Равномерные оценки приближений через второй модуль непрерывности тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Ихсанов Лев Назарович

• Ихсанов Лев Назарович
• кандидат наук
• 2021

Оглавление диссертации кандидат наук Ихсанов Лев Назарович

Обзор первой главы

Обзор второй главы

Глава 1. Точная оценка приближения абстрактными операторами

типа Канторовича через второй модуль непрерывности

1.1 Введение

1.2 Леммы

1.3 Доказательство теоремы

Глава 2. Оценка нормы функции, ортогональной

кусочно-постоянным, через второй модуль непрерывности

2.1 Введение

2.2 Доказательство теоремы

2.3 Леммы

2.4 Доказательство теоремы 2.2 в случае Ь € [0,

2.5 Доказательство теоремы 2.2 в случае Ь € , 1]

о о

2.6 Функция из Е* со вторым модулем непрерывности, равным уд • • 66 Заключение 71 Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Равномерные оценки приближений через второй модуль непрерывности»

Введение

Настоящая диссертация посвящена вопросам приближения в пространствах ограниченных числовых функций, снабжённых вир-нормой. Автором получены новые результаты в задачах оценки погрешности приближения функции через её второй модуль непрерывности на множествах [0, 1] и К.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, из Д^ВуХ ГЛЕБ, разбитых на параграфы, а также из заключения и библиографии. Введение содержит обзоры обеих глав. Помимо основных результатов в этих обзорах даются исторические справки, основные определения и необходимые обозначения. Каждая из глав также содержит перечень используемых в ней определений и обозначений.

Формулы и утверждения имеют двойную нумерацию, где первая цифра -номер главы. Теоремы, не принадлежащие автору, имеют буквенную нумера-

Общий объём диссертации составляет 73 СТ р сЬН И Т Т^Ы • Библиография насчитывает 20 наименований.

Обзор первой главы

Определения и обозначения. Через В[0, 1] мы будем обозначать пространство ограниченных вещественнозначных функций, определённых на отрезке [0, 1].

Важную роль будут играть функции

ео(*) = 1, в1(г) = г, рп,з(г) = ф(1 - г)п-.

з

Первым и вторым модулями непрерывности в пространстве В[0, 1] называются соответственно величины

u(f,h) = sup \f {х + t) - f (ж)I,

\t\<h, x±te[0,1]

^(f, h) = sup If (x - t) - 2f(x) + f (x + t)\ .

\t\<h,x±te[0,1]

Напоминаем, что функции считаются определёнными в каждой точке.

Под supp F - носителем функционала F - мы будем понимать наименьшее по включению замкнутое множество со свойством

suppF П supp f = F(f) = 0 Vf e B[0, 1].

Через r(F) обозначим наименьшее число r, такое что

supp(F) с [F(е1) - r, F(e1) + r].

Определим оператор Sa : B[0, 1] ^ B[0, 1] формулой

S,f (x) = [f- x)- - x e [0 1],

[0, 2a - xe [0, 1]

Оператор Sa осуществляет симметрию графика функции f относительно точки a.

Через F будем обозначать множество линейных непрерывных положительных функционалов над B[0, 1] со свойствами

F (ео) = 1, F (f) = F (SF {ef).

Историческая справка. Предложенные Бернштейном в 1912 году полиномиальные операторы, названные впоследствии его именем, имеют вид

Bnf (x) = ^ Pn,j (x)f ( ¡M . j=0 V J

Бернштейн интерпретировал свою конструкцию с точки зрения теории вероятностей, а именно, Вп/(х) представляет из себя математическое ожидание выигрыша в игре из п партий с вероятностью победы, равной х, при условии, что награда за к побед составляет / (П)- Вероятностный подход также использовался им для доказательства равномерной сходимости полиномов Вп/ к функции f.

В двадцатом век^е были получены разнообразные оценки скорости этой сходимости, в частности, через модули непрерывности. Так, в [6] Сиккема показал, что для / € С [0, 1] имеет место неравенство

\\1 - Вп/II < 4306 + 83776Ш ^) .

5832 у у/п)

Константа в этом неравенстве достигается при п = 6.

В серии статей, собранных в книге [5], Палтаня доказал следующую теорему.

Теорема А. Пусть п € N / € В[0, 1] и оператор Вп определён формулой

Вп/(х)=£ (х)/(п)-

3=0 4 '

То ГДТ^

\\Вп/ - /\\< ^пУ

причём это неравенство является точным для каждого п.

Заметим, что в теории приближения установлено, что порядок шага —п яв_ ляется оптимальным при оценке приближения операторами Бернштейна через второй модуль непрерывности. В качестве примера функции, у которой сов-11 адают порядки убывания величин \\/ — Вп/\\ и и2 I/, -г), можно привести

/(х) = |2х — 1|. Легко видеть, что ш2 = —п-> ПРИ этом? как установлено

в [19],

\\/ - Вп/\\ =

п

С2п 1

Гч-/

22п у/Лп'

Иными словами, порядок шага —п не может быть сделан зукзн1эттт(з» Более того, он не может быть сделан меньше, даже если ограничиться сколь угодно гладкими функциями. Это следует из теоремы Вороновской (см., например, [18, гл. X, 521):

Теорема В. Пусть x G (0, 1), f G B[0, 1] и 3f"(ж). Тогда

lim n (Bf (x) - f (x)) = f'(x),

n—>co

причём если f G C2[0, 1], то сходимость равномерна.

Таким образом, порядок приближения полиномами Б GJ) 11111r 110 И11 ("l не может быть лучше П даже для очень хороших функций. При этом, порядок w2(f, h) для таких функций может быть равен h2, из чего следует невозможность улуч-

Ш6НИЯ норядкл Ш8.Г8. ^ •

Нас будет интересовать конструкция, предложенная Канторовичем [16]:

и

Ки } ^ Pn,j Fn,j , 3=0

где FU;j - положительные операторы. Обращаем внимание, что функции pnj образуют базис в пространстве полиномов степени не выше п. По этой причине к такому виду могут быть приведены различные положительные полиномиальные операторы. В частности, при

F«j И ) = f(n)

получаются полиномы Бернштейна, а при

3+1

n+1

Fnj (f ) = (n + 1) / f (t) dt

3

n+1

получаются классические операторы Канторовича, которые также могут применяться для приближения в Ь[0, 1]. Историю вопроса можно посмотреть в [10].

