Расчет слоистых конструкций с использованием модели контактного слоя тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат наук Цыбин Никита Юрьевич

• Цыбин Никита Юрьевич
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Цыбин Никита Юрьевич

Введение

1. Состояние вопроса. Исходные системы уравнений

1.1. Краткий исторический обзор исследуемой темы

1.2. Исходные системы уравнений теории упругости

2. Вывод разрешающих уравнений

2.1. Вывод разрешающих уравнений для многослойной пластины

2.2. Вывод разрешающих уравнений для двухслойного цилиндра

2.3. Вывод разрешающих уравнений для многослойной пластины при нормальном отрыве

2.4. Вывод разрешающих уравнений для многослойного стержня

3. Примеры решения упругих задач

3.1. Изгиб многослойного стержня. Решение в рядах Фурье

3.2. Сжатие трехслойного стержня

3.3. Двухслойный стержень. Расчет соединения внахлестку

3.4. Задача об адгезионном взаимодействии волокна и матрицы

3.5. Слоистый композит. Задача нормального отрыва

3.6. Слоистый композит. Эффективный модуль упругости

4. Примеры решения задач ползучести

4.1. Слоистый композит. Решение задач ползучести

4.2. Сравнение процессов ползучести полимерной прослойке слоистого композита и свободного полимерного стержня

Заключение

Перспективы дальнейшей разработки темы диссертации

Список литературы

Приложение

Приложение

Приложение

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Расчет слоистых конструкций с использованием модели контактного слоя»

Актуальность исследования

В настоящее время многослойные конструкции все чаще встречаются в различных отраслях промышленности. Данный факт является результатом технического прогресса и определен необходимостью реализации новых конструктивных решений. Синергия, возникающая при объединении материалов с различными свойствами, известна человечеству достаточно давно, так как позволяет создавать конструкции с уникальным набором весовых, прочностных и диссипативных характеристик

Многослойной считается любая конструкция, состоящая из набора чередующихся монослоёв. Примерами могут служить слоистые балки, пластины, оболочки, цилиндры. Таким образом, термин «многослойная конструкция» объединяет собой широкий класс задач и включает в себя проблемы прочности, долговечности и технологичности.

Одной из главных проблем механики многослойных конструкций, как и адгезионной механики является задача качественного описания взаимодействия монослоев. Несмотря на большой список научных трудов, посвященных изучению данной проблемы, общей модели взаимодействия, применимой к различным по своей форме и структуре конструкциям, до сих пор нет.

Следовательно, разработка данной общей модели представляет собой важную и сложную научно-практическую задачу, связанную с развитием механики многослойных конструкций и адгезионной механики.

Степень разработанности темы исследования

Спектр задач механики многослойных конструкций и адгезионной механики можно разделить на два - микроуровень и макроуровень.

Основной целью решения задач на микроуровне является отыскание эффективных физико-механических характеристик армированного монослоя. В результате полученные эффективные характеристики позволяют пренебречь микронеоднородностью при рассмотрении макрозадач механики многослойных конструкций. Наиболее часто на данном уровне используется так называемая

формула смеси. Решение подобных задач составляет предмет теории армированных сред [8].

На макроуровне рассматриваются задачи взаимодействия монослоев. Большую часть существующих на данный момент трудов, посвященных изучению напряженно-деформированного состояния многослойных конструкций на макроуровне можно разделить на две основные группы.

К первой группе относятся работы, в которых пакет монослоев рассматривается как единая система с переменными по толщине сечения физико-механическими свойствами. Макронеоднородность напряженно-деформированного состояния, как правило, исключается из рассмотрения за счет введения усредненных интегральных эффективных характеристик. Также из рассмотрения исключаются вопросы взаимодействия слоев между собой. Большой вклад в данный подход внесли С.Г. Лехницкий [70], В.В. Васильев [43], С.А. Амбарцумян [22], В.И. Королёв [67], Э.И. Григолюк [52] и другие авторы.

Ко второй группе относятся работы, в которых гипотезы накладываются на каждый слой в отдельности, а затем рассматривается совместная работа всех слоев. Данный подход наиболее полно реализован в работах по трехслойным конструкциям. Чаще всего рассматривается модель, состоящая из двух внешних «несущих» слоев и среднего слоя заполнителя. Для «несущих» слоев, как правило, вводится гипотеза прямых нормалей Кирхгофа, а для заполнителя вводится либо гипотеза о линейном распределении полей перемещений по толщине слоя, либо гипотеза о равномерном распределении касательных напряжений. Наиболее разработанными являются труды отечественных авторов А.Л. Рабиновича [84], А.Р. Ржаницына [90] и В.В. Болотина [37].

Второй подход наиболее близок к многослойным конструкциям, рассчитываемым с использованием модели контактного слоя. Главным отличием является то, что в предложенной модели между «несущими» слоями и слоем заполнителя присутствуют контактные слои. Таким образом, модель контактного слоя описывает не материал, а взаимодействие. Подобное предположение снимает необходимость накладывать на слой заполнителя гипотезы, отличные от гипотез,

применяемых к «несущим» слоям и переводит модель, с математической точки зрения, из разряда трехслойных в разряд пятислойных.

