Распределение функционалов от винеровского процесса с линейным сносом тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.09, кандидат физико-математических наук Смирнова, Вера Андреевна

• Смирнова, Вера Андреевна
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Смирнова, Вера Андреевна

Введение.

Глава

Распределение функционалов от броуновского движения со сносом.

1.1 Общие методы вычисления функционалов от случайных процессов.

1.2. Распределение функционалов от броуновского движения с линейным сносом для момента, обратного ко времени пребывания.

Глава

Неубывающие перестановки и времена пребывания винеровского процесса с линейным сносом.

2.1. Оператор неубывающей перестановки и его свойства. Связь неубывающих перестановок и времен пребывания.

2.2. Преобразование Лапласа двумерного распределения времен пребывания винеровского процесса.

2.3. Следствие. Формулы для моментов.

2.4. Распределение неубывающей перестановки винеровского процесса со сносом. Формулы для математического ожидания и дисперсии.

Глава 3 . Приложения.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Распределение функционалов от винеровского процесса с линейным сносом»

Данная работа посвящена изучению распределений функционалов от случайных процессов и их приложений. Рассматривается винеровский процесс с линейным сносом а также сумма винеровского и пуассоновского процессов. Дискретным аналогом винеровского процесса может служить следующая модель-случайного блуждания. Частица меняет своё положение лишь в дискретные моменты времени, кратные At. Изменение положения происходит таким образом, что, находясь в точке х, частица независимо от предшествующего поведения переходит с равными вероятностями в одну из соседних точек х + Ах или х — Ах, причём смещение Ах одно и то же для всех точек х (речь идет лишь об одной координате движущейся частицы ,иначе , об одномерном случайном блуждании ). В пределе ,когда определенном образом At —> 0 , Ajc -»0, получается непрерывное случайное блуждание, характерное для физического процесса броуновского движения. рис. 1. Траектория винеровского процесса. Целью настоящей работы было разработать методы вычисления функционалов от винеровского процесса с линейным сносом wc(t) = w(t) + ct. рис. 2. Траектория винеровского процесса с линейным сносом.

Изучением таких функционалов, как yQ (t) w(t) [, M{t) = max m(t) = minw(x) yx (0 = M(t) - w(t) и у 2 (0 = w(t) - m(t), а также функционала, обратного к m(t), занимались Леви([22]) и Башелье. В частности, они доказали, что при фиксированном «Ъ> случайные величины y0(t), M(t), -m(t), yj(t) ny2(t) имеют одну и ту же функцию распределения с2 л ryx JL

F(jc)= — je 2td%

V Ш о

Совместные распределения для maxw(t)H w(t), а также для

О </£Г max w(t), min w(t) и w(t)

О <t<T 0<t<T можно найти, например, у И. И. Гихмана и А. В. Скорохода [14].

Локальным временем процесса броуновского движения w(s) в точке х до момента t называется величина

I t l(t,x)=lim- j\x,x+s) w(s)ds

8 о

Этот предел существует с вероятностью 1 (см.[8]). Понятие локального времени процесса броуновского движения было введено Леви в работе [35]. Полученные им результаты о свойствах броуновского локального времени ([22] - [35]) положили начало теории локального времени случайных процессов.

В статье А. Н. Бородина [8] дан обзор современного состояния теории броуновского локального времени. Особое внимание уделено методам вычисления распределений различных функционалов от броуновского локального времени, свойствам его траекторий, предельным теоремам о сходимости к броуновскому локальному времени. А. Н. Бородин [9] исследовал функционалы от броуновского локального времени, функционалы типа максимума, аддитивные функционалы типа t т

АО- f/«j))ds+

О 1=-т и функционалы вида оо

B(t)= lf(yj(t,y))dy

Процесс броуновского движения можно рассматривать как до неслучайного момента времени, так и до различных случайных моментов остановки. При этом функционалы от броуновского движения будут функционалами от процесса, остановленного в различные моменты времени. При этом наиболее важным является экспоненциальный момент остановки, не зависящий от броуновского движения. Часто в качестве моментов остановки в приложениях рассматриваются моменты выхода процесса на границу интервала. Ещё один момент остановки, для которого хорошо разработаны методы вычисления различных функционалов, это момент, обратный к процессу броуновскому локальному времени. ^

В [5] рассмотрен наиболее общий момент остановки — обратный ко времени пребывания v(J3,t) = minO : ]g(w(v))dv+±pkl{s,zk)> t),

О к=1 где g — неотрицательная кусочно-непрерывная функция, Рк > 0, k = l,2,.q. Все рассматриваемые ранее моменты остановки получаются как частные случаи этого момента.

