Расширение прикладных возможностей некоторых классических методов математической статистики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.17, кандидат технических наук Лемешко, Станислав Борисович

• Лемешко, Станислав Борисович
• кандидат технических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат технических наук Лемешко, Станислав Борисович

ВВЕДЕНИЕ.

1. ИССЛЕДОВАНИЕ И СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ КРИТЕРИЕВ ПРОВЕРКИ ОТКЛОНЕНИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ОТ НОРМАЛЬНОГО ЗАКОНА.

1.1. Введение.

1.2. Критерий проверки на симметричность.

1.3. Критерий проверки на эксцесс.

1.4. Критерий Шапиро-Уилка.

1.5. Критерий Эппса-Палли.

1.6. Модифицированный критерий Шапиро-Уилка.

1.7. Совместный критерий проверки на симметричность и нулевой коэффициент эксцесса.

1.8. Модификация D'Agostino критерия проверки на симметричность.

1.9. Модификация D'Agostino критерия проверки на симметричность и значение эксцесса.

1.10. Совместный критерия проверки на симметричность и нулевой коэффициент эксцесса D'Agostino.

1.11. Выводы.

2. ИССЛЕДОВАНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ СТАТИСТИК И МОЩНОСТИ КРИТЕРИЕВ ОДНОРОДНОСТИ.

2.1. Введение.

2.2. Критерий Смирнова.

2.3. Критерий однородности Лемана-Розенблатга.

2.4. Выводы.

3. РАСШИРЕНИЕ ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ КРИТЕРИЕВ ГРАББСА, ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ПРИ ОТБРАКОВКЕ АНОМАЛЬНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ.

3.1. Введение.

3.2. Критерии отбраковки аномальных измерений при нормальном законе распределения.

3.2.1. Критерий Граббса проверки на один выброс.

3.2.2. Проверка на два выброса.

3.2.3. Проверка на три выброса.

3.2.4. Одновременная проверка на выброс наименьшего и наибольшего значения

3.3. Выводы.

4. ИССЛЕДОВАНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ И МОЩНОСТИ КРИТЕРИЯ АББЕ ПРИ НАРУШЕНИИ ПРЕДПОЛОЖЕНИЙ НОРМАЛЬНОСТИ.

4.1. Введение.

4.2. Степень близости распределений статистики Аббе к нормальному.

4.3. О степени зависимости распределений статистики Аббе от наблюдаемого закона.

4.4. Исследование мощности критерия Аббе.

4.5. Выводы.

5. ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛЕЙ ДЛЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ СТАТИСТИК НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИХ КРИТЕРИЕВ СОГЛАСИЯ ПРИ ПРОВЕРКЕ НЕКОТОРЫХ СЛОЖНЫХ ГИПОТЕЗ.

5.1 Введение.

5.2 Исследуемые критерии.

5.3. Уточнение моделей распределений статистик непараметрических критериев согласия при проверки сложных гипотез.

5.4. Исследование распределений статистик непараметрических критериев согласия при проверке гипотез относительно бета-распределений.

5.5. Сравнительный анализ мощности критериев согласия при близких альтернативах.

5.5.1 Рассматриваемые альтернативы.

5.5.2 Мощность критериев в случае пары альтернатив "нормальныйлогистический".

5.5.3. Мощности критериев в случае пары альтернатив "Вейбулла - гамма-распределение"

5.6. Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Расширение прикладных возможностей некоторых классических методов математической статистики»

Актуальность темы исследования. Корректное применение на практике множества классических методов математической статистики обусловлено выполнением конкретных предпосылок или условий, которые в реальных условиях оказываются недостижимыми или не могут быть проверены. В условиях конкретной ситуации даже при кажущихся незначительными нарушениях предпосылок свойства оценок или распределения статистик применяемых критериев могут существенно отличаться от "стандартных". В других случаях наоборот, даже значительные отклонения реальных условий от классических предположений не приводят к значимым изменениям свойств или распределений статистик.

Как правило, исследование свойств оценок или статистик, нахождение закона распределения статистики конкретного критерия аналитическими методами оказывается чрезвычайно сложным. Особенно, если учесть множество реальных ситуаций, для которых это следовало бы сделать. Поэтому при исследовании вероятностных (статистических) закономерностей все чаще используют методы статистического моделирования.

Данная диссертационная работа является логическим продолжением исследований (Постовалов С.Н., Чимитова Е.В., Помадин С.С.), проводимых на кафедре прикладной математики НГТУ и направленных на расширение прикладных возможностей классических методов математической статистики за счет изучения свойств классических критериев при нарушении стандартных предположений, лежащих в обосновании метода или критерия. Развиваемая методика компьютерного моделирования и анализа статистических закономерностей позволяет получать полезные результаты, расширяющие аппарат математической статистики. Применение получаемых результатов обеспечивает корректность статистических выводов в тех ситуациях, когда использование классических процедур и методов неправомерно. Методика дополняет аналитические методы, обеспечивая нахождение приближенного решения в тех случаях, когда этого не удается сделать аналитическими методами.

Данная диссертационная работа нацелена на решение ряда задач, интерес к которым не снижается в свете их практической направленности и частого использования соответствующих методов или критериев в приложениях.

Принадлежность наблюдаемых данных нормальному закону является необходимой предпосылкой для корректного применения большинства классических методов математической статистики, используемых в задачах обработки измерений, стандартизации и контроля качества. Поэтому проверка на отклонение от нормального закона является частой процедурой в ходе проведения измерений, контроля и испытаний.

