач Коши с линейно-независимыми начальными условиями для искомых функций, а начальные условия для производных функций определяются из граничных условий.

В п. 1.3 на основе удельной потенциальной энергии для полулинейного материала сформулирована краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка для функции изменения толщины бруса. Приводятся главные напряжения и линеаризованный тензор напряжений Пиолы.

При использовании функции удельной потенциальной энергии модели материала Блейтца и Ко в п. 1.4 сформулирована краевая задача для функции толщины бруса. Также приводятся главные напряжения и компоненты линеаризованного тензора напряжений Пиолы.

В п. 1.5 приводится диаграмма изгибающего момента в зависимости от угла изгиба для обеих моделей рассмотренных материалов на основе численного расчета краевых задач. Установлено, что для всех рассмотренных параметров моделей на графиках зависимости момента от угла изгиба есть точка максимума, за которой следует падающий участок. Наличие такого участка может означать потерю устойчивости бруса при больших углах изгиба. Для полулинейного материала приводится анализ влияния коэффициента Пуассона

на изгибающий момент. Показано, что коэффициент Пуассона влияет только на величину момента, в то время как различные константы модели материала Блейтца и Ко изменяют положение точки максимума диаграммы нагружения.

При поиске нетривиальных решений линеаризованных краевых задач численным методом установлено, что для каждого номера моды (п > 0) существует две точки потери устойчивости. Причем первый - кратный корень характеристического уравнения - расположен существенно левее точки максимума на диаграмме изгиба, а второй расположен совсем близко к точке максимума и тоже ее не превосходит. Остальные пары точек бифуркации расположены внутри отрезка, определяемым первой парой. На примере гармонического материала приведены моды потери устойчивости бруса с размерами поперечного сечения 2:1- для двух точек первой моды и 1 : 1 - для первой точки первой моды соответственно.

В п. 2.1 приводится анализ напряженно-деформированного состояния цилиндра с клиновой дисклинацией. Краевая задача записывается для обеих моделей рассматриваемых материалов относительно функции, описывающей изменение радиуса точек цилиндра. Эти краевые задачи состоят из обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка и граничных условий, означающих отсутствие напряжений на боковых поверхностях цилиндра. В случае полулинейного материала известно аналитическое решение [76], в случае материала Блейтца и Ко задача решалась численно. В терминах тензора напряжений Пиолы на основе решения краевой задачи построена зависимость осевой растягивающей силы от изменения длины цилиндра. Численный расчет осевой нагрузки совпадает с ранее проведенными расчетами для набора констант материала Блейтца и Ко, для которых есть падающий участок на диаграмме нагружения [45]. Проанализировано влияние дисклинации на длину ненагруженного цилиндра. Для проверки численных результатов в рамках теории эффектов второго порядка выведена асимптотическая формула, описывающая изменение длины цилиндра от толщины, параметра дисклинации

и констант модели материала Блейтца и Ко. Приводятся графики, иллюстрирующие эту зависимость при различных предельных значениях варьируемых параметров.

В п. 2.2 приводится анализ напряженно-деформированного состояния цилиндра с винтовой дислокацией. Выписываются краевые задачи для двух материалов. Каждая краевая задача, как и в предыдущем пункте, состоит из обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка и краевых условий. Здесь граничные условия характеризуют отсутствие напряжений на цилиндрических поверхностях тела.

Рассматриваются частные случаи постановки задачи об образовании дислокации в цилиндре. Первый частный случай - отсутствие закручивания цилиндра. При исследовании решений краевых задач с таким допущением установлено, что константы модели материала Блейтца и Ко и параметр дислокации влияют на точку максимума диаграммы нагружсния (растягивающая сила-изменение длины цилиндра). Проанализировано влияние дислокации на изменение длины цилиндра при условии отсутствия осевой нагрузки. В результате численных расчетов показано, что цилиндр из полулинейного материала укорачивается, в то время как для различных значений констант второй модели цилиндр может как укорачиваться, так и удлиняться. В связи с неоднозначным влиянием констант модели материала Блейтца и Ко с использованием метода последовательных приближений предложено уточнение для решения задачи о равновесии цилиндра с дислокацией. На основе последовательного решения ряда краевых задач и использования условия отсутствия осевой нагрузки, получена асимптотическая формула изменения длины цилиндра от толщины, констант модели и параметра дислокации.

