Расстояние между соседними нулями дзета-функции Римана, лежащими на критической прямой тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Хайруллоев, Шамсулло Амруллоевич

• Хайруллоев, Шамсулло Амруллоевич
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Хайруллоев, Шамсулло Амруллоевич

Обозначения.

Введение

1 Расстояние между соседними нулями дзета-функции Римана, лежащими на критической прямой

1.1 Вспомогательные леммы.

1.2 Основная лемма.

1.3 Основная теорема

1.4 Оптимизация экспоненциальных пар.

2 Расстояние между соседними нулями функции j >

2.1 Вспомогательные леммы.

2.2 Основная теорема.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Расстояние между соседними нулями дзета-функции Римана, лежащими на критической прямой»

Одним из главных направлений исследований в теории дзета-функции Римана является изучение распределения нулей £(s), лежащих на критической прямой.

Пусть s = (т + it комплексное число. При Res > 1 дзета-функция Римана £(s) задается рядом

ОО

71=1

Следовательно, (($) является аналитической функцией при Res > 1. Имеет место тождество Эйлера:

CW^nf1"^) ' Res>l, (2) р где справа стоит бесконечное произведение по всем простым числам р. При вещественных s функция изучалась Эйлером [1]. В частности, пользуясь тождеством (2), Эйлер дал аналитическое доказательство теоремы Евклида о бесконечности количества простых чисел. Риман [2] стал изучать £(s), как функцию комплексного переменного. Риман показал, что с помощью применения теории функций комплексного переменного к исследованию £(s) можно получить новые глубокие результаты о распределении простых чисел. Следующие две формулы "продолжают" £(s) на всю 5- плоскость:

ОО ч 1 1 [ p(u)du 1 1

-»г (§) см = (Izi) С(1 в).

Из этих формул следует, что функция £(s) на всей s- плоскости является аналитической с единственной особенностью в точке s = 1, где она имеет полюс первого порядка с вычетом, равным 1. Функция £(s) обращается в нуль при s = —2, —4,., —2п,.; эти нули £(s) называются "тривиальными". Кроме тривиальных, £(s) имеет бесконечно много нулей в полосе 0 < Res < 1, которая называется "критической". Нетривиальные нули комплексно сопряжены и расположены симметрично относительно прямой Res = \.

Риман [2] высказал гипотезу ("гипотеза Римана"), что все нетривиальные нули C(s) лежат на прямой Res = которую называют "критической" прямой.

Гипотеза Римана является одной из центральных проблем аналитической теории чисел и математического анализа. К настоящему времени она не доказана. Можно выделить три направления в исследованиях, связанных с нетривиальными нулями £(s) :

1) граница нулей £(s);

2) нули на критической прямой;

3) плотность распределения нулей в критической полосе.

Нули £(s) на критической прямой — это вещественные нули £(1/2+г£). Первым результатом, связанным с нулями £(s) на критической прямой, явилась теорема Г.Харди [3], в 1914г он доказал, что £(1/2 + it) имеет бесконечно много вещественных пулей. Э. Ландау [4] писал по этому поводу иК самым значительным успехам математики настоящего времени принадлеэюит заметка господина Г. Харди о нулях функции £(s) Римана".

В 1918 г. и 1921 г. Харди и Литтлвуд [5]-[8] доказали следующие два утверждения, которые значительно перекрыли первую теорему Харди: а) промео/суток (Т, Т + Я) при Т > Т0 > 0, Н > Т0,25+£ содероюитп нуль нечетного порядка С,{1/2 it); б) в промежутке (Т,Т + Н) при Т > Tq > О, Н > Т0,5+£ содержится не меньше чем сН нулей нечетного порядка £(1/2 + г£); с = с(е) > 0-постоянная.

Эти утверждения стали источником двух направлений исследований, одно из которых касается оценки сверху расстояния между соседними вещественными нулями ((l/2-j-it), а другое - "плотности" нулей ((l/2+it) на промежутках вида (Т, Т + Н), Н — Та+£ с возможно меньшим значениям а.

