Расчет толстостенных цилиндрических оболочек при силовых и температурных воздействиях с учетом физической нелинейности и неоднородности материалов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.23.17, кандидат наук Полякова Людмила Сергеевна

• Полякова Людмила Сергеевна
• кандидат наук
• 2021

Оглавление диссертации кандидат наук Полякова Людмила Сергеевна

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА. ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ

1.1 Существующие методы учета физической нелинейности и неоднородности материалов при расчете конструкций (обзор)

1.2 Термоупругость. Особенности расчета конструкций, подверженных воздействию повышенных температур

1.3 Основные уравнения осесимметричной и центрально-симметричной задач для радиально-неоднородного и физически нелинейного материала

1.3.1 Модель нелинейной деформации

1.3.2 Способы описания неоднородности материалов

1.3.3 Осесимметричная и центрально-симметричная постановки задач

ГЛАВА 2. ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ И ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОЙ ЗАДАЧ ДЛЯ ФИЗИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНОГО НЕОДНОРОДНОГО МАТЕРИАЛА

2.1 Аналитическое решение одномерной нелинейной задачи

2.2 Итерационные методы решения нелинейной задачи

2.2.1 Метод последовательных приближений (метод переменных параметров упругости)

2.2.2 Метод последовательных нагружений (метод упругих решений)

2.2.3 Сравнение сходимости двух итерационных методов

2.3 Численное решение одномерной нелинейной задачи

Выводы по главе

ТЕПЛОВОМУ ВОЗДЕЙСТВИЮ

3.1 Влияние температуры на механические свойства бетона

3.2 Влияние температуры на диаграмму деформирования бетонов

Выводы по главе

ГЛАВА 4. ЗАДАЧА НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕРМОУПРУГОСТИ ТРЕХСЛОЙНОЙ ТОЛСТОСТЕННОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ

4.1 Постановка задачи

4.2 Решение для бесконечной цилиндрической оболочки

4.3 Решение для конечной цилиндрической оболочки

4.4 Решение задачи термоупругости методом конечных элементов в программном комплексе

Выводы по главе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ А

ПРИЛОЖЕНИЕ Б

ПРИЛОЖЕНИЕ В

ПРИЛОЖЕНИЕ Г

ПРИЛОЖЕНИЕ Д

ПРИЛОЖЕНИЕ Е

ПРИЛОЖЕНИЕ Ж

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Расчет толстостенных цилиндрических оболочек при силовых и температурных воздействиях с учетом физической нелинейности и неоднородности материалов»

Актуальность темы диссертации.

Существует большая группа инженерных сооружений, подвергающихся в процессе эксплуатации технологическому нагреву и действию наружных температур, которая включает в себя оборудование химической, нефтехимической и энергетической промышленности. Температурные воздействия и нагрузки в таких конструкциях часто являются осесимметричными. Материалы этих конструкций зачастую имеют упругопластические свойства, что ведет к необходимости учитывать в расчетах нелинейную зависимость напряжений от деформаций. Воздействие повышенных температур на материал конструкции приводит к неравномерному изменению его механических свойств и возникновению существенной неоднородности.

Задача выбора оптимальных размеров конструкции, обеспечивающих требуемую надежность при минимальном расходе материалов, требует как можно более точного описания напряженно-деформированного состояния с учетом реальных режимов работы и свойств материалов. Создание методов расчета термонагруженных конструкций, в полной мере удовлетворяющих этим требованиям, является важнейшим направлением строительной механики.

В нормативных документах для оценки НДС упругопластических материалов предлагаются упрощенные модели деформирования (параболически линейные, двух- и трехлинейные), которые актуальны с позиций оптимального проектирования и упрощения работы проектировщика. Однако для оценки НДС максимально приближенно к реальной работе материала необходимо использовать криволинейные модели деформирования, наиболее точно описывающие опытные диаграммы деформирования материалов.

Во многих работах отечественных и зарубежных ученых исследовано влияния повышенных температур на физико-механические свойства материалов, что также нашло свое отражение в действующей нормативной литературе.

Проблема расчета конструкций, подверженных воздействию повышенных температур, состоит в разработке методов, учитывающих физическую нелинейность и процессы температурных воздействий в условиях существенной неоднородности материала.

Степень разработанности темы исследования.

Первыми работами по исследованию влияния неоднородности материала на НДС можно считать работы В. Ольшака, опубликованные в 1935-1939 гг. В них указывается на научное и практическое значение учета неоднородности, анизотропии материалов и даются некоторые решения для осесимметричных задач. Развитием темы теории упругости неоднородного тела занимались отечественные и зарубежные ученые: Михлин С.Г., Ломакин В.А., Григоренко Я.М., Андреев В.И., Колчин Г.Б., Биргер Б.И., Коляно Ю.М., Василенко А.Т., Коваленко А.Д., Гольденблат И.И., Лехницкий С.Г., Голецкий К., Рыхлевский Я., Урбановский В., Гейтвуд Б., Клементс Д.Л., Конвей Х. и другие.

Работ по исследованию влияния неоднородности материала на напряженно-деформированное состояние за пределом упругости не так много. Широкий обзор публикаций по этой теме приведен в [84]. В статье [13] авторы М.Е. Бабешко и Ю.Н. Шевченко предложили метод последовательных приближений для решения краевых задач теории пластичности с учетом вида напряженного состояния. В своих работах [76, 77, 78] В.В. Петров провел построение инкрементальных соотношений для физически нелинейного материала с развивающейся неоднородностью свойств. Работа В.А. Баженова, Н.А. Соловей [14] посвящена термоупругости неоднородных тел, в ней рассмотрено нелинейное деформирование и устойчивость оболочек при термосиловых нагрузках. В.Л. Пахомов, А.Р. Хечумов [74] рассмотрели напряженно-деформированное состояние толстостенного цилиндра из физически нелинейного материала (бетона) при расчете сухой защиты реактора. Анализ работ по расчету неоднородных конструкций и их элементов за пределом упругости показал актуальность данного направления, а также необходимость разработки методов расчета таких

Цель исследования.

Цель исследования состоит в разработке моделей деформирования материала (на примере бетонов), достаточно достоверно отражающих его свойства при действии температуры и метода расчета, позволяющего реализовать эти модели.

