Распространение волн в неоднородной двухфазной среде с учетом относительного движения и взаимодействия фаз тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 25.00.10, кандидат физико-математических наук Вихорев, Александр Андреевич

• Вихорев, Александр Андреевич
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Вихорев, Александр Андреевич

Введение.

Глава 1 Описание волн в неоднородной гетерогенной среде

§1 Поиск универсальной формы волнового уравнения для среды с дисперсией локальных свойств.

§2 Понижение порядка волнового уравнения.

§3 Метод решения дифференциального уравнения первого порядка для волн в кусочно-однородной среде

Глава 2 Расчет волнового поля в кусочно-однородной эквивалентной среде. Первый класс прямых задач

§4 Горизонтально-однородная упругая среда. Алгоритм вычисления волнового сигнала в упругой плоскослоистой среде с частотной дисперсией эффективных свойств.

§5 Горизонтально-однородная среда МЛ.Еио. Алгоритм вычисления волнового сигнала в двухфазной плоскослоистой среде с динамическим взаимодействием фаз.

§6 Обнаружение продуктивного слоя по данным волнового зондирования.

Глава 3 Спектральный метод решения волнового уравнения в среде с 79 плавным изменением свойств. Второй класс прямых задач.

§7 Задание неоднородной среды в терминах гармонического анализа. ^

§8 Метод нормальных волн для макро-неоднородной среды. Волновое поле в среде со сложным законом дисперсии.

§9 Инвариантное уравнение для одной произвольно выбранной нормальной волны и его решение.

Глава 4 Динамические задачи случайной микронеоднородной среды

§10 Эффективные динамические свойства случайно-неоднородной среды.

§11 Суммирование ряда Неймана для средней функции Грина и поиск эффективного оператора. . ЮЗ

§12 Итоговые соотношения для расчета эффективных свойств в полном

11 -I диапазоне частот. Сравнение с результатом лабораторного эксперимента

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Распространение волн в неоднородной двухфазной среде с учетом относительного движения и взаимодействия фаз»

Распространение волн традиционно является основой многих методов исследования недр, разведки месторождений нефти, газа, залегания грунтовых вод, а также инженерной сейсмики. Строение гетерогенной среды определяет её динамические свойства и поэтому обнаруживает себя в процессе распространения механических колебаний. Колебания в точках источников и приёмников можно рассматривать, соответственно, как входные и выходные сигналы, а среду - как некоторый пространственно распределенный преобразователь или канал, обладающий нетривиальной импульсной характеристикой, поскольку локальные свойства подобного канала, включая число колебательных степеней свободы, могут изменяться на его протяжении. Согласно определению, импульсная характеристика, является откликом среды на сингулярное возбуждение и позволяет однозначно рассчитать выходной сигнал по заданному сигналу источника, её спектральную плотность также называют передаточной функцией [Баскаков, 1988]. С точки зрения теории сигналов, импульсная характеристика исчерпывает весь объём данных, которые могут быть получены волновым просвечиванием при фиксированном положении источника и приемника. Описывая универсальное преобразование между входными и выходными сигналами, она содержит косвенную информацию о той внутренней структуре, которая определяет динамические свойства среды по отношению к данному типу колебаний. Здесь мы имеем дело с некорректной обратной задачей, требуется восстановить среду по импульсным характеристикам -сечениям полной функции Грина в точках источников и приемников. Искомая информация о среде является неполной, поэтому для её «расшифровки» или интерпретации необходимо вначале ограничить многообразие всевозможных сред. Такое ограничение происходит при выборе модели среды, предполагается, что модель задается конечным числом независимых параметров. Относительно идеализированной постановки обратной задачи выбор модели априорен и диктуется некоторыми дополнительными сведениями. После выбора модели задача сводится к поиску значений свободных параметров, при которых сечения модельной функции Грина в точках источников и приемников максимально приближены к наблюдаемым импульсным характеристикам.

