Рассеяние частиц примеси при обтекании тел высокоскоростным потоком газовзвеси тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Панфилов, Сергей Владимирович

• Панфилов, Сергей Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Панфилов, Сергей Владимирович

УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

ВВЕДЕНИЕ

1. ОБЗОР СОСТОЯНИЯ ВОПРОСА

1.1. Двухфазные течения газа с частицами около ограничивающих поверхностей

1.2. Взаимодействие частиц с поверхностью.

1.3. Эрозия.

1.4. Выводы по главе 1.

2. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЧАСТИЦ ПРИМЕСИ

С ОБТЕКАЕМОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ

2.1. Характеристики рассеяния частиц.

2.2. Моделирование отражения частицы от шероховатой поверхности

2.2.1. Задание рельефа шероховатости.

2.2.2. Расчет движения частицы.

2.2.3. Начальные условия для расчета движения частицы

2.2.4. Определение локальных параметров удара.

2.3. Рассеяние сферических частиц на шероховатой поверхности.

2.4. Рассеяние несферических частиц.

2.4.1. Определение параметров отраженной частицы

2.4.2. Рассеяние несферических частиц в двумерной постановке.

2.4.3. Рассеяние несферических частиц в трехмерной постановке.

2.5. Выводы по главе 2.

3. ВЛИЯНИЕ РАССЕЯНИЯ ОТРАЖЕННЫХ

ЧАСТИЦ НА ТЕЧЕНИЕ ПРИМЕСИ

3.1. Модель полидисперсной примеси.

3.2. Метод расчета концентрации примеси.

3.3. Модель межфазного взаимодействия.

3.4. Метод расчета полей течения несущего газа.

3.5. Течение в канале с клиновидной ступенькой

3.6. Обтекание клина в канале.

3.7. Выводы по главе 3.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Рассеяние частиц примеси при обтекании тел высокоскоростным потоком газовзвеси»

Изучение обтекания тел или преград потоком газа с примесью твердых частиц представляет большой интерес как в чисто научном плане, так и с точки зрения многочисленных технических приложений.

В реальных течениях газовзвесей около ограничивающих поверхностей можно выделить несколько физических факторов, природа которых имеет случайный характер и которые могут заметно влиять на течение примеси. Среди них шероховатость обтекаемой поверхности, которая ведет к тому, что скорость и угол отражения частиц являются случайными величинами; несферическая форма частиц, которая при случайной форме частиц или случайной их ориентации перед ударом также является причиной нерегулярного отражения; полидисперсность примеси, т.е. случайный разброс частиц по размерам, который описывается некоторой функцией распределения; столкновения между частицами, приводящие к тому, что траектории частиц становятся хаотическими; турбулентность течения несущего газа, приводящая к случайному характеру сил, действующих на частицы; броуновское движение тонкодисперсных частиц.

Степень влияния этих факторов на динамику примеси зависит в первую очередь от размера частиц, а точнее - от характерного числа Стокса. По этому критерию частицы можно разделить на тонкодисперсные ^к 1) и грубодисперсные ^к > 1). Ввиду малости инерции тонкодисперсных частиц по сравнению с силами межфазного взаимодействия время динамической релаксации таких частиц очень мало, поэтому их движение в основном определяется особенностями течения несущего газа (турбулентность, пограничные слои). Влияние же эффектов, связанных с нерегулярным отражением, для тонкодисперсных частиц незначительно, так как они, следуя линиям тока несущего газа, могут вообще не сталкиваться с обтекаемой поверхностью, либо релаксируют к потоку практически сразу1 после отскока.

Грубодисперсные частицы обладают значительной инерцией. Время и, соответственно, длина динамической релаксации таких частиц достаточно велики и мелкомасштабные флуктуации межфазных сил практически не влияют на их движение (частицы движутся по "баллистическим" траекториям). В двухфазных течениях газа с твердыми грубодисперсными частицами около ограничивающих поверхностей частицы примеси, как правило, сталкиваются с поверхностью и отскакивают от нее. В этом случае отражение частиц играет ключевую роль в формировании картины течения и полей параметров дисперсной фазы.

Данное диссертационное исследование посвящено изучению рассеяния сферических и несферических частиц при отражении от гладкой и шероховатой поверхности, а также влиянию рассеяния частиц, отраженных от ограничивающих поверхностей, на картину течения и поля параметров грубодисперсной примеси в потоках монодисперсной и полидисперсной газовзвеси.

