Распространение электронно-циклотронных волн в субрелятивистской плазме тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.08, кандидат физико-математических наук Балакина, Марина Аркадьевна

• Балакина, Марина Аркадьевна
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Балакина, Марина Аркадьевна

Введение

1 Теория переноса интенсивности электромагнитных волн в средах с резонансной диссипацией

1.1 О проблемах феноменологического определения энергетических характеристик электромагнитных волн в диссипативных средах. Построение лучевого описания для волновых полей при учете диссипации.

1.2 Поток энергии электромагнитных волн в анизотропных диссипативных средах с пространственной дисперсией.

1.2.1 Стационарное волновое поле; поток энергии в диспергирующей среде

1.2.2 Сравнение модифицированного и стандартного выражений для потока энергии.

1.2.3 Геометрическая оптика диспергирующих сред с диссипацией

1.3 Пространственно-временная динамика волновых полей в средах с резонансной диссипацией

1.3.1 Нестационарное волновое поле. Плотность и поток энергии.

1.3.2 Перенос интенсивности; групповая скорость.

1.3.3 Примеры сред: ансамбль гармонических осцилляторов; магнитоактивная плазма (обыкновенная волна).

1.4 Об учете дифракции в рамках квазигеометрооптического описания.

1.4.1 Обоснование корректности метода комплексного эйконала при учете кривизны лучевых трасс.

1.5 Основные результаты главы 1.

2 Численный код для расчета распространения и поглощения ЭЦ-волн в крупномасштабной тороидальной термоядерной установке

2.1 Параметры плазмы (проект ITER).

2.2 Тензор диэлектрической проницаемости субрелятивистской (теплой) плазмы

2.3 Построение действительного лучевого гамильтониана; учет поглощения и граничные условия.

2.4 Модель СВЧ пучка.

2.5 Тестирование кода

2.6 Основные результаты главы 2.

3 Тангенциальная инжекция ЭЦ-волн в крупномасштабную тороидальную ловушку

3.1 Об использовании электронно-циклотронного нагрева для подавления тиринг-неустойчивости.

3.2 Особенности поглощения ЭЦ волн в окрестности точки отражения при «вертикальном» вводе СВЧ мощности.

3.3 Определение области энерговклада при тангенциальной инжекции.

3.3.1 Оптимизация в рамках однолучевого приближения.

3.3.2 Учет конечной ширины пучка.

3.4 Некоторые сравнительные оценки ширины энерговклада при квазипоперечном распространении СВЧ мощности

3.5 Основные результаты главы 3.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Распространение электронно-циклотронных волн в субрелятивистской плазме»

Электронно-циклотронный резонанс (ЭЦР) давно и успешно используется для формирования плазмы с требуемыми параметрами. В тороидальных магнитных ловушках, в частности, возможны разнообразные приложения ЭЦР [1, 2]: предыонизация, дополнительный нагрев, генерация безындукционного тока, различные варианты пассивной и активной диагностики [3]. Основной особенностью (и, соответственно, основным преимуществом) ЭЦ - схем является высокая пространственная локализация области резонансного взаимодействия излучения со средой. Эта особенность обусловлена не только относительно малой шириной «полосы» ЭЦР в субрелятивистской плазме1 тороидальных ловушек, но и относительно малой длиной волны излучения, позволяющей использовать квазиоптические системы ввода излучения в плазму. Широкое развитие экспериментов по взаимодействию ЭЦ-волн с плазмой обусловлено, прежде всего, прогрессом в области разработки и создания генераторов, линий передач и антенн соответствующего диапазона частот [4,5]. Кроме того, в последние годы интенсивно развивались и теоретические исследования различных аспектов распространения, поглощения и трансформации ЭЦ-волн в плазме (см. [1,6]).

Современное развитие плазменного эксперимента, в котором физическая интерпретация результатов практически невозможна без промежуточных модельных представлений, приводит к тому, что подготовка эксперимента требует детальной предварительной проработки с целью прогнозирования и оптимизации результатов. Апробация более или менее подробного «сценария» эксперимента на численной модели является в настоящее время необходимым элементом исследований. В этой связи всегда чрезвычайно актуальным является вопрос об адекватности той или иной модели для описания процессов в реальной плазме. Особенности ЭЦ - диапазона частот существенно определяют и специфику численного моделирования соответствующих процессов в тороидальной плазме. Малость длины волны излучения (несколько миллиметров при масштабах неоднородности параметров среды не менее десятков сантиметров) и квазиоптические системы