Данная формулировка исходной задачи позволяет перейти к ряду прямых задач, которые, оставаясь неэлементарными, допускают возможность аналитического исследования, и могут выявить качественные признаки интересующего строения среды. А именно, выявить признаки наличия или отсутствия в составе многослойной среды двухфазного слоя, содержащего твердую и жидкую (газообразную) компоненту, а также признаки существования в каком-либо слое трещин, пор. Таким образом, речь идет о наблюдении волнового процесса в многослойной модели, в которой насыщение пор жидкостью и средний радиус поровых каналов а, следовательно, дисперсия и затухание волн, могут быть заданы уникальными в каждом слое. Размер поровых каналов показывает, насколько существенно движение жидкости влияет на общее волновое движение среды. Можно сказать, что радиус поровых каналов и вязкость заполняющей жидкости определяют число колебательных степеней свободы, которые активно вовлечены в волновой процесс [Славкин, 1997]. Следовательно, фактическое число степеней свободы также может изменяться при переходе от слоя к слою, на рисунке 1 изображены простейшие эквивалентные схемы такой слоистой среды. Нетривиальные динамические свойства сложно построенной среды, или, в более узком смысле, частотные зависимости локальных свойств, составляют основу для возможности распознавания (детектирования) некоторого выделенного слоя в составе многослойной среды, по данным волнового зондирования.

Наблюдение и анализ эффектов дисперсии, затухания и перераспределения энергии по степеням свободы имеет больший практический интерес при вертикальном зондировании и профилировании, на рис.1 приведены эквивалентные схемы вертикально-неоднородной среды для различных свойств выделенного слоя. Такие задачи становятся актуальными при разведке месторождений нефти, газа или залегания грунтовых вод, когда требуется ответить на главный качественный вопрос о существовании продуктивного слоя и сделать возможные количественные оценки. В настоящее время для поиска нефтегазовых месторождений успешно применяется метод ПДС (Поглощение и Дисперсия Скорости), предложенный его авторами [Рапопорт, 1992 - 2000], [11у]коу, 1994]. В 1992 - 2003 гг. авторы метода ПДС сделали 12 докладов на Всемирных (8Ев, ЮЯС) и Европейских (ЕАвЕ) геофизических конференциях, что вызвало интерес специалистов и привлекло внимание к проблеме. Актуальным остаётся вопрос о виде уравнений, которые описывают распространение волн в среде насыщенной смесью газа и жидкости, находящимися в состоянии равновесия фаз.

Данная работа посвящена разработке метода вычисления волнового сигнала в сложно-построенной многослойной среде. Используется универсальная форма системы уравнений, которая учитывает частотную дисперсию свойств. Теоретическое решение задачи о волновом зондировании выявляет также частотную зависимость коэффициентов отражения на границе между слоями с различным насыщением и проницаемостью. Полные синтетические сейсмограммы получены для точно решаемой модели, заданной обобщёнными уравнениями Био, в том числе, с учётом явлений «второй» вязкости. Метод позволяет вычислять сейсмограммы и наблюдать эффекты, вызванные наличием выделенного слоя, для различных видов уравнений и моделей среды. Сравнение синтетических и экспериментальных наблюдений позволит проверять гипотезы о поведении среды и сделать правильный выбор количественной теории. Последнее позволит извлечь наибольшую информацию из реальных данных сейсмических измерений, т.е. решить обратную задачу в рамках выбранной теории.

Таким образом, речь идет о нелучевом описании волн в макро- и микронеоднородной1 гетерогенной среде. Микро-неоднородность является случайной - это различные флуктуации свойств, трещины, поры, вкрапления других кристаллитов, насыщение пор жидкостью. Классификация неоднородностей по масштабу, как известно, связана с минимальной длиной волны, для которой неоднородная среда еще остается прозрачной, т.е. волна может распространяться с некоторым надкритическим затуханием. Все неоднородности, имеющие размер меньше минимальной длины волны, можно считать микроскопическими и учитывать с помощью теории эффективных свойств (ЭС) [Шермергор, 1977], [Shapiro, 1999]. В результате микронеоднородная среда заменяется эквивалентной средой, которая имеет нетривиальные дисперсионные свойства. А именно, свойства эквивалентной среды, например, плотность и тензор упругости, зависят от частоты и волнового вектора. Последнее позволяет наблюдать резонансные и диссипативные явления присущие реальной среде [Чесноков, 2001]. Именно ЭС являются наблюдаемыми в эксперименте. Зная ЭС на низкой частоте и имея общие сведения о составе композита, можно решить многие обратные задачи о структуре гетерогенной среды [Баюк, 1999].

