Равномерное приближение классами функций с ограниченной старшей производной тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Мироненко, Александр Васильевич

• Мироненко, Александр Васильевич
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Мироненко, Александр Васильевич

Обозначения

Введение

Определения и предварительные сведения.

Глава 1. Характеризация элемента наилучшего равномерного приближения в классе Т>п

§ 1.1. История'вопроса.

§1.2. Лемма 1.3.

§ 1.3. Основная теорема.

§ 1.4. Конструктивное доказательство основной теоремы

§ 1.5. Однозначность определения ЭНП характеризацией

Глава 2. Соотношения между величинами наилучшего приближения классом Т>

§ 2.1. Основная теорема

§ 2.2. Вспомогательные утверждения

§ 2.3. Доказательство основной теоремы.

2.3.1. Доказательство неравенства (2.1) между ВНП на всём отрезке и ВНП на трёхточечных сетках

2.3.2. Доказательство неравенства (2.2) между ВНП на равномерных трёхточечных сетках и ВНП на произвольных трёхточечных сетках

2.3.3. Точность константы | в неравенстве (2.1)

2.3.4. Точность константы \ в неравенстве (2.2)

2.3.5. Точность константы | в неравенстве (2.3)

Глава 3. Соотношение между величинами наилучшего приближения классом Vz

§ 3.1. Основная теорема

§ 3.2. Гипотеза о возможном виде неравенства.

Глава 4. Связь между величиной наилучшего приближения классом Т>п и модулем непрерывности

§4.1. Основная теорема о связи между модулем непрерывности и величиной локального приближения на равномерных сетках

4.1.1. Доказательство основной теоремы.

§ 4.2. Оценки величины наилучшего приближения классами V2 и V3.

Глава 5. Применения полученных результатов

§ 5.1. Теорема Ю. А. Брудного

§ 5.2. Неравенство Джексона-Стечкина

5.2.1. Краткая история вопроса.

5.2.2. Промежуточное приближение.

5.2.3. Приближение алгебраическими полиномами

§ 5.3. К-функционал Пеетре второго порядка.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Равномерное приближение классами функций с ограниченной старшей производной»

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Вопросы равномерного приближения функций имеют давнюю историю. Одним из основных методов изучения этих вопросов является исследование точек максимального уклонения приближаемой функции от приближающей. Приведём следующую характеризацию элемента наилучшего приближения (ЭНП) в пространстве алгебраических полиномов:

Теорема (П. Л. Чебышёв). Функция д* € Рп является ЭНП для функции / £ С[а, 6] в классе Рп тогда и только тогда, когда существует набор точек {¿о, ¿п+1} такой, что (/ — = а(—1)г||/ — д*||, где константа а равна +1 или —1.

Набор точек {¿г} называют алътернансом длины п + 2. Функция д*, удовлетворяющая этим условиям — единственна.

Здесь в качестве приближающего множества используются линейное подпространство алгебраических полипомов степени п. Позднее эта теорема была обобщена Хааром на более общие линейные подпространства.

Мы будем рассматривать равномерное приближение классами Т>п, т. е. классами функций, имеющих почти всюду ограниченную по модулю единицей производную порядка п:

Классы Т>п являются одними из самых простых представителей классов функций, задаваемых ограничением на гладкость содержащихся в них функций, которые играют важную роль в теории приближений. Результаты, полученные для классов Vй, могут служить ориентирами при исследовании более сложно устроенных классов. д^ 1 всюду, где существует д^

Отметим, что классы Т>п не являются линейными подпространствами, и поэтому теоремы типа Чебышёва или Хаара здесь не имеют места. Эти классы являются выпуклыми и локально компактными, поэтому для любой функции / хотя бы один ЭНП в классе Vй всегда существует, но, как правило, этот ЭНП не единственен. Но всё же и в этом случае понятие альтернанса позволяет охарактеризовать множество функций, являющихся ЭНП.