Второй частный случай - цилиндр постоянной длины. Проведен анализ решений краевых задач о равновесии цилиндра с возможностью закручивания. При использовании условия отсутствия крутящего момента получены зависимости угла закручивания от параметра дислокации для двух сжимаемых

материалов.

При исследовании общей постановки, когда на закручивание и на параметр изменения длины не дается никаких условий, требуется установить влияние дислокации на длину ненагруженного цилиндра и его закручивание. Из условий равенства нулю осевой силы и крутящего момента построены зависимости изменения длины и угла закручивания цилиндра от параметра дислокации. В случае цилиндра из материала Блейтца и Ко при некотором наборе констант установлено немонотонное поведение изменения длины цилиндра с дислокацией. В рамках теории эффектов второго порядка и аналитическом решении ряда краевых задач уточняется решение задачи о равновесии цилиндра в окрестности малого изменения параметра дислокации. Таким образом, для проверки численных результатов получены асимптотические формулы для изменения длины и угла закручивания цилиндра в зависимости от толщины, констант модели и параметра дислокации. Для подробного анализа полученных соотношений построены графики, иллюстрирующие формулы при широком наборе диапазонов варьируемых параметров.

В третьей главе проводится исследование устойчивости растягиваемого цилиндра с клиновой дисклинацией. На основе модифицированного полуобратного представления выводятся все необходимые линеаризованные характеристики деформации.

В п. 3.1 приводятся линеаризованные тензоры напряжений Пиолы для обеих моделей материалов. Описана подробная схема анализа существования нетривиальных решений линеаризованных краевых задач.

Результаты численного расчета приводятся в п 3.2. Построены бифуркационные кривые при сжатии цилиндра с клиновой дисклинацией в случае полулинейного материала с различным значением параметров модели. Установлено влияние толщины стенки цилиндра на наименьшие значения точек-бифуркаций с различными номерами мод т. п. Приведены таблицы значений точек бифуркаций для различных номеров мод и толщин цилиндра. В случае

растяжений цилиндра с клиновой дисклинацией приведены значения точек бифуркаций для различных значений параметров модели материала Блейтца и Ко.

В медицине и технике уже достаточно давно стали применять материалы, способные испытывать большие деформации и при этом сохранять упругие свойства. Речь идет в первую очередь о мягких биологических тканях и различных сортах резин, широко применяемых в производстве современной техники. Согласно предложению К. Трусделла подобные материалы были выделены в отдельную группу и получили обозначение «гиперупругие материалы». В теории упругости их механические свойства целиком задаются упругим потенциалом (функцией энергии деформации). Существует достаточно большое количество различных моделей, описывающих поведение материалов данного класса. Однако, не все они адекватно отражают известные экспериментальные данные и результаты. В этой связи весьма актуальной является проблема выбора подходящей нелинейной модели материала и ее параметров для решения конкретной механической задачи.

При определении свойств материалов по-прежнему используются стандартные механические эксперименты: на растяжение, сжатие, кручение, изгиб. Задачи о равновесии и устойчивости конструкций с нелинейными свойствами (конструкции из резиноподобных материалов и эластомеров) при этих типах деформаций достаточно непросты несмотря на то, что рассматриваются тела простой геометрии. В то же время, во многих случаях, сам процесс анализа напряженно-деформированного состояния и устойчивости (аналитические преобразования, связанные с выводом нелинейных краевых задач и генерированием уравнений нейтрального равновесия) достаточно алгоритмичен и дает возможность автоматизации его главных этапов с помощью современных средств компьютерной алгебры.

Степень достоверности результатов, полученных в диссертационном исследовании, обеспечивается использованием строгого математического аппа-

