Распространение термоупругих волн в среде с учетом релаксации теплового потока тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат наук Бабенков, Михаил Борисович

• Бабенков, Михаил Борисович
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Бабенков, Михаил Борисович

Содержание

Введение

1 Анализ волновых процессов в задачах теплопроводности гиперболического типа

1.1 Уравнение теплопроводности гиперболического типа

1.2 Волновые процессы в полупространстве, возникающие при тепловом воздействии на границе

1.2.1 Тепловой поток на границе зависит от времени как 6-функция Дирака

1.2.2 Тепловой поток на границе зависит от времени как функция Хевисайда

1.3 Волновые процессы в слое, возникающие под воздействием внутренних источников тепла

1.3.1 Мощность внутренних источников зависит от времени как ¿-функция Дирака

1.3.2 Мощность внутренних источников зависит от времени как функция Хевисайда

1.4 Заключение

2 Анализ дисперсионных соотношений в связанной задачи термоупругости гиперболического типа

2.1 Сводка основных уравнений связанной задачи термоупругости

2.2 Анализ дисперсионных соотношений

2.3 Фазовая и групповая скорость в термоупругой среде

2.4 Распространение плоских гармонических волн в термоупругом

полупространстве

2.4.1 Анализ графиков термических и акустических волн

2.5 Заключение

3 Анализ волновых процессов в задачах термоупругости гиперболического типа

3.1 Уравнение движения несвязанной термоупругости

3.2 Перемещения в слое, возникающие под воздействием внутренних источников тепла в несвязанной термоупругости

3.2.1 Границы слоя закреплены

3.2.2 Границы слоя свободны от нагрузок

3.3 Температура и перемещения в слое, возникающие под воздействием короткого лазерного импульса в связанной задаче термоупругости

3.4 Заключение

Заключение

Литература

Список рисунков

Список таблиц

А Приложение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Распространение термоупругих волн в среде с учетом релаксации теплового потока»

Введение

Актуальность .темы исследования. Исследование волнового переноса тепла актуально для многих развивающихся технологий. Внутренние источники наноразмерного масштабного уровня (например, размер современного транзистора составляет всего несколько нанометров) вызывают более интенсивный рост температуры, чем предсказывает классическая теория, что повышает требования к будущим системам охлаждения. Температурные эффекты вносят значительные изменения в механические свойства нанопластин, так как чем тоньше пластина, тем она чувствительнее к изменениям температуры. Исследования процессов волнового переноса тепла могут быть полезны для изучения термомеханических характеристик объектов микро- и нано- масштабного уровня: тонких пластин и стержней, используемых в микро- и нано- электромеханических устройствах (MEMS и NEMS).

Область применимости классического уравнения теплопроводности ограничена тем, что оно не позволяет учесть конечную скорость распространения температурных возмущений. Широко известно, что классическому уравнению теплопроводности свойственны некоторые парадоксы, например: бесконечная скорость распространения тепла и бесконечный поток тепла в начальный момент времени.

Для получения более точных результатов в задачах, где учет скорости распространения тепла становится актуальным, например: в задачах нагревания металлов короткими лазерными импульсами, высоких скоростей движения источников тепла и быстрого движения границ фазового перехода, при рассмотрении систем, размеры которых сопоставимы с расстоянием свободного пробега частиц (например электронов, фононов) или если характерные времена процессов имеют порядок величины релаксации теплового потока в среде, использу-

ют гиперболическое уравнение теплопроводности на основе обобщенного закона Фурье.

Обзор литературы. Обобщенный закон Фурье был предложен в работах авторов: С. Cattaneo [1], P. Vernotte [2], A.B. Лыкова [3]. В отличии от классического закона, он учитывает инерционность процессов теплопереноса, которая характеризуется постоянной релаксации теплового потока.

Экспериментальным определением величин релаксации теплового потока занимались: R.H. Matsunaga, I. Santos [4], W. Kaminski [5], К. Mitra et. al. [6], A. Grabmann, F. Peters [7], H. Herwig, K. Beckert [8], W. Roetzela et. al. [9]

Известны другие, более сложные модели теплопроводности, имеющие в линейном приближении конечную скорость распространения тепловых возмущений [10-12]: модели с тепловой памятью [13], учитывающие историю нагревания тела; модель [23], учитывающая времена запаздывания теплового потока и градиента температуры и т.д. Обзор моделей теплопроводности представлен в [10].

Связанная термоупругость, в которой вместо классического закона теплопроводности Фурье используется обобщенный закон Фурье (закон Каттанео-Вернотте) была впервые предложена в работе Е.Б. Попова [15], позже была предложена более общая модель связанной гиперболической термоупругости: Н. Lord, A. Shulman [16]. Термоупругость Лорда-Шульмана (LS) является предметом изучения в данной работе. На сегодняшний день существует ряд других теорий термоупругости, учитывающих в линейном приближении конечность скорости распространения тепла: термоупругость Грина-Линдси (GL), Грина-Нагди второго типа (GNII) и третьего типа (GNIII), среды с тепловой памятью. Автором D.S. Chandrasekharaiah выполнен широкий обзор по данной тематике [11,12]. В статье J. Ignaczak [17] подробно обсуждается применимость гиперболической модели к описанию процессов теплопереноса. Обзор экспериментальных работ приведен в книге А.Г. Шашков, В.А. Бубнов, С.Ю. Яновский [20].

Приведем список авторов, занимавшихся исследованием плоских стационарных гармонических волн, распространяющихся полупространстве (LS мо-

дель термоупругости): A.H. Nayfeh, S. Nemat-Nasser [19], Ю.К. Энгельбрехт [85], P. Puri [25], И.М. Штер [26], Ф.В. Семерак [27], Ц. Иванов, Ю.К. Энгельбрехт [28], Р.Х. Швец, A.A. Лопатьев [29]. В перечисленных работах получены и проанализированы асимптотические выражения для фазовых скоростей и коэффициентов затухания квазиупругой и квазитепловой волн при больших и малых значениях частот. Установлено, что фазовые скорости и коэффициенты затухания с ростом частоты выходят на асимптоту, в отличии от классической термоупругости, где они неограниченно возрастают. V.K. Agarwal [30] обобщает результаты P. Puri [25] на термоупругость GL типа. Результаты некоторых из перечисленных исследований приводятся в книгах: А.Г. Шашков, В.А. Бубнов, С.Ю. Яновский [20], А.Д. Коваленко [31], Я.С. Подстригач, Ю.М. Коляно [32]. Исследованием дисперсионных соотношений в рамках классической связанной термоупругости (СТЕ) занимались Р. Chadwick, I.N. Sneddon [33].

