Расчет оптических элементов, формирующих заданные двумерные распределения освещенности тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.05, кандидат физико-математических наук Моисеев, Михаил Александрович

• Моисеев, Михаил Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Моисеев, Михаил Александрович

Введение.

Глава 1. Метод расчета преломляющей поверхности, формирующей заданное двумерное распределение освещенности.

1.1 Расчет преломляющей поверхности свободной формы из условия формирования заданного распределения освещенности при точечном источнике излучения.

1.1.1 Расчет распределения освещенности, формируемого преломляюи^ей поверхностью свободной формы при точечном источнике излучения.

1.1.2 Оптимизация преломляющей поверхности.

1.1.3 Результаты расчета оптических элементов.

1.2 Расчет прело1\1ляющей поверхности свободной формы из условия формирования заданного распределения освещенности при протяженном источнике излучения.

1.2.1 Расчет распределения освещенности, формируемого преломляющей поверхностью свободной формы при протяженном источнике излучения.

1.2.2 Результаты расчета оптических элементов.

1.3 Расчет оптического элемента с двумя преломляющими поверхностями из условия формирования заданного распределения освещенности.

1.3.1 Расчет распределения освещенности, формируемого оптическим элементом с двумя преломляющими поверхностями . 40 1.3.2 Расчет системы подсветки на основе модулей подсветки, формирующих равномерно освещенную гексагональную область.

3.2 Аналитический расчет преломляющего оптического элемента, формирующего заданное радиально-симметричное распределение освещенности в узкоугольной области.

3.3 Расчет преломляющего оптического элемента, формирующего заданное распределение освещенности в узкоугольной области.

3.3.1 Аналитический расчет внешней радиально-симметричной преломляющей поверхности.

3.3.2 Расчет распределения освещенности, формируемого оптическим элементом с внешней поверхностью свободной формы.

3.3.3 Результаты расчета оптических элементов.

Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Расчет оптических элементов, формирующих заданные двумерные распределения освещенности»

Диссертация посвящена разработке и исследованию методов расчета преломляющих оптических элементов для формирования заданных распределений освещенности или интенсивности от точечных и протяженных источников излучения в приближении геометрической оптики.

Актуальность темы

Свеютехнические устройства являются важным элементом большого числа технических систем, включающих дорожное, жилое, промышленное освещения, системы подсветки, светотехнические системы транспортных средств и г.д. До недавнего времени основными используемыми источниками света являлись лампы накаливания. В настоящее время эволюция светотехнических устройств направлена на переход от ламп к светоизлучающим диодам (СИД). Это связано с принятием договоренностей в странах Евросоюза, США, Канады на законодательный запрет использования неэффективных ламп накаливания. В ноябре 2009 года президент России Дмитрий Медведев утвердил законопроект об энергосбережении и повышении энергетической эффективности. предполагающий полный отказ от ламп накаливания с 2014 года.

Широкое применение светодиодов в системах подсветки, освещения и индикации делает актуальным расчет и проектирование светодиодных оптических систем, обладающих высокой световой эффектностью и широкими возможностями контроля энергетических характеристик излучения.

С математической точки зрения задача расчета формирующей оптики свето-диодов является обратной задачей и состоит в расчете формы поверхности (или поверхностей) оптического элемента из условия формирования заданного распределения освещенности в некоторой плоскости. В общем случае данная задача сводится к решению нелинейных дифференциальных уравнений типа уравнения Монже-Ампера [49, 77, 90-92, 94] и является крайне сложной. Аналитические решения известны только для частных случаев.

Ряд методов решения задач данного класса разработан для дифракционных оптических элементов, предназначенных для фокусировки в линии и заданные области пространства и получивших название "фокусаторы лазерного излучения" [6-16, 17*, 21-27, 30, 63-66, 85]. Расчет фокусаторов проводится в приближении геометрической оптики и основывается на расчете эйконала свстового поля в плоскости, прилегающей к оптическому элементу, с последующим восстановлением оптической поверхности. В случае фокусировки в однопараметрические области (линии) получены аналитические решения для задач фокусировки в отрезок [10, 12, 13, 15, 24-26, 30, 63], дугу окружности [9, 15], кривую [11, 15], кольцо [15, 64]. Задача расчета эйконала из условия фокусировки в заданную двумерную область является существенно более сложной. В задаче фокусировки в заданную двумерную область аналитические решения получены только для случая радиальной симметрии и случая фокусировки излучения из прямоу1 ольной области в прямоугольную область [6. 8, 15, 21, 22, 66]. Также известно приближенное аналитическое решение для эйконала в случае фокусировки в область, имеющую вид уширенной кривой [7, 14, 15]. Расчет фокусаторов, как правило, производится в параксиальном приближении, что является недопустимым при расчете оптических элементов, формирующих заданные световые распределения с большим угловым размером.

