Расчетно-теоретические исследования вертикальных смещений плазмы и электромеханических нагрузок при срывах разряда в токамаке тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.08, кандидат наук Кирамов Дмитрий Ильдарович

• Кирамов Дмитрий Ильдарович
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Кирамов Дмитрий Ильдарович

Введение

Глава 1 Модель трёх проводников

1.1. Постановка задачи

1.2. Предел идеальной стенки

1.3. Движение плазмы на резистивных временах

1.4. Устойчив ость движения плазмы

1.5. Численный эксперимент

1.6. Экспериментальные данные

1.7. Выводы к первой главе

Глава 2 Двумерная модель стадии срыва тока в токамаке

2.1. Постановка задачи

2.2. Начальные и граничные условия

2.3. Численная модель

2.4. Численный эксперимент

2.5. Скорость плазмы

2.6. Температура плазмы

2.7. Изменение тока плазмы

2.8. Нарушение теоремы вмороженности

2.9. Выводы ко второй главе

Глава 3 Расчёт электромеханических нагрузок на стенку токамака во

время срыва

3.1. Постановка задачи

3.2. Аналитические выражения для ^ и I на границе стенки

3.3. Аналитические выражения для поверхностной плотности силы

3.4. Численный эксперимент

3.5. Выводы к третьей главе

Заключение

Литература

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Расчетно-теоретические исследования вертикальных смещений плазмы и электромеханических нагрузок при срывах разряда в токамаке»

Актуальность темы исследования

Теоретическое описание динамики вертикального движения плазмы и электромеханических нагрузок при срывах разряда в токамаке необходимо для создания эффективных стратегий экстренного гашения плазменного разряда [1, 2]. Срыв разряда является сложным явлением, в развитии которого можно выделить две основных фазы — резкое уменьшение тепловой энергии плазмы на временах порядка 1-2 мс [1] (тепловой срыв) и спад тока разряда (срыв тока) на временах от десятка до сотни миллисекунд [1, 3, 4]. Срывы разряда на современных установках нельзя отнести к явлениям редким [1, 5, 6]. Количество срывов разряда в токамаке JET (2005—2007 гг.) составляет 6% от полного числа разрядов [6]. Следует отметить, что до недавнего времени изучение срывов не имело столь высокий приоритет среди прочих задач физики токамаков. Исключением стал самый крупный из ныне существующих токамаков - токамак JET, где электромеханические и тепловые нагрузки на стенку вакуумной камеры при срывах уже сейчас являются серьёзной проблемой [7-9]. Экстраполяция величин тепловых и электромеханических нагрузок при срывах от современных токамаков на токамак ИТЭР делает актуальными проблемы теоретического исследования вертикальных смещений плазмы и электромеханических нагрузок при срывах разряда в токамаке ИТЭР. Действительно, ток разряда в токамаке ИТЭР будет превышать значение тока разряда в токамаке JET в 7-15 раз [1], температура плазмы - в 3-4 раза [1], увеличивая тем самым величины нагрузок во время срыва, которые пропорциональны запасённой магнитной и тепловой энергии плазмы. Кроме того, работа в наиболее напряжённых операционных режимах строящегося в настоящее время токамака ИТЭР в большей степени по сравнению с современными установками будет подвержена опасности возникновения срывов разряда, поскольку одной из основных целей создания установки ИТЭР является достижение значений коэффициента выделяемой термоядерной мощности QDT = 10. Это будет возможно лишь при параметрах плазмы (давление, плотность,

тороидальный ток) близких к их критическим значениям, превышение которых может привести к неустойчивости плазмы и срыву разряда [1, 2].

Исследованию срывов посвящено, без преувеличения, огромное число как экспериментальных, так и теоретических работ [1]. Тем не менее, всё ещё существует значительная неопределённость в выборе подходов к составлению стратегий смягчения негативных последствий срывов в токамаке ИТЭР. Непосредственное применение развитых методов гашения разряда, используемых на современных установках, для токамака ИТЭР не является эффективным, так как параметры плазмы токамака ИТЭР (ток, давление, плотность) значительно превышают параметры плазмы современных токамаков. Помимо этого, конструкционные особенности токамака ИТЭР [1, 10, 11] значительно отличаются от большинства современных установок. Непосредственное применение результатов современных трёх- или двухмерных МГД кодов [12, 13] должно сопровождаться использованием результатов простых аналитических моделей срыва разряда, так как любые численные расчёты охватывают лишь конечную область операционного пространства установки. Кроме того, выявление важных для составления системы экстренного гашения разряда закономерностей из большого количества данных, производимых этими кодами, является трудной задачей. Таким образом, существует явная необходимость в поиске аналитических закономерностей движения плазмы во время срыва.

Одним из способов смягчения последствий теплового срыва является напуск примеси в виде криогенных таблеток [14] или в виде струи газа [15]. Инжектируемая примесь позволяет переизлучить тепловую энергию плазмы, перераспределяя её относительно равномерно [15] по первой стенке и дивертору, значительно (до температур порядка 10 эВ [1]) охлаждая плазму. Оба способа показали свою эффективность в ряде экспериментов на различных современных установках [5, 14, 16]. В рамках данной диссертационной работы найденные аналитические решения и созданные модели срыва тока разряда будут, помимо всего прочего, применяться для обсуждения возможных требований к системе экстренного гашения разряда посредством напуска примеси в токамаке ИТЭР. Как

отмечалось ранее, перенос требований к системе гашения разряда с современных установок [5, 14, 16] на токамак ИТЭР сопряжён со значительной неопределённостью. Различные авторы [2, 17, 18] предлагают различные варианты реализации такой системы. Найденные в рамках данной работы аналитические закономерности движения плазмы во время срывов позволяют оценить возможность применимости данных концепций к токамаку ИТЭР. Так, в работе [2] среди прочих «жёстких» ограничений к системе экстренного гашения разряда можно выделить:

• гашение тока разряда должно происходить достаточно быстро, чтобы плазма не успевала «дрейфовать» в первую стенку, вызывая тем самым дополнительные вертикальные нагрузки на стенку вакуумной камеры и тепловые нагрузки в точке касания;

• значение тока убегающих электронов не должно превышать 2 МА в момент качания плазмой стенки.