В данной диссертации получены и исследованы точные выражения для зависимостей от частоты волнового числа, коэффициента затухания и фазовых скоростей квазиупругой и квазитепловой волн.

Приведем список авторов работ в которых на основании гиперболического уравнения теплопроводности (LS типа) исследуется распределение температуры в полупрозрачной среде, находящейся под воздействием лазерного импульса. Лазерный импульс моделируется источниками тепла распределенными в объеме, рассматривается одномерный случай: K.L. Baumeister, T.D. Hamill [34] В. Vick, M.N. Özisik [35], D.W. Tang, N. Araki [36,37]. В следующих работах для описания пространственного распределения источников тепла используется закон Бугера: M. Lewandowska [79], D. Zhang et al. [38], T.T. Lam, E. Fong [39], H. Al-Qahtani, B.S. Yilbas [40], B.S. Yilbas, A.Y. Al-Dweik [41]. Во всех вышеперечисленных работах использованы граничные условия термоизоляции.

В книге А.Г. Шашков, В.А. Бубнов, С.Ю. Яновский [20] приводится системно-структурный анализ L-изображений температуры в задачах теплопроводности как с тепловым воздействием на границе, так и с распределенными в объеме источниками тепла при различных граничных условиях: первого рода, термоизоляции, обмена теплом с окружающей средой по закону Ньютона,

теплового контакта. В книге В.А. Ковалева, Ю.Н. Радаева [43] представлено исследование гиперболической термоупругости Грина-Нагди (GNI/CTE, GNII, GNIII) с позиций теории поля. В книге Д. Жоу, X. Касас-Баскес, Дж. Лебон [10] приведено общее решение неоднородного уравнения Каттанео-Вернотте, сделан обзор работ, посвященных задачам гиперболической теплопроводности и теоретическим основам неклассического теплопереноса. В книге В.А. Кудинов, И.В. Кудинов [42] подробно исследовано решение задачи гиперболической теплопроводности для бесконечного слоя при симметричных граничных условиях первого рода, построены графики решения. В книге Ф.М. Морс, Г. Фешбах [44] рассматривается нестационарное нагревание пластины внутренними распределенными источниками тепла с однородными граничными условиями первого рода в рамках классической модели теплопроводности. Как отмечают авторы, решение данной задачи находит применение для описания нестационарного распределения температуры в металлической полосе, нагреваемой переменным током и погруженной в среду с большой теплопроводностью.

Следующие авторы использовали гиперболическую термоупругость LS типа для исследования температурных напряжений, возникающих в полупространстве вследствие внезапного нагревания границы (одномерный случай): F.R. Norwood, W.E. Warren [45], Г.А. Кильчинская [46], А.Н. Nayfeh, S. Nemat-Nasser [47], M. Baila [48], P.M. Jordan, P. Puri [49], I.A. Abdallah [50], N. Sarkar [51], E.F. Henain et al. [52].

Ниже приведен список авторов, рассматривавших задачи термоупругости LS типа в полупространстве с распределенными в объеме источниками (одномерный случай). Для описания пространственного распределения источников тепла в каждой работе используется закон Бугера. J.C. Strikwerda, A.M. Scott [53] используют в своем исследовании граничные условия термоизоляции, граница полупространства свободна от механических нагрузок. Решение для напряжений и температуры получено в приближении для малых значений постоянной релаксации теплового потока, построена асимптотика для больших и малых времен. X. Wang, X. Xu [54,55] в отличии от предыдущих исследователей, получают решение для широкого диапазона значений времени и постоян-

ной релаксации теплового потока. Н.М. Youssef, A.S. Al-Felali [56] рассматривая ту же задачу, ставят граничные условия первого рода на температуру, граница полупространства в рассматриваемой ими задаче закреплена.

В данной диссертации исследуется задача термоупругости LS типа в слое, находящемся под воздействием лазерного импульса, затухающего с удалением от границы по закону Бугера. Использованы однородные граничные условия первого рода на температуру, границы слоя свободны от механических нагрузок.

Экспериментальным исследованием термоупругих напряжений при неравновесных процессах теплообмена занимались: Н.В. Вовненко, Б.А. Зимин, Ю.В. Судьенков [57-60], K.V. Poletkin, G.G. Gurzadyan, et al. [61], O.B. Wright et al. [62,63] и др.

Целью данной работы является изучение поведения термоупругой среды, описываемой уравнениями Лорда-Шульмана, под воздействием периодических и импульсных возмущений. Задачи исследования:

1. Исследовать распространение термоупругих волн в широком диапазоне значений постоянной релаксации теплового потока. Данная задача представляется актуальной, поскольку теоретическая оценка постоянной релаксации в металлах, согласно фононной теории, составляет несколько пикосекунд (10-12с). В то время как экспериментальные данные дают разброс результатов, отличающихся от теоретической оценки на несколько порядков: от 10_8с до 10~ис.

2. Дать рекомендации по экспериментальному определению постоянной релаксации теплового потока, основываясь на результатах проведенного исследования. По причине расхождения экспериментальных данных между собой, можно предположить, что существующие методы экспериментального определения релаксации теплового потока нуждаются в дальнейшем усовершенствовании.

3. Сравнить две модели импульсного лазерного воздействия на среду. Первая модель: среда нагревается источниками тепла, заданными на границе, вторая модель: среда нагревается источниками тепла распределенными в объеме.

4. На примере высокоскоростного теплового воздействия установить насколько заметные поправки вносит учет связанности в решения динамических задач гиперболической термоупругости.

Научную новизну работы представляют следующие положения, выносимые на защиту:

1. В задаче гиперболической термоупругости впервые предложена параметрическая форма представления выражений для зависимости волнового числа, коэффициента затухания, фазовых и групповых скоростей от частоты. Получены аналитические формулы для горизонтальных и наклонных асимптот дисперсионных кривых.

2. В результате анализа характера поведения дисперсионных соотношения в зависимости от времени релаксации т обнаружено, что существует такое то, что при т < го и при г > то характер дисперсионных соотношений качественно отличается. Величина то выражена через термомеханичкеские параметры среды.

3. В задаче гиперболической теплопроводности для полупрозрачного слоя, облучаемого коротким лазерным импульсом, найдено условие существования участка охлаждения.

4. Установлено, что в задаче гиперболической термоупругости могут быть два участка охлаждения, в то время как в гиперболической теплопроводности и классической термоупругости — не больше одного участка охлаждения.