1Т.н. «теплая» плазма с температурой не более 20-30 кэВ. ввода излучения в плазму «навязывают» геометрооптические и квазиоптические методы расчета волнового поля в магнитной ловушке [1]. Идеология геомет-рооптического описания распространения и поглощения ЭЦ - волн в плазме была довольно давно сформулирована в работе [7]. Такое описание состоит, во-первых, в построении геометрооптических лучевых трасс и, во-вторых, в расчете вдоль луча оптической толщины, определяющей выделение сверхвысокочастотной (СВЧ) мощности вдоль лучевой трубки, «привязанной» к данному опорному лучу. Довольно часто траектории геометрооптических лучей могут быть рассчитаны в рамках приближения «холодной» плазмы - т.е. прозрачной гиротропной среды без пространственной дисперсии [8]. Однако, в некоторых случаях для повышения точности расчетов необходимо учитывать влияние теплового движения плазмы, релятивистских эффектов и эффекта Доплера. Точность «холодных» расчетов в первую очередь недостаточна для адекватного описания нетривиальных режимов распространения излучения непосредственно в области ЭЦ резонанса [9, 10]. Поправки к тензору диэлектрической проницаемости плазмы, обусловленные конечностью отношения ларморовского радиуса к длине волны, доплеровской и релятивистской расстройками циклотронного резонанса, особенно важны при инжекции микроволновых пучков по касательной к магнитным поверхностям (в частности - при квазивертикальном вводе электронно-циклотронных волн в тороидальную установку [А1,А2,11]). В некоторых случаях расстояние между «холодной» и «горячей» лучевыми трассами в окрестности зоны электронно-циклотронного резонанса (ЭЦР) может превосходить ширину резонансной линии. Строго говоря, даже сам по себе вывод о достаточности «холодного» приближения в том или ином случае можно сделать лишь на основании сопоставления с результатами теории, учитывающей влияние теплового движения на электродинамические характеристики плазмы в диапазоне частот ЭЦР. Таким образом, корректное описание эксперимента на современных установках программы управляемого термоядерного синтеза (УТС) предполагает рассмотрение тензора диэлектрической проницаемости, по крайней мере, в слаборелятивистском приближении [12-16]. Многочисленные исследования (как само по себе численное моделирование, так и сопоставление расчетов с конкретным экспериментом) показали, что учет тепловых и т. п. эффектов иногда необходим в расчетах рефракции, поглощения и распространения излучения даже для плазмы с температурой порядка 1 кэВ (см. [16,17] и цитируемую там литературу). Существует относительно простой феноменологический способ учета поправок к «холодному» приближению для субрелятивистской плазмы (т.н. приближение Мацукато [18,19]). Этот подход, однако, возможен лишь при поперечном распространении относительно магнитного поля необыкновенной ЭЦ волны с частотой, близкой к первой гармонике гирочастоты. В этом случае отличие от «холодного» показателя преломления определяется, в основном, релятивистским изменением массы электронов и может быть описано путем введения «эффективной» гирочастоты, зависящей от температуры плазмы. Кроме того, такая методика корректна для областей, в которых нерелятивистская гирочастота электронов меньше частоты излучения (т.е. когда тензор диэлектрической проницаемости плазмы эрмитов). Однако, для обыкновенной волны на первой гармонике и высших гармоник необыкновенной моды эффекты, обусловленные конечным отношением гирорадиуса тепловых частиц к длине волны, важны даже для строго поперечного распространения. Что касается относительного вклада доплеровских и релятивистских эффектов при непоперечном распространении, то в области наибольшего отличия от «холодного» показателя преломления они одного порядка. Это означает, что в данном случае учет тепловых эффектов в рамках известных «нерелятивистских» соотношений, включающих в себя функцию Крампа [20-22], также бесперспективен, как и использование приближения Мацукато. При «паритете» между релятивистской и доплеровской расстройками резонанса компоненты тензора диэлектрической проницаемости равновесной субрелятивистской плазмы для ЭЦ - волн описываются т. н. специальными функциями Шкаровского [23-25]. Важно отметить, что, как показано в [10], в отличие от приближения «холодной» плазмы, в этом диапазоне параметров «тепловая» компонента потока энергии волнового поля (см. [8, 26]) может существенно превосходить его «чисто электродинамическую» компоненту - вектор Пойнтинга. Специфика электродинамики ЭЦ-волн [1, 27, 28] при непродольном распространении относительно магнитного поля определяется тем парадоксальным фактом, что относительно слабое (т.