Расширение задач на программный максимин в классе конечно-аддитивных мер тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.09, кандидат физико-математических наук Бакланов, Артем Павлович

• Бакланов, Артем Павлович
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Бакланов, Артем Павлович

Содержание

Введение

1 Элементы теории расширений: общие свойства и некоторые применения

1.1 Задача управления с импульсными ограничениям»

1.2 Определения и обозначения

1.3 Обобщенные управления

1.4 Расширение задачи управлении с импульсными ограничениями

1.5 Одна задача чисто импульсного управления

1.6 Расширение задачи чисто импульсного управления

1.7 Простейшая задача управления линейной системой

1.8 Множества притяжения

1.9 Некоторые примеры неустойчивых задач

1.10 Векторные копечно-аддптпвпые меры

1.11 Один пример задачи па программный макспмин

2 Расширение одной игровой задачи в классе конечно-аддитивных (ОД)-мер

2.1 Постановка задачи

2.2 Расширение задачи

2.3 Асимптотическая реализации обобщенных элементов

2.4 Множества оценок при ослаблении ограничений

2.5 Макспмин в задачах с ослабленными ограничениями

2.6 Аппроксимативная реализация обобщенного макспмина

3 Расширение одной абстрактной задачи о достижимости

3.2 Множества притяжения

3.3 Конечно-аддитивные (ОД)-мсры как обобщенные элементы

3.4 Применение для целей построения обобщенных аналогов одно-импульспого управления

3.5 Связь с операцией предела по ультрафильтру

3.0 Реализация множества притяжения в классе приближенных управлений (случай пространства-стрелки)

3.7 Связь с построениями второй главы

4 Расширение одной игровой задачи с; импульсными ограничениями

4.1 Введение и постановка задачи

4.2 Конкретизация задачи

4.3 Вспомогательные множества притяжения

4.4 Пример

Список сокращений и основных обозначений

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Расширение задач на программный максимин в классе конечно-аддитивных мер»

Введение

Общая характеристика работы

Представленная диссертация посвящена построению корректных расширений игровых задач с ограничениями асимптотического характера. В частности, рассматриваются игровые задачи программного управления линейной системой с возможной разрывностью в коэффициентах при управляющем воздействии. В качестве обобщенных эцементов используются конечно-аддитивные (к.-а ) меры ограниченной вариации; соответствующие компакты упомянутых мер определяются в виде подпространств пространства, сопряженного пространству ярусных функций, в оснащении *-слабой топологией. Конструируемые обобщенные игровые задачи (па максимпн) определяют асимптотику реализуемых значений макспмппа при ослаблении стандартных ограничений. Исследуется постановка, в которой ограничения на выбор управления изначально имеют асимптотический характер.

Актуальность темы

В современном мире теория управления играет важную роль. Одна из проблем теории управления состоит в определении оптимального управления в условиях действия помехи, что 'пшичпо дчя задач управления техническими системами Наиболее плодотворным в решении такой проблемы является игровой подход, в котором выбор помехи осуществляет второй (зачастую фиктивный) игрок. Развитие математической теории задач конфликтного управления, прежде всего, связано с работами Н.П. Красовского, Л.С. Понтрягина, Б.Н. Пшеничного, А.И. Субботина. Первые постановки дифференциальных игр были рассмотрены в монографии Р. Айзекса [I].

Существенное влияние на теорию управления п теорию дифференциальных игр оказали работы Р.В. Гамкрелидзе. A.B. Кряжимского, А.Б. Куржан-ского, Е.Ф. Мищенко, Ю.С. Осинова, Ф Л. Черноуеько, J.P. Aubin, Т. Basar, Р. Bernhard, J.V. Breakwell, L. Berkovitz, M.С. Crandall. R.J. Elliot, A. Friedman N.J. Kalton, G. Leitmann, P.L. Lions, C. Ryll-Nardzewski, P. Varaiya. J. Warga.

Большой вклад в 'георию управления и теорию дифференциальных игр внесли Э.Г.Альбрехт, В.Д. Батухтпн. С.А. Брыкалов. Н.Л. Григоренко, П.Б. Гусятников, М.И. Зелпкпп, А.Ф. Клейменов, Н.Ю. Лукояиов, A.A. Ме-ликян, М.С. Никольский, В.В. Остапенко. B.C. Пацко, H.H. Петров, Л.А. Пет-росян, Е.С. Ноловипкин, H.H. Субботина, A.M. Тарасьев, A.A. Толстоно-гов, В.Е. Третьяков, В.И. У хоботов, В.Н. Ушаков, А.Г. Ченцов, A.A. Чи-крий, C.B. Чистяков. M. Bardi, E.N. Barron. A. Blaquiere, 1. Capnzzo Dolcetta, M. Falcone, L.C. Evans, R. Jensen. M. Ishii, J. Lewin, P. Soravia, P.E. Souganidis и многие другие ученые.

Задачам импульсного управления посвящены работы H.H. Красовского [28], A.B. Куржаиского, Р. Винтера, В.Н. Гурмана [17], М.И. Гусева, В.А. Дыхты и О.II. Самсонюк [20]. С.Т. Завалпщина и А.Н. Сесекина [22,81], А. М. Самойлснко [40], Б.М. Миллера [3G|. В.М. Тихомирова, Т.Ф. Филипповой, А.Г. Ченцова, J. Warga, A. Halanay, D. VVexler и многих других ученых.