Цель исследования

Целью исследования является совершенствование и развитие теоретических подходов к описанию и расчету многослойных конструкций и адгезионных соединений.

Объект исследования

Объектом исследования являются многослойные конструкции различной конфигурации и схем нагружения.

Предмет исследования

Напряженно-деформированное состояние многослойных конструкций и влияние на него физико-механических и геометрических характеристик слоев, в том числе в процессе ползучести.

Методы исследования

Для анализа напряженно-деформированного состояния многослойных конструкций с контактными слоями выполнено моделирование с применением математического аппарата теории упругости и вязкоупругости. В результате получены системы разрешающих уравнений, которые были проинтегрированы с использованием аналитических, численных и численно-аналитических методов. Интегрирование выполнялось с использованием разработанных автором подпрограмм для программного комплекса «Maple».

Также автором предложен и реализован способ моделирования контактного слоя с использованием метода конечных элементов. Моделирование осуществлено в программном комплексе «Лира» версии 10.8.

Задачи исследования

В соответствии с поставленной целью были сформулированы и решены следующие задачи:

1) Вывод разрешающих уравнений для слоистых балок, пластин и цилиндров с

использованием модели контактного слоя.

2) Решение задачи о напряженно-деформированном состоянии слоистых стержней при изгибе и межслойном сдвиге. Исследование краевых эффектов концентрации напряжений.

3) Решение задачи о напряженно-деформированном состоянии двухслойного толстостенного цилиндра при различных вариантах нагружения.

4) Решение задачи микромеханики на примере модели выдергивания волокна из матрицы.

5) Решение упругих задач для слоистой пластины при нормальном отрыве.

6) Определение эффективных механических характеристик слоистого композита.

7) Решение задач ползучести слоистого композита при нормальном отрыве. Определение длительной прочности слоистого композита при нормальном отрыве.

8) Сравнение процессов ползучести в полимерной прослойке слоистого композита и свободном полимерном стержне.

Научная новизна

Главным отличием полученных результатов является то, что при решении задач теории многослойных конструкций автор использует уникальную гипотезу, предложенную в [95] и реализованную во многих работах [101] [99] Р.А Турусовым, согласно которой, взаимодействие слоев осуществляется с помощью контактного слоя, в котором происходит межмолекулярное взаимодействие вещества адгезива с субстратом. В отличие от большинства существующих на данный момент моделей многослойных конструкций, модель контактного слоя используется для описания не материала, а взаимодействия слоев. При этом наряду с адгезионной прочностью вводится параметр жесткости контактного слоя, который характеризует интенсивность адгезионной связи и влияет на величины и характер распределения напряжений на границе и во всех компонентах модели. Предполагается, что контактный слой представляет собой анизотропную среду. Параметры этой среды таковы, что она передает только касательные напряжения в плоскости контакта и нормальные напряжения,

перпендикулярные плоскости контакта. Если рассматривается многослойная пластина, ось 2 которой направлена перпендикулярно ее поверхности, то в контактном слое Ех, Еу, О^ = 0 и Ег, Охг, Оуг ф 0 .

На основе модели контактного слоя в диссертации получены разрешающие системы уравнений и проведен широкий спектр теоретических исследований для многослойных пластин, стержней и двухслойных цилиндров. Помимо этого модель контактного слоя впервые реализована в расчете с использованием метода конечных элементов.

Данная диссертационная работа во многом является продолжением трудов В.И. Андреева и Р. А. Турусова. При этом задачи исследования решаются либо впервые, либо являются развитием (за счет изменения постановки задачи и методов решения) уже решенных. Теоретическая значимость

Теоретическая значимость работы состоит в развитии механики многослойных конструкций и адгезионной механики. Полученные системы разрешающих уравнений для многослойных пластин, стержней и цилиндров позволяют решать многочисленные задачи данных разделов механики. Методика получения разрешающих уравнений легко может быть применена к другим, не рассмотренным в диссертации задачам. Используемая модель контактного слоя имеет следующие достоинства:

1) Прогнозирует возникновение существенно неоднородных полей напряжений в многослойных конструкциях и адгезионных соединениях, включая концентрации напряжений;

2) Позволяет удовлетворить всем граничным условиям, в отличие от строгих решений, например, в теории упругости, когда в угловых точках на свободных от нагрузок поверхностях, вопреки условию задачи, получаются бесконечные значения касательных напряжений (сингулярности) [77];

3) Позволяет ввести некоторые упрощения, вплоть до одномерных задач, решение которых получаются в виде конечных формул без привлечения численных методов;

4) Позволяет учитывать технологические напряжения, создаваемые клеем при усадке или изменении температуры модели;

5) Позволяет использовать физически ясные критерии разрушения адгезионных соединений, например, по достижению касательными напряжениями критической величины;

6) Вводит наряду с адгезионной прочностью параметр жесткости контактного слоя, который характеризует интенсивность адгезионной связи;

7) Объясняет и описывает экспериментально обнаруженное явление синергизма упругих характеристик (модуля Юнга) тонких прослоек адгезива и слоистых структур;

8) Имеет возможность прямого сопоставления теоретических расчетов с результатами экспериментов и позволяет довольно легко из макроэксперимента по измерению средней адгезионной прочности определять истинную прочность адгезионной связи и жесткости контактного слоя.