рата нелинейной теории упругости, сравнением асимптотических и численных результатов, применением проверенных и надежных численных алгоритмов, сравнением результатов в частных случаях с результатами других авторов. Основные результаты работы докладывались на V - IX всероссийской школе-семинаре «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете» (Дивноморск 2009,2011 - 2014), XIV международной научной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды», посвященной 90-летию со дня рождения академика И.И. Воровича (Ростов-на-Дону - Азов, 2010), международной конференции молодых ученых «Математический анализ и математическое моделирование» (Владикавказ, 2010), международной конференции «Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования» (Владикавказ, 2010), «Six МЛ.Т. Conference on Computational Fluid and Solid Mechanics - Focus: Solids and Structures» (Cambridge, M. A., 2011), XXXIX, XXXXI Summer School «Advanced Problem in Mechanics» (Saint-Petersburg, 2011, 2013), второй всероссийской школе молодых ученых-механиков в рамках «X Всероссийского съезда по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики» (Нижний Новгород, 2011), всероссийской школе-семинаре «Современные исследования в области естественных и технических наук: междисциплинарный поиск и интеграция» (Тольятти, 2012), второй научно-практической школе-семинаре молодых ученых по мероприятию «Поддержка развития внутрероссийской мобильности научных и научно-педагогических кадров путем выполнения научных исследований молодыми учеными и преподавателями в научно-образовательных центрах» (Тольятти, 2012), Second China-Russia Conference on Numerical Algebra with Applications (Rostov-on-Don, 2013), 39th Solid Mechanics Conference (Zakopane, Poland, 2014), научной конференции «Проблемы прочности, динамики и ресурса», посвященной 90-летию академика РАН Ф.М. Ми-тенкова (Нижний Новгород, 2014).

Научную новизну составляют следующие выносимые на защиту резуль-

таты.

1. В рамках конечных деформаций изучено НДС бруса при чистом изгибе. Методом наложения малой деформации на конечную выведены уравнения нейтрального равновесия изгибаемого нелинейно-упругого бруса

2. На основе бифуркационного подхода исследовано существование нетривиальных решений линеаризованной краевой задачи. Для рассмотренных моделей материалов, для каждого номера моды установлено существование двух точек бифуркаций, первая из которых расположена существенно левее точки максимума на диаграмме изгиба, а вторая - в непосредственной близости к ней.

3. Исследовано напряженно-деформированное состояние нелинейно-упругого цилиндра, содержащего изолированную дисклинацию. С помощью теории эффектов второго порядка получена аналитическая формула изменения длины ненагруженного цилиндра вследствие образования в нем дефекта.

4. Исследовано влияние величины вектора Бюргерса винтовой дислокации на длину цилиндра. Выведена аналитическая зависимость изменения длины и закручивания свободного от внешних нагрузок цилиндра от параметра дислокации; показано, что в ряде случаев эта зависимость немонотонна.

5. Методом наложения малой деформации на конечную изучено явление потери устойчивости нелинейно-упругого цилиндра с клиновой дискли-нацией. Исследовано влияние на бифуркационные кривые материальных характеристик, геометрических размеров цилиндра и параметра дискли-нации при сжатии и растяжении.

Публикации. По теме диссертации опубликованы 19 работ [86-104], в

том числе 4 статьи в журналах, входящих в перечень изданий, рекомендованных ВАК РФ [92, 102-104].

Работы [86-92, 102, 104] посвящены компьютерной автоматизации исследования равновесия и устойчивости изгибаемого нелинейно-упругого бруса. Из них [88, 102, 104] выполнены в соавторстве с М.И. Карякиным, которому принадлежит постановка задачи и выбор метода исследования решений краевых задач, а диссертанту - проведение численных расчетов по поиску решения краевых задач и бифуркационного анализа, на основе которого определены точки бифуркации на диаграмме нагружения. В работах [87, 89, 91, 92] Д.Ю. Сухову принадлежит разработка интерфейса вычислительной системы с использованием технологии Мар1е1з в системе компьютерной алгебры Мар1е.

Работы [93-101, 103] посвящены исследованию равновесия и устойчивости растягиваемого нелинейно-упругого цилиндра с источниками собственных напряжений, причиной которых являются изолированная дисклинация и винтовая дислокация. Формулировка задачи и выбор метода решения задач о равновесии и устойчивости цилиндра с собственными напряжениями принадлежит М.И. Карякину. Из них в работах [94, 97, 100, 103] И.В. Позднякову принадлежит компьютерная реализация анализа решений задач о равновесии цилиндра с винтовой дислокацией. В работе [103] О.Г. Пустоваловой принадлежит формулировка метода последовательных приближений; компьютерная реализация этого метода и вывод аналитических зависимостей для изменения длины ненагруженного цилиндра с клиновой дисклинацией и аналитических формул для закручивания цилиндра с дислокацией принадлежит диссертанту. Вывод уравнений нейтрального равновесия и компьютерная реализация метода поиска нетривиальных решений линеаризованной краевой задачи также осуществлены соискателем.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, обзора литературы, 3 глав, заключения, приложения и библиографии. Библиография включает 107 наименований.