Конструкции расширений задач оптимальною управления с геометрическими ограничениями рассматривались многими авторами, отметим здесь исследования Р.В. Гамкрелидзе [15|. L. С. Yong [71], J. Warga [14]. Конструкции расширений играют важную роль в игровых задачах управления (см., например, [30,31,43]). Отметим, что для построения методов решения позиционных дифференциальных игр использовались результаты, полученные для игровых задач программного управления. В упомянутых игровых задачах программного управления применялись конструкции расширений на базе управлений-мер (см.. например, «смешанные» программные управления [31]), что сыграло важную роль при построении вспомогательных программных конструкций для решения нелинейных дифференциальных игр и при исследовании условий регулярности, которые позволяют осуществлять прямой переход от

(более простых) игровых задам программного управления к построению процедур управления по принципу обратной связи. Заметим, что в регулярных дифференциальных играх программный максимип играет основную роль в определении функции цены (см. |29]). Данное направление получило развитие в работах Н.Ы. Красовского и его учеников. Важным этапом в исследованиях являлось построение обобщенных игровых задач программного управления, в том числе п при фазовых ограничениях. В последнем случае часто возникает скользящий режим управления, при котором фазовые ограничения соблюдаются «па грани фола». Напомним здесь же, что в определении фундаментального свойства стабильности II. Н. Красовским было предложено использовать обобщенные реакции па обычные и, более того, постоянные управления одного из игроков; наряду с правилом экстремального сдвига это сыграло важную роль в доказательстве фундаментальной теоремы II. Н. Красовского п Л. И. Субботина об альтернативе в нелинейной дифференциальной игре. Заметим, что расширение «совокупной» игровой задачи может не сводиться к сочетанию индивидуальных расширений игроков; соответствующие примеры, касающиеся вспомогательных программных конструкций для позиционных дифференциальных игр. приведены в (-15 47].

Идеи, связанные по существу с конструкциями расширений, использовались и в других разделах математики (см.. например, [16, 19,21] в связи с задачами математического программирования). В качестве одного из самых известных вариантов конструкций расширений следует отметить использование смешанных стратегий в антагонистических играх, благодаря чему в широком классе игровых задач удается решить проблему существования седловой точки (см. [38,39] и др.).

В настоящей работе целенаправленно пепедуются вопросы корректных расширений абстрактных игровых задач программного управления с ограничениями асимптотического характера, которые, в частности, могут возникать при ослаблении стандартных ограничении пли быть заданными изначально. Данные построения связаны с постановками, в которых истинное качество

процесса реализуется при соблюдении ограничении «па грани фола» (с высокой, но все же конечной степенью ТОЧНО("1 п)

Конструкции расширения в классе к -а. мер использовались в работах Е.Г. Белова, А.И. Жданка, А.И. Короткого, В.П. Серова, С.И. Тарасовой. А.Г. Чеицова, Ю.В. Шапарь. В связи с расширением задач с ограничениями асимптотического характера отметим работы [53,70,79]. Целый ряд работ (см. [65-68]) посвящен рассмотрел!по игровых задач программного управления, где упомянутые ограничения определяются релаксацией краевых и промежуточных условий.

Большой вклад в развитие к.-а. теории меры внесли работы: Г. Гильде-брандта. Н. Данфорда и Дж.Т. Шварца [18], Л.В. Канторовича, Г.М. Фихтен-гольца, Е. Хыоитта и К. Иосиды (80], Б. Pao К. и Б. Pao М. [73].

Цель работы

Построение расширений абстрактных задач программного управления на максимин, реализуемых в соответствующих классах к.-а. мер. Построение асимптотики значений программного макспмпна в классе обычных управлений при ослаблении стандартных ограничении. Исследование задачи на программный максимин в классе импульсов управления с «исчезающе малой» продолжительностью.

Методы исследования

Используются методы теории управления, математического программирования, функционального анализа, общей топологии, теории игр, теории меры.

Научная новизна

Для абстрактных игровых задач с различными ограничениями импульсного хараюера п режимами управления построены расширения в подходящих классах к.-а. мер. Данный подход; позволяет решить проблему компактифи-кацпп пучка траекторий и области достижимости. Другим важным следствием данного подхода является возможность исследовать асимптотику значе-

ний (реализуемого) макснмипа в случаях, когда каждое упомянутое значение соответствует множеству-элементу некоторой базы фильтра (в терминах упомянутых баз фильтров задаются ограничения асимптотического характера). Ограничения асимптотического характера в виде баз фильтров могут, в принципе, возникать по разным причинам. Например, это может происходить при ослаблении стандартных ограничении, задаваемых требованием принадлежности множеству некоторой «оценки» возможного решения. При этом реализуется семейство множеств допустимых обычных решении, отвечающих каждое соответствующей «степени» ослабления стандартного ограничения. В других случаях «асимптотические ограничения» задаются изначально, а их соблюдение приводит к реализации предельных значений функции стоимости. В рамках предполагаемого подхода, связанною с расширением исходной задачи, удаехся исследовать асимптотпм реализуемых значений максимина в случае, когда игровая задача пс обладает устойчивостью при ослаблении исходной системы стандартных ограничений.

Для одного конкретного варианта измеримою пространства с полуалгеброй множеств (а именно для пространства-стрелки) дано конкретное описание к.-а. мер, реализующих вспомогательное множество притяжения в пространстве обобщенных элементов, что позволяет находить асимптотику реализуемых значений максимина (асимптотический макспмин).