Практическая значимость

Полученные результаты исследований позволяют:

1) Производить расчеты существенно неоднородного напряженно-деформированного состояния широкого класса многослойных конструкций;

2) Оценивать прочность и долговечность многослойных конструкций;

3) Определять критерии разрушения адгезионных соединений;

4) Определять эффективные механические характеристики слоистых конструкций;

5) Оценивать существующие и разрабатывать новые стандарты испытания адгезионных.

Достоверность результатов

Достоверность результатов обоснована:

1) Использованием фундаментальных законов теории упругости и теории вязкоупругости;

2) Корректностью постановки задач в рамках механики деформируемого твёрдого тела;

3) Использованием общепринятых гипотез строительной механики;

4) Согласованностью полученных результатов расчета с экспериментальными данными.

5) Согласованностью результатов аналитического расчета с результатами, полученными из конечно-элементного расчета.

Положения, выносимые на защиту На защиту выносятся:

1) Методы получения систем разрешающих уравнений для многослойных конструкций с использованием модели контактного слоя;

2) Результаты решения упругих задач для многослойных стержней;

2.1) Результаты сопоставления теоретических расчетов с экспериментальными данными;

2.2) Результаты сопоставления аналитических расчетов и численных расчетов с использованием метода конечных элементов;

2.3) Обоснование необходимости детального изучения напряженно-деформированного состояния при определении адгезионной прочности соединений;

2.4) Метод определения адгезионной прочности на основе изучения напряженно-деформированного состояния соединений;

3) Результаты решения упругой задачи о взаимодействии волокна и матрицы;

4) Результаты решения упругих задач для слоистой пластины при нормальном отрыве;

- по определению разрушающей нагрузки;

- по определению эффективных механических характеристик;

5) Результаты решения задач ползучести слоистой пластины при нормальном отрыве и их сопоставление с результатами для свободного полимерного стержня.

Личный вклад автора

В исследуемой проблеме личный вклад автора заключается в развитии и расширении области использования модели контактного слоя для расчета многослойных конструкций и адгезионных соединений, получении разрешающих уравнений для решения новых классов задач, разработке методов численного и аналитического решения и анализа поставленных задач, реализации модели контактного слоя при конечно-элементном моделировании. Апробация работы

Основные результаты исследований, выполненных автором в рамках настоящей диссертационной работы, доложены на 8 совещаниях, конференциях и семинарах:

1) Tsybin N.Yu., Turusov R.A., Andreev V.I. Comparison of creep in free polymer rod and creep in polymer layer of the layered composite. XXV R-S-P seminar, Theoretical Foundation of Civil Engineering (25RSP) (TFoCE 2016). 11-16 July 2016. Zilina, Slovakia;

2) Andreev V.I., Turusov R.A., Tsybin N.Yu. The contact layer method in calculating of the shear compounds. XXVI R-S-P seminar, Theoretical Foundation of Civil Engineering (26RSP) (TFoCE 2017). 21-25 August 2017. Warsaw, Poland;

3) Турусов Р.А., Андреев В.И., Цыбин Н.Ю. Расчет двухслойной цилиндрической оболочки с применением метода контактного слоя. Механика композиционных материалов и конструкций, сложных и гетерогенных сред. 21-23 Ноября 2017. Москва, Россия;

4) Цыбин Н.Ю. Разрешающие уравнения многослойной пластины с применением трехмерной модели контактного слоя. XIV международная научно-практическая конференция "Развитие фундаментальных основ науки и образования в строительстве". 18 Мая 2017. Москва, Россия;

5) Andreev V.I., Turusov R.A., Tsybin N.Yu. The edge effects in layered beams. XXI International Scientific Conference on Advanced in Civil Engineering "Construction the Formation of Living Environment". 25-27 April 2018. Moscow, Russia.

6) Calculation of two-layer cylinder with application of contact layer model. VII Международный симпозиум "Актуальные проблемы компьютерного моделирования конструкций и сооружений". 1-8 Июля 2018. Новосибирск, Россия;

7) Andreev V.I., Turusov R.A., Tsybin N.Yu. Stress-strain state of a three-layer rod. Comparison of the results of analytical and numerical calculations with the experiment. XXVII R-S-P seminar, Theoretical Foundation of Civil Engineering (27RSP) (TFoCE 2018). 17-21 September 2018. Rostov-on-Don, Russia.