е. малое на длине волны) поглощение волн может быть реализовано даже в том случае, когда эрмитовы и антиэрмитовы компоненты тензора диэлектрической проницаемости являются величинами одного порядка. Это обстоятельство связано с особенностями поляризации волнового поля при непродольном распространении: резонансная циркулярно-поляризованная составляющая электрического поля много меньше среднеквадратичной напряженности для обеих (обыкновенной и необыкновенной) нормальных волн. При этом учет теплового движения при определении тензора диэлектрической проницаемости приводит лишь к малым поправкам к «холодному» дисперсионному уравнению для ЭЦ-волн D(k,w,pi(r)) = 0 (здесь Pi(r) -совокупность зависящих от пространственных координат параметров среды). В этом случае в «тепловой» поправке к тензору диэлектрической проницаемости эрмитова и антиэрмитова компоненты, как правило, являются величинами одного 7 5 порядка, поэтому производные соответствующих добавочных членов дисперсионного уравнения по волновому вектору и параметрам среды оказываются существенно комплексными величинами. Эти комплексные производные оказываются достаточно большими в том смысле, что стандартное использование дисперсионного уравнения для построения гамильтоновых лучевых уравнений dk дР dr дР dr дг' dr дк в данном случае оказывается невозможным, т. к. порождает лучи в комплексном пространстве [1,29]. Сложность, таким образом, состоит в том, что для ЭЦ-волн проблема учета тепловых эффектов автоматически порождает проблему построения действительных лучевых трасс в неэрмитовой среде. Проблема последовательной формулировки геометрической оптики ЭЦ-волн с учетом вышеперечисленных факторов тесно связана с одной из фундаментальных проблем электродинамики сплошных сред - определением энергетических характеристик волновых полей в диссипативных средах с пространственной дисперсией. В частности, именно в той области параметров, где неприменим стандартный подход к построению лучевых трасс, некорректно и использование стандартного выражения для потока энергии волнового поля [9, 28]. В данной диссертационной работе исследован процесс переноса интенсивности волн в гиротропной среде с резонансным поглощением и пространственной дисперсией. Полученные в рамках нашей работы результаты позволяют модифицировать стандартные лучевые уравнения и стандартное выражение для потока энергии, неприменимые в случае диссипативных сред. Хотя энергетические характеристики произвольного электромагнитного поля при наличии диссипации удается определить лишь на основе микроскопической модели, нам удалось однозначно ввести определяющий перенос интенсивности поток энергии в диссипативной среде (обобщенный поток энергии) в рамках макроскопической электродинамики для волнового поля, образованного набором нормальных волн среды. В отличие от стандартного потока энергии, обобщенный поток энергии зависит от производных векторов поляризации нормальных волн по волновому вектору и переходит в стандартный поток в случае, когда антиэрмитовы составляющие тензора диэлектрической проницаемости среды слабо влияют на поляризацию волны. Предложенная нами процедура построения лучевых трасс порождает лучи, сонаправленные модифицированному потоку энергии. В плане практических приложений развитой теории, в диссертации был разработан геометрооптический слаборелятивистский код. Расчет тензора диэлектрической проницаемости осуществляется через функции Шкаровского; разработана и отлажена схема аппроксимации данной системы спецфункций многочленами. Помимо расчета лучевых трасс данный код позволяет также рассчитывать и профиль вкладываемой в плазму при ЭЦ-нагреве мощности. С помощью разработанного кода в диссертации достаточно подробно рассмотрена схема ввода излучения по касательной к выбранной магнитной поверхности с целью максимальной локализации энерговклада [30-32]. Такая задача является весьма актуальной, например, в экспериментах по подавлению тиринг-моды (играющей существенную роль в срывах) как посредством модификации профиля температуры с помощью локального дополнительного нагрева, так и модификацией профиля тока с помощью его безындукционной генерации (см. [31,32] и цитируемую там литературу).