Объект исследования.

Объектом исследования являются осесимметричные и центрально-симметричные конструкции.

Предмет исследования.

Напряженно-деформированное состояние осесимметричных и центрально -симметричных конструкций и влияние на него неоднородности и физической нелинейности материала.

Основные задачи исследования:

- Исследование влияния повышенных температур на механические свойства бетона и характер его деформирования;

- Формирование функций, описывающих изменение свойств бетона при повышении температуры, а также функций, наиболее точно отражающих характер деформирования бетона в зависимости от температуры;

- Разработка метода расчета осесимметричных конструкций с учетом радиальной неоднородности и физической нелинейности материала с некоторыми ограничениями на характер неоднородности и граничные условия;

- Анализ точности разработанного метода;

- Адаптация метода под более широкий круг задач.

Область исследования соответствует требованиям паспорта научной специальности ВАК: 05.23.17 - Строительная механика, а именно: п. 2 «Линейная и нелинейная механика конструкций и сооружений, разработка физико-математических моделей их расчета», п. 3 «Аналитические методы расчета сооружений и их элементов».

Научная новизна.

В данной работе представлены следующие новые результаты:

- Разработан численно-аналитический метод решения задачи термоупругости радиально-неоднородного цилиндра, выполненного из физически нелинейного материала;

- Предложены функции, аппроксимирующие зависимость механических характеристик бетона от температуры, а также функции, описывающие экспериментальные диаграммы деформирования бетонов различных составов в условиях повышенных температур;

- Решена прикладная задача расчета трехслойной цилиндрической оболочки на температурное воздействие с использованием реальных диаграмм деформирования материалов.

Теоретическая и практическая значимость работы

Теоретическая значимость работы состоит в развитии механики неоднородных тел. В этом разделе механики хорошо изучены задачи двух видов: задачи расчета слоистых конструкций и задачи для тел с непрерывной неоднородностью, когда механические характеристики (модуль упругости, коэффициент Пуассона, предел прочности и пр.) являются функциями от координат. В настоящей работе неоднородность обусловлена зависимостью диаграммы деформирования от координат. Такой подход позволяет решать широкий круг задач нелинейной механики неоднородных тел.

Практическая значимость работы заключается в возможности применения полученных результатов при оптимальном проектировании элементов конструкций в виде полых цилиндров, работающих при любых градиентах температуры с учетом реальной диаграммы деформирования материалов.

Методология и методы

Для аппроксимации экспериментальных данных, отражающих изменения свойств бетона при повышении температуры, а также экспериментальных

диаграмм деформирования бетонов, применялся метод наименьших квадратов [18], реализованный в программном комплексе MathCAD.

Для решения осесимметричных задач теории упругости с учетом физической нелинейности материала использовался метод последовательных приближений (метод переменных параметров упругости, автор - И.А.Биргер [17]). Полученное аналитическим методом разрешающее дифференциальное уравнение на каждом этапе решалось методом прогонки [42]. Разработанный численно аналитический метод решения осесимметричной задачи был реализован в программном комплексе MathCAD.

Для сравнительного анализа результатов расчета аналогичные задачи были решены также методом конечных элементов [52], реализованном в программном комплексе SOLIDWORKS Simulation.

Положения, выносимые на защиту. На защиту выносятся:

1) Численно-аналитический метод расчета осесимметричных конструкций из радиально-неоднородного и физически нелинейного материала;

2) Метод учета изменения механических свойств и характера деформирования бетона при воздействии повышенных температур с помощью функций, аппроксимирующих экспериментальные данные изменения механических свойств бетонов при повышении температуры, и функций, описывающих опытные диаграммы деформирования бетонов при повышенных температурах.

3) Результаты решения осесимметричных задач:

3.1) Сравнительный анализ результатов решения тестовой задачи аналитическим методом и разработанным численно-аналитическим методом;

3.2) Результаты решения задачи термоупругости трехслойной цилиндрической оболочки с учетом физической нелинейности материалов;

3.3) Сравнение результатов решения линейной задачи термоупругости трехслойной цилиндрической оболочки численно-аналитическим методом и методом конечных элементов. Степень достоверности результатов работы. Достоверность результатов обоснована:

1) Использованием фундаментальных законов теории упругости и физически обоснованных расчетных моделей;

2) Корректностью постановки задач в рамках механики деформируемого твёрдого тела;

3) Использованием общепринятых гипотез строительной механики;

4) Согласованностью результатов аналитического расчета с результатами, полученными численно-аналитическим методом.

Личный вклад автора.

В исследуемой проблеме личный вклад автора заключается разработке метода расчета осесимметричных конструкций с учетом радиальной неоднородности и физической нелинейности материала на основе метода переменных параметров упругости; формировании функций, описывающих изменение свойств бетона при повышении температуры, а также функций, аппроксимирующих диаграмму деформирования бетона в зависимости от температуры; решении прикладной задачи расчета трехслойной цилиндрической оболочки на температурное воздействие с использованием реальных диаграмм деформирования материалов. Апробация работы.

Основные положения диссертационной работы были изложены на 7 конференциях и семинарах:

1. V.I. Andreev, L.S. Polyakova. Calculation of a thick-walled inhomogeneous cylinder of a nonlinear-elastic material. International Conference on Advanced Materials and Engineering Structural Technology. 25-26 April 2015. Qingdao, China.

2. Полякова Л.С. Физически нелинейные задачи для сферических и цилиндрических неоднородных тел. XX Международная межвузовская научно-практическая конференция студентов, магистрантов, аспирантов и молодых ученых «Строительство - формирование среды жизнедеятельности». 26-28 Апреля 2017. Москва, Россия.

3. Андреев В.И., Полякова Л.С. Физически-нелинейные задачи механики неоднородных материалов. XIV Международная научно-практическая конференция «Развитие фундаментальных основ науки и образования в строительстве». 18 Мая 2017, Москва, Россия.

4. Lyudmila S. Polyakova, Vladimir I. Andreev. On Nonlinear Deformation of Concrete at Elevated Temperatures. 6th International Conference on Energy and Environmental Protection. 29-30 Juny, 2017. Zhuhai, China.