В подавляющем большинстве работ, в которых рассматривалось течение газовзвесей в каналах (трубах) и около тел (преград), частицы считаются твердыми сферами одинакового радиуса (примесь монодисперсна), поверхности - гладкими, а для определения параметров отдельной частицы после ее отскока от поверхности используются те или иные модели регулярного отражения. Однако реальные частицы часто имеют несферическую форму (например, зола, кварцевый песок, многие порошки промышленного изготовления), а обтекаемая поверхность является шероховатой. Последнее, кстати, является правилом для мягких материалов (незакаленная сталь и т.п.) в высокоскоростных двухфазных потоках ввиду эрозии поверхности. Несферичность частиц и шероховатость поверхности приводят к тому, что отражение частиц носит случайный характер. Это подтверждается наличием в экспериментах значительной дисперсии параметров отраженных частиц. Полидисперсность примеси приводит к дополнительному "перемешиванию" частиц в возмущенной области течения, так как траектории частиц различных размеров могут существенно различаться.

Для построения моделей течения дисперсной фазы с учетом всех этих факторов необходимо иметь представление о рельефе шероховатости поверхности, (в частности, возникающей в результате абразивной эрозии), о форме реальных частиц и функции их распределения по размерам. Интерес к эффектам шероховатости и несферичности частиц заметно усилился в последнее время в связи с попытками более правильной интерпретации экспериментальных данных, а также в связи с развитием более реалистичных численных моделей двухфазных течений около ограничивающих поверхностей.

Основные цели данного диссертационного исследования:

1. Разработка модели и алгоритма расчета отражения частицы от шероховатой поверхности с учетом эффектов "теневых зон" на рельефе шероховатости и вторичных столкновений частицы с поверхностью в пределах одной впадины на рельефе.

2. Параметрическое исследование рассеяния сферических частиц на шероховатой поверхности, направленное на изучение зависимости характеристик рассеяния от угла падения частиц и параметров шероховатости.

3. Исследование влияния формы частиц на характеристики их рассеяния при отражении от гладкой и шероховатой поверхности. Оценка влияния трехмерных эффектов на характеристики рассеяния частиц, используемые при моделировании течений в двумерной постановке.

4. Исследование влияния шероховатости обтекаемой поверхности и полидисперсности частиц на течение примеси.

5. Исследование влияния шероховатости на силу, действующую на обтекаемое тело со стороны дисперсной фазы.

В первой главе дан обзор современного состояния исследований по теме диссертации. В первой части главы рассмотрены основные модели, используемые для описания течений газовзвесей в различных диапазонах концентрации примеси и размеров частиц. Во второй части описаны и проанализированы применяемые модели взаимодействия частиц примеси с обтекаемой поверхностью, а также методы моделирования шероховатости. Третья часть посвящена основным моделям абразивной эрозии поверхностей в высокоскоростных потоках.

Вторая глава посвящена исследованию влияния шероховатости поверхности и формы частиц на их рассеяние при отражении. В * первой части рассмотрены основные характеристики рассеяния частиц. Во второй части главы предложена новая модель отражения частицы от шероховатой поверхности. В рамках этой модели предложен метод моделирования двумерного профиля шероховатости. Описан алгоритм численного исследования рассеяния отраженных частиц. Третья часть посвящена параметрическому исследованию рассеяния сферических частиц на шероховатой поверхности в широком диапазоне углов падения и параметров профиля шероховатости. В четвертой части главы исследовано рассеяние частиц различной формы при отражении от гладкой и шероховатой поверхности.

В третьей главе исследовано влияние рассеяния отраженных частиц на течение дисперсной фазы на двух примерах высокоскоростного течения запыленного газа: стационарного течения в горизонтальном канале с шероховатой клиновидной ступенькой и нестационарного течения в следе при обтекании шероховатого клина. Также исследовано совместное влияние полидисперсности частиц и их рассеяния при отражении от обтекаемых поверхностей. В первой части главы описана модель полидисперсной примеси с логарифмически-нормальным распределением частиц по размерам. Во второй части предложена модель расчета полей концентрации примеси. В третьей части описана используемая модель межфазного взаимодействия. В четвертой части описаны методы расчета течения несущего газа. Пятая и шестая части посвящены описанию и анализу результатов параметрического исследования стационарного течения газовзвеси в канале с клиновидной ступенькой и течения примеси в нестационарном следе за обтекаемым клином.

