Рассеяние и поглощение электромагнитных волн многослойными сферическими наночастицами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.05, кандидат наук Ладутенко, Константин Сергеевич

• Ладутенко, Константин Сергеевич
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Ладутенко, Константин Сергеевич

Оглавление

Стр.

Введение

Глава 1. Модификация теории Ми для случая многослойной сферы

1.1 Современные методы моделирования уравнений Максвелла

1.2 Теория Ми для многослойной сферы: расчёт ближнего поля

1.3 Компьютерная реализация алгоритма расчёта по теории Ми

1.4 Выводы

Глава 2. Метод стохастической оптимизации при решении обратной

задачи теории Ми

2.1 Сравнение методов стохастической оптимизации

2.2 Реализация алгоритма JADE в виде программы

2.3 Тестирование реализации алгоритма JADE

2.4 Выводы

Глава 3. Свойства многослойных сферических маскирующих

покрытий

3.1 Введение

3.2 Результаты оптимизации

3.3 Зависимость от показателя преломления

3.4 Картина ближнего поля

3.5 Выводы

Глава 4. Поглощение света многослойной наночастицей

4.1 Введение

4.2 Результаты оптимизации

4.3 Выводы

Стр.

Заключение

Список сокращений и условных обозначений

Список литературы

Список рисунков

Список таблиц

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Рассеяние и поглощение электромагнитных волн многослойными сферическими наночастицами»

Введение

Существование фундаментальных ограничений на скорость обработки информации в традиционной электронике привело к бурному развитию нанофото-ники. В последние годы появилось большое количество работ [1—7] в этой области. Высокая востребованность результатов, полученных в этих и многих других работах, связана с перспективами их практического применения; стремительное развитие нанотехнологий даёт возможность экспериментальной проверки предлагаемых идей и подходов. Часто в устройствах нанофотоники основная функциональность реализуется с помощью наночастиц. Кроме нанофотоники, многослойные наночастицы применяются для лечения рака [8; 9], различных методов диагностики в медицине [10], повышения эффективности солнечных элементов [11; 12], разработки маскирующих субволновых покрытий видимого и микроволнового диапазонов [13; 14], устройств плазмоники [15; 16]. Всё это определяет актуальность и цель данной работы.

Целью работы является исследование рассеяния и поглощения электромагнитных волн многослойными сферическими наночастицами. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Получить явные выражения для коэффициентов Ми внутри сферы.

2. Выбрать и реализовать алгоритм оптимизации, подходящий для работы с произвольными параметрами модели.

3. Выявить основные закономерности взаимодействия с электромагнитной волной сферических маскирующих покрытий на основе диэлектриков.

4. Исследовать эффект суперпоглощения света в многослойных сферических наночастицах, когда из-за вырождения мультипольных резонансов сечение поглощения оказывается больше, чем у однородной частицы из произвольного изотропного материала того же общего размера.

Методология и методы исследования. В число основных инструментов, применяемых при анализе задач рассеяния и поглощения плоской электромаг-

нитной волны наночастицами, входит теория Ми [17], суть которой сводится к разложению полей в ряд по сферическим векторным гармоникам. Эта теория была обобщена на случай многослойной сферы с произвольным числом слоев [18; 19] и модифицирована в настоящей работе.

Для изучения оптических свойств многослойной наночастицы требуется решать обратную задачу, т.е. определять дизайн такой частицы (радиусы и комплексные показатели преломления составных слоев) при заданных характеристиках рассеяния или поглощения. В случае однородной наночастицы подобная задача была частично решена: например, в дипольном приближении было получено выражение для эффективного значения диэлектрической проницаемости, обеспечивающего максимально достижимое поглощение сферой заданного размера [20]. Однако для общего случая многослойной сферы учёт вклада мультипо-лей высших порядков и большое число параметров модели делают явное решение труднореализуемым. Вместо этого в настоящей работе используется стохастическая оптимизация, а именно метод адаптивной дифференциальной эволюции. Он позволяет численным образом проводить оптимизацию дизайна многослойной сферы, обеспечивающего наилучшие рабочие характеристики для каждого конкретного случая с учётом фактических ограничений в выбранной предметной области.

Научная новизна. В задаче рассеяния плоской волны на многослойной сфере впервые получены явные соотношения для коэффициентов Ми внутри сферы, выраженные через логарифмические производные функций Риккати-Бесселя в виде обратной рекуррентной последовательности. В работе предложен и реализован новый подход к изучению оптических свойств многослойных сферических наночастиц: совместное использование метода адаптивной дифференциальной эволюции и теории Ми. Высокая вычислительная производительность этого подхода позволила выявить несколько новых физических эффектов, связанных с рассеянием и поглощением электромагнитной волны на многослойных сферических наночастицах. Были получены дизайны тонких (по сравнению с длиной волны) маскирующих покрытий из изотропных диэлектриков, изучены их свой-

ства, рассмотрены причины, приводящие к возникновению маскирующего эффекта. Для случая размещения наночастицы в диэлектрической среде выявлена закономерность, позволяющая разрабатывать эффективные маскирующие трёхслойные сферические покрытия. Универсальность предлагаемого подхода позволяет изучать не только рассеяние, но и поглощение наночастицами. Аналитическими методами был впервые продемонстрирован эффект суперпоглощения в сферических наночастицах специального дизайна. Важно, что это удалось показать для случая модели дисперсии изотропных материалов, соответствующей экспериментальным данным.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. В задаче рассеяния плоской волны на многослойной сфере коэффициенты Ми внутри сферы могут быть явно выражены в виде обратной рекуррентной последовательности через логарифмические производные функций Риккати-Бесселя.

2. Рассеяние на сфере из идеального проводника можно существенно уменьшить с помощью тонкого (по сравнению с длиной волны Л) многослойного покрытия, используя только изотропные диэлектрические материалы: для сферы диаметром 1.5Л - более чем в два раза, для диаметра Л/1.5 - более чем в шесть раз. Оптимальная толщина покрытия определяется заданным диапазоном материальных параметров слоёв.

3. Использование изотропных материалов с относительной диэлектрической проницаемостью е < 1 позволяет создавать нерезонансные маскирующие покрытия, которые содержат всего три слоя и уменьшают полное сечение рассеяния более чем в два раза будучи нанесенными на сферу из идеального проводника диаметром 1.5Л.

4. В сферических трёхслойных наночастицах Бг/Ад/Б г возможно вырождение мультипольных резонансов, приводящее к эффекту суперпоглощения, когда сечение поглощения оказывается больше, чем у однородной частицы того же размера из произвольного изотропного материала.