8) Andreev V.I., Turusov R.A., Tsybin N.Yu. Layered composite and contact layer. Normal separation and transversal strength. VI International Scientific Conference «Integration, Partnership and Innovation in Construction Science and Education (IPCSE 2018). 14-16 November 2018. Moscow, Russia Перечень публикаций

Статьи, входящие в перечень рецензируемых научных изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук, на соискание ученой степени доктора наук 6:

1) Андреев В.И., Турусов Р.А., Цыбин Н.Ю. Напряженное состояние слоистого композита при нормальном отрыве. Часть 1 // Научное обозрение.

- 2015. - №24. - C. 98-101.

2) Андреев В.И., Турусов Р.А., Цыбин Н.Ю. Напряженное состояние слоистого композита при нормальном отрыве. Часть 2 // Научное обозрение.

- 2015. - №24. - C. 102-106.

3) Андреев В.И., Турусов Р.А., Цыбин Н.Ю. Определение напряженно-деформированного состояния трехслойной балки с применением метода контактного слоя // Вестник МГСУ. -2016. - №4. - C. 17-26.

4) Турусов Р.А., Андреев В.И., Цыбин Н.Ю. Общее решение задачи об изгибе многослойной балки в рядах Фурье // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. -2017. - №4. - C. 34-42.

5) Андреев В.И., Цыбин Н.Ю., Турусов Р.А. Анализ краевого эффекта касательных напряжений при сдвиге двухслойной балки // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. - 2018. - Т. 14, № 3. - С. 180-186.

6) Цыбин Н.Ю., Андреев В.И., Турусов Р.А. Исследование ползучести полимеров в различных условиях деформирования // Строительная механика и расчет сооружений. - 2018. - № 3 (278). - С. 30-35.

Статьи в рецензируемых научных изданиях, входящих в международные

реферативные базы данных и системы цитирования 6:

1) Tsybin N.Y., Turusov R.A., Andreev V.I. Comparison of creep in free polymer rod and creep in polymer layer of the layered composite // Procedia Engineering. - 2016. - Vol. 153. - Pp. 51-58.

2) Andreev V.I., Turusov R.A., Tsybin N.Y. Application of the contact layer in the solution of the problem of bending the multilayer beam // Procedia Engineering. -2016. - Vol. 153. - Pp. 59-65.

3) Andreev V.I., Turusov R.A., Tsybin N.Y. The contact layer method in calculating of the shear compounds // MATEC Web of Conferences. - 2017. - 117, 00008.

4) Andreev V.I., Turusov R.A., Tsybin N.Y. The edge effects in layered beams // IOP Conference Series: Mater. Sci. Eng. - 2018. - 365, 042049.

5) Tsybin N.Y., Turusov R.A., Andreev V.I., Kolesnikov A.V. Stress-strain state of a three-layer rod. Comparison of the results of analytical and numerical calculations with the experiment // MATEC Web of Conferences. - 2018. - 196, 01857.

6) Tsybin N.Y., Turusov R.A., Andreev V.I. Calculation of two-layer cylinder with application of contact layer model // IOP Conference Series Materials Science and Engineering. - 2018. - 456(1), 012063.

Внедрение результатов исследования

Материалы диссертационной работы внедрены в ОАО «НПО Стеклопластик» для расчета и проектирования многослойных конструкций.

Результаты исследований, полученные в диссертационной работе, использованы при выполнении в 2016-2017 г. госбюджетной научно-исследовательской работы «Расчет слоистых пластин и оболочек на основе метода контактного слоя с учетом непрерывности обусловленной наличием физических полей».

Результаты исследований, полученные в диссертационной работе, использованы для разработки программы для ЭВМ «Программа расчета адгезионного соединения с использованием модели контактного слоя»

Структура и объем работы

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 105 наименований и трех приложений. Работа изложена на 179 страницах машинописного текста, включающего 85 рисунков.

Автор выражает глубокую благодарность доктору физико-математических наук, профессору Роберту Алексеевичу Турусову за консультации в процессе работы над диссертацией.

1. Состояние вопроса. Исходные системы уравнений.

1.1. Краткий исторический обзор исследуемой темы

Теория многослойных конструкций, как самостоятельный раздел механики, начала формироваться еще 1920-е годы. При этом можно выделить два основных направления исследований [57]. В первом направлении гипотезы (Кирхгофа-Лява, С. П. Тимошенко и др.) применяются к пакету слоев в целом, тем самым вносятся предположения об абсолютно жестком контакте слоев. Неоднородность физико-механических характеристик по толщине пакета учитывается использованием усредненных значений. После определения усредненных интегральных величин решение задачи производится по аналогии с соответствующим решением для однослойной конструкции. Подобный подход накладывает ограничения на толщину пакета слоев.