Глава 1

Равновесие и устойчивость изгибаемого

нелинеино-упругого

В данной главе рассматривается задача устойчивости изгиба прямоугольного бруса. Анализ устойчивости проводится на основе трехмерных уравнений нейтрального равновесия изотропного сжимаемого материала. Докрити-ческое состояние анализируется на основе решения задачи нелинейной теории упругости о равновесии изгибаемого прямоугольного бруса. После разделения переменных уравнения нейтрального равновесия сводятся к системе обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, исследование который проводилось численно. Па основе этого анализа получены критические значения углов изгиба.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Шубчинская, Наталия Юрьевна, 2015 год

Литература

1. Тимошенко С. П. Устойчивость упругих систем. M.,JT.: ОГИЗ, 1946. С. 532.

2. Еремеев В. А., Зубов Л. М., Карякин М.И., Чернега Н.Я. Образование полостей в нелинейно-упругих телах с дислокациями и дисклинациями // Доклады РАН. 1992. Т. 326, № 6. С. 968-971.

3. Зубов Л. М. Полуобратный метод в квазистатических задачах нелинейной термовязкоупругости // Доклады АН СССР. 1981. Т. 256, № 3. С. 556-559.

4. Зубов Л. М. Линеаризованная задача изгиба и принцип Сен-Венана // Известия СКНЦ ВШ. Естественные науки. 1985. № 4. С. 34-38.

5. Зубов Л.М. О дислокациях Вольтерра в нелинейно-упругих телах // Доклады АН СССР. 1986. Т. 28, № 3. С. 579-582.

6. Зубов Л. М., Карякин М. И. Дислокации и дисклинации в нелинейно-упругих телах с моментными напряжениями // ПМТФ. 1990. № 3. С. 160-167.

7. Жилин П. А. Основные уравнения неклассической теории упругих оболочек // Труды Ленинград, политехи, института. 1982. № 386. С. 29-46.

8. Лурье А. И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. 939 с.

9. Лурье А. И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. 512 с.

10. Гузь А. Н. Устойчивость трехмерных деформируемых тел. Киев: Наукова думка, 1971. 276 с.

11. Гузь А. Н. Устойчивость упругих тел при конечных деформациях. Киев: Наукова думка, 1973. 270 с.

12. Зубов JT. М., Карякин М. И. Многозначные смещения и дислокации Воль-терра в плоской нелинейной теории упругости // ПМТФ. 1987. № 6. С. 146-152.

13. Карякин М. И. О напряжениях, создаваемых изолированной дисклина-цией в нелинейно-упругом теле // Известия СКНЦ ВШ. Естественные науки. 1988. № 1. С. 58-63.

14. Карякин М. И. Равновесие и устойчивость нелинейно-упругой пластинки с клиновой дисклинацией // ПМТФ. 1992. №з 3. С. 157-163.

15. Карякин М.И., Пустовалова О. Г. О сингулярных решениях задач нелинейной теории упругих дислокаций // ПМТФ. 1995. Т. 36, № 5. С. 173-180.

16. Калашников В. В., Карякин М. И. Эффекты второго порядка и принцип Сен-Венана в задаче кручения нелинейно-упругого стержня // ПМТФ. 2006. Т. 47, № 6. С. 129-136.

17. Karyakin М. Г, Zubov L .М. Theory of Isolated and Continuously Distributed Disclinations and Dislocations in Micropolar Media // Advanced Structured Materials, Vol 7. Mechanics of Generalized Continua, Ed. by H. Altenbach, G. A. Maugin, V. Erofeev. Springer-Verlag: Berlin, Heidelberg, 2011. P. 275-290.

18. Новожилов В. В. Основы нелинейной теории упругости. М.-Л.: Гостех-издат, 1948. С. 211.

19. Новожилов В. В. Теория упругости. Л.: Судпромгиз, 1958. С. 211.

20. Черных К. Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах. Л.: Машиностроение, 1964. 336 с.

21. Фрейдин А. Б. О равновесии фаз изотропного нелинейно-упругого материала // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. Спецвыпуск. Нелинейные проблемы механики сплошных сред. 2000. С. 150-168.

22. Беринский И. Е., Иванова Е.А., Кривцов A.M., Морозов Н. Ф. Применение моментного взаимодействия к построению устойчивой модели кристаллической решетки графита // Известия РАН. МТТ. 2007. № 5. С. 6-16.

23. Иванова Е. А., Кривцов A.M., Морозов Н.Ф., Фирсова А. Д. Учет моментного взаимодействия при расчете изгибной жесткости наноструктур // Доклады РАН. 2003. Т. 391, № 6. С. 764-768.