5. Разработанный метод, основанный на совместном применении теории Ми и стохастической оптимизации по алгоритму адаптивной дифференциальной эволюции, позволяет быстро (по сравнению с другими методами) и воспроизводимо находить радиусы и комплексные показатели преломления составных слоев у многослойных сферических наночастиц, обладающих улучшенными оптическими свойствами (например, повышенными или подавленными сечением поглощения, рассеяния, коэффициентом усиления ближнего поля в заданных точках и прочими).

Практическая значимость. Разработанные аналитические и численные методы для решения уравнений Максвелла в рамках теории Ми и реализующий их программный комплекс с использованием стохастической оптимизации методом дифференциальной эволюции могут быть использованы при проектировании, оптимизации и анализе (включая анализ предельно достижимых рабочих характеристик) широкого спектра устройств, функционирующих как в оптическом, так и микроволновом диапазоне. Результаты, полученные при изучении поглощения света наночастицами, могут быть применены при разработке инновационных устройств наноплазмоники, фотоактивных катализаторов, красителей, поглощающих эмульсий и аэрозолей.

Результаты диссертационной работы использовались при выполнении грантов Министерства образования и науки РФ (проект 11.034.31.0020, гос. задание 2014/190, задание 3.561.2014/К), Правительства РФ (грант 074-Ш1), РФФИ (грант 15-57-45141 ИНД а).

Достоверность полученных результатов обеспечивается методическим подходом на каждом этапе работы, сравнением с данными других авторами и сопоставлением с результатами моделирования в других программах. Работа оптимизатора была проверена на наборе стандартных тестовых функций. Компьютерная реализация решения задачи Ми была проверена на наборе тестовых примеров, полученные результаты были сопоставлены с данными других авторов для случаев однородной сферы и сферы с одним слоем покрытия [21; 22]. Случаи большего числа слоев в покрытии сравнивались с коммерческими пакетами

моделирования, использующими численные методы конечных разностей во временной области (Lumerical FDTD), метод конечных элементов (Comsol) и метод конечных интегралов (CST MWS). Результаты по исследованию маскирующих покрытий, поглощению и рассеянию света наночастицами находятся в соответствии с данными, полученными другими авторами для похожих систем [14; 23; 24].

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на конференциях «Дни дифракции» (СПб, 2014 и 2016), «Электроника и микроэлектроника СВЧ» (СПб, 2014), Metanano (Анапа, 2016) и семинарах в университете ИТМО, ФТИ им. А.Ф. Иоффе, ФГУП «Крыловский государственный научный центр» и в университете им. Жана Монне (Сент-Этьен, Франция).

Личный вклад. Все результаты данной диссертационной работы получены автором лично, их анализ проводился при его непосредственном участии. Кроме того, автор самостоятельно провёл все работы, связанные с программированием алгоритма стохастической оптимизации. Программа Scattnlay, используемая для расчётов по теории Ми, была полностью переработана автором диссертации совместно с автором оригинальной программы Ovidio Peña-Rodríguez (Политехнический университет Мадрида, Испания).

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 10 печатных изданиях, 5 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК, 4 в тезисах конференций, получено одно государственное свидетельство о регистрации программы для ЭВМ №2014611568 от 5 февраля 2014 г. в Федеральной службе по интеллектуальной собственности.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из общего введения, четырёх глав и заключения, каждая глава содержит дополнительный вводный подраздел. Полный объём диссертации составляет 123 страницы, включая 17 рисунков и 5 таблиц. Список литературы содержит 96 наименований.

Публикации автора по теме диссертации

Al. Mie calculation of electromagnetic near-field for a multilayered sphere / K. Ladutenko, U. Pal, A. Rivera, O. Pena-Rodriguez // Computer Physics Communications. — 2017. — Vol. 214. — P. 225-230.

A2. Superabsorption of light by nanoparticles / K. Ladutenko, P. Belov, O. Pena-Rodriguez, A. Mirzaei, A. E. Miroshnichenko, I. V. Shadrivov // Nanoscale. — 2015. — Vol. 7, issue 45. — P. 18897-18901.

A3. Reduction of scattering using thin all-dielectric shells designed by stochastic optimizer / K. Ladutenko, O. Pena-Rodriguez, I. Melchakova, I. Yagupov, P. Belov // Journal of Applied Physics. — 2014. — Vol. 116, no. 18, —P. 184508.

A4. Markovich D., Ladutenko K., Belov P. Performance of FDTD method CPU implementations for simulation of electromagnetic processes // Progress in Electromagnetics Research. — 2013. — Vol. 139. — P. 655-670.

A5. Ладутенко К. С., Белов П. А. Моделирование интегральных схем нано-фотоники: метод FDTD // Наносистемы: физика, химия, математика. — 2012. — Т. 3, — С. 42—61.

А6. Beyond superabsorption: how to design efficient absorption of light by nanoparticles / K. Ladutenko, P. Belov, O. Pena-Rodriguez, A. Mirzaei, A. Miroshnichenko, I. Shadrivov // Metanano. Book of abstracts. — 2016. — P. 14.

A7. Efficient absorption of light by nanoparticles designed by a stochastic optimizer / K. Ladutenko, P. Belov, O. Pena-Rodriguez, A. Mirzaei, A. Miroshnichenko, I. Shadrivov // Days on Diffraction. Book of abstracts. — 2016. — P. 195.

A8. Sphere cloaking using thin all-dielectric multilayer coatings designed by stochastic optimizer / K. Ladutenko, O. Pena-Rodriguez, I. Melchakova, I. Yagupov, P. Belov // Days on Diffraction. Book of abstracts. — 2014. — P. 117.

А9. Разработка тонких многослойных диэлектрических маскирующих покрытий с помощью стохастического оптимизатора / К. Ладутенко, О. Р. Rodríguez, И. Мельчакова, И. Ягупов, П. Белов // Электроника и микроэлектроника СВЧ. Сборник тезисов. — 2014. — С. 285.

А10. К. С. Ладутенко Реализация алгоритма стохастической оптимизации методом дифференциальной эволюции для численного исследования металло-диэлектрических наноструктур и метаматериалов // бюллетень Федеральной службы по интеллектуальной собственности (Роспатент) «Программы для ЭВМ. Базы данных. Топологии интегральных микросхем». — 20.02.2014. — RU 2014611568.