5. Обнаружено, что если постоянная релаксации теплового потока меньше установленного значения, то квазитермические составляющие распро-

_

страняются быстрее квазиакустических. Если релаксация теплового потока больше данного значения, то квазиакустические составляющие распространяются быстрее.

6. Установлено, что при скоростях воздействия, при которых необходим учет гиперболичности, принципиально важным является учет связанности.

Практическая и теоретическая значимость работы. Практическую значимость представляет исследование задач гиперболической термоупругости и теплопроводности с распределенными источниками тепла и интенсивным тепловым потоком на границе, что может помочь прогнозировать процессы теплообмена на наноразмерном масштабном уровне, осуществлять эффективное охлаждение логических элементов (нанотранзисторов). Исследование связанных задач термоупругости дает возможность предсказывать реакцию деталей MEMS и NEMS на термическое воздействие, оценивать их работоспособность. Результаты исследования задачи связанной гиперболической термоупругости о взаимодействии лазера и слоя конечной толщины могут быть использованы для бесконтактного определения термомеханических свойств нанообъектов.

Теоретическую значимость представляет исследование волновых эффектов в широком диапазоне термомеханических параметров, что позволяет описывать динамические явления термоупругости в метаматериалах. Результаты исследования зависимости волнового числа и коэффициентов затухания термоупругих волн от частоты могут быть полезны для экспериментального определения постоянной релаксации теплового потока.

Методы исследования. Основные результаты работы получены аналитически с использованием широко известных методов математической физики: метода Эйлера, метода функций Грина, метода преобразования Лапласа и метода Гринберга.

Достоверность и апробация результатов. Достоверность изложенных в работе результатов обусловлена строгостью формулировок задач математической физики, использованием фундаментальных принципов механики, а также сравнением с результатами, полученными ранее. Основные резуль-

и

таты работы доложены на: XLI, XL и XXXVIII International Summer School Conference «Advanced Problems in Mechanics» (Россия, С.-Петербург, 2013, 2012 и 2010 гг.), International Conference «Days on Diffraction» (Россия, С.-Петербург, 2013 и 2012 гг.), VI Поляховские чтения (Россия, С.-Петербург, 2012), 2nd International Conference on Material Modelling (Франция, Париж, 2011), на Санкт-Петербургском Семинаре по Вычислительной и Теоретической Акустике Научного Совета РАН по Акустике (руководитель проф. Д.П. Коузов, С.Петербург, 2009, 2010, 2011 и 2012 гг.), на Городском семинаре по механике (руководитель чл.-корр. РАН, проф. Д.А. Индейцев, С.-Петербург, 2013 г.)

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 10 печатных изданиях, 3 из которых опубликованы в журналах, рекомендованных ВАК [64-66], 7 — в сборниках тезисов докладов.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и приложения. Полный объем диссертации 102 страницы текста с 26 рисунками и 3 таблицами. Список литературы содержит 93 наименований.

Глава 1

Анализ волновых процессов в задачах теплопроводности гиперболического типа

1.1 Уравнение теплопроводности гиперболического типа

При достаточно малых временах протекания процессов теплопроводности целесообразно [10] использовать обобщенный закон Фурье (закон Каттанео-Вернотте):

тЬ + Ь = -ЛУГ (1.1)

где т — постоянная релаксации теплового потока, точкой обозначается производная по времени t,h. — вектор теплового потока, V — оператор Гамильтона, Т — отклонение от отсчетной температуры То; точкой обозначается производная по времени От классического закона Фурье, закон Каттанео-Вернотте отличается учетом постоянной релаксации теплового потока т, наличие которой означает, что тепловой поток не возникает и не исчезает мгновенно с появлением или исчезновением градиента температуры [10]. От величины т зависит скорость распространения тепловых возмущений в среде: с = уЛ/{рС^т). Значения постоянной релаксации варьируется в пределах от 10-12с до 10_8с для однородных материалов в различном агрегатном состоянии [70]. В случае, если временной масштаб эксперимента сравним со временем релаксации в материале, то рекомендуется [10] использовать обобщенный закон Фурье.

Рассмотрим теплопроводящую, недеформируемую среду. Тогда уравнение баланса энергии имеет вид:

р(/= _у-Ь + /?д (1.2)

Здесь р — плотность материала, и - плотность внутренней энергии, д - скорость подвода тепла в объем. Без учета деформаций в среде связь внутренней энергии и температуры формулируется следующим образом:

и = СУТ (1.3)

где Су — удельная теплоемкость при постоянном объеме. Используя обобщенный закон Фурье (1.1), можно записать систему дифференциальных уравнений относительно температуры и вектора теплового потока [74]:

(1.4)

Ь + тЪ. = -АУТ

Начальные условия для системы (1.4) имеют вид :

Г|,=0 = /(5); Ь|4=0 = е(в); (1.5)

где в - радиус-вектор, определяющий пространственное положение точек среды.

Путем исключения из системы (1.4) вектора теплового потока получается уравнение относительно температуры:

рСу(Т + тТ) - ХАТ = р{д + те/) (1.6)

Уравнение (1.6) является частным случаем телеграфного уравнения, описывающего распространения волн с потерями. Его предельными случаями являются классическое уравнение теплопроводности, если слагаемым тЬ можно пренебречь и волновое уравнение, если т|11| |11|.

Дополнительное начальное условие на первую производную температуры по времени находится из известного значения теплового потока в момент времени £ = 0 и первого уравнения системы (1.4). Сформулируем начальные условия

для уравнения (1.6):

т|_, = "¿V • g + Г|(_0 = /(в); (1.7)

Начальное условие на тепловой поток является альтернативой условию на скорость нагрева Т. При контактном способе измерения температуры, определение Т затруднено, так как снятие показаний осуществляется после достижения термодинамического равновесия, при неизменности значения температуры во времени. Существует ряд других способов измерения температуры. Одним из них является метод лазерной термометрии, который позволяет проводить регистрацию температуры и теплового потока как на поверхности, так и в объеме образца бесконтактным способом. Данный метод позволяет осуществлять наблюдение за неравновесными процессами теплопереноса благодаря высокому разрешению по времени (порядка 10-12с) и координате (порядка 10-3м). Разрешающая способность по температуре оценивается величиной ~ 0.3°С [75], [76].