24. Пальмов В. А. Основные уравнения теории несимметричной упругости // ПММ. 1964. Т. 28, № 3. С. 401-408.

25. Ерофеев В. И. Волновые процессы в твердых телах с микроструктурой. М.: МГУ, 1999. 328 с.

26. Ерофеев В. И., Кажаев В. В. Нелинейная стационарная акустическая волна в твердом теле с дислокациями // Техническая физика. 2010. Т. 80, № 4. С. 149-151.

27. Ерофеев В. И., Виноградова Ю.В. Нелинейная стационарная волна ротационного типа в среде Коссера // Нелинейный мир. 2011. Т. 9, № 5. С. 283-287.

28. Antman S. S. NonLinear Problems of Elasticity. Springer New York, 2005. Vol. 107 of Applied Mathematical Sciences. P. 856.

29. Ogden R. W. Nonlinear elastic deformations. Chichester: Ellis Horwood, 1984. 532 p.

30. Ericksen J. L. Equilibrium of bars // Journal of Elasticity. 1975. Vol. 5, no. 3-4. P. 191-201.

31. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.: Мир, 1975. 592 с.

32. Trusdell С., Noll W. The Non-Linear Field Theories of Mechanics/ Encyclopedia of Phisics/. Ш/3. Springer-Verlag., 1965.

33. Ball J. M. Discontinuous equilibrium solutions and cavitaton in nonlinear elasticity //Phil. Trans. R. Soc. Lond. A. 1982. Vol. 306, no. 1496. P. 557-611.

34. Rivlin R. S. Large elastic deformations // Rheology. Theory and Applications, Ed. by F. R. Eirich. New York: Academic Press Inc., 1956. Vol. 1. P. 351-385.

35. Rivlin R. S. Large elastic deformations of isotropic materials. TV. Further developments of the general theory // Phil. Trans. R. Soc. Lond. A. 1948. Vol. 241, no. 835. P. 379-397.

36. Сен-Венан Б. Мемуар о кручении призм. Мемуар об изгибе призм. М.: Физматгиз, 1961. 519 с.

37. Зубов JI. М. Теория кручения призматических стержней при конечных деформациях // Доклады АН СССР. 1983. Т. 270, № 4. С. 827-831.

38. Зубов JT. М. Нелинейная задача Сен-Венана о кручении, растяжении и изгибе естественно скрученного стержня // ПММ. 2006. Vol. 70, по. 2. Р. 332-343.

39. Зубов JT. М., Шейдаков Д. Н. Об устойчивости цилиндрической трубы при осевом сжатии и внутреннем давлении // Вестник Южного научного центра РАН. 2006. Т. 2, № 3. С. 8-15.

40. Зубов Л.М., Рудев А. Н. Об особенностях потери устойчивости нелинейно-упругого прямоугольного бруса // ПММ. 1993. Т. 57, № 3. С. 65-83.

41. Зубов Л. М., Моисеенко С. И. Выпучивание упругого цилиндра при кручении и сжатии // Изв. АН СССР. МТТ. 1981. № 5. С. 78-84.

42. Зеленина A.A., Зубов Л.М. Нелинейная теория чистого изгиба призматических упругих тел // ПММ. 2000. Т. 64, № 3. С. 416-424.

43. Карякин М. И. Напряженно-деформированное состояние пластинки с дисклинацией // Численные и аналитические методы решения задач строительной механики и теории упругости. Ростов-н/Д: Изд-во РИСИ, 1989. С. 80-86.

44. Карякин М. И. Об особенностях растяжения нелинейно-упругих образцов // Экологический вестник научных центров ЧЭС. 2007. № 4. С. 43-48.

45. Карякин М. И. Равновесие и устойчивость растягиваемого нелинейно-упругого стержня // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2007. № 4. С. 22-28.

46. Карякин М.И., Пустовалова О. Г. Образование полости вокруг оси клиновой дисклинации в несжимаемых материалах // Механика деформируемых тел. Межвузовский сборник. Ростов-н/Д: Изд-во ДГТУ, 1994. С. 75-78.

47. Шейдаков Д. Н. Об устойчивости сжатой упругой трубы при раздувании в рамках модели микрополярной среды. Т. 2. 2007. С. 93-98.

48. Шейдаков Д. Н. Влияние внутреннего давления на устойчивость растянутой трубы из микрополярного материала. Т. 2. 2007. С. 215-219.