5. L S Polyakova, V I Andreev. Calculation of a nonlinearly elastic three-layer cylindrical shell taking into account the continuous inhomogeneity caused by the temperature field. VII International Symposium Actual Problems of Computational Simulation in Civil Engineering (APCSCE 2018). 1-8 July 2018. Novosibirsk, Russian Federation.

6. Vladimir I. Andreev, Lyudmila S. Polyakova. Calculation of nonlinear elastic three-layer cylindrical shell of finite length with taking into account the continuous inhomogeneity caused by the temperature field. Topical Problems of Architecture, Civil Engineering and Environmental Economics (TPACEE 2018). 03-05 December, 2018. Moscow, Russia.

7. Vladimir I. Andreev, Lyudmila S. Polyakova. Calculation of Radial Inhomogeneity Cylindrical Shell when Exposed to High Temperatures by Numerical-analytical Method and FEM. Topical problems of green architecture, civil and environmental engineering (TPACEE 2019). 19-22 November 2019. Moscow, Russia. Публикации.

Материалы диссертации достаточно полно изложены в 10 научных публикациях, из которых 6 работ опубликованы в журналах, включенных в

Перечень рецензируемых научных изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук, на соискание ученой степени доктора наук, и 4 работы опубликовано в журналах, индексируемых в международных реферативных базах Scopus, Web of Science и других. Полный список публикаций приведен в приложении Ж.

Структура и объем работы.

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 104 наименований и 7 приложений. Работа изложена на 115 страницах машинописного текста и включает 41 иллюстрацию.

В первой главе приведен краткий обзор работ, посвященных методам решения задач теории пластичности неоднородных тел, рассмотрены особенности расчета конструкций, подверженных воздействию повышенных температур. Приводятся основные уравнения механики неоднородных тел, формулируются краевые задачи относительно напряжений в цилиндрических и сферических координатах, решению которых посвящена данная диссертация. Приводится описание методов учета физической нелинейности и неоднородности материалов при расчете конструкций.

Во второй главе рассмотрены два приближенных метода теории пластичности - метод переменных параметров упругости и метод упругих решений, в приложении к осесимметричной задаче. Приводится описание численно-аналитического метода решения осесимметричной и центрально-симметричной задач для физически нелинейного радиально неоднородного материала, основанного на методе переменных параметров упругости. Получено решение тестовой задачи аналитическим и разработанным численно-аналитическим методами, на основе этих решений проведен анализ точности разработанного метода.

Третья глава посвящена особенностям работы бетонов в условиях повышенных температур. Рассмотрено влияние температуры на механические

свойства обычных и жаростойких бетонов, предложены функции, описывающие изменение этих свойств в зависимости от температуры. Особое внимание уделено изменению диаграммы деформирования бетона при нагреве; предложены функции, аппроксимирующие экспериментальные диаграммы деформирования бетонов в условиях повышенных температур.

В четвертой главе решается прикладная задача расчета трехслойной цилиндрической оболочки на температурное воздействие, в которой учитывается кусочная неоднородность, обусловленная многослойностью конструкции и непрерывная неоднородность, обусловленная воздействием температурного поля. Рассматривается решение для бесконечного цилиндра в предположении плоского деформированного состояния, а также для конечного цилиндра при различных условиях закрепления торцов. Для аналогичных задач приводится решение методом конечных элементов в программном комплексе SOLIDWORKS Simulation.

1.1 Существующие методы учета физической нелинейности и неоднородности материалов при расчете конструкций (обзор)

Теория упругости неоднородных тел является одной из важнейших областей механики деформируемого твердого тела. Неоднородность материала может быть обусловлена конструктивными особенностями (многослойность конструкции) или воздействием на материал различных физических явлений (температурное или влажностное поле, радиационное облучение, взрывное воздействие). При расчете таких конструкций необходимо учитывать изменение основных механических характеристик материала по объему тела, поэтому параметры, определяющие свойства материала, задаются в виде функций координат точек тела. Функции, описывающие изменение механических свойств материала, являются непрерывными (при воздействии на материал различных физических полей) или кусочно-постоянными (в случае многослойной конструкции). При этом соотношения классической теории упругости (уравнения равновесия и соотношения Коши) остаются без изменений, поэтому уравнения совместности деформаций могут быть получены аналогично, как в классической теории упругости [20, 66, 85, 102].

Впервые в отечественных работах вывод уравнений плоской задачи теории упругости для неоднородного тела был приведен у С.Г.Михлина [60,61] в первой половине XX века. В работе Колчина Г.Б. и Фавермана Э.А. [45] приведен подробный библиографический указатель работ, посвященных проблеме расчета неоднородных тел. Задачи теории упругости неоднородных тел в разных постановках широко представлены в монографиях [43, 44, 56, 80]. В монографии [56] рассматриваются методы решения задач с непрерывной неоднородностью; постановка и решение задач с кусочной неоднородностью материала и тел с включениями рассмотрены в работе [80].

Задачи теории упругости неоднородных тел в различных постановках (в напряжениях, в перемещениях, смешанные) рассмотрены в работах [22, 29, 43, 44, 53, 56, 68, 70, 72].

Решения задач, поставленных в перемещениях, приведены в работах [56, 80], где рассмотрены уравнения в перемещениях при зависимости механических характеристик от температуры, а также при произвольной неоднородности материала. Решение поставленных в напряжениях задач в [56, 86] представлено с помощью введения функции напряжений. В [46] на примере расчета упругих и вязкоупругих полых цилиндров, работающих в условиях сложных воздействий различных физических полей, показано, что использование функции напряжений позволяет упростить расчет при определенном виде неоднородности, но неэффективно при произвольной неоднородности материала.

Методы расчета на прочность, устойчивость и колебания промышленных конструкций, работающих при больших градиентах температур, рассмотрены в [15, 28], где также освещено влияние высоких и низких температур на физико-механические характеристики материалов. В [33, 95] рассматривается возможность использования аналогового метода определения напряжений в элементах конструкций из неоднородных материалов.