В заключении сформулированы основные выводы по диссертационному исследованию.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Модель отражения частицы от шероховатой поверхности, основанная на рассмотрении кинематики частицы вблизи рельефа шероховатости.

2. Результаты параметрического исследования рассеяния сферических частиц, отраженных от шероховатой поверхности.

3. Результаты параметрического исследования рассеяния несферических частиц при их отражении от гладкой и шероховатой поверхности.

4. Метод расчета концентрации примеси в рамках дискретно-траек-торного подхода, в частности, при множественных пересечениях траекторий частиц.

5. Результаты параметрического исследования влияния шероховатости обтекаемой поверхности и полидисперсности частиц на динамику примеси.

6. Результаты параметрического исследования влияния шероховатости на величину дополнительной силы сопротивления тела (клина), связанной с воздействием дисперсной фазы.

Научная новизна работы:

1. Впервые для описания рассеяния частиц, отраженных от шероховатой поверхности, разработана модель, основанная на использовании собственно геометрии рельефа шероховатости, а не его статистических характеристик.

2. Впервые проведено параметрическое исследование рассеяния сферических частиц на шероховатой поверхности в широком диапазоне геометрических характеристик рельефа шероховатости и углов падения. Установлено, что вторичные столкновения частиц с рельефом шероховатости могут существенно влиять на характеристики их рассеяния.

3. Впервые систематически исследовано рассеяние несферических частиц в трехмерной постановке. Установлено, что форма частиц существенно влияет на характеристики их рассеяния при отражении от гладкой поверхности.

4. Впервые исследовано рассеяние несферических частиц на шероховатой поверхности. Установлено, что в случае достаточно грубой шероховатости характеристики рассеяния частиц практически не зависят от их формы. Показано, что модель локального взаимодействия частицы с поверхностью играет важную роль для корректного моделирования рассеяния отраженных частиц.

5. На основании результатов проведенного параметрического исследования впервые дан сравнительный анализ влияния шероховатости обтекаемой поверхности и полидисперсности частиц на картину течения и поля концентрации примеси.

6. Впервые изучено влияние параметров шероховатости поверхности на величину дополнительной силы сопротивления, действующей на тело со стороны дисперсной фазы.

Апробация работы

Основные результаты исследований по теме диссертации докладывались на 12 российских и международных форумах: 2-й Европейской конференции по гидгомеханике, проведенной под эгидой ЕШЮМЕСН (ЕЕМС'94, Варшава, Польша, 1994); 1-й и 2-й Международных школах-семинарах "Внутрикамерные процессы, горение и газовая динамика дисперсных систем" (С.-Петербург, 1995, 1997); XIII сессии Международной школы по моделям механики сплошной среды (С.-Петербург, 1995); 3-й и 6-й Международных конференциях по многофазным течениям (1СМЕ'98, Лион, Франция, 1998; 1СМЕ'07, Лейпциг, Германия, 2007); II Всероссийской научно-технической конференции молодых ученых "Современные проблемы аэрокосмической науки" (Жуковский, 1999); Всероссийской научной конференции по механике "Вторые Поляховские чтения" (С.-Петербург, 2000); Европейском коллоквиуме по механике, посвященном теоретическому и экспериментальному изучению течений газа с частицами (ЕШЮМЕСН

Colloquium 447, Таллинн, Эстония, 2003); Международной научно-технической конференции "Фундаментальные проблемы высокоскоростных течений" (Жуковский, 2004); IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 2006); 2-й Европейской конференции по аэрокосмическим наукам (EUCASS'07, Брюссель, Бельгия, 2007); Всероссийском семинаре по аэрогидродинамике, посвященном 90-летию со дня рождения С.В. Валландера (С.-Петербург, 2008).

Публикации по теме диссертации

Основные результаты работы изложены в 14 научных публикациях [30, 31, 32, 33, 34, 44, 45, 46, 47, 77, 78, 79, 80, 81], из которых 10 статей и тезисы 4-х докладов. 13 работ написаны совместно с другими авторами.