Выдающимся достижением явилась теорема А. Сельберга [9] 1942 г. о том, что в промежутке (Т, Т + Я) при Т > Т0 > 0, Я > Т0,5+е содержится по крайней мере сН In Т нулей нечетного порядка С(1/2 + it); с = c{e) > 0 - постоянная. Из формулы Мангольдта [10] о количестве N(t) нулей £(s) в прямоугольнике 0 < Res < 1, 0 < Ims < Т:

Т Т Т следует неулучшаемость результата Сельберга.

В той же работе Сельберг высказал гипотезу о том, что его результат должен иметь место, при Н = Та+е, где а- фиксированное положительное число, меньше 1/2. Эту гипотезу с а = 27/82 решил А.А.Карацуба [23].

В 1974 г. Левинсон [11] доказал, что по крайней мере треть всех пулей C(s) лежит на критической прямой.

Новых важных результатов в названных проблемах достиг чешский математик Ян Мозер [12]-[17]. В 1976 и 1980 гг. Мозер доказал, что при Т > То > 0, Н > Т1/6 In2 Т промежуток (Т,Т + Я) содержит нуль нечетного порядка функции £(1/2 + й); а при

Н > Т5/12 In3 Т этот же промежуток codepoicum не меньше чем сН таких нулей.

В 1981 г. А.А. Карацуба [18] получил оценку тригонометрической суммы

С[щМ)= Е

M<m<Mi ^ где t>t0>0, лЛ\<М<^ Mi < 2М, = которая позволила ему получить более точный результат, чем результат Яна Мозера:

Теорема 1. При Н > ТаЫ2Т, а = 5/32, Т > Т0 > 0 промежуток (Т,Т + й") содержит нуль нечетного порядка функции £(1/2 + it).

Показатель а = 5/32 интересен в силу следующих обстоятельств. Мозер связал показатель а в подобном утверждении с оценкой |£(1/2+г£)| и в частности, с гипотезой Линделефа.

При доказательстве этой теоремы А.А. Карацуба, следуя Харди-Литттлвуду-Мозеру, изучил вещественные нули функции Харди Z(t), которые являются вещественными нулями С(1/2+г£). Можно предполагать, что при любом е > 0; Т > Tq = То (s) > 0, Н = Те промежуток (Т, Т + Н) содерэюит нуль нечетного порядка функции Z{t). Однако эта гипотеза не следует даже из гипотезы Римана. В то же время А.А.Карацуба [18] обнаружил эффект «сближения» с ростом к нулей функции Z^ (t) и доказал:

Теорема 2. Пусть к-натуральное число, Т > То(к) > 0; Н > cTi/(6fc+6)ln2/(fc+i)T^ с > q Тогда Пр0ме0,суток (Т,Т + Я) содержит нуль нечетного порядка функции Z^{t).

А.А. Карацуба [19] по поводу этих теорем сделал замечание: Если для оценки тригонометрической суммы С(и,М) применить более сложные методы, например метод экспоненциальных пар, то для суммы С (и, М) получится более точная оценка.

Решение поставленных задач А.А. Карацубы — оценок специальных тригонометрических сумм через теорию экспоненциальных пар и его применение к исследование расстояния между соседними нулями дзета-функции Римана, лежащими на критической прямой, является основным результатом настоящей диссертации.

Диссертационная работа посвящена сведению задачи о длине промежутка критического прямой, в которой заведомо содержится нуль нечетного порядка функции Харди и ее производных, к проблеме отыскания экспоненциальных пар для оценки специальных тригонометрических сумм и применению оптимальных экспоненциальных пар, позволяющих эту длину выразить через константу Ранки на.

Диссертация состоит из двух глав. В первой главе рассматривается расстояние между соседними нулями дзета-функции Римана, лежащими на критической прямой.

Функция Харди Z(t) задается равенством

Z(t) = eW<Q + tt), e^'W-tr g + f)

Функция Харди Z(t) принимает вещественные значение при вещественных значениях t и вещественные нули Z(t) являются нулями £(s), лежащими на критической прямой.