В качестве примера можно привести работы С.Г. Лехницкого [71] и [70], в которых автор вычислил интегральные жесткости многослойных пластин. Более общие выражения интегральных жесткостей слоистой оболочки получены в работе В.В. Васильева [43]. Помимо указанных авторов существенный вклад в развитие данного направления внесли С. А. Амбарцумян [23], [22], В.И. Королёв [67], [68], Э.И. Григолюк и другие авторы [92].

Несмотря на простоту разрешающих уравнений, данный подход ставит одну серьезную задачу - выбор правильного метода осреднения характеристик монослоев по толщине пакета, при неправильном выборе которого, возникают существенные расхождения с данными эксперимента, особенно в случаях, когда велика разница в свойствах монослоев, составляющих пакет.

Главным отличием второго подхода является то, что гипотезы накладываются не на пакет слоев в целом, а на каждый слой в отдельности. При этом исследователь волен выбирать предположения о характере работы каждого из слоев. Иначе говоря, допускается, что к одному слою будут применяться одни гипотезы (например, гипотеза Кирхгофа-Лява), а для другого слоя иные (например, гипотеза С.П. Тимошенко). Подобный подход не имеет ограничений

на толщину пакета слоев в целом, а главным недостатком является то, что число разрешающих уравнений увеличивается прямо пропорционально числу слоев.

Структура разрешающих уравнений второго подхода представлена двумя основными группами. Первая группа - уравнения, описывающие напряженно-деформированное состояние несущих слоев. Вторая группа - уравнения, характеризующие взаимодействие слоев. Причем, как правило, взаимодействие несущих слоев осуществляется с использованием соединительных слоев, которые представляют собой видимый материал (например, легкий заполнитель).

В качестве примера одного из первых исследований в данной области можно привести работу Дятлова А.В. [55] который рассматривал задачу устойчивости составного стержня с непрерывно-распределенными упругими связями.

Не приуменьшая авторитет и вклад других исследователей, автор считает, что наиболее близкими к используемой в данной диссертации модели контактного слоя являются модели, разработанные и описанные в работах А.Л. Рабиновича, А.Р. Ржаницына и В.В. Болотина. В дальнейшем речь пойдет исключительно о работах данных авторов.

Значительную часть своих исследований А.Р. Ржаницын посвятил многослойным конструкциям. В частности, он рассматривал составные стержни в своих трудах [88] и позднее для многослойных пластин обобщил в статье [89]. Итоговым наиболее важным трудом указанного автора является книга [90], в которой рассмотрены вопросы прочности, устойчивости и колебаний составных стержней и пластинок. В своих работах А.Р. Ржаницын рассматривает многослойные конструкции, состоящие из набора чередующихся слоев двух видов: «несущих» («составных») и соединительных слоев («заполнитель», «шов»). Соединительные слои при этом представляет собой видимый элемент конструкции. Модель многослойной конструкции в представлении А.Р. Ржаницына приведена на рисунке ниже.

Субстрат / \ Субстрат

Рисунок 1. Модель многослойной конструкции А.Р. Ржаницына

В своих трудах А.Р. Ржаницын заменяет соединительные слои («швы») системой связей сдвига, препятствующих горизонтальным смещениям слоев относительно друг друга, и поперечных связей, препятствующих отрыву одних слоев от других. Автор строго разграничивает эти два вида связей. Предполагается, что связь между напряжениями и деформациями в связях является линейной. В целом модель «шва» представляет собой «пружинную» модель, похожую на основание Винклера.

Стоит отдельно сказать о вкладе В.В. Болотина в теорию расчета многослойных конструкций. Одним из наиболее важных его трудов в данной области можно назвать книгу [37] в соавторстве с Ю.Н. Новичковым, в которой на основе подходов к реализации механики многослойных конструкций, предложенных В.В Болотиным в статье [38], рассмотрены основы теории расчета многослойных конструкций, получены разрешающие уравнения для решения многочисленных задач, приведены примеры расчета на температурные, статические и динамические нагрузки. В основе полученных уравнений лежат многослойные конструкции, представляющие собой набор чередующихся «жестких» и «мягких» слоев. Исходным пунктом в трудах В.В. Болотина по многослойным конструкциям является теория трехслойных пластин и оболочек (об этом сообщает автор во введении [37]). Согласно данной теории «мягкий» слой (он же связующий) служит для обеспечения перераспределения усилий между «жестким» (несущими) слоями. Разделение слоев на «жесткие» и «мягкие» носит условный характер, однако автор предлагает классифицировать их в

зависимости от величины отдельных компонентов плотности энергии упругой деформации. Плотность потенциальной энергии упругой деформации записана ниже:

и = 1 (ап8п + а22е 22 + ^33833 + т^ У12 +т13ув + х2з у 2з).

Для «жестких» слоев в правой части записанного выражения доминируют первый, второй и четвертый члены. Для «мягких» - третий, пятый, шестой. Исходя из этого «жесткими» являются слои, для которых выполняются гипотезы классической теории пластин и оболочек, то есть определяющими являются упругие энергии деформаций изгиба, растяжения и сдвига в плоскости срединной поверхности, по сравнению с которыми энергии деформаций изменения длины нормалей и деплонации сечения пренебрежимо малы. Для «мягких» слоев наоборот, определяющими являются изменение длины нормалей и деплонация сечений, а деформации изгиба, растяжения и сдвига в плоскости срединной поверхности пренебрежимо малы.