Большое количество работ посвящено аналитическому расчету отражающих и преломляющих поверхностей, формирующих распределение интенсивности с диаграммой направленности в виде отрезка или кривой [18, 19, 28, 29, 31-34. 67. 68. 82]. В этих работах расчет оптической поверхности сводится к Здесь и далее звездочкой отмечены ссылки на работы автора 6 решению дифференциальных уравнений, при этом отсутствует ограничение на параксиальность и учитываются фрепелевские потери. Тем не менее, методики расчета, использующиеся в [18, 19, 28, 29, 31-34, 67, 68, 82] не могут быть обобщены на случай формирования двумерных распределений освещенности.

При формировании двумерных распределений освещенности аналитические решения задач расчета оптических поверхностей получены только для частных случаев с радиальной или цилиндрической симметрией [59, 71, 72, 107]. При расчете преломляющих радиально-симметричных оптических элементов в [59, 107] не учитываются френелевские потери, что приводит к ошибке при формировании заданных распределений освещенное ги с большим угловым размером. Кроме того, методы [59, 71, 72, 107] не учитывают размеры источника излучения, что является важным при расчете компактных оптических элементов.

В настоящее время известно большое количество методов расчета оптических поверхностей для формирования заданных двумерных распределений освещенности, основанных на использовании функции лучевого соответствия [50, 61, 62, 74-76, 78, 79, 89, 94, 95, 97-99, 104, 105]. Данные методы основаны на эмпирическом задании вида функций лучевого соответствия, определяющих связь между угловыми координатами лучей, вышедших из источника, и декартовыми координатами точек прихода этих лучей в выходную плоскость. Конкретные параметры функций лучевого соответствия определяются из закона сохранения светового потока. Дальнейший расчет оптической поверхности сводится к решению дифференциальных уравнений, определяющих форму поверхности через функции лучевого соответствия. В ряде работ [60, 73, 84, 105] для предложенных функций лучевого соответствия выполняется их итерационная коррекция. Указанный подход имеет следующие недостатки. Отсутствует общий подход к заданию вида функций лучевого соответствия. В известных работах предложенные функции лучевого соответствия могут быть реализованы с помощью оптической поверхности только приближенно. Кроме того, методы [61, 62, 74-76, 89, 94, 85, 97-99, 104, 106] не учитывают френелевские потери и размеры источника излучения, что играет большую роль при расчете компактных оптических элементов.

В работах [1-4, 35*, 69, 70, 80, 93, 101] для расчета оптических поверхностей используются итерационные методы, основанные на минимизации критериев, представляющих отличие формируемого распределения освещенности от заданного. В работах [1-4. 35*] представлены градиентные методы расчета преломляющих поверхностей, основанные на оптимизации параметров функции эйконала, заданной в прилегающей к оптическому элементу плоскости, и последующем восстановлении преломляющей поверхности, формирующей полученное распределение эйконала. Недостатком методов [1-4, 35] является отсутствие учета френелевских потерь, что не позволяет рассчитывать оптические элементы для формирования заданных распределений освещенности в областях с большим угловым размером (130° и более).

При расчете систем уличного и дорожного освещения возникает задача формирования заданного распределения освещенности в области с большим продольным (120° и более) и малым поперечным (менее 60°-70°) угловыми размерами. Использование оптических элементов с единственной рабочей преломляющей поверхностью не позволяет достичь высокой световой эффективности. Это связано с ограниченными возможностями рефракционной поверхности при повороте лучей на большие углы [57, 96]. Для решения данной задачи необходимо использовать преломляющие элементы, работающие по принципу полного внутреннего отражения [81]. В настоящий момент не существует эффективных и универсальных методов расчета таких оптических элементов. Также по-прежнему актуальной остается задача расчета преломляющих элементов, формирующих заданное распределение освещенности в узкоугольной области, возникающая при проектировании оптики для проекторов и прожекторов [55, 56, 58, 100, 102, 103]. Инженерный подход, использующийся для решения этих задач и заключающийся в ручном подборе конфигурации и параметров оптического элемента, является крайне трудоемким. Факт использования таких методов проектирования оптических элементов говорит об актуальности разработки универсальных методов расчета оптики СИД, формирующей заданные распределения освещенности или интенсивности.