Определение. Если В >1, 0 <h< В, F(u) <Е С°°(В,2В), А>1,

ABl~r < |F(r)(и) |< АВХ~Г, г = 1,2,3,-•• , где постоянная под знаком зависит только от г, и имеет место оценка

Y^ e(F(n)) CAkBl, 0 < fc < 0, 5 0,5 </<1,

B<n<B+h то пара (k; I) называется экспоненциальной парой.

Тривиальная оценка показывает, что (0; 1) является экспоненциальной парой. Е. Phillips [20] показал, что если (к; I) экспоненциальная пара, то

0 = Ут~2' \ + мТг) - процесс)

В (к; 1) = (1- 0.5, к + 0.5) {В - процесс) также являются экспоненциальными парами.

В втором параграфе первой главы доказывается следующая основная лемма об оценке тригонометрической суммы С (и, М) методом экспоненциальных пар, которая затем применяется при доказательстве теорем 1.2.1 и 2.2.1: Лемма 1.2.1. Пусть (/с,/) - произвольная экспоненциальная пара и t>t0>0, у/Ъ < М < Мг< 2М, Pi =

Тогда для тригонометрической суммы

С(и, М) = £

M<m<Mi ^ справедлива следующая оценка

Заметим, что это лемма доказывается по схеме доказательства леммы А.А. Карацубы([19], стр. 162), в сочетании с методом экспоненциальных пар.

В третьем параграфе первой главы доказывается основная теорема о расстояние между соседними нулями дзета-функции Римаиа, лежащими на критической прямой.

Теорема 1.3.1. Пусть (k,l) - произвольная экспоненциальная пара, Т >Т0> 0, Н > Тв^1Чп2Т,

Тогда промежуток (Т, Т + IT) codepotcum нуль нечетного порядка функции Харди Z(t).

При доказательстве этой теоремы и теоремы 2.2.1 мы существенно пользуемся методами работ А.А.Карацубы [23], в которых, соответственно, доказаны гипотезы Сельберга о нулях дзета функции Римана на критической прямой и в ее окрестности, и работой З.Х. Рахмонова [44], в котором доказана плотностная теорема для нулей дзета функции Римана в коротких прямоугольниках критической полосы.

Основные этапы доказательства теоремы 1.3.1 таковы. Считаем, что t принадлежит промежутку Не ограничивая общности, можно считать число Т таким, что

Т 7Г + — = 2пК, Я-целое число. 2 8

Воспользуемся формулой Римана-Зигеля г,/\ - cos(0(£) — tInn) i , v

Z{t) = 2 -v v '-J-+ 0(t" In t).

3) t

Ъг

Выводя асимптотическую формулу для 9{t) и заменяя величину у^

Гт величиной W ——, от которых правая часть (3) измениться на величину порядка не выше , получим для Z{t) следующую формулу п<Р

Определим числа tv из уравнения tv In Р = 7rv и будем рассматривать v такие , что выполнялись неравенства

Для этого возьмем

Щ =

Tin Я

7Г

7Г1/ т < -—- < Т + Я. m Я 1, г = [1пТ], Ях =

4)

Я In Я кг и определим числа г/ равенством = VQ + Vi + . + vr, 0 < Ui,., vr < Hi — 1, в котором uq -постоянное число, а числа г^, vr могут принимать значение любых целых чисел из промежутка [О, Н\). Очевидно, что таким образом определенные и удовлетворяют указанным неравенствам (4). Далее, рассмотрим две суммы S\ и S2,

Я1-1 Ях-1 Щ-1 Hi-1 Е - Е zw. = £ - Е (-ч'ад. j/1=0 г/г=0 i/i=0 z/r=0

Если будет доказано неравенства IS2I > l-S'ib т0 тем самым будет доказано изменение знака у функции Z(t) при некотором t = tv, то есть будет доказано существование нечетного нуля функции Z(t) на промежутке (Т, Т + Я). Поэтому модуль суммы Si оценим сверху, а модуль суммы $2 снизу.