Отечественный стандарт ГОСТ Р ИСО 5479-2002 "Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения" [55], введенный в действие в 2002 г., представляет собой аутентичный текст международного стандарта ISO 5479-97. В стандарте рассматривается графический метод проверки на нормальность с использованием вероятностной бумаги, критерии проверки на симметричность и на значение эксцесса, статистики которых представляют собой функции от оценок моментов закона распределения, критерии Шапиро-Уилка, основанные на регрессионном анализе порядковых статистик, критерий Эппса-Палли, статистика которого измеряет некоторое расстояние между выборочной характеристической функцией и характеристической функцией нормального закона.

С необходимостью решения задач проверки гипотез о принадлежности двух выборок случайных величин одной и той же генеральной совокупности (проверки однородности) постоянно сталкиваются при анализе случайных ошибок средств измерений, при управлении качеством процессов статистическими методами. Такая задача естественно возникает при проверке средств измерений, когда пытаются убедиться в том, что закон распределения случайных ошибок измерений не претерпел существенных изменений по истечении некоторого интервала времени. С проблемами решения таких задач нередко разбираются в различных приложениях. При обработке экспериментального материала очень часто ее приходится решать технологам, медикам, биологам. В данной диссертационной работе не затрагиваются критерии проверки однородности средних и критерии однородности дисперсий, хотя и исследуется устойчивость критерия проверки независимости Аббе, близкого по свойствам к критериям проверки однородности средних.

При решении задач статистического анализа и, в частности, при построении моделей законов распределения и вычислении оценок параметров этих моделей проблема наличия в выборке аномальных измерений имеет чрезвычайно важное значение. Присутствие единственного аномального наблюдения может приводить к оценкам, которые совершенно не согласуются с выборочными данными. Поэтому статистическим критериям, предназначенным для выделения аномальных результатов измерений (выбросов), оказывают серьезное внимание в практической деятельности. Если не исключить выбросы из анализируемых данных, то традиционно применяемые классические методы статистического анализа, как правило, не являющиеся робастными, чаще всего приводят к некорректным выводам.

Не окончательно решенной проблемой является проверка адекватности моделей законов распределений с применением критериев согласия. Практика их применения изобилует примерами неэффективного (почти всегда) или л некорректного (очень часто) применения. Это касается как критериев типа % , так и непараметрических критериев согласия. В частности, предельные распределения статистик непараметрических критериев согласия типа Колмогорова, типа Крамера-Мизеса-Смирнова или Андерсона-Дарлинга при проверке сложных гипотез зависят от истинного закона, соответствующего проверяемой гипотезе, числа и типа оцениваемых параметров этого закона, от выбранного метода оценивания параметров, иногда, от значения параметра. Последние факты практически неизвестны большинству даже подготовленных пользователей статистических методов. Особенно интересны для практики результаты исследований распределений статистик непараметрических критериев согласия при проверке сложных гипотез для тех законов, соответствующих проверяемой гипотезе, в случае которых распределения статистик зависят от конкретных значений параметров, в частности, для бета-распределения 1-го и 2-го рода. Интерес этот обусловлен тем, что частным случаем бета-распределения 2-го рода является Fv ^-распределение Фишера, широко встречающееся в задачах статистического анализа в качестве распределения статистик различных критериев.

Из множества статистических критериев, применение которых возможно для проверки некоторой гипотезы, следует выбирать тот, который для заданной вероятности ошибки 1-го рода (для заданного уровня значимости) гарантирует минимальную вероятность ошибки 2-го рода, то есть обладает максимальной мощностью. Однако в большинстве случаев вопрос этот остается без четкого ответа, так как определение мощности критерия упирается в необходимость знания распределения статистики критерия при соответствующей конкурирующей гипотезе. А нахождение этого распределения аналитическими методами, как правило, связано с серьезными трудностями и удается крайне редко.

Цель и задачи исследований. Основной целью диссертационной работы является дальнейшее расширение на основе компьютерного моделирования прикладных возможностей классических методов математической статистики, уточнение знаний о свойствах ряда статистических критериев, широко используемых в различных прикладных областях.

В соответствии с поставленной целью решались следующие задачи:

- исследование распределений статистик и сравнительный анализ совокупности критериев, применяемых при проверке отклонения распределения вероятностей от нормального закона;

-исследование распределений и мощности критериев проверки однородности двух выборок Смирнова и Лемана-Розенблатта;

- исследование распределений статистик критериев типа Граббса и расширение их возможностей при отбраковке аномальных измерений;

- исследование распределений статистики критерия независимости Аббе при нарушении предположений о принадлежности наблюдений нормальному закону, исследование мощности критерия;

-уточнение моделей распределений статистик непараметрических критериев согласия типа Колмогорова, Крамера-Мизеса-Смирнова, Андерсона-Дарлинга при проверке сложных гипотез относительно некоторых законов наблюдаемых величин;

- исследование распределений статистик непараметрических критериев согласия типа Колмогорова, Крамера-Мизеса-Смирнова, Андерсона-Дарлин-га при проверке сложных гипотез относительно семейств бета-распределений, построение моделей распределений статистик и таблиц процентных точек;

- сравнительный анализ мощности критериев типа и непараметрических критериев согласия Колмогорова, Крамера-Мизеса-Смирнова, Андерсона-Дарлинга.

Методы исследования. Для решения поставленных задач использовался аппарат теории вероятностей, математической статистики, статистического моделирования, математического программирования.