В [7] приведены теоремы, позволяющие найти распределение интегральных функционалов от винеровского процесса с линейным сносом wc (s) = w(s') + с - s до момента "т", имеющего показательное распределение, также найдено распределение этого процесса до неслучайного момента "t".

В [11] рассматривается задача о вычислении распределений неоднородных функционалов от броуновского процесса специального вида. Пусть w(s) - процесс броуновского движения. t

Функционал J/(s, w(s))ds является неоднородным интегральным о функционалом от броуновского движения w.

Классический метод вычисления распределений таких функционалов базируется на решении дифференциальных уравнений в частных производных, В явном виде, как правило, такая задача не решается.

Для некоторых частных случаев функции f(s,x) решение задачи о распределении таких функционалов может быть основано на решении обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, что позволяет получать явные решения.

Это будет справедливо, например, для специального класса таких функционалов, когда f(s,x) является ступенчатой функцией переменной s с конечным числом интервалов постоянства.

В работе представлены результаты, позволяющие вычислять распределения специальных неоднородных- функционалов, характеризуемых двумя интервалами постоянства со случайными концами.

Рассмотрены примеры применения полученных результатов для вычисления конкретных распределений. В [12] доказаны общие теоремы о распределении функционалов от процесса, представляющего собой сумму броуновского движения с линейным сносом и сложного пуассоновского процесса.

Пусть w(t), t>0 - процесс броуновского движения, wc (t) = с • t + ow(t) -броуновское движение с линейным сносом.

N0)

Положим z(t) = wc(t)+ Y,yk > гДе N(t), t>0 - пуассоновский процесс с к=1 параметром /Lj, а ук - независимые, одинаково распределённые величины.

Основной результат работы позволяет вычислять совместное распределение величин л lf{z(s))ds, inf z(s), sup^s), где т - не зависящий от процесса z(s);s>0} случайный момент остановки с показательным распределением с параметром Л > 0, т.е. р(т = •

В справочнике [3] собрано большое количество формул, относящихся к броуновскому движению. Справочник состоит из двух частей. В первой части представлена общая теория диффузий и броуновского движения. Вторую часть составляют таблицы, содержащие более 2350 явных формул распределений функционалов и их преобразований Лапласа для броуновского движения и смежных процессов.

В диссертации изучаются также неубывающие перестановки. В области предельных теорем оператор неубывающей перестановки впервые был применён В. А. Егоровым, который в работе [34], используя результаты В. Б. Невзорова [25], получил одномерное распределение неубывающей перестановки стандартного винеровского процесса и времени, проведённого этим процессом ниже уровня "х". Так, плотность распределения абсолютно непрерывной компоненты p(t,x) одномерного распределения случайного процесса v(x) = mes{s е [0,1], w(s) < х) определяется по формулам л2

1 — p(t,x) = —. е 2' 0<х<1,х>0 p(t,x) =—. е 2(1-0 0 < х < 1,х < 0

При х>0, t=l; х<0, t=0 распределение имеет атом, точнее p(v(x) = 1) = р(у(-х) = 0) = 2Ф(х) -1 (х > 0)

Е. Е. Жуковой [17] найдено распределение монотонной перестановки устойчивых процессов.

А. Н. Ширяев в своей книге «Основы стохастической финансовой математики» [32] дал обзор применений распределений функционалов от случайных процессов к экономическим задачам.

Идея использования «случайного блуждания» для описания эволюции цен была впервые высказана Л. Башелье в его диссертации 1900 года "Theorie de la speculation".

После работы М. Кендалла резко увеличился интерес к более углублённому изучению динамики финансовых показателей и построению различных вероятностных моделей, объясняющих наблюдаемые эффекты.

Работа Г.Робертса, следующая идеям Г.Ворнинса и М. Кендалла, была адресована практикам финансового бизнеса и содержала эвристические аргументы в пользу случайного блуждания.