Ток в холодной плазме (плазме после экстренного напуска примеси) начинает затухать, индуктивно перебрасываясь на стенку, на резистивных временах т+. Характерное резистивное время плазмы получается из размерностных соображений т+ а а2/Юм, где а - характерный поперечный размер плазмы, а Им = цс2/4и - коэффициент диффузии магнитного поля. Простая оценка для токамака ИТЭР (в предположении наличия спитцеровской проводимости) даёт величину резистивного времени плазмы порядка сотни миллисекунд для электронной температуры порядка 10 эВ. Величина резистивного времени вакуумной камеры на современных установках пробегает широкий спектр значений (2.5-10 мс) [19], зависящий от материала и конструкционных особенностей вакуумных камер. Некоторые конкретные значения стеночного резистивного времени можно найти в работе [19]. Для токамака ИТЭР, по данным работ [19, 20], т7 = 150 — 500 мс. Таким образом, для стадии срыва тока токамака ИТЭР справедливо т7 > т+. В пределе т7 » т+ в рамках данной диссертации найдена функциональная зависимость между затухающим током холодной плазмы и вертикальным положением плазменного шнура. Простой анализ данной зависимости позволяет, в

частности, дать адекватную оценку возможности реализации концепции работы [2] и, в целом, служит удобным инструментом для оценки возможностей системы экстренного гашения разряда в токамаке ИТЭР.

Теоретическое описание динамики вертикального движения плазмы во время срыва разряда необходимо для оценки энергии, выносимой пучком убегающих электронов (УЭ) на первую стенку. Неконтролируемое движение плазмы во время срывов приводит плазменный шнур в контакт с первой стенкой или дивертором токамака, что ставит под угрозу целостность материалов первой стенки. Результаты численных расчётов указывают на то, что самосогласованный учёт вертикального движения пучка убегающих электронов (УЭ) является необходимым условием составления адекватных оценок энергии, которую пучок выносит на первую стенку токамака [21-24]. Так в работах [21-25] рассматривалась задача о перекачке магнитной энергии тока УЭ в их кинетическую энергию. В работе [21] было показано, что вторичная инжекция газа при экстренном гашении разряда ускоряет смещение плазмы по вертикали, тем самым увеличивает индуцированное электрическое поле и обеспечивает значительную регенерацию популяции УЭ. Полная кинетическая энергия электронного пучка, попавшая на стенку, на один порядок выше [21], чем его начальная (до касания стенки) кинетическая энергия. Таким образом, динамика вертикального движения пучка УЭ в значительной степени определяет величину кинетической энергии УЭ, выносимой на стенку.

Необходимость представляет исследование сил, действующих на стенку вакуумной камеры во время срыва. Нагрузки на стенку вакуумной камеры при срывах являются серьезной проблемой для токамака JET [7-9]. Уменьшение этих сил - неотложная задача, которую необходимо решить, чтобы гарантировать целостность проводящих компонентов конструкции токамака ИТЭР [26]. Недавние численные исследования [27, 28] указывают на то, что две еще неисследованные области требуют детального анализа. Первая это возбуждение сильных полоидальных токов в стенке при срыве тока [27]. Вторая - генерация значительных сил на стенку при тепловом срыве [28]. До недавнего времени [29,

30], существенность вклада теплового срыва и полоидальных токов в стенке в электромеханическую нагрузку на стенку вакуумной камеры ставилась под вопрос [31]. Аналитически было подтверждено, что оба эффекта могут сильно повлиять на величину интегральных сил [29]. Продолжением этого анализа послужила работа [30], в которой были найдены локальные распределения силы. В работе [32] численно был продемонстрирован значительный вклад полоидальных токов в стенке в результирующую. Результаты [29, 30, 32] указывают на то, что численные модели, не учитывающие полоидальных токов в стенке, не способны адекватно предсказывать как локальное распределение сил на стенку камеры, так и их интегральные значения.

Исследование динамики вертикальных смещений плазмы и анализ электромеханических нагрузок на стенку вакуумной камеры, возникающих во время срывов тепла и тока, являются актуальными для улучшения теоретического понимания физики срывов и создания эффективных стратегий экстренного гашения разряда в токамаке ИТЭР. Теоретическому исследованию этих аспектов физики срывов посвящена данная диссертация. Цели и задачи диссертационной работы

Основной целью настоящего диссертационного исследования является теоретическое изучение вертикальной неустойчивости холодной плазмы и электромеханических нагрузок на стенку вакуумной камеры во время срыва тока в токамаке.

Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:

1. Построение одномерной модели движения плазмы во время срыва тока в пределе идеальной проводимости стенки вакуумной камеры.

2. Построение двумерной модели движения холодной плазмы во время срыва тока, рассматривающей смещение плазмы в процессе затухания плазменного тока как медленное изменение бессилового равновесного состояния плазмы.

3. Анализ необходимости учёта полоидальных токов в стенке вакуумной камеры при вычислении сил, вызванных срывом в токамаке.

4. Поиск профиля и интегрального значения электромеханической силы,

действующей на стенку вакуумной камеры во время срыва тока в токамаке.

Научная новизна

В пределе идеальной проводимости стенки в рамках модели трёх проводников впервые была найдена зависимость между током плазмы и её положением в произвольный момент времени. Было показано, что бессиловая природа движения холодной плазмы во время срыва тока ведёт к её адиабатическому смещению по вертикали. Впервые аналитически было продемонстрирована наличие пороговой неустойчивости вертикального движения плазменного проводника в модели трёх проводников в пределе идеальной стенки.

В рамках диссертационной работы была создана новая двумерная модель движения холодной плазмы во время срыва тока, рассматривающая смещение плазмы в процессе затухания тока плазмы как медленное изменение бессилового равновесного состояния. В рамках новой двумерной модели было найдено поле скорости плазмы при её вертикальном движении. Численно найдено локальное распределение сил на стенку камеры во время срыва тока, которое качественно согласуется с результатами аналитических вычислений диссертационной работы. Численная реализация созданной двумерной модели срыва тока в токамаке позволила продемонстрировать значительность вклада полоидальных стеночных токов в результирующую силу, действующую на стенку вакуумной камеры во время срыва.