Теоретическая и практическая значимость

Для игровых задач па макспмин (с разтпчпымп типами ограничений на выбор программного управления игроками) были реализованы конструкции расширения в классе конечпо-аддптивных мер. что позволяет в упомянутых задачах корректно описать эффекты, возникающие при условиях разрывности в коэффициентах при управлении и имеющие смысл произведения разрывной функции на обобщенную Результаты работы представляются полезными для исследования конкретных постановок игровых задач управления линейными системами с импульсными oi раппченпямп и разрывностью в коэффициентах при управляющих воздействиях. Соответствующие примеры та-

кпх постановок доставляют инженерные задачи, связанные с управлением техническими системами при наличии ресурсных ограничении. Ограничения такого типа возникают в задачах космической навигации. При этом вышеупомянутая разрывность может, в некотором естественном смысле, отражать процесс резкого изменения массы управляемого объекта. В работе построены корректные расширения абстрактных задач управления на максимин, в которых присутствуют ограничения асимптотического характера, которые могут быть порождены ослаблением традиционных ограничений либо возникать изначально (пример такого рода задач рассмотрен в 4 главе).

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях: международная школа-конференция «Современные методы качественной теории краевых задач -- Понтрягпнскпе чтепия-XXI» (г. Воронеж, 3-9 мая 2011); 42-я всероссийская молодежная школа-конференция «Современные проблемы математики» (г. Екатеринбург 30 января-6 февраля 2011);

43-я всероссийская молодежная школа-конферепцпя «Современные проблемы математики» (г. Екатеринбург, 29 япваря-5 февраля 2012); всероссийская научная конференция с международным участием «Математическая теория управления и математическое моделирование» (г. Ижевск, 14-18 мая 2012);

44-я всероссийская молодежная школа-конференция «Современные проблемы математики» (г. Екатеринбург, 27 ян варя-2 февраля 2013).

Результаты диссертации докладывались па семинарах отдела управляемых систем МММ УрО РАН, па семинаре кафедры теории управления и оптимизации Челябинского государственного университет, на семинаре отдела оптимизации управляемых процессов Института Кибернетики им. В.М.Глушкова HAH Украины.

Публикации

Основной материал диссертации опубликован в работах [3-11,72]. В совместных с А.Г. Ченцовым работах [10,11,72] А.Г. Ченцову принадлежат по-

становкп задач, общая схема исследования и некоторые идеи доказательств; конкретные доказательства основных положении проведены автором диссертации самостоятельно.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, 4 i пав и списка литературы. Главы разбиты на параграфы. Нумерация глав, параграфов и утверждении сквозная. Нумерация формул тройная. Объем работы 168 страниц и включает 5 рисунков. 1 таблицу. Библиография содержи'! 81 наименование.

Основное содержание работы

В первой главе (вводной) мы приводим обозначения и определения, а также простые примеры линейных задач управления, мотивирующие построение конструкций расширения. Для таких примеров показаны варианты корректных расширении соответствующих задач управления. При расширении задач программного управления чиненными системами в классе к.-а. мер мы переходим от обычных траекторий к обобщенным, определяемых следующим образом:

фМ = Ф(Мо)яо + / Ф(иЖСМ<Ю ty eAVie [¿о,0о],

Jt0

где А есть соответствующее задаче множество обобщенных управлений, которое является компактом в ^-слабой топологии пространства к.-а. мер ограниченной вариации, Ф — фундаментальная матрица решений, Ь — вектор-функция (возможно разрывная), коэффициент1 перед управлением в правой части уравнения.

Для задачи сближения с выпуклым компактом в заданный момент времени H.H. Красовскпм были получены конкретные соотношения (в том числе вариант принципа максимума Л.С. Поптрягпиа) для нахождения оптимального результата и управления, его доставпяющего. В разделе 1.7 обсуждается упомянутая задача с особенностью: допускается использование разрывных зависимостей в коэффициентах при управляющих воздействиях (см. так-

же [23,41]). В качестве допустимых управчснпй (в строгой формализации) здесь рассматриваются конечные взвеси мер Дирака с ограничением на вариацию. На содержательном уровне это соответствует использованию в качестве управления последовательности «чолчков» (чисто импульсное управление), которые в совокупности должны удовлетворять ресурсному ограничению. Установлен конкретный вид принципа максимума в классе обобщенных управлении, формализуемых в виде к.-а мер. Дчя одного примера задачи сближения с множеством проведен вычислительный эксперимент для различных начальных данных.

В разделе 1.8 приведены общие понятия, связанные с множествами притяжения. Последние выступают асимптотическими аналогами области достижимости в условиях приближенного соблюдения ограничений. В разделе 1.9 рассмотрены некоторые простые иллюстративные примеры, в которых может проявляться неустойчивость по результату: замыкание области достижимости не совпадает с множеством притяжения, отвечающим релаксации исходной системы ограничений.

В разделе 1.10 излагаемся конструкция, которая позволяет вводить расширения в классе векторных к.-а. мер. Такие конструкции могут быть востребованы в задачах, где управление не является скаляром. Однако далее в настоящей работе эти конструкции не используются. Это связано с тем, что случаи использования векторных управлений, с одной стороны, допускает идейную аналогию (как это и будет показано) со случаем скалярного управления, с другой, требует более «чяжелых» построений и обозначений, которые, хотя и пс вызывают принципиальных фудностей, представляются обременительными для читателя.