Основной результат. Получен аналог теоремы А для операторов Канторовича, не требующий явного выражения функционалов Теорема 1.1. Пусть п £ N I £ B [0, 1] и оператор Bn задан формулой

n

Bnf (x) = ^ Pnj (x)Fn,j (f)' j =0

где Fnj G F, Fn,j(ei) = j, a кроме того, если n > 10, то

R = max r(Fn j) < min j —, -—— 1 . 0<j <n n'jJ \n 4у/П)

То ГДТ^

\Вп1 - /II < Ш2

где

0,

нп = <

^ ^+к)

п < 5, 5 < п < 10,

2 + 2я, 11 < п< 60,

п 2 ' — '

2я, 60 < п,

п

В качестве примера допустимого набора функционалов (в случае измеримой функции /) можно привести следующую конструкцию.

Рп,, (}) =

=£ ^—^+Кп+Ьк

¿0

+/ ф, Ч чп—0 + '6+4

(И,

где

т, е N,01,...,ст. > 0, ¿1, ..., гт., 4о е

Ф, е Ь[0, 1], ф, > 0,

¿0

0, шт | —, п

11

п 4^.

+ / Ф, (¿) (4

к=1 п

1 2'

Легко видеть, что Рп,, е и, кроме того, Рп,,(е1) =

Операторы Бернштейна являются частным случаем рассматриваемой кон-

я=0

1.1 для всех п е N \ {5, ..., 59}.

К сожалению, коэффициенты классических операторов Канторовича не обладают приведёнными выше свойствами, и аналогичной оценки для этих операторов пока не установлено. Однако, в случае измеримой функции /, вместо них можно рассмотреть похожую конструкцию с коэффициентами из приведённого

выше семейства и удовлетворяющую условиям теоремы:

п — 1 n 1

~ п 1 1 f Kf (x) = f (0) + £(x) — J f (t) dt + f (1),

j

ti

где ti,... , tn-i G (0, min{П, ^}).

Результаты исследований по этой теме опубликованы в статьях [14] и [15].

Обзор второй главы

Определения и обозначения. Обозначим через F пространство ограниченных измеримых вещественнозначных функций на множестве R, обладающих свойством

к +1 1

J f (x) dx = J f (x) dx Vk G Z, к 0

с нормой

\\f у = sup \f (x)l,

xGR

F0 F

k+1

J f (x) dx = 0 Vk G Z.

к

F0

ций, ортогональных кусочно-постоянным с узлами в целых точках.

Под C мы будем понимать пространство непрерывных 1-периодических функций с такой же нормой.

Первый модуль непрерывности функции f с шагом h в пространстве F определяется формулой

u(f,h)= sup \f (x + t) - f (x)\,

xGR, \t\<h

а модули непрерывности чётного порядка - формулой

2r

(f, h) = sup

xGR, \t\<h

Y^(-i)k ckr f (x - (r - k) t)

k=0

В частности,

Ш2(/, h) — sup \f (x - t) - 2f (x) + f (x +t)\.

xGR, \t\<h

Для формулировки результатов нам понадобятся множества

Fb — {feF°\,f(Ш) = If || — l} , F• = U Ъ,

а также функция

(_96__hG Г0 1]

(b) — J 27b3-27b2+9b+55' h e L0' 3J '

) = | 8(11b2+66b-13) h (1 .1

^ 3b4-69b3+17b2+385b-80 ' h e V3 ' 4 '

Заметим, что функция q(h) непрерывна на отрезке [0, 1], имеет на этом отрезке ровно два интервала монотонности и достигает минимума между точками 0.43 и 0.44, причём

q(h) > 1.6721.

Наконец, через E0(f) обозначается наилучшее приближeниef постоянными,

ТО (3С'X'

Eo(f) — inf If - c||.

ceR

Нас будут интересовать величины

Т* E0(f) IIf 11

J| — sup— ' W2, — sup

/ег ^2(f, /его ^2(f, 1)5

с соглашением 0 = 0. Это оправдано, поскольку для случая прямой к) = 0

следует f = 0.

Историческая справка. В своей диссертации [3] Джексон рассмотрел наилучшее приближение на различных классах функций и получил асимптотические оценки величины Еп(^). Кроме того им были получены неравенства вида

ад) < сцл кп).

Аналогичные неравенства с модулями непрерывности произвольного порядка в различных задачах аппроксимации принято называть неравенствами типа Джексона. Сегодня результаты такого типа получены для многих пространств

функций и приближающих классов^ но точные константы в них известны леко не всегда. С историей и современным состоянием теории неравенств типа Джексона можно ознакомиться в обзорных статьях [9, 12].

Тема второй главы связана с одной стороны с вопросом о точном значении константы в нбр^вбнств с

к

I) < а(7) ^ (/, Щ,

где I е С. Результаты в этом направлении, полученные в [2], позже были улуч-

1X1 (3 ТНГ ТЬхГ В *

С другой стороны, в теории приближения известен следующий результат для старших модулей непрерывности:

вир

I ЧI(*) &

о

г^т С2г

/еС ^2т (/, 1)

где точность верхней грани была доказана в [7].

Если рассматривать вместо С пространство то, поскольку

I - I(х) йх е ¥0,

получается, что

вир

1 -11 (х) йх о

= вир

III

/ ег ^2т (1,1) /ег0 ^2т и, 1)'

то есть соответствующая константа так же является точной для оценки нормы функции из ¥0 через её модуль непрерывности степени 2г. Таким образом, константы и W2L являются точными в соответствующих классических неравенствах для пространства ¥ в случае г = 1.

В [4] Ю. Крякин установил, что

вир

III

<

1 + Нт

ГЧт С2т

/ег0 ^2т (1,1)

Нт

с вопросом о порядке величины Ст (7). Так же он связывал эту тематику с константами Уитни [8, 17].

1

1

Его оценка была улучшена в [11]. Кроме того, Крякнным было показано, что

0.5058 < Щ* < 0.6244,

и к тому же, что для определения величины Щ2* можно ограничиться рассмотрением функций f, для которых

вир ^\ = вир \f\.

