Расчет потенциального движения двухмерных стационарных, спокойных потоков тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.23.16, кандидат технических наук Дуванская, Елена Викторовна

• Дуванская, Елена Викторовна
• кандидат технических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат технических наук Дуванская, Елена Викторовна

ВВЕДЕНИЕ.

1. АНАЛИЗ СОВРЕМЕННОГО СОСТОЯНИЯ ВОПРОСА.

1.1. Основные виды уравнений движения жидкости и упрощения.

1.2. Связь между развитием ЭВМ и математических моделей различных процессов происходящих в природе, технике, обществе.

2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОСНОВА АНАЛИТИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО КЛАССА ЗАДАЧ ПО ТЕЧЕНИЮ ПЛАНОВЫХ СПОКОЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ПОТОКОВ ВОДЫ.

2.1 Вывод основной системы плановых уравнений спокойного потока воды в естественных координатах в плоскости годографа скорости.

2.2 Сведение поиска решения системы уравнений плановых спокойных потоков воды к решению уравнения второго порядка в частных производных.

2.3 Поиск решений системы плановых уравнений движения спокойного потока воды методом разделения переменных.

2.4. Специфические методы решения системы плановых уравнений движения спокойного потока воды.4$

2.5 Выводы по главе. m З.ОБЩИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ГИДРАВЛИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ПО ТЕЧЕНИЮ ПЛАНОВЫХ СПОКОЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ПОТОКОВ ВОДЫ.

3.1. Решение задачи о радиальном растекании воды (спокойный поток)

3.2. Формулировка общего метода аналитического решения гидравлических задач по течению двухмерных в плане спокойных стационарных потенциальных потоков воды.

3.3. Пример решения задачи сопряжения спокойных течений воды в каналах прямоугольного сечения различной ширины с расширением русла

3.3.1. Постановка задачи.

3.3.2 Определение параметров потока во втором русле.

3.3.3. Выбор конструкции решения задачи для выражения в линии тока (вариант -1).

3.3.4. Получение системы уравнений для функции тока и потенциальной функции.

3.3.5. Определение параметров растекания потока вдоль его оси симметрии

3.3.6. Интегрирование системы уравнений движения потока вдоль граничной линии тока и фиксированной эквипотенциали.

3.3.7. Определение параметров потока на оси симметрии потока и вдоль граничной линии тока.

3.3.8 Определение параметров потока внутри области течения.

3.4. Решение задачи сопряжения спокойных течений воды в каналах прямоугольного сечения различной ширины с расширением русла с учётом сил трения потоку.

3.4.1. Определение закона распределения параметров потока вдоль его оси симметрии с учётом сил трения.

3.4.2 Корректировка параметров потока в расширяющемся русле с учетом сил сопротивления потоку в произвольной точке потока.

3.4.3. Вариант учета малых уклонов дна в задаче сопряжения спокойных течений воды в каналах прямоугольного сечения различной ширины с расширением русла.

4. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ ИССЛЕДОВАНИЙ. ОЦЕНКА АДЕКВАТНОСТИ МОДЕЛИ. ВЫВОДЫ.

4.1. Решение задачи определения параметров потока на участках сужения русла.

4.1.1. Расчет параметров потока во втором русле без учета сил сопротивления потоку.

4.1.2. Выбор конструкции решения для выражения в линии тока.

4.1.3. Определение параметров растекания потока вдоль оси симметрии русла

4.1.4. Определение параметров потока вдоль его продольной оси симметрии с учетом сил сопротивления.

4.1.5. Решение задачи в целом.

4.1.6. Алгоритм расчета параметров потока без учета сил сопротивления потоку.

4.1.7. Алгоритм расчета параметров потока с учетом сил сопротивления потоку.

4.2. Доказательство адекватности результатов счета по математической модели экспериментальным и натурным результатам исследований.

4.2.1. Натурные исследования течения спокойного потока с расширением русла прямолинейными стенками.