1 Переходная длина, разделяющая масштабы на макро- и микроскопические это минимальная длина волны в сейсмическом диапазоне частот.

Аналогично, двухфазная среда, состоящая из упругой проницаемой матрицы (скелета) и вязкой жидкости, описывается уравнениями М.А.Био [Вю1,1956,1962], где динамическое взаимодействие колеблющейся жидкости с матрицей описывается функцией частоты. В результате, среда Био обнаруживает частотную дисперсию скоростей и затухания волн и имеет большее число колебательных степеней свободы, по сравнению с обычной упругой средой. Наличие частотной дисперсии означает, что связь между напряжением и деформацией не локальна во времени, обычно такую связь задают сверткой, учитывающей предысторию деформации.

Если макро-неоднородностей в исходной среде нет, то полученные эффективные свойства не будут зависеть от координат и эквивалентная среда станет однородной. Если же в среде кроме микро-неоднородностей, существует еще макроскопическая неоднородность с масштабами больше минимальной длины волны, то в локальных свойствах, наряду с появлением дисперсии, сохранится зависимость от координат и эквивалентная среда останется неоднородной, но будет содержать только крупномасштабные неоднородности. Подчеркнем, что частотно-зависимые эффективные свойства есть не что иное, как учет микро-неоднородности или гетерогенного характера среды на малом масштабе длин. В конечном итоге, подлежащее решению волновое уравнение записывается для макро-неоднородной среды с дисперсией локальных свойств. Иначе говоря, коэффициенты волнового уравнения представляют собой операторы и задают свойства эквивалентной среды — эффективные свойства.

Мы рассмотрим два класса прямых задач о распространении волн и, соответственно, два метода решения волнового уравнения. Первый метод решения можно осуществить с помощью локализации неоднородности, если принять следующие тезисы, определяющие первый класс задач: (Главы 1,2)

Эквивалентная среда кусочно-однородная, т.е. эффективные свойства изменяются в пространстве лишь в малой окрестности поверхностей границ.

Решение ищется только для сечений функции Грина на границах раздела, а не для всего волнового поля. Для сечений выводится точное интегральное уравнение с пониженной кратностью интегрирования.

Если среда не кусочно-однородная, реализуется спектральный метод решения или метод нормальных волн со сложным законом дисперсии. Однако спектральный метод будет оправдан следующими условиями второго класса задач: (Глава 3)

- Эффективные свойства среды плавно изменяются в пространстве.

- Дисперсия любой нормальной волны имеет линейный коротковолновый предел. Компромисс между названными классами задач пока представляется достижимым при переходе к трехмерному интегральному уравнению, в первом методе, или при увеличении размерности спектральной задачи, во втором методе.

Решение задач первого класса (Глава 2) позволяет наблюдать волновой процесс в многослойной модели, в которой насыщение пор жидкостью и средний радиус поровых каналов, а, следовательно, дисперсия и затухание волн, могут быть заданы уникальными в каждом слое. Полученные здесь результаты позволят выяснить, насколько разнообразны условия, при которых возможно осуществить детектирование продуктивного слоя по данным волнового просвечивания. В третьей главе строится спектральный метод решения волнового уравнения в среде с плавным изменением свойств (второй класс прямых задач). Решается задача о нахождении волнового поля в среде со сложным законом дисперсии. Используется метод нормальных волн для моделирования и исследования волновых процессов в сложно построенных средах с трехмерной неоднородностью. Так как спектральный подход позволяет представить возбуждение в неоднородной среде в виде суперпозиции независимых нормальных волн, то задача сводится к поиску каждой отдельной нормальной волны. Каждая нормальная волна задается своим законом дисперсии. На основе принципа инвариантности относительно преобразований из группы Пуанкаре, получено скалярное уравнение для одной произвольно выбранной нормальной волны. Группа Пуанкаре рассматривается как группа асимптотической симметрии характеристик обобщённого волнового уравнения [Фущич, 1990]. Такая симметрия, в свою очередь, гарантирует выполнение принципа причинности в процессе распространения волн. Полученное уравнение является инвариантным обобщением уравнения Клейна-Гордона-Фока на случай сложного закона дисперсии. Найден вид решения полученного уравнения, позволяющий осуществить корректное численное моделирование.