же R

xG

[0.1 ]

Аналогичный вопрос касательно <(f, 1) большого интереса,

а именно, легко показать, что

If

sup

feFо <(f, 1) 2'

Основные результаты. Установлено, что J2* — W*. При этом удалось значительно сузить область для поиска супремума и улучшить оценку для константы W|, точное значение которой пока остаётся неизвестным. Сужение области поиска осуществляется в несколько этапов. Сперва мы установим, что вместо пространства F можно ограничиться множеством F*, более того, верна Теорема 2.1.

f1

J* — W2* — sup IIf 11

f eF * <2(f' 1) mf <2(f 1)-

f eF *

Замечание. В периодическом случае

щ=з=2.

Этот результат можно найти в [7, замечание 5].

Следовательно, задача вычисления 3* сводится к исследованию поведения величины т£ (х>2(^ 1) при Ь е [0, 1]. Нижнюю оценку этой величины даёт

/ еГь

Теорема 2.2. Пусть f е Рь. Тогда

д(Ь) < ^(Л 1). И

1

Для верхней оценки мы строим функцию f * го множества F* со вторым модулем непрерывности равным Ц. Таким образом,

32

1.6721 < q(b) < inf u*(f*, 1) < —,

q(b)

Теорема 2.3

19

— = 0.59375 < J** < 0.5981,

32 - * - '

причём

J-* 1

2 = sup -

ЬфоМ M ^tti 1)5

где точки 1 <b0 <b\ < 1 являются корнями уравнения

(b) 32 q(b) = 19'

Для доказательств разработан метод, заключающийся в последовательном получении неравенств, связывающих средние значения функции с её вторым

модулем непрерывности, при помощи методов линейного программирования. f*

некоторые из этих неравенств в равенства.

Системы линейных уравнений решены при помощи программного пакета Maple. Результаты этой главы опубликованы в статье [13].

Глава 1.

Точная оценка приближения

абстрактными операторами типа Канторовича

через второй модуль непрерывности

1.1 Введение

Определения и обозначения. Через B[0, 1] мы будем обозначать пространство ограниченных вещественнозначных функций, определённых на отрезке [0, 1].

Важную роль будут играть функции

e0(t) — 1, ei(t) — t, pnJ(t) — Cjtj(1 - t)n-j.

Вторым модулем непрерывности в пространстве B [0, 1] называется величины

<2(f, h) — sup f (x - t) - 2f (x) + f (x + t)| .

\t\<k,x±te[0,1]

Напоминаем, что функции считаются определёнными в каждой точке.

supp F F

по включению замкнутое множество со свойством

suppF П supp f — F(f) — 0 Vf e B[0, 1].

Через r(F) наименьшее число r, такое что

supp(F) с [F(e1) - r, F(e1) + r].

Определим операторы Ta, Sa : B[0, 1] ^ B[0, 1], формулами

, f (2a - x), 2a - x e [0, 1], f (x)— L'J

' 0, 2a - xe [0, 1]

Ta f (x) =

f(a + x), a + x e [0, 1],

о, а+хе [о, 1]

Операторы Та и осуществляют сдвиг и симметрию графика функции I, соответственно.

Через Т будем обозначать множество линейных непрерывных положительных функционалов над В[0, 1] со свойствами

¥(ео) = 1, (1.1)

¥ (I) = ¥ (^ ^). (1-2)

Кроме того, при фиксированном п е N мы будем использовать индексные функции

т(t) = min i e No

a(t) = i e N0

in i {■

i

- > t n

,

т(t) = min i e N0

i

- < t n

,

in i {

i

- > t n

i

- < t n

, .

a(t) = max |i e N0

Основной результат. Настоящая глава посвящена доказательству следующего результата.

Теорема 1.1. Пусть n e N f e B [0, 1] и оператop Bn задан формулой

Bnf (x) = ^ Pn>3 (x)Fn,J (f )'

j =0

где Fnj e F, Fn,j(ei) = j, a кроме того, если n > 10, то

R = max r(Fn ^) < min 11, ^ 1 .

v n,j> \n J

ТогдЭ;

где

0<j <n

Bnf - f || < ^2

0,

hn = <

i—2yfn

f in+h")

n < 5, 5 < n < 10,

П + 2R, 11 < п< 60,

п 2 ' — '

2R, п < 60,

1.2 Леммы

Помимо определения, мы будет использовать следующие свойства функционалов из Т.

Лемма 1.1. Пусть Г е Т. Тогда

г (Г) < Г (ех) < 1 - г (Г), (1.4)

и

Г (Та f ) = Г (5^)+2 f), (1.5)

для любого а, удовлетворяющего условию

а + г, 2Г(ех) - г + а е [0, 1] Уг е вирр Г.

Доказательство. Если Г(ех) = 1, то г(Г) < 2 по определению.

Пусть Г (ех) < 1 (случа й Г (ех) > 2 рассматривается аналогично). Тогда

1 = Г(ео) = Г(^(61)ео) = Г(1 [о, 2РЫ]),

откуда следует, что Г(1 (е1), х]) = 0 В силу положительности Г это значит, что если вирр f С (2Г(ех), 1], то Г(^) = 0. Иными словами, вирр Г С [0, 2Г(ех)], откуда следует (1.4). Пусть

а + г, 2Г(ех) - г + а е [0, 1].

Тогда имеет место соотношение

^(е!)Т„f (г) = f (2Г(ех) - г + а) = ^ы+1 f (г),

откуда следует

Г (Та f ) = Г (БГ(е1 )Та f ) = Г (^(е1)+2 f ).

□

Доказательство теоремы 1.1 будет проводиться поточечно. Таким образом, нашей основной задачей является получение оценок вида

\¥(I) - ¥(ео)!(х)| < ¥(еоЫ, Н),

где х е (0, 1) I е В[0, 1], ¥ - функционал над В[0, 1]. Сформулируем достаточный для этого список условий.