4.2.2. Сравнение результатов счета модели с учетом сил трения потоку с экспериментальными данными известных исследователей.

4.3. Полная формулировка результатов работы и их практическая значимость.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Расчет потенциального движения двухмерных стационарных, спокойных потоков»

В условиях сопряжения потоков воды в прямоугольных руслах расширяющимися или сужающимися участками, часто встречающихся в практике гидротехнических и дорожных сооружений, возникает задача плавного сопряжения параметров потока без значительных волнообразований и неравномерностей. Для этого необходимо оптимизировать задачу сопряжения русел. С наименьшими затратами такую оптимизацию можно произвести разработав математическую модель течения потока в таких руслах и определить оптимальные размеры элементов русла и параметров потока математическим моделированием, либо перебором различных вариантов, либо выбором варианта, доставляющего минимум функции волнообразования на поверхности потока. Качество же существующих методов расчета зачастую не удовлетворяет потребностям практики и его можно в настоящее время существенно улучшить, так как появились все предпосылки для этого: мощные ПЭВМ; появился в полной мере разработанный аппарат решения краевых задач с уравнениями математической физики; возникла потребность практики в развитии теории двухмерных потоков и поиске, прежде всего, аналитических решений гидравлических задач.

Актуальность проблемы. Наиболее сложными являются задачи гидравлики пространственных потоков. В практике гидромелиоративного строительства встречаются потоки, течением вдоль одного измерения в которых можно пренебречь по сравнению с двумя основными. В 1933 году Н.Н.Бернадский предложил двухмерную плановую модель потока в спокойном состоянии, т.е. при числах Фруда (критерии кинетичности потока Fr<l). Приемлемость такого подхода была подтверждена многократно. Однако существующие методы решения различных гидравлических задач по течению таких потоков весьма не совершенны и могут быть существенно улучшены разработкой чисто аналитических методов, либо смешанных, т.е. дополненных численными методами. Таким образом, решается основная задача МВХ России

Усовершенствование конструкций и методов расчета открытых потоков в гидросооружениях оросительных систем и дорожных водоотводов». Как известно, характер течения спокойныхFr<l и бурных Fr> 1 потоков резко отличаются. В настоящий работе уделяется внимание именно спокойным потокам течения реальной жидкости с учетом сил сопротивления потоку и уклона дна русла на примере решения задач с расширением или сужением русла прямолинейными стенками.

Развитие компьютерной техники с одной стороны и потребности гидротехнического строительства с другой, позволяют на современном этапе развития теории плановых потоков создать метод упрощенного аналитического решения целого класса задач по течению двухмерных в плане спокойных потоков, результаты которого могут использоваться, как непосредственно в проектных организациях, так и косвенно для разработки системных методов по решению прикладных задач с учетом значительного числа второстепенных факторов. Ранее таких обобщенных цельных методов расчета в научной литературе не встречалось. Таким образом математическое моделирование воплощается, реализуется на моделях плановых спокойных потоков воды. В работе приведены практические задачи, решаемые предлагаемым аналитическим методом, и спектр этих задач будет постоянно увеличиваться с течением времени.

Цель и задачи исследований: Целью настоящей работы является расчет гидравлических параметров с учетом сил трения и уклона дна русла двухмерных стационарных, спокойных потоков для решения задач при проектировании сетевых мелиоративных и дорожных сооружений.

Для реализации данной цели были поставлены следующие задачи:

1. . Анализ изученности вопроса по решению гидравлических задач движения двухмерных стационарных, спокойных потоков.

2. Решение системы дифференциальных уравнений движения двухмерных стационарных, спокойных потоков в плоскости годографа скорости для расчета гидравлических параметров.

3. Разработка алгоритмов и компьютерных программ для решения задач по определению гидравлических параметров двухмерных стационарных, спокойных потоков с учетом сил трения и уклона дна русла.