Научная новизна диссертационной работы заключается:

- в результатах сравнительного анализа критериев проверки отклонения распределения от нормального закона и в выявлении недостатков критериев Шапиро-Уилка и Эппса-Палли, которые ранее никем не отмечались;

- в результатах исследования мощности критериев однородности Смирнова и Лемана-Розенблатта, в предложенной поправке к статистике критерия Смирнова, обеспечивающей близость распределения статистики к предельному;

- в построенных таблицах процентных точек, расширяющих возможности критериев типаГраббса при отбраковке аномальных измерений;

- в подтверждении устойчивости критерия независимости Аббе к нарушению предположений о принадлежности наблюдений нормальному закону, в результатах исследования мощности критерия;

- в моделях распределений статистик непараметрических критериев согласия типа Колмогорова, Крамера-Мизеса-Смирнова, Андерсона-Дарлинга при проверке сложных гипотез относительно некоторых законов наблюдаемых величин;

-в результатах исследования, моделях и таблицах процентных точек распределений статистик непараметрических критериев согласия при проверке сложных гипотез относительно семейств бета-распределений; - в результатах сравнительного анализа мощности критериев согласия.

Основные положения, выносимые на защиту. На защиту выносятся:

1. Результаты исследований распределений статистик, мощности и сравнительного анализа критериев проверки отклонения эмпирического распределения от нормального закона.

2. Результаты исследований распределений статистик и мощности критериев однородности Смирнова и Лемана-Розенблатта, рекомендации по применению критериев однородности.

3. Результаты расширения возможностей критериев типа Граббса для проверки различных видов гипотез (об аномальности различного числа элементов в выборке).

4. Результаты исследования устойчивости критерия независимости Аббе к нарушению предположений о принадлежности наблюдений нормальному закону, результаты исследования мощности критерия.

5. Уточненные модели распределений статистик непараметрических критериев согласия типа Колмогорова, Крамера-Мизеса-Смирнова, Андерсона-Дарлин-га при проверке сложных гипотез относительно некоторых законов наблюдаемых величин.

6. Результаты исследования, модели и таблицы процентных точек распределений статистик непараметрических критериев согласия при проверке сложных гипотез относительно семейств бета-распределений.

7. Результаты сравнительного анализа мощности критериев типа %2 и непараметрических критериев согласия Колмогорова, Крамера-Мизеса-Смирнова, Андерсона-Дарлинга.

Обоснованность и достоверность научных положений, выводов и рекомендаций обеспечивается:

- корректным применением математического аппарата и методов статистического моделирования для исследования свойств и распределений статистик критериев;

- совпадением результатов статистического моделирования с известными теоретическими результатами.

Личный творческий вклад автора заключается в проведении исследований, обосновывающих основные положения, выносимые на защиту: в разработке программного обеспечения, проведении статистического моделирования распределений статистик, вычислении мощности критериев относительно конкретных альтернатив, в построении моделей распределений статистик и вычислении таблиц процентных точек.

Практическая ценность и реализация результатов.

Результаты сравнительного анализа критериев проверки отклонения от нормального закона, включающего указания недостатков и преимуществ отдельных критериев, расширяют рекомендации для практического применения критериев, приводимые в ГОСТ Р ИСО 5479-2002 [55].

Результаты исследования критерия однородности Смирнова, предложенная поправка к статистике критерия расширяют возможности применения критерия в приложениях.

Результаты исследования устойчивости критерия независимости Аббе расширяют сферу его корректного применения в приложениях.

Результаты исследования статистик критериев типа Граббса позволяют проверять на аномальность одновременно несколько элементов в выборке, расширяя прикладные возможности критерия.

Результаты исследования непараметрических критериев согласия при проверке сложных гипотез, результаты исследования мощности непараметрических критериев и критериев типа %2 дополняют и уточняют рекомендации по стандартизации Р 50.1.037-2002 [106] и Р 50.1.033-2001 [105]. и

Результаты исследований и средства моделирования включены в программную систему "Интервальная статистика" ISW и используются в научных исследованиях и учебном процессе.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на региональной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Наука. Технологии. Инновации", Новосибирск, 2003 и 2005 гг.; Всероссийской научно-технической конференции "Информатика и проблемы телекоммуникаций", Новосибирск, 2004, 2005 и 2006 гг.; VII и VIII международных конференциях "Актуальные проблемы электронного приборостроения", Новосибирск, 2004 и 2006 гг.; Всероссийской научно-технической конференции "Информационные системы и технологии", Нижний Новгород, 2004 и 2006 гг.; VIII Korea-Russia International Symposium on Science and Technology, Tomsk, 2004 г., VII International Conference "Computer Data Analysis and Modeling: Robustness and Computer Intensive Methods", Minsk, 2004 г.; Международном научно-техническом семинаре "Математическая, статистическая и и компьютерная поддержка качества измерений", Санкт-Петербург, 2006 г.

Диссертационные исследования явились составной частью работ, проводимых в рамках проектов: "Математическое и алгоритмическое обеспечение задач статистического анализа данных и исследования статистических законно-мерностей при нарушении классических предположений", грант Министерства образования Российской Федерации № Т02-3.3-3356, 2003-2004 гг.; "Развитие компьютерных технологий моделирования и исследования фундаментальных закономерностей математической статистики", раздел 3.3 программы "Развитие научного потенциала высшей школы" Министерства образования и науки РФ, код проекта 15378, 2005 г.; "Развитие компьютерных технологий исследования статистических закономерностей" (контракт № 2005-РИ-19.0/002/091, 2005 г.) и "Применение компьютерных технологий исследования статистических закономерностей в задачах оценивания и различения близких гипотез о виде и свойствах распределений случайных величин" (контракт № 2006-РИ-19.0/001/119, 2006 г.), ФЦНТП "Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития науки и техники" на 2002-2006 годы по разделу "Проведение научных исследований молодыми учеными"; "Расширение прикладных возможностей классических методов математической статистики", грант Российского фонда фундаментальных исследований № 06-01-00059.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 12 печатных работ, в том числе 5 в рецензируемых журналах из списка ВАК, 7 в трудах и материалах конференций.