Лемма 1.2. Пусть М > 0 I е В[0, 1],

¥ = ^ ТА

геI

где I - конечный табор индексов, 7г > 0 ¥г - линейные функционалы над В[0, 1], причём ¥г(е0) = 1, уг = ¥г(е1), а точка х, определённая равенством

¥ (е1 — хе0) = 0,

(0, 1)

Пусть найдётся такое множество 2 С (0, 1) а для каждого г е 2 такие непересекающиеся непустые наборы индексов I(г), 3(г) С I со свойством

Уг <г < Уз Уг е I(г), У] е 3(г),

(1.6)

что выполнены следующие условия:

1) х е причём I(х) и 3(х) = I,

2) для любого г е 2 выполнено

^ ^(г — Уг) + ^ ^з(г — Уз) > 0,

геТ(г) ЗеЗ (г)

(1.7)

3) Для любого г е 2 и для любого г е I(г) выполнено хотя бы одно из двух!

ИЛИ

Уз г-¥ги) + г-У: ¥з (I) — I (г)

Уз — Уг Уз — Уг

или найдётся такая точка гг е что I(гг), 3(гг) С 3(г).

< М, У] е 3(г),

(1.8)

Уз г-т) + г-У: ¥з (I) — I (г)

Уз — Уг

Уз — Уг

< М, У] е 3(г) \ 3(гг),

(1.9)

и

г — гг

г — У г

¥г(I) + I (г) — I (гг) г У%

< (^^ — Л М. \г—Уг )

(1.10)

То ГДТ^

\Г(f) - Г(ео)f(х)\ < Г(ео)М.

Доказательство. Пусть

7 = X ъ(х - У.) = 52 ^з(Уз - х).

е1 (х)

е (х)

Последнее равенство следует из определения точки х и условия 1):

0 = Г(ех - хео) = ^2 - х) = "^2 ^(Уг - х) - 52 Ъ(х - Уз).

¿е! 1е1 (х) iеJ(x)

Для начала установим справедливость следующих тождеств, которыми мы будем пользоваться:

1г1з (Уз - У¿)

Г (ео)

¿е1 (х) з еJ (х)

7

(1.11)

Г^) - ГЫ/(х) =

ЕЕ У-х г/) + х-У Гз (/) - f м) .(,12)

¿е1 (х) з еJ (х)

Имеем

£ ^

iе1 (х) з е J (х)

7.7з (Уз - Уi)

7

Е Е

7¿ 1з (Уз - х)

¿е1 (х)

¿е1 (х) з^ (х

/ Е 1з (Уз - х)\

з еJ (х)

7

+ Е Е

1г1з (х - У.)

\

1

+ X ъ

ЗеJ (х)

¿е1 (х) зе.1 (х)

/ Е 7.(х - Уi)^

¿е/(х)

7

V

7

/

X ^ + X ^ = X^ = Г(ео),

iеI (х) з^ (х) iеI

а с учётом этого

¥ (I) — ¥ (ео^ (х) = £ 1г¥1а) — ¥ (е^ (х) =

гiеI

= Е ) + Е -Узъ(I) — Е Е 1,13 У — Уг) I(х) =

ге1 (х) 3еЗ(х) ге1 (х) зеЗ(х)

= Е ) (Е 31) + Е тз¥3(I) ( е

ге1(х) \зе7(х) ) зеЗ(х) уе/(х)

— Е Е У — Уг) I(х) =

ге1 (х) зеЗ (х)

= Е Е Щ.Г) + Е Е ^^Р3(I)—

ге1 (х) зеЗ(х) з'еЗ(х) ге1 (х)

7г7з (Уз — Уг)

Е Е I(х) =

7

ге1 (х) зеЗ (х)

Е Е ^У — Уг)(¥,и) + ^¥з(I) — I(х)) .

ей) Ы*) 7 ^ — У "з — ' '

Теперь заметим, что если для точки х и для каждого г е I(х) выполнено условие (1.8), то справедливость леммы следует из (1.11) и (1.12):

\¥ (I) — I (х)¥ (ео)\<

<

Е Е

1г1з (Уз — Уг)

7

ге1 (х) зеЗ (х)

т) + ¥з (I) — I (х)

Уз — У г Уз — У г

<

< (Е Е 1Г'з(У — Уг) ) М = ¥ (ео)М.

\ге/(х) з еЗ (х) 7 /

Перейдём к рассмотрению общего случая.

Доказательство проведём индукцией пот = \3(х)\, где через \ • \ мы обозначаем мощность множества.

Если т = 1 и г е I(х), то требования к точке гг из 3) не могут выполниться, так как по условию

I(гг) = 3(гг) = I(гг) П 3(гг) =

а значит, выполняется условие (1.8). В этом случае лемма уже доказана.

Пусть утверждение верно при т > 1 и \3(х)\ < т, проверим, что оно верно при \3(х)\ = т. Для этого достаточно показать, что для всех г е I(х)

Е ^г/) + х-У Р с/) - f (х)

зе.1 (х)

Уз - у.

Уз - у.

)

<

<

(х)

1.1 з (Уз - У.)

1

М, (1.13)

так как в этом случае, с учётом (1.11) и (1.12), получим

\ГС/) - f (х)Г(ео)\<

Ъ1з (Уз - У.) ( Уз - х

1

зе.1 (х) 1

<

iеI (х)

Е (^г/) + уз^у-р(/) - f(х)

Уз - у.

Уз - у.

)

<

<1 Е Е ЪЪ(У у.) | М = Г(ео)М.

.е1 (х) з еJ (х) ^

Если для индекса г е I(х) выполняется условие (1.8) при ^ = х, то из этого следует (1.13). Иначе существует точка х., со свойствами (1.9) и (1.10), причём I(х.), J(х.) С J(х). Обозначим

Е 1з (Уз - х.)

№. = ^^ .. -ТТ > Н. = №. 52 Чз Гз +52 Чз Гз,

з е1 (хг) з еJ (хг)

Е 1з(х. - Уз)

зеI (хг)

т = Г.(/)+ (х),

х - У.

х - у.

& =

Е ^у - У)(г/) + ^рс/) - ,1 (х))

и сперва покажем, что

& < *

1

52 1з(Уз - У.) - №. 52 1з(Уз - У.) + (х. - х) Н.(ео) I М+

jеJ (x)\J (хг)

зе1 (хг)

+ ^^^\HiXf) - (х.)Н.(ео)\. (1.14)

Обращаем внимание, что в силу условия (1.6) и поскольку I(хг>, ••(х,> = 0, величина цг корректно определена и неотрицательна. Более того, из (1.7) еле-дувт^ что [[% << 1 •

Также отметим, что в силу свойств функционалов Р^

Х - Уг \Уз - Уг

У] - У г

откуда, с учётом условия (1.9) для ] € •• (х> \ •• (хг>, верно

\*3 (I - Рг>\<

У] - У г Х - У г

И.