Зададим значение температуры на границе díl:

= (i-»)

Для однозначного нахождения распределения температуры, вместо (2.36) можно задать проекцию вектора теплового потока на нормаль к границе области Ü:

hn\dü = ip{t,s); sedü (1.9)

где hn = n • h - проекция вектора теплового потока h на нормаль п к <9Г2. В описанном случае, когда граничные условия ставятся на тепловой поток, может оказаться удобнее сначала найти h(s,t), исключив из системы (1.4) температуру. Получится уравнение относительно вектора теплового потока, аналогичное (1.6):

pCv(h + rh) - AVV • h = ApVq (1.10)

Дополнительное начальное условие для h можно найти из второго уравнения системы (1.4). Выпишем начальные условия для уравнения (1.10):

bU = -V/-iE hU = g(s); (1.11)

Проинтегрировав первое уравнения системы (1.4) по времени, можно получить значения температуры:

г

о

1.2 Волновые процессы в полупространстве, возникающие при тепловом воздействии на границе

Рассмотрим материал, занимающий полупространство: 0 < в < +оо. Внешние объемные воздействия, как тепловые, так и механические, отсутствуют, так что процесс распространения тепла описывается однородным уравнением теплопроводности. После введения новых переменных «иг/, которые связаны со временем t и координатой в следующим образом: к = 8л/рСь/(Хт) и у — £/т, уравнение для теплового потока (1-Ю) примет вид:

= ^ (1.13)

Штрихами обозначена производная по координате к. На бесконечности значение теплового потока ограничено, при к = 0 температура является заданной функцией времени. Ниже исследуется процесс распространения волн при ступенчатых и импульсных тепловых воздействиях.

1.2.1 Тепловой поток на границе зависит от времени как ¿-функция Дирака

Пусть начальные условия для теплового потока (1.11) являются однородными:

ли = 0; ли = (1Л4)

Зададим на границе полупространства к = 0 значение теплового потока, зависящего от времени как ¿»-функция Дирака:

Л|и=0 = - о)

(1.15)

Множитель Но добавлен для сохранения размерности. Решение задачи (1.13)—

Рисунок 1.1: Воздействие на границе полупространства — ¿»-функция Дирака. Профили волн при разных значениях времени £ = т, 2т, Зт, 6т, 8т, Ют секунд; (а) — профиль волны, соответствующей волновому уравнению

(одинаковый при всех £); (Ь) — профили "волн", соответствующих параболическому уравнению; (с), (с!) — профили волн, соответствующие гиперболическому уравнению теплопроводности

(1.14), полученное с помощью преобразования Лапласа [74], [77], имеет вид:

5 [у - к) +

к

(1.16)

где 1\ - модифицированная функция Бесселя первого рода. Для краткости вместо V — 0 в выражениях для температуры и теплового потока здесь и далее будем писать V (данная замена сдвигает графики решения в начало координат

по времени). Используя (1.12), получим распределение температуры в полупространстве:

V

Т(«,!/) = - У (1.17)

о

На рис. 1.1с и 1. Id представлены профили тепловых волн (1.17), построенные при различных значениях времени.

Рассмотрим предельные случаи. Решение задачи (1.15)—(1.14) для волнового уравнения имеет вид (рис. 1.1а):

Т(к, и) — hod {у — к) (1.18)

В случае классической теплопроводности решение выглядит так:

= (1.19)

Волновой фронт в решении (1.19) отсутствует. На рис. 1.1b представлены профили решения (1.19), построенные при различных значениях времени.

Сравнив рис. 1.1а и 1.1с легко увидеть сходство и различие между решениями гиперболического и волнового уравнения. Для обоих уравнений фронт волны представляет собой ¿'-функцию. В случае волнового уравнения решение отлично от нуля только на фронте. В случае гиперболического уравнения между началом координат и фронтом находится волновой профиль, который с ростом времени становится похож на решение классического уравнения. Различия между решениями гиперболического и классического уравнений заметны при временах порядка времени релаксации теплового потока т.

1.2.2 Тепловой поток на границе зависит от времени как функция Хевисайда

На границе полупространства к = 0 задано значение теплового потока, зависящего от времени как функция Хевисайда:

Г 1, I/ > О

h\K=0 = h0H(v-0), Н{и) =

О, и < О

Начальные условия на тепловой поток (1.11):

(1.21)

Решение задачи (1.13), (1.20), (1.21), полученное с помощью преобразования Лапласа, имеет вид [34]:

к(к, и) = Ио (ехр (-£) + | £ Л Н(у — к)

(1.22)

Используя (1.17), получим распределение температуры в полупространстве. На рис. 1.2с и 1.2с1 представлены профили волн, соответствующие найденным значениям температуры. Рассмотрим два предельных случая — волно-

ГК т

Рисунок 1.2: Воздействие на границе полупространства — ступенчатая функция. Профили волн при разных значениях времени £ = т/2, т, Зт/2, 3т, 4т, 5т секунд; (а) — профиль волны, соответствующей волновому уравнению (одинаковый при всех £); (Ь) — профили "волн", соответствующих параболическому уравнению; (с), (с!) — профили волн, соответствующие гиперболическому уравнению теплопроводности

вое уравнение и классическое уравнение теплопроводности. В случае волнового

уравнения решение задачи выглядит так (см. рис. 1.2а):

Т(к, ту) = Ы)Н{1/-к) (1.23)

Классическая постановка задачи теплопроводности приводит к следующему решению (в безразмерных переменных):

Т{к, и) = Л, (2 ехр (-£) ^ - ег& «) (1.24)

где ег!:с(,г) - дополнительная функция ошибок:

г

ег!с(г) = 1--т= /

v ^ j

о

Характерной особенностью классической теплопроводности является отсутствие волнового фронта. На рис. 1.2Ь представлены профили "волн", соответствующих выражению (1.24), построенные при различных значениях времени. При всех значениях времени профиль "волны" выглядит одинаково, но при меньших временах график раньше приближается к оси абсцисс.

Сравнивая рисунки 1.2а и 1.2с видим, что при малых временах решение гиперболического уравнения похоже на решение волнового уравнения: профиль волны близок к ступеньке. При больших временах решение гиперболического уравнения больше похоже на решение параболического уравнения: перепад температуры на фронте быстро уменьшается, отдаляясь от границы среды.

1.3 Волновые процессы в слое, возникающие под воздействием внутренних источников тепла

Рассмотрим лазерное воздействие на слой толщиной I. На наномасштаб-ном уровне величина проникновения лазерного излучения в среду может оказаться существенной даже для непрозрачных материалов, следовательно для моделирования поглощения веществом лазерного излучения можно воспользоваться законом Бугера. Согласно закону Бугера, интенсивность параллельного

пучка монохроматического света при прохождении через вещество убывает экспоненциально:

Цз) - /ое"* (1.25)

где б - расстояние от края слоя, /о - интенсивность света на входе в поглощающий слой, (3 - коэффициент поглощения вещества. Если интенсивность корот-

I?