В целом, модель «мягкого» слоя, используемая В.В. Болотиным аналогична модели «шва», используемой А.Р. Ржаницыным. Об этом говорят уравнения, связывающие напряжения и деформации в «мягком» слое с перемещениями примыкающих «жестких» слоев (у А.Р. Ржаницына «шов» и «составные» слои соответственно). Данные уравнения будут рассмотрены далее.

Помимо указанных ранее авторов, значительный вклад в механику армированных полимеров внес А.Л. Рабинович [87], [86], [84], [85] и др. Он рассматривал армированные пластики как многослойные конструкции, состоящие из набора «армирующих» и «соединительных» слоев, применяя кинематические и физические гипотезы к каждому из слоев в отдельности. При этом для «армирующих» слоев используются те же гипотезы, что и в подходах А.Р. Ржаницына и В.В. Болотина для «составных» и «жестких» слоев соответственно. «Соединительные» слои адгезива, рассматриваются как анизотропная среда, модуль упругости которой в направлении, параллельном срединной поверхности

слоя равен нулю. Из этого следует, что слой адгезива можно рассматривать как набор несвязанных поперечных пластинок-связей.

Рисунок 2. Модель многослойной конструкции А. Л. Рабиновича

В рассмотренных подходах А.Р. Ржаницына, В.В. Болотина и А.Л. Рабиновича различные упрощающие гипотезы (замена слоя системой связей и т.д.) используются для описания материала слоя адгезива. В отличие от них модель контактного слоя описывает взаимодействие слоев субстрата и адгезива.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Цыбин Никита Юрьевич, 2019 год

о -

10

15

КЭ решение

20 25 30 х, мм ооо Эксперимент

Рисунок 36. Касательные напряжения в контактном слое. Сравнение численного

решения и экспериментальных данных.

Представленные графики демонстрируют, что полученные результаты качественно и количественно согласовываются с экспериментальными данными. Прямое сопоставление аналитического и численного решения на одном графике не представляется возможным, ввиду того, что результаты практически

полностью совпадают. Важным является то, что граничные условия у торца модели полностью удовлетворяются. 3.2.5. Анализ влияния изгиба

При решении классов задач, в которых определяющими являются продольные силы и деформации слоев, допускается не учитывать изгиб. В этом случае уравнения (3.14) и (3.16) примут вид

к

йх

2

рг _ рь •

х,к х,к'

("О2 й

V

к

24 йх "

ч

и* V

и

г ,к

и

' 2

(3.24)

Перемещения слоев (3.17), примыкающих к контактному слою, на границе раздела записаны ниже

= и0 к, к = 1, 2.

иг,к = и0,киь,к

Дифференцируя второе уравнение (3.24) по переменной х и, учитывая, что

йи0,к =„ ; „ = N

ах Вк

получим

к

йх

2

рг _ рь •

х,к х,к '

От* йх

("к-)2 а

3т*

к

24 йх3

Ок

Ик_1 N

V Вк _1

в

к У

(3.25)

Подставляя в первое уравнение (3.25) к = 0, 1, 2 и во второе к = 1, 2.

0

йх

2

Р* _ Р

х ,0

х ,0'

йИ1 йх

рг _ рЬ • ^2 Гх ,1 -Гх,1 ' 7

ах

рг _ рЬ •

Чс ,2 ^х ,2'

йт* = ("*) о3т* а;

йх 24 ах3 Учтем, что

К

N0 N1

V в0

в,

1 У

йх

(К*)2 а

3т* 2

О,*

24 ах3 К

N1 N2

V В1

в

2 У

рг =0; рь = т* • рг = _т* • рь = т* • рг = _т* • рь =0

2х,0 ^,0 2х,1 2х,1 ^ 2х,2 ^ 1 х,2

В результате

N йх

"1'

йЫ1 йх

N йх

-х;

йх:_(и;)2 й3х; о;

0 V

йх

24 йх3 и:

V Во

В,

. йх2 _(и;)2 й3х2 о;

1 У

йх

24 йх3 И

' N - N2л

V В1 В2 у

"2 _ М0 ;

Из условий симметрии задачи следует:

N2 _N0; N1 _Р-2N0; х2 _-х1; и2

И2 _ К; В2 _ В0 _ £0М>; В1 _ ^

С учетом симметрии система разрешающих уравнений сводится к одному уравнению относительно продольной силы Ы0 .

й4 N й2 N о:

йх4 йх2 И:

N Р - 2 N

V В0

В,

_ 0.

(3.26)

1 У

Перепишем уравнение (3.26) в следующем виде

й4Ы0 24 й2Ы0

240:

йх 4 (и:) йх 2 в1 (и:)

Введем обозначения

2 +

В

N0 _

0 У

240:

В1 (и:)3

-Р.