Теоретическая и практическая значимость

Представленная диссертационная работа позволяет глубже понять особенности движения плазмы во время срыва тока, указывая на её адиабатическую природу. Развитый в диссертационном исследовании подход, основанный на бессиловом ограничении, представляет собой простой и удобный инструмент для обсуждения возможности реализации эффективных стратегий экстренного гашения плазменного разряда в токамаке ИТЭР. Найденный

численный профиль силы, действующей на стенку вакуумной камеры при срыве разряда, необходим для оценок целостности вакуумной камеры и первой стенки токамака ИТЭР по отношению к электромеханическим нагрузкам во время срыва.

Положения, выносимые на защиту:

1. Зависимость между током плазмы и её вертикальным положением в пределе идеальной проводимости стенки вакуумной камеры, полученная в рамках созданной модели трёх проводников.

2. Пороговая неустойчивость вертикального движения плазменного проводника, полученная в рамках созданной модели трёх проводников.

3. Двумерная модель движения плазмы во время срыва тока в пределе идеальной проводимости стенки вакуумной камеры, рассматривающая смещение плазмы в процессе затухания плазменного тока как медленное изменение бессилового равновесного состояния плазмы.

4. Численное обоснование необходимости учёта полоидальных токов в стенке вакуумной камеры при описании срыва тока в токамаке. Расчёт профиля и интегрального значения электромеханической силы, действующей на стенку вакуумной камеры во время срыва тока в токамаке.

Достоверность результатов работы

Обоснованность результатов работы обусловлена использованием общепризнанно надёжных уравнений Максвелла и МГД, регулярных математических методов, и подтверждена согласием с результатами экспериментов, аналитических работ других авторов и данными кодов ДИНА и JOREK.

Апробация результатов

Основные результаты диссертации докладывались автором на следующих конференциях:

• The Sherwood Fusion Theory Conference, Auburn, AL - USA, 2018;

• The Sherwood Fusion Theory Conference, Annapolis, MD - USA, 2017;

• 43rd European Physical Society Conference on Plasma Physics, Leuven, Belgium,

2016;

• IPP Summer University for Plasma Physics and Fusion Research, Greifswald,

Germany, 2015;

• 2nd Summer School on the Physics of Plasma-Surface Interactions, Moscow,

Russia, 2016;

• International III Summer School on the Physics of Plasma-Surface Interactions,

Moscow, Russia, 2018;

Публикации

Материалы диссертации опубликованы в 3 статьях в журналах, индексируемых в международных базах SCOPUS и Web of Science, 3 из которых входят в список ВАК.

Личный вклад автора

Основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы.

Автор нашёл зависимость между током холодной плазмы и её положением в произвольный момент времени в рамках модели трёх проводников. Автором был произведён анализ вертикального движения холодной плазмы в пределе идеальной проводимости стенки во время срыва тока в токамаке на наличие пороговой неустойчивости вертикального движения плазменного проводника.

Двумерная модель движения холодной плазмы во время срыва тока, рассматривающая смещение плазмы в процессе диссипативной эволюции как медленное изменение бессилового равновесного состояния, была построена лично автором.

Аналитическое вычисление профиля силы, вызванной срывом разряда, было произведено автором совместно с научным руководителем. Все аналитические и численные вычисления, которые легли в основу одномерной модели трёх

проводников и двумерной модели срыва тока в токамаке, были произведены Кирамовым Д.И.

Структура и объём диссертации

Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения, и библиографии. Общий объём диссертации составляет 106 страниц, включая 26 рисунков и 2 таблицы. Библиография включает 97 наименование на 10 страницах.

Благодарности

Данная диссертационная работа посвящена моим родителям, которые вложили в меня те моральные принципы, которых я придерживаюсь по сей день.

Выражаю глубокую благодарность и своё искреннее уважение моему научному руководителю Пустовитову Владимиру Дмитриевичу. Его подход к работе и строгость выводов являются для меня образцовыми. Выражаю свою благодарность своему первому научному руководителю, Коновалову Сергею Владимировичу. Он принял меня студентом и определил тот круг задач, в пределах которого я продолжаю работать. Я благодарю сотрудников Отделения Теории Плазмы Курчатовского института за стимулирующие дискуссии. Отдельную благодарность я выражаю Бакунину Олегу Геннадьевичу, он всегда был для меня образцом физической интуиции и математической строгости рассуждений. Выражаю свою благодарность всем сотрудникам и преподавателям кафедры №21 МИФИ, в особенности Курнаеву Валерию Александровичу. Его мудрые решения в значительной степени определили мой дальнейший путь в науке.

Я хотел бы поблагодарить моего первого учителя физики Алейникова Николая Николаевича. Он открыл для меня изящную красоту физики и сформировал основу моей физической интуиции. В особенности я благодарен моему учителю Брейзману Борису Нухимовичу. Я бесконечно благодарен ему за возможность учиться и работать с физиком столь талантливым и последовательным. Я - лишь сумма людей, которые меня учили, сумма меньшая, чем каждый отдельный элемент в ней.

13

Глава 1 Модель трёх проводников

Срывы разряда в токамаках нарушают контроль положения плазмы, что позволяет плазменному шнуру свободно двигаться в сторону первой стенки и диверторных пластин. Эти опасные явления значительно усиливают тепловые и механические нагрузки на первую стенку и проводящие элементы конструкции токамака, а также способны привести к формированию релятивистских пучков убегающих электронов. Фундаментальное понимание физики срывов и поиск способов смягчения негативных последствий срывов являются одними из приоритетных вопросов для токамака ИТЭР.

Результаты ряда экспериментов [33-45] указывают на то, что плазменный шнур во время срыва тока стремится смещаться вертикально, при этом характерный временной масштаб вертикального движения плазмы скорее резистивный, чем альфвенский. Эти наблюдения свидетельствуют о том, что суммарная электромагнитная сила, действующая на плазму во время срыва тока, равна нулю, и движение плазмы происходит бессиловым образом. Размерностные

соображения позволяют оценить вклад силы инерции F¿ = в уравнение

движения плазмы. Для параметров плазмы токамака ИТ ЭР имеем: р = 1.7 X 10"7кг • м"3, Ур = 800 м3, а = 3 м, где р - плотность плазмы, У+ - объём плазмы, а а - характерный пространственный масштаб, на который смещается плазма за время срыва тока. За характерное время движения плазмы т будем брать т+ « 0.1 с для холодной плазмы и т7 « 0.5 с для плазмы горячей. Оценкой силы инерции имеем F¿ а У+ра/т2. Находим далее, что как для холодной, так и для горячей плазмы, F¿ не превышает одного ньютона. Следует отметить, что ожидаемые силы на стенку вакуумной камеры в токамаке ИТЭР превышают данную оценку на шесть порядков [46-48]. Одного этого факта достаточно для того, чтобы пренебречь силой инерции в уравнении движения плазмы во время срыва тока.