Глава 1. Модификация теории Ми для случая многослойной сферы 1.1 Современные методы моделирования уравнений Максвелла

При рассмотрении вопроса о рассеянии и поглощении электромагнитных волн многослойными сферическими наночастицами в первую очередь возникает проблема выбора математической модели, которая описывала бы такую систему. В настоящее время существует огромное число методов компьютерного моделирования явлений электромагнетизма достаточно общего вида [25—29]:

- метод конечных элементов (finite element method, FEM)

- метод конечных объёмов во временной области (finite volume time-domain, FVTD)

- метод моментов (method of moments, MoM), обычно реализуемый в рамках метода граничных элементов (boundary element method, BEM)

- метод конечных интегралов (finite integration technique, FIT)

- метод конечных разностей в временной области (finite difference time domain, FDTD)

- метод конечных разностей в частотной области (finite difference frequency domain, FDFD)

- псевдоспектральный метод во временной области (pseudospectral time domain method, PSTD)

- метод матриц линий передач (transmission line matrix method, TLM)

- приближение дискретных диполей (discrete dipole approximation, DD A) Здесь не упоминаются модификации и усовершенствования этих методов (иногда существенным образом меняющие исходный алгоритм), как и не отмечено большое число других методов. В целом, каждый из методов можно пытаться классифицировать по следующим параметрам: в основе лежит интегральная или дифференциальная форма уравнений Максвелла, метод оперирует данными во

временной или в частотной области, дискретизации подвергается вся модель или только границы её составных объёмов и т.д.

Сравнение этих методов приводится во многих источниках. В [26] перечисляются такие достоинства FDTD, как малое время разработки работоспособной программы, его простота для понимания и то, что он работает с уравнениями Максвелла в явном виде, не привлекая приёмы линейной алгебры, а также его недостатки: ступенчатая аппроксимация и большая вычислительная сложность. При сравнении FDTD с методом FVTD отмечается, что последний лучше подходит для неоднородных объектов, время моделирования сопоставимо с временем FDTD, а основным недостатком является необходимость дискретизации объёма модели неоднородной сеткой (что в общем случае является нетривиальной задачей). Сильные стороны FDFD демонстрируются в случае, когда необходимо получить установившееся решение для одной частоты. Особо ярко это проявляется для материалов, чья зависимость от частоты не может быть формализована простыми моделями для FDTD и для систем с высоко добротным резонансом. Достоинства FEM аналогичны достоинствам FVTD, а основной недостаток состоит в том, что необходимо решать всю систему уравнений (она может быть очень большой) для всего объекта моделирования сразу. Значимость этого недостатка может быть несколько уменьшена за счёт использования итеративных методов и ряда других техник, связанных с предварительными преобразованиями используемых матричных систем уравнений. PSTD, относящийся к спектральным методам, характеризуется тем, что применяет разложение (чаще всего Фурье) полей общего решения модели. При этом используется значительно менее плотная сетка дискретизации, что даёт существенный выигрыш в задействованных памяти и вычислительных ресурсах компьютера.

В книге [28] для выбранного пространственного размера задачи (3D) приводится вычислительная сложность разных методов в зависимости от частоты / изучаемого электромагнитного поля. Для FDTD число операций растёт как 0(/4), основной недостаток — ступенчатая аппроксимация границ, проходящих под углом к направлениям прямоугольной сетки дискретизации. F VTD хорошо справля-

ется со сложными геометриями объектов модели, требует приблизительно такое же количество вычислительных ресурсов, что и FDTD, но обладает слабой «отложенной» нестабильностью. Вычислительная сложность FEM растёт как 0(/4) и для частотной, и для временной области, он более стабилен, чем F VTD. Для регулярной 3D сетки дискретизации TLM может быть представлен в форме, эквивалентной FDTD. FIT обладает вычислительной сложностью FDTD, но позволяет использовать произвольные сетки дискретизации с сохранением стабильности. Вычислительная сложность МоМ зависит от выбранного метода решения системы уравнений. Для fast multipole method (FMM) это 0(/3), а для multilevel fast multipole algorithm (MLFMA) это 0(f2 log /).

В книге [29] на одной и той же аппаратной платформе производилось моделирование общего набора задач с помощью коммерчески доступного программного обеспечения (ПО), основанного на разных (указанных в скобках) методах: HFSS (FEM), CST MWS (FIT), GEMS (FDTD), FEKO (МоМ). Сравнение результатов расчётов даёт довольно хорошее совпадение для CST и GEMS, которые решили весь набор тестовых задач. GEMS оказался быстрее (иногда в несколько раз) CST и использовал меньшее количество оперативной памяти.

Объектом изучения настоящей работы является сферическая наночастица, что позволяет применять специализированные методы. Прежде всего, это теория Ми для многослойной сферы [18] и её развитие в виде метода Т-матриц (Multiple Sphere T-Matrix) [30]. По сравнению с более общими методами применение этой теории позволяет значительно сократить объём вычислений, необходимый, например, для расчёта сечений рассеяния и поглощения. Дополнительным преимуществом теории Ми является возможность разделять вклады электрических и магнитных мультиполей в общий электромагнитный отклик частицы.

1.2 Теория Ми для многослойной сферы: расчёт ближнего поля

Более 100 лет назад Густав Ми опубликовал свою оригинальную работу [17] о взаимодействии плоской электромагнитной волны с однородной сферой. Изложенная в ней теория впоследствии получила его имя и в настоящее время входит в число основных инструментов, применяемых при анализе задач рассеяния и поглощения сферическими объектами. Несмотря на более чем вековую историю теории Ми, работы по её дальнейшему развитию ведутся и в настоящее время [30—36]. Довольно часто авторы таких работ предоставляют доступ к своим программам, реализующим новые разработки в этой области, что позволяет напрямую сравнивать их между собой. К сожалению, большая часть таких программ относится к случаю сферы с одним или несколькими слоями покрытия. Рядом авторов были предложены математические модели [18; 19], позволяющие изучать многослойные сферы с произвольным числом слоёв [37; 38]. Основная сложность при этом связана с численной реализацией этих моделей.

Рассмотрим рассеяние плоской волны, поляризованной вдоль координаты х, следуя классическому подходу, изложенному в книге К.Ф. Борена и Д.Р. Хафмена [39]. В сферических координатах такую волну можно записать как:

Ег = Eoeikrcoseex , ёх = sin 6 cos ср ér + cos 6 sin cp ёе — sin cp ёф ,

где Eq амплитуда падающего поля, а г, 6, ср и ё — полярные координаты и единичный вектор для выбранной системы координат, к волновой вектор падающей волны. Тогда решение для рассеянного поля выражается в виде разложения в ряд:

оо

Еs = J2En (^nNÍ3¿ - bnMfiL) , (1.1)

п= 1 , оо

= (ад^ + аМ1) , (1.2)

" п= 1

где Еп = inEo(2n + 1 )/п(п + 1), п порядок мультиполя, Eq амплитуда падающего поля, ап и Ьп коэффициенты разложения, соответствующие электрическим

и магнитным мультиполям, и сферические векторные гар-

моники 1, обычно выражающиеся через тригонометрические функции, полиномы Лежандра и сферические функции Бесселя и Ханкеля, си частота падающей волны, ц, магнитная проницаемость в вакууме. Аналогичным образом может быть выражено поле внутри /-ого слоя стратифицированной сферы [18]:

Е/ = £ (с^Ц - + ~ Ь®, (1.3)

п= 1 , оо

^Еп + - г« - а<£>М$п) , (1.4)

сиц,

II—1.