2 24 2 ь В * 0:

2ю_-г; л_2+—; с_—:

В' ВИ:

(3.27)

В результате, с учетом (3.27) получим следующее разрешающее уравнение

й4^0 йN _ СЛГ _

—- 2ю—+ 0 _ 2ш^Р.

ил ил

Ниже приведено решение уравнения (3.28).

Р

N _-+ Е С ехР (Угх),

Л г _1...4

в котором величины у г - корни характеристического уравнения

у4 - 2юу2 + _ 0,

(3.28)

(3.29)

записанные ниже

У

,2,3,4 _ ^ю±>/®2'-2®л^.

(3.30)

В результате, с учетом симметрии получим выражение для продольной

силы N

Р

N _ —ь С1 ехр(у1 х) + С2ехр(-у1 х) + С3 ехр(у2х) + С4 ехр(-у2х). Л

(3.31)

в котором

у 12 - . (3.32)

С учетом симметрии относительно оси у , решение (3.31) принимает вид

N0 = — + С1 [expх) + exp(-у1 x)] + C3 [exp(у2x) + exp(-у2x)]. Запишем граничные условия

f11 = 0. dN, f1! * — _т f11

V 2 J dx V 2 J — 1 V 2 J

N0

Из (3.34) находятся константы C1 и C3:

^у J 1

= 0.

(3.33)

(3.34)

у 2 sinh

Ci =

у 1 sinh

^ J

2^

C3 =-

у if

v ^ J

в которых

Х = у1 sinh

X

cosh

, v-3

2^

X

4 2^

у2 cosh

V ^ J V ^ J

Подставляя (3.35) в (3.33), получим

sinh

^ J

'у 2Л

v ^ J

(3.35)

(3.36)

N. = P

ЛХ

Х + у 2 sinh

у 2f 1

v 2 J

cos

h (у 2 x)

v ^ J

(3.37)

cosh (у 1 x) - у 1 sinh

Для анализа влияния изгиба, сравним результаты вычисления продольной силы по формулам (3.37) и (3.23)

Рисунок 37. Продольная сила в слое 0. Сравнение результатов вычисления по

формулам (3.37) и (3.23).

Как видим, в данной задаче влияние изгиба на величину продольной силы незначительно. Более наглядно этот факт продемонстрирован на рисунке ниже.

5 10 15 20 25 30

▼ кгс

Рисунок 38. Погрешность вычисления продольной силы в слое 0. Ы0 - формула (3.23) (с учетом изгиба), Ы0 - формула (3.37) (без учета изгиба).

Как видим, погрешность вычисления продольных сил не превышает 4%. Аналогичный анализ проведем для касательных напряжений в контактном слое.

В обоих случаях касательные напряжения в контактном слое вычисляются по первой формуле системы (3.21). Ниже приведены результаты вычисления касательных напряжений в контактном слое.

Рисунок 39. Касательные напряжения в контактном слое. Сравнение результатов с

учетом и без учета изгиба.

Рисунок 40. Погрешность вычисления касательных напряжений в контактном слое. т* - с учетом изгиба, т* - без учета изгиба.

3.2.6. Упрощенная модель контактного слоя без учета изгиба При использовании упрощенной модели контактного слоя (2.164) систему разрешающих уравнений (3.14) также можно свести к одному уравнению, записанному ниже.

О*

dx2

ВХК

r B Л 2 + B

B

0 У

B1h*

■P.

(3.38)

Введем в уравнение (3.38) обозначения

о* 2 ^ В ш = —-; л = 2+ —1-.

ВХН* В0

В результате уравнение (3.38) примет вид

(3.39)

d2 N0 dx2

®^N0 = _®P.

Решением уравнения (3.40) является следующее выражение

Р

(3.40)

(3.41)

N =—+ X с■ exP (у ¡х),

Л 1=1,2

в котором величины у 1 корни характеристического уравнения у2 - 2юл = 0.

^1,2 = ±Т®Л.

Из граничных условий N1 — | = 0, с учетом симметрии получим

окончательное выражение для продольной силы в слое 0.

N0 = P

Л

cosh (y1x)

cosh

У

(3.42)

Сравним результаты вычисления продольной силы по формулам (3.42) и

(3.23)

Рисунок 41. Продольная сила в слое 0. Сравнение результатов вычисления по

формулам (3.42) и (3.23).

1.4

1.2

0.8

0.6

0.4

0.2

-0.2

^ Л^о-Л^о, кгс

10 15 20 25 30

Рисунок 42. Погрешность вычисления продольной силы в слое 0. Ы0 - формула (3.23) (модель общего вида), Ы0 - формула (3.42) (упрощенная модель).

Как видим, наибольшая погрешность возникает в зоне краевого эффекта. Однако максимальное значение продольной силы в двух случаях практически совпадает.