Основная трудность решения задач теории упругости неоднородных тел заключается в решении систем дифференциальных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами, что приводит к необходимости применения численных методов [19]. Чтобы избежать эту проблему часто используют метод сопряжения [80], позволяющий привести задачу теории упругости неоднородного тела к задаче для однородного тела. При этом неоднородное тело рассматривается как состоящее из отдельных слоев с постоянными механическими характеристиками, на границах слоев выполняются условия идеального термомеханического контакта [29, 71, 80, 87].

В [47, 80, 81] предлагается применение обобщенных функций для предельного перехода от кусочно-неоднородного тела к телу с непрерывной

неоднородностью [65, 66]. Использование при этом определенных, заранее выбранных функций для описания неоднородности, позволяет в некоторых случаях получить аналитическое решение задачи при расчете неоднородного тела [12, 23, 40, 56]. Полученные таким образом точное решение может быть применено для оценки приближенных методов решения более сложных задач. В случаях, когда известно аналитическое решение вспомогательной задачи, особенно эффективен метод последовательных приближений [24, 30, 43, 44, 53, 56].

В случае одномерной неоднородности материала и согласованных граничных условий возможно применение метода разделения переменных, что позволяет понизить размерность рассматриваемых разрешающих уравнений в частных производных [6, 11, 29, 63, 70, 72] и сводит задачу к решению ряда краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, которые решаются с помощью известных алгоритмов и программ расчета на ЭВМ [26, 27, 51, 64, 90].

По сравнению с теорией упругости неоднородных тел, публикаций, относящихся к теории пластичности таких тел, существенно меньше [84]. Одними из первых в этой области были работы польского ученого В. Ольшака, например, в монографии [69] были приведены некоторые данные о влиянии различных физических факторов на пластические свойства материалов, рассмотрена постановка задач теории пластичности неоднородных тел и приведены результаты решений некоторых задач. Сейчас существует достаточно много работ посвященных решению упругопластических задач для цилиндрических конструкций из неоднородного материала [5, 7, 31, 54, 74, 104], а также для неоднородных оболочек [14, 31, 48, 50, 75].

В теории пластичности большое значение имеют приближенные методы решения. Наиболее распространенными из них являются вариационные методы, а также методы, в которых упруго-пластичная задача сводится к последовательности линейно-упругих задач. Впервые один из вариантов такого метода (метод упругих решений) был предложен А.А. Ильюшиным [34]. В каждом приближении этого

метода решается краевая задача теории упругости с переменными «внешними» силами. В другом итерационном методе - методе переменных параметров упругости (автор И.А. Биргер [17]) - на каждом шаге приближения решается краевая задача для линейно-упругого тела, но с переменными параметрами упругости, зависящими от напряженного состояния. Метод получил развитие в современных работах [13].

Одним из материалов, обладающих физической нелинейностью и неоднородность механических свойств, является бетон. Для бетона учет физической нелинейности особенно актуален, т.к. его диаграмма деформирования имеет криволинейный вид уже при небольших нагрузках. Описание деформирования бетона является важным фактором, определяющим метод расчета бетонных и ж/б конструкций, что отражено в ряде нормативно технических документов. В [73] рассмотрены модели деформирования бетона, приведенные в отечественных и зарубежных нормативных документах по проектированию железобетонных конструкций. Все предложенные модели деформирования разделены на основные (криволинейные) и упрощенные (параболически линейные, двух- и трехлинейные). Криволинейные модели оценивают НДС конструкции максимально приближенно к реальной работе бетона.

Изучению пластических свойств бетона и их влияния на НДС железобетонных конструкций посвящено множество работ [25, 37, 41, 55, 62, 88, 100]. В [21] рассмотрены различные предложения по трансформированию диаграмм поведения бетона в различных условиях. Неоднородность железобетона бывает обусловлена не только конструктивными особенностями, но и воздействием температурных полей. В [49] приведены результаты исследований и изложена методика расчета большой группы железобетонных инженерных сооружений, подвергающихся в процессе эксплуатации технологическому нагреву и действию наружных температур. В [3] рассмотрен ряд практически важных инженерных вопросов о расчете распределения температуры и влажности, а также связанного с ним напряженно-деформированного состояния бетонных и ж/б конструкций.

Изменение механических свойств бетона в зависимости от температуры отражено в нормативных документах, научных работах и специализированной литературе [89, 93, 32]. В [103] рассматривается возможность оптимизации бетонных конструкций путем создания «полезной» неоднородности физических характеристик бетона при производстве. В [79] предложена методика расчета изгибаемых железобетонных элементов с учетом неоднородности прочностных свойств бетона сжатой зоны, вызванной повреждениями. В [67] рассмотрено влияние агрессивных сред на напряженно-деформированное состояние железобетонных конструкций.

1.2 Термоупругость. Особенности расчета конструкций, подверженных воздействию повышенных температур.

Воздействие повышенных температур на конструкции носит различный характер: однократный или многократный аварийный подъем температуры, изотермическое воздействие, циклический нагрев, воздействие солнечной радиации, суточные и сезонные колебания температур воздуха и др. Элементы этих конструкций работают в условиях неравномерного нагрева, при котором изменяются физико-механические свойства материалов и возникают градиенты температуры, сопровождающиеся неравномерным тепловым расширением частей элементов, которое не может происходить свободно в сплошном теле. Неравномерное тепловое расширение вызывает тепловые (термические, температурные) напряжения. Для определения НДС и анализа прочности конструкции необходимо знание величины и характера действия термических напряжений. [40]

При деформировании тела от механических или тепловых воздействий, протекающих с большой скоростью, возникает эффект связанности, вызванный взаимодействием полей деформации и температуры, он приводит к образованию тепловых потоков внутри тела, термо-упругому рассеиванию энергии и другим

явлениям. Поэтому, в общем случае, температура тела зависит не только от внешних источников тепла, но и от внутренних процессов. Однако, при обычных условиях теплообмена, тепловые потоки, образующиеся вследствие деформации, настолько невелики, что соответствующими им членами в уравнениях можно пренебречь. [40]

Наибольшее практическое значение имеет задача термоупругости в квазистатической постановке, когда не учитываются инерционные члены в уравнениях движения и связывающий член в уравнении теплопроводности, и система уравнений распадается на обычное уравнение нестационарной теплопроводности и уравнения, описывающие задачу о термо-упругих напряжениях при заданном температурном поле. [40]

Для строительных конструкций в большинстве случаев температурное поле можно считать стационарным или квазистационарным, при этом для определения термоупругого напряженного состояния решается статическая (квазистатическая) задача термоупругости.