где для каждого слоя определены коэффициенты разложения (1$ и ({[' электрического и магнитного поля для входящей волны (направленной к центру частицы) и, аналогично, а!н) и ьЦ1 для исходящей волны. Связь между всеми коэффициентами разложения можно выразить в виде системы рекуррентных уравнений, которые получаются из граничных условий на непрерывность нормальных компонент полей на границе между слоями [18]:

- (¡^иц+г^ицх^ + а^ггц+гС'^ггцх^ = 0 , с^+1)ггыл\>п{ггы+1Х1) - Ъ^+1)ггыСп{ггы+1Х1)-

сЦ+1)^'п(гп1+1Х1) - ЪЦ+1К'п(т1+1Х1)-

- с^гр^ш/ж/) + Ъ® Сп(гп1Х1) = 0 ,

- а{1+1)1п{т1+1Х1)~

(1.8)

- б^-фпС^вд) + а® ^(тш) = 0 ,

где гп1 показатель преломления в слое, нормированный на показатель преломления окружающего пространства, ж/ = Ах/ параметр размера внешнего слоя, выраженный через его радиус, "фп(г) = zjn(z) и СЛ^) = zhln{z) функции Риккати-

^м. далее уравнения (1.13-1.16) и (1.19-1.22)

Бесселя, выраженные через сферические функции Бесселя и Ханкеля. Из выражений для падающей и рассеянной волны получаются дополнительные условия на коэффициенты разложения с|^+1') = = 1, скп^ = ап и = Ьп, где I/

общее число слоев. Так как у центрального слоя I = 1 нет внутренней границы, то йп^ = Ьп^ = 0. Последнее условие является избыточным для системы уравнений (1.5-1.8), и поэтому оно было использовано для дополнительной проверки самосогласованности работы компьютерной программы. Система уравнений (1.5-1.8) распадается на две независимых линейных системы и может быть решена явно. После проведения необходимых алгебраических преобразований были получены значения коэффициентов разложения в виде обратной рекуррентной последовательности:

а(/) _ рп\ггых1)т1 (тп1+1х1) + Г3 (т/+1Ж/)т//т/+1 п Сп (ггцх1) и (т/ж/)

&(/) _ Рп\ггых1)Т2 (ш/-ЦЖ/) Ш//Ш/+1 + Т4 (771/+1Ж/) ^

п Сп (т/Ж/) и (т/Ж/)

/о\

т _ (т/ж/)Г2 (Ш/+1Ж/) Ш//Ш/+1 + Т4 (ш/+1Ж/)

^п .1. / иг/ \ '

(т/ж/) и (т/ж/)

/о\

_ £>У(т/Ж/)Г1 (т/+1Ж/) + Г3 (т/+1Ж/) т//т/+1 п -фп (т/ж/) II (т/ж/)

(1.12)

используя

Т2(г) = Ъ^иг)-с1!+Чп(г), Т3(г) = - ,

где 1)п ^

= л\)'п/л\)п и !),, = Сп/Сп логарифмические производные функций Риккати-Бесселя. Подставляя (1.9-1.12) в уравнения (1.3) и (1.4), можно вычислить величину электрического и магнитного поля внутри и снаружи многослойной сферы. Это является основным результатом настоящей главы.

С очевидностью, решение системы уравнений (1.5-1.8) может быть выражено и в виде прямой рекуррентной последовательности. Такое решение было получено, но после реализации в компьютерной программе проявилась его плохая численная устойчивость, поэтому в настоящей работе оно не используется.

При этом возникает дополнительная сложность, связанная с вычислением сферических векторных гармоник, выражаемых через сферические функции Бесселя ( /' = 1) и Ханкеля (./' = 3) первого рода ] [39]:

= со8фтгп(со8 9) ёе- эт ср тп(со8 9) 2^(р) ёф , (1.13)

Аз)

(з).

ме1п = - 8тф7Гп(со8 9)4^(р) ёе - С08 ф тп(со8 9) (р) ёф , (1.14)

Аз)

(Я,

= п(п+ 1) 8т9 7Гп(С089)

¿¡\р)

С у-

+ 8Шф Тп(С089)

+ С08ф 7Гп(С089)

р^СР)

ее +

р^СР)

= С08 Ф + 1) БШ 0 7ТП(С08 9)

¿л(р)

'ф 5

+ С08 ф Тп(с08 9)

+ 8И1 ф 7Гп(с08 0)

р^(р)

р^(р)

ёе +

'ф )

(1.15)

(1.16)

где обезразмеренное расстояние до центра сферы р = кг, а угловые функции

Р1

ТГп =

С08 9

и тп =

¿рп ¿0

выражены через функцию Лежандра Р™, которая задаётся через производную полинома Лежандра Рп в виде

где \i = cos 6. Чтобы рассчитать значения угловых функций, необходимо воспользоваться рекуррентными соотношениями [40]

2 ti — 1 ti

7Г0 = 0, Tí\ = 1, Tín = -— COS 6 7Tn_i--—Tín_2 > (1.17)

п — 1 п — 1

Тп = nCOS0 7Tn + (п + 1)тгте_1 , (1-18)

доказавшими свою численную устойчивость. Таким образом, основную сложность при вычислении значений сферических векторных гармоник представляет суммирование рядов, выражающих сферические функции Бесселя. Плохая сходимость таких рядов особенно заметна в случае комплексного аргумента с большой мнимой частью. Для решения этой проблемы в настоящей главе предлагается следующий вид сферических векторных гармоник:

П Гп\ р)

M¡f¿ = cos ср 7rn(cos 6) —-ёе — sin ср xn(cos 6) —-ёф , (1-19)

= - sin <р 7in(cos 0) ё0 - cos <р xn(cos 9) ёф , (1-20)

С) Гп\ р)

NX = sin ф п(п + 1) sin 6 7in(cos 6) ^ ёг +

о. • ^ m р{л?)г{лр) л ^ п 2п

+ sincpTn(cos0)-—-— е0 +

Р

, m р{Лр)г{ЛР) .

+ cos ф 7rn(cos 0)-еф ,

Р

(yt / / р2\

Ngfn = COS ф п(п + 1) sin 0 7Tn(cOS 0) -—^—- ёг +

р

pg)(p)rg)(p) Л п 22)

+ СО8фТп(СО8 0)-—-— е0 + \L-ZZ)

р

, m р{лр)г(лр) .