В работе [46] соискателем выполнены расчеты зависимостей точки приложения главного вектора сил реакции от обобщенного коэффициента сопротивления трения и деформации при ударе, предельного положения указанной точки от угла падения и материала мишени, коэффициентов восстановления полной кинетической энергии частицы после отскока и ее составляющих. Ю.М. Циркунову принадлежит математическая формулировка модели удара. М.Б. Клычников при анализе классической модели удара обратил внимание на то, что она ведет к перезакрутке частицы, если использовать опытные значения для коэффициентов восстановления нормальной и касательной к стенке составляющих скорости центра масс частицы.

В работах [77, 45] соискателю принадлежат результаты расчетов течения примеси при сверхзвуковом обтекании клина однородным потоком запыленного газа при отражении частиц. Ю.М. Циркунову принадлежит постановка задачи и анализ результатов.

В [44] соискателю принадлежат результаты расчетов течения бесстолк-новительной примеси. А.Н. Волкову принадлежат результаты расчетов течения столкновительной примеси. Ю.М. Циркунову принадлежит формулировка проблемы, постановка задачи, анализ результатов.

В работах [31, 78, 32] соискатель принимал участие в разработке метода построения профиля шероховатости. Ему принадлежит модель отражения частицьГот шероховатой поверхности. Им выполнены расчеты двумерных индикатрис рассеяния сферических частиц, отраженных от шероховатой поверхности, и течения примеси около шероховатого клина с учетом рассеяния. Ю.М. Циркунову принадлежит формулировка задачи о рассеянии частиц при отскоке от шероховатой поверхности, идея способа построения профиля шероховатости. Интерпретация и анализ результатов принадлежат обоим соавторам.

В статье [47] соискателю принадлежат результаты расчетов индикатрис рассеяния отраженных частиц несферической формы в двумерной постановке, новый метод расчета поля концентрации моно- и полидисперсной примеси, результаты расчета профилей счетной и объемной концентрации полидисперсной примеси в различных поперечных сечениях потока при обтекании клина, а также функций распределения примеси по фракциям в возмущенной области течения. Ю.М. Циркунову принадлежит общая постановка задачи и выбор направления исследования. Н.В. Лисуном были выполнены предварительные расчеты по рассеянию несферических частиц, которые позволили сузить диапазон параметров задачи, в котором следовало ожидать получения наиболее интересных результатов. Анализ численных результатов выполнен совместно Ю.М. Циркуновым и соискателем.

В'работах [33, 79] соискателем выполнено параметрическое численное исследование рассеяния частиц несферической формы в двумерной постановке и численное моделирование течения моно- и полидисперсной примеси в канале с клиновидной ступенькой с учетом рассеяния частиц при отскоке от шероховатой поверхности ступеньки. Ю.М. Циркунову принадлежит постановка задачи и целей исследования. Отбор вариантов для расчетов, анализ и объяснение численных результатов выполнен совместно обоими авторами.

В статье [80] соискателю принадлежат модель и результаты расчетов пространственных и двумерных (в плоскости удара) индикатрис рассеяния частиц несферической формы при их отражении от гладкой и шероховатой поверхностей, результаты расчетов картин течения моно- и полидисперсной примеси в канале с шероховатой клиновидной ступенькой. Ю.М. Циркунову принадлежит общая постановка задачи. Отбор вариантов для расчетов, анализ и объяснение численных результатов выполнен совместно обоими авторами.

В статье [81] соискателю принадлежат результаты расчетов двухфазного течения около клина конечного размера в канале. A.A. Веревкину принадлежат результаты расчетов нестационарного течения газа с частицами примеси в ударной аэродинамической трубе. Ю.М. Циркунову принадлежит общая постановка проблемы и выбор направления поиска диапазонов параметров задач, в которых следует ожидать получения наиболее интересных и фундаментальных результатов. Отбор вариантов для расчетов и обсуждение результатов расчетов двух-фазного течения в канале выполнен совместно Ю.М. Циркуновым и соискателем. Отбор вариантов для расчетов и обсуждение результатов расчетов двухфазного течения в ударной аэродинамической трубе выполнен совместно Ю.М. Циркуновым и A.A. Веревкиным.