4. Решение задач по течению плановых спокойных потоков в расширяющемся или сужающемся русле, выполненном в виде прямолинейных боковых стенок, с учетом сил трения потоку;

5. Проверка адекватности математической модели реальному течению потоков сравнением результатов расчета гидравлических параметров с натурными и экспериментальными данными.

Методика исследований основывается на теоретических исследованиях уравнений математической физики по течению спокойных двухмерных в плане потоков воды в открытых руслах с расширяющимися или сужающимися стенками с учетом сил сопротивления потоку со стороны русла. Правильность проделанных математических выкладок доказывается проверкой результатов моделирования в натурных условиях с применением современных измерительных средств и современной вычислительной техники.

Научную новизну работы составляют:

- Решение системы уравнений математической физики, описывающей движение двухмерных стационарных, спокойных потоков воды в плоскости годографа скорости, для расчета гидравлических параметров потенциального движения;

- методика расчета гидравлических параметров двухмерных стационарных, спокойных потоков с учетом сил трения и уклона дна;

- алгоритм расчета гидравлических параметров и компьютерные программы для решения задач по сужению и расширению спокойных потоков с учетом сил трения со стороны русла.

Практическая ценность . работы заключается в получении метода расчета гидравлических параметров двухмерных стационарных, спокойных потоков с учетом сил трения и уклона дна русла.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на международной научно-технической. Конференции в ЮРГТУ (Новочеркасск 21-24нояб. 2000г.), ежегодных научно-практических конференциях профессорско-преподавательского состава, научных работников и аспирантов ЮРГУЭС (Шахты, 2000-2003 г), научно-технической конференции преподавателей, аспирантов и студентов, посвященной 100-летию М.М. Скиба в НГМА 26 апреля 2002 г., на всероссийской научно-технической, конференции в ЮРГТУ (Новочеркасск, 9-12 окт. 2001 г).

Реализация работы: Результаты теоретических исследований были внедрены в практику проектирования открытого водосбросного сооружения на объекте реконструкции пруда на балке «Ягодная» Ольховского района Волгоградской области, что подтверждено актом внедрения.

Ряд систем, формул, алгоритмов могут использоваться инженерами проектировщиками оросительно-обводнительных систем водного хозяйства России для расчета спокойных потоков, а в сужающихся участках русла и для потоков, переходящих из спокойного состояния в бурное.

Публикации: Основные результаты исследований изложены в 13 опубликованных научных работах включая монографию.

Структура и объем работы: диссертация состоит из введения, четырех глав, списка использованной литературы и приложений. Общий объем составляет 150 страниц машинописного текста, включая 14 рисунков, 5 таблиц, список литературы из 109 наименований, в.т.ч. 11 иностранных авторов.

Заключение диссертации по теме «Гидравлика и инженерная гидрология», Дуванская, Елена Викторовна

4.4. Общие выводы Получена система дифференциальных уравнений математической физики, описывающая движение жидкости планового потока в плоскости годографа скорости. В отличие от системы, описывающей течение жидкости спокойного планового потока в физической плоскости, полученная система линейна относительно старших производных, что позволило решить эту систему аналитически. Аналитическое решение системы дифференциальных уравнений дало возможность получить группы решений, которые могут быть использованы для решения гидравлических задач при проектировании сетевых мелиоративных и дорожных сооружений. Разработан и обобщен метод решения гидравлических задач двухмерных стационарных, спокойных потоков, который .позволяет учитывать влияние сил трения потоку и уклона дна русла, что дает возможность повысить точность гидравлических расчетов на 10-15%. Разработана математическая модель для выполнения инженерных расчетов гидравлических задач при проектировании сетевых мелиоративных и дорожных сооружений.

По результатам экспериментальных исследований изучены качественные и количественные характеристики гидравлических параметров спокойного потока при расширении и сужении, которые подтверждают основные выводы аналитических зависимостей. Сравнение результатов натурных исследований с результатами расчета гидравлических параметров по разработанной математической модели показало достаточную сходимость в пределах 5%.