+ sm ф 7rn(cos 0)-еф ,

Р

где используются функции Риккати-Бесселя гЦj = г[>„ и г^ = Сп и их логарифмические производные, благодаря чему автору удалось заметно увеличить численную устойчивость расчёта по теории Ми. Дело в том, что функции Риккати-Бесселя могут быть записаны в виде обратной рекуррентный последовательности

с хорошей сходимостью для более широкого диапазона аргументов [40; 41] по сравнению со сферическими функциями Бесселя следующим образом:

В

(1) Л^ш;

г) = 0 + ¿0 , 1

, П — Nmaк, • • • 5 0 5

* 0{п\г)+п/г

где выражение для количества членов рекурсии ЛГПтах было предложено в работе [40]:

Л^тах = тах(Л^ор, \rriixil , |т/Ж/_1|) + 15 , I = 1,2,... ,Ь ,

хь + 4ж23 + 1 , 0.02 < хь < 8 , хь + АШх1/3 + 2 , 8 < хь < 4 200 ,

№3гор —

Уз

хь + 4:х£3 + 2 , 4 200 < хь < 20 000 .

X

В работе [41] была показана численная устойчивость следующего метода для вы-

п(3)

числения 1)>п :

= \ [1 ~ (соб 2а + г бш 2а)ехр(—2Ь)} ,

4г) =>.

4>„(2)С,(2) = -ф„_1(2)С,-1(г

О® (г) = О« (г) +

тах 5

т\>п{г)Сп{г)

где 2 = а + гЬ. Функции Риккати-Бесселя задаются следующими выражениями [40; 41]:

грой = ,

1\>п(г) = у\>п-\(х

■ А/

, п = 1,...,^

тах 5

Со(^) = 8т(;г) — г соб^) ,

Сп(г) = Сп-Л г

• А/

, п = 1,...,^

тах

Таким образом, в настоящем разделе предложен математический аппарат, позволяющий вычислять локальные поля в случае падения плоской электромагнитной

волны на сферическую многослойную частицу. Разработанный метод отличается высокой надёжностью и устойчивостью в широком диапазоне входных параметров, что, среди прочих факторов, вызвано использованием оригинального вида сферических векторных гармоник в представлении через логарифмические производные функций Риккати-Бесселя.

1.3 Компьютерная реализация алгоритма расчёта по теории Ми

Для проведения расчётов с использованием выражений, полученных в разделе 1.2, наиболее рациональным является применение компьютера. Для этого необходимо разработать новую или модифицировать ранее созданную компьютерную программу. Второй вариант, как менее трудоёмкий, является предпочтительным. При этом необходимо принимать во внимание целый ряд факторов:

- Функциональность уже готовых программ.

- Возможности по их модификации, которые прежде всего определяются доступностью исходного текста программы и используемыми языками программирования.

- Количество и качество документации, описывающее работу программы, наличие возможности получить консультацию у авторов, простота её использования.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Ладутенко, Константин Сергеевич, 2017 год

Список литературы

1. Quantum plasmonics / М. S. Tame [et al] // Nature Physics. — 2013. — Vol. 9, no. 6.—P. 329-340.

2. Garcia de Abajo F. J. Graphene Plasmonics: Challenges and Opportunities // ACS Photonics. — 2014. — Vol. 1, no. 3. — P. 135-152.

3. Khurgin J. B. How to deal with the loss in plasmonics and metamaterials // Nature Nanotechnology. — 2015. — Vol. 10, no. 1. — P. 2-6.

4. He X. Tunable terahertz graphene metamaterials // Carbon. — 2015. — Vol. 82. — P. 229-237.

5. Controlling light with metamaterial-based nonlinear photonic crystals / N. Segal [et al.] // Nature Photonics. — 2015. — Vol. 9, no. 3. — P. 180-184.

6. Hyperbolic metamaterials / A. Poddubny [etal.] //Nature Photonics. —2013. — Vol. 7, no. 12.—P. 948-957.

7. Kildishev A. V., Boltasseva A., Shalaev V. M. Planar Photonics with Metasur-faces // Science. — 2013. — Vol. 339, no. 6125. — P. 1232009.

8. Zhang J. Biomedical applications of shape-controlled plasmonic nanostructures: A case study of hollow gold nanospheres for photothermal ablation therapy of cancer // Journal of Physical Chemistry Letters. — 2010. — Vol. 1, no. 4. — P. 686-695.

9. Nanoshell-mediated near-infrared thermal therapy of tumors under magnetic resonance guidance / L. Hirsch [et al.] // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. — 2003. — Vol. 100, no. 23. — P. 13549-13554.

10. Allain L. R., Vo-Dinh T. Surface-enhanced Raman scattering detection of the breast cancer susceptibility gene BRCA1 using a silver-coated microarray platform 11 Analytica Chimica Acta. — 2002. — Vol. 469, no. 1. — P. 149-154.

11. Kameya Y., Hanamura K. Enhancement of solar radiation absorption using nanoparticle suspension // Solar Energy. — 2011. — Vol. 85, no. 2. — P. 299-307.

12. Dielectric particle and void resonators for thin film solar cell textures / S. A. Mann [et al.] // Opt. Express. — 2011. — Vol. 19, no. 25. — P. 25729-25740.

13. Spherical cloaking with homogeneous isotropic multilayered structures / C.-W. Qiu [et al.] // Phys. Rev. E. — 2009. — Vol. 79, issue 4. — P. 047602.

14. X Wang, F. Chen, Semouchkina E. Spherical cloaking using multilayer shells of ordinary dielectrics // AIP Advances. — 2013. — Vol. 3. — P. 112111.

15. Localized surface plasmon resonances in the ultraviolet from large scale nanos-tructured aluminum films / J. Martin [et al.] // Optical Materials Express. — 2013. — Vol. 3, no. 7. — P. 954-959.

16. Alu A., Engheta N. Achieving transparency with plasmonic and metamaterial coatings 11 Phys.Rev.E. — 2005. — Vol. 72. — P. 016623.

17. Mie G. Beiträge zur Optik trüber Medien, speziell kolloidaler Metallösungen // Annalen der Physik. — 1908. — Vol. 330, no. 3. — P. 377-445.

18. Yang W. Improved recursive algorithm for light scattering by a multilayered sphere // Applied Optics. — 2003. — Vol. 42, no. 9. — P. 1710-1720.

19. Pena ()., Pal U. Scattering of electromagnetic radiation by a multilayered sphere // Computer Physics Communications. — 2009. — Vol. 180, no. 11. — P. 2348-2354.

20. Optimizing Nanoparticle Designs for Ideal Absorption of Light / V. Grigoriev [et al.] // ACS Photonics. — 2015. — Vol. 2, no. 2. — P. 263-270.

21. Suzuki H., Sandy Lee I.-Y. Mie scattering field inside and near a coated sphere: Computation and biomedical applications // Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer. — 2013. — Vol. 126. — P. 56-60.