1.1. Постановка задачи

В первой главе рассматривается геометрически простая система, которая описывает плазму токамака, окружённую проводящими элементами конструкции. Данная модель позволяет выделить основополагающий механизм эволюции вертикального смещения плазменного проводника во время срыва тока в токамаке. Такое же геометрическое упрощение было использовано в работах [49-52]. Интересной особенностью работ [49-52] является учёт конечного значения массы плазменного шнура или, что эквивалентно, учёт конечного значения альфеновского времени. С другой стороны, бессиловой анзац делает описание вертикального движения холодной плазмы прозрачным, немедленно устраняя альфвенский временной масштаб из задачи. Аналогичный работам [49-52] учёт инерции плазменного шнура приводит лишь к незначительным осцилляциям положения равновесия плазмы вокруг среднего.

Рис. 1.1. Схематическое изображение плазменного (¿+), первого (¿т) и второго (¿2) стеночных проводников.

Хотя полное описание движения бессиловой плазмы должно включать уравнение Грэда - Шафранова и уравнение диффузии магнитного поля, некоторые важные качественные особенности такого движения могут быть получены из простой модели трёх проводников. Будем рассматривать систему, состоящую из плазмы, стенки и внешних проводников, как набор из трёх тонких коаксиальных

круговых петель фиксированного радиуса (см. Рисунок 1.1). Три петли лежат в параллельных плоскостях. Расстояние 2а между неподвижными стеночными проводниками (серые проводники на Рисунке 1.1) предполагается намного меньшим, чем их радиус Д0. Токи и 12 в стеночных проводниках моделируют токи в проводящей стенке вакуумной камеры. Центральная петля (тороидальный плазменный проводник с током ) может перемещаться вдоль вертикальной оси. Предположим, что два стеночных проводника имеют одинаковое сопротивление и коэффициент самоиндукции . Сопротивление плазменного проводника составляет Яр, а его коэффициент самоиндукции Ьр. В пределе Я0/а»^2 коэффициент взаимной индукции ^12 двух стеночных проводников приблизительно равен [53]

Ь12=^о^о(1п[4Ио/а]-2). (1.1)

Коэффициенты взаимной индукции плазмы и стеночных проводников

составляют соответственно

ь1р = Ь7+[1 - р 1п(1 + О] (1.2)

и

Ь.р = Ь„р[1 - £ 1п(1 - О], (13)

где

^р = ^о(1пто/а]-2), (1.4)

а

р = (\п№о/а]-2у\ (1.5)

Предположим наличие двух дополнительных круговых проводников с током 1в,

расположенных над и под первым и вторым стеночными проводниками,

соответственно. Эти проводники создают статическое внешнее квадрупольное

магнитное поле. Два внешних проводника имитируют наличие внешнего

магнитного поля, необходимого для создания диверторной конфигурации

токамака. Предположим, что ток в двух внешних проводниках 1в не изменяется во

времени. Данное предположение справедливо, если внешние проводники

расположены за пределами вакуумной камеры, проводимость которой в рамках

данной задачи будем считать бесконечной.

Модель трёх проводников сводит задачу о вертикальном движении плазмы во время срыва тока к совместному решению системы уравнений цепи (1.6)

б б б

17 + Ь т. бь Ь + ^ 7р бь

б б б

1т2~бьч + Ь 7 бь Ь + ^ 7р бь

IV-1- ЪЛ^р

17+ Ш[1 - + + + 17+ ¿р-РШ-О] ( 12 + 1е) би

(16)

+ I

ь+ бь р1р

и уравнения движения плазменного проводника, которое в предположении о равенстве нулю модуля полной силы, действующей на плазменный проводник, сводится к

РА = 0, (1.7)

где РА - сила Ампера, действующая на центральный проводник со стороны всех

внешних проводников. При выводе (1.6) мы использовали уравнения (1.1-1.5).

Выражение для силы Ампера, действующей на центральный проводник, можно

записать следующим образом:

„ _ _ [1р[1. + 1е] 1р[к + 1е]\ п

Ра-Са{~Т-$ т+т)' (18)

где СА - положительная постоянная, а % — х/а - безразмерное вертикальное смещение (см. Рисунок 1.1). При записи (1.8) было сделано предположение о том, что внешние проводники находятся настолько близко к проводникам стеночным, что за их расстояние до центрального проводника можно взять 1 — % и 1 + <;, соответственно. Подставляя выражение (1.8) в уравнение движения (1.7), найдём связь между безразмерной вертикальной координатой плазменного проводника и всеми токами в системе:

к — Ч

К — -—-—(1.9)

Ъ 1± + 1. + 21е К J

Совместное решение системы уравнений цепи (1.6) и уравнения (1.9) полностью описывает динамику системы трёх проводников.

Следует отметить, что данная система содержит одну очевидную симметрию. Если начальные условия таковы, что токи в стеночных проводниках

имеют одинаковое значение, а проводник центральный находится в геометрическом центре системы, то задача становится, в некотором смысле, статической. Плазменный проводник будет находится в геометрическом центре, а токи будут перераспределяться по системе, пока в конечном счёте не затухнут, если в системе существует диссипативные стоки магнитной энергии (конечные значения проводимости проводников). Отметим, что данная ситуация является вырожденной и, скорее всего, не имеет отношения к реальности.

1.2. Предел идеальной стенки

Для решения системы уравнений (1.6) и (1.9) удобно перейти к новым переменным, которые являются линейными комбинациями токов в первом и втором стеночных проводниках:

Я = 4 + 1. (1.10)

и

Р = Н-Ь. (111)

Нетрудно заметить, что q задаёт полный ток в стенке, а р разность между токами в

первом и втором стеночных проводниках. Система (1.6) в новых переменных

выглядит следующим образом:

(Ьш + — Я + Ь7р — [2-р 1п(1 - $2)]1р = -Я^,

(1.12)

а

- + 17р^Р1п

а

1-*

[1 + 0

Iр ^шР,

(1.13)

а

17рЦ(ч +21е)

d р (И2

1-5

и + $ \

Л .