Структура работы. Основная часть диссертации изложена на 158 страницах и состоит из введения, 5 глав основного содержания, включая 34 таблицы и 84 рисунка, заключения, списка литературы из 121 наименования и приложений.

Заключение диссертации по теме «Теоретические основы информатики», Лемешко, Станислав Борисович

5.6. Выводы

В данном разделе проведены исследования и уточнены модели распределений статистик непараметрических критериев согласия при проверке сложных гипотез относительно ряда законов распределения в случае использовании метода максимального правдоподобия. Эти результаты уточняют модели, включенные в [106].

Проведены исследования распределений статистик непараметрических критериев согласия при проверке сложных гипотез относительно семейств бета-распределений. Полученные таблицы процентных точек и построенные модели распределений статистик для множества конкретных значений 2-х параметров формы бета-распределений приведены в таблицах приложения.

На конкретных парах близких конкурирующих гипотез проведен сравнительный анализ мощности непараметрических критериев и критериев типа %2. Для случая проверки простых гипотез можно упорядочить критерии по мощности следующим образом: А

Такая шкала справедлива при использовании в критерии % Пирсона АОГ, при котором минимизируются потери в информации Фишера. При очень близких гипотезах может быть:

Колмогорова >- ©2 Мизеса.

При проверке сложных гипотез градация по мощности оказывается существенно иной:

С12 Андерсона-Дарлинга >- ю2 Мизеса >- Yn (АОГ) >- X2 Пирсона (АОГ) >- Колмогорова. При очень близких гипотезах может быть:

Q2 Андерсона-Дарлинга >- Yn (АОГ) >- ©2 Мизеса >- X2 Пирсона (АОГ) >- Колмогорова.

Указанные выводы носят интегрированный характер. Такое упорядочение не является жёстким. Как видно из таблиц с приведенными значениями мощности, иногда критерий имеет преимущества по мощности при одних значениях а и объемах выборок п и уступает при других значениях а и п. л

Надо иметь в ввиду, что мощность критериев типа % (Пирсона и Никулина) зависит не только от гипотез Н0, Нх и объема выборок п, но при заданных Н0 и Нх - от способа группирования и числа интервалов.

Число интервалов, при котором мощность критериев для пары альтернатив Н0 и Нх максимальна, зависит от этих гипотез и от способа группирования. Увеличение числа интервалов не всегда приводит к росту мощности критериев типа %2 [111].

При близких гипотезах #0 и Я1 выбор АОГ при использовании критерия

X Пирсона дает положительный эффект как при простых, так и при сложных гипотезах. Однако это не означает, что использование АОГ всегда гарантирует максимальную мощность данного критерия. При конкретных и не очень близких гипотезах оптимальным может оказаться некоторый другой способ группирования, который может быть найден в результате максимизации мощности критерия.

Вывод о безоговорочно положительном эффекте применения АОГ нельзя распространять на критерий Никулина: при одной и той же паре гипотез Н0 и Нх при одном числе интервалов к критерий оказывается более мощным при АОГ, при другом к - более мощным при РВГ. Зависимость мощности от способа группирования оказывается более сложной и требует исследования. Основные результаты раздела опубликованы в [74, 94].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В соответствии с целями исследований получены следующие результаты.

1. Исследованы распределения статистик критериев проверки на симметричность, на эксцесс, критериев Шапиро-Уилка и Эппса-Палли в зависимости от объемов выборок. Исследованы распределения статистик указанных критериев в зависимости от наблюдаемых законов. Исследована мощность данных критериев и проведено сравнение с мощностью критериев согласия при проверке сложных гипотез. Впервые показано, что критерии Шапиро-Уилка и Эппса-Палли при малых объемах выборок оказываются смещенными относительно некоторых конкурирующих гипотез.

2. Методами статистического моделирования исследована сходимость распределений статистик критериев Смирнова и Лемана-Розенблатта к предельным. Даны рекомендации по выбору объемов выборок, обеспечивающих большую гладкость распределения статистики Смирнова. Предложена модификация статистики Смирнова, улучшающая сходимость распределения статистики критерия к предельному распределению Колмогорова. Проведен сравнительный анализ мощности критериев однородности Смирнова и Лемана-Розенблатта.

3. Методами статистического моделирования исследованы распределения статистик критериев типа Граббса в зависимости от вида закона, которому принадлежат наблюдения. Расширена область применения критериев типа Граббса и реализована возможность: а) проверки на наличие одновременно одного минимального и одного максимального аномального значения; б) проверки на выброс одновременно трех минимальных либо три максимальных значений в выборке. Построены таблицы соответствующих процентных точек. Разработано программное обеспечение, позволяющее исследовать распределения статистик типа Граббса для проверки на выброс любого количества минимальных и максимальных значений в выборке, и возможность построения процентных точек для соответствующих критериев.

4. Исследованы распределения статистики критерия независимости Аббе в зависимости от закона распределения наблюдений. Показано, что применение критерия Аббе остается корректным и в тех случаях, когда мы имеем дело с законом, существенно отличающимся от нормального. Полученные оценки мощности критерия позволяют судить о его способности обнаруживать наличие линейного и нелинейного тренда.Уточнены таблицы процентных точек и модели распределений статистик непараметрических критериев согласия при проверке сложных гипотез относительно ряда законов распределения в случае использовании метода максимального правдоподобия. Эти результаты уточняют модели, включенные в рекомендации по стандартизации Р 50.1.037-2002.