Метод, предложенный в работе, позволяет обобщить и расширить теорию расчета двухмерных открытых плановых, спокойных потоков.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Дуванская, Елена Викторовна, 2003 год

1. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. - 5-е изд. -/Л.Г.Лойцянский.-М.: Наука, 1978. - 736 с.

2. Дмитровский В.И. Гидромеханика /В.И.Дмитровский. М: Морской транспорт, 1962. 298с.

3. Штеренлихт Д.В. Гидравлика:В 4-х т./Д.В.Штеренлихт М.:Энергоиздат, 1991.-Т.4.-366с.

4. Высоцкий Л.И. Управление бурными потоками на водосбросах / Л.И.Высоцкий. М: Энергия, 1977,280с

5. Справочник по гидравлике / Под редакцией В.А.Болыпакова.-2е изд., перераб. и доп.-Киев: Вища школа,1984.-343с.6. . Штеренлихт Д.В. Гидравлика:В 4-х т./Д.В.Штеренлихт М. :Энергоиздат, 1991.-Т.2.-366с.

6. Штеренлихт Д.В. Гидравлика:В 4-х т./Д.В.Штеренлихт М.:Энергоиздат, 1991.-T.3.-366C.

7. Штеренлихт Д.В. ГидравликагВ 4-х т./Д.В.Штеренлихт М.:Энергоиздат, 1991.-Т.4.-366С.

8. Емцев Б.Т. Двухмерные бурные потоки / Б.Т.Емцев. М.: Энергия, 1967.-212 с.

9. Тихонов А.Н. Уравнения математической физики / А.Н.Тихонов, А.А.Самарский. М.: Наука, 1986. - 106с.

10. Галушко В.Г. Вероятностно-статистические методы на автотранспорте. / В.Г.Галушко. Киев: Наукова думка, 1976. - 232с.

11. Генетические алгоритмы: Монография / Таганрогский радиотехнический ун-т; В.М. Курейчик. Таганрог: Изд-во. ТРТУ, 1998,242с.

12. Курейчик В.М. Математическое обеспечение КТП с применением САПР. / В.М.Курейчик. М.: Радио и связь, 1990, 351с.

13. Курейчик В.М. Генетические алгоритмы в технике. Методы кибернетики и информационные технологии. — Саратов: Изд-во СГУ, 1997 ,245с.

14. Емцев Б.Т. Техническая гидромеханика. / Б.Т.Емцев. М.: Машиностроение, 1987,439с.

15. Энциклопедический словарь.Информатика./Под редакцией Д.А.Поспелова. М.: Наука, 1994, 352с

16. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях в частных производных / И.Г.Петровский. М.: Физматгиз, 1961. 156 с.

17. Шеренков И.А. О плановой задаче растекания струи бурного потока несжимаемой жидкости / И.А.Шеренков М: Известия АНСССР. ОТН, 1958, 72-78с.

18. Лятхер В.Н. Исследование плана течений в нижнем бъефе гидротехнических сооружений численными методами / В.Н. Лятхер,

19. A.Н. Милитеев, Н.П. Тогунова // Гидротехническое строительство. -1978, №26, С.26-31.

20. Милитеев А.Н. Метод расчета сопряжения бьефов в пространственных условиях / А.Н. Милитеев, Н.П. Тогунова // Гидравлика сооружений оросительных систем: Труды НИМИ; вып.5. Новочеркасск, 1976, T.XVIII.-C.180-194.

21. Коханенко В.Н. Выбор частных решений основной системы движения потока в конструкции решения краевой задачи свободного растекания бурного двухмерного, стационарного потенциального потока воды /

22. B.Н. Коханенко. Шахты, 1996.-12с.- Деп. в ВИНИТИ 10.12.96, № 3588-В96.

23. Коханенко В.Н. Конструирование решения задачи свободного растекания бурного двухмерного стационарного потенциального потока воды /

24. В.Н. Коханенко. Шахты, 1996.-9с.- Деп. в ВИНИТИ 10.12.96, № 3586-В96.