Среди задач теории приближения достаточно важной считается задача получения эффективных, по возможности точных, оценок на величину наилучшего приближения произвольной функции некоторым, наперёд заданным, линейным пространством или классом функций. Классическими приближающими классами являются пространства полиномов и сплайнов. Одним из продуктивных приёмов решения этой задачи является промежуточное приближение, когда для аппроксимируемой функции сначала строится близкий к ней, но более гладкий агрегат, который, в свою очередь, приближается требуемым классом функций. Величина наилучшего приближения при этом оценивается как сумма уклонения агрегата от исходной функции и величины наилучшего приближения самого агрегата. Этот приём был использован В. А. Стекловым в 1922 году при доказательстве теоремы Вейерштрас-са о плотности пространства полиномов [36, гл. I, п. 18]. В качестве такого агрегата он применил функции, которые позднее назвали средними функциями Стеклова. Эти же функции использовались и для доказательства неравенств типа Джексона (см., например, Ахиезер [1, гл. V, п. 105], Стечкин [38], Бердышев [4]). Кроме средних функций Стеклова в качестве промежуточных часто используется класс ломаных (см., например, многие работы Н.П.Корнейчука).

Несмотря на кажущуюся грубость метода промежуточного приближения, он иногда позволяет получать точные (неулучшаемые) оценки. Так, например, произошло в найденном Н. П. Корнейчуком доказательстве неравенства Джексона с точной константой. Корнейчук использовал в качестве промежуточного класс Липшица, т. е. класс функций с ограниченной первой производной. Для этого он сначала получил критерий ЭНП в этом классе:

Теорема. Пусть / е С[а,Ь] \ МТ)1. Для того, чтобы функция д* е МТ)1 была ЭНП для функции /, необходимо и достаточно, чтобы нашлись две точки х\ < Х2 из отрезка [а, Ь] такие, что

1) (/ - д*)(хг) = (~1У+1а\\/ - где а = -д*)(Х1));

2) д*(х2) — д*{х\) = —осМ ■ (х2 — Х\), т. е. д^ = —аМ на интервале {хъх2).

На отрезке [х\,х2] все ЭНП совпадают.

Отметим, что здесь требуется наличие альтернанса из двух точек на том отрезке, где производная ЭНП принимает максимальное значение. При помощи этого критерия Н. П. Корнейчук получил следующее соотношение для величины наилучшего приближения (ВНП) классом МТ)1:

Теорема. Пусть / Е С[а,Ь] \ МТ>1. Тогда имеет место следующее равенство:

Здесь величина наилучшего приближения непрерывной функции / классом МТ)1 выражается через её модуль непрерывности первого порядка. Если теперь найти оценку величины наилучшего приближения самого класса МТ)1 пространством полиномов, то сумма этих двух величин даст оценку величины наилучшего приближения функции / полиномами.

Одним из побудительных мотивов для моей работы был вопрос о возможности переноса этого метода Н. П. Корнейчука на производные (и, соответственно, модули непрерывности) более высоких порядков. Полностью это удалось проделать лишь для класса

Р2, что поззир волило в итоге получить неизвестное ранее неравенство Джексона-Стечкина для модуля непрерывности второго порядка. Было также показано, что одно из ключевых для этого метода неравенств не имеет места уже в случае класса Р3, т. е. указана граница применимости метода.

Цель работы:

- получение эффективных оценок для величины наилучшего приближения на отрезке и его подмножествах классами функций с ограниченной старшей производной;

- изучение возможности применения этих оценок в методе промежуточных приближений, доказательство неравенства Джексона-Стечкина для модуля непрерывности второго порядка;

- использование полученных результатов в некоторых смежных областях математики.

Методика исследований

Использовались методы математического анализа, в частности классические для теории равномерного приближения методы оценивания мощности альтернанса, анализ возможного количества и взаимного расположения нулей у функций и их производных, а также теория сплайнов.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы. Главы разбиты на параграфы, разделённые на пункты. Нумерация формул и утверждений двойная, на первой позиции номер главы, на второй — номер формулы или утверждения внутри главы. Нумерация иллюстраций сквозная. Общий объем работы — 137 страниц. Библиография содержит 62 наименования.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Мироненко, Александр Васильевич, 2008 год

1. Ахиезер, Н. И. Лекции по теории аппроксимации. Издание 2-е, переработанное и дополненное, М.: Наука. 1965.