В статье [34] соискателю принадлежат модель отражения несферической частицы от шероховатой поверхности с двумерным профилем шероховатости, а также результаты расчетов пространственных и двумерных индикатрис рассеяния частиц несферической формы при их отражении от гладкой и шероховатой поверхностей. Ю.М. Циркунову принадлежит общая постановка задачи. Обоим соавторам принадлежит анализ результатов.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Панфилов, Сергей Владимирович

Основные результаты выполненного диссертационного исследования:

1) Разработана модель отражения частицы от шероховатой поверхности, основанная на рассмотрении кинематики частицы вблизи рельефа шероховатости. Показано, что для корректного моделирования рассеяния частиц необходимо учитывать эффект вторичных отражений частицы хотя бы в пределах одной впадины на профиле поверхности. Это невозможно сделать в рамках известных моделей, основанных на использовании статистических характеристик профиля шероховатости. Данный вывод недавно получил независимое подтверждение в работе [61].

2) На основе полуэмпирической модели удара, являющейся на сегодняшний день наиболее реалистичной для умеренных и больших скоростей удара (50. 500 м/с), проведено параметрическое исследование рассеяния сферических частиц при их отражении от шероховатой поверхности. Установлено, что заметное рассеяние отраженных частиц наблюдается даже в случае очень малой шероховатости, когда высота выступов на профиле шероховатости существенно меньше (в ~ 102 раз) среднего расстояния между ними. С увеличением средней высоты выступов изменяется как характер рассеяния, так и наиболее вероятное направление отражения частиц, которое начинает существенно отличаться от направления их регулярного (от гладкой поверхности) отражения.

3) Впервые рассеяние несферических частиц при отражении от гладкой и шероховатой поверхности рассмотрено в трехмерной постановке. Результаты проведенного параметрического исследования показали, что форма частиц существенно влияет на их рассеяние при отражении от гладкой поверхности. В этом случае пространственный характер рассеяния частиц существенно влияет на распределение угла их отражения в плоскости падения, поэтому даже при моделировании двумерных течений столкновения частиц со стенкой необходимо рассматривать в трехмерной постановке. Показано, что в случае достаточно грубой шероховатости форма частиц практически не влияет на характеристики их рассеяния. В то же время модель локального взаимодействия частицы с поверхностью существенно влияет на результаты расчетов. Поэтому в задачах обтекания шероховатых поверхностей предпочтительнее считать частицы сферическими и использовать более реалистичные модели удара, что очень важно для корректного определения параметров отраженных частиц. В случае гладких поверхностей для корректного моделирования рассеяния несферических частиц необходимо дальнейшее изучение процесса их ударного взаимодействия с поверхностью и разработка соответствующих моделей удара.

4) Предложен метод расчета полей концентрации дисперсной фазь1. Он основан на траекторных расчетах с последующим пространственно-временным осреднением параметров частиц по ячейкам расчетной сетки. Данный метод обобщен на полидисперсную примесь. Предложен численный алгоритм, позволяющий существенно уменьшить общее количество пробных частиц путем замены реальной функции распределения в невозмущенном течении на более равномерную.

5) Исследовано влияние шероховатости обтекаемой поверхности и полидисперсности примеси на картину течения и поле концентрации дисперсной фазы на примере двух задач: стационарного течения в канале с клиновидной ступенькой и нестационарного течения в следе при обтекании клина конечного размера. Установлено, что шероховатость обтекаемой поверхности существенно влияет на динамику отраженных частиц в случае монодисперсной примеси. В случае полидисперсных частиц влияние шероховатости на картину течения примеси незначительно. 1

6) Исследование влияния шероховатости поверхности клина на его сопротивление в потоке газовзвеси показало, что наличие шероховатости может приводить к увеличению на десятки процентов дополнительной силы 1 сопротивления, обусловленной отражением частиц примеси от поверхности клина.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Панфилов, Сергей Владимирович, 2008 год

1. Бабаков A.B. О возможности численного моделирования нестационарных вихревых структур в ближнем следе //Ж. вычисл. матем. и ма-тем. физики, 1988, т. 28, № 2, С. 267-277.

2. Баланин Б.А., Трахов Е.П. Экспериментальная установка для исследования высокоскоростных двухфазных течений // Течение вязкого и невязкого газа. Двухфазные жидкости: Межвуз. сб. JL: Изд-во Jle-нингр. ун-та, 1981, С. 32-41.