25. Коханенко В.Н. Решение системы двухмерных уравнений растекания бурного стационарного потока воды / В.Н. Коханенко. Шахты, 1996.-11с.- Деп. в ВИНИТИ 10.12.96, № 3585-896.

26. Дуванская Е.В. Современные методы расчета дорожных водопропускных сооружений./Е.В.Дуванская// Экология, технология и оборудование:Сб. науч. трудов/Издательский центр ДГТУ Ростов-на-Дону, 2001.-С.94-98.

27. Коханенко В.Н. Влияние неравномерности потока в выходном сечении трубы на характер свободного растекания потока в нижнем бьефе. Гидравлика и гидротехника / В.Н. Коханенко, O.JT. Кольченко // Киев, -1989,-Вып. 51.- с. 42-48.

28. Коханенко В.Н. Расчет планового свободно растекающегося потока за трубчатыми водосбросами круглого сечения. ЦНТИ / В.Н. Коханенко // Информационный листок № 594-88. Ростов-на-Дону, 1988. - 2 с.

29. Коханенко В.Н. Применение принципа оптимальности, к расчету свободного растекания бурных плановых потоков. Автосервис, машины и агрегаты, механика. / В.Н. Коханенко, Б.Ю. Калмыков // Сб.научн.трудов. Шахты: ДГАС, 1996, - Вып. 17. 4.1. - с. 65-69.

30. Лавренев М.А. Проблемы гидродинамики и их математические модели / М.А. Лавренев, Б.В. Шабат. М.: Наука, 1977. - 408 с.

31. Коханенко В.Н. Вывод основной системы уравнений двухмерного потока в плоскости годографа скорости и поиск ее частных решений М., 1996 Деп. в ВИНИТИ № 3584-В96 от 10.12.96 - 98 с.

32. Сигорский В.П. Математический аппарат инженера / В.П. Сигорский.-Киев: Техника, 1975.-766с.

33. Хартман Ф.М. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Ф.М. Хартман.-М.: Мир. 1970.-242с.

34. Коханенко В.Н. Вывод основной системы уравнений движения двухмерного потока в плоскости годографа скорости и поиск ее частных решений / В.Н. Коханенко. М., 1996. - 98 с. - Деп. в ВИНИТИ 10.12.96, № 3584-В96.

35. Чаплыгин С.А. Избранные труды. Механика жидкости и газа. Математика. Общая механика/С.А.Чаплыгин. -М.: Наука, 1976. 496с.

36. Коханенко В.Н. Вывод системы двухмерных уравнений бурного потока в плоскости годографа скорости / В.Н. Коханенко. М., 1996. -10 с.-Деп. в ВИНИТИ 10.12.96, № 3587-В97.

37. Кошляков Н.С. Основные дифференциальные уравнения математической 'физики / Н.С.Кошляков, Э.Б.Глинер, М.М.Смирнов. -М.: Физматгиз, 1962. -82с.

38. Смирнов М.М. Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка. / М.М.Смирнов. М.: Наука, 1964. - 202с.

39. Тихонов А.Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. М.: Наука, 1986. - 106с.

40. НиколенкоВ.Н. Уравнения математической физики. / В.Н.Николенко. -М.:. Изд-ство МГУ, 1981. - 64с.

41. АрсенинВ.Я. Методы математической физики и специальные функции / В.Я.Арсенин. М.: Наука, 1984. 384с.

42. Справочник по математике для научных работников и инженеров. Г.Корн и Т.Корн. М.: Наука, 1970. - 720с.

43. Владимиров B.C. Уравнения математической физики / В.С.Владимиров. М.: Наука, 1971. 94с.