Четвёртая глава посвящена решению задачи об определении эффективных динамических свойств случайно-неоднородной (в том числе гетерогенной) среды, при произвольной контрастности компонент или фаз. Достоверное теоретическое описание динамических свойств случайно-неоднородной, в том числе гетерогенной, среды становится важным для решения широкого класса прямых и обратных задач о распространении волн. Так, например, при спектральном анализе волновых (сейсмических) сигналов в резервуарах с преобладающей ориентацией трещин (включений) наблюдается частотно-зависимое расщепление поперечных волн и частотно-зависимое затухание волн всех типов поляризации.

Согласно первоначальному представлению, возможность постановки задачи об эффективных свойствах неоднородной среды диктуется тем классом задач, для которых исходная случайно-неоднородная среда (СНС) может быть заменена некоторой однородной эквивалентной средой, обладающей нетривиальными дисперсионными свойствами. Именно динамические свойства указанной однородной среды представляют интерес для исследования и носят название «эффективные свойства», так как они описывают поведение исходной СНС при распространении волн.

В настоящее время хорошо разработанной и дающей согласие с экспериментальными наблюдениями является теория эффективных динамических свойств, для плоскослоистой СНС, [Shapiro, 1999].

Для слабоконтрастной трехмерной неоднородности справедливо парное корреляционное приближение [Шермергор, 1977]. Корреляционное приближение представляет собой асимптотику общего метода построения средней функции Грина и эффективного оператора, при малой относительной величине флуктуаций локальных свойств СНС, т.е. при малой контрастности. Локальные свойства представляют собой случайные функции координат, следовательно, задание определенного вида или класса СНС возможно с помощью корреляционных функций, которые описывают статистическую связь между свойствами среды в различных точках пространства, а в общем случае, и в различные моменты времени.

С точки зрения общего метода, описание свойств СНС в теории упругости, основано на определении эффективного оператора Leff, связывающего среднее поле смещений U, возбужденное произвольным источником, и среднюю 4-дивергенцию тензора напряжений и плотности импульса — LU, по формуле:

LU = Leff U где L- волновой оператор для исходной СНС. Заметим, что в статическом случае результат действия волнового оператора на поле смещений может быть записан в виде трёхмерной дивергенции тензора напряжений. еГГ

Точное вычисление Ь , требует суммирования ряда с бесконечным числом слагаемых, которые исчерпывают все многоточечные корреляции в неоднородной среде. Таким образом, точное решение задачи об эффективных свойствах предполагает, что известны корреляционные функции всех порядков. В диссертационной работе рассмотрен способ задания общего вида п -точечной корреляционной функции, позволяющий суммировать названный ряд и найти эффективный оператор в аналитическом виде. Основные результаты четвёртой главы таковы:

- На основе общего определения выведено уравнение для эффективных динамических свойств микронеоднородной среды, в рамках теории упругости.

- Проведено суммирование ряда Дайсона для средней функции Грина случайно-неоднородной среды, в предположении о статистической однородности и факторизуемости многоточечных корреляционных функций.

- Найдено импульсное представление эффективного оператора исследуемой случайно-неоднородной среды. Эффективный оператор, согласно основному определению, связывает среднее поле смещений и среднюю дивергенцию тензора напряжений и плотности импульса.