0 /

-

Рисунок 1.3: Задача гиперболической теплопроводности для полупрозрачного

слоя

кого лазерного импульса поглощается средой по закону Бугера, то мощность внутренних источников можно представить в виде:

ф, г) = Щг - о)е~/3в (1.26)

Здесь ¿-функция аппроксимирует временной профиль короткого лазерного импульса, более точной формой которого является распределение Гаусса.

1.3.1 Мощность внутренних источников зависит от времени как (5-функция Дирака Теплоизолированный слой

Для краткости записи введем новые обозначения. Поток тепла /г, координата в, температура Т, коэффициент поглощения (3 и ширина пластины / связаны с новыми обозначениями следующим образом:

Дифференциальное уравнение относительно теплового потока (1.10) будет выглядеть так:

Г} + Т1]-Т}" = 7- 0)е_7? (1.28)

Граничные условия для уравнения (1.28) записываются следующим образом:

чи = чЦ = С1-29)

Начальные условия (1.11) для теплового потока в новых обозначениях имеют вид:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Бабенков, Михаил Борисович, 2013 год

Литература

[1] С. Cattaneo A form of heat conduction equation which eliminates the paradox of instantaneous propagation, //Compte Rendus N.247, 1958, P.431-433.

[2] P. Vernotte Les paradoxes de la theorie continue de lequation de la chaleur. //CR Acad. Sei, N.246(22), P.3154-3155, 1958.

[3] Лыков A.B. Теория теплопроводности /«Высшая школа», М., 1967.

[4] R.H. Matsunaga, I. Santos Measurement of the Thermal Relaxation Time in Agar-gelled Water, P.5722-5725, 34th Annual International Conference of the IEEE EMBS San Diego, California USA, 28 August - 1 September, 2012

[5] W. Kaminski Hyperbolic heat conduction equation for materials with a non-homogeneous inner structure,// ASME J. Heat Transfer N.112, 1990, P.555-560.

[6] K. Mitra, S. Kumar, A. Vedavarz, M.K. Moallemi Experimental evidence of hyperbolic heat conduction in processed meat, //ASME J. Heat Transfer N.117, 1995, P.568-573.

[7] A. Grabmann, F. Peters Experimental investigation of heat conduction in wet sand, //Heat Mass Transfer N.35, 1999, P.289-294.

[8] H. Herwig, К. Beckert Experimental evidence about the controversy concerning Fourier or non-Fourier heat conduction in materials with a non-homogeneous inner structure, //Heat Mass Transfer N.36, 2000, P.387-392

[9] W. Roetzela, N. Putra, S.K. Das Experiment and analysis for non-Fourier conduction in materials with non-homogeneous inner structure, //International Journal of Thermal Sciences N.42, 2003, P.541-552

[10] Жоу Д. Расширенная необратимая термодинамика / Жоу Д., Касас-Баскес X., Лебон Дж. Москва-Ижевск, 2006.

[11] D.S. Chandrasekharaiah Hyperbolic thermoelasticity: A review of recent literature, D.S. Chandrasekharaiah, //Appl. Mech. Rev., N.51, 1998, P.705-729.

[12] D.S. Chandrasekharaiah Thermoelasticity with Second Sound: A Review, //Applied Mechanics Reviews, N.39(3), 1986.

[13] C.C. Wang The principle of fading memory // C.C. Wang, Arch. Rat. Mech. Anal., N.18, 1964, P.343-366.

[14] D. Y. Tzou Macro-to-Microscale Heat Transfer. The Lagging Behaviour, /D.Y. ТЬэи, 1997, Taylor and Francis, New York

[15] Попов Е.Б. Динамическая задача термоупругости для полупространства с учетом конечности скорости распространения тепла. // Попов Е.Б., ПММ 1967. Т.31, №2, С. 328-334.

[16] Я. Lord A generalized dynamical theory of thermoelasticity // H. Lord, Y. Shulman, J. Mech. Phys. Solids., N.15, 1967, P.299-309.

[17] J. Ignaczak Linear Dynamic Thermoelasticity: A Survey, //The Shock and Vibration Digest N.13(9), 1981, P.3-16.

[18] Andrew M. Bruckner, Real Analysis, 2007

[19] A. Nayfeh, S. Nemat-Nasser Thermoelastic Waves in Solids with Thermal Relaxation, Acta Mechanica, N.12, P.53-69, 1971

[20] Шашков А.Г. Волновые явления теплопроводности. Системно-структурный подход / Шашков А.Г., Бубнов В.А., Яновский С.Ю. Минск.: Наука и техника, 1993.

[21] Некрасов А.И. Диффузия вихря. Собрание сочинений в 2 т. / Некрасов А.И. М.: Изд-во АН СССР, 1961. Т.1.

[22] T.Q. Qiu, C.L. Tien Short-pulse laser heating on metals // Int. J. Heat Mass Transfer N.35, 1992, P.719-726.

[23] D. Y. Tzou On the thermal shock wave induced by a moving heat source //International Journal of Heat and Mass Transfer N. Ill, 1989, P. 232-238.

[24] Соболев С. JI. Процессы переноса и бегущие волны в локально- неравновесных системах. // Соболев С.Л., Усп. Физ. Наук 1991. Т.161, №3, С. 5-29.

[25] P. Puri Plane Waves in Generalized Thermoelasticity, //Int. J. Eng. Sci., N.ll, 1973, P.735-746.

[26] Штер И.М. Плоские гармонические волны в неограниченной термоупругой среде с конечной скоростью распространения тепла. //ИФЖ, 1973, Т.24, 4, С.750-755.

[27] Семерак Ф.В. Исследование гармонических волн в термоупругих средах с учетом конечной скорости распространения тепла. В кн.: Математические методы и физико-механические поля, Киев, «Наукова думка», 1975, С.69-79.

[28] Иванов Ц. О моделях термоупругости с учетом конечной скорости распространения тепла. // Иванов Ц., Энгельбрехт Ю.К. Инж.-физ. ж., 1978, N.35(2), С.344-351.

[29] Швец Р.И. Об особенностях динамических процессов, протекающих в деформируемых твердых телах, при учете конечной скорости распространения тепла.//Швец Р.И., Лопатьев А. А. Инж.-физ. ж., 1978, т.35, 4, с.705-712.

[30] V.K. Agarwal On Plane Waves in Generalized Thermoelasticity, //Acta Mech., N.31, 1979, P. 185-194.

[31] Коваленко А.Д. Основы термоупругости. /Киев: Наукова думка, 1970., 308с.

[32] Подстригай Я.С. Обобщенная термомеханика. /Подстригач Я.С., Коляно Ю.М. Киев: Наукова думка, 1976. 312с.