Целью настоящей работы является, во-первых, обоснование и разработка модифицированного варианта геометрооптического описания, пригодного для сред с резонансной диссипацией и дисперсией и, во-вторых, использование такого кода для описания ЭЦР нагрева в крупномасштабной установке (ITER). Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:

1. Получены феноменологические выражения для потока мощности и плотности энергии в анизотропной диспергирующей среде с резонансной диссипацией. На основе этих выражений получено выражение для действительного гамильтониана геометрооптических лучей, корректно учитывающего влияние антиэрмитовой части тензора диэлектрической проницаемости на поведение лучевых трасс. Проанализированы особенности пространственно-временной динамики интенсивности волновых полей в области аномальной дисперсии для граничной и начальной задач.

2. Разработан и протестирован слаборелятивистский геометрооптический код.

3. Исследованы возможности оптимизации ввода СВЧ мощности по касательной к выбранной магнитной поверхности с целью обеспечить минимальную ширину энерговклада.

4. Проведено доказательство эквивалентности учета дифракционных эффектов методом комплексного эйконала и методом моментов параболического уравнения в случае криволинейных трасс волновых пучков в неоднородной среде.

Научная новизна. Основные результаты, полученные в диссертации состоят в следующем:

1. Получены феноменологические выражения для плотности и потока волновой энергии в анизотропной диспергирующей среде с резонансной диссипацией.

2. Получено уравнение переноса интенсивности волнового поля в диссипативной среде в области аномальной дисперсии. Показано, что корректное определение коэффициентов этого уравнения зависит от постановки задачи (начальной или граничной); при этом отношение плотности потока энергии к плотности энергии существенно определяет решение уравнения переноса несмотря на то, что эта величина уже не может быть отождествлена со скоростью передачи сигнала.

3. Для случая криволинейных трасс квазиоптических пучков в неоднородной среде показано, что описание волновых пучков с помощью параболического уравнения и метод комплексного эйконала дают идентичные результаты.

4. Разработан и протестирован субрелятивистский геометрооптический код (в качестве среды рассматривалась плазма в тороидальной установке с параметрами ITER'a [33]).

5. Исследованы возможности оптимизации схемы ввода излучения по касательной к магнитной поверхности.

Научная и практическая ценность. Научное значение диссертации определяется обобщением на случай диспергирующих сред с резонансной диссипацией геометрооптического описания поля и определений потока и плотности энергии. Введенный феноменологическим образом модифицированный вектор потока энергии однозначно определяет направление переноса интенсивности волнового поля в диссипативной среде; его направление совпадает с направлением лучевых трасс. В качестве практического приложения создан и протестирован оригинальный геометрооптический код. Код является универсальным для различных конфигураций удерживаемой плазмы и может найти широкое применение в численном моделировании ЭЦР экспериментов в установках различных типов.

Апробация работы. Изложенные в диссертации результаты докладывались на семинарах ИПФ РАН, на международных конференциях: «10th Joint Workshop on Electron Cyclotron Emission and Electron Cyclotron Resonance Heating» (6-11 апреля 1997 г., Ameland), «1998 International Congress on Plasma Physics» combined with the «25th EPS Conference on Controlled Fusion and Plasma Physics» (29 июня - 3 июля 1998 г., Прага), «26th EPS Conference on Controlled Fusion and Plasma Physics» (14 - 18 июня 1999 г., Maastricht), 4th International Workshop «Strong Microwaves in Plasmas» (1 - 8 августа 1999 г., г.Н.Новгород), «IAEA, TCM on ECRH Physics and Technology for Fusion Devices and ЕС-11» (4-8 октября 1999 г., Oh-arai, Ibaraki (Japan)), «29th EPS Conference on Plasma Physics and Controlled Fusion» (17 - 21 июня 2002 г., Mon-treux), «12th Joint Workshop on ECE and ECRH» (13 -16 мая 2002 г., Aix-en-Provence

France)), 5th International Workshop «Strong Microwaves in Plasmas» (1-9 августа 2002 г., г. Н.Новгород); на Всероссийских Звенигородских конференциях по физике плазмы и УТС в 1997- 2002гг. Основные результаты диссертации опубликованы в реферируемых журналах (Физика плазмы, ЖЭТФ, Plasma Phys. and Control Fusion, Fusion engineering and Design - всего 6 публикаций) и в трудах вышеуказанных международных конференций.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из Введения, трех глав, Заключения, одного приложения и списка литературы. Всего в работе 37 рисунков. Список литературы состоит из 69 наименований. Общий объем диссертации 121 страница.

Заключение диссертации по теме «Физика плазмы», Балакина, Марина Аркадьевна

3.5 Основные результаты главы 3

Третья глава диссертации, в основном, посвящена приложению геометро-оптического субрелятивистского кода, рассмотренного в главе 2, к расчету поглощения в реальной установке. Проведено численное моделирование ввода

СВЧ излучения в плазму по касательной к выбранной магнитной поверхности в области ЭЦ резонанса в установке ITER. Подобная схема ввода излучения дает возможность существенно снизить ширину энерговклада (уменьшить объем прогреваемых магнитных поверхностей), что представляет интерес для решения проблемы стабилизации тиринг-моды.

Предложен регулярный метод подбора начальных условий, обеспечивающих точное «попадание» луча в начало резонанса в заранее выбранной точке касания на данной магнитной поверхности. В качестве магнитной поверхности была выбрана поверхность с запасом устойчивости q = 2, вблизи которой может быть локализована тиринг-мода, ответственная за срывы в токамаке. Рассмотрены два возможных варианта схемы с тангенциальной инжекцией. Показано, что оптимальным для минимизации ширины энерговклада является режим, в котором магнитной поверхности касается «горизонтальный» луч.