Существенной особенностью исследуемых в диссертации игровых задач является критерий, допускающий «вхождение» разрывных зависимостей, что и требует па этапе расширения использования аппарата к.-а. теории меры при построении соответствующей компактпфпкацпп пространства обычных решений (в настоящей диссертации мы используем компактные множества к.-а. мер). Более того, мы исследуем задачи, для которых сочетание индпвидуаль-

ных расширении игроков эквивалентно расширению «совокупной» игровой задачи (см. также |G1, 65-68]), т.е. удается произвести некоторую «декомпозицию» задачи и перейти к более простым представлениям обобщенных элементов.

Во второй главе исследуется абстрактная задача на макспмин. Исходные ограничения определены в терминах принадлежности заданным замкнутым множествам P,Q в эвклидовом пространстве некоторых векторных оценок «программных» стратегий (элементы заданных множеств Е\,Е2). Упомянутые оценки элементов Zi е Ej,i G {1;2} есть вектор значений ярусных функций из заданного кортежа при фиксации этих элементов. При этом на уровне аппроксимативных конструкций допускается ослабление ограничений на выбор «программных» стратегий, которое формализуется переходом к рассмотрению «малых» окрестностей упомянутых замкнутых множеств Р, Q. Это приводит к возникновению ограничений асимптотического характера, что мотивирует специальное исследование асимптотики значений максимина в условиях ослабленных ограничений.

Отмстим, что для рассматриваемой задачи удается произвести упомянутую «декомпозицию» и построить индивидуальное расширение пространства стратегий каждого из игроков, которое реализуется в классах к.-а. (0,1)-мер. Таким образом мы переходим к рассмотрению максимина в обобщенной задаче

V = max min и) € 1R,

ueT-z ßETi

где Ti,To — множества допустимых обобщенных управлений (компакты в пространствах к.-а. мер ограниченной вариации), Т — обобщенная функция платы. После этого устанавливается свойство сходимости значений максимина при ослабленных ограничениях па выбор обычных управлений V(£,<5) к максимину обобщенной задачи V. рассматриваемой в классе к.-а. (ОД)-мер, посредством теоремы:

Теорема 2.С.1 Имеет место следующее свойство аппроксимативной реализации V: VC €]0,оо[3кс е]0,оо[: |V(e,5)-V| < С Ve g]0,kc[V5 g]0,kc[.D

Значения £ и 5 отмечают за степень ослабления ограничения на выбор стратегий первым и вторым игроком соотвеi с 1 венпо.

В начале второй главы отмечается возможная связь рассматриваемой задачи с некоторыми игровыми аналогами задач математического программирования. Для выявления упомянутой связи приводится общие обоснования и два иллюстрирующих примера.

Предметом исследования в третьей главе является одна задача о достижимости для управляемой линейной системы, в которой допускается разрывность в коэффициентах при управляющих воздействиях в правой части дифференциального уравнения. Рассматриваемая задача не обладает, вообще говоря, устойчивостью при ослаблении 01 раниченпй. В этой связи конструируются ограничения асимптотического характера, вызванные ослаблением («строгого») ограничения, которое задано требованием принадлежности компактному множеству некоторой векторной «оценки» возможного управления. Ослабляя ограничения, мы переходим к рассмотрению окрестностей упомянутого компактного множества. При этом возможно скачкообразное изменение области достижимости при сколь угодно малом ослаблении ограничений. Целью исследования является построение предельного аналога области достижимости (точнее, множества притяжения) для системы всех таких релаксаций. В реализации поставленной цели использовались конструкции расширения в классе к.-а (ОД)-мер. Построен обобщенный аналог исходной задачи. Показано, чю область достижимости 15 обобщенной задаче (при строгом соблюдении ограничения) совпадает с искомым множеством притяжения в исходной задаче при ограничениях аспмпто! пческо1 о характера, определяемых релаксацией ограничения этой исходной задачи.

В рассматриваемой задаче в терминах вектор-функции /3 : Е —)• К'",т € М, вводшея допусшмос! ь управляющего воздействия е Е Е требованием ,в(е) 6 У; множество У непусто п замкнуто в М771. Для измеримого пространства с полуалгеброй (Е, С) получено следующее описание множества обобщенных элементов (к.-а. (0,1)-мер), которые удовлетворяют

«строгому» ограничению:

{^еВД | У}; (о-0-1)

б

здесь Т(£) — множество всех к.-а. (ОД)-мер. Множество (0.0.1) есть (вспомогательное) множество притяжения в пространстве обобщенных управлений. Используя (0.0.1), оказалось возможным получить в некоторых частных случаях конкретное представление искомого множества притяжения.

В третьей главе приведены известные положения относительно связи интегрирования по к.-а. (ОД)-мере н пределу функции по ультрафильтру соответствующей полуалгебры множеств. Упомянутые положения использовались при доказательстве корректности различных представлений траекторий системы в обобщенной задаче, полученной расширением исходной. В последнем разделе главы намечен «мостик» между игровой задачей второй главы и задачей, рассматриваемой в третьей главе. Оказывается, что приведенная игровая модификация содержательной постановки, рассмотренной в третьей главе, есть частный случай абстрактной постановки второй главы. К подобному заключению приводит исследование упомянутой задачи о достижимости, которое проведено в третьей главе.