[33] P. Chadwick Thermoelasticity. The Dynamical Theory. //Progress in Solid Mechanics, 1960, V.l, P.265-328, North-Holland, Amsterdam

[34] K.J. Baumeister, T.D. Hamill Hyperbolic heat conduction equation - a solution for the semi-infinite problem, //ASME Journal of Heat Transfer N.91, 1969, P.543-548.

[35] M.N. Ozisik Propagation and Reflection of Thermal Waves in a Finite Medium. // M.N. Ozisik, B. Vick, Int. J. Heat Mass Transfer. T.27, P.1845-1854, 1984.

[36] D. W. Tang Wavy, wavelike, diffusive thermal responses of finite rigid slabs to high-speed heating of laser-pulses. //D.W. Tang, N. Araki, Internat. J. Heat Mass Transfer N.42, 1999, P.855-860.

[37] D. W. Tang Analytical solution of non-Fourier temperature response in a finite medium under laser-pulse heating. //D.W. Tang, N. Araki, Internat. J. Heat Mass Transfer N.31, 1996, P.359-363.

[38] D. Zhang Analytical solution of non-Fourier temperature response in a finite medium under laser-pulse heatin9. //D. Zhang, L. Li, Zhihua Li, Li Guan, Xinyu Tan, Physica В N.364, 2005, P.285-293.

[39] T.T. Lam Application of solution structure theorem to non-Fourier heat conduction problems: Analytical approach. //Tung T. Lam, Ed Fong, Internat. J. Heat Mass Transfer N.54, 2011, P.4796-4806.

[40] Я Al-Qahtani Closed-form solution of Cattaneo equation including volumetric source in relation to laser short-pulse heating. //Н. Al-Qahtani, B. Yilbas, Can. J. Phys. N.89, P.761-768, 2011

[41] B.S. Yilbas Analytical solution of hyperbolic heat conduction equation in relation to laser short-pulse heating. //B.S. Yilbas, A.Y. Al-Dweik, S.B. Mansour, Physica В N.406, 2011, P.1550-1555

[42] B.A. Кудинов Методы решения параболических и гиперболических уравнений теплопроводности. / В.А. Кудинов, И.В. Кудинов, Либроком, 2012, 280с.

[43] В.А. Ковалев Волновые задачи теории поля и термомеханика. / В.А. Ковалев, Ю.Н. Радаев, Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2010, 328с.

[44] Морс Ф.М. Методы теоретической физики. /Морс Ф.М., Фешбах Г. М.: ИЛ, 1958. Т.1. 931с.

[45] F.R. Norwood Wave Propagation in the Generalized Dynamical Theory of Thermoelastieity. // F.R. Norwood, W.E. Warren, Q.J. Mech. Appl. Math. N.22, P.283-290, 1969.

[46] Килъчинская Г.А. Автомодельные решения взаимосвязанной задачи термоупругости для полупространства. // Кильчинская Г.А. В кн.: Тепловые напряжения в элементах конструкций. Киев: Наукова думка, 1971, вып.II, С.23-26.

[47] А.Я. Nayfeh Transient Thermo-Elastic Waves in a Half-Space with Thermal Relaxation. // A.H. Nayfeh, S. Nemat-Nasser, ZAMP, V.23, 1972, P.50-68

[48] M. Balla Analytical study of the thermal shock problem of a half-space with various thermoelastic models. // M. Balla, Acta Mechanica N.89, P.73-92, 1991

[49] M. Jordan Revisiting the Danilovskaya Problem. // M. Jordan, P. Puri, Journal of Thermal Stresses, N29, P.865-878, 2006

[50] I. A. Abdallah Maxwell-Cattaneo Heat Convection and Thermal Stresses Responses of a Semi-infinite Medium. // I.A. Abdallah, Progress In Physics, V.3, 2009, P. 12-17

[51] N. Sarkar Applied Mathematics and Computation. // N. Sarkar, Applied Mathematics and Computation N.219, 2013, P. 10245-10252

[52] E.F. Henain Thermoelastic Thick Plate under Illumination of a Uniform Laser Beam with one Relaxation time // Ezzat. F. Henain et al. International Journal of Engineering Science and Technology, V.5, N.5, 2013, P.933-943

[53] Strikwerda J.S. Thermoelastic response to a short laser pulse.//Strikwerda J.S., Scott A.M., Thermal Stres. V.7, P.l-17, 1984.

[54] X. Wang Thermoelastic wave induced by pulsed laser heating. // Wang, X., Xu, X., Appl. Phys. A N.73, 2001, P. 107-114.

[55] X. Wang Thermoelastic wave in metal induced by ultrafast laser pulses. // Wang, X., Xu, X., J. Therm. Stresses N.25, 2002, P.457-473.

[56] H.M. Youssef Generalized Thermoelasticity Problem of Material Subjected to Thermal Loading Due to Laser Pulse. // H.M. Youssef, A.S. Al-Felali, Applied Mathematics, 2012, V.3, P. 142-146

[57] H.B. Вовненко Экспериментальное моделирование и теоретический анализ термодеформации пластин диэлектрических материалов при субмикросе-кундных длительностях радиационного нагрева // Н.В. Вовненко, Б.А. Зимин, Ю.В. Судьенков, ЖТФ, 2011, Т.81, С.69-75

[58] Н.В. Вовненко Неравновесность процесса движения облучаемой поверхности металлов при воздействии лазерных импульсов субмикросекундной длительности // Н.В. Вовненко, Б.А. Зимин, Ю.В. Судьенков, ЖТФ, 2010, Т.80, С.41-45

[59] Н.В. Вовненко Экспериментальные исследования термоупругих напряжений в тепло- и нетеплопроводящих твердых телах при субмикросекундных

длительностях лазерного нагрева // Н.В. Вовненко, Б.А. Зимин, Ю.В. Су-дьенков, ЖТФ, 2011, Т.81, С.57-62

[60] Судьенков Ю.В. Аномально высокие скорости распространения наносе-кундных импульсов давления в металлических фольгах // Судьенков Ю.В., Павлишин А.И., Письма в ЖТФ, 2003. Т.29, С.14-20

[61] К. V. Poletkin Ultrafast heat transfer on nanoscale in thin gold films. // K.V. Poletkin, G.G. Gurzadyan, J. Shang, V. Kulish, Appl. Phys. B, 2012, V.107, C. 137-143

[62] Wright O.B. Ultrafast nonequilibrium stress generation in gold and silver // Physical Review B. 1994, V.49, P.9985-9988

[63] Wright O.B. Thickness and sound velocity measurement in thin transparent films with laser picosecond acoustics // Journal of Applied Physics, 1992, Vol.71, P.1617-1628.