Сделаны оценки ширины энерговклада при распространении пучков конечного диаметра в схеме с тангенциальной инжекцией. Пучок моделировался набором геометрооптических лучей с гауссовым распределением мощности. Показано, что для пучка диаметром порядка 10 см тангенциальная инжекция обеспечивает более узкий энерговклад по сравнению со схемой, где центральный луч пучка пересекает магнитную поверхность в области резонанса. Подобный выигрыш имел место вследствие формирования (в схеме с тангенциальной инжекцией) прикаустической структуры поля в области вблизи зоны поглощения, что привело к дополнительному обужению энерговклада.

Рассмотрены особенности поглощения электронно-циклотронной волны в токамаке при вертикальном вводе излучения (по касательной к гирорезонансному слою). Показано, что при совмещении точки геометрооптического отражения с границей области циклотронного поглощения диссипация падающей мощности слаба при любых геометрических параметрах установки.

Заключение

Кратко сформулируем основные результаты, полученные в диссертации.

1. Для слабозатухающих нормальных волн в анизотропной среде с дисперсией (пространственной и частотной) и диссипацией найдены феноменологические выражения для плотности и потока энергии. Эти выражения переходят в стандартные в пределе исчезающе малой диссипации. Для ЭЦ-волн в плазме различие модифицированного и стандартного потоков энергии существенно для обыкновенной волны на первой гармонике гирочастоты и необыкновенной волны на второй гармонике при квазипоперечном распространении относительно постоянного магнитного поля, когда диссипативные эффекты заметно влияют на поляризацию нормальных волн.

2. Сформулирован и обоснован метод учета влияния резонансной диссипации и пространственной дисперсии на распространение ЭЦ-волн в рамках метода лучевых траекторий. Этот метод позволяет строить лучевые трассы, сонаправленные вектору модифицированного потока энергии.

3. Получено уравнение переноса интенсивности волнового поля в области резонансной диссипации в диспергирующей среде. Показано, что коэффициенты такого уравнения зависят от постановки задачи (граничной или начальной). Отношение плотности потока энергии к плотности энергии волнового поля, являясь важным параметром уравнения переноса, при этом уже не может быть отождествлено со скоростью передачи сигнала. Показано, что решение полученного уравнения переноса интенсивности удовлетворяет принципу причинности в области аномальной дисперсии.

4. Разработан субрелятивистский геометрооптический код для расчета распространения и поглощения ЭЦ-волн (в качестве среды задана плазма в тороидальной установке с параметрами ITER'a).

5. Показано, что в схеме ввода микроволнового излучения по касательной к магнитной поверхности с q = 2 для установки с параметрами ITER'a возможно достижение ширины энерговклада, не превышающей характерных размеров «магнитного острова» - тем самым продемонстрирована возможность использования этой схемы ЭЦ-нагрева для предотвращения срывов в тороидальной термоядерной ловушке.

Автор считает своим долгом выразить благодарность научному руководителю М.Д. Токману за требовательное руководство, постоянную поддержку и помощь в работе. Особую признательность хотелось бы выразить О.Б. Смоляковой и Е. West-erhof'y за плодотворное сотрудничество и интерес к работе. Я также благодарна Е.В. Суворову, А.И. Смирнову и А.А. Балакину за большое внимание к работе, полезные обсуждения и ценные советы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Балакина, Марина Аркадьевна, 2003 год

1. V.V. Alikaev, A.G. Litvak, E.V. Suvorov E.V. and A.A. Fraiman. Electron Cyclotron Heating of Toroidal Plasmas // High-Frequency Plasma Heating/ ed. A.G. Litvak. -New York: American 1.stitute of Phys., 1992. P. 1-61.

2. V.V. Alikaev, E.V. Suvorov. Electron-Cyclotron Plasma Heating and Current Drive in Toroidal Devices // Application of High-Power Microwaves./ ed. A.V. Gaponov-Grekhov, V.L. Granatstein. Boston-London: Artech House, 1994. P. 111-144.

3. Development of High-Power Microwave Sources // Strong Microwaves in Plasmas/ ed. A.G. Litvak. Proc. of the International Workshop, Nizhny Novgorod, 2-9.08.1999. N.Novgorod, IAP, 2000. V. 2. P. 591-986.

4. A.V. Gaponov-Grekhov, V.L. Granatstein. High-Power Microwave Electronics: A Survey of Achievements and Opportunities // Application of High-Power Microwaves/ ed. A.V. Gaponov-Grekhov, V.L. Granatstein. Boston-London: Artech House, 1994. P. 1-22.