49. Kirkinis E., Ogden R. W., Haughton D. M. Some solutions for a compressible isotropic elastic material // Journal of Applied Mathematics and Physics. 2004. Vol. 55, no. 1. P. 136-158.

50. Rivlin R. S. Large elastic deformations of isotropic materials. V. The Problem of Flexture // Proc. Royal Soc. A. 1949. Vol. 195, no. 1043. P. 463-473.

51. Horgan C. O., Murphy J. G. Plane Strain Bending of Ciylindrical Sector of Admissible Compressible Hyperelastic Materials // Jornal of Elasticity. 2005. no. 81. P. 129-151.

52. Saccomandi G. Universal results in finite elasticity // Nonlinear Elasticity: Theory and Applications / Ed. by Y. B. Fu, R. W. Ogden. Cambridge: Cambridge University Press, 2001. P. 97-134.

53. Triantafyllidis N. Bifurcation phenomena in pure bending // J. Mech. Phys. Solids. 1980. Vol. 28. P. 221-245.

54. Haughton D. Flexure and compression of incompressible elastic plates // Int. J. Engng. Sci. 1999. Vol. 37. P. 1693-1708.

55. Coman C., Destrade. M. Asymptotic results for bifurcations in pure bend- ing of rubber blocks // Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics. 2008. Vol. 61. P. 395-414.

56. Destrade M., Gilchrist M. D., Murphy J. G. Onset of non-linearity in the elastic bending of blocks // ASME Journal of Applied Mechanics. 2010. Vol. 77. P. 061-015.

57. Carroll M. M., Horgan O.G. Finite strain solutions for compressible elastic solid // Quarterly of Applied Mathematics. 1990. Vol. XLVIÏÏ, no. 4. P. 767-780.

58. Aron M., Wang Y. Remarks concerning the flexure of a compressible nonlin-early elastic rectangular block // J. Elasticity. 1995. Vol. 40. R 99-106.

59. Bruhns О. Т., Xiao H., Meyers A. Finite bending of a rectangular block of an elastic Hencky material // J. Elasticity. 2002. Vol. 66. P. 237-256.

60. Kassianidis F., Ogden R. W. On large bending deformations of transversely isotropic rectangular elastic blocks // Note di Matematica. 2007. Vol. 27, no. 2. P. 131-154.

61. Zelenina A. A., Zubov L. M. The Non-Linear Theory of the Pure Bending of Prismatic Elastic Solids // Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 2000. Vol. 64. P. 399-406.

62. Zubov L. M. Linearized bending problem and Saint-Venant principle (in Russian) // Proceedings of North Caucasus Scientific Center of Higher School. 1985. no. 4. P. 34-38.

63. Batra R. S., DeH'isola F., Ruta G. C. Second-order solution of Saint-Venant's problem for an elastic bar predeformed in flexture // International Journal of Non-Linear Mechanics. 2005. Vol. 40. P. 411-422.

64. Калашников В. В., Карякин М. И. Использование модели материала Мур-нагана в задаче плоского изгиба упругого стержня // Труды Ростовского государственного университета путей сообщения. 2006. № 2(3). С. 56-65.

65. Келли А., Гровс Г. Кристаллография и дефекты в кристаллах. Москва: МИР, 1974. 503 с.

66. Хирт Дж., Лоте И. Теория дислокаций. М.: Атомиздат, 1972. 600 с.

67. Volterra V. Sur l'equilibre des corps elastiques multiplement connexes // Annales de l'Ecole Norm.Sup. 1907. Vol. 24, no. 3. P. 401-517.

68. Ляв А. Математическая теория упругости. М.,Л.: ОНТИ, 1935. 674 с.

69. Meiboom S., Sethna J.P., Anderson P.W., Brinkman W.F. Theory of the blue phase of cholesteric liquid-crystals // Physical Review Letters. 1981. Vol. 46. P. 1216-1219.

70. Жуковский И.М., Рыбин В. В. Дисклинационный механизм образования микротрещин // ФТТ. Т. 20, № 6. С. 1829-1835.

71. Wu М. S., Zhou Hong. Analysis of a crack in a disclinated cylinder // International Journal of Fracture. 1996. Vol. 82. P. 381-399.

72. Зубов Л. M. Изолированная дисклинация в нелинейно-упругом сжимаемом теле // Известия АН СССР. МТТ. 1986. № 1. С. 69-73.