В квазистатической задаче термоупругости не учитываются эффект связанности температурного поля и поля деформаций, а также силы инерции, обусловленные нестационарным температурным полем, а время ? играет роль параметра. Статическая задача термоупругости отличается от квазистатической тем, что в первом случае температурное поле является стационарным, а во втором - нестационарным. [40]

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Полякова Людмила Сергеевна, 2021 год

материала

Нулевой (линейный) этап:

Разрешающее уравнение (1.3.7) при ^ = 0.5:

rar +

Г >\

3-Д

E

V

ar = 0.

(2.3.2)

у

Решение имеет вид:

а,

= + C J

E (r )dr

(2.3.2)

Подставив граничные условия (2.1.1), получим выражения для напряжений:

4°)=-p

r 3

f Л 2

„ 4a a

3 ^"Г" ^ 4 V r r у

/

а(0) _ p ае _- J

3 +

4a2 3a

(2.3.3)

V

Учитывая предположение о несжимаемости материала (V0 = 0.5), т. е. отсутствие объемных деформаций (бг + ег + е0 = 0 ^ бг = 0,ег = -е0), получим:

Д0) _

^(ar -v(ae + az))_-£

2 4^ 2a a

E (r )

E (r )

r r

e(0) ___P_

e E (r )

Л

/ 2 2a a 4

~2 4

V

s(°) _ -

2yß

3

.E(0) _ se _

2л/3 w _ 3 Sr _

у

P

3 E (r )

о 2 4

2a a

(2.3.4)

Для секущего модуля получим выражение:

E(°) _ En

1-

a

.2 Л

2r2

2 4

16^0 P a 3E2 r

1-

a

2

2r2

(2.3.5)

3

r

r

Решая уравнение (2.3.2) на каждом этапе итерационного процесса (i) методом прогонки [40] с переменным шагом h = 0,02а -1,2*-1, в пятом приближении получим эпюру напряжений ст0, показанную на рисунке 2.8, для сравнения на этом же графике приведены напряжения полученные на нулевом шаге (соответствуют линейному неоднородному материалу) и результат аналитического расчета. Подробная таблица результатов каждого этапа итерационного процесса приведена в приложении А.

<V/j

1 1 - V, /

2

12 3 4 5

Рисунок 2.8 - Эпюры напряжений а0 в цилиндрической оболочке. На рисунке 2.8: 1 - линейный неоднородный материал; 2 - нелинейный

неоднородный материал, решение методом последовательных приближений; 3 -

нелинейный неоднородный материал, аналитическое решение

Решение центрально-симметричной задачи.

Нулевой (линейный) этап:

Разрешающее уравнение (1.3.7) при v0 = 0.5:

r<5r +

í '\ , E 4 - r—

E

v y

= 0.

(2.3.6)

Решение имеет вид:

а,

_ C2 + Cl J

E ( r ) dr

r

(2.3.7)

Подставив граничные условия (2.1.1), получим выражения для напряжений:

_- P r 7

7 -

10a3 3a5Л

,(0)

P

ae у

7 +

5a3 9a5Л

(2.3.8)

2r

Учитывая предположение о несжимаемости материала (V 0 = 0.5), т. е. об отсутствии объемных деформаций (8ф + ег + 80= 0,^ а0 = аф, е0 = 8ф), получим:

,(0) _ 15 E(r) 7

a

a

vr3 2r5 у

o(0) _ 1 o(0) _

se _2br _

p 15

E (r ) 14

a"

ar

2r

(2.3.9)

(0) _ 2l_(0) s(0)\ _ i _T(sr se )_

S r

p 15

( 3 a

E (r ) 7

a

2r5

.5 ^

Для секущего модуля получим выражение:

E(°) _ En

1-

a

2 Л

2r2

225A p2 a 49 E2 r66

1-

a

2

2r2

(2.3.10)

Аналогично с осесимметричной задачей разрешающее уравнение (2.3.6) на каждом этапе итерационного процесса решается методом прогонки с переменным

шагом hi _ 0,02a •1,21 -1, в пятом приближении получим эпюру напряжений а0, показанную на рисунке 2.9. Подробная таблица результатов каждого этапа приближения приведена в приложении Б.

s

_ 1

1 ' /

1 / \

12 3 4 5

Рисунок 2.9 - Эпюры напряжений а0 в сферической оболочке.

На рисунке 2.9: 1 - линейный неоднородный материал; 2 - нелинейный неоднородный материал, решение методом последовательных приближений; 3 -нелинейный неоднородный материал, аналитическое решение.

В [96] данный численно-аналитический метод был применен для решения аналогичных задач о сферическом и цилиндрическом отверстии в грунтовом массиве, радиальная неоднородность которого обусловлена изменением влажности глинистого грунта. Для расчета использовались экспериментальные диаграммы деформирования глины при разной влажности. Результаты расчета показали снижение максимальных кольцевых напряжений вблизи полости на 31-32% по сравнению с линейным расчетом.

Аналитическое решение тестовой задачи о напряжениях вблизи цилиндрической (сферической) полости бесконечного массива показало:

1) Учет нелинейности материала приводит к снижению максимальных напряжений; с увеличением нелинейности (уменьшение отношения Есек в1 Е)

снижение напряжений по сравнению с упругой задачей становится более существенным.

2) Влияние неоднородности материала на напряжения будет зависеть от характера неоднородности: в данном примере учет неоднородности приводит к снижению напряжений вблизи контура полости, при других значениях констант неоднородности, например, в случае к^ > 1 напряжения на контуре полости могут возрастать.

Сравнение двух итерационных методов на примере задачи о толстостенном цилиндре из однородного нелинейно-упругого материала привело к следующим результатам:

1) Решение методом последовательных приближений в третьем приближении дало результат, сходящийся с результатом аналитического решения с точностью до третьего знака.