Пользуясь определением tv и формулой приведения для косинуса имеем

Si = Е . Е Е \ cos (*{Р0 + г +0" + Vr) Ьг1+ 0(Й1Г* ШТ);

1/1=0 иг=0 п<Р V ^

Я1-1 Яг-1

In Р тт(щ + VI + . + vr) In Р п cos ^ r>'" Inn + In Г).

Л/ 7/, 1 ° '

J/1=0 г/г=0 п<Р

Выделяя в l^l слагаемое с n = 1 и имея в виду, что оно будет равно числу Я[, имеем

S2 = H{ + R + 0(ЩТInТ), где R тот же сумма 62, в которой слагаемое с п = 1 отсутствует. Оценим снизу |52|. Имеем

52| > Щ - |Д| + 0{ЩТ-* InТ),

R£ ^

2<п<Р v

ЕЯг 1 Я1 1 , ^^ + + . + уг) COS I -;---ЩИ i/i=0 i/r=0

Я1-1

In P E

2<n<P

Ее (Inn) \21nP J i/=0

Применяя к внутренней сумме по г/, которая является линейной,

Inn 1 известную оценку и имея в виду, что получим: яг-1 ,

2 In Р последовательно

Zu е ( ) — m*n 1 i/=0

2 In jp

Inn

21nP 10 f „ 2 In P\ 2 In P < min Яь -- I <

Inn

Inn

Подставляя найденную оценку в правую часть неравенства для \R\, заменяя сумму интегралом, покажем, что \R\ < 8(21пТ)г -С то есть для |52| находим

S2\ > Щ - 8(2 InТ)г + 0{Н[ТInТ) > Щ + 0(Н[Т1пТ).

Оценим сверху l^il. Интервал суммирования по п в сумме Si разобьем на два интервала вида

1<п<(1-Д)Р и (1 — А)Р < n < Р, где Д = 8-fiTf1 In P. Соответственно этому разбиению, Si представится суммою двух слагаемых:

Si = 53 + 54 + 0(Н[ТInТ),

5) где

1 (7г(и0 + Щ + . + Vr) Р' cos —1--—--- m — п \ In Р п

Hi-l Я1-1 иг=0 1<п<(1-д)р Я1-1 Н\ — 1 vi—Q ur—0 (1 -А)Р<п<Р Оценивая сумму |5з| как сумма S2, имеем

53| < 2л/РЩ8~г < 16ЩТ-1

Легко показать, что

1 /тг(г/0 + + . + z/r) PN cos —11--—--1 m — п \ In Р п

54| < Щ Е

1 (l 1 4 :в - • 1П П у/п \27г m KV m 7TZ/

Т < < т + Я, = t.

In Р

1-д)р<тг<р

Применяя формулу частного суммирования, найдем ft Inn

In Р

54|<Я[^, ОД Е

1-д)р<тг<и

2?Г

U < Р.

6)

2тг

Заменяя в этой сумме Р на Pi = суммирования п через Pi — m, находим

Hn(Pi - га)

С(и) = X) 6

Pi~u<m<PiA

2тг и обозначая переменное о(1).

Разбивая промежуток суммирование по т на не более In Т промежутков вида М < m < Мь М1 < 2 М, Р\ — и < М, М\ < Pi А и переходя к оценкам, найдем

C(u)| <С max\С(и, М) \ InT + 1, С{щМ)= ^ в

M<m<M\ ^ '

Применяя к сумме C(w, М) основную лемму об оценке тригонометрической суммы С(и,М) методом экспоненциальных пар (лемма 1.2.1) находим k-i

С(щ М) \ 'М

Подставляя найденную оценку для С (и) в соотношение (6), получим

I^Ktfr-T^-iff^lnT.

Переходя в соотношение (5) к оценкам, и подставляя найденные оценки для |5з| и ($41, находим

Si\ < |53| + |54| + 0{ЩТ-к* InТ) <

С Н[(Т-к< InТ + Т^Н^ InТ). (7)

Показатель Я - отрицательное число. Поэтому, подставляя в неравенство (7) вместо Я величину Т^1п2Т и имея в виду, что Я > Гб^1п2Т,

Ofcl) = U 1- * У 0i(M) = '

2 \ 2-01~1(£;Г)/ 0,5-fc' найдем

IS'il

Из ранее найденной оценки для S2 следует, что l^l > |5i|.