Цель работы

Разработка метода расчета преломляющих оптических поверхностей для формирования заданных двумерных распределений освещенности от точечных и протяженных источников излучения, апробация метода в задачах расчета оптических элементов, формирующих распределения освещенности с различным угловым размером.

Основные задачи диссертации

1. Разработка метода расчета преломляющей поверхности с учетом френе-левских потерь для формирования заданного распределения освещенности от протяженного источника излучения.

2. Решение задачи расчета радиально-симметричной преломляющей поверхности для формирования заданного распределения освещенности с учетом френелевских потерь.

3. Решение задачи расчета оптического элемента, формирующего заданное распределение интенсивности или освещенности в области с продольным угловым размером более 120° и поперечным угловым размером менее 70°.

4. Решение задачи расчета оптического элемента, формирующего с высокой световой эффективностью заданное распределение освещенности в области с угловым размером менее 70°.

Структура и краткое содержание диссертации

Диссертация состоит из Введения, грех Глав и Заключения.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Моисеев, Михаил Александрович, 2011 год

1. Белоусов, A.A. Градиентный мегод расчёта эйконала для фокусировки в заданную область Текст. / A.A. Белоусов, J1.JI. Досколович, С.И.Харитонов // Автометрия. - 2007. - Т. 43, № 1. - С. 98-106. -ISSN 0320-7102.

2. Белоусов, A.A. Градиентный метод решения задачи фокусировки в двумерную область при протяжённом источнике Текст. / A.A. Белоусов, J1.JI. Досколович // Компьютерная оптика. 2007. - Т. 31, № 3. - С. 20-26.-ISSN 0134-2452.

3. Белоусов, A.A. Градиентный метод расчета преломляющих поверхностей для формирования заданных распределений освещенности Текст. /A.A. Белоусов, JI.JI. Досколович, С.И. Харитонов // Автометрия. 2008.- Т. 44, № 2. С.91-100. - ISSN 0320-7102.

4. Борн, М. Основы оптики Текст. / М. Борн, Э. Вольф М.: Наука, 1973.- 720 с.

5. Голуб, М.А. Исследование фокусаторов в прямоугольник методом вычислительного эксперимента Текст. / М.А. Голуб, JT.J1. Досколович, Н.Л. Казанский, В.А. Сойфер, С.И. Харитонов // Компьютерная оптика.- 1992.-Вып. 10-11.-С.110-121.-ISSN 0134-2452.

6. Голуб, М.А. Фокусировка лазерного излучения в прямолинейно-скругленные контура Текст. / М.А. Голуб, Л.Л. Досколович, Н.Л. Казанский. С.И. Харитонов // Компьютерная оптика. 1992. -Вып. 12. - С.3-7. - ISSN 0134-2452.

7. Голуб, М.А. Дифракционные поправки при фокусировке лазерного излучения в отрезок Текст. / М.А. Голуб, Л.Л. Досколович, И.Н. Сисакян, В.А. Сойфер, С.И. Харитонов // Опгика и Спектроскопия. 1992. - № 6.- С. 1069-1073. ISSN 0030-4034.

8. Гончарский, A.B. Решение обратной задачи фокусировки лазерного излучения в произвольную кривую Текст. / A.B. Гончарский,B.А. Данилов, В.В. Попов и др. // Доклады АН СССР. 1983. - Т. 273, № 3. - С.605-608. - ISSN 0002-3264.

9. Гончарский, A.B. Фокусаторы лазерного излучения падающего под углом Текст. / A.B. Гончарский, В.А. Данилов, В.В. Попов и др. // Квантовая электроника. 1984. - Т. 11, № 1,-С.166-168.- ISSN 0368-7147.

10. Гончарский, A.B. Обратные задачи когерентной оптики, фокусировка в линию Текст. / A.B. Гончарский, В.В. Степанов // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1986. - Т. 26, № 1.C.80-91. ISSN 0044-4669.

11. Гончарский, A.B. Введение в компьютерную оптику Текст. / A.B. Гончарский, В.В. Попов, В.В. Степанов. М.: МГУ, 1991.-312 с. -ISBN 5-211-00953-3.

12. Дифракционная компьютерная оптика Текст. / под ред. В.А. Сойфе-ра. М. : Физматлит, 2007. - 736 с. - ISBN 978-5-9221-0845-4.

