Расчет полей электромагнитных волн в слоистой ионосферной плазме с учетом нелинейных эффектов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 04.00.23, кандидат физико-математических наук Стефанчук, Александр Дмитриевич

• Стефанчук, Александр Дмитриевич
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Стефанчук, Александр Дмитриевич

Введение.

Глава 1. Обзор задач распространения волн в слоистой плазме.

1.1. Электромагнитные волны в слоистой магнитоактивной плазме.

1.2. Нелинейные эффекты при распространении радиоволн в ионосферной плазме.

1.3. Постановки задач.

1.4. Точные решения.

1.5. Численные методы расчета полей и коэффициентов отражения и прохождения

Глава 2. Расчет полей в изотропной плазме.

2.1. Метод расчета поля волны при учете нелинейных эффектов.

2.2. Оценки точности метода.

2.3. Моделирование распространения волн в верхней атмосфере. Влияние нелинейности на коэффициент отражения.

2.4. Эффект смещения точки отражения.

2.5. Краткие выводы.

Глава 3. Распространение волн в магнитоактивной плазме.

3.1. Обобщение метода расчета поля волны на случай гиротропной среды.

3.2. Особенности потенциальной функции вблизи точек отражения необыкновенной волны.

3.3. Расчет полей и коэффициентов отражения и прохождения.

3.4. краткие выводы.

Глава 4. Учет нелинейных эффектов при распространении волн в магнитоактивной плазме.

4.1. Обобщение метода решения нелинейного волнового уравнения на случай системы уравнений.

4.2. Расчет полей и коэффициентов отражения и прохождения.

4.3. Краткие выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Расчет полей электромагнитных волн в слоистой ионосферной плазме с учетом нелинейных эффектов»

Задачи распространения волн в слоистых средах возникают во многих разделах физики. В частности, такие геофизические среды, как ионосфера, атмосфера, океан и т.д. содержат слоистые структуры. Решение задач расчета поля волны, а также коэффициентов отражения и прохождения при распространении электромагнитных волн в ионосфере имеют большое значение как для расчета радиотрасс с отражением от ионосферы, так и для многих задач дистанционной диагностики ионосферной плазмы. Возможность численного решения задачи расчета поля волны для плазменных слоев большой толщины, на которых умещается порядка 103 - 105 длин волн, таких как ионосфера, появилась только в последние десятилетия в связи со стремительным прогрессом компьютерной техники: ростом скорости вычислений, объемов оперативной памяти компьютеров и т.д., что делает весьма актуальной разработку вычислительных методов, соответствующих специфике данной задачи.

Комплексная амплитуда плоской монохроматической электромагнитной волны, распространяющейся в плоскослоистой изотропной плазме, описывается уравнением вида d2 Е г + (к2-д(х))Е = 0 (0.1) e2N(x) где q(x) =-77-г, / — частота волны, к = 2itf ¡с — волновое число, с г0тс (1 + iv(x) / 271f) скорость света, N(x) — электронная концентрация, v(x) — эффективная частота соударений, ей т — заряд и масса электрона. Вид (0.1) совпадает с видом одномерного стационарного уравнения Шредингера в квантовой механике [7, 19-21, 44, 67, 71], поэтому функцию qix) будем называть потенциалом. Помимо квантовой механики, 4 уравнение вида (0.1) возникает также в задачах сейсмики [1], оптики и акустики [9, 23, 54, 57], например, при описании падения плоской волны на слоистый диэлектрик под различными углами [82].

В случае гиротропной плазмы поле волны описывается системой из двух дифференциальных уравнений второго порядка [11,18] где потенциал q(x) представляет собой матрицу 2x2 (что аналогично многоканальному рассеянию в квантовой механике [19, 20]).

Учет нелинейных эффектов при распространении электромагнитных волн в плазме (а они могут быть существенными даже при достаточно слабых полях) приводит к наличию зависимости потенциала q(x,f,E) не только от пространственной переменной х и частоты /, но и от поля волны Е .