5. A.G. Litvak, G.V. Permitin, E.V. Suvorov and A.A. Fraiman. Electron-cyclotron heating of plasma in toroidal systems // Nuclear Fusion. 1977. V. 17. N. 14. P. 659665.

6. B.JI. Гинзбург. Распространение электромагнитных волн в плазме. М.: Наука, 1967. 683 с.

7. E. Westerhof. Wave propagation through an electron cyclotron resonance layer // Plasma Phys. Controll. Fusion. 1997. V. 39. P. 1015-1029.

8. М.Д. Токман. О влиянии дифракции и пространственной дисперсии на точность определения профилей энерговклада квазиоптических волновых пучков при ЭЦР в крупномасштабных тороидальных установках // Физика плазмы. 1997. Т. 23. N 12. С. 1104.

9. Н. Bindslev. Relativistic effects in plasma reflectometry // Plasma Phys. and Contr. Fusion. 1992. V. 34. P. 1601.

10. H. Bindslev. Relativistic expressions for plasma cutoffs // Plasma Phys. and Contr. Fusion. 1993. V. 35. P. 1093.

11. M. Bornatici, U. Ruffina. Analytical and numerical study of the relativistic dispersion relation of the extraordinary mode for a relativistic loss-cone electron distribution // Plasma Phys. and Contr. Fusion. 1988. V. 30. P. 113.

12. G. Smith, L.D. Pearlstein et.al. Weakly relativistic modelling of refraction and absorption fro waves with Small N|| // Proc. 9-th Jonint Worlshop on ECE and ECRH, Borrego Springs, California, 23-26 Jan., 1995/ ed. J. Lohr. P. 651-657.

13. J.L. Segui, Y. Michelot, G. Giruzzi et. al. Measurement of the optical depth at the third electron cyclotron harmonic in tokamak plasma // Proc. 21-st EPS Conf. on Contr. Fusion and Plasma Physics/ ed. R. Pick. Geneva, EPS, 1994. V. 2. P. 1004.

14. E. Mazzucato. Propagation of a Gaussian beam in a nonhomogeneous plasma // Phys. Fluids. 1989. V. Bl. P. 1855-1859.

15. E. Mazzucato. Relativistic effects on microwave reflectometry // Phys. Fluids B. 1992. V. 4. N. 10. P. 3460-3461.

16. M. Brambilla. Kinetic Theory of Plasma Waves. Oxford, Oxford University Press, 1998.

17. B.D. Fried, S.D. Conte. The plasma dispersion function. New York, Academic Press, 1961.

18. B.B. Железняков. Излучение в астрофизической плазме. М.: «Янус-К», 1997. 528 с.

19. V. Krivensky, A. Orefice. Weakly relativistic dielectric tensor and dispersion functions of a Maxvellian plasma // J. Plasma Physics. 1983. V. 30. P. 125-132.

20. P.A. Robinson. Relativistic plasma dispersion functions // J. Math. Phys. 1986. V. 27. P. 1206-1214.

21. I.P. Shkarofsky. New representations of dielectric tensor elements in magnetized plasma // J. Plasma Physics. 1986. V. 35. P. 319-331.

22. B.M. Агранович, B.Jl. Гинзбург. Кристаллооптика с учетом пространственной дисперсии и теория экситонов. М.: Наука, 1965. 374 с.

23. А.И. Ахиезер, И.А. Ахиезер, Р.В. Половин. Электродинамика плазмы. М.: Наука, 1974. 719 с.

24. А.Д. Пилия, В.А. Федоров. Электронный циклотронный нагрев плазмы в токамаках // Вопросы теории плазмы. Вып. 13./ под ред. Б.Б. Кадомцева. -М.: Энергоатомиздат, 1984. С. 262-304.

25. В.В. Аликаев, А.Г. Литвак, Е.В. Суворов, А.А. Фрайман. Электронно-циклотронный нагрев плазмы в тороидальных системах // Высокочастотный нагрев плазмы/ под ред. А.Г. Литвака. Материалы всесоюзного совещания. -г.Горький, ИПФ, 1983. С. 6-70.

26. К. Hamamatsu, A. Fukuyama. Numerical analysis of electron cyclotron current drive with suppressed Doppler broadening // Plasma Phys. and Contr. Fusion. 2000. V. 42. P. 1309-1320.

27. E. Westerhof. Requirements on heating or current drive for tearing mode stabilization by current profile tailoring // Nuclear Fusion. 1987. V. 27. N. 11. P. 1929-1934.

28. E. Westerhof. On tearing mode stabilization by local current density perturbations // Nuclear Fusion. 1990. V. 30. N. 6. P. 1143-1147.