В силу вышесказанного имеем

б', =

Е

3^ (х)

Х Уг> (Уз Уг) { Уз Х > + р. у > - у(х>

Е

3^ (х)

1 Х - Уг \Уз - Уг

х - Уг>

1

(I - Рг>

+

(1 - [> Е

3 €I(%г)

<

3 €3 (х)\(3 (х<)1Л (х<))

Х - Уг>

Уз - У г

!г!з (х - У г)

)

1

\*3 (I - Рг>\ +

7

(I - Р> +

+

7,(х - Уг>

1

[г Т. ^3 (I - Р>+ £ 1з (I - Р>

3 €I(хг) 3 €3(хг)

Х - Уг>

<

<

3 €3 (х)\(3 (х<)1Л (хг))

Х - Уг>

1

\*3 (I - Рг>\ +

7

\*3 (I - Рг>\ + \Нг(/ - Рг >\<

+ (1 - [> £

3 €1 (хг)

< £ У - Уг> И +(1 - [> £ (У - Уг> И+

+

3 €3 (х)\(3 (х<)1Л (хг))

7,(х - Уг>

1

3€1 (хг)

1

(\1 (х,> - Рг(Хг>\ Нг (во> + \Нг (I - Рг> - (I (х,> - Рг (Хг>>Н Ы \ > ,

откуда, с учётом (1.10),

& < ~ ( 52 Ъ (Уз - У.)М - 7з(Уз - У.)М+

з еJ (х)У (хг) зе1(хг)

(х - У.) (х.) - Р.(х.)\ Н.(бо))-

+ (х - У.) \;(х.) - Р.(х.)\Н.(ео)) +

+ т^М (\н,) - (х.)н.(ео)\ + \Н.(Р.) - Р.(х.)Н.(ео)\) < 7

< НЕ Ъ (Уз -У.)-№.52 ъ (уз-У.)+(х-У.) (хх^ - 1) Н.(ео)) М+

' з еJ(x)\J(xг) з е1(хг) \ У. /

+ 7.(х У.) (\н.(/) - f (х.)н.(ео)\ + \Н.(Р.) - Р.(х.)Н.(ео)\).

7

Для доказательства (1.14) осталось заметить, что

Н.(ех - х.ео) =

= №. 52 ЪГз (е1 - х.ео) + 52 ^зР(ег - х.ео) =

з е1 (хг) з еJ (хг)

= №. 52 з (Уз - х.)+ 52 з (Уз - х.) =

з е1 (хг) з еJ (хг)

= - 52 з (Уз - х-)+ 52 з (Уз - х-) = 0, (1.15)

ЗеJ (хг) jеJ (хг)

откуда следует, что Н.(Р) - Р (х.)Н.(ео) = 0 для любого поли нома Р степени нсз выше первой.

Н.

при том же М, I = I(х.) и J(х.) и теми же функцноналами Гз. Как видно из

х Н. х.

Рассмотрим множество

= {х} и [г е 2 \ I(г), ■(г) С ■(х.)} С

В качестве индексных множеств для г е сохраним I(г) и ■(г).

Ясно, что при этом выполнено условие 1). Путь г е 2.. Проверка условий 2) и 3) проводится элементарно в силу сохранения множеств I(г) и J(г), и коэффициентов 7з- при ] е ■■(х.). Отдельно поясним, что в случае г = х. при проверки (1.7) имеем

№. 52 7.з(х. - Уз) + 52 ^з(х. - Уз) = Н.(х.ео - ег) = 0.

з е1 (хг) ЗеJ (хг)

Таким образом, поскольку

• (х,>\ < • (х,>\ + \1 (х,>\ < • (х>\ = т, согласно индукционному предположению

\Нг(/> - Нг(ео>1 (х,>\ < Нг(во> И, и (1-14) можно переписать как

Е ^^ (^^ > + ^* (I> - I(Х>) ^х) 7 ^У3 - Уг У3 - Уг )

<

< ~ ( £ 73 (У3 - Уг> - [г £ 73 (У3 - Уг> + (хг - У^Нг(е0>-

3€3 (х)\3 (хг) 3 €1 (хг)

-(х - Уг>Нг(ео>)И + Нг(ео>И <

' 1

< ~ I £ ^3 (У3 - Уг> - [г £ ^3 (У3 - Уг> + (хг - Уг>Нг(ео> I И.

7 \3€3(х)\3(хг) 3€1(хг) )

Для доказательства (1.13) осталось заметить, что £ ^3 (У3 - Уг> - [г £ 73 (У3 - Уг> + (хг - Уг>Нг(ео> =

3€3 (х)\3 (хг) 3€1 (хг)

= £ 73 (У3 - Уг> - [г £ 73 (У3 - Уг> +

3€3 (х\(хг) 3 €1(хг)

+ [г £ (хг - Уг> + £ 73 (хг - Уг> =

3 €1 (хг) 3€3 (хг)

= £ 73 (У3 - Уг> + [г £ ^3 (хг - У3 > + £ 73 (хг - Уг> =

3€3 (х)\3 (хг) 3€1 (хг) 3 €3 (хг)

= £ 73 (У3 - Уг> + £ 73 (У3 - Хг> + £ 73 (хг - Уг> =

3€3 (х)\3 (хг) 3 €3 (хг) 3 €3 (хг)

= £ 73(У3 - Уг> + £ 73(У3 - Уг> = £ 73(У3 - Уг>,

3 €3 (х)\3 (хг) 3€3 (хг) 3€3 (х)

и сослаться на (1.11). □

Последующие леммы посвящены проверке условий 1) 3) для функционалов, участвующих в доказательстве теоремы 1.1. Конкретнее, в лемме 1.3

вводятся наборы {которыми мы будем пользоваться и устанавливается выполнение (1.7), лемма 1.4 устанавливает (1.9) вместе с (1.8) для функционалов из Т, а лемма 1.5 гарантирует в случае необходимости существование точки ^ и выполнение условия (1.10).