Наиболее широко используемым в ионосферных исследованиях методом расчета распространения волн является приближение геометрической оптики (ВКБ-приближение) [3, 11, 18, 26, 44, 56-58]. Однако оно не применимо во многих важных случаях [11, 30]: при наличии тонких спорадических слоев, больших градиентов электронной концентрации, вблизи локальных максимумов электронной концентрации, вблизи особенностей показателя преломления необыкновенной волны и т.д. Поэтому актуальной задачей является разработка эффективных численных методов для моделирования распространения электромагнитных волн в ионосферной плазме. Важной проблемой при этом является учет нелинейных эффектов, особенно при подбарьерном отражении, когда ввиду наличия пучностей и узлов стоячей волны возмущенный показатель преломления является осциллирующей функцией, что также делает невозможным использование приближения геометрической оптики (ГО). Учет

0.2) 5 магнитного поля делает эти задачи еще более сложными, так как вместо одного волнового уравнения (0.1) приходится рассматривать систему двух сцепленных уравнений (0.2). Таким образом, при моделировании распространения радиоволн в ионосфере возникают проблемы учета волновых и нелинейных эффектов, поглощения и гиротропии ионосферной плазмы.

Целью диссертационной работы является разработка методов и алгоритмов расчета полей электромагнитных волн и комплексных коэффициентов отражения и прохождения при распространении электромагнитных волн в ионосферной плазме с учетом волновых эффектов, поглощения, гиротропии среды и нелинейных эффектов.

Научная новизна и практическая ценность работы. В работе развиты новые методы и алгоритмы расчета полей и коэффициентов отражения и прохождения электромагнитных волн в слоистой плазме при учете поглощения, магнитного поля и нелинейных эффектов. Путем численного эксперимента исследованы области применимости различных методов и проявления нелинейных эффектов. Практическая ценность работы определяется возможностью применения предложенных в ней методов к широкому кругу задач распространения волн в слоистых средах, в том числе задач распространения радиоволн в ионосфере, радиозондирования ионосферы, задач оценки воздействия волн на ионосферу и т.д.

В первой главе работы дается обзор задач распространения волн в слоистых средах и методов их решения. Во второй главе предлагаются методы расчета полей в изотропной плазме, устойчивые при подбарьерном отражении и позволяющие учесть нелинейные эффекты. С помощью этих методов исследуется влияние вызванных нагревом плазмы возмущений электронной концентрации и эффективной частоты соударений электронов на коэффициенты отражения и прохождения, а также эффект смещения точки отражения вследствие нелинейности. В третьей главе рассматривается 6 распространение волн в плазме при наличии магнитного поля. Полученные в первой главе методы расчета поля и коэффициентов отражения и прохождения обобщаются на случай системы двух связанных уравнений, описывающих распространение волн в гиротропной среде, проводится численное моделирование такого распространения. В четвертой главе,расчет полей и матриц коэффициентов отражения и прохождения производится для случая магнитоактивной плазмы с учетом нелинейности.

Новые результаты, полученные в диссертации, можно сформулировать в виде следующих положений, выносимых на защиту.

1. Предложен эффективный метод расчета полей электромагнитных волн в слоистой плазме, позволяющий учитывать поглощение и производить устойчивые вычисления для различных ионосферных профилей.

2. Предложен метод расчета нелинейного распространения радиоволн в Е- и Е-слоях ионосферы, пригодный при сильной нелинейности.

3. Промоделировано отражение мощных радиоволн от ионосферы, рассчитаны поле волны, коэффициенты отражения и прохождения, изучены наблюдающиеся при этом эффекты смещения точки отражения волны и самоиндуцированной прозрачности.

4. Предложен метод расчета полей в магнитоактивной плазме ионосферы, позволяющий учесть слабую нелинейность среды.

5. Проведено моделирование распространении радиоволн в магнитоактивной плазме с учетом нелинейных эффектов.

Результаты диссертационной работы неоднократно докладывались на научных конференциях. По теме диссертации опубликовано 8 научных работ: [8, 31-34, 38, 53, 74]. 7

В работе принята тройная нумерация формул и рисунков: первое число соответствует номеру главы, второе — номеру пункта, а третье — номеру формулы или рисунка в соответствующем пункте. Список литературы приведен в алфавитном порядке. 8

Заключение диссертации по теме «Физика атмосферы и гидросферы», Стефанчук, Александр Дмитриевич

Заключение

По результатам работы можно сделать следующие выводы.

1. Предложен эффективный метод расчета полей электромагнитных волн в слоистой плазме, позволяющий учитывать поглощение и производить устойчивые вычисления для различных ионосферных профилей.