5. Проведены исследования распределений статистик непараметрических критериев согласия при проверке сложных гипотез относительно семейств бета-распределений 1-го и И-го рода. Получены таблицы процентных точек и построены модели распределений статистик для множества конкретных значений 2-х параметров формы бета-распределений.

6. Проведен сравнительный анализ мощности непараметрических критериев и критериев типа %2, позволяющий проранжировать критерии по предпочтительности применения.

7. Разработанные программные средства моделирования и исследования статистических закономерностей, связанные с рассмотренными в диссертационной работе критериями, построенные модели распределений статистик встроены в развиваемую на кафедре прикладной математики программную систему "Интервальная статистика" ISW. Результаты исследований и разработанное программное обеспечение используются при проведении лабораторных работ по курсу "Компьютерные технологии анализа данных и исследования статистических закономерностей" для студентов, обучающихся по направлению подготовки 010500 - прикладная математика и информатика [73].

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Лемешко, Станислав Борисович, 2007 год

1. Aguirre, N., Nikulin, M. Chi-squared goodness-of-fit test for the family of logistic distributions // Kybemetika. 1994. - V. 30. - № 3. - P. 214-222.

2. Anscombe, F.J., Glynn, W.J. Distribution of the Kurtosis Statistic (32 f°r Normal

3. Samples // Biometrika, 1983. Vol. 70, No.l. P. 227-234.

4. Arizono, I., Ohta, H. A Test for Normality Based on Kulback-Leibler Information // The American Statistician, 1989. Vol.43, No. 1. P. 20-22.

5. Baringhaus, L., Danschke, R., Henze N. Recent and classical tests for normality -A comparative study. Comm. Statistic. B, 18(1), 1989. P. 363-379.

6. Baringhaus, L., Henze, N. A consistent test for multivatiate normality based on the emperical characteristic function // Metrika. 35, 1988. P. 339-348.

7. Birch, M.W. A new proof of the Pearson-Fisher theorem // Ann. Math. Statist. -1964. V. 35.-P. 817.

8. Bowmann, K.O., Shenton, L.R. 'Omnibus' test contours for departures from normality based on fiX b2ll Biometrika, 62,1975. P. 243-250.

9. Chandra, M., Singpurwalla, N.D., Stephens, M.A. Statistics for Test of Fit for the Extrem-Value and Weibull Distribution // J. Am. Statist. Assoc. 1981. V.76. -P. 375.2

10. Chernoff, H., Lehmann, E.L. The use of maximum likelihood estimates in % test for goodness of fit// Ann. Math. Stat., 1954. V. 25. - P. 579-586.

11. D'Agostino, R.B. Transformation to normality of the null distribution of gi // Biometrika, 57, 1970. P. 679-681.

12. D'Agostino, R.B., Belanger, A., D'Agostino, R.B., JR. A Suggestion for using Powerful and Informative Tests of Normality // The American Statistician, 1990. Vol.44, No. 4.-P. 316-321.

13. D'Agostino, R.B., Tietjen, G.L. Simulation probability points of b2 for small samples // Biometrika, 58,1971. P. 669-672.

14. Doornik, J. A., Hansen, H. An Omnibus Test for Univariate and Multivariate Normality. 1994. Discussion Paper № W4 & 91, Nuffield College, Oxford. (http://www.nuff.ox.ac.uk/users/Doornik/papers/normal2.pdf)

15. Dyer, A.R. Comparison of Tests for Normality with a Cautionary Note // Biometrika, 1974. Vol. 61, No.l. P. 185-189.

16. Epps, T.W., Pulley, L.B. A test for normality based on the empirical characteristic function // Biometrika. 70,1983. P. 723-726.

17. Frank E. Grubbs, Glenn Beck. Extension of sample sizes and percentage points for significance tests of outlying observations // Technometrics, 1972. Vol. 14. -No. 4.-P. 847-854.

18. Frank E. Grubbs. Procedures for Detecting Outlying Observations in Samples // Technometrics, 1969. Vol. 11. - No. 1. - P. 1 -21

19. Frank E. Grubbs. Sample Criteria for Testing Outlying observations // Ann. Math. Statist, 1950.-Vol. 21.-No. l.-P. 27-58.

20. Greenwood, P.E., Nikulin M.S. A Guide to Chi-Squared Testing. John Wiley & Sons, Inc. 1996.-280 p.

21. Kac, M., Kiefer, J., Wolfowitz J. On tests of normality and other tests of goodness of fit based on distance methods // Ann. Math. Stat. 1955. V.26. - P. 189-211.

22. Kinnison, R. Correlation Coefficient Goodness-of-Fit Test for the Extreme-Value Distribution // The American Statistician, 1989. Vol.43, No. 2. P. 98-100.

23. Kolmogoroff, A.N. Sulla determinazione empirica di una legge di distribuzione // G. 1st. Ital. attuar. 1933. Vol. 4. - № 1. - P. 83-91.

24. Lehmann, E.L. Consistency and unbiasedness of certain nonparametric tests / Ann.Math. Statist.- 1951. V.22.№ l.-P. 165-179.

25. Lemeshko, B.Yu., Lemeshko, S.B., Pomadin, S.S., Mirkin, E.P. Investigation Of The Stability Of Statistical Hypotheses Testing Procedures Used In Quality

26. Management Problems // Proceedings of the Seventh International Conference "Computer Data Analysis and Modeling: Robustness and Computer Intensive Methods", September 6-10,2004, Minsk. Vol. 1. P. 90-93.

27. Lin, C.C., Mudholkar, G.S. A Simple Test for Normality Against Asymmetric Alternatives // Biometrika, 1980. Vol. 67, No.2. P. 455-461.