В четвертой главе рассматриваемся игровая задача на программный максимпн функции платы, заданной на произведении фазовых пространств управляемых систем, отвечающих движению первого и второго игрока. Реально значения функции платы определяются для точек областей достижимости. Обычные управления игроков считаем простейшими, а именно кусочно-постоянными и непрерывными справа, удовлетворяющими ограничению на энергетику в двух вариантах. В первом случае используется традиционное условие типа неравенства на импульс силы, а во втором — при условии неотрицательности управления постулируется требование «полного расхода топлива». Более того, управления игроков также должны быть «узкими» импульсами (иметь «малую» временную длительность). Последнее требование порождает семейство множеств-ограничений, в терминах которого вводится

асимптотический вариант постановки игровой задачи (рассматриваются реализуемые аналоги «предельно узких» импульсов). Естественным образом возникает задача нахождения асимптотических областей достижимости — множеств притяжения. Отметим, что задача четвертой главы, имеет одно существенное отличие от рапсе рассмотренных задач, а именно: в этой (исходной) задаче отсутствует часть, которая имеет смысл требования соблюдать строгое ограничение, которое далее ослабляется. По сути, требование использовать «достаточно узкие» импульсы управления не является ослаблением какого-либо стандартного ограничения. Отметим, что, как и во второй главе, удается произвести упомянутую выше «декомпозицию» задачи в обоих случаях и построить индивидуальное расширение пространства программных стратегий каждого из игроков, которое реализуется в классах к.-а. мер ограниченной вариации слабо абсолютно непрерывных относительно сужения меры Лебега на выбранную измеримую структуру. Это. в свою очередь, позволяет исследовать асимптотику реализуемых значений макспмипа. Доказано совпадение обобщенного макспмипа для нескольких вариантов ограничений асимптотического характера.

Отметим, что по выбору класса допустимых управлений целесообразно использовать в качестве измеримого пространства с полуалгеброй множеств пространство-стрелку. В таком случае множество к.-а. мер ограниченной вариации слабо абсолютно непрерывных относительно сужения меры Лебега па выбранную измеримую структуру совпадает с множеством к.-а. мер ограниченной вариации. Для упомянутого измеримого пространства (стрелки) удается получить весьма конкретное описание вспомогательного множества притяжения в пространстве обобщенных элементов. Если промежуток управления совпадает с [0, 1[, а «допустимый расход топлива» пс больше 1, то упомянутое множество есть объединение

1) множества {а:$о : Ы < 1}, где <5о ость мера Дирака в начальный момент1 времени, данные меры формализуют управление в начальный момент времени;

2) множества {л^- : |а'| < 1}, где есть чисто к -а. мера интеграл по которой дает предел слева в момент £ = 1, данные меры формализуют управление в последний момент времени;

3) множества {а^ + ■ I ё]0,1 [. |ач| + |<П'21 < 1} комбинаций меры Дирака 6( и чисто к.-а меры .

Элементы последнего множества позволяют решить проблему, связанную с разрывностью коэффициента при управляющем воздействии в правой части дифференциального уравнения. Используя подробное описание вспомогательного множества притяжения в пространс1вс обобщенных управлений, можно эффективно строть терминальные множества притяжения игроков. После этого не составляет труда найти значение асимптотического (обобщенного) максимпна который является обобщенным пределом значений реализуемых максиминов в задачах с «исчезающе узкими» импульсами. Это значит, что справедливо утверждение, подобное 1фпведеппом\ в геореме 2.6.1. При этом параметры е,5 ограничивают максимальную продолжительность допустимого обычного управления. Показа! Ш Тс1КЖ0 р^гу Т1Я рпзуюгцая роль обобщенных элементов: результат обобщенной задачи совпадает для различных наборов ограничений асимптотического характера.

Для одного конкретного примера задачи управления (управление материальной точкой) найдено значение обобщенного максимпна, в данном примере существенно используется вышеупомяну 1 ое представление вспомогательного множества притяжения. В конце главы на основе5 одного модельного примера намечен вариант продолжения исследовании диссертационной работы, связанный в идейном отношении с возможностью сочетания «асимптотических» ограничений главы 2 и главы 4. Упомянутый пример показывает, что, по-видимому целесообразно незначительно огрублять определенные ограничения с целыо перехода к использованию более просплх управляющих воздействий.

Заключение диссертации по теме «Дискретная математика и математическая кибернетика», Бакланов, Артем Павлович

Заключение

В диссертационной работе дано развитие конструкциям расширения в классе к.-а. мер для случая игровых задач программного управления с импульсными 01 ранпчениямп и их абсчрактных аналогов. Рассматривалось также применение конструкций для некоторых «статических» задач игрового характера (см. главу 2). Основные усилия были направлены на расширение задач с ОАХ, которые могут возникать непосредственно (изначально) либо получаться в результате построения релаксации исходной невозмущенной задачи. В рамках формализации, пред\сма і рпвающей использование приближенных управлений (подобных предложенным Л. YYarga в [14, гл. 3]), эти два случая удается объединить и свести построение к рассмотрению ОАХ весьма общего вида. Для получившейся в ni oie абстрактной задачи конструируется расширение в соответствующем классе к.-а мер. Возникающие при этом обобщенные задачи со стандартными ограничениями доставляют в виде своего эктремума (макспмипа) асимптотику реализуемых значений макспми-на, каждое из которых соответствует' некоторым множествам из семейств, задающих ОАХ. Таким образом, на основе расширений удается определить «истинное качество» соответствующих игровых задач, ограничения которых определены в виде упомянутых семейств множеств.