2. Предложен метод расчета нелинейного распространения радиоволн в изотропной плазме, позволяющий проводить вычисления в случае сильной нелинейности.

3. Промоделировано отражение мощных радиоволн от ионосферы, рассчитаны поле волны, коэффициенты отражения и прохождения. При распространении радиоволн в ионосфере учет увеличения эффективной частоты соударений и увеличения электронной концентрации вследствие нагрева плазмы приводит к росту поглощения и уменьшению модуля коэффициента отражения. Наиболее сильно это проявляется при отражении от нижних слоев ионосферы. Уменьшение электронной концентрации в средних слоях ионосферы вследствие убегания электронов из нагретой области не компенсирует рост поглощения в нижних слоях ионосферы: модуль коэффициента отражения уменьшается с ростом амплитуды волны.

4. Промоделирован эффект смещения точки отражения волны. Смещение точки отражения при малых величинах нелинейности совпадает с теоретически предсказанной квадратичной зависимостью. В нижних слоях ионосферы точка отражения смещается вниз, а в средних — вверх. При сильной нелинейности смещение точки отражения может существенно отклоняться от квадратичной зависимости.

101

5. Обнаружен эффект стабилизации положения точки отражения при увеличении амплитуды падающей волны в случае сдвига точки отражения вниз (отражение от нижних слоев ионосферы).

6. К отклонению сдвига точки отражения от квадратичной зависимости приводит также отличие профиля электронной концентрации от линейного. Когда точка отражения приближается к максимуму электронной концентраци, величина сдвига резко возрастает и вблизи некоторого критического значения величины нелинейности выходит на вертикальную асимптоту, а затем характер распространения волны скачком меняется от подбарьерного к надбарьерному, т.е. возникает самоиндуцированная прозрачность.

7. Обнаружена возможность существования (при отражении от средних слоев ионосферы вблизи критических частот при достаточно сильной нелинейности) нескольких стационарных решений волнового уравнения, в том числе соответствующих подбарьерному и надбарьерному распространению.

8. Предложен метод расчета полей в магнитоактивной плазме ионосферы, позволяющий учесть слабую нелинейность среды.

9. Проведено моделирование распространения радиоволн в магнитоактивной плазме с учетом нелинейных эффектов.

102

Автор выражает признательность д.ф.-м.н., профессору В.Е.Куницыну за интересную постановку задачи, чуткое научное руководство и неизменное внимание к работе.

103

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Стефанчук, Александр Дмитриевич, 2000 год

1. Алексеев A.C. Некоторые обратные задачи теории распространения волн. Пространственная задача для волн типа SH. // Известия АН СССР, серия геофизическая. 1962. № 11. С. 1514-1531.

2. Альберверио С., Гестези Ф., Хёэг-Крон Р., Хольден X. Решаемые модели в квантовой механике. М.: Мир, 1991. 568 с.

3. Альперт Я. Л. Распространение электромагнитных волн и ионосфера. М.: Наука, 1972.

4. Анютин А.П. Об особенностях искажения AM и 4M сигналов, отражённых от слоя Эпштейна // Изв. вузов. Радиофизика. 1979. Т. 22. № 6. С. 703-710.

5. Анютин А.П. О влиянии неоднородности плазмы на характер искажения AM и 4M сигналов// Изв. вузов. Радиофизика. 1980. Т. 23. № 5. С. 524-528.

6. Арсенин В.Я., Горячев В.А., Загонов В.П. и др. О методе расчёта коэффициентов отражения радиоволн СВ и KB диапазонов от ионосферы. М.: Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша. Препринт №134 за 1978 г. 43 с.

7. Бабиков В.В. Метод фазовых функций в квантовой механике. М.: Наука, 1988. 255 с.

8. Бигвава Л.Д., Куницын В.Е., Стефанчук А.Д., Усачев А.Б. Расчет полей декаметровых волн в ионосферной плазме // XVIII Всероссийская конференция по распространению радиоволн. Тезисы докладов. С.-Пб., 1996. С.365.

9. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1973. 423 с.

10. Васильев А.Н. Волны в плазме твёрдого тела. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1988. 99 с.

11. Гинзбург В.Л. Распространение электромагнитных волн в плазме. М.: Наука, 1967. 684 с.104

12. Годин O.A. Об отражении плоских волн от слоистого полупространства // ДАН СССР. Т. 255. № 5. С. 1069-1072.