Работа астрофизика М. Осборна, названная "Brounian Motion in the Stock Market", возникла, по его же словам, как желание апробировать его физическую и статистическую технику на реальных данных, каковыми являются цены акций т>

Не будучи знакомым с работами JI. Башелье, Г.Ворнинса и М. Кендалла, М. Осборн пришёл, по существу к тем же выводам, отмечая правда, что не сами цены (с которыми оперировал Башелье), а их логарифмы подчиняются броуновскому движению (со сносом)

Эта же мысль получила затем своё развитие в работе Г. Самуэльсона, введшего в финансовую теорию и практику геометрическое (или, как он говорил — экономическое) броуновское движение Л

OWt+KU--)t

St=S0e 2 , t > 0, где w=w(t) - стандартное броуновское движение.

Рассмотрим (B,S) - рынок, состоящий из двух активов:В = (Вп) банковский счёт, S = (Sn ) - акции.

ABn=rBnXi ASn=/?A-iрп - последовательность независимых случайных величин, принимающих два значения а и b; г - процентная ставка, p+q=l. 0<р<1. -l<a<r<b, P(pn=b)=p; P(Pn=a)=q;

Эта модель для цен акций ^азывается биномиальной моделью Кокса-Росса-Рубинштейна и очень распространена в финансовой математике (даёт возможность полного расчёта многих финансовых характеристик — цен опционов, хеджирирующих стратегий и пр.) - дискретный аналог геометрического броуновского движения.

В соответствии с принципом инвариантности, известном из предельных теорем, винеровский процесс может возникать в результате предельных переходов в самых разнообразных схемах случайных блужданий.

Первая попытка математического описания эволюции стоимости S=(St)t^0 акций была предпринята JI. Башелье в его диссертации "Theorie de la speculation" (1900г.), где St рассматривается как случайный процесс.

Анализируя экспериментальные данные цен t=0, А, 2А ., он замечает, что — имеют (в статистическом смысле) нулевые средние и флуктуации порядка л/А.

Таким свойством обладает, например, случайное блуждание S^, t=0, А,

2А . , = SQ + X > гДе независимые одинаково распределённые д

Г- \ принимают два значения+,—<Тл/А с вероятностью 0.5.

Предельный переход при А -> 0 приводит к случайному процессу St = S0 + aw(, t > 0, wt - винеровский процесс. Поясним некоторые экономические термины .

Опцион-колл (опцион покупателя) - контракт, который обязывает продавца продать товар по фиксированной цене К в определенный момент времени Т, а покупателю дает право купить товар.

Опцион-пут (опцион продавца) - обратный тип по отношению к опционам купли. Продавец контракта обязуется купить товар по цене К в срок обозначенный в контракте.

Аналогично опционам купли, если требование к исполнению подобного контракта может быть выставлено до срока реализации включительно), опцион называется американского типа, а если ровно в срок, то европейского типа. .

Опционы относятся к сделкам с объявленной премией. Покупатель выплачивает владельцу опциона премию, размер которой объявлен заранее и которая выплачивается сразу. Для покупателя это просто цена опциона.

Платежная функция (функция выплаты) - доход покупателя опциона, то есть разница между рыночной ценой актива в момент Т и ценой К при условии превосходства первой цены над второй и ноль в противном случае fт =(S т -К)+

Рациональная цена опциона Ст - минимальная из таких цен, что агент имеет возможность расплатиться при любом возможном изменении цен акций, то есть это математическое ожидание, взятое относительно такой меры, что каждое приращение цены акции в будущем имеет нулевое среднее при всяком фиксированном прошлом.

Отправляясь от броуновского движения, JI. Башелье дал формулу для математического ожидания Ст = EfT с платёжной функцией fT = (ST - К)+ ,то есть рациональной стоимости опциона в момент исполнения Т по цене исполнения К

Найденная Башелье формула

С, = (5, - К)+ J

1-2 х где ф(х) - .— е— , Ф(х)= J^(y)dy явилась предшественницей знаменитой формулы Блэка и Шоулса для рациональной стоимости европейского опциона колл, когда Дописывается геометрическим или экономическим броуновским движением ow(t)+(n—)/

St=S0e 2 . В [39] найдена цена опциона для платёжной функции fT= (ST-K)+J\ * где S*(T) = maxS(0; 0<К<Ь,гдеК,Ь (/ 0<t<T данные величины, S(t) — геометрическое броуновское движение. При Z -> да получается классическая формула Блэка и Шоулса.