Список сокращений и основных обозначений

Список сокращений: в/з (нощсствсмнозпачная), к-а (копечно-аддитпвпая), к.-п. (кусочно-постоянная), МП (множество притяжения), МТ (материальная точка), ОАХ (ограничения асимптотического характера), п. спр. (непрерывная справа), ОД (область достижимости), ОЭ (обобщенный элемеш). и/а (полуалгебра), п/м (подмножество), с.-а. (счетно-аддитивная), с н.м (с некоторого момента), Т11 (топологическое пространство) Список основных обозначений: М — множество действительных чисел, г;

N множество на I ура льпых чисел чисел, {.г} сипглетоп. содержащий х а, Ь) — упорядоченная пара с первым элементом а и вторым 6,

7^(5) семейство всех п/м множества Б

Р'(5) семейство всех непустых п м множества 5,

0^[М] — открытая ("-окрестность множества М в М3(см. (1.2.1)), семейство всех открьттых окрестностей 10чкп x. Хт(х) - семейство всех окрестностей точки х (см. (1.2.3)). (г — сотр)[Х] — семейство всех непустых компактных в ТП (Х.т) п/м X, Тг — семейство всех замкнутых в (А/ г) п м X,

С(Х,Т],У,то) — множество всех (т\, -^-непрерывных отображений, действующих из А' в У,

С{Х,т) = С(А,г,М,гк) для всякого ТП (А, г), /) — направленность [20, гл. 2| в множестве Н, где (V, — непустое направленное множество [26, гл. 2], а / отображение из В в Н.

С - какая-либо измеримая структура, зафиксированная заранее (чаще всего полуалгебра-стрелка), ас!с1)[£] — множество всех к.-а. мер на ас!с1) + [£] - множество всех неотрицательных к.-а. мер на С. А (С) — множество всех к.-а мер па С. имеющих ограниченную вариацию, Р(£) — множество всех к.-а вероятностей на С (см. (1.2.4)),

Т(£) — множество двузначных к.-а. (ОД)-мер (см. (1.2.4)). 5Х — мера Дирака, варпаппя к.-а. меры ¡л Є А (С) как (функция множества, Во(Е.С) множество всех ступенчатых, в смысле (Е,С), в/з функций на множестве Е7

Вц(Е,С) — множество всех неотрицательных ступенчатых в/з функций на множестве Е,

В(Е,С) — множество всех ярусных, в смысле (Е,£), в/з функций на множестве Е,

В+(Е,С) — множество всех неотрицательных ярусных в/з функций на множестве Е, — неопределенный д-пптеграл [59. §3.7| ярусной функции / Є В(1,£), /І Є А(£), т*(£) — *-слабая топология.

Гп^(£) = т+(£)|х(£) — сужение *-с.лабой топологии на Т(£), ис{С) — шара в А(£) с (сильной) пормой-варпацпен (см. (1.3.2)), [/+(£) — неотрицательная часть шара ис(С) (см. (1.3.3)). (асІсІ) + {£] /і] множество всех неотрицательных к-а. мер, слабо абсолютно непрерывных [73] относительно ¡.і Є (аскІ)+\£] (см. (1.3.4)),

Л/([£] множество всех к-а. мер с ограниченной вариацией, слабо абсолютно непрерывных относительно меры /і Є (аЛ(£)л\С] (см. (1.3.5)), А — след меры Лебега на полуалгебру £ пространства-стрелки, (¿¿)[/] — функция множеств, см. (1.7.20) Хь - индикатор множества Ь (см. (1.7.21)).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Бакланов, Артем Павлович, 2013 год

Литература

1. Айзеке Р. Дифференциальные игры. М.: Мир. 19С7. 480 с.

2. Александрии Р. А., Мирзаханян Э. А. Общая топология. М.: Высшая школа, 1979.

3. Бакланов А. П. К вопросу о расширении одной игровой задачи импульсного управления // Современные методы теории краевых задач. Тезисы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения -XXII». Воронеж: 2011. С. 30-31.

4. Бакланов А. II. Об одной игровой задаче асимптотически импульсного управления Ч Вести. Удмургск \-н-га. Магем. Мех. Компыот. науки. 2011. № 3. О. 3-14

5. Бакланов А. П. Об одной игровой задаче асимптотически импульсного управления ' Современные проблемы матемаллжп. Тезисы 42-й Всероссийской мо юдежпой школы-копферепцпп. Екатеринбург: 2011. С. 3-5.

6. Бакланов, А. II. К вопросу о представлении максимина в одной задаче импульсного управления // Дифференциальные Уравнения и Процессы Управления. 2012. № 3. С. 49-69.

7. Бакланов А. П. Об одной игровой задаче на множестве чисто конечно-аддитивных мер // Современные проблемы математики. Тезисы 43-й Всероссийской молодежной школы-копферепцпп. Екатеринбург: 2012. С. 109111.

8. Бакланов А. П. Об одной игровой задаче программного управления с импульсными ограничениями // Изв. И ист. Мат. и Инф. УдГУ. 2012. № 1. С. 7.

9. Бакланов А. П. К вопросу о представлении максимина в одной задаче импульсного управления // Современные проблемы математики. Тезисы 44-й Всероссийской молодежной школы-конференции. Екатеринбург: 2013. С. 71-74.

10. Бакланов А. П., Чепцов А. Г. К вопросу о расширении одной игровой задачи в классе двузначных конечио-аддп гпвпых мер // Вестн. Тамбов, ун-та. Сер. Естсств. и техн. науки. 2011. Т. 16, № 1. С. 15-37.

11. Бакланов А. П., Ченцов А. Г. О корректном расширении игровой задачи в классе копечно-аддптпвпых (ОД)-мер Современные меюды теории краевых задач. Тезисы Воронежской весенней математической школы «Понт-рягинскне чтения - XXII». Воронеж: 2011. О. 29-30.