13. Годин O.A. Примеры расчета отражения плоской волны от слоистых сред // Вопросы дифракции элекромагнитных волн: Сб. научн. тр. / МФТИ. М., 1982. С. 107-114.

14. Голант В.Е. Сверхвысокочастотные методы исследования плазмы. М.: Наука, 1968. 327 с.

15. Гуревич A.B., Шварцбург А.Б. Нелинейная теория распространения радиоволн в ионосфере. М.: Наука, 1973. 272 с.

16. Гусев В.Д., Жидовленко И.Ю., Приходько Л.И. Отражение и рассеяние радиоволн в ионосферном спорадическом слое Es П Радиотехника. 1986. № 6. С. 71-73.

17. Гусев В.Д., Приходько Л.И. Отражение радиоволн от неоднородных ионосферных слоев с поглощением // Распространение и дифракция электромагнитных волн в неоднородных средах. Тезисы докладов. М., 1994. С. 34-35.

18. Дэвис К. Радиоволны в ионосфере. М: Мир, 1973. 502 с.

19. Захарьев Б.Н., Сузько A.A., Потенциалы и квантовое рассеяние: Прямая и обратная задачи. М.: Энергоатомиздат, 1985. 233 с.

20. Захарьев Б.Н. Уроки квантовой интуиции. Дубна, ОИЯИ, 1996. 300 с.

21. Калоджеро Ф. Метод фазовых функций в теории потенциального рассеяния. М.: Мир, 1972.290 с.

22. Калоджеро Ф., Дегасперис А. Спектральные преобразования и солитоны: Методы решения и исследования нелинейных эволюционных уравнений. М.: Мир, 1985. 469 с.

23. Кард П.Г. Анализ и синтез многослойных интерференционных фильтров. Таллин: Валгус. 1971.235 с.105

24. Керблай Т.С., Минуллин Р.Г., Овезгельдыев О.Г. и др. Спорадический слой Es и его роль в ионосферном распространении радиоволн // XV Всесоюзная конференция по распространению радиоволн. Тезисы докладов. М.: Наука, 1987. С. 7-8.

25. Керблай Т.С., Носова Г.Н. Применение аналитических моделей слоя Es при интерпретации ионограмм // Ионосферные модели: Сб. научн. тр. / Наука. М., 1975. С.169-175.

26. Кессених В.Н. Распространение радиоволн. М.: ГИТТЛ, 1952. 488 с.

27. Куницын В.Е., Нестеров И. А. Реконструкция профиля диэлектрической проницаемости слоистой плазмы // Вопросы дифракции и распространения волн. М.: МФТИ, 1994. С.36-46.

28. Куницын В.Е., Нестеров И.А. Реконструкция профиля электронной концентрации для плазменных слоёв различной величины по данным радиозондирования // Вестник МГУ. Физика, Астрономия. 1997. №5. С.17-21.

29. Куницын В.Е., Нестеров И.А., Стефанчук А.Д. Моделирование нелинейного распространения радиоволн в слоистой плазме // LIV научная сессия, посвященная Дню радио. Тезисы докладов. М., 1999. С.141-142.106

30. Куницын В.Е., Нестеров И.А., Стефанчук А.Д. Численное моделирование распространения радиоволн в ионосфере с учетом нелинейных эффектов // XIX Всероссийская научная конференция "Распространение радиоволн". Тезисы докладов. Казань, 1999. С. 411-412.

31. Куницын В.Е., Нестеров И.А, Стефанчук А.Д. Расчет коэффициента отражения и поля волны при нелинейном распространении радиоволн в ионосферной плазме. // Проблемы дифракции и распространения волн. М.: МФТИ, 1999, С. 4-12.

32. Куницын В.Е., Нестеров И.А., Стефанчук А.Д. Численное моделирование распространения радиоволн в слоистой плазме // Радиотехника и электроника. 1999. Т. 44. № 12. С. 1445-1451.

33. Куницын В.Е., Смородинов В.А., Усачёв А.Б. Амплитудно- и фазочастотные характеристики отражённых от ионосферы радиоволн // Радиотехника. 1987. № 9. С. 61-63.