73. Зубов Л. М. Теория дислокаций Вольтерра в нелинейно-упругих телах // Известия АН СССР. МТТ. 1987. № 5. С. 140-147.

74. Зубов Л. М. Нелинейная теория изолированных дислокаций и дискли-наций в упругих оболочках // Известия АН СССР. МТТ. 1989. № 4. С. 139-145.

75. Зубов Л. М., Никитин Е. С. Точное решение задачи о краевой дислокации в нелинейно упругой среде // Доклады РАН. 1994. Vol. 334, по. 3. Р. 296-299.

76. Zubov L. М. Theory of Dislocations and Disclinations in Elastic Bodies. Berlin: Springer, 1997. 205 p.

77. Карякин М.И., Пустовалова О. Г. Учет моментных напряжений в сингулярных задачах нелинейной теории упругости // Актуальные проблемы механики деформируемого твердого тела. Материалы IV Международной научной конференции, посвященной памяти академика А.С.Космодамианского. Т. 2. Донецк: Юго-Восток, 2006. С. 73-75.

78. Карякин М.И., Пустовалова О. Г. О кавитации на оси клиновой дискли-нации в нелинейно-упругом цилиндре // Вестник Южного Научного Центра РАН. 2008. Т. 4, № 1. С. 16-23.

79. Карякин М.И., Пустовалова О. Г. Об учете поверхностного натяжения при моделировании кавитации на оси винтовой дислокации // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды ХТ1Т международной конференции. Т. 2. Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 2009. С. 93-97.

80. Карякин М.И., Пустовалова О. Г. О кавитации на оси винтовой дислокации в нелинейно-упругом цилиндре // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2010. № 4. С. 33-37.

81. Бидерман В. Л. Устойчивость стержня из неогуковского материала // Изв. АН СССР. МТТ. 1968. № 3. С. 54-62.

82. Ворович И. И. Математические проблемы нелинейной теории пологих оболочек. М.: Наука, 1989. 376 с.

83. Еремеев В. А., Зубов Л. М. Некоторые проблемы устойчивости трехмерных нелинейно-упругих тел // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 1999. № 1. С. 42-47.

84. Грин А., Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. М.: Мир, 1965. 456 с.

85. Зубов Л. М., Овсеенко С.Ю. Большие деформации кручения цилиндров из сжимаемых материалов // Вопросы динамики и прочности. Рига: Зинатне, 1982. Уо1. 40. Р. 109-117.

86. Шубчинская Н. Ю. Равновесие и устойчивость нелинейно-упругого бруса при чистом изгибе // Математическое моделирование и биомеханика

в современном университете: Тез. докл. V Всерос. шк.-сем. Ростов-на-Дону: Терра-Принт, 2009. С. 93.

87. Сухов Д. Ю., Шубчинская Н.Ю. Исследование устойчивости чистого изгиба панели в среде компьютерной алгебры Maple // Математический анализ и математическое моделирование: Труды межд. конф. мол. уч. / ЮМИ ВНЦ РАН. Владикавказ, 2010. С. 161-162.

88. Карякин М.И., Шубчинская Н.Ю. Равновесие и устойчивость нелинейно-упругой панели при чистом изгибе // Современные проблемы механики сплошной среды: Труды XIV межд. конф. Т. 1. Ростов-на-Дону: Издательство ЮФУ, 2010. С. 162-166.

89. Shubchinskaya N. Y., Sukhov D. Y. The equilibrium and stability of the bended nonlinearly elastic panel // Sixth M.l.T. Conference on Computational Fluid and Solid Mechanics — Focus: Advances in Solids & Structures: Compilation of Abstract. 2011. P. 122.

90. Шубчинская H. Ю. Численно-аналитическое исследование устойчивости изгиба нелинейно-упругой панели // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете: Тез. докл. VI Всерос. шк.-сем. Терра-Принт, 2011. С. 86.

91. Shubchinskaya N. У, Sukhov D.Y. The stability analysis of bending within the computer algebra system // International Summer School "Advanced Problems in Mechanics": Book of Abstracts. St. Petersburg: IPME RAS, 2011. P. 85-86.

92. Сухов Д. Ю., Шубчинская Н. Ю. Автоматизация анализа равновесия и устойчивости чистого изгиба нелинейно-упругой панели // Вестник ниж. ун. им. Лобачевского. 2011. Т. 4, № 5. С. 2617-2618.