12. Бердышев 10. И., Ченцов А. Г. Об эквивалентности регулярпзацнй в абстрактных задачах с различными классами допустимых управлений // Кибернетика и систем, анализ. 1998. № 3. С. 71-80.

13. Бурбаки И. Общая топология. Основные структуры. М.: Наука, 1968.

14. Варга Д. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Наука, 1977.

15. Гамкрелпдзе Р. В. Основы оптимального управления. Тбилиси: Изд. Тби-лнс. ун-та. 1975.

16. Голынтепн Е. Г. Теория двойственности в математическом программировании и се приложения. М.: Наука, 1971.

17. Гурман В. И. Принцип расширения в задачах управления. М.: Наука. 1985.

18. Данфорд П.. Шварц Д. Т. Линейные операторы. Общая теория. М.: Изд. иностр. лпт-ры, 1962.

19. Даффин Р. Д. Бесконечные программы 1; Линейные неравенства и смежные вопросы: сборник статей. 1959. С. 203-207.

20. Дыхта В. А., Самсонюк О. Н. Оптимальное импульсное управление с приложениями. М.: Физматлит, 2000.

21. Еремин И. И., Мазуров В. Д., Астафьев II. II. Несобственные задачи линейного п выпуклого программирования. М.: Наука, 1983.

22. Завалищин С. Т., Сесекин А. II. Импульсные процессы: модели и приложения. М.: Наука, 1991.

23. Зудпхин Л. В.. Ченцов А. Г. Об одной линейной задаче многоканального управления с ограничениями по пунктам следования // Динамика и упр. космич. объектами: Сб. науч. тр. 1992. С. 29-39.

24. Каширцева Т. Ю., Ченцов А. Г. Обобщенные траектории линейных управляемых систем с разрывными коэффициентами при управлении // Вестн. Челяб. ун-та. Сер. мат., мех. 1999. № 2. С. 137-140.

25. Каширцева Т. Ю., Чепцов А. Г. Об одном представлении пучка допустимых траєкторнії в линейной задаче управления с импульсным ограничением // Изв. вузов. Матем. 2005. № 12. С. 15-27.

26. Келли Д. Л. Общая 'топология. М.: Наука, 1968.

27. Кожан М. М., Чепцов А. Г. К вопросу о корректности некоторых задач управления материальной точкой // Проблемы управлення п информатики. 2007. № 1. С. 5-15.

28. Красовскпи Н. Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968.

29. Красовскпи II II. Дифференциальная игра сближения-уклонения II // Изв. АН СССР. Техн. кнбернентпка. 1973. № 3. С. 22-42.

30. Красовский Н. Н. Управление динамической системой. Задача о минимуме гарантированного результата. М.: Наука, 1985.

31. Красовскпп П. П., Субботин А. И. 11озпцпопные дифференциальные игры. М.: Паука, 1974

32. Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. М.: Мир, 1970.

33. Лысенко А. В., Ченцов А. Г. Об асимптотических версиях однопмпульс-ного управления в линейной системе: множества притяжения в пространстве траекторий // Дпффереицпальпыс уравнения и процессы управления. 2003. № 2. С. 35-77.

34. Миллер Б. М. Задача нелинейного импульсного управления объектами, описываемыми обыкновенными дифференциальными уравнениями // Автоматика и телемеханика. 1978. № 3. С. 34-41.

35. Миллер Б. М. Условия оптимальное!и в задаче управления системой, описываемой дифференциальным уравнением с мерой // Автоматика и телемеханика. 1982. № 6. С. 60-71.

36. Миллер Б. М., Рубпнович Е. Я. Оптимизация динамических систем с импульсными управлениями. М.: Наука. 2005.

37. Морина С. И. Компактпфикацпя экстремальных задач и асимптотическая достижимость: Автореф. дне. канд. фпз.-мат. паук : 01.01.02 / Урал. гос. ун-т. Екатеринбург, 1995. 18 с.

38. Нейман Д.. Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. М.: Наука. 1970.

39. Оуэн Г. Теория игр. М.: Мир, 1971.

40. Самойлепко А. М., Перестюк 11. А. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. Киев: Впща школа. 1987.

41. Серов В. II.. Ченцов А Г. О программной линейной игровой задаче наведения при ограничении на импульс управляющей силы // Автомат, и телемех. 1993. № 5. CJ. 61-74.

42. Скворцова А. В., Чснцов А. Г. О построении асимптотического аналога пучка траекторий линейной епаемы с одноимпульсиым управлением // Дифференциальные уравнения. 2004. 'Г. 40. .V 12. С. 1045-1057.

43. Субботин А. И., Чепцов А. Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. М.: Наука, 1981.

44. Тарасова С1. II. О замыкании пучка траекторий линейной управляемой системы с интегральными ограничениями '/ Изв. вузов. Матем. 2009. № 12. С. 59-68.

45. Чепцов А. Г. Об игровых задачах ебчиженпя-уклоненпя // Прпкл. математика и механика. 1974. №2 С 2\ 1 223.

46. Чепцов А. Г. Об одной дпфференцпалыюй игре сближения-уклонения // Прпкл. математика и механика. 1974 Аг" 1. С. 580 589.

47. Чснцов А. Г. Об одной игровой задаче1 управления па мнппмакс ,// Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1975. 1. С. 39-46.