Сравним касательные напряжения в контактном слое, вычисленные с использованием упрощенной модели контактного слоя и модели общего вида.

М т ,МПа

i i i I Упрощенная модель

\

5 10 15 20 25 / 30 мм

Модель общего I вида

Рисунок 43. Касательные напряжения в контактном слое. Сравнение результатов для модели общего вида и упрощенной модели.

Анализируя результаты, полученные с использованием упрощенной модели контактного слоя, можно сделать следующие выводы:

1) Использование упрощенной модели контактного слоя значительно облегчает решение задач.

2) Погрешность вычисления продольных сил незначительна.

3) Размер зоны краевого эффекта совпадает с решением с использованием модели общего вида.

4) Упрощенная модель не позволяют удовлетворить граничным условиям относительно касательных напряжений (у свободного торца напряжения должны быть равными нулю).

5) Максимальное значение касательных напряжений на 20% превышает величину, полученную из решения с использованием модели общего вида. Данная погрешность может быть существенной, при определении истиной адгезионной прочности соединений на основе данных эксперимента.

З.З.Двухслойный стержень. Расчет соединения внахлестку

Оценка адгезионной прочности соединений в большинстве опытов производится с использованием простейшего критерия - среднего разрушающего напряжения хт1с1. Данная величина [6] вычисляется как отношение разрушающей

нагрузки Р к площади склейки А, ттШ = Р/А. Подобный метод оценки

предполагает равномерное распределение напряжений по площади склейки. Однако, как показывают результаты по измерению средней адгезионной прочности, данная величина является сильной функцией геометрических параметров испытываемых моделей [13], [50]. Этот факт является следствием того, что напряжения распределены неравномерно по площади склейки. В частности, в большинстве опытов по измерению напряжений [10], [94] в адгезионных моделях, был выявлен краевой эффект, то есть концентрация напряжений [7], подобная той, что наблюдается в вершинах трещины.

Рисунок 44 демонстрирует обобщенную модель двухслойного стержня, позволяющую рассматривать не только задачи сдвига слоев, но также изгиб и нормальный отрыв.

Рисунок 44. Обобщенная модель двухслойного стержня

Разрешающие уравнения для внешних слоев на основе (2.162) примут вид

О2 N.

йР1

ху ,0

йР:

ху ,0

- А

йх2 Ох й ?

0 4у 0 + И0 ( ар10 ху,0 , аръ0 л ху,0

йх4 2 1 ^ йх йх ^

02 NN1 = < д Ох ох аръ ху ,1 . йх

0 4У1 1 И (ар1 аГху,1 , аръ } ху ,1

Ох4 1 2 1 йх Ох

о*

у ,0

У ,0'

— р1 — Р° ~1у,1 1У ,1-

В предыдущем разделе было показано, что использование упрощенной модели контактного слоя вносит погрешность порядка 20% на величину максимальных касательных напряжений, поэтому для данной задачи будем использовать модель контактного слоя общего вида. В случае двухслойного стержня имеется один контактный слой, разрешающие уравнения для которого принимают вид:

. о

{ 1 * 7 * Л

ху ,1

л2 * л

й 1 ху ,1 + 1

в.

ху ,1

12 Е*1 Ох

2,1

2 й I

7 * 7 *

йу 1,1 + й^ъх Ох Ох

1 / * * \ - д- иъ,1);

а у,1 = - У1

ху ,1

,1

йх И*

(* * \

у * ,1- у ъ,1);

(3.44)

в которых

у*,1 = уо; уъ,1 = У1;

и

1,1

и

и0 оу 0

и

и0,1 +

И йУ1

(3.45)

0,0 ^ 7 ? О,1 0,1 ^ 7

2 ах 2 ах

Считая, что к верхней и нижней грани балки приложены только нормальные

напряжения д0 и д1, получим для уравнений (3.43)

О2N0 = 0 1*хуД _ + И0 0 1ху,1

. Л "г

Ох

О 2 N1 й 1ху,1

Ох

2 йх

= 40 -а

у ,1'

йх2

А 04у1 + И1 0 1*ху,1

Ох Ох 2 Ох

а

у ,1

41.

Из первого и третьего уравнения (3.46) следует, что

йх2

а2 N

йх2

(3.46)

Таким

образом, систему (3.46) можно переписать в виде

а2 N0 ах2

- П

а^,1. - п аVо ¿о а2N0

ах

а » а2 N0

ах

2 ах2 а2 N

= ^0

2

ах4 2 ах2 СТуД ^ ах2 ах2

Продифференцируем первое уравнение (3.44) по х, учитывая, что

0

а2 N1

<1=2^; ,1

73 * а ^,1

____1_ а1 ху,1 + 1

24^У,1 С*уЛ ах 2

/ 72 *

а 2у

ах

7 2 * Л

а V,,

, ,1 + Ь ,1

ах2

У

аи* аи*

V ,1

ах ах

= 0.

(3.48)

Теперь продифференцируем третье и четвертое равенство (3.45)