2. Бабенко, В. Ф., Шалаев, В. В. Об оценках наилучшего приближения, вытекающих из критерия Чебышёва // Матем. заметки, Т. 49, № 4. (1991) С. 148-150.

3. Бари, Н. К., Стечкин, С. Б. Наилучшие приближения и дифференциальные свойства двух сопряженных функций // Труды Московского математического общества, 1956,Т. 5, С. 483-522.

4. Бердышев, В. И. О теореме Джексона в Ьр // Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1967. Т. 88. С. 3-16.

5. Брудный, Ю. А. Обобщение теоремы А. Ф. Тимана // ДАН СССР, 148. 1963. С. 1237-1240.

6. Брудный, Ю. А. Приближение функций п переменных квазимногочленами // Изв. АН СССР, Сер. матем. Т. 34, №3, 1970, С. 564-583.

7. Даугавет, И. К. Введение в теорию приближения функций. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1977. 184 с.

8. Демьянов, В. Ф., Малоземов, В. Н. Введение в минимакс, М.: Наука, 1972. 368 с.

9. Дзядык, В. К. Дальнейшее усиление теоремы Джексона о приближении обыкновенными многочленами непрерывных функций // ДАН СССР, 121, № 3. 1958. С. 403-406.

10. Дзядык, В. К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М. : Наука, 1977. 512 с.

11. Завьялов, Ю.С., Квасов, Б. И., Мирошниченко, В. Л. Методы сплайн-функций, М.: Наука, 1980. 352 с.

12. КОРНЕЙЧУК, Н. П. О наилучшем равномерном приближении на некоторых классах непрерывных функций // Докл. АН СССР. 1961. Т. 140, № 4. С. 748-751.

13. Корнейчук, Н. П. Точная константа в теореме Д. Джексона о наилучшем равномерном приближении непрерывных периодических функций // Докл. АН СССР. 1962. Т. 145, № 3. С. 514-515.

14. Корнейчук, Н. П. О наилучшем приближении непрерывных функций // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1963. Т. 27. С. 29-44.

15. Корнейчук, Н. П. Экстремальные задачи теории приближения. М.: Наука, 1976. 320 с.

16. Корнейчук, Н. П. О точной константе в неравенстве Джексона для непрерывных периодических функций // Мат. заметки. 1982. Т. 32, вып. 5. С. 669-674.

17. Корнейчук, Н.П. Сплайны в теории приближения. М.: Наука, 1984. 352 с.

18. Корнейчук, Н. П. Точные константы в теории приближения. М.: Наука, 1987. 424 с.

19. Корнейчук, Н. П., Половина, А. И. О приближении непрерывных и дифференцируемых функций алгебраическими многочленами на отрезке // ДАН СССР. 1966. Т. 166, №. 2. С. 281-283.

20. Корнейчук, Н. П., Половина, А. И. О приближении функций, удовлетворяющих условию Липшица, алгебраическими многочленами // Матем. заметки. 1971. Т. 9, №. 4. С. 441-447.

21. Корнейчук, Н.П., Половина, А. И. О приближении непрерывных функций алгебраическими многочленами // Укр. мат. журнал. 1972. Т. 24, №. 3. С. 328-340.

22. Малоземов, В.Н., ПевныЙ, А. Б. Полиномиальные сплайны: Учеб. пособие. — J1.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1986. 120 с.

23. Мироненко, А. В. Приближение функциями с ограниченной производной // Проблемы теоретической и прикладной математики. Труды 33-й Региональной молодежной конференции (28 января 1 февраля 2002 г.). Екатеринбург. 2002. С. 74-75.

24. МИТЯГИН, Б. С., СЕМЕНОВ, е. М. Отсутствие интерполяции линейных операторов в пространствах гладких функций // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1977. Т. 41, № 6. С. 1289-1328.