48. Ченцов А. Г. Оптимизация в условиях нечетких ограничений. Препринт. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1986.

49. Ченцов А. Г. Устойчивость некоторых нелинейных экстремальных задач с воздействиями импульсного характера Авчюматпка и телемеханика. 1992. № 5. С. 30-41.

50. Ченцов А. Г. Конечно-аддитивные меры п релаксации экстремальных задач. Екатеринбург: Наука, 1993.

51. Ченцов А. Г. К вопросу о расширении стохастических ограничений в классе конечно-аддитивных вероятностей ' / Изв. вузов. Матем. 1997. № 6. С. 57-69.

52. Ченцов А. Г. К вопросу о построении корректных расширений в классе конечно-аддитивных мер // Изв. вузов. Матем. 2002. № 2. С. 58-80.

53. Ченцов А. Г. Конечно-аддптивпыс меры п расширения абстрактных задач управления // Современная математика и ее приложения. 2004. Т. 17.

54. Ченцов А. Г. Простейшие задачи управления линейными системами. Екатеринбург: РИО УГТУ-УПИ. 2005.

55. Чепцов А. Г. К вопросу о компактифпкацип пучка траекторий одной абстрактной управляемой системы ; Изв. вузов. Матем. 2006. № 5. С. 55-66.

56. Чепцов А. Г. Песеквенцпальпые приближенные решения в абстрактных задачах о достижимости // Тр. ИММ УрО РАН. 2006. Т. 12, № I. С. 216241.

57. Ченцов А. Г. Измеримые и ярусные функции. Екатеринбург: РИО УГТУ-УПИ. 2007.

58. Ченцов А. Г. Расширения абстрактных задач о достижимости: иссеквен-цпальная версия /7 Тр. ИММ УрО РАН. 2007. Т. 13, № 2. С. 184-218.

59. Чепцов А. Г. Элементы конечно-аддитивной теории меры. I. Екатеринбург: РИО УГТУ У ГШ, 2008.

60. Чепцов А. Г. К вопросу об эквивалентности по результату ограничений асимптотического характера Ч Тр. ИММ УрО РАН. 2009. Т. 15, № 3. С. 241-261.

61. Ченцов А. Г. О представлении макспмппа в игровой задаче с ограничениями асимптотического характера / ' Вести. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компыот. науки. 2010. №3. С. 104-419.

62. Ченцов А. Г. Элементы конечно-аддитивной теории меры. II. Екатеринбург: РИО УГТУ-УПИ, 2010.

63. Ченцов А. Г. О корректности некоторых задач управления материальной точкой // Вести. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компыот. науки. 2011. № 3. С. 127-141.

64. Чепцов А. Г. Фильтры и ультрафильтры в конструкциях множеств притяжения Весгн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компыот. науки. 2011. № 1. С. 113-142.

65. Чепцов А. Г.. Шапарь Ю. В. Т\ вопросу о расширении некоторых игровых задач в классе конечно-аддптпвпых мер '/ Вести. Тамбов, ун-та. Сер. Ectccib. п техн. науки. 2009. Т. 14. № 4. С. 830-832.

66. Ченцов А. Г., Шапарь Ю. В. Об одной игровой задаче с приближенным соблюдением ограничений // Доклады Академии Наук. 2009. Т. 427. № 2. С. 170-175.

67. Ченцов А. Г., Шапарь Ю. В. К вопросу о расширении одной игровой задачи управления в классе конечно-аддитивных мер // Изв. вузов. Матем. 2010. № 7. С. 86-102.

68. Чепцов А. Г., Шапарь Ю. В. Консчпо-аддитпвные меры и расширения игровых задач с ограничениями асимптотического характера /7 Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компыог. науки. 2010. № 1. С. 89-111.

69. Эльясберг П. Е. Введение в теорию полета искусственных спутников Земли. М.: Наука, 1965.

70. Эпгелькппг Р. Общая гополошя. М.: Мир. 1986.

71. Янг Л. Лекции по вариационному псчесленпю и теории оптимального управления. М.: Мир, 1974.

72. Baklanov А. P., Chentsov А. С. On question about extension of abstract attainability problems admitting discontinuous dependences // Functional Differential Equations. 2010. Vol. 17, no. 1-2. P. 21-50.

73. Bliaskara Rao K., Bhaskara Rao M. Theory of charges. A study of finitely additive measures. New York: Acad.Press, 1983.

74. Chentsov A. G. Finitely Additive Measures and Problems on Minimum // Kibcrnctika. 1988. no. 3. P. 67-70.

75. Chentsov A. G. Finitely additive measures and relaxations of extremal problems. New York: Plenum, 1996.

76. Chcntsov A. G. Asymptotic attainability. Dordrecht: Kluwer, 1997.

77. Chentsov A. G. Some Questions of Asymptotic Analysis: Approximate Solutions and Extension Constructions - Functional Differential Equations. 2005. Vol. 12. no. 1-2. P. 119 148.

78. Chcntsov A. G. Finitely additive measmes and extensions of abstract control problems // Journal of Mathematical Sciences. 2006. Vol. 133, no. 2. P. 10451206.

79. Chentsov A. G., Morina S. I. Extensions and Relaxations. Dordrecht: Kluwer, 2002.

80. Joside K., Hewitt, E. H. Finitely additive measures // Trans. Amer. Soe. 1952. Vol. 72. P. 16-66.

81. Zavalishchin S. Т.. Sesekin A. N. Dynamic impulse systems. Theory and applications. Dordrecht: Kluwer, 1997.