Заметим, что Я > Т5/321п2Т в теореме А.А.Карацуба является следствием теоремы 1.3.1, при 1.8(3),

4n-i) = fi = °>15625

Минимизация 9{к\Г) равносильно минимизации 9i{k\l). Применение метода оптимизации экспоненциальных пар позволил выразить в\ (к;1) через константу Ранкина [21] R = 0, 8290213568591335924092397772831120

Теорема 1.4.1. Пусть V\ множество всех экспоненциальных пар (k,l) отличная от (1/2,1/2) и

Тогда справедливо соотношение inf 0i(fc;O = #+l, k,l)ePi где R = 0,8290213568591335924092397772831120. - постоянная Ранкина.

Следует отметить, что этот результат является улучшением теоремы 1 и является окончательным в рамках данного метода.

Во второй главе рассматривается расстояние между соседними нулями производной функции Харди, то есть Z^(t), (j > 1). Здесь нам также удалось свести задачу о величине промежутка (Т, Т + Н) критической прямой, в которой заведомо лежит нуль нечетного порядка функции (j > 1), к проблеме отыскания экспоненциальных пар для оценки тригонометрических сумм.

Основным результатами второй главы являются следующая теорема: Теорема 2.2.1. Пусть (/с,/) - произвольная экспоненциальная пара, j- натуральное число, Т > To(j) > 0,

Тогда промесисуток (Т, Т + Н) содержит нуль нечетного порядка функции Z^ (t).

Заметим, что теорема 2 является следствием теоремы 2.2.1, при

Доказательство теоремы 2.2.1 проводится по схеме доказателство теоремы 1.3.1.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Хайруллоев, Шамсулло Амруллоевич, 2009 год

1. Hardy G.H., Littlewood J.E. The approximate functional equation in the theory of the zeta-function with applications to the divisor problems of Dirichlet and Pilth. — Proc. London Math. Soc. (2), 1922, 21, p. 39-74.

2. Selberg A. On the zeros of Riemann's zeta-function // Shr. Norske Vid. Akad.Oslo.-1942 -v. 10, p. 1-59.

3. Mangoldt H. Zur Verteilung der Nullstellen der Rimanscher Funktion £(*) // Math.Ann.-1905.-Bd 60.-S.1-19.

4. Levinson N. More than one third of the zeros of Riemann's zeta-function are on <j — 1/2. — Adv. in Math., 1974, v. 13, p. 383-436.

5. Мозер Я. Некоторые свойства дзета-функции Римана на критической прямой // Acta Auith.-1974.-V. 26.-Р. 33-39.

6. Мозер Я. Об одной сумме в теории дзета-функции Римана. — Acta arith., 1976, 31, S. 31-43.

7. Мозер Я. Об одной теореме Харди-Литтлвуда в теории дзета -функции Римана // Acta Auith.-1976.-V. 31.-Р. 45-51; Добавление // Acta Auith.-1979.-V. 35.-Р. 403-404.

8. Мозер Я. Существенное улучшение одной теоремы Харди-Литтлвуда в теории СО). Acta arith., 1980, 38, №4.

9. Мозер Я. Улучшение теоремы Харди-Литтлвуда о плотности нулей функции £(1/2 +it) // Acta math Univ.Comen.Bratislava.-1983.-V. 42-43.-P. 41-50.

10. Мозер Я. Новые теоремы о среднем для функции \£(1 / 2 + it)\2 // Acta math Univ.Comen.Bratialava.-1985.-v.46-47.-c.21-40.

11. Карацуба А.А. О расстоянии между соседними нулями дзета-функции Римана, лежащими на критической прямой // Труды МИАН. 1981.-т. 157.С.49-63.

12. С.М.Воронин,А.А.Карацуба Дзета-функция Римана.-М.: Физматлит, 1994.-376C.-ISBN 5-02-014120-8.