+ 1рШ1р

Кр ¿р.

Уравнение (1.9) также приобретает новый вид:

Р

ц + 2\е

(114)

(1.15)

Рассмотрим теперь предельный случай идеально проводящей стенки ( Rw = 0). Это означает, что время затухания плазменного тока значительно короче резистивного времени стенки вакуумной камеры. Для токамака ИТ ЭР по данным работ [10, 11] tw = 150 — 500 мс. Таким образом, для стадии срыва тока токамака ИТЭР справедливо т w » т+. Следовательно, стенку вакуумной камеры во время срыва тока можно рассматривать как идеальный проводник. Данное утверждение нельзя применить ко всем установкам типа токамак. Так, например, длительность срыва тока токамака JET обычно превышает резистивное время стенки [10, 16].

Без ограничения общности, будем считать ток в центральном проводнике i+ заданной функцией времени. Таким образом, природа токонесущих частиц остаётся неизвестной - будь то релятивистские электроны или основная масса электронов, находящаяся «под куполом» функции распределения. Пренебрегая правыми частями, мы можем проинтегрировать уравнения (1.12) и (1.13):

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Кирамов Дмитрий Ильдарович, 2019 год

Литература

1. T.C Hender. et al. Chapter 3: MHD stability, operational limits and disruptions // Nuclear Fusion. 2007. Vol. 47, № 6. P. S128-S202.

2. E.M. Hollmann, P.B. Aleynikov, T. Fulop, D.A. Humphreys, V.A. Izzo, M. Lehnen, V.E. Lukash, G. Papp, G. Pautasso, F. Saint-Laurent. et al. Status of research toward the ITER disruption mitigation system // Physics of Plasmas. 2014. Vol. 22, № 2. P. 021802.

3. J.A.Wesson. Transport in the sawtooth collapse // Physical Review Letters. 1997. Vol. 79, № 25. P. 5018-5021.

4. ITER Physics Basis Editors, ITER Physics Expert Group Chairs and Co-Chairs, ITER Joint Central Team Unit. Physics. Chapter 1: Overview and summary // Nuclear Fusion. 1999. Vol. 39, № 12. P. 2137-2174.

5. G. Pautasso, S. Egorov, Ch.. Tichmann, J.C. Fuchs, A. Herrmann, M. Maraschek, F. Mast, V. Mertens, I. Perchermeier, C.G. Windsor, and T. Zehetbauer. Prediction and mitigation of disruptions in ASDEX upgrade // Journal of Nuclear Materials. 2001. Vol. 290, P. 1045 - 1051.

6. P.C. de Vries, M.F. Johnson, and I. Segui. Statistical analysis of disruptions in JET // Nuclear Fusion. 2009. Vol. 49, № 5. P. 055011.

7. S.N. Gerasimov, T.C. Hender, J. Morris, V. Riccardo, and L.E. Zakharov. Plasma current asymmetries during disruptions in JET // Nuclear Fusion. 2014. Vol. 54, № 7. P. 073009.

8. V. Riccardo, S. Walker, and P. Noll. Modelling magnetic forces during asymmetric vertical displacement events in JET // Fusion Engineering and Design. 2000. Vol. 47, № 4. P. 389-402.

9. M. Lehnen, A. Alonso, G. Arnoux, N. Baumgarten, S.A. Bozhenkov, S. Brezinsek, M. Brix, T. Eich, S.N. Gerasimov, A. Huber. et al. Disruption mitigation by massive gas injection in JET // Nuclear Fusion. 2011. Vol. 51, № 12. P. 123010.

10.S.V. Konovalov, A.B. Mikhailovskii, V.S. Tsypin, R.M.O. Galvao, and I. C. Nascimento. Drift stabilization of internal resistive-wall modes in tokamaks // Plasma Physics Reports. 2003. Vol. 29, № 9. P. 779-784.

11.ITER Physics Expert Group on Disrup MHD and ITER Physics Basis Editors. Chapter 3: MHD stability, operational limits and disruptions // Nuclear Fusion. 1999. Vol. 39, № 12. P. 2251-2389.

12.C.R. Sovinec, A.H. Glasser, T.A. Gianakon, D.C. Barnes, R.A. Nebel, S.E. Kruger, D.D. Schnack, S.J. Plimpton, A. Tarditi, and M.S. Chu. Nonlinear magnetohydrodynamics simulation using high-order finite elements // Journal of Computational Physics. 2004. Vol. 195, № 1. P. 355 - 386.

13.H. Strauss, E. Joffrin, V. Riccardo, J. Breslau, and R. Paccagnella. Comparison of jet AVDE disruption data with M3D simulations and implications for ITER // Physics of Plasmas. 2017. Vol. 24, № 10. P. 102512.

14.N. Commaux, D. Shiraki, L.R. Baylor, E.M. Hollmann, N.W. Eidietis, C.J. Lasnier, R.A. Moyer, T.C. Jernigan, S.J. Meitner, S.K. Combs. et al. First demonstration of rapid shutdown using neon shattered pellet injection for thermal quench mitigation on DIII-D // Nuclear Fusion. 2016. Vol. 56, № 4. P. 046007.

15.V.A. Izzo. Impurity mixing and radiation asymmetry in massive gas injection simulations of DIII-D // Physics of Plasmas. 2013. Vol. 20, № 5. P. 056107.

16.M. Lehnen, G. Arnoux, S. Brezinsek, J. Flanagan, S.N. Gerasimov, N. Hartmann, T.C. Hender, A. Huber, S. Jachmich, V. Kiptily. et al. Impact and mitigation of disruptions with the ITER-like wall in JET // Nuclear Fusion. 2013. Vol. 53, № 9. P. 093007.

17.M. Sugihara. Status of DMS and other disruption related issues in ITER // paper presented at 21st ITPA MHD Workshop. 2012.

18.S. Maruyama, S. Putvinski, M. Sugihara, G. Kiss, R. Marrs, B. Macdonald, and P. Edwards. ITER disruption mitigation requirements and development of a gas cartridge concept. // in IEEE/NPSS 24th Symposium on Fusion Engineering. 2011

19.S.V. Konovalov, A.B. Mikhailovskii, V.S. Tsypin, R.M.O. Galvao, and I. C. Nascimento. Drift stabilization of internal resistive-wall modes in tokamaks // Plasma Physics Reports. 2003. Vol. 29, № 9. P. 779-784. 20.ITER Physics Expert Group on Disrup MHD and ITER Physics Basis Editors. Chapter 3: MHD stability, operational limits and disruptions // Nuclear Fusion. 1999. Vol. 39, № 12. P. 2251-2389.