44. Михлин С.Г. Курс математической физики / С.Г. Михлин. М.: Наука, 1968.- 102с.

45. Соболев С.Л. Уравнения математической физики / С.Л. Соболев. М.: Госте-хиздат, 1966.-224с.

46. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Камке Э Перевод с нем. Изд. 4-е, исправл. и доп. М.: Наука, 1971. -576с.

47. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений / В.В.Степанов. -М.: Гостехиз-дат, 1953. 321с.

48. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений / Н.М. Матвеев. М.:Высшая школа, 1963.- 156с.

49. Дуванская Е.В. Решение задачи радиального растекания спокойного потока/Е.В.Дуванская, В.Н.Коханенко, Ю.М.Косиченко// Мелиорация антропогенных ландшафтов: Сб. науч. трудов/Новочеркаасская гос. мелиоративная академия-Новочеркасск: НГМА,2002.-Т16.-С.43-52

50. Евдокимова В.В. Экономическая информатика. Учебник для вузов / В.В. Евдокимова. СПб.: Питер. 1997. - 592с.

51. Фигурнов В.Э. IBM PC для пользователя. Краткий курс / В.Э Фигурнов. М.: ИНФРА - М, 1999. - 480 с.

52. Богумирский Б. Энциклопедия Windows 98 / Б.Богумирский. СПб.: Питер Ком, 1999. - 896 с.

53. Йорг Шиб. Windows: Пер. с нем. / Йорг Шиб. М.: БИНОМ., 1995 -336 с. ил.

54. Дьяконов В.П. 98 вопросов noWindows 98 / В.П. Дьяконов. М.: СОЛОН-Р, 1999-336 с.

55. Мэтьюз М., Windows 95: книга ответов: Перев. с англ. / М.Мэтьюз, К. Мэтьюз. СПб: Питер - 448 с.

56. Симонович С. Windows 98: учебный курс / С.Симонович. СПб.: Питер Ком, 1999.-512 с.

57. Велиум К., Секреты программирования в Windows 98.: Пер. с англ./ К.Велиум. М: Диалектика, 1999. - 855с.

58. Симонович С.В. Практическая информатика: Учебное пособие для средней школы. Универсальный курс / С.В. Симонович, Г.А. Евсеев. — М.: Информ-Пресс, 1999.-480с.

59. Берлине Э.М. Microsoft Windows 95. Microsoft Plus! Русская версия. / Э.М. Берлине, Б.Э. Глазырин, И.Б.Глазирина. -Cn6.:NLABF, 1996. -350с.

60. Пейре Р. Вычислительные методы в задачах механики жидкости / Роже Пейре, Томас Д. Тейлор. -Л.: Гидрометеоиздат,1986.-352с.

61. Эббот М.Б. Гидравлика открытого потока /М.Б.Эббот. М.: Энергоатомиздат, 1983 .-272с.

62. Кюнж Численные методы в задачах речной гидравлики.: Пер.с англ / Ж.А. Кюнж Ф.М. Холи, А. Вепвей. М.: Энергоатомиздат. 1985.-255с.

63. Гришанин К.В. Динамика русловых потоков / К.Б. Гришанин.-М.: Гидрометеоиздат, 1979.-289с.

64. Дадлей К. Microsoft Wmdow» 98: краткий курс / К. Дадлей, Д. Кокс.-СПб.: Питер, 1999. 248с.

65. Дьяконов В.П. 98 вопросов по Windows 98 / В.П. Дьяконов М.: СОЛОН-Р, 1999-336 с.

66. Богомолов А.И. Гидравлика 2-е изд. - / А.ИМ.Богомолов, К.А Михайлов. - М.:Стройиздат, 1973. - 648с.

67. Справочник по гидравлическим расчетам / Под редакцией П.Г.Киселева.-4-е изд. — М.: Энергия, 1972. — 312с.