34. Куницын В.Е., Смородинов В.А., Усачёв А.Б. Коэффициент отражения радиоволн от немонотоного ионосферного слоя // Дифракция и распространение волн. М.: МФТИ, 1985. С. 87-92.

35. Куницын В.Е., Смородинов В.А., Усачёв А.Б. Отражение радиоволн от произвольного ионосферного слоя // Радиотехника и электроника. 1989. Т.33. №2. С. 233-240.

36. Куницын В.Е., Стефанчук А.Д. Численное моделирование нелинейных радиоволн в ионосфере // Вторая Всероссийская научная конференция. "Физические проблемы экологии (Физическая экология)". Тезисы докладов. 1999. С.25.

37. Куницын В.Е., Терещенко Е.Д. Томография ионосферы. М.: Наука, 1991. 175 с.107

38. Куницын В.Е., Усачёв А.Б. Коэффициент отражения радиоволн от ионосферных слоев, моделирующих слой Еч // Геомагнетизм и аэрономия. 1988. Т.28. № 5. С. 855857.

39. Куницын В.Е., Усачёв А.Б. Отраясение радиоволн от немонотоных ионосферных слоев // Изв. вузов. Радиофизика. 1990. Т. 33. № 3. С. 267-273.

40. Куницын В.Е., Усачёв А.Б. Расчёт ионограмм вертикального зондирования слоистой ионосферы // Геомагнетизм и аэрономия. 1993. №1. С. 145-148.

41. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 1. Механика. М.: Наука, 1973.

42. Ландау Л.Д.; Лившиц Е.М. Теоретическая физика. Т.З. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. М.: Наука, 1989. 767 с.

43. Метфессель С. Тонкие плёнки, их изготовление и применение. М.-Л.: Госэнергоиздат, 1963. 272 с.

44. Намазов С.А., Орлов Ю.И., Фёдоров H.H. Искажения радиоимпульсов при отражении от области максимума ионосферного слоя // Радиотехника и элекроника. 1984. Т. 29. №4. С. 608-619.

45. Нестеров И.А. Задачи зондирования слоистых сред и восстановление неунимодальных профилей: Дис. . канд. ф.-м. наук. М., 1998. 144 с.

46. Овезгельдыев О.Г., Келов Г.А. О некоторых особенностях отражения радиоволн от слоя Es // Изв. вузов. Радиофизика. 1975. Т. 18. № 12. С. 1794-1800.

47. Орлов Ю.И., Фёдоров H.H. О границе применимости асимптотического описания полей радиоимпульсов вблизи критической частоты // Изв. вузов. Радиофизика. 1984. Т. 27. №9. С. 1130-1135.

48. Платцман Ф., Вольф П. Волны и взаимодействия в плазме твердого тела. М.: Мир, 1975. 436 с. .108

49. Справочник по специальным функциям / Под ред. М. Абрамовича и И. Стиган, М.: Наука, 1979. 832 с.

50. Среднеширотный спорадический слой Е ионосферы / Чавдаров С.С., Часовитин Ю.К., Чернышёва С.П. и др., М.: Наука, 1975. 120 с.

51. Стефанчук А.Д. Численные методы расчета полей электромагнитных волн в слоистой магнитоактивной ионосфере // Труды XI Всероссийской школы-конференции по дифракции и распространению волн. М.: МГУ, 1998. С. 252.

52. Тихонравов А.В. Амплитудно-фазовые свойства спектральных коэффициентов слоистых сред // Ж. Вычисл. Матем. и Матем. Физ. 1985. Т. 25. С. 442-450.

53. Усачёв А.Б. Отражение радиосигналов от слоистой ионосферы с учётом волновых явлений: Дис. . канд. ф.-м. наук. М., 1988. 138 с.

54. Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1983. 352 с.

55. Фелсен Л., Маркувиц И. Излучение и рассеяние волн. Т.2. М.: Мир, 1978. 555 с.

56. Харгривс Дж.К. Верхняя атмосфера и солнечно-земные связи. JL: Гидрометеоиздат, 1982. 351 с.

57. Худак Ю.М., Гласко В.Б. Аддитивные представления характеристик слоистой среды и проблема единственности обратных задач // Ж. Вычисл. Матем. и Матем. Физ. 1980. Т. 20. С. 482-490.

58. Черкашин Ю.Н., Рутковский B.C. Почти безотражательные потенциалы в задачах дифракции // Распространение и дифракция электромагнитных волн в неоднородных средах. Тезисы докладов. М., 1994. С. 23-24.