Такжа вычислена цена для платёжной функции более общего вида, использующая распределение функционалов от случайного процесса, остановленного в минимальный из моментов и лть,где0<u<t<T, tl= min{?>0;S(t) - L}

В [39],глава 25 найдена справедливая цена американского опциона и оптимальный момент его продажи.

Если эволюция цены американского опциона описывается уравнением dS=rSdt+aSdw, L е [О,К] , то его справедливая цена вычисляется следующим образом. Предположим, что начальная цена меньше L . Определим tl = min{? > 0; S(t) = L} fK -x, если х < L vL (*) = Ее-"*- (К - S(tl )У =

ЦК - L)Ee L, х > L

Для вычисления оптимальной цены нужно вычислить Vl(x) и максимизировать по L. Тогда мы получим v(x) =

K-x) 0 < x < L

2 г

К-1Уф~°2 x>L* L

2 rK где L = cr2+2г

В книге В. Н. Иголкина и А. Б. Ковригина «Финансовые потоки и их флуктуации» [19] рассмотрено стохастическое дифференциальное уравнение вида dS = S(adt + bdw + cdN), где w(t) - винеровский процесс, a N(t) - пуассоновский процесс с параметром единица. В этой работе найдена оптимальная цена европейского опциона, если его стоимость описывается данным уравнением. А. Н. Ширяев рассматривал случайный процесс z(s)=aw(s)+cs+N(s) для описания динамики страховой компании.

Рассмотрим содержание данной работы.

Заключение диссертации по теме «Дискретная математика и математическая кибернетика», Смирнова, Вера Андреевна

В данной работе был разработан математический аппарат, позволяющий находить распределения интегральных функционалов и функционалов типа супремума от винеровского процесса с линейным сносом и производных от него процессов. Особое внимание было уделено изучению распределений функционалов для момента, обратного ко времени пребывания.С помощью предложенного подхода можно находить явные формулы для распределений, применимые, в частности ,к финансовой математике.Рассмотрены примеры нахождения конкретных распределений.Полученные результаты могут помочь при разработке стратегии биржевой игры, а также нахождении справедливой цены опциона и оптимального момента его продажи.Решено несколько конкретных экономических задач ,в частности найдена вероятность разорения страховой компании, если ее расходы описываются с помощью суммы винеровского и пуассоновского процессов.Также найдено распределение неубывающей перестановки винеровского процесса с линейным сносом и получены формулы для математического ожидания и дисперсии этого процесса.Результаты диссертации могут быть использованы математиками теоретиками,прикладными математиками, финансовыми аналитиками ,а также в учебном процессе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Смирнова, Вера Андреевна, 2008 год

1.Барон М.И. О моменте первого достижения процессов ожидания// Теория вероятностей и ее применения, 41, в.2 (1996), с.396—402.

2. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований, т. 1, М. Наука, 1969, 343 с.

3. Бородин А. Н., Салминен П. Справочник по броуновскому движению. СПб. 2000. 640 с.

4. Бородин А. Н., Ибрагимов И. А. Предельные теоремы для функционалов от случайных блужданий. Наука. СПб, 1994 с.28-38.

5. Бородин А.Н. О распределении функционалов от броуновского движения, остановленного в момент,обратный ко времени пребывания // Зап. Научн. сем. ГОМИ 228(1996), с.39—56.

6. Бородин А. Н. Распределение функционалов от броуновского локального времени // Т.В. и применение 34, N 3 (1989)с. 433—450.

7. Бородин А. Н. Распределение функционалов от винеровского процесса с линейным сносом // Кольца и модули. Предельные теоремы теории вероятностей, вып. 3, 1993 с.224-234

8. Бородин А. Н. Броуновское локальное время // Успехи математических наук, 44, №2(1989).

9. Бородин А. Н. Распределение функционалов от броуновского локального времени // Теория вероятностей и её приложения, 34,№4 (1989).