68. Гидравлический расчеты водосбросных гидротехнических сооружений.Справочное пособие / Под редакцией А.Б.Векслера. М.: Энергоатомиздат, 1988. - 624с.

69. Могилёв А.В. и др. Информатика: Учеб.пособие для студ. пед. вузов /

70. A.В.Могилёв, Н.И.Пак, Е.К.Хённер; Под ред. Е.К.Хённера. М., 1999.816 с.

71. Дуванская Е.В. Аналитический метод решения ряда практических задач по течению двухмерных в плане стационарных спокойных потенциальных потоков идеальной жидкости/Е.В.Дуванская,

72. B.Н.Коханенко// Экология, экономика, технологии и оборудование: Сб. науч. трудов./Издательский центр ДГТУ.- Ростов-на-Дону, 2003.-С. 75.

73. Г.Б. Двайт. Таблицы интегралов и другие математические формулы / Г.Б. Двайт.-. М.: Наука, 1983.-172с.

74. Стинсон К. Эффективная работа • Windows 98 / К.Стинсон. СПб.: Питер, 1999.-410с.

75. Бахвалов Н.С., Лапин А.В., Чижонков Е.В. Численные методы в задачах и упражнениях / Н.С.Бахвалов, А.В.Лапин, Е.В .Чижонков. -М: Высшая школа, 2000.-152с.

76. Вержбицкий В.М.Численные методы(математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения) / В.М.Вержбицкий. М.: Высшая школа, 2000. - 200с.

77. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров / А.А.Амосов, Ю.А.Дубинский, Н.В.Копченова. -М.: Высшая школа, 1994.- 160с.

78. Арушанян О.Б. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений на Фортране / О.Б.Арушанян, С.В.Залеткин. -М: Изд-во МГУ, 1990.-86С.

79. Бабушка И., Витасек Э., Прагер М., Численные процессы решения дифференциальных уравнений / И.Бабушка, Э.Витасек, М.Прагер.-М.: Мир, 1969.-162с

80. Бахвалов Н.С. Численные методы / Н.С.Бахвалов.-М.: Наука, 1973.-140с.

81. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы / Н.С.Бахвалов, Н.П.Жидков, Г.М.Кобельков.-М.: Наука, 1987.-168с.

82. Березин И.С. Методы вычислений: В 2-х т./ И.С.Березин, Н.П.Жидков. -М.: Физматгиз, 1962.-Т1. 210с.

83. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений: В 2-х т. М.: Физматгиз, 1962.- Т.2. - 168с.

84. Боглаев Ю.П. Вычислительная математика и программирование / Ю.П.Боглаев.-М.: Высшая школа, 1990.-168с.

85. Дьяченко В.Ф. Основные понятия вычислительной математики / В.Ф.Дьяченко. М.:-Наука, Ю72.-64с.

86. Иванов В.В. Методы вычислений на ЭВМ / В.В.Иванов. -Киев: Наукова думка, 1986.-84с.

87. Калиткин Н.Н. Численные методы / Н.Н.Калиткин.-М.: Наука, 1978.-186с.

88. Каханер Д. Численные методы и программное обеспечение / Д. Каханер, К.Моулер, С-М.Нэш. Мир, 1998.-2Юс.

89. Краскевич В.Е. Численные методы в инженерных исследованиях / В.Е.Краскевич, К.Х.Зеленский, В.И.Гречко. Киев: Вища школа, 1986.-84с.

90. Михлин С.Г. Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений / С.Г.Михлин, В.М.Смолицкий. М.: Наука, 1965.-124с.

91. Молчанов И.Н. Машинные методы решения прикладных задач. Дифференциальные уравнения / И.Н.Молчанов. Киев: Наукова думка, 1988.-88C.

92. Никольский С.М. Квадратурные формулы / С.М.Никольский. М.: Наука, 1988. - 64с.

93. Норри Д. Введение в метод конечных элементов / Д.Норри, Ж.де Фриз. М.:Мир, 1981.-210с.