Определение и ндвкс ных функций даётся равенствами(1.3).

Лемма 1.3. Пусть п > 6 к =

Для произвольных х € (0, 1 — к) и г € (х + 4к, 1) определим

Н 1) _ ^ асл ™ ^ Ъи I 1

In(x) = <

{r(x - h - ln) a (x)} , n< 60, x < 3 h + n {t (x - h),...,a (x - 3 h - П)} U

U {t (x - h - n) a(x)} , n < 60, x > 4 h + n,

,{t (x - h) ,...,a(x)} , n > 60,

Jn(x) = {t (x), n} ,

Jn,x(z )

{шах{т(x), t(z - h)},..., n}, z e [x + 4h, x + 4h] , {t(z - h) ,...,n} , z e (x + 4 h, 1) .

Тогда существуют функции gn,о, дщ 1, ..., gn,n : (0, 1 - h) ^ (0, 1], такие что для всякого x e (0, 1 - h)

52 gn,i(x)(x-n) + 52 gnj(x)(x-j) =0,

ieln(x) ^ J j eJn(x) ^ J

52 gn,j (x)(z - n) > 0 yz e \x + 3h, Л , (1.17)

jeJn,x(z) ^ J L '

и

gn,j(x) = pn,j(x) yj e {t(x + h),...,n}, (1.18)

а если при этом x > h, то

gn,j(x) + gn,n-j(1 - x) <Pn,j(x) yj e {t(x - h),..., a(x + h)}. (1.19)

Доказательство. Данная лемма представляет собой переработанное собрание уТВбр^КДбНИИ «, Д0)Нных Палтаней в его книге. Вместо доказательств некоторых неравенств мы предлагаем ссылки на соответствующие места в [5].

Обозначим

фп,3(х, г> = рп,3(хм г —

•П Нх> =

(•+Ш ■

х> = <| г(х>, ..., а ух + 2

•2)(х> = \ т(х + ■ ...■а(х + к>|

•3)(х> = {т(х + к>, ... ■ п},

Покажем, что для существования функций дп, о, д щ \, ...,дп ,п достаточно того, что

3 2'

2 ^2 Рп,3(х> + £ фп,3(х, Х> > 0, Уг € ^х + 3к, , (1.20)

3 €3и,х(?) 3€.7и,х(г)

и существования функций Ап\ Ап\ [п : (0, 1 - к> ^ (0, 1> со свойствами

£ [п(Х>фп,г(х, Х> + ^ А(^(х>фп3 (Х, Х> + г€1п(х) 3€Л1](х)

+ ^2 Ап](х>фп,3(х, Х> + ^2 фп,3(х,х>=0, (1.21)

3€.7(2)(х)

3€.7(3)(х)

Е

п \Х^п,3

>фп,3(х, г>+ ^2 а(2)(х>фп,3(х, г> +

3€3п,х(г)Г\3(1) (х)

3€3п,х(г)П3(2) (х)

+ ^2 Фп,3 (х, г> > 0 Уг €

3€Лп ,х (г)П3(3)(х)

33

х + - к, х + - к 4 2

,

ЯЧ

Х

— Х

> < 1, А<2>(

Х

- х> < 1 Ух € (к, 1 - к>, (1.23)

где суммы по пустому множеству индексов мы полагаем равными нулю. Действительно, пусть

дп,3 (х> =

[п(х>Рп,3(х>, 3 € {0,... ■ а(х>}, ап,3(х>Рп,3(х>, 3 € {т(х>,п},

где

х = -,

п 1

лП1}(х), 2 € J(1) (х),

ап—(х) ^

Лп (х), 2 € 3(2) (х), 1, 2 € 7(3) (х).

Тогда равенство (1.16)

В ЫПОЛ НЯ6Т ся благодаря (1.21):

52 9пЛх)(х — П) + 52 9п-(х) (х — П) =

г€1и (х) 4 ' — €((х) 4 '

%

п

= 52 Мп(х)фп^(х, х) + Е ап—(х)фп-(х, х) = Е Цп(хх)фп^(х, х)+

'¿€1и(х) 3€Ли(х) '¿€1и(х)

+ 52 Л(а)(х)фп- (х, х) + ^ Лп2)(х)фп,- (х, х) + ^ фп— (х, х) = 0.

^ 11п(х)рп,г(х) ( х — + ^ ап, — (х)Рп— (х) ^х — ^ =

3&Л2)(х)

— €^3)(х)

Неравенство (1.17) для г € [х + 4к, х + 3к] следует из (1.22):

52 дп—(х)(г — П) =

= 52 ап—(х)рп-(х) (г — П) =52 ап—(х)фп—(х,г) =

= 52 л(1)(х)фп,—(х,г)+ 52 л(2)(х)фп,—(х, г)+

— €Ли,х (г)п.1и1](х) — €.1и,х(г)п.1и2)(х)

+ 52 Фп— (х, г) > 0

а для г € (х + |к, 1) ввиду (1.20)

имеем

52 9п—(х) (г — П) = Е рп—(х) (г — П) =

— €.7и}х(г)

= (г — х) 52 рп— (х)+ 52 рп—(х) (х — П)

хм х-->

3€1и,х(%)

— €-1и,х(г)

3

> 2к 52 рп— (х)+ 52 фп—(х,х) >

Равенство (1.18) выполнено по построению.

Наконец, покажем что (1.19) следует из (1.23). Пусть x Е (h, 1 — h). Поскольку

pn,j (x) - pn,n—j (1 x)

имеем

gn,j (x) + gn,n—j (1 x)

2Pn,j (x), x — n,

= <

([п(х> + ап,п-3 (1 - х>> Рп,3 (х> , 3 € {т (х - а(х>},

(ащз(х> + [п(1 - х>>рп,3(х>, 3 € {т(х>,..., а(х + к>},

а поскольку при 3 € {т(х - к>,..., а(х>} выполняется

п - 3 € {т(1 - х>, ... , а(1 - х + к>}, это означает, что дп3 (х> + дпп-3 (1 - х> имеет одно из пяти значений:

2 рп, 3 (х>■ (Ап Х> + [п (х>^ рп,3(х>, (Ап2)(1 - х> + [п(х>) Рп,3(х>, (а(^(х> + [п(1 - х>) Рп,3(х>, (а(2)(х> + [п(1 - Х>)

после чего остаётся сослаться на (1.23).