[64] Бабенков, М.Б. Анализ дисперсионных соотношений связанной задачи термоупругости с учетом релаксации теплового потока / М.Б. Бабенков // Прикл. Мех. Тех. Физ., 2011, Т.52, N.6, С.112-121.

[65] Бабенков, М.Б. Анализ распространения гармонических возмущений в термоупругой среде с релаксацией теплового потока / М.Б. Бабенков // Прикл. Мех. Тех. Физ. 2013, Т.54, №2, С. 126-137.

[66] Babenkov, М.В. Analysis of the wave propagation processes in heat transfer problem of the hyperbolic type/ Babenkov, M.B., Ivanova, E.A. // Continuum Mech. Thermodyn, 2013, doi:10.1007/s00161-013-0315-8

[67] E. Pop Heat Generation and Transport in Nanometer-Scale Transistors, // E. Pop, S. Sinha, and Kenneth E. Goodson V.94, N.8, 2006, Proceedings of the IEEE P. 1587-1601

[68] С. T. Xingcun Development and Application of Advanced Thermal Management Materials, Xingcun Colin Tong, Advanced Materials for

Thermal Management of Electronic Packaging (Springer Series in Advanced Microelectronics), 2011, V.30, P.527-593

[69] M.A. Haque Thermo-mechanical properties of nano-scale freestanding aluminum films, //M.A. Haque, M.T.A. Saif, Thin Solid Films, V.484, 2005, P.364-368

[70] S. Sieniutycz The variational principles of classical type for non-coupled non-stationary irreversible transport processes with convective motion and relaxation, //S. Sieniutycz, Int. J. of Heat and Mass Transfer V.20, N.ll, 1977, P.1221-1231

[71] Doetsch, G.: Guide to the applications of the Laplace and Z-transforms. / 2d English ed. London, Van Nostrand-Reinhold, 1971

[72] Beaty, H.W., Fink, D.G.: Standard Handbook for Electrical / Engineers 16th ed., New Yourk, Mc Graw Hill, 2012

[73] Nowacki, W.: Dynamic Problems of Thermoelasticity, / Warsaw, Springer, 1975

[74] E.I. Levanov Some Properties of the Heat-Transfer process in a motionless medium, taking account of heat-flux relaxation, // E.I. Levanov, E.N. Sotskii, 1986, P.733-740

[75] A. N. Magunov Laser Thermometry of Solids: State of the Art and Problems,/ Measurement Techniques, V.45, N.2, 2002, P. 173-181

[76] Yue Liu Laser Optical and Photothermal Thermometry of Solids and Thin Films, Yue Liu, A. Mandelis, //Experimental Methods in the Physical Sciences, V.42

[77] N. A. Novikov Hyperbolic equation of thermal conductivity. Solution of the direct and inverse problems for a semiinfinite bar. // Inzhenerno-Fizicheskii Zhurnal, V.35, N.4, P.734-740, 1978

[78] A.D. Polyanin Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, / Andrei D. Polyanin, 2001, Chapman and Hall CRC, 800P.

[79] M. Lewandowska Hyperbolic heat conduction in the semi-infinite body with a time-dependent laser heat source. // Heat and Mass Transfer N.37, 2001, P.333-342

[80] Tung T. Lam Thermal propagation in solids due to surface laser pulsation and oscillation. // International Journal of Thermal Sciences N.49, 2010, P.1639-1648

[81] M.A. Исакович Общая акустика. / M.A. Исакович Издательство "Наука", 496 С., М., 1973

[82] S. Berber, Y.K. Kwon, D. Tomanek // Phys. Rev. Lett. N.84, P.4613-1628, 2000

[83] Mo, Z., Anderson, J., Liu, J. "Integrating nano carbontubes with microchannel cooler "High Density Microsystem Design and Packaging and Component Failure Analysis, 2004. HDP'04. Proceeding of the Sixth IEEE CPMT Conference P.373-376, 2004

[84] M. Chester Second sound in solids, // Phys. Rev. N.131, P.2013-2015, 1963

[85] Энгелъбрехт Ю.К. Моды распространения одномерных волн в неограниченной термоупругой среде при конечной скорости распространения тепла // Изв. АН ЭССР. Сер. физ.-мат. наук. 1973. Т.22, № 2. С. 188-195.

[86] Ivanov Ts. P. Thermoviscoelasticity with a temperature rate dependence // Theor. and Appl. Mech., V. 5, N. 2, 1974. P. 85-81.

[87] Колпащиков В. JI., Яновский С.Ю. Связанная динамическая задача термоупругости для полупространства с учетом тепловой памяти // ИФЖ 1984. Т. 47, № 1. С. 670-675.

[88] Новацкий В. Динамические задачи термоупругости / Новацкий В. М.: Мир, 1970, 256с.

[89] Ландау Л. Д. Краткий курс теоретической физики. Т.1. / Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. М.: Наука, 1969.

[90] Косевич A.M. Основы механики кристаллической решетки. / Косевич A.M. M.: Наука. 1972.

[91] Pearson W.B. A Handbook of Lattice Spacings and Structure of Metals and Alloys / Pearson W.B. London: Pergamon Press, 1964.

[92] Прохоров A.M. Физическая энциклопедия, T.5, С.80 / Под ред. A.M. Прохорова. M.: Сов. энциклопедия, 1988

[93] Кулеш М.А. Задача о распространении поверхностной волны в редуцированной среде Коссера // Кулеш М.А., Грекова Е.Ф., Шардаков И.Н., Акустический журнал. 2009. Т. 55, № 2, С. 216-225

Список рисунков

1.1 Воздействие на границе полупространства — ¿-функция Дирака. Профили волн при разных значениях времени £ = т, 2т, 3т, 6т, 8т, Ют секунд; (а) — профиль волны, соответствующей волновому уравнению (одинаковый при всех (Ь) — профили "волн", соответствующих параболическому уравнению; (с), (с!) — профили волн, соответствующие гиперболическому уравнению теплопроводности ................................. 16

1.2 Воздействие на границе полупространства — ступенчатая функция. Профили волн при разных значениях времени £ = т/2, т, Зт/2, Зт, 4т, 5т секунд; (а) — профиль волны, соответствующей волновому уравнению (одинаковый при всех £); (Ь) — профили "волн", соответствующих параболическому уравнению; (с), (с1) — профили волн, соответствующие гиперболическому уравнению теплопроводности......................... 18

1.3 Задача гиперболической теплопроводности для полупрозрачного слоя................................... 20