29. Chapter 1. Overview and summary. Chapter2. Plasma confinement and transport, j I Nuclear Fusion. 1999. V. 39. N. 12.

30. L. Brillouin. Wave propagation and group velocity. New York, Academic Press, 1960.

31. A.B. Тимофеев. Гауссовы пучки волн в неоднородных анизотропных средах. Препринт ИАЭ-5814/6. М.: ИАЭ, 1994. 4 с.

32. E. Westerhof. Hot plasma dielectric tensor // Transactions of fusion technology. Proceedings of third Carolus Magnus Summer School on Plasma Physics. 1998. V. 33. P. 139-144.

33. B.JI. Гинзбург. Теоретическая физика и астрофизика. М.: Наука, 1967. 487 с.

34. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1989. 621 с.

35. А.И. Смирнов, М.Д. Токман. О потоке энергии и лучевых траекториях электромагнитных волн в плазме в области циклотронного затухания Ландау // ЖЭТФ. 1996. Т. 110. N 2(8). С. 549-558.

36. А.В. Тимофеев. Циклотронные колебания равновесной плазмы // Вопросы теории плазмы. Вып. 14/ под. ред. Б.Б. Кадомцева. М.: Энергоатомиздат, 1985. С. 56-220.

37. G. Bekefi. Radiation Processes in Plasmas. New York, John Wiley and Sons Inc., 1966.

38. Т.Н. Stix. Waves in Plasmas. New York, Amer. Inst, of Phys., 1992.

39. M. Tanaka, М. Fujiwara and H. Ikegami. Propagation of a Gaussian wave packet in an absorbing medium // Phys. Rev. A. 1986. V. 34. P. 4851.

40. M. Tanaka. Description of a wave packet propagating in anomalous dispersion media-a new expression of propagation velocity // Plasma Phys. and Contr. Fusion. 1989. V. 31. P. 1049.

41. S. Chu, S. Wong. Linear Pulse Propagation in an Absorbing Medium // Phys. Rev. Letters. 1982. V. 48. P. 738.

42. L.J. Wang, A. Kuzmich, A. Dogariu. Gain-assisted superluminal light propagarion // Nature. 2000. V. 406. P. 277-279.

43. M.A. Bornatici et. al. Electron Cyclotron Emission and Absorption in Fusion Plasmas // Nucl. Fusion. 1983. V. 23. P. 1153-1257.

44. Г.В. Пермитин, А.И. Смирнов, И.Г. Кондратьев. Дифракция волновых пучков в плавно неоднородных средах // Изв. Вузов Радиофизика. 1993. Т. 36. N 7. С. 616-622.

45. А.И. Смирнов, Г.В. Пермитин. Квазиоптика плавно неоднородных изотропных сред. Безаберрационное приближение. Препринт N364. Н.Новгород: ИПФ РАН, 1994. 27 с.

46. Г.В. Пермитин, А.И. Смирнов. Квазиоптика плавно неоднородных изотропных сред // ЖЭТФ. 1996. Т. 109. N 3. С. 736-751.

47. JI.E. Захаров, В.Д. Шафранов. Равновесие плазмы с током в тороидальных системах // Вопросы теории плазмы. Вып. 11/ под ред. М.А. Леонтовича и Б.Б. Кадомцева. М.: Энергоиздат, 1982. С. 118-233.

48. X. Антосевич. Функции Бесселя дробного порядка // Справочник по спецфункциям/ под ред. М. Абрамовица и И. Стигана. М.: Наука, 1979. С. 254.

49. I. Fidone, G. Granata and R.L. Meyer. Role of the relativistic mass variation in electron cyclotron resonance wave absorption for oblique propagation // J. Math. Phys. 1982. V. 25. N. 12. P. 2249-2263.

50. S. Pesic. Wave-plasma interaction near the second electron cyclotron harmonic // Phys. Fluids. 1988. V. 31. N. 1. P. 115-122.

51. Л.Д. Ландау, E.M. Лифшиц. Механика. M.: Физматгиз, 1958. 202 с.

52. H. Hsuan, E.D. Fredrickson. ECH/ECCD for the Control of MHD Stability in Large Tokamaks // Contr. papers of 9-th Joint Workshop on ECE and ECH"/ ed. J. Lohr. Singapore: World Scientific Publishing, Co. Pte Ltd, 1995. P. 285-290.

53. E. Westerhof. Propagation of a Wave Beam through Cyclotron Resonance // Contr. Papers of 23-rd EPS Conf. on Controll. Fusion and Plasma Phys./ ed. D. Gresillon, A. Sitenko and A. Zagorodny. Kiev, 1996.