- Исследованы дисперсионные ветви объемных волн в случайно-неоднородной среде (СНС). Получены зависимости скоростей и коэффициента затухания продольных и поперечных волн от частоты и направления, теоретические результаты согласуются с данными лабораторного эксперимента. б)

7?. рис.1 Эквивалентные схемы вертикально-неоднородной среды: а) с выделенным двухфазным слоем, в котором реализуется вязко-динамическое взаимодействие фаз, б) с выделенным микронеоднородным слоем, который представляет собой композит с упругим взаимодействием компонент, в) идеально-упругая слоистая среда, в которой слои различаются только толщиной, модулями упругости и плотностью.

Заключение диссертации по теме «Геофизика, геофизические методы поисков полезных ископаемых», Вихорев, Александр Андреевич

Основные результаты:

• Найдена универсальная форма волнового уравнения, обобщённого на случай анизотропной среды с частотной дисперсией эффективных свойств (ЭС). Разработаны оптимальные методы его решения для нелучевого описания волн в макро- и микронеоднородной гетерогенной среде.

• Исследована двухфазная модель Био, как среда с динамическим взаимодействием фаз и, следовательно, с частотной дисперсией ЭС.

• Решена прямая задача, которая позволяет наблюдать волновой процесс в многослойной модели, в которой относительный объём жидкости, её вязкость и средний радиус поровых каналов могут быть заданы уникальными в каждом слое, наряду с упругими свойствами и толщиной слоя. Моделирование волнового зондирования предсказывает эффект спектрального смещения импульсов, отражённых от верхней и от нижней границы насыщенного и проницаемого слоя.

• С помощью решения обобщённой системы уравнений Био создана программа для вычисления синтетических сейсмограмм в двухфазной и случайно-неоднородной среде. Построенная модель позволяет наблюдать каким образом, частотная дисперсия эффективных свойств среды проявляется в сейсмических измерениях. Предусмотрена возможность выбора частотного диапазона, обусловленного как свойствами самой среды, так и характеристиками приёмного тракта. Используемые уравнения описывают три основных причины возникновения частотной дисперсии: 1) рассеяние волн на случайных неоднородностях, в частности, зависящие от частоты затухание и анизотропию, 2) вязко-динамическое взаимодействие твёрдой и жидкой фаз, 3) эффекты второй вязкости, или более сложная реология насыщающей жидкости.

• В наиболее интересном случае, двухфазная модель Био предсказывает явления спектрального смещения импульсов, отражённых от границ между слоями с разной проницаемостью и насыщением. Причина подобного явления кроется в различной частотной зависимости эффективных свойств граничащих слоев, т.е. в частотно-зависимом контрасте слоёв, который имеет место в модели резервуара.

• На основе кратковременного спектрального анализа сигналов скорости и сравнения сигналов, измеряемых на поверхности и на фиксированной глубине, разработан алгоритм детектирования насыщенного жидкостью и высокопроницаемого слоя по данным сейсмического зондирования.

• Выведены формулы для расчёта эффективных динамических свойств случайно-неоднородной среды, заданной статистически-однородными корреляционными функциями. При выводе использовано предположение о факторизации многоточечных корреляционных функций. Исследованы дисперсионные ветви объемных волн в случайно-неоднородной среде. Получены зависимости скоростей и коэффициента затухания продольных и поперечных волн от частоты и направления. Теоретические результаты согласуются с данными лабораторного эксперимента.

Структура диссертации

Заключение

Цель работы

Целью диссертационной работы являлось развитие теоретического метода, позволяющего с единых позиций исследовать широкий класс задач о динамике микронеоднородной и гетерогенной среды. Развитый метод удалось применить к решению прямой задачи о распространении волн в двухфазной модели осадочных пород и, как следствие, разработать алгоритмы для обнаружения продуктивных пластов по данным сейсморазведки. Научная новизна

В данной работе показано, что благодаря общему определению, понятие эквивалентной среды с частотно-зависимыми свойствами, позволяет описать не только микронеоднородную, но и гетерогенную среду, с учётом относительного движения и взаимодействия фаз. Развиты методы моделирования волн в эквивалентной среде с непрерывным и скачкообразным изменением свойств в пространстве, включая трёхмерную неоднородность. Впервые решена задача об эффективных динамических свойствах случайно-неоднородной, а в общем случае, и гетерогенной среды в полном диапазоне частот. Практическая ценность

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Вихорев, Александр Андреевич, 2005 год

1. Ахиезер А.И., Ахиезер И.А. Электромагнетизм и электромагнитные волны: Учеб. пособие для вузов. М.: Высш. шк., 1985. 504 с.