21.Konovalov S. et al. Assesment of the runaway electron energy dissipation in ITER. 2016 IAEA Fusion Energy Conf.

22.J. Riemann, H. M. Smith, and P. Helander. Energetics of runaway electrons during tokamak disruptions // Physics of Plasmas. 2012. Vol. 19, № 1. P. 012507.

23.A. Loarte, V. Riccardo, J.R. Martin-Solis, J. Paley, A. Huber, and M. Lehnen. Magnetic energy flows during the current quench and termination of disruptions with runaway current plateau formation in JET and implications for ITER // Nuclear Fusion. 2011. Vol. 51, № 7. P. 073004.

24.J.R. Martin-Solis, A. Loarte, E.M. Hollmann, B. Esposito, and V. Riccardo. Intermachine comparison of the termination phase and energy conversion in tokamak disruptions with runaway current plateau formation and implications for ITER // Nuclear Fusion. 2014. Vol. 54, № 8. P. 083027.

25.S. Putvinski, P. Barabaschi, N. Fujisawa, N. Putvinskaya, M.N. Rosenbluth, and J. Wesley. Halo current, runaway electrons and disruption mitigation in ITER // Plasma Physics and Controlled Fusion. 1997. Vol. 39, № 12B. P. B157-B171.

26.David J. Campbell. Preface to special topic: ITER // Physics of Plasmas. 2015. Vol. 22, № 2. P. 021701.

27.F. Villone, G. Ramogida, and G. Rubinacci. Electromagnetic disruption analysis in IGNITOR // Fusion Engineering and Design. 2015. Vol. 93, P. 57 - 68.

28.R.R. Khayrutdinov, V.E. Lukash, and V.D. Pustovitov. Local and integral forces on the vacuum vessel during thermal quench in the ITER tokamak // Plasma Physics and Controlled Fusion. 2016. Vol. 58, № 11. P. 115012.

29.V.D. Pustovitov. Disruption forces on the tokamak wall with and without poloidal currents // Plasma Physics and Controlled Fusion. Vol. 59. № 5. P. 055008.

30.V.D. Pustovitov and D.I. Kiramov. Local and integral disruption forces on the tokamak wall // Plasma Physics and Controlled Fusion. 2018. Vol. 60, № 4. P. 045011.

31.S. Miyamoto, A. Isayama, I. Bandyopadhyay, S.C. Jardin, R.R. Khayrutdinov, V.E. Lukash, Y. Kusama, and M. Sugihara. Inter-code comparison benchmark between DINA and TSC for ITER disruption modelling // Nuclear Fusion. 2014. Vol. 54, № 8. P. 083002. 32.D.I. Kiramov and B.N. Breizman. Force-free motion of a cold plasma during the

current quench // Physics of Plasmas. 2018. Vol. 25, № 9. P. 092501. 33.O. Gruber, K. Lackner, G. Pautasso, U. Seidel, and B. Streibl. Vertical displacement events and halo currents // Plasma Physics and Controlled Fusion. 1993. Vol. 35, № SB. P. B191-B204.

34. D.A. Humphreys, T.A. Casper, N. Eidietis, M. Ferrara, D.A. Gates, I.H. Hutchinson, G.L. Jackson, E. Kolemen, J.A. Leuer, J. Lister. et al. Experimental vertical stability studies for ITER performance and design guidance // Nuclear Fusion. 2009. Vol. 49. № 11. P. 115003.

35. R.S Granetz, E.M Hollmann, D.G Whyte, V.A Izzo, G.Y Antar, A Bader, M Bakhtiari, T Biewer, J.A Boedo, T.E Evans, and et al. Gas jet disruption mitigation studies on ALCATOR C-mod and DIII-D // Nuclear Fusion. 2007. Vol. 47. № 9. P. 1086-1091.

36. R. Yoshino, S. Tokuda, and Y. Kawano. Generation and termination of runaway electrons at major disruptions in JT-60U // Nuclear Fusion. 1999. Vol. 39, № 2. P. 151-161.

37. J.A. Wesson, R.D. Gill, M. Hugon, F.C. Schuller, J.A. Snipes, D.J. Ward, D.V. Bartlett, D.J. Campbell, P.A. Duperrex, A.W. Edwards. et al. Disruptions in JET // Nuclear Fusion. 1989. Vol. 29, № 4. P. 641-666.

38. J-Y Favez, R.R. Khayrutdinov, J.B. Lister, and V.E. Lukash. Comparing TCV experimental VDE responses with DINA code simulations // Plasma Physics and Controlled Fusion. 2001. Vol. 44, № 2. P. 171-193.

39. F. Hofmann, M.J. Dutch, D.J. Ward, M. Anton, I. Furno, J.B. Lister, and J.-M. Moret. Vertical instability in TCV: comparison of experimental and theoretical growth rates // Nuclear Fusion. 1997. Vol. 37, № 5. P. 681-687.

40. S.C. Jardin, G.L. Schmidt, E.D. Fredrickson, K.W. Hill, J. Hyun, B.J. Merrill, and R. Sayer. A fast shutdown technique for large tokamaks // Nuclear Fusion. 2000. Vol. 40, № 5. P. 923-933.

41. A. Neto, G. De Tommasi, R. Albanese, G. Ambrosino, M. Ariola, G. Artaserse, A.J.N. Batista, B. Carvalho, F. Crisanti, H. Fernandes, P.J. Lomas, F. Maviglia, A. Pironti, F. Rimini, F. Sartori, and L. Zabeo. Exploitation of modularity in the JET tokamak vertical stabilization system // Control Engineering Practice. 2012. Vol. 20, № 9. P. 846 - 856.

42. P.L. Taylor, A.G. Kellman, T.E. Evans, D.S. Gray, D.A. Humphreys, A.W. Hyatt, T.C. Jernigan, R.L. Lee, J.A. Leuer, S.C. Luckhardt. et al. Disruption mitigation studies in DIII-D // Physics of Plasmas. 1999. Vol. 6, № 5. P. 1872-1879.