Дадим ссылки из [5] на (1.20), (1.21), (1.22), (1.23). Для случая n > 60

(1.20) следует из комбинации леммы 4.2.2 (стр. 99) и леммы 4.2.5 (стр. 104) при а = р = 1, d = 2, а для случая 6 < n < 60 из леммы 4.2.7 (стр. 111) для р =1.

Поскольку величина ßn(x) полностью определена соотношением (1.21), то

(1.21) - (1.23) можно рассматривать как условия на ЛП ^(х) и лП ^(х). Существование лП^(х) при n > 60 следует из леммы 4.2.6 (стр. 104), подробности также можно найти в доказательстве утверждения 4.2.1 (стр. 108). Заметим, что при этом получается, что лП^(х) = 0, однако легко видеть, что это значение можно заменить на достаточно малое положительное число.

При 6 < n < 60 существование лП^х) и лП^(х) следует из доказательства утверждения 4.2.2 (стр. 118). Подробнее, существование этих величин следует

из части доказательства, посвященной неравенствам, предполагаемым в условии леммы 4.2.8 (стр.111). Обращаем внимание, что в указанной лемме используются более сильные утверждения, где вместо величины fin(x)7 определённой (1.21) и имеющей вид

an,j (х)фП,] (x> x)

/ ч jEjn (x)

Mn(x) —

фигурирует величина

E Pn,j(x) (x — n) '

jEln (x)

an,j (x)l£n,j (x> x)

jeJn (x)

a(x—3 h) . °(x) .

_E Pn,j (x) (x — J) + E Pn,j (x) (x — n

j=T(x—h) j=r(x— h )

которую мы обозначим [п(х>. Значение [п(х> (х> при х -1 - п < 0,

а в противном случае может быть получено, если в индексном множестве знаменателя приведённой дроби удалить точку а (х - |к) и добавить т (х - | - п)-Поскольку последовательность Рп,3(х> возрастает при 3 € {0,..., а(х>}, это означает, что знаменатель при этом увеличится, следовательно

[п(х> < [п(х>.

□

В доказательствах лемм 1.4 и 1.5 мы будем пользоваться хорошо известным фактом, что если 0 < а < Ь < 1, х € [а, Ь], I € В[0, 1], то

b Xf (a) + ^ f (b) — f (x)

< ^ (.f, ^ , (1-24)

b — a b — a

и простым соображением, касающимся произвольного линейного положительного функционала F:

\F(f)|< f( sup \f (x)|) — sup \f (x)|F(eo),

\xGsupp F J xGsupp F

которое при F Е F даёт

\F (f )\< sup \f (x)\. (1.25)

xGsupp F

Лемма 1.4. Пусть / € В[0, 1], 0 < а < Ь < 1, х € [а, Ь], Ра, Рь € Т, причём Ра(е1) = а, Рь(е1) = Ь. Тогда

Ь хРа(/) + ^ Р(/) — / (х)

Ь — а ' ' Ь — а

< ^2 (/, к),

где

н Г Ь — а + г(Ра)+ г(Р) (_ ) (_ Л к = —--1--^-, Г(Ра), г(Рь)> .

Доказательство. Обозначим

Ь — / / — а

9(,) = ь— ад) + ь—а Р(/ >— 1 ю.

Поскольку ш2 не меняется от прибавления линейной функции, то

^2(9, к) = к),

х € [а, Ь]

\9(х)\ < ^2(9, к).

9

—9

9(х) < ^2(9, к).

х € [а, Ь] 9(х) > 0

Далее, поскольку Ра и Рь - положительные функционалы и

ад )=—ад)+: ад >—/ <х0 =

= ^ — ра(/0+ ^ (НРЬ(/0" Ра(/) =

= 1—0,Ра(/) + '0—а, рь/) — ра(/)=0,

Р(9) = ЬЬ—ха Ра(/) + НРь(/) — /(х») =

= — ра(/0+ Р Ж/) =

1 — ЬРа(/) + ^а Рь(/) — Рь(/) = 0,

Ь — а а ^ ' Ь — а

то существуют точки a* e supp Faj b* e supp Fb7 такие что

g(a*), g(b*) < 0.

Если x e [a*, b*], то no (1.24)

b* — x x — a* f b* — a*\

g(x) - b-* g(a>- b-* g(b' < 4) ,

откуда

(b* — a*\ b* — x x — a*

+g(a*) + g(b*) <

b* a* b* a*

b* - a*

< wW g, —^—j < Ш2(g, h).

Иначе верно хотя бы одно: или x e [a, a*) или x e (b*, b]. Исследование обоих случаев проводится абсолютно одинаково, поэтому мы ограничимся первым.

Итак, имеем

Fa(g) = 0, Fa(ei) = a, x e [a, a*) С [a, a + r(Fa)), g(a*) < 0,

покажем, что g(x) < w2(g, r(Fa)) < w2(g, h). x=a

Fa(g) = Fa(Sag) = Fa(g) +f'(S'g) ,

ввиду (1.25), получаем

g(a) = g(a) - Fa(g) = Fa(g(a)eo) - Fa(g) =

= F(g(a)eo) - Fa(g) +2Fa(Sag) = 1F(-g + 2g(a)eo - Sag) <

< 2 sup I- g (t) + 2g(a) - g(2a - t)| < 2 w2(g,r(Fa)). (1.26)

2 tesuppF 2

Если x = a, то предположим, что g(x) - w2(g, r(Fa)) > 0(иначе доказывать нечего). Пусть s e (x, a + r(Fa)], a t e [a - r(Fa), s). Согласно (1.24)

ss-xg(t) + ^^rg(s) - g(x) > -w2(g, r(Fa)),

s t s t

из чего следует

б' — г х — г

д(г> > (д(х> - ^(д, т(га>>> - ^д(в>. (1.27)