3. Белов И.А., Исаев С.А., Ништ М.И., Судаков А.Г. Влияние физической и схемной вязкости при расчете ближнего следа за диском // ИФЖ, 1986, т. 50, № 3, С. 390-396.

4. Белоусов В.Л., Головачев Ю.П., Шмидт A.A. Численное исследование сверхзвукового обтекания затупленного тела потоком вязкой газовзвеси. II. Лагранжево-эйлеровская модель. Л., 1988. 21 с. - (Препр./ АН СССР. ФТИ; N 1247).

5. Валландер C.B. Лекции по гидроаэромеханике. Учебное пособие. Л.: Изд. ЛГУ, 1978. - 296 с.

6. Волков А.Н., Циркунов Ю.М. Кинетическая модель столкновительной примеси в запыленном газе и ее применение к расчету обтекания тел // Известия РАН. Механика жидкости и газа, 2000, № 3, С. 81-97.

7. Волков А.Н., Циркунов Ю.М., Семенов В.В. Влияние моно- и полидисперсной примеси на течение и теплообмен при сверхзвуковом обтекании тела потоком газовзвеси // Математическое моделирование, 2004, т. 16, № 7, С. 6-12.

8. Гилинский М.М., Толстов В.Н. Дискретно-траекторный метод расчета неоднофазных течений с пересекающимися траекториями частиц. В сб.: Струйные и отрывные течения. - М.: Изд-во МГУ, 1985. С. 78-94.

9. Годунов С.К., Забродин A.B., Иванов М.Я., Крайко А.Н., Прокопов Г.П. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М.: Наука, 1976. - 400 с.

10. Гольдсмит В. Удар. М.: Стройиздат, 1965. - 448 с.

11. Джайчибеков Н.Ж., Матвеев С.К. О расчете эрозии тел в двухфазном потоке с учетом экранирующего слоя отраженных частиц // Деп. ВИНИТИ 26.08.85. № 6320-85 Деп. 18 с.

12. Джайчибеков Н.Ж., Матвеев С.К. Расчет обтекания сферы газовзвесью на основе трехкомпонентной модели двухфазной среды // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. "Матем. механ. астрон." 1985. № 22. С. 57-62.

13. Джайчибеков Н.Ж., Матвеев С.К. Расчет обтекания тел потоком твердых частиц // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. "Матем. механ. астрон." 1986. Вып. 1. С. 118-121.

14. Дмитриевский A.A., Лысенко Л.Н., Богодистов С.С. Внешняя баллистика. М.: Машиностроение, 1991. 640 с.

15. Зельдович Я.В., Мышкис А.Д. Элементы математической физики. Среда из невзаимодействующих частиц. М.: Наука, 1973. - 351 с.

16. Киселев С.П., Руев Г.А., Трунев А.П., Фомин В.М. Ударно-волновые процессы в двухкомпонентных и двухфазных средах. Новосибирск: Наука, 1992.

17. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1984. - 832 с.

18. Кошляков В.Н. Задачи динамики твердого тела и прикладной теории гироскопов: Аналитические методы. М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985. - 288 с.

19. Крайко А.Н., Пьянков К.С. Течения идеального газа с отрывными зонами и нестационарными контактными разрывами сложной формы // Известия РАН. Механика жидкости и газа, 2006, № 5, С. 41-54.

20. Матвеев С.К. Математическое описание обтекания тел потоком газовзвеси с учетом влияния отраженных частиц // Движение сжимаемой жидкости и неоднородных сред. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1982. С. 189-201. ("Газодинамика и теплообмен". Вып. 7).

21. Матвеев С.К. Модель газа из твердых частиц с учетом неупругих соударений // Изв. АН СССР. МЖГ. 1983. № 6. С. 12-16.

22. Матвеев С.К., Чунаев A.B. Оценка экранирующего влияния отраженных частиц при обтекании газовзвесью заостренных тел // Вестник С.-Петерб. ун-та. Сер. 1, вып. 4, 1998. С. 106-114.

23. Михатулин Д.С., Полежаев Ю.В., Ревизников Д.Л. Теплообмен и разрушение тел в сверхзвуковом гетерогенном потоке. М.: ЯНУС-К, 2007. - 392 с.

24. Наумов В.А. Удар выпуклого твердого тела о шероховатую стенку // Прикладная механика. 1992. т. 28. № 4. С. 38-42.

25. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. Ч. I. М.: Наука, 1987. - 464 с.

26. Осипцов А.Н. Исследование зон неограниченного роста концентрациичастиц в дисперсных потоках // Изв. АН СССР. МЖГ, 1984, № 3, С. 46-52.

27. Осипцов А.Н., Шапиро Е.Г. Обтекание сферы запыленным газом с большой сверхзвуковой скоростью // Исследование газодинамики и теплообмена сложных течений однородных и многофазных сред / под ред. В.П. Стулова М.: Изд-во Моск. ун-та, 1990. С. 89-105.

28. Панфилов C.B., Циркунов Ю.М. Рассеяние несферических частиц примеси при отскоке от гладкой и шероховатой поверхности в высокоскоростном потоке газовзвеси // ПМТФ, 2008, № 2, С. 79-88.

29. Полак JI.C., Гольденберг М.Я., Левицкий A.A. Вычислительные методы в химической кинетике. М.: Наука, 1984. - 280 с.

30. Полежаев Ю.В., Михатулин Д.С. Эрозия поверхностей в гетерогенных потоках. Препринт ИВТАН N 2-277. М., 1989. 67 с.

31. Протодьяконов И.О., Цибаров В.А., Чесноков Ю.Г. Кинетическая теория газовзвесей. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1985. - 200 с.

32. Рамм М.С., Шмидт A.A. Влияние механизма эрозионного разрушения на обтекание затупленного тела потоком газовзвеси. Л., 1987. 34 с. -(Препр./ АН СССР. ФТИ; N 1045).

33. Рамм М.С., Шмидт A.A. Обтекание затупленного тела потоком газовзвеси. I. Учет отражения дисперсных частиц от обтекаемой поверхности, оценка вклада столкновений между частицами. Л., 1987. 24 с. - (Препр./ АН СССР. ФТИ; № 1097).

34. Стернин Л.Е., Маслов Б.Н., Шрайбер A.A., Подвысоцкий A.M. Двухфазные моно- и полидисперсные течения газа с частицами. М.: Машиностроение, 1980. - 172 с.

35. Тилляева Н.И. Обобщение модифицированной схемы С.К. Годунова на произвольные нерегулярные сетки // Ученые зап. ЦАГИ, 1986, т. 17, № 2, С. 18-26.

36. Трунев А.П., Фомин В.М. Обтекание тел двухфазным потоком типа газ-твердые частицы с учетом эрозии // ПМТФ,-1983, № 1, С. 69-75.

37. Цибаров В.А. Кинетический метод в теории газовзвесей. СПб: Изд-во С.-Петербург, ун-та, 1997. - 192 с.

38. Циркунов Ю.М., Панфилов C.B., Клычников М.Б. Полуэмпирическая модель ударного взаимодействия дисперсной частицы примеси с поверхностью, обтекаемой потоком газовзвеси // ИФЖ, 1994, т. 67, № 56, С. 379-386.

39. Швец А.И., Швец И.Т. Газодинамика ближнего следа. Киев: Наук, думка, 1976. - 384 с.

40. Эйчельбергер Р., Кайнике Дж. Высокоскоростной удар. В кн.: Физика быстропротекающих процессов, т. 2. - М.: Мир, 1971. - С. 204-246.

41. Эрозия / Под ред. Прис К. М.: Мир, 1982. - 464 с.

42. Bitter, J.A. A study of erosion phenomena. Part I, II // Wear, 1963, vol. 6, pp. 5-21, 169-190.

43. Dennis, S.C.R, Singh, S.N., Ingham, D.B. The steady flow due to a rotating sphere at low and moderate Reynolds numbers //J. Fluid Mech., 1980, vol. 101, pp. 257-280.

44. Finnie, I. Erosion of surfaces by solid particles // Wear, 1960, vol. 3, pp. 87-103.

45. Gear, C.W. Algorithm 407 DIFSUB for solution of O.D.E.s // Comm. ACM, 1971, vol. 14, No. 176, pp. 185-190

46. Grant, G., Tabakoff, W. Erosion prediction in turbomachinery resulting from environmental solid particles //J. Aircraft, 1975, vol. 12, pp. 471478.