13. Дмитриев, А.Ю. Расчет преломляющих поверхностей для формирования диаграммы направленности в виде линии Текст. / А.Ю. Дмитриев, JI.JI. Досколович // Компьютерная оптика. 2010. - Т. 34, № 3. - С.297-301.-ISSN 0134-2452.

14. Дмитриев, А.Ю. Расчет преломляющей поверхности для формирования диаграммы направленности в виде отрезка Текст. / А.Ю. Дмитриев, JI.JI. Досколович // Компьютерная оптика. 2010. - Т. 34, № 4. - С.469-475.-ISSN 0134-2452.

15. Ершова, В.В. Импульсные функции. Функции комплексной переменной. Операционное исчисление. Текст. / В.В. Ершова. Минск: «Вы-шэйшая школа», 1976. - 255 с.

16. Досколович, JI.JI. Фокусировка лазерного излучения на трехмерную поверхность вращения Текст. / JI.JI. Досколович, H.JI. Казанский, И.Н. Сисакян, В.А. Сойфер, С.И. Харитонов // Компьютерная оптика. -1992. Вып. 12. - С.8-13. — ISSN 0134-2452.

17. Досколович, JI.J1. Исследование топографических оптических элементов, фокусирующих в двумерную прямоугольную область Текст. /JI.JI. Досколович, Н.Л. Казанский // Компьютерная оптика. 1992. — Вып. 12. - С.14—16. - ISSN 0134-2452.

18. Досколович, Л.Л. Нелинейное предыскажение фазы для фокусировки в систему фокальных линий Текст. / Л.Л. Досколович, Н.Л. Казанский, В.А. Сойфер, С.И.Харитонов // Научное приборостроение. 1993. -Т. 3, № 1. - С.24-37. - ISSN 0868-5886.

19. Досколович, Л.Л. Сравнительный анализ аналитических и итерационных методов решения задачи фокусировки в отрезок Текст. / Л.Л. Досколович, Н.Л. Казанский, В.А. Сойфер, С.И. Харитонов // Компьютерная оптика. 1993. - Вып. 13. - С.16-29. - ISSN 0134-2452.

20. Досколович, Л.Л. Анализ квазипериодических и геометрооптических решений задачи фокусировки в продольный отрезок Текст. / Л.Л. Досколович, Н.Л. Казанский, В.А. Сойфер // Компьютерная,оптика. 1996.-Вып. 16.-С.4-8.-ISSN 0134-2452.

21. Досколович, Л.Л. Практический алгоритм расчета фокусаторов в линию с использованием криволинейных координат Текст. / Л.Л. Досколович, С.И.Харитонов // Компьютерная оптика. 1998. -Вып. 18. - С.37-39. - ISSN 0134-2452.

22. Досколович, Л.Л. Проектирование светотехнических устройств с ДОЭ Текст. / Л.Л. Досколович, Н.Л. Казанский, С.И. Харитонов // Компьютерная оптика. 1998. - Вып. 18. - С.91-95. - ISSN 0134-2452.

23. Досколович, Л.Л. Расчет рефлекторов для формирования диаграммы направленности в виде кривой Текст. / Л.Л. Досколович, С. Bigliatti // Компьютерная оптика. 2000. - Вып. 20. - С.34-36. - ISSN 0134-2452.

24. Bortz, J. Iterative generalized functional method of nonimaging optical design Text. / J. Bortz, N. Shatz // SPIE Proceedings Vol. 6670. 2007. -P.63380A.

25. Ding, Y. Secondary optical design, for LED illumination using freeform lens Text. / Y. Ding, X. Liu, Zh. Zheng. P. Gu // SPIE Proceedings Vol. 7103. -2008. P.71030K.

26. Ding, Y. Freeform LED lens for uniform illumination Text. / Y. Ding, X.Liu, Zh. Zheng, P. Gu // Optics Express. 2008. - Vol. 16, №17. -P.12958-12966. — ISSN 1094-4087.

27. Doskolovich, L.L. Focusators for laser-branding Text. / L.L. Doskolovich, N.L. Kazanskiy, S.I. Kharitonov, G.V. Usplenjev // Optics and Lasers in Engineering. 1991. - Vol. 15, № 5. - P.311-322. - ISSN 0143-8166.

28. Doskolovich, L.L. Focusators into a ring Text. / L.L. Doskolovich, S.N. Khonina, V.V. Kotlyar, I.V. Nikolsky, V.A. Soifer, G.V. Uspleniev // Opt. & Quant. Electr. 1993. - Vol. 25., № 11 - P.801-814. - ISSN 03068919.