2) При решении методом последовательных нагружений необходимая точность была достигнута на 13-ом этапе итерационного процесса.

3) Метод последовательных приближений показал лучшую сходимость, поэтому использовался далее для решения тестовой задачи.

По результатам решения тестовой задачи о напряжениях вблизи цилиндрической (сферической) полости бесконечного массива численно -аналитическим методом, основанным на методе последовательных приближений, можно сделать следующие выводы:

1) Для максимально возможного приближения к точному результату достаточно пяти итераций, на следующих этапах приближения полученные значения напряжений не меняются.

2) Максимальное отличие результатов численного решения от аналитического наблюдается в вершине кривой (рисунки 2.7, 2.8), и составляет 2% для цилиндрической оболочки и 0,7% для сферической оболочки.

3) Переменный шаг к = 0,02а -1,2г"обеспечивает необходимую густоту сетки, увеличение или уменьшение шага не приводит к повышению точности.

4) Результаты можно считать удовлетворительными, что позволяет использовать такой метод расчета для подобных нелинейных задач, с различными функциями описания неоднородности механических характеристик.

ГЛАВА 3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНОГО НЕОДНОРОДНОГО МАТЕРИАЛА НА ПРИМЕРЕ БЕТОНА, ПОДВЕРЖЕННОГО ТЕПЛОВОМУ ВОЗДЕЙСТВИЮ

Одним из материалов, обладающих физической нелинейностью и неоднородность механических свойств, является бетон. Описание диаграммы деформирования бетона в ряде нормативно технических документов оценивается как один из основополагающих факторов, определяющих метод расчета бетонных и железобетонных конструкций. Воздействие температурного поля на бетонные конструкции приводит к образованию градиента температур в теле конструкции и изменению механических характеристик материала. В этой главе рассмотрено влияние температуры на механические свойства обычных и жаростойких бетонов, предложены функции, описывающие изменение этих свойств в зависимости от температуры, а также функции, аппроксимирующие экспериментальные диаграммы деформирования бетонов в условиях повышенных температур.

3.1 Влияние температуры на механические свойства бетона

В этом разделе приводится описание влияния повышенных температур на механические свойства бетонов. Для обычных бетонов рассматривается диапазон температур от 20°С до 200°С, который охватывает широкую область эксплуатационных режимов работы железобетонных конструкций. При более высоких температурах (до 800°С) применяются специальные жаростойкие бетоны.

Особое внимание уделяется свойствам жаростойких бетонов двух составов, которые используются в качестве исходных материалов в задачах, рассмотренных в главе 4: бетон №1 (ЖБГ) - жаростойкий бетон на глиноземистом цементе с шамотным заполнителем, бетон №2 (ЖБП) - жаростойкий бетон на портландцементе с шамотным заполнителем.

Воздействие повышенных температур на бетон вызывает температурные деформации, изменение упругих характеристик (модуль упругости, коэффициент поперечной деформации) и прочностных свойств материала, влияет на общую диаграмму деформирования бетона [9].

1. Вынужденные деформации от температурного воздействия.

Воздействие температуры на ненагруженный бетон приводит к возникновению в нем температурных деформаций. Общая величина деформаций ненагруженного бетона при действии повышенных температур включает три вида деформаций - деформации усадки, обратимые и необратимые температурные деформации. Соответственно температурно-усадочные деформации бетона могут быть определены по формуле [9]:

8Г =8? (Т) + ггт (Т)-z.hr (Т), (3.1)

где 8т (Т) и 8ГТ (Т) - соответственно необратимые и обратимые температурные деформации при нагреве бетона до температуры Т; 8акг(Т) - деформации усадки бетона при повышенной температуре Т .

Необратимые температурные деформации определяются по формуле:

8 Т (Т) = а!г (Т)АТ, (32)

где а1Г (Т) - коэффициент линейных необратимых температурных деформаций; АТ = Т - Т, где Т = 20° - значение нормальной температуры.

В общем случае значение коэффициента а!г зависит от температуры, скорости нагрева и влажности бетона к началу нагрева. Однако для бетона, имеющего при нормальной температуре влажность, близкую к равновесной, коэффициент а!г зависит только от температуры (рисунок 3.1) и аппроксимируется выражением [9]:

а*г(Г) = 1,35 • 10"5 • ехр(-0,027АГ), (3-3)

ВВ расчетах принимается, что необратимые температурные деформации полностью развиваются в процессе первого кратковременного нагрева, за исключением температур нагрева до 90°С. Для этого диапазона условно принимается, что в процессе первого нагрева развивается 50% необратимых деформаций, остальные - в течение последующих 40 часов изотермических испытаний [49].

Обратимые температурные деформации характеризуются коэффициентом линейных обратимых температурных деформаций и определяются по формуле:

ггт (Т) = аг (Т)АТ. (3.4)

Коэффициент обратимой линейной температурной деформации бетона, имеющего влажность, равновесную со средой, зависит только от температуры (рисунок 3.2) и аппроксимируется выражением:

аг ( Т) = 0,76 -10"5 + 7,5 -10"8 • ехр(0,02АТ). (3.5)

а'ЧО5 1.5

1.0

0.5

0

20 80 140 Т, С 200

Рисунок 3.1 - Изменение коэффициента линейной необратимой деформации в зависимости

от температуры

Рисунок 3.2 - Изменение коэффициента линейной обратимой деформации в зависимости от

температуры

Деформации усадки бетона определяются по формуле:

^Нг = -РАи.

(3.6)

На всем диапазоне повышенных температур зависимость между коэффициентом линейной усадки, температурой и влажностью бетона может быть удовлетворительно аппроксимирована формулой [35, 36]:

Р(Ти) = Р0 -1,37 • 104 • АТ + 5,6 • 10-2 ехр

-2,5 -103 •■и

V

АТ

(3.7)

где р0 - коэффициент линейной усадки при нормальной температуре (для

тяжелого бетона принимается 3 -10-2); и - влажность бетона при повышенной температуре Т.

Таким образом формула (3.6) для бетона в условиях повышенных

температур примет вид:

е^ =-р(Т ,и)Аи.