22. Bashevoy M. V., Fedotov V. A., Zheludev N. I. Optical whirlpool on an absorbing metallic nanoparticle // Opt. Express. — 2005. — Vol. 13, no. 21. — P. 8372-8379.

23. Mohammadi Estakhri N., Alii A. Minimum-scattering superabsorbers // Phys. Rev. B. —2014. — Vol. 89, issue 12. — P. 121416.

24. Ruan Z., Fan S. Design of subwavelength superscattering nanospheres // Applied Physics Letters. —2011. — Vol. 98, no. 4. — P. 043101.

25. Parallel Finite-difference Time-domain Method / W. Yu [et al.]. — Artech House, 2006. — (Artech House electromagnetic analysis series).

26. Inan U., Marshall R Numerical Electromagnetics: The FDTD Method. — Cambridge University Press, 2011.

27. http://www.cvel.clemson.edu/modeling/index.html.

28. Bondeson A., Rylander T., Ingelstrom P. Computational Electromagnetics. — Springer New York, 2006. — (Texts in Applied Mathematics).

29. Yu W., Mittra R Advanced FDTD Methods: Parallelization, Acceleration, and Engineering Applications. — Artech House, 2011. — (Artech House electromagnetic analysis series).

30. MacKowski D. The extension of mie theory to multiple spheres // Springer Series in Optical Sciences. — 2012. — Vol. 169. — P. 223-256.

31. Suzuki //., Lee I.-Y. S. Calculation of the Mie scattering field inside and outside a coated spherical particle // International Journal of Physical Sciences. — 2008.— Vol. 3, no. 1,—P. 038-041.

32. Lerme J. Introduction of quantum finite-size effects in the Mie's theory for a multilayered metal sphere in the dipolar approximation: Application to free and matrix-embedded noble metal clusters // The European Physical Journal D -Atomic, Molecular, Optical and Plasma Physics. — 2000. — Vol. 10, no. 2. — P. 265-277.

33. XuH. Multilayered metal core-shell nanostructures for inducing a large and tunable local optical field//Phys. Rev. B. — 2005. — Vol. 72, issue 7. — P. 073405.

34. Debye series for light scattering by a multilayered sphere / R. Li [et al.] // Appl. Opt. — 2006. — Vol. 45, no. 6. — P. 1260-1270.

3 5. Gogoi A., Choudhury A., Ahmed G. Mie scattering computation of spherical particles with very large size parameters using an improved program with variable speed and accuracy // Journal of Modern Optics. — 2010. — Vol. 57, no. 21. — P. 2192-2202.

36. Nanoparticle-based protein detection by optical shift of a resonant microcavity / M. A. Santiago-Cordoba [et al.] // Applied Physics Letters. — 2011. — Vol. 99, no. 7.—P. 073701.

37. Plasmonic Enhancement of Dye-Sensitized Solar Cells Using Core-Shell-Shell Nanostructures / S. W. Sheehan [et al.] // The Journal of Physical Chemistry C. — 2013. — Vol. 117, no. 2. — P. 927-934.

38. Selmke M, Br aim M, Cichos F. Photothermal Single-Particle Microscopy: Detection of a Nanolens // ACS Nano. — 2012. — Vol. 6, no. 3. — P. 2741-2749.

39. Bohr en C. F., Huffman D. Absorption and scattering of light by small particles. — Wiley, 1983. — (Wiley science paperback series).

40. Wiscombe W. J. Improved Mie scattering algorithms // Appl. Opt. — 1980. — Vol. 19, no. 9. — P. 1505-1509.

41. Mackowski D. W., Altenkirch R. A., Menguc M. P. Internal absorption cross sections in a stratified sphere // Appl. Opt. — 1990. — Vol. 29, no. 10. — P. 1551-1559.

42. http://www.scattport.org/index.php/light-scattering-software/mie-type-codes.

43. https: //en. wikipedia. org/wiki/Codesforelectromagneticscatteringby _ spheres.

44. Wriedt T. Light scattering theories and computer codes // Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer. — 2009. — Vol. 110, no. 11. — P. 833-843. — Light Scattering: Mie and More Commemorating 100 years of Mie's 1908 publication.

45. Lentz W. J. Generating Bessel functions in Mie scattering calculations using continued fractions // Appl. Opt. — 1976. — Vol. 15, no. 3. — P. 668-671.

46. Mackowski D. W., Mishchenko M. I. Calculation of the T matrix and the scattering matrix for ensembles of spheres // J. Opt. Soc. Am. A. — 1996. — Vol. 13, no. 11.— P. 2266-2278.

47. Xu Y.-l. Electromagnetic scattering by an aggregate of spheres // Appl. Opt. — 1995. — Vol. 34, no. 21. — P. 4573-4588.

48. Kai L., Massoli P. Scattering of electromagnetic-plane waves by radially inho-mogeneous spheres: a finely stratified sphere model // Appl. Opt. — 1994. — Vol. 33, no. 3. — P. 501-511.

49. Improved algorithm for electromagnetic scattering of plane waves and shaped beams by multilayered spheres / Z. S. Wu [et al.] // Appl. Opt. — 1997. — Vol. 36, no. 21,—P. 5188-5198.

50. Bhandari R. Scattering coefficients for a multilayered sphere: analytic expressions and algorithms 11 Appl. Opt. — 1985. — Vol. 24, no. 13. — P. 1960-1967.

51. Veldhuizen T. Scientific computing: C++ versus Fortran // Doctor Dobbs Journal. — 1997. — Vol. 22, no. 13. — P. 34^1.

52. Markovich D., Ladutenko K., Belov P. Performance of FDTD method CPU implementations for simulation of electromagnetic processes // Progress in Electromagnetics Research. — 2013. — Vol. 139. — P. 655-670.

5 3. https: // github. com/o vidiopr/s cattnlay.

54. http://www.comsol.com/comsol-multiphysics.

5 5. https: //www. lumerical. com/tcad- products/fdtd/.

56. Курант P., Фридрихе КЛеей Г. О разностных уравнениях математической физики // УМН.. — 1941. — Т. 8. — С. 125—160.

57. https://www.cst.com/Products/CSTMWS.

58. Goldberg D. Е. Genetic Algorithms in Search, Optimization and Machine Learning. — 1st. — Boston, MA, USA : Addison-Wesley Longman Publishing Co., Inc., 1989.

59. Kennedy J., Eberhart R. Particle swarm optimization //. — 1995. — P. 1942-1948. — IEEE International Conference on Neural Networks (ICNN 95).

60. Storn R., Price К Differential Evolution - A Simple and Efficient Heuristic for global Optimization over Continuous Spaces // Journal of Global Optimization. — 1997. — Vol. 11, no. 4. — P. 341-359.