54. M.D. Tokman. On the EC current drive efficiency in large-scale tokamaks // Proc. 9-th Joint Workshop on ECE and ECRH, Borrego Springs (California). Singapore: World Scientific, 1995. P. 51-61.

55. E. Янке, Ф. Эмде, Ф. Леш. Специальные функции. М.: Наука, 1964. 344 с.

56. N.J. Fisch. Theory of Current Drive in Plasmas // Rev. Mod. Phys. 1987. V. 59. P. 175-234.

57. A.Yu. Kuyanov, A.A. Skovoroda, M.D. Tokman. On the influence of quasi-linear distortion of the electron distribution function on ECCD efficiency // Plasma Phys. and Contr. Fusion. 1997. V. 39. P. 277-289.

58. И.Г. Кондратьев, Г.В. Пермитин, А.И. Смирнов. Распространение широких волновых пучков в плавно неоднородных средах // Радиофизика. 1980. Т. 23. N. 10. С. 1195-1203.

59. C. Maroli, V. Petrillo. Anomalous behaviour of the group velocity for ordinary waves in the electron-cyclotron region // Plasma Phys. and Contr. Fusion. 1981. V. 23. P. 671-676.

60. I.P. Shkarofsky. Dielectric tensor in Vlasov plasmas near cyclotron harmonics // Phys. Fluids. 1966. V. 9. P. 561-570.

61. G.R. Smith. Alfven ion-cyclotron instability in tandem-mirror plasmas // Phys. Fluids. 1984. V. 27. P. 1499-1513.

62. Список работ по теме диссертации

63. А1. М.Д. Токман, М.А. Гаврилова. К теории ЭЦ нагрева плазмы в крупномасштабных тороидальных установках при вертикальном вводе СВЧ-мощности. Физика плазмы., 24, 573-575 (1998).

64. А2. М.А. Балакина, М.Д. Токман, О.Б. Смолякова. Численное моделирование ЭЦ нагрева в токамаке при тангенциальной инжекции СВЧ излучения. Физика плазмы, 29, 60-71 (2003).

65. A3. Е. Westerhof, M.D. Tokman and М.А. Gavrilova. Wave power flux and ray-tracing in regions of resonant absorption. Plasma Phys. and Control. Fusion, 42, 91-98 (2000).

66. A4. E. Вестерхоф, М.Д. Токман, М.А. Гаврилова. О потоке энергии стационарных электромагнитных волн в анизотропных диссипативных средах с пространственной дисперсией. ЖЭТФ, 118, 1319-1324 (2000).

67. A8. M.D. Tokman, E. Westerhof and M.A. Gavrilova. Ray-tracing through EC resonance and the wave energy flux. Fusion Engineering and Design, 53, 47-51 (2001).

68. А9. M.D. Tokman, E. Westerhof, M.A. Gavrilova. Ray-tracing through EC resonance and the wave energy flux. IAEA, TCM on ECRH Physics and Technology for Fusion Devices and EC-11, Oh-arai, Ibaraki, Japan 4 8 Oct., 1999. JAERI-Memo 12-041 (2000). P. 64-69.

69. A12. М.Д. Токман, M.A. Гаврилова. О квазигеометрооптической методике описания дифракционных эффектов при распространении волновых пучков в плазме. Физика плазмы, 24, 99-100 (1998).

70. А13. M.D. Tokman, M.A. Gavrilova. On the Plasma EC-Heating in Tokamaks at Vertical EC-waves Launch // ICPP&25-th EPS Conf. On Contr. Fusion and Plasma Physics, 29 June 3 July, Prague (Czech Republic). ECA. V. 22C (1998). P. 1372-1373.

71. A14. E. Westerhof, M.D. Tokman, M.A. Balakina. Poynting theorem and spatio-temporal dynamics of HF field intensity in regions of resonant absorption // Contr. Papers 12-th Joint Workshop on ECE and ECRH, Aix-en-Provence (France), 1316.05.2002. P. 27.

72. A15. M.D. Tokman, E. Westerhof, M.A. Gavrilova. Wave power balance in resosnant dissipative media with spatial and temporal dispersion // Nuclear fusion, (to be published), 2003.

73. A16. M.A. Balakina, O.B. Smolyakova, M.D. Tokman. Geometro-optical code for ray-tracing in warm plasmas // Proc. of 5-th International Workshop «Strong microwaves in plasmas», Nizhny Novgorod, Russia, 1-9.08.2002, in print.

74. A17. M.A. Balakina, O.B. Smolyakova, M.D. Tokman. Numerical simulation of EC-heating at the tangent injection of RF radiation in tokamak // Contr. Papers 12th Joint Workshop on ECE and ECRH, Aix-en-Provence (France), 13-16.05.2002. P. 53.