1.4 Распределение температуры в слое под воздействием лазерного импульса при условии термоизоляции на границах......... 24

1.5 Распределение температуры в слое под воздействием лазерного импульса при условиях идеального теплообмена на границах ... 27

1.6 Минимумы температуры вблизи границы слоя, подверженного воздействию короткого лазерного импульса............. 29

1.7 Объемное импульсное тепловое воздействие при т < то. Температура на границах слоя поддерживается постоянной. На рисунке представлены профили решения при различных значениях времени: т/2, 5т/2, 5г. Штриховыми линиями показаны огибающие. Области понижения температуры не наблюдаются......... 31

1.8 Объемное импульсное тепловое воздействие при т < то. Заданы граничные условия теплоизоляции. На рисунке представлены профили решения при различных значениях времени: т/2, 2т, Зт. Локальные максимумы на графике температуры не наблюдаются. 32

1.9 Распределение температуры в слое под воздействием лазерного импульса при условиях термоизоляции на границах слоя..... 34

1.10 Распределение температуры в слое под воздействием лазерного импульса при условиях идеального теплообмена на границах слоя 37

2.1 Зависимость характеристики скорости затухания от частоты. Первый вариант расположения корней (1 — тепловая ветвь классической термоупругости, 2 — тепловая ветвь гиперболической термоупругости, 3 — акустическая ветвь гиперболической термоупругости, 4 — акустическая ветвь классической термоупругости). 47

2.2 Зависимость волнового числа от частоты. Первый вариант расположения корней (1 — акустическая ветвь гиперболической термоупругости, 2 — акустическая ветвь классической термоупругости, 3 — тепловая ветвь гиперболической термоупругости, 4 — тепловая ветвь классической термоупругости)............... 47

2.3 Зависимость характеристики скорости затухания от частоты. Второй вариант расположения корней (1 — акустическая ветвь классической термоупругости, 2 — тепловая ветвь классической термоупругости, 3 — акустическая ветвь гиперболической термоупругости, 4 — тепловая ветвь гиперболической термоупругости) 49

2.4 Зависимость волнового числа от частоты. Второй вариант расположения корней (1 — тепловая ветвь гиперболической термоупругости, 2 — тепловая ветвь классической термоупругости, 3 — акустическая ветвь гиперболической термоупругости, 4 — акустическая ветвь классической термоупругости)........... 50

2.5 Профили распределения температуры Т, напряжения а и перемещения и в слое в зависимости от координаты 5 в момент времени порядка т при г < то. Графики а, б, в соответствуют задачам термоупругости в несвязанной постановке, графики г, д, е — задачам в связанной постановке. Тонкими линиями показаны графики классической термоупругости, толстыми линиями показаны графики гиперболической термоупругости.............. 52

2.6 Зависимость волнового числа от частоты для меди. (1 — тепловая ветвь гиперболической термоупругости, 2 — акустическая ветвь гиперболической термоупругости, пунктиром обозначены ветви классической термоупругости для меди, соответствующие перво-

му варианту расположения корней).................. 52

2.7 Групповые и фазовые скорости в классической (графики а, б) и гиперболической (графики в, г) термоупругости; (а) — вариант 1: а < ао; (б) — вариант 2: а > ао; (в) — вариант 1: г < ть; (г) — вариант 2: т > ть; графики (д), (е) построены для термомеханических характеристик меди при условии т — т\........... 57

2.8 Волновые числа 6 (кривые 1, 2) и характеристики затухания 7 (кривые 3, 4) в зависимости от частоты в области взаимодействия термических и акустических волн; (а) — гиперболическая термоупругость: т = То] (в) — классическая термоупругость: а = ао • • 59

2.9 Задача распространения плоских гармонических волн в термоупругом полупространстве ...................... 61

2.10 Зависимости перемещений и и температуры Т от координаты й в классической (пунктирные кривые) и гиперболической (сплошные кривые) термоупругости; (а), (б) — огибающие акустических и термических волн при частотах меньших Г2*; кривые 1, 2 построены при большей частоте, чем кривые 3, 4; (в), (г) — акустические и термические колебания при частотах больших Л*;.......

3.1 Профили перемещений в слое, находящегося под воздействием короткого лазерного импульса при временах порядка постоянной релаксации теплового потока, при условии Са — С^. На границах слоя поддерживается постоянная температура. Границы слоя закреплены. Слева изображены графики, построенные с использованием гиперболической теории, справа - с использованием классической теории..........................

3.2 Профили перемещений в слое, находящегося под воздействием короткого лазерного импульса при временах порядка постоянной релаксации теплового потока, при условии С0 = С\. На границах слой теплоизолирован. Границы слоя закреплены. Слева изображены графики, построенные с использованием гиперболической теории, справа - с использованием классической теории.....

3.3 Профили перемещений в слое, находящегося под воздействием короткого лазерного импульса при временах порядка постоянной релаксации теплового потока, при условии Са = С^. На границах слоя поддерживается постоянная температура. Границы слоя свободны от нагрузок. Слева изображены графики, построенные с использованием гиперболической теории, справа - с использованием классической теории.....................

3.4 Профили перемещений в слое, находящегося под воздействием короткого лазерного импульса при временах порядка постоянной релаксации теплового потока, при условии Са = С^. На границах слой теплоизолирован. Границы слоя свободны от нагрузок. Слева изображены графики, построенные с использованием гиперболической теории, справа - с использованием классической теории................................... 75

3.5 Профили распределения температуры Т, напряжения а и перемещения и в слое в зависимости от координаты з в момент времени порядка т при г > то. Графики а, б, в соответствуют задачам термоупругости в несвязанной постановке, графики г, д, е — задачам в связанной постановке. Тонкими линиями показаны графики классической термоупругости, толстыми линиями показаны графики гиперболической термоупругости.............. 79

3.6 Профили распределения температуры Т, напряжения а и перемещения и в слое в зависимости от координаты г в момент времени порядка т при г < то. Графики а, б, в соответствуют задачам термоупругости в несвязанной постановке, графики г, д, е — задачам в связанной постановке. Тонкими линиями показаны графики классической термоупругости, толстыми линиями показаны графики гиперболической термоупругости.............. 81

Список таблиц

1.1 Сравнение задач нагрева среды на границе и в тонком слое вблизи границы................................. 38

1.2 Сравнение задач теплопроводности. Короткое объемное воздействие: ¿/(з, £) = 106{г — 0)ехр (—рв) .................. 39

1.3 Сравнение задач теплопроводности. Длительное объемное воздействие: г) = 10Н(г - 0)ехр(-рв).................. 39