61. Wolpert D. H., Macready W. G. No Free Lunch Theorems for Optimization // Trans. Evol. Сотр. — Piscataway, NJ, USA, 1997. — Vol. 1, no. 1. — P. 67-82.

62. Gong W., Cai Z., Wang Y. Repairing the crossover rate in adaptive differential evolution // Applied Soft Computing. — 2014. — Vol. 15. — P. 149-168.

63. Kang Li./., Ma Z. Rosenbrock artificial bee colony algorithm for accurate global optimization of numerical functions // Information Sciences. — 2011. — Vol. 181, no. 16.—P. 3508-3531.

64. Zhang J., Sanderson A. JADE: Adaptive Differential Evolution With Optional External Archive // Evolutionary Computation, IEEE Transactions on. — 2009. — Vol. 13, no. 5. — P. 945-958.

65. Zhan Z. -h., Zhang J. Adaptive particle swarm optimization // International Conference on Ant Colony Optimization and Swarm Intelligence. — Springer. 2008.—P. 227-234.

66. Schwefel H.-P. Numerical Optimization of Computer Models. — Wiley, 1981.

67. Rosenbrock H. H. An Automatic Method for Finding the Greatest or Least Value of a Function//The Computer Journal. — 1960. — Vol. 3,no. 3.—P. 175-184.

68. Mühlenbein H., Schomisch M, Born J. Paper: The Parallel Genetic Algorithm As Function Optimizer // Parallel Comput. — 1991. — Vol. 17, no. 6-7. — P. 619-632.

69. Bäck T. Evolutionary algorithms in theory and practice: evolution strategies, evolutionary programming, genetic algorithms. — Oxford University Press, USA, 1996.

70. Griewank A. O. Generalized descent for global optimization // Journal of Optimization Theory and Applications. — 1981. — Vol. 34, no. 1. — P. 11-39.

71. Power Mean Based Crossover Rate Adaptive Differential Evolution / J. Li [et al.] // Artificial Intelligence and Computational Intelligence: Third International Conference, AICI 2011, Taiyuan, China, September 24-25, 2011, Proceedings, Part II / ed. by H. Deng [et al.]. — Berlin, Heidelberg : Springer Berlin Heidelberg, 2011,— P. 34-41.

72. Luscher M. A portable high-quality random number generator for lattice field-theory simulations // Computer Physics Communications. — 1994. — Vol. 79, no. 1,—P. 100-110.

73. Matsumoto M, Nishimura T. Mersenne Twister: A 623-dimensionally Equidis-tributed Uniform Pseudo-random Number Generator // ACM Trans. Model. Comput. Simul. — New York, NY, USA, 1998. — Vol. 8, no. 1. — P. 3-30.

74. http://www.mathworks.com.

75. https://github.com/kostyfisik/jade.

76. Smith D., Pendry J., Wiltshire M. Metamaterials and negative refractive index // Science. — 2004. — Vol. 305, no. 5685. — P. 788-792.

77. Metamaterial electromagnetic cloak at microwave frequencies / D. Schurig [et al.] // Science. — 2006. — Vol. 314, no. 5801. — P. 977-980.

78. Shalaev V. M. Optical negative-index metamaterials // Nature Photonics. — 2007.— Vol. 1, no. 1,—P. 41-48.

79. Zheludev N. /., Kivshar Y. S. From metamaterials to metadevices // Nature Materials. — 2012. — Vol. 11, no. 11,—P. 917-924.

80. Pendry J. B., Schurig D., Smith D. R. Controlling Electromagnetic Fields // Science. — 2006. — Vol. 312. — P. 1780-1782.

81. Leonhardt U. Optical conformal mapping // Science. — 2006. — Vol. 312, no. 5781,—P. 1777-1780.

82. Kildishev A. V., Shalaev V. M. Transformation optics and metamaterials // Physics-Uspekhi. — 2011. — Vol. 54, no. 1. — P. 53-63.

83. Chen P.-Y., Soric J., Alii A. Invisibility and cloaking based on scattering cancellation // Adv. Mater. — 2012. — Vol. 24. — OP281-OP304.

84. Invisibility cloaks from forward design to inverse design / S. Xu [et al.] // Science China Information Sciences. — 2013. — Vol. 56, no. 12. — P. 1-11.

85. Andkjcer J., Sigmund O. Topology optimized low-contrast all-dielectric optical cloak 11 Applied Physics Letters. — 2011. — Vol. 99. — P. 021112.

86. Thin low-loss dielectric coatings for free-space cloaking / Y. Urzhumov [et al.] // Optics Letters. — 2013. — Vol. 38. — P. 1606-1608.

87. Level set based topology optimization for optical cloaks / G. Fujii [et al.] // Appl. Phys. Lett. — 2013. — Vol. 102. — P. 251106.

88. Experimentally demonstrated a unidirectional electromagnetic cloak designed by topology optimization / L. Lan [et al.] // Appl. Phys. Lett. — 2013. — Vol. 103,—P. 121113.

89. Huang 7., Feng 7., Jiang T. Electromagnetic cloaking by layered structure of homogeneous isotropic materials // Opt. Express. — 2007. — Vol. 15. — P. 11133-11141.

90. Martins T. C., Dmitriev V. Spherical invisibility cloak with minimum number of layers of isotropic materials // Microwave and Optical Technology Letters. — 2012. — Vol. 54, no. 9. — P. 2217-2220.

91. Selvanayagam M, Eleftheriades G. V. Experimental Demonstration of Active Electromagnetic Cloaking // Phys. Rev. X. — 2013. — Vol. 3. — P. 041011.

92. X Wang, Semouchkina E. A route for efficient non-resonance cloaking by using multilayer // Applied Physics Letters. — 2013. — Vol. 102. — P. 113506.

93. Tribelsky M. I. Anomalous light absorption by small particles // EPL (Euro-physics Letters). —2011. —Vol. 94, no. 1. — P. 14004.

94. Rúan Z., Fan S. Superscattering of Light from Subwavelength Nanostructures // Phys. Rev. Lett. — 2010. — Vol. 105, issue 1. — P. 013901.

95. Palik E. Handbook of Optical Constants of Solids, Five-Volume Set: Handbook of Thermo-Optic Coefficients of Optical Materials with Applications. — Elsevier Science, 1997.

96. Fundamental Limits to Extinction by Metallic Nanoparticles / O. D. Miller [et al.] //Phys. Rev. Lett. — 2014. — Vol. 112, issue 12. — P. 123903.