13. Phillips Е. The zeta-fucntion of Riemann: further developments of van der Corput's method. Quart. J. Math. (Oxfort), 1933, v. 4, 205-225.

14. Graham S. W. Kolesnik G. Vander Corput's Method of Exponential sums. Cambridge university press. 1991, Cambridge, New Vork, Port Chester, Melbourne,Sydney.

15. Карацуба А.А. О нулях функции £(s) в окрестности критической прямой // Изв. АН СССР, сер. матем. 1984, т. 49, №2, с. 326-383.

16. Карацуба А.А. О нулях функции £(s) на коротких промежутках критической прямой // Изв. АН СССР, сер. матем. 1984, т. 48, №3, с. 569-584.

17. Карацуба А.А. Распределение нулей функции £(0.5+ г£) // Изв. АН СССР, сер. матем. 1984, т. 48, №6, стр. 1214-1224.

18. Карацуба А.А. Дзета-функция Римана и ее нули // УМН, 1985, т. 40, в.5 (245), 19-70.

19. Карацуба А.А. О количестве нулей дзета-функции Римана, лежащих на почти всех коротких промежутках критической прямой // Изв. АН СССР, сер. матем. 1992, т. 56, №2, стр. 372-397.

20. Карацуба АА. Основы аналитической теории чисел.-2-е изд.-М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1983.-240с.

21. Карацуба А А. Плотностная теорема и поведение аргумента дзета-функции Римана // Мат. заметки. 60(1996). №З.С.448-449.

22. Киселева Л. В. О количестве нулей функции £(s) на "почти всех" коротких промежутках критической прямой // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1988. - Т. 52, №3. - С. 479-500.

23. Виноградов И.М. Особые варианты методов тригонометрических сумм. М.: Наука, 1976.

24. Виноградов И.М. Избранные труды, М.: Издательство АН СССР, 1952.

25. Виноградов И.М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. М.: Наука, 1971.

26. Виноградов И.М. О среднем значении числа классов чисто коренных форм отрицательного определителя. — Сообщ. Харьк. мат. о-ва, 1918.

27. Карацуба А.А., Королев М.А. Аргумент дзета-функции Римана // УМН. 60 (2005). №3 С. 41-96.

28. Королев М.А. Об аргументе дзета-функции Римана на критической прямой // Изв. РАН. Сер. матем. 67 (2003). №. -С. 21-60.

29. Titchmarsh Е. С. The zeros of the Riemann zeta-function Proc. Royal Soc.(A). 151 (1935). - P.234-255.

30. Титчмарш E.K. Теория дзета-функции Римана. M.: ИЛ, 1953.

31. Titchmarsh Е.С. On the remainder in the formula for N(T), the number of zeros of ((s) in the strip 0 < t < T Proc. London Math. Soc. Sec.Ser. 27(1928). Part 6. - P.449-458.

32. Лаврик А.А. Аналитические свойства производных Z- функции Харди. Дис. канд. физ.-мат. наук. — М.: МГУ, 1989. 120с.

33. Tsang К. М. The large values of the Riemann zeta-function Mathemati-ka. 40(1993). №2. - P.203-214.

34. Iwaniec H and Mozzochi I. On the divisor and circle problems.-J. Number Theory 29 (1988), 60-93.

35. Прахар К. Распределение простых чисел М.: Мир. - 1967.

36. Mueller J.H. On the Riemann zeta-function £(s) gaps between sign changes of S(t) - Mathematika. 29(1983). №58. - P.264-269.

37. Рахмонов 3.X. , Хасанов З.Н. Нули дзета-функции Римана в коротких промежутках критической прямой // Чебышевский сборник, 2006, т. 6, вып 3(19), стр. 45-58.

38. Рахмонов З.Х., Хайруллоев Ш.А. Расстояние между соседними нулями дзета функции Римана, лежащими на критической прямой // ДАН РТ, 2006, т. 49, №5, стр. 393 - 400.

39. Хайруллоев Ш.А. Расстояние между соседними нулями функции Z{j\t), j> 1 // ДАН РТ, 2006, т. 49, №9, стр. 803 809.