47. Henderson, C.B. Drag coefficients of spheres in continuum and rarefied flows // AIAA J., 1976, vol. 14, No. 6, pp. 707-708.

48. Ishii, R., Hatta, N., Umeda, Y., Yuhi, M. Supersonic gas-particle two-phase flow around a sphere // J. Fluid Mech., 221, 1990, pp. 453-483.

49. Ishii, R., Umeda, Y., Yuhi, M. Numerical analysis of gas-particle two-phase flows // J. Fluid Mech., vol. 203, 1989, pp. 475-515.

50. Kannengieser, O., Konan A., Simonin, O. Influence of multiple particle-wall collisions on rough wall bouncing model // Proc. of the 6th International

51. Conference on Multiphase Flow, ICMF 2007, Leipzig, Germany, July 9-13, 2007, 13 p.

52. Khalij, M., Konan, A., Simonin, O., Oesterle, B. On the dispersed phase boundary conditions in gas-solid flows with irregular particle bouncing // Proc. of the 11th Workshop on Two-Phase Flow Predictions, Merseburg, Germany, April 5-8, 2005.

53. Matsumoto, S., Saito, S. Monte Carlo simulation of horizontal pneumatic conveying based on the rough wall model //J. Chem. Eng. Japan, 1970, vol. 3, pp. 223-230.

54. Neilson, J.H., Gilchrist, A. Erosion by a stream of solid particles // Wear, 1968, vol. 11, pp. 111-122.

55. Oesterle, B., Bui Dinh, T. Experiments on the lift of a spinning sphere in a range of intermediate Reynolds numbers // Experiments in Fluids, 1998, vol. 25, pp. 16-22.

56. Rubinow, S.I., Keller, J.B. The transverse force on a spinning sphere moving in viscous fluid. // J. Fluid Mech., vol. 11, 1961, pp. 447-459.

57. Schade, K.-P, Hadrich, Th. Investigation of influence of wall roughness on particle-wall collision // Proc. of the Third Int. Conf. on Multiphase Flow, ICMF'98, Lyon, France, June 8-12, 1998, CD-ROM "ICMF'98M, paper 250, 8 p.

58. Sommerfeld, M. Modelling of particle-wall collisions in confined gas-particle flows // Int. J. Multiphase Flow, 1992, vol. 18, No. 6, pp. 905-926.

59. Sommerfeld, M. Kinetic simulations for analysing the wall collision process of non-spherical particles // Proc. ASME Fluid Engineering Division Summer Meeting, Montreal, Canada, July 14-18, 2002, paper No. 31239.

60. Sommerfeld, M., Huber N., Experimental analysis and modelling ofparticle-wall collisions // Int. J. Multphase Flow, 1999, vol. 25, pp. 14571489.

61. Sommerfeld, M., Huber, N., Wächter, P. Particle-wall collisions: Experimental studies and numerical models // Gas-Solid Flows (eds. D.E.Stock, M.W.Reeks, Y.Tsuji, M.Gautam, E.E.Michaelidies and J.T.Jurewicz), 1993, ASME, FED-Vol. 166, pp. 183-191.

62. Sommerfeld, M., Zivkovic G. Recent advances in the numerical simulation of pneumatic conveying through pipe systems // Computational Methods in Applied Sciences (eds. Ch.Hirsch, J.Periaux and E.Onate), 1992, pp. 201-212.

63. Tsirkunov, Yu.M., Panfilov; S.V: Dusty Gas Flow Around Bodies: Effects of Non-Elastic Reflection of Particles // Proc. of the 2nd European Fluid Mechanics Conference, Warsaw, Poland, September 20-24,1994. Abstracts of Papers.

64. Tsirkunov, Yu.M., Panfilov, S.V. Particles scattering in particle-wall collisions and its effect on the particle-phase flow // Proc. of the EUROMECH Colloquium 447. Proc. Estonian Acad. Sci. Eng., Vol. 11, No. 2, 2005, pp. 126-139.

65. Tu, J.Y. Investigation of particle-wall interaction using a Lagrangian approach // Proc. of the Third Int. Conf. on Multiphase Flow, ICMF'98, Lyon, France, June 8-12, 1998, CD-ROM "ICMF'98", paper 725.

66. Wesseling, P. Principles of computational fluid dynamics, Springer-Verlag, Berlin, 2001, 644 p.