59. Audone В., Uslenghi P.L.E. Reflection and transmission for planar-layered anisotropic structures. // Radio Sci. 1991. V. 26. N 2. p. 517-522.109

60. Bordner A.J. Operator transformation between exactly solvable potentials and the Lie group generators // J. Phys. A. 1997. V. 30. N 11. p. 3927-3936.

61. Budden K.G. Radio waves in ionosphere. Cambridge. University Press. 1961.

62. Chen Y., Rokhlin V. On the inverse scattering problem for the Helmholtz equation in one dimension // Inverse Problems. 1992. N 8. p. 365-391.

63. Chessell C.I. The numerical calculation of reflection and transmission coefficients for thin highly ionised layers including the effect of the Earth's magnetic field. // J. Atmos. Terr. Phys. 1971. V. 33. p. 1515-1532.

64. Chessell C.I., Thomas J.A. and Bourne I.A. Experimental observations of the amplitudes of Es and F-region reflections and their comparison with the thin-layer model for Es. 11 J. Atmos. Terr. Phys. 1973. V. 35. p. 545-561.

65. Coutinho F.A.B., Nogami Y., Perez J.F. Generalized point interactions in one-dimensional quantum mechanics // J. Phys. A. 1997. V. 30. N 11. p. 3927-3936.

66. Deifit P., Trubowitz E. Inverse scattering on the line // Comm. Pure Appl. Math. 1979. V. XXXII. p. 121-251.

67. Epstein P. Reflection of waves in an inhomogeneous absorbing medium // Proc. Nat. Sci. USA. 1930. V. 16. p. 627.

68. Fosterling K. Uber die Ausbreitung electromagnetischer Wellen in einem magnetisieren Medium bei senkrechter Inzidenz. // Hochfrequenz-technik und Elelktroakustik. 1942. V. 59. Januar, p. 11-22.

69. Ginocchio J.N. A class of exactly solvable potentials. 1. One-dimensional Shrodinger equation // Annals of Physics. 1984. V. 152. p. 203-219.

70. Jordan A.K., Ahn S. Inverse scattering theory and profile reconstruction // PROC. IEE 1979. V. 126. N 10. p. 945-950.110

71. Kristensson G., Wall D.J.N. Direct and inverse scattering for transient electromagnetic waves in nonlinear media // Inverse Problems. 1998. V.14. p. 113-137.

72. Kunitsyn V.E., Nesterov I.A., Stefanchuk A.D. Calculations of Power Radio Wave Reflections from the Ionosphere // XXVI URSI General Assembly. Abstracts. Toronto, 1999. p. 236.

73. Miller K.L., Smith L.G. Reflection of radio waves by sporadic-£ layers // J. Atmos. Terr. Phys. 1977. V. 39. p. 899-911.

74. Nygren T. A method of full wave analysis with improved stability // Planet. Space Sci. 1982. V. 30. N4. p. 427-430.

75. Nygren T. A simple method for obtaining reflection and transmission coefficients and field for an electromagnetic wave in a horizintally stratified ionosphere // Planet. Space Sci. 1981. V. 29. N5. p. 521-528.

76. Pechenick K.R., Cohen J.M. Exact class of inverse scattering solutions // Phys. Lett. 1981. V. 82A.N 4. p. 156-160.

77. Reilly M.H., Jordan A.K. The applicability of an inverse method for reconstruction of electron-density profiles // IEEE Trans. Antennas Propagat. 1981. V. AP-29. N 2. p. 245252.

78. Rydbeck O. The reflection of electromagnetic waves from a parabolic layers // Phil. Mag. 1943. V. 34. p. 342.

79. Samsonov B.F. On the equivalence of the integral and the differential exact solution generation methods for the one-dimensional Schrodinger equation // J. Phys. A. 1995. V. 28. N 23. p. 6989-6998.

80. Vogelzang E., Yevick D., Ferwerda H.A. A numerical procedure for solving the inverse scattering problem for stratified dielectric media // Optics comm. 1983. V. 45. N 6. p. 376379.1.l

81. Zang D.Y. A new method of calculating the transmission and reflection coefficients and fields in a magnetized plasma layer// Radio Sci. 1990. V. 25. N 6. p. 1415-1418.