43. D.G. Whyte, R. Granetz, M. Bakhtiari, V. Izzo, T. Jernigan, J. Terry, M. Reinke, and B. Lipschultz. Disruption mitigation on ALCATOR C-mod using high-pressure gas injection: Experiments and modeling toward ITER // Journal of Nuclear Materials. 2007. Vol. 363. P. 1160 - 1167.

44. G. Pautasso, D. Coster, T. Eich, J. C. Fuchs, O. Gruber, A. Gude, A. Herrmann, V. Igochine, C. Konz, B. Kurzan. et al. Disruption studies in ASDEX upgrade in view of ITER // Plasma Physics and Controlled Fusion. 2009. Vol. 51, № 12. P. 124056.

45.J. Irby, D. Gwinn, W. Beck, B. LaBombard, R. Granetz, and R. Vieira. ALCATOR C-mod design, engineering, and disruption research // Fusion Science and Technology. 2007. Vol. 51, № 3. P. 460-475.

46.F. Romanelli, M. Laxaback, F. Durodie, L. Horton, M. Lehnen, A. Murari, F. Rimini, G. Sips, and K-D. Zastrow. The role of JET for the preparation of the ITER exploitation // Fusion Engineering and Design. 2011. Vol. 86, № 6. P. 459-464.

47. C. Bachmann, M. Sugihara, R. Roccella, G. Sannazzaro, Y. Gribov, V. Riccardo, T.C. Hender, S.N. Gerasimov, G. Pautasso, A. Belov, E. Lamzin, and M. Roccella.

Specification of asymmetric VDE loads of the ITER tokamak // Fusion Engineering and Design. 2011. Vol. 86, № 9. P. 1915-1919.

48. T. Schioler, C. Bachmann, G. Mazzone, and G. Sannazzaro. Dynamic response of the ITER tokamak during asymmetric VDEs // Fusion Engineering and Design. 2011. Vol. 86. № 9. P. 1963-1966.

49.D. Pfefferle and A. Bhattacharjee. Algebraic motion of vertically displacing plasmas // Physics of Plasmas. 2018. Vol. 25. № 2. P. 022516.

50. S.C. Jardin and D.A. Larrabee. Feedback stabilization of rigid axisymmetric modes in tokamaks // Nuclear Fusion. 1982. Vol. 22, № 8. P. 1095-1098.

51. S.C. Jardin, N. Pomphrey, and J. Delucia. Dynamic modeling of transport and positional control of tokamaks // Journal of Computational Physics. 1986. Vol. 66, № 2. P. 481-507.

52. R.O. Sayer, Y.-K.M. Peng, S.C. Jardin, A.G Kellman, and J.C. Wesley. TSC plasma halo simulation of a DIII-D vertical displacement episode // Nuclear Fusion. 1993. Vol. 33, № 7. P. 969-978.

53.E. B. Rosa and L. Cohen. The mutual inductance of two circular coaxial coils of rectangular section // Bulletin of the Bureau of Standards. 1906. Vol. 2, № 3. P. 359.

54.M.N. Rosenbluth and S.V. Putvinski. Theory for avalanche of runaway electrons in tokamaks // Nuclear Fusion. 1997. Vol. 37, № 10. P. 1355-1362.

55.V.M. Leonov and V.E. Zhogolev. Simulation of high-Z impurity behaviour for ITER operational scenarios using the ZIMPUR impurity code // Plasma Physics and Controlled Fusion. 2005. Vol. 47, № 6. P. 903-918.

56.. Lehnen, G. Arnoux, N. Hartmann, S. Brezinsek, S. Devaux, A. Huber, S. Jachmich, U. Kruezi, G.F. Matthews, C. Reux. et al. Disruption heat loads and their mitigation in JET with the ITER-like wall // Journal of Nuclear Materials. 2013. Vol. 438, P. S102-S107. 57.L.E. Zakharov, S.A. Galkin, S.N. Gerasimov, and JETEFDA contributors. Understanding disruptions in tokamaks // Physics of Plasmas. 2012. Vol. 19, № 5. P.055703.

58.L.E. Zakharov. The theory of the kink mode during the vertical plasma disruption events in tokamaks // Physics of Plasmas. 2008. Vol. 15, № 6. P. 062507.

59. V.D. Pustovitov. Disruption-induced poloidal currents in the tokamak wall // Fusion Engineering and Design. 2017. Vol. 117, P. 1-7.

60.N. Pomphrey, J.M. Bialek, and W. Park. Modelling of the toroidal asymmetry of poloidal halo currents in conducting structures // Nuclear Fusion. 1998. Vol. 38, № 3. P. 449-466.

61.L.E. Zakharov and X. Li. Tokamak magneto-hydrodynamics and reference magnetic coordinates for simulations of plasma disruptions // Physics of Plasmas. 2015. Vol. 22, № 6. P. 062511.

62. X. Li, L.E. Zakharov, and S.A. Galkin. Adaptive grids in simulations of toroidal plasma starting from magneto-hydrodynamic equilibrium // Plasma Science and Technology. 2015. Vol. 17, № 2. P. 97-104.

63.L.E. Zakharov and X. Li. Comment on "velocity boundary conditions at a tokamak resistive wall" [phys. plasmas 21, 032506 (2014)] // Physics of Plasmas. 2014. Vol. 21, № 9. P. 094701.

64.D. Kiramov, M. Lehnen, R. Khayrutdinov, and V. Lukash. ITER disruption simulations with improved power balance in the haloregion in 43rd EPS Conference on Plasma Physics (2016), p. P4.071.

65.H.R. Strauss, R. Paccagnella, and J. Breslau. Wall forces produced during ITER disruptions // Physics of Plasmas. 2010. Vol. 17, № 8. P. 082505.

66.H. Strauss. Reduction of asymmetric wall force in ITER disruptions with fast current quench // Physics of Plasmas. 2018. Vol. 25, № 2. P. 020702.

67.H. Strauss, R. Paccagnella, J. Breslau, L. Sugiyama, and S. Jardin. Sideways wall force produced during tokamak disruptions // Nuclear Fusion. 2013. Vol. 53, № 7. P. 073018.

68.J.L. Johnson, H.E. Dalhed, J.M. Greene, R.C. Grimm, Y.Y. Hsieh, S.C. Jardin, J. Manickam, M. Okabayashi, R.G. Storer, A.M.M. Todd, D.E. Voss, and K.E. Weimer. Numerical determination of axisymmetric toroidal

magnetohydrodynamic equilibria // Journal of Computational Physics. 1979. Vol. 32, № 2. P. 212 - 234.