10. Бородин А. Н. О распределении функционалов от броуновского движения, остановленного в момент, обратный к локальному времени // Зап. Научн. Сем. ПОМИ 228 (1996).

11. Бородин А. Н. Распределения специальных неоднородных функционалов // Зап. Научн. Сем. ПОМИ, 320 (2004) с.5-29

12. Бородин А. Н. Распределение функционалов от некоторых процессов с независимыми приращениями // Вестник СПГУ, серия №4, (2005).

13. Вагурина И. В. Распределение функционалов от броуновского движения, остановленного в различные случайные моменты. Канд. дисс. .2006

14. Гихман И. И. Скороход А В. Введение в теорию случайных процессов. М., Наука, 1965г.

15. Егоров В. А. О распределении времени пребывания // Зап.Научн.Сем. ПОМИ, 177,(1989).

16. Жукова Е. Е. Монотонные перестановки случайных процессов // Записки научных семинаров ЛОМИ 216 (1994), с.60-75.

17. Жукова Е.Е. Монотонные и выпуклые перестановки функций и случайных процессов. Канд. дисс. 1994г.

18. Иголкин В.Н., Ковригин А. Б. Финансовые потоки и их флуктуации. Из-во СПГУ,2006,120с.

19. Лабковский В.А. Об одном свойстве процесса ожидания // Теория вероятностей и ее применение, 18 в.1 (1973), с.203—206.

20. Лабковский В.А. Письмо в редакцию//Теория вероятностей и ее применение 18 ,в.З (1978),с. 698—700.

21. Леви П. Стохастические процессы и броуновское движение. М., Наука, 1972

22. Либер А. В, Смирнова В. А. О распределении функционалов от броуновского движения с линейным сносом // З.Н.С. ПОМИ, том 244,1997 с. 205-217

23. Р. Ф. Липцер, А. Н. Ширяев. Статистика случайных процессов. М, Наука ,1970г.

24. Невзоров В. Б. Распределение упорядоченных случайных величин и их сумм. Докторская диссертация, Л. 1987 г.

25. Розанов Ю. А. Случайные процессы. Из-во «Наука» Москва, 1971г.

26. Смирнова В.А. О среднем времени достижения труднодоступной границы// Деп. ВИНИТИ ,1995 ,с. 1-12

27. Смирнова В. А. Применение распределений функционалов к финансовой математике//Труды 37 международной научной конференции аспирантов и студентов ПМ-ПУ, 2006 с.600-604

28. Смирнова В. А. Распределение максимума суммы винеровского и пуассоновского процессов // Труды 39 международной научной конференции аспирантов и студентов ПМ-ПУ,2008 с.495-499

29. Смирнова В. А., Жукова Е. // О монотонных перестановках случайных процессов. «Известия ЛЭТИ» 2002с. 141-147

30. Смирнова В.А. Математическое ожидание и дисперсия неубывающей перестановки винеровского процесса с линейным сносом // Труды 34 научной конференции аспирантов и студентов ПМ-ПУ, 2004 г.

31. Ширяев А. Н. Основы стохастической финансовой математики, том 1-2, 1998г., из-во «Фазис» Москва.

32. Boylan Е. S. Local time for a class of Markoff proctsses. Illinois J. Mfth. 8 no . 1 (1994), 19-39.

33. Egorov V.A. Limit Thorems for order statistics and the operator of nondecreasing rearrangement. Preprint issue 14, Universiti of Lund, Sweden, 1993. p. 1-20.

34. Levy P. Sur certins processus stochastiquesnomogenes. Compositio Matematica 7 (1939). 283-339.

35. Revuz D.Yor M. Continuous Martingales and Brounian Motion.Springer Verlag, Berlin Heid elberg and New Jork, 1991.

36. Rogers L. Williams D. "Diffusions, Markov Processes fnd Martingales" Willey and Sons, New Jork, 1987

37. Stein E. M. Introduction to Fourier analysis on Euclidean spaces, 1971

38. Steven Shreve: Stochastic Calculus and Finance. Carnegie Mellon University 1997.

39. Shepp L. A., On integral of absolute of the pinned Wiener process., Ann. Probab. 10 no 1 (1982), 243-249.

40. Wendel J.G. Order statistics of partial sums . University of Michigan (1960)p. 1034-1045.