5 Х 5 Х

г=а

1 5 — а х — а

2 и2(д■ Т(¥а>> > д(а> > (д (х> - и2(д■ Г(^>>>--—д(5>

2 5 Х 5 Х

откуда

б' — а з — х

д(8> > Х^а (д(Х> - и2(д■ Г(Га>>> - 2(Х - а> Ш2(д^ r(Fa>>■

что эквивалентно

5 — Х 5 — Х

д(5>- (д(х>- и2(д^ г(^>>> > (д(х>- и2(д^ r(Fa>>>- 2( _ >и2(д^ r(Fa>>■

х а 2( х а >

йзначит

• г д(5>- (д(х> -и2(д^ г(Гд>>>

1П1 - > -то,

8€(х,а+г(Га)] 5 - Х

из чего в свою очередь следует, что для любого £ > 0 найдётся

€ (х, а + т(Га>],

такой что для всех 5 € (х, а + т^а>]

д(5> - (д(х> - и2 (д, Г^а>>> д(5*> - (д(х> - и2 (д, Г^а>>>

>--£,

откуда

5 — Х — Х

- 5 , „ ч „ „ ччч Х - 5 , ^

д(5> > --(д(х> - иъ(д, r(Fa>>> - --д(5*> - (5 - Х>Е, (1.28)

5* - Х 5* - Х~

что эквивалентно

5* — 5 5* — Х

-д(5*> > (д(х> - и2(д^ г(К>>> - (5* - х>£--—д(5>.

5 Х 5 Х

Пользуясь неравенствами д(а*> < 0 х < а*, при 5 = а* 7 из последнего неравенства получаем оценку

„^ - 5* - а*

- д5> > ^^ (д(х> - иъ(д, r(Fa>>> - (5* - Х>£. (1.29)

а х

Наконец, сопоставляя (1-27) при 5 = 5* и (1.28), получаем

5* — т Х — т

д(т > > (д(Х> - и2(д^ Г(К>>> - —— д(5*> - £(т - Х>1 (х,а+т(Га)](т >

для всех т € [а — г(Ра), а + г(Ра)] . В силу положительности функционала Ра отсюда слбдубт^ ч^то

Ра(9) >

в*— а

в* — х

ха

(9(х) — ^2(9, г(Ра))) ---9(в*) — ?Ра ((т — х)1 (х,а+г(^(

в^ — х

а с учётом (1.29) и равенства

в^ — а* х — а в* — а а* — а

+

а* _ гу о* _ су* о* _ су* /7* _

х в х в х а х

это дает нам оценку

Ра(9) >

а* — а

а* — х

(9(х) — Ш2(g, Г(Ра))) — £ ((х — а) + Ра ((т — х)1 (х, а+г(^)]) ) ,

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Ихсанов Лев Назарович, 2021 год

Литература

[1] Bernstein S. Demonstration du theoreme de Weierstrass fondee sur la calcul des probabilités // Сообщения Харьков, мат. о-ва. сер. 2. 1912. т. 13. № 1. с. 1-2.

[2] Foucart S., Kryakin Y., Shadrin A. On the exact constant in Jackson-Stechkin Inequality for the uniform metric // Constructive Approximation. 2009. vol. 29. p. 157-179.

[3] Jackson D. Uber die Genauigkeit der Annäherung stetiger Funktionen durch ganze rationale Funktionen gegebenen Grades und trigonometrische summen gegebener Ordnung. Dissertation. Göttingen. 1911.

[4] Kryakin Yu. Whitney's theorem for oscillating on R functions // arXiv:math/0612442vl. 2006.

[5] Paltanea R. Approximation theory using positive linear operators. Boston: Birkhäuser. 2004.

[6] Sikkema P. Der Wert einer Konstanten in der Theorie der Approximation mit Bernstein Polynomen // Numerische Mathematik. 1961. vol. 3. p. 107-116.

[7] Vinogradov О. L.. Zhuk V. V. Sharp estimates for the deviation of the mean value of a periodic function in terms of moduli of continuity of higher order // J. Math. Sei. 2001. vol. 106. p. 2901-2918.

[8] Whitney H. On functions with bounded nth differences //J. Mat. Pureet Appl. 1957. vol. 36. p. 67-95.

[9] Виноградов О. Л., Жук В. В. Оценки функционалов с известным конечным набором моментов через модули непрерывности и поведение констант в неравенствах типа Джексона // Алгебра и анализ. 2012. т. 24. вып. 5. с. 1-43.

[10] Виденский В. С. Работы Л. В. Канторовича о полиномах С. Н. Бернштей-на // Вестник СПбГУ. сер. 1. 2013. вып. 2. с. 50-53.

[11] Виноградов О. Л., Ихсанов Л. И. Оценки нормы функции, ортогональной кусочно-постоянным, через модули непрерывности высоких порядков // Вестник СПбГУ. сер. 1. 2016. т. 3. вып. 1. с. 8-12.

[12] Иванов В. И. Прямые и обратные теоремы теории приближения периодических функций в работах С. Б. Стечкина и их развитие // Тр. ИММ УрО РАН. 2010. т. 16. № 4. с. 5-17.

[13] Ихсанов Л. И. Оценка нормы функции, ортогональной кусочно-постоянным, через второй модуль непрерывности // Записки научных семинаров ПОМП. 2017. т. 456. с. 96-106.

[14] Ихсанов Л. И. Оценка приближения операторами типа Канторовича через второй модуль непрерывности // Записки научных семинаров ПОМП. 2019. т. 480. с. 122-147.

[15] Ихсанов Л. И. Точная оценка приближения абстрактными операторами типа Канторовича через второй модуль непрерывности // Записки научных семинаров ПОМП. 2020. т. 491. с. 66-93.

[16] Канторович Л. В. О некоторых разложениях по полиномам в форме С. Н. Бернштейна // ДАН. 1930. №22. с. 595-600.

[17] Крякин К). В. О точных константах в теореме Уитни // Матем. заметки. 1993. т. 54. вып. 1. с. 34-51.

[18] Натансон И. П. Конструктивная теория функций. — М.-Л. : Гос. изд.-во Т6ХН • тборбт« лит. 1949.

[19] Тихонов И. В., Шерстюкое В. Б. Приближение модуля полиномами Бернштейна // Вестник ЧелГУ. 2012. вып. 15. с. 6-40.

[20] Юдин Д. В., Гольштейн Е. Г. Задачи и методы линейного программирования. -М.: Изд.-во "Советсвкое радио". 1961.