25. Натансон, И. П. Конструктивная теория функций. M., JL: Гос. изд-во технико-теоретической литературы. 1949. 688 с.

26. РЕМЕЗ, е. Я. Основы численных методов чебышёвского приближения, Киев: Нау-кова думка, 1969.

27. СтЕКЛОВ, В. А. Основные задачи математической физики, чг.сть первая. Петербург, Российская Государственная Академическая Типография. 1922.

28. СТЕЧКИН, С. Б. О порядке наилучших приближений непрерывных функций // Изв. АН СССР. Серия матем. 1951. Т. 15. С. 219-242.

29. Стечкин, С. Б. Замечание к теореме Джексона // Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1967. Т. 88. С. 17-19.

30. Черных, Н. И. О неравенстве Джексона в L2 // Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1967. Т. 88. С. 71-74.

31. Черных, Н. И. О наилучшем приближении периодических функций тригонометрическими полииомами в ¿2 // Мат. заметки. 1967. Т. 2, вып. 5. С. 513-522.

32. Шевчук, И. А. Приближение многочленами и следы непрерывных функций на отрезке, Киев: Наукова думка, 1992.

33. BROWN, A. L. Best approximation by smooth functions and related problems // Parametric optimization and approximation (Oberwolfach, 1983), 70-82, Internat. Schriftenreihe. Numer. Math., 72, Birkhäuser, Basel, 1985.

34. DeVore, R. A., Lorentz, G. G. Constructive Approximation, Springier-Verlag, Berlin, New York, 1993.

35. Foucart, S., Kryakin, Yu., Siiadrin, A. On the exact constant in Jackson-Stechkin inequality for the uniform metric // ArXivrmath CA/0612283, (2006), 1-20 (to appear in Constructive Approximation).

36. JOHNEN, H. Inequalities connected with moduli of smoothness // Mat. Vesnik, Vol. 3. 1972. 389-403.

37. MlRONENKO, A. V. On a theorem of Yu. A. Brudnyi // East Journal on Approximation, 2008. Vol. 14, № 2. P. 235-239.

38. Oram, J. A. Best Approximation from Certain Classes of Functions Defined by Integral Operators // Ph. D. thesis, University of Newcastle upon Tyne, 1992.

39. ORAM, J. A. Best Approximation by Periodic Smooth Functions // Journal of Approximation Theory, Vol. 92, № 1, 1998, P. 128-166.

40. Peetre, J. Exact interpolation theorems for Lipschitz continuous functions // Ricerche Math., 18 (1969) 239-259.

41. Peetre, J. A new approach in interpolation spaces // Studia Math. 34 (1970), 23-42.55. plnkus, A. Best Approximations by Smooth Functions // Journal of Approximation Theory, Vol. 33, 1981, 147-178.

42. Sattes, U. Beste Approximation durch glatte Funktionen und Andwendungen in der intermediären Approximation // Dissertation, Universität Erlangen-Nürnberg, 1980.

43. Sattes, U. Best Chebyshev approximation by smooth functions //in «Quantitative Approximation», Proc. International Symposium, Bonn, August 20-24, 1979 (R. A. Devore and K. Scherer, Eds.), pp. 279-289, Academic Press, New York, 1980.

44. Schoenberg, I. J., Whitney, A. On Polya frequency functions. III. // Trans. Amer. Math. Soc., 1953. vol. 74, № 2, p. 246-259.

45. SCHUMAKER, L. L. Spline functions: basic theory, New York, 1981.

46. Sendov, Bl. On a Theorem of Ju. Brudnyi // Mathematica Balkanica, New Series, Vol. 1, 1987, Fase. 1, pp. 106-111.

47. SlNWEL, H. F. Uniform Approximation of Differentiate Functions by Algebraic Polynomials // Journal of Approximation Theory, Vol. 32. 1981, pp. 1-8.

48. Vasil'ev, S. N. Jackson-Stechkin Inequality in L2-7r,7r] // Proc. Steklov Inst. Math. Suppl. 1. 2001. P. S243-S253.