2. Баскаков СИ. Радиотехнические цепи и сигналы. М,: Высш. шк.,1988, 448 с.

3. Баюк И.О., Чесноков Е.М. О возможности определения типа флюида в породеколлекторе.// Физика земли, 1999, №11, с.40-47

4. Боголюбов Н.Н., Ширков Д.В. Введение

5. Васильева А.Б., Тихонов Н.А. Интегральные уравнения. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1989. —156 с.

6. Вихорев А.А., Чесноков Е.М. Волновое поле в среде со сложным законом дисперсии. ДАН 2002, т. 386, №4, с.475-477.

7. Владимиров B.C. Уравнения математической физики., М:, Наука 1988,- 512 с.

8. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. М:, Изд-во МГУ, 1990. 310 с.

9. Кравченко В.Ф. Лекции по теории атомарных функций и некоторым их приложениям., М., Радиотехника, 2003, 512 с.

10. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая Физика: Учебное пособие. В 10 т. том VI. Гидродинамика. М., Наука. 1988. 736 с.

11. Николаевский В.Н. Механика пористых и трещиноватых сред. М.: Недра 1984. —232с.

12. Рапопорт М.Б., Рапопорт Л. И., Рыжков В. И. Поглощение и дисперсия скорости сейсмических волн в залежах углеводородов. 2-я Международная конференция SEG, Москва, 1993 г.

13. Рапопорт М.Б., Рапопорт Л.И., Рыжков В.И. Эффект сейсмической неупругости залежей углеводородов и его использование при поисках, разведке и эксплуатации нефтегазовых месторождений.// Геология, геофизика и разработка нефтяных месторождений, 8, 1997, с.19-23.

14. Славкин B.C., Арье А.Г., Копилевич Е.А. Оценка гидропроводности и потенциальной производительности продуктивных пластов в межскважинном пространстве по данным сейсморазведки. Геология нефти и газа 1997, 7

15. Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабупин М.И. Лекции по теории функций комплексного переменного., М:, Наука 1989-480 с.

16. Фущич В.И., Никитин А.Г. Симметрия уравнений квантовой механики. М:, Наука, 1990.-400 с.

17. Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред., М:, Наука 1977,-400 с. На английском языке:

18. Theory of propagation of elastic waves in a fluid-saturated porous solid.// J. Acoust.Soc.Am., vol.28, p. 168-191

19. Generalized Theory of Acoustic Propagation in Porous Dissipative Media.// The Journal Acoust. Soc. Am., v.34, 9, pp.1254- 1264

21. Seismic Properties of Pore Fluids. Geophysics, v.57, №11, pp. 1396-1408

22. Beresnev, I.A., Johnson, P. A. Elastic-wave stimulation of oil production: A review of methods and results.// Geophysics, 1994, vol. 59, pp. 1000-1017

23. Bayuk, Т.О. and Chesnokov, E.M., 2

24. Body Wave Velocity Dispersion In Layered Periodic Media. 9 IWSA. Houston, 26-31 March, 25-27, 56-58.

25. Chesnokov E.M., Queen J.H., Vikhorev A.A., et al Frequency dependent anisotropy.// SEG International Exposition and 71 Annual Meeting, San Antonio, September 9 14,2001 Expanded Abstracts, vol. I, ANI 1.9 24. Dai N., Vafidis A., Kanasewich E.R. Wave propagation in heterogeneous porous media: a velocity-stress, finite difference method. Geophysics, 1995, vol. 60, p.327340

26. Laboratory tests on artificial rocks with controlled crack parameters.// International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences. April 1997, vol. 34, no. 3, pp. 405-405(1)

27. Fjaer, E., Suarez-Rlvera, R. 1998: Fracture size determined from amplitude data.// Extended Abstract, 60th EAGE Conference and Technical Exhibhion, Leipzig, 8-12 June, 10-30.