28. Looney, S. W., Gulledge, T.R. Probability Plotting Positions and goodness of Fit for the Normal Distribution // The Statistician, 1985, Vol. 34, No. 3. P. 297-303.

29. Looney, S.W., Gulledge, T.R. Use of the Correlation Coefficient with Normal Probability Plots // The American Statistician, 1985. Vol.39, No. 1. P. 75-79.

30. Mage, D.T. An Objective Graphical Method for Testing Normal Distributional Assumptions Using Probability Plots // The American Statistician, 1982. Vol.36, No. 2.-P. 116-120.

31. Martinez, J., Iglewicz, B. A Test for Departure from Normality Based on a Biweight Estimator of Scale // Biometrika, 1981. Vol. 68, No.l. P. 331-333.

32. Neumann, J. von. Distribution of the ratio of the mean square successive difference to the variance // AMS, 1941,12. p. 367-395.

33. Pearson, E.S., Hartley, H.O. Biometrika tables for Statisticians. Vol. 1, edn. 3, Cambridge University Press, 1966. P. 207-208.

34. Pearson, E.S., Hartley, H.O. Biometrika tables for Statisticians. Vol. 2, Cambridge University Press, 1976. P. 221.

35. Pearson, E.S., D'Agostino, R.B., Bowmann K.O. Test for departure from normality: Comparison of powers // Biometrika, 64,1977. P. 231-246.

36. Prescott, P. Comparison of test for Normality Using Stylized Senstivity Surfaces // Biometrika, 1976. Vol. 63, No.2. P. 285-289.

37. Prescott, P. On a Test for Normality Based on Sample Entropy // Journal of the Royal Statistical Society, Series B, 1976. Vol. 38, No. 3. P. 254-256.

38. Rosenblatt, M. Limit theorems associated with variants of the von Mises statistic //Ann. Math. Statist. 1952. V.23.-P. 617-623.

39. Saniga, E.M., Miles, J.A. Power of Some Standard Goodness-of-Fit Test Of Normality Against Asymmetric Stable Alternatives // Journal of The American Statistical Association, 1979. Vol. 74, No. 368. P. 861-865.

40. Shapiro, S.S, Wilk, M.B., Chem, C.J. J. Amer. Stat Ass., 1968. December. P. 13431372.

41. Shapiro, S.S., Francia, R.S. An approximate analysis of variance test fo normality // J. Amer. Statist. Assoc., 337,1972. P. 215-216.

42. Shapiro, S.S., Wilk, M.B. An analysis of variance test for normality (complete samples) //Biometrika, 52,1965. P. 591-611.

43. Spiegelhalter, D.J. An Omnibus Test for Normality fo Small Samples // Biometrika, 1980. Vol. 67, No.2. P. 493-496.

44. Stephens, M.A. EDF statistics for goodness of fit and some comparisons // J. Am. Statist. Assoc. 1974. V.69. - P. 730-737.

45. Stephens, M.A. Use of Kolmogorov-Smirnov, Cramer von Mises and related statistics - vithout extensive table // J. R. Stat. Soc. - 1970. - B. 32. - P. 115-122.

46. Van der Vaart A.W. Asymptotic Statistics. Cambridge University Press. 1998. -443 p.

47. Айвазян, C.A., Мхитарян, B.C. Прикладная статистика и основы эконометрики. Учебник для ВУЗОВ М.: ЮНИТИ, 1998. - 1022 С.

48. Болыпев, JI.H. Асимптотические пирсоновские преобразования // Теория вероятностей и ее применения. 1963. Т. 8. - № 2. - С. 129-155.

49. Болыпев, JI.H. Теория вероятностей и математическая статистика / Избранные труды. Под ред. Ю.В. Прохорова. 6- М.: Наука, 1987. 286 С.

50. Большее, JI.H., Смирнов, Н.В. Таблицы математической статистики. М.: Наука, 1983.-416 С.

51. Боровков, А.А. К задаче о двух выборках // Изв. АН СССР, серия матем.,1962. Т. 26. С.605-624.

52. Воинов, В.Г. Об оптимальных свойствах критерия Рао-Робсон-Никулина // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2006. 1.12. - № 3. - С. 65-70.

53. ГОСТ 11.002-73. Прикладная статистика. Правила оценки анормальности результатов наблюдений. М.: Изд-во стандартов. 1982. 26 С.

54. ГОСТ Р ИСО 5479-2002. Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения. М.: Изд-во стандартов. 2002. - 30 С.

55. ГОСТ Р ИСО 5725-2-2002. Точность (правильность и прецизионность) методов и результатов измерений. Часть 2. М.: Изд-во стандартов. 51 С.

56. Денисов, В.И., Лемешко, Б.Ю. Оптимальное группирование при обработке экспериментальных данных // Измерительные информационные системы. -Новосибирск, 1979.-С. 5-14.

57. Денисов, В.И., Лемешко, Б.Ю., Цой, Е.Б. Оптимальное группирование, оценка параметров и планирование регрессионных экспериментов: В 2-х ч. / Новосиб. гос. техн. ун-т. Новосибирск, 1993. - 346 С.

58. Золотухина, Л.В., Винник, ЕВ. Эмпирическое исследование мощности критерия Саркади и его модификация // Заводская лаборатория. 1985. Т. 51. - №1. - С. 5155.

59. Королюк, B.C. Асимптотический анализ распределений максимальных уклонений в схеме Бернулли // Теория вероятностей и ее применения. 1959. -Т.4.-С. 369-397.

60. Крамер, Г. Математические методы статистики. М.: Мир, 1975. - 648 с.