69.D. I. Kiramov and B. N. Breizman. Model of vertical plasma motion during the current quench // Physics of Plasmas. 2017. Vol. 24, № 10. P. 100702.

70.L.L. Lao, H. St. John, R.D. Stambaugh, A.G. Kellman, and W. Pfeiffer. Reconstruction of current profile parameters and plasma shapes in tokamaks // Nuclear Fusion. 1985. Vol. 25, № 11. P. 1611-1622.

71. J. Blum, E. Lazzaro, J. O'Rourke, B. Keegan, and Y. Stephan. Problems and methods of self-consistent reconstruction of tokamak equilibrium profiles from magnetic and polarimetric measurements // Nuclear Fusion. 1990. Vol. 30, № 8. P. 1475-1492.

72. M. Brusati, J.P. Christiansen, J.G. Cordey, K. Jarrett, E. Lazzaro, and R.T. Ross. Analysis of magnetic measurements in tokamaks // Computer Physics Reports. 1984. Vol. 1, № 7-8. P. 345-372.

73. J.R. Ferron, M.L. Walker, L.L. Lao, H.E. St John, D.A. Humphreys, and J.A. Leuer. Real time equilibrium reconstruction for tokamak discharge control // Nuclear Fusion. 1998. Vol. 38, № 7. P. 1055-1066.

74. F. Hofmann and G. Tonetti. Tokamak equilibrium reconstruction using faraday rotation measurements // Nuclear Fusion. 1988. Vol. 28, № 10. P. 1871-1878.

75.J.-M. Moret, B.P. Duval, H.B. Le, S. Coda, F. Felici, and H. Reimerdes. Tokamak equilibrium reconstruction code LIUQE and its real time implementation // Fusion Engineering and Design. 2015. Vol. 91, P. 1 - 15.

76.H. Soltwisch. Current distribution measurement in a tokamak by FIR polarimetry (invited) // Review of Scientific Instruments. 1986. Vol. 57, № 8. P. 1939-1944.

77.D. Wroblewski, L. K. Huang, H. W. Moos, and P. E. Phillips. Determination of the poloidal magnetic field profiles in a tokamak by polarization spectroscopy of an impurity ion line // Physical Review Letters. 1988. Vol. 61, № 15. P. 1724- 1727.

78.V. Riccardo, G. Arnoux, P. Cahyna, T.C. Hender, A Huber, S Jachmich, V Kiptily, R Koslowski, L Krlin, M Lehnen. et al. JET disruption studies in support of ITER // Plasma Physics and Controlled Fusion. 2010. Vol. 52, № 12. P. 124018.

79.V. Riccardo, P. L. Andrew, A. S. Kaye and P. Noll. Disruption Design Criteria for Joint European Torus In-Vessel Components // Fusion Sci. Technol. 2003. Vol. 43, № 4. P. 493-5002.

80.Xu W., Liu X., Song Y., Li J. and Lu M. Electromagnetic and structural analyses of the vacuum vessel andplasma facing components for EAST // Fusion Eng. Des. 2013. Vol. 88, P. 1848.

81. Xu W., Liu X., Zheng J., Song Y. and Lu M. J. Analytical Analysis of the Electromagnetic Response for the Vacuum Vessel of EAST // Fusion Energy.

2016. Vol. 35, P. 161.

82. Qiu Q. et al. Simulation of EAST vertical displacement events by tokamak simulation code // Nucl. Fusion. 2016. Vol. 56, P. 106029.

83.Xue L. et al. Effects of the second X-point on hot VDE in HL-2M // Nucl. Fusion.

2017. Vol. 57, P. 056029.

84.Boozer A. H. Theory of tokamak disruptions // Phys. Plasmas. 2012. Vol. 19, P. 058101.

85. Villone F., Barbato L., Mastrostefano S. and Ventre S. Coupling of nonlinear axisymmetric plasma evolution with three-dimensional volumetric conductors // Plasma Phys. Control. Fusion. 2013. Vol. 55, P. 095008.

86.Pustovitov V. D. Radial force on the vacuum chamber wall during thermal quench in tokamaks // Plasma Phys. Rep. 2015. Vol. 41, P. 952.

87.Shafranov V. D. Equilibrium of a toroidal plasma in a magnetic field // J. Nucl. Energy. 1963 Vol. C 5, P. 251.

88.Mukhovatov V. S. and Shafranov V. D. Plasma equilibrium in a Tokamak // Nucl. Fusion. 1971. Vol. 11, P. 605.

89.Braams B. J. The interpretation of tokamak magnetic diagnostics // Plasma Phys. Control. Fusion. 1991. Vol. 33, P. 715.

90.Zakharov L. E. and Shafranov V. D. Reviews of Plasma Physics. 1986. Vol. 11, ed. M. A. Leontovich and B. B. Kadomtsev (New York: Consultants Bureau) P. 153-302.

91.Miyamoto K. Fundamentals of Plasma Physics for Controlled Fusion. 1997. (Tokyo: Iwanami).

92.Wesson J. A. Tokamaks 3rd edn. 2004. (Oxford: Oxford University Press).

93.Pustovitov V. D. Determination of plasma shift in a stellarator from magnetic measurements // Nucl. Fusion. 1990. Vol. 30, P. 1523.

94.Pustovitov V. D. Global Plasma Equilibrium in a Helical System with Ideally Conducting Wall // J. Plasma Fusion Res. 2004. Vol. 6, P. 550. (www. j spf. or.jp/JPFRS/PDF/Vol6/jpfrs2004_06-550.pdf).

95.Pustovitov V. D. Reviews of Plasma Physics. 2000. Vol. 21, ed. B. B. Kadomtsev and V. D. Shafranov (New York: Consultants Bureau) P. 1-201.

96.Goedbloed J. P. (Hans), Keppens R. and Poedts S. Advanced Magnetohydrodynamics With Applications to Laboratory and Astrophysical Plasmas. 2010. (New York: Cambridge University Press).

97.V. D. Pustovitov. Estimation of the radial force on the tokamak vessel wall during fast transient events // Plasma Phys. Rep. 2016. Vol. 42, P. 1005.