93. Шубчинская Н. Ю. Об устойчивости нелинейно-упругого цилиндра из сжимаемого материала при наличии внутренних напряжений // Современные проблемы механики сплошной среды: Тез. докл. XV межд. конф. Ростов-на-Дону: Издательство ЮФУ, 2011. С. 52.

94. Карякин М. И., Поздняков И. В., Шубчинская Н.Ю. О влиянии внутренних напряжений, вызванных изолированным дефектом, на устойчивость цилиндра при сжатии и растяжении // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете: Тез. докл. VII Всерос. шк.-сем. Ростов-на-Дону: Издательство ЮФУ, 2012. С. 67.

95. Шубчинская Н.Ю. Влияние внутренних напряжений, вызванных изолированным дефектом, на равновесие упругого цилиндра // Современные исследования в области естественных и технических наук: междисциплинарный поиск и интеграция: Труды науч.-практ. всерос. конф. (шк.-сем.) мол. уч. Тольятти: ТГУ, 2012. С. 200-202.

96. Шубчинская Н. Ю. Численно-аналитическое исследование равновесия и устойчивости упругого цилиндра, содержащего изолированный дефект, при растяжении и сжатии // Поддержка развития внутрироссийской мобильности научных и научно-педагогических кадров путем выполнения научных исследований молодыми учеными и преподавателями в научно-образовательных центрах: Материалы второй науч.-практ. шк.-сем. мол. уч. по мероп. / ТГУ. Тольятти: 2012. С. 146-148.

97. Karyakin М. Т., Pozdnyakov 1. V., Shubchinskaya N. Y. On the influence of internal stresses caused by the isolated defects on the stability of elastic cylinder under compression and tension // The International Summer School "Advanced Problems in Mechanics: Book of Abstracts. St. Petersburg: 1PME RAS, 2013. P. 59.

98. Shubchinskaya N. Y. The influence of internal stresses on equilibrium and

stability of elastic cylinder under tension and inflation // The Second China-Russia Conference "Numerical algebra with applications": Abstracts of Lecturers and Young Scientists. Rostov-on-Don: Southern Federal University Publishing, 2013. P. 117-118.

99. Карякин M. И., Шубчинская H. Ю. Влияние собственных напряжений на устойчивость цилиндра при растяжении и раздувании // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете: Тез. докл. IX Всерос. шк.-сем. Ростов-на-Дону: Издательство ЮФУ, 2014. С. 76.

100. Karyakin M., Pozdnyakov Т., Shubchinskaya N. The Equilibrium and Stability of the Nonlinearly Elastic Cylinder with internal Stresses under Tension and Inflation // 39th Solid Mechanics Conference: Book of Abstracts. / Institute of Fundamental Technological Research PAN. WARSZAWA: 2014. P. 75-76.

101. Шубчинская H. Ю. Равновесие и устойчивость нелинейно-упругого цилиндра с внутренними напряжениями при растяжении и раздувании // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете: Тез. докл. VII Всерос. шк.-сем. Ростов-на-Дону: Издательство ЮФУ, 2013. С. 106.

102. Карякин М. И., Сухов Д. Ю., Шубчинская Н.Ю. Об особенностях чистого изгиба упругой панели при больших деформациях // Экологический вестник научных центров ЧЭС. 2012. № 4. С. 69-75.

103. Карякин М. И., Поздняков И. В., Пустовалова О. Г., Шубчинская Н. Ю. О деформированном состоянии нелинейно-упругого цилиндра с внутренними напряжениями // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2013. № 6. С. 46-51.

104. Karyakin M., Kalashnikov V., Shubchinskaya N.. Nonlinear effects in a plane

problem of the pure bending of an elastic rectangular panel // International Journal of Engineering Science. 2014. Vol. 80. P. 90-105.

105. Зубов JI. M., Губа А. В. Нелинейная теория кручения призматических упругих тел, содержащих винтовые дислокации // Изв. ВУЗов. Северо-Кавказ. регион. Естеств. науки. 2003. Т. Спецвыпуск. Нелинейные проблемы механики сплошных сред. С. 212-222.

106. Gavrilyachenko Т. V., Karyakin М. Т., Sukhov D. Y. Designing of the interface for nonlinear boundary value problem solver using Maple // Proceedings of the International Conference on Computational Sciences and its Applications. Los Alamitos-Washington-Tokyo: ICCSA, 2008. P. 284-291.

107. Феодосьев В. И. Сопротивление материалов. Изд-во МТГУ им. Н.Э.Баумана, 1999. 592 с.