61. Лемешко, Б.Ю. Асимптотически оптимальное группирование наблюдений -это обеспечение максимальной мощности критериев // Надежность и контроль качества. 1997. № 8. - С. 3-14.

62. Лемешко, Б.Ю. Асимптотически оптимальное группирование наблюдений в критериях согласия // Заводская лаборатория. 1998. Т. 64. - №1. - С. 56-64.

63. Лемешко, Б.Ю. Постовалов С.Н. Прикладные аспекты использования критериев согласия в случае проверки сложных гипотез // Надежность и контроль качества. 1997. - № 11. - С. 3-17.

64. Лемешко, Б.Ю. Робастные методы оценивания и отбраковка аномальных измерений // Заводская лаборатория. 1997. - Т.63. - № 5. - С. 43-49.

65. Лемешко, Б.Ю., Лемешко С.Б. О распределениях статистик и мощности критериев однородности двух выборок // Материалы Российской НТК "Информатика и проблемы телекоммуникаций", Новосибирск. 2005. Т.1. -С. 109-112.

66. Лемешко, Б.Ю., Лемешко, С.Б. О сходимости распределений статистик и мощности критериев однородности Смирнова и Лемана-Розенблатта // Измерительная техника. 2005. № 12. С. 9-14.

67. Лемешко, Б.Ю., Лемешко, С.Б. Расширение области применения критериев типа Граббса, используемых при отбраковке аномальных измерений // Измерительная техника. 2005. № 6. - С. 13-19.

68. Лемешко, Б.Ю., Лемешко, С.Б. Сравнительный анализ критериев проверки отклонения распределения от нормального закона // Метрология. 2005. № 2. -С. 3-24.

69. Лемешко, Б.Ю., Лемешко, С.Б., Постовалов, С.Н. Мощность критериев согласия при близких альтернативах // Измерительная техника. 2007. № 2. -С. 22-27.

70. Лемешко, Б.Ю., Лемешко, С.Б., Постовалов, С.Н. О мощности критериев согласия при близких альтернативах // Материалы Российской НТК "Информатика и проблемы телекоммуникаций", Новосибирск. 2006. Т.1. -С. 175-179.

71. Лемешко, Б.Ю., Лемешко, С.Б., Постовалов, С.Н. Сравнительный анализ мощности критериев согласия // Тезисы докладов международной научно-технической конференции "Информационные системы и технологии" (ИСТ-2006), Нижний Новгород. 2006. С. 145-148.

72. Лемешко, Б.Ю., Маклаков, А.А. Непараметрические критерии при проверке сложных гипотез о согласии с распределениями экспоненциального семейства//Автометрия. 2004. №3. С. 3-20.

73. Лемешко, Б.Ю., Миркин, Е.П. Критерии Бартлетта и Кокрена в измерительных задачах при вероятностных законах, отличающихся от нормального // Измерительная техника. 2004. № 10. С. 10-16.

74. Лемешко, Б.Ю., Помадин, С.С. Проверка гипотез о математических ожиданиях и дисперсиях в задачах метрологии и контроля качества при вероятностных законах, отличающихся от нормального // Метрология. 2004. № 3.-С. 3-15.

75. Лемешко, Б.Ю., Постовалов, С.Н. Непараметрические критерии при проверке сложных гипотез о согласии с распределениями Джонсона // Доклады СО АН ВШ. 2002. № 1(5). - С. 65-74.

76. Лемешко, Б.Ю., Постовалов, С.Н. О зависимости предельных распределений2статистик % Пирсона и отношения правдоподобия от способа группирования данных // Заводская лаборатория. 1998. Т. 64. - № 5. - С. 56-63.

77. Лемешко, Б.Ю., Постовалов, С.Н. О зависимости распределений статистик непараметрических критериев и их мощности от метода оценивания параметров // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2001. Т.67. -№7.-С. 62-71.

78. Лемешко, Б.Ю., Постовалов, С.Н. О распределениях статистик непараметрических критериев согласия при оценивании по выборкам параметров наблюдаемых законов // Заводская лаборатория. 1998. Т. 64. - № 3. - С. 6172.

79. Лемешко, Б.Ю., Постовалов, С.Н. Прикладные аспекты использования критериев согласия в случае проверки сложных гипотез // Надежность и контроль качества. -1997. № 11. - С. 3-17.

80. Лемешко, Б.Ю., Постовалов, С.Н. Применение непараметрических критериев согласия при проверке сложных гипотез // Автометрия. 2001. № 2. - С. 88-102.

81. Лемешко, Б.Ю., Постовалов, С.Н., Чимитова, Е.В. О распределениях стати2стики и мощности критерия типа % Никулина //Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2001. Т.67. - №3. - С. 52-58.

82. Лемешко, Б.Ю., Чимитова, Е.В. О выборе числа интервалов в критериях согласия типа %2 // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2003. -Т. 69.-№1.-С. 61-67.

83. Лемешко, Б.Ю., Чимитова, Е.В. Об ошибках и неверных действиях, совер2шаемых при использовании критериев согласия типа % II Измерительная техника. 2002. № 6. - С. 5-11.

84. Лемешко, Б.Ю., Чимитова, Е.В. Оптимальные Z-оценки параметров сдвига и масштаба распределений по выборочным квантилям // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2004. Т.70. - № 1. - С. 54-66.

85. Лемешко, Б.Ю., Чимитова, Е.В. Построение оптимальных ^-оценок параметров сдвига и масштаба распределений по выборочным квантилям // Сибирский журнал индустриальной математики. 2001. Т.4. - № 2. - С. 166183.