(3.8)

Для достоверного определения усадочных деформаций бетона при действии повышенных температур требуется достаточно точная исходная информация о полях распределения влажности в бетоне рассчитываемой конструкции при нормальной и повышенной температурах. Если эта информация отсутствует, можно пользоваться упрощенной методикой расчетного определения усадочных

деформаций. В этом случае в формуле (3.8) параметры, являющиеся функциями изменения влажности бетона, заменяют новыми параметрами, являющимися функциями времени действия температуры. Подробно методика изложена в [49].

При решении прикладных задач удобно определять значения вынужденных деформаций, используя коэффициенты, приведенные в таблицах [89]. Согласно [89] выделяют два основных температурных режима: кратковременный нагрев -первый разогрев конструкции до расчетной температуры; длительный нагрев -воздействие расчетной температуры в период эксплуатации. Длительный температурный режим также включает в себя: циклический нагрев - режим, при котором в процессе эксплуатации конструкция периодически подвергается повторяющемуся нагреву с колебаниями температуры более 30% расчетного значения при длительности циклов от 3 часов до 30 суток; постоянный нагрев -температурный режим, при котором в процессе эксплуатации конструкция подвергается нагреву с колебаниями температуры до 30% расчетного значения.

В таблицах [89] дается коэффициент линейной температурной деформации бетона аы в зависимости от температуры с учетом температурной усадки бетона при кратковременном и длительном нагреве. При необходимости определения температурного расширения бетона при повторном воздействии температуры после кратковременного или длительного нагрева к коэффициенту линейной температурной деформации аы следует прибавить абсолютное значение коэффициента температурной усадки бетона аС5 для кратковременного или длительного нагрева соответственно.

При решении задач принимаются значения аь соответствующие режиму длительного нагрева при повторном воздействии температуры. Для аппроксимации данных из [89] использовались функции:

Г \1.5

АТ

то)

Г \2

АТ

то)

аЬ2(Т) = а{ + к4

г \1.1

АТ

то)

+ Ь

/ \1.2 АТ

то)

Г \1.5

АТ

(3.9)

то)

где аЬ1 - коэффициент линейной температурной деформации бетона № 1, аЬ2 -коэффициент линейной температурной деформации бетона № 2. Значения коэффициентов из формул (3.9) приведены в таблице 3.1.

Таблица 3.1.

¿1, °С-1 ¿2, °С 1 ¿3, °С-1 ¿4, С 1 ¿5, °С-1 ¿6, °С-1 а/, °С-1

1,328-10-6 -3,4-10-7 2,24-10-8 2,1440-6 2,091 •Ю-6 1,9210-7 8,5-10-6

На рисунках (3.3) и (3.4) показаны функции аппроксимирующие значения коэффициентов линейной температурной деформации бетонов двух различных составов.

Рисунок 3.3 - Коэффициент линейной температурной деформации бетона №1.

1.1

0.9

0.7

—1

_

и.о 0 200 400 600 800 1000

Рисунок 3.4 - Коэффициент линейной температурной деформации бетона №2.

Для расчета железобетонных сооружений, подвергающихся действию повышенных технологических температур с внутренней стороны и отрицательных

температур с наружной, необходима информация о температурных деформациях бетона при действии отрицательных температур. Опытами разных авторов [49] установлено, что для бетона, не подвергавшегося увлажнению и предварительному нагреву, линейные температурные деформации при замораживании до -60°С монотонно возрастают с понижением температуры. В этом случае коэффициент линейных температурных деформаций бетона при

замораживании принимают равным Ю-Ю^С"1. Хуже исследованы температурные деформации при замораживании бетона, предварительно высушенного при повышенных температурах. Некоторыми опытами было установлено, что при замораживании до -45°С предварительно нагретого бетона коэффициент линейных температурных деформаций уменьшается на 16,6-33,3% по сравнению с его значением при нагреве. Величина снижения зависит от температуры предварительного нагрева.

2. Ползучесть

Повышенные температуры оказывают значительное влияние на предельную величину деформаций ползучести. В [49] приведены графики влияния температуры и уровня нагружения на удельные деформации ползучести бетона (рисунок 3.5). Предельная величина деформаций ползучести возрастает с повышением температуры испытания и при температурах 120-200°С превышает деформации ползучести бетона при нормальной температуре примерно в 3,5 раза. Повышение температуры оказывает также влияние на скорость развития деформаций ползучести. С увеличением температуры испытания происходит более интенсивное развитие деформаций ползучести и более быстрое их затухание. Полное затухание деформаций ползучести фиксируется при температуре 60°С через 105-125 сут., при 90°С - через 75-85 сут., при 120°С - через 55-56 сут. и при 200°С - через 30-40 сут. При нормальной температуре затухание ползучести происходит значительно дольше.

100 120 140 160 180 200 Т, СуТ

Рисунок 3.5 - Влияние повышенных температур и уровня нагружения на удельные

деформации ползучести бетона

Согласно [89] деформации ползучести учитываются при длительном действии нагрузки и температуры с помощью введения коэффициента ползучести фь,сг, который получен как отношение полных относительных деформаций сжатия бетона при длительном воздействии температуры к упругим деформациям бетона естественной влажности до воздействия температуры. Значения коэффициента фь,сг при различных температурах для обычного бетона, приведенные в [89], аппроксимируются зависимостью:

%,сп(Т) = К

/ \1.6 'дг

ф1

Тг

+ к

/ \1.8 'дг

о)

ф2

Z

+ к,

Í \2 'ДГ

о]

фЗ

Тг

(3.10)

о)

Значения коэффициентов кф приведены в таблице 3.2, график аппроксимации представлен на рисунке 3.6.

О 50 100 150 200 250 300

Рисунок 3.6 - Коэффициент ползучести обычного бетона Значения коэффициента фь,сг при различных температурах для жаростойких бетонов двух составов аппроксимируются зависимостями:

Ф/«г2(Г) = К

/ \0,2

ф4

то)

+ к,

Г \0,8

АГ

ф5

то)

+ к,

Г \5 АГ

фб

Ф/«гз(г) = К

ф7

АГ

Гг

1Д

+ к

/ \1Д5

АГ

о;

ф8

Гг

+ к

/ \ 1,5

АГ

(3.11)

о;

ф9

гг

о;

где фЬсг2 - коэффициент линейной температурной деформации бетона №2, фЬсг3 -коэффициент линейной температурной деформации бетона №1. Значения коэффициентов кф из формул (3.11) приведены в таблице 3.2.