28. Gurevich В., Lopatnikov S.L. Velocity and attenuation of elastic waves in finely layered porous rocks.// Geophysical Journal International 1995, v.l21, 3 pp.933-947

29. Gurevich В., Sadovnichaja A.P., Lopatnikov S.L., Shapiro S.A. Scattering of a compressional wave in a poroelastic medium by an ellipsoidal inclusion. Geophysical Journal Intemational 1998, v.133, 1 pp. 91-103

30. Rathore J.S., Fjaer E., Holt R.1VI., Renlie L., 1995, P- and S- wave anisotropy of a synthetic sandstone with controlled crack geometry.// Geophysical Prospecting, 1995, v.43,p.711-728

31. Rapoport, M.B., Rapoport L.I., Ryjkov, V.I., 1992, Usage of seismic waves absorption method in exploration of hydrocarbons: Abstract of papers, 54 EAEG Meeting, Paris.

32. Rapoport, M.B., Rapoport L.I., Ryjkov, V.I., Parnikel V.E., Kately V.A., 1994, Method AVD (АЬ50ф1{оп and Velocity Dispersion): Testing and Using on the oil deposit in Western Siberia, Abstract of papers, 56 EAEG Meeting, Vena.

33. Ryjkov, V.I., Rapoport, M.B., 1994, Study of a seismic inelasticity from VSP: Abstract of papers, 56 EAEG Meeting, Vena.

34. Rapoport, M.B., and Ryjkov, V.I., 1994, Seismic velocity dispersion: An indicator of hydrocarbons: Abstracts of papers, 64 SEG Meeting, Los Angeles.

35. Rapoport, M.B., Ryjkov, V.I., Rapoport, L.I., Girshgorn, L.Sh., etc., 1995, Inteфretation of seismic inelasticity effects in oil and gas prospecting., 65th Ann. Intemat. Mtg., SEG.

36. Suarez-Rivera R.; Nakagawa S.; Myer L.R., Determination of rock elastic properties from acoustic measurements of rock fragments.// International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences, April 1997, vol. 34, no. 3, pp. 401-401(1)

37. Santos J.E., Douglas J., Corbero J.M., Lovera O.M. 1990. A model for wave propagation in a porous medium saturated by a two-phase fluid.// Acoust. Soc. Am 87:1439-1448,1990.

38. Shapiro S.A., Hurbal P. Elastic Waves in Random Media. Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1999.-187 p.

39. Tsiklauri D., Beresnev I., Non-Newtonian effects in the peristaltic flow of a Maxwell fluid.// Phys. Rev. E, 64,036303-1-5 (2001).

40. Tsiklauri D., Beresnev I. Properties of Elastic Waves in a non-Newtonian (Maxwell) Fluid-Saturated Porous Medium.// Transport in Porous Media, v. 53, p. 39-50 (2003) http://arxiv.Org/abs/physics/0107078 http://arxiv.org/PS cache/phvsics/pdf/0107/0107078.pdf

41. Tsiklauri D., Beresnev I. Enhancement in the dynamic response of a viscoelastic fluid flowing through a longitudinally vibrating tube.// Phys. Rev. E, 63, 046304-1-4 (2001) http://arxiv.org/PS cache/phvsics/pdf/0107/0107077.pdf

42. Tsiklauri D. Phenomenological model of propagation of the elastic waves in a fluidsaturated porous solid with non-zero boundary slip velocity.// arXiv:physics/0201045 v2, 28 May 2002. http://arxiv.org/PS cache/phvsics/pdf/0201/0201045.pdf

43. Vikhorev A., Chesnokov E., Lamb W. The reflection coefficients for two halfspaces: elastic and Biot type media. SEG International Exposition and 73 Annual Meeting,, Dallas, October 2 4 3 1 2003 Expanded Abstracts, RCT P1.6

44. Vikhorev A.A., Mike Ammerman, Chesnokov E.M. Reflection of elastic waves in the layered Biot medium 3 Biot Conference on Poromechanics, Norman, Oklahoma, USA, May 2 4 2 7 2005