Список рисунков

1.1 Золотая сфера г = 20 нм при облучении светом с длиной волны Л = 354 нм, (а) результат из работы М.В. Башевого и др. [22], (б) результат расчёта ближнего поля по выражениям из раздела 1.2. Цвет меняется от синего к красному что характеризует рост величины вектора Пойнтинга, касательная к белым линиям — его направление. Волна падает слева направо.........................25

1.2 Фрагмент из области на рисунке 1.1(6), выделенный красным прямоугольником. Случай (а) исходных параметров для построения линий потока энергии, (б) пороговый угол уменьшен в 2 раза, минимальная длина отрезка в 10 раз.....................27

1.3 Картина ближнего поля для частицы Si/Ад/Si с общим радиусом 64 нм. (а) Результат моделирования в Lumerical FDTD, (б) результат расчёта ближнего поля по выражениям из раздела 1.2. Цвет характеризует величину электрического поля jE'l/jE'ol, касательная к белым линиям — направление вектора Пойнтинга. Волна падает

слева направо.................................29

1.4 32-слойное диэлектрическое маскирующее покрытие вокруг сферы из идеального электрического проводника, (а) результат моделирования в CST MWS с помощью FEM в частотной области, (б) результат расчёта ближнего поля по выражениям из раздела 1.2. Цвет характеризует величину электрического поля jE'l/jE'ol. Волна падает слева направо.............................33

3.1 (а) Схематическое изображение изучаемой системы: маскируемый объект — сфера из идеального проводящего материала внутри многослойного диэлектрического покрытия и падающая электромагнитная волна, (б) Результат работы оптимизатора для объекта диаметром 1.5Л. Каждая отметка на графике соответствует одному дизайну, полученному в результате минимизации рассеяния. При толщине покрытия > 0.15Л рассеяние можно уменьшить в ~ 2

раза.......................................64

3.2 Аналогично рисунку 3.16, но для мишени (а) И> = 0.38Л и

(б) Дз = 1.1Л. Типичное значение уменьшения ТБСБ составило приблизительно -85% и -35% соответственно...............65

3.3 Типичные дизайны, обеспечивающие наилучшую маскировку при толщине покрытия, равной (а) 0.11Л и (б) 0.21Л. Максимальное значение показателя преломления было ограничено птах = 8, а минимальное было равно Пщт =1.....................66

3.4 Переход от о дно долинного к двухдолинному дизайну. Каждой паре (а-б), (в-г) и (д-е) соответствует одинаковая толщина покрытия. Каждый профиль показателя преломления был получен независимо,

в отдельном проходе оптимизации.....................67

3.5 Хаотический дизайн при толщине покрытия \¥ = 0.64А А = —54.3% после 10 ООО итераций оптимизации....................69

3.6 Увеличенная часть рисунка 3.16 с дополнительными результатами оптимизации (треугольники без заполнения) для случая толщины покрытия меньше критической. Каждая отметка обозначает

конечный результат одного прохода оптимизации............72

3.7 Результат оптимизации а) показателей преломления в каждом слое при его фиксированной толщине и б) толщины каждого слоя для покрытий с чередующимися слоями из большого е и е < 1. в) Характерный дизайн покрытия для птт = 0.67. г) Зависимости относительной толщины каждого слоя от общей толщины покрытия РЕС-тт-тах-тт...............................75

3.8 Спектры частицы без покрытия и с маскирующими покрытиями: из

8-ми слоев диэлектрика и из 3-х слоев с применением е < 1.......78

3.9 Изображение фазы электрического (а,в) и магнитного (б,г) поля в случае маскировки объекта покрытием из изотропных диэлектриков ( а,б, см. рисунок 3.3а) и материалов с е < 1 (в,г, см. рисунок 3.7в). Изображения построены в виде эпюра из плоскости поляризации падающей волны (Е-к, верхняя половина) и перпендикулярной плоскости (Н-к, нижняя половина). Чёрные окружности маркируют границы маскирующего покрытия. Белым обозначены линии потока энергии, волна распространяется в плоскости рисунка слева направо. . 80

3.10 Аналогично рисунку 3.9 для амплитуды электрического (а,в) и магнитного (б,г) поля в случае маскировки объекта покрытием из изотропных диэлектриков ( а,б, см. рисунок 3.3а) и материалов с е < 1 (в,г, см. рисунок 3.7в). Амплитуда магнитного поля была умножена на импеданс свободного пространства. Изображения построены в виде эпюра из плоскости поляризации падающей волны (Е-к, верхняя половина) и перпендикулярной плоскости (Н-к, нижняя половина). Чёрные окружности маркируют границы маскирующего покрытия. Белым обозначены линии потока энергии, волна распространяется в плоскости рисунка слева направо...........81

4.1 (а-в) Результат оптимизации эффективности поглощения Si/Ад/Si наночастицей в зависимости от её внешнего радиуса, (а) эффективность поглощения, (б) коэффициенты поглощения в разложении Ми, где а\ и а > относятся к электрическим, а Ь\ и Ь2 к магнитным диполю и квадруполю, (в) толщины составных слоёв наночастиц, (г-е) спектры коэффициентов поглощения в разложении Ми для дизайнов, соответствующих локальным максимумам на рисунке 4.1а..................................91

4.2 Распределение амплитуды электрического поля, нормированного на падающую волну, для двух дизайнов, соответствующих локальным максимумам на рисунке 4.1а: (а,в) в режиме электрического диполя для Я = 36 нм и (б,г) в режиме суперпоглощения для Я = 63 нм. Распределения построены для (а,б) плоскости поляризации и (в,г) перпендикулярно к ней. Белые кривые обозначают линии потока энергии; плоская волна распространяется слева направо.........94

4.3 Результат оптимизации Бг/Ад/ Б г наночастицы в зависимости от её внешнего радиуса. Копия рисунков 4.1(а-в), приводится для удобства сравнения оптимизации максимальных

(а-в) эффективности поглощения С^аъа и (г-е) поглощения электрическим диполем а\, где (а,г) эффективность поглощения, (б,д) коэффициенты поглощения в разложении Ми, а,\ и а > относятся к электрическим, а Ъ\ и Ь2 к магнитным диполю и квадруполю, (в,е) толщины составных слоёв наночастиц................98

Список таблиц

1 Тестовые функции для оптимизации, D — размерность. Для всех функций значение в точке глобального минимума равно нулю...... 50

2 Сравнение различных алгоритмов оптимизации. Указаны среднее значение и среднеквадратичное отклонение (в скобках) результата оптимизации после фиксированного числа итераций (столбец Gen) и для 50 запусков каждого алгоритма. Для каждой функции бралось

число независимых переменных D = 30..................52

3 Аналогично таблице 2 для D = 100.....................53

4 Аналогично таблице 2 для D = 30. Сравнение реализованных модификаций алгоритма JADE с оригинальной версией.........55

5 Аналогично таблице 4 для D = 100.....................56