86. Лемешко, С.Б. Исследование критерия Аббе в случае нарушений предположений о нормальности // Материалы докладов всероссийской НК молодых ученых "Наука. Технологии. Инновации" НТИ-2005, 2005. - 4.1. -С. 56-57.

87. Лемешко, С.Б. Критерий независимости Аббе при нарушении предположений нормальности // Измерительная техника. 2006. № 10. С. 9-14.

88. Лемешко, С.Б. Распределения статистик критериев согласия типа хи-квадрат при малых выборках // Материалы VII международной конференции "Актуальные проблемы электронного приборостроения" АПЭП-2006. Новосибирск, 2006. Т. 6. - С. 78-82.

89. Лемешко, С.Б., Лемешко, Б.Ю. Исследование распределений статистик критериев, используемых для проверки отклонений от нормальности // Материалы докладов всероссийской НК молодых ученых "Наука. Технологии. Инновации" НТИ-2003,2003. - 4.1. - С. 42-43.

90. Мартынов, Г.В. Критерии омега-квадрат. М.: Наука, 1978. - 80 с.

91. Микешина, Н.Г. Выявление и исключение аномальных значений // Заводская лаборатория. 1966. -Т. 22. № 3. - С. 310-318.

92. Мирвалиев, М., Никулин М.С. Критерии согласия типа хи-квадрат // Заводская лаборатория. 1992. Т. 58. - № 3. - С. 52-58.

93. Никулин, М.С. Критерий хи-квадрат для непрерывных распределений с параметрами сдвига и масштаба // Теория вероятностей и ее применение. 1973. Т. XVIII. -№ 3. - С. 583-591.

94. Никулин, М.С. О критерии хи-квадрат для непрерывных распределений // Теория вероятностей и ее применение. 1973. - Т. XVIII. - № 3. - С.675-676.

95. Новицкий, П.В., Зограф, И.А. Оценка погрешностей результатов измерений. JL: Энергоатомизд., 1991. - 303 С.

96. Орлов, А.И. Неустойчивость параметрических методов отбраковки резко выделяющихся наблюдений // Заводская лаборатория. 1992. Т. 58. - № 7. -С. 40-42.

97. Орлов, А.И. О проверке однородности двух независимых выборок // Заводская лаборатория. 2003. - Т.69. №.1. - С. 55-60.

98. Орлов, А.И. Часто ли распределение результатов наблюдений является нормальным // Заводская лаборатория. 1991. Т. 57. - №7. - С. 64-66.

99. Р 50.1.033-2001. Рекомендации по стандартизации. Прикладная статистика. Правила проверки согласия опытного распределения с теоретическим. Часть I. Критерии типа хи-квадрат. М.: Изд-во стандартов. 2002. - 87 С.

100. Р 50.1.037-2002. Рекомендации по стандартизации. Прикладная статистика. Правила проверки согласия опытного распределения с теоретическим. Часть И. Непараметрические критерии. М.: Изд-во стандартов. 2002. - 64 С.

101. Саввушкина, Н.Е. Критерий Колмогорова-Смирнова для логистического и гамма-распределения // Сб. тр. ВНИИ систем, исслед. 1990, № 8. - С. 5056.

102. Смирнов, Н.В. Вероятности больших значений непараметрических односторонних критериев согласия // Труды Матем. ин-та АН СССР. 1961. -Т.64.-С. 185-210.

103. Смирнов, Н.В. Оценка максимального члена в ряду наблюдений // Доклады АН СССР, 1941. Т. 33. - № 5. - С. 346-349.

104. Смирнов, Н.В. Оценка расхождения между эмпирическими кривыми распределения в двух независимых выборках // Бюллетень МГУ, серия А.1939.-Т.2. №2.-С. 3-14.

105. СТ СЭВ 545-77. Прикладная статистика. Правила оценки анормальности результатов наблюдений. М.: Изд-во стандартов. 1978. 26 С.

106. Струнов, В.И. О применении критерия Аббе для анализа независимости рядов измерений, характеризующихся отличными от нормального законами распределения // Измерительная техника 2006 №8 - 13-18 С.

107. Тюрин, Ю.Н. Исследования по непараметрической статистике (непараметрические методы и линейная модель): Автореф. дисс. д-ра физ.-мат. наук. -М., 1985.-33 С.-(МГУ).

108. Тюрин, Ю.Н. О предельном распределении статистик Колмогорова-Смирнова для сложной гипотезы // Изв. АН СССР. Сер. Матем. 1984. Т.48. - № 6.-С. 1314-1343.

109. Тюрин, Ю.Н., Саввушкина, Н.Е. Критерии согласия для распределения Вейбулла-Гнеденко. // Изв. АН СССР. Сер. Техн. Кибернетика. 1984. № 3. -С. 109-112.

110. Хьюбер, П. Робастность в статистике. М.: Мир, 1984. - 303 С.

111. И 7. Чибисов, Д.М. Исследования мощности некоторых непараметрических критериев // Теория вероятностей и ее применения. 1962. Т. 7. - № 3. - С. 355-356.

112. Чибисов, Д.М. К исследованию асимптотической мощности критериев согласия // Теория вероятностей и ее применения. 1965. Т. 10. - № 3. - С. 460-478.

113. Чибисов, Д.М. Некоторые критерии типа хи-квадрат для непрерывных распределений // Теория вероятностей и ее применения. 1971. Т. XVI. -№ 1. - С. 3-20.

114. Чибисов, Д.М. Об асимптотической мощности и эффективности критерия со* // ДАН СССР, 1961.138,2. С. 322-325.

115. Чибисов, Д.М. Об асимптотической мощности критериев согласия при близких альтернативах // Теория вероятностей и ее применения. 1964. Т. 9. -№3.-С. 561-566.