29. Doskolovich, L.L. Special diffractive lenses Text. / L.L. Doskolovich, M.A. Golub, N.L. Kazanskiy, V.A. Soifer, G.V. Usplenjev // SPIE Proceedings Vol. 1780. 1993. - P.393-402.

30. Doskolovich, L.L. A method of designing diffractive optical elements focusing into plane areas Text. / L.L. Doskolovich, N.L. Kazanskiy, S.I. Kharitonov, V.A. Soifer // Journal of Modern Optics. 1996. - Vol. 43, № 7. - P.1423-1433. - ISSN 0950-0340.

31. Doskolovich, L.L. Designing reflectors to generate a line-shaped directivity diagram Text. / L.L. Doskolovich, N.L. Kazanskiy, S.I. Kharitonov, P. Perlo, S. Bernard // Journal of Modern Optics. 2005. - Vol. 52, № 11. - P.1529-1536.-ISSN 0950-0340.

32. Doskolovich, L.L. Designing a mirror to form a line-shaped directivity diagram Text. / L.L. Doskolovich, N.L. Kazanskiy, S. Bernard // Journal of Modern Optics. 2007. - Vol. 54, № 4. - P.589-597. - ISSN 0950-0340.

33. Doyle, S. Automated mirror design using an evolution strategy Text. / S. Doyle, D. Corcoran, J. Connell // Optical Engineering. 1999. - Vol. 38, № 2. - P.323-333. - ISSN 0091-3286.

34. Doyle, S. Automated mirror design for an extended light source Text. / S. Doyle, D. Corcoran, J. Connell // SPIE Proceedings Vol. 3781. 1999. -P.94-102.

35. Elmer, W.B. Optical design of reflectors. Part 2 Text. / W.B. Elmer // Applied Optics. 1978. - Vol. 17, № 7. - P.977-979. - ISSN 0003-6935.

36. Elmer, W.B. Optical Design of Reflectors, 2nd Edition Text. / W.B. Elmer. -New York: Willey, 1980.

37. Feng, Z. Design of LED freeform optical system for road lighting with high luminance/illuminance ratio Text. / Z. Feng, Y. Luo, Y. Han // Optics Express. 2010. - Vol. 18, № 21. - P.22020-22031. — ISSN 1094-4087.

38. Fournier, F.R. Designing freeform reflectors for extended sources Text. / F.R. Fournier, W.J. Cassarly, J.P. Rolland // SPIE Proceedings Vol. 7423. -2007. P.742302.

39. Fournier, F.R. Fast freeform reflector generation using source-target maps Text. / F.R. Fournier, W.J. Cassarly, J.P. Rolland // Optics Express. 2010. - Vol. 18, № 5. - P.5295-5304. - ISSN 1094-4087.

40. Fournier, F.R. Freeform reflector design using integrable maps Text. / F.R. Fournier, W.J. Cassarly, J.P. Rolland // Proceedings of International Optical Design Conference. 2010.

41. Guan, P. On a Monge-Ampere equation arising in geometric optics Text. / P. Guan, X.-J. Wang // Journal of Differential Geometry. 1998. - Vol. 48, № 2. - P.205—223. - ISSN 0022-040X.

42. Hicks, R.A. Designing a mirror to realize a given projection Text. / R.A. Hicks // Journal of Optical Society of America A. 2005. - Vol. 22, № 2. - P.323-330. - ISSN 1084-7529.

43. Hicks, R.A. Direct methods for freeform surface design Text. / R.A. I licks // SPIE Proceedings Vol. 6668. 2007. - P.66802.

44. Jacobson, B.A. Lens for uniform LED illumination: an example of automated optimization using Monte-Carlo ray-tracing of an LED source Text. / B.A.Jacobson, R.D. Gendelbach // SPIE Proceedings Vol.4446. 2001. -P.130-138.

45. Jiang, J. Optical design of a freeform TIR lens for LED streetlight Text. / J. Jiang, S. Toa, W.B. Leea, B. Cheunga // Optik. 2009. - Vol. 121, № 19. -P.1761-1765. - ISSN 0030-4026.

46. Kusch, О. Computer-aided optical design of illumination and irradiating devices Text. / O. Kusch. Moscow: "ASLAN" Publishing House, 1993. -192 pp.

47. Lambda Research Products - TracePro Electronic resource. - Режим дос[упа: http://www.lambdarcs.com/softwareproducts/tracepro/, дата доступа: 23.