Таблица 3.2.

кф1 кф2 кф3 кф4 кф5 кфб кф7 кф8 кф9

15,7806 -18,3789 5,412 2,8008 0,3241 1,29-10-6 77,1844 79,1177 4,8478

Графики аппроксимации функциями (3.11) представлены на рисунках 3.7 и

3.8.

Фл.сг

0 100 200 300 400 500 600

Рисунок 3.7 - Коэффициент ползучести жаростойкого бетона №1

Ф b,cr 240

200

160

120

80

40

0

0 150 300 450 600 750 900

Рисунок 3.8 - Коэффициент ползучести жаростойкого бетона №2

3. Модуль упругости

Модуль упругости тяжелого бетона зависит в основном от температуры нагрева и практически не зависит от длительности ее действия. При первом кратковременном нагреве отмечается резкое уменьшение модуля упругости, которое в зависимости от температуры составляет 20-42%. Длительное изотермическое действие температуры не вызывает дальнейшего изменения модуля упругости. Изменение начального модуля упругости бетона при повышенных температурах показано на рисунке 3.9 и описывается соотношением [9]:

E (Т) = Eq .(То/ T )°'24 (3.12)

где E° - модуль упругости при нормальной температуре Т° = 20°C.

1.0 Е/Еп

0.75

0.5

20 80 140 Ту С 200

Рисунок 3.9 - Изменение начального модуля упругости обычных (нежаростойких) бетонов

В [93] экспериментально изучено изменение модуля упругости от воздействия повышенных температур для некоторых составов жаростойких бетонов. В частности, для бетона №1 и бетона №2 изменение модуля упругости в зависимости от температуры можно описать функциями:

ЕЪ1(т) = Еъо\ • ехР

к

гдтл

Е1

V тоу

+ к

гдтл

Е 2

V тоу

(3.13)

ЕЪ2(т) - ЕЪ02 + кЕ3

/ Л 1,8

V то У

+к

/ \1,2

Е 4

V то у

где Еъ1 - модуль упругости бетона № 1, Еъ2 - модуль упругости бетона № 2. Значения коэффициентов из формул (3.13) приведены в таблице 3.3.

Таблица 3.3

Еъо1, МПа кЕ1, МПа кЕ 2, МПа Еъо2, МПа кЕ3 кЕ 4

27530 0,222 -0,57 26912 58,663 -801,05

На рисунках 3.10(а) и 3.10(б) показано изменение модуля упругости бетонов двух различных составов в зависимости от температуры.

Рисунок 3.10 (а) - Изменение модуля упругости жаростойкого бетона № 1

Рисунок 3.10 (б) - Изменение модуля упругости жаростойкого бетона №2. 4. Коэффициент Пуассона

Коэффициент поперечных деформаций обычных бетонов практически не зависит от температуры и заметно снижается только при температурах, близких к 200°С, как видно на рисунке 3.11. Эту зависимость можно описать формулой:

у(Т) = Уо - 2,6 • 10-4 • (Т0 / Т)-2,5, (3.14)

где у 0 = 0,24 - коэффициент Пуассона при нормальной температуре Т0 = 20° С.

0.3 ---

V

0.1 ---

20 80 140 Т С 200

Рисунок 3.11 - Изменение коэффициента поперечных деформаций обычных бетонов

Прочность тяжелого бетона на осевое сжатие при повышенных температурах зависит от температуры нагрева, длительности ее действия и режима испытания. Наибольшее снижение прочности отмечается при первом кратковременном нагреве. Длительное изотермическое действие повышенной температуры по сравнению с кратковременным нагревом приводит к росту прочности бетона. Остывание до нормальной температуры после кратковременного нагрева и длительной изотермической выдержки не вызывает дальнейшего изменения прочности бетона [35].

Для построения методики расчета напряженно-деформированного состояния железобетонных сооружений с учетом температурных воздействий необходимо иметь аналитические зависимости, описывающие полную диаграмму деформирования бетона при повышенных температурах. Диаграмма напряжений а-е определяется из опытов на одноосное сжатие, но в общем случае, для описания объемного напряженного состояния, используется диаграмма а. - е., связывающая интенсивности напряжений и деформаций. Для преобразования опытных данных деформирования бетона при сжатии в условиях повышенных температур в режиме длительного нагрева, полученных в [49], использовались формулы [9]:

Для аппроксимации нелинейной диаграммы деформирования удобно использовать зависимость (1.3.2) с заменой констант Е, А, и а на функции Е(Т),

а; -а, е.- -е--оа.

* , - 3Ео

(3.15)

А(Т) и а(Т):

аг - Е(т)е. - А(т)е;а

а(т )

(3.16)

Е(Т) = Е0 (Т0/ Т)к ,

А(Т) = А0 (V Т)к , (3.17)

а(Т) = ао (Т0/ Т)к . Значения коэффициентов из формул (3.17) приведены в таблице 3.4.

Таблица 3.4

Е0, МПа кк А, МПа кА «0 ка

1199 0,24 115000 1,028 1,821 0,062

На рисунке 3.12 представлены диаграммы деформирования обычного бетона при повышенных температурах: 1 - кривая деформирования бетона при Т = Т ^ 20°С, 2 - при Т = 60°С, 3 - при Т = 120°С, 4 - при Т = 200°С .

1.2 1,0 0.8 0,6 0.4 0,2 О

О 0.6 1.2 1.8 2,4 3,0 0.6 4.2

Рисунок 3.12 - Диаграммы деформирования обычного бетона в условиях повышенных температур, ^20 - прочность бетона на сжатие при Т = 20°С

В [93] приведены диаграммы деформирования жаростойких бетонов различных составов при температурах до 800 °С в режиме длительного нагрева, полученные при испытании на изгиб. Эти диаграммы были преобразованы в

Е(Т) = Е01+кт

/ \0.5

/ЛГ

Л(Т) = А01 + к

А1

Тг

+ т

/ \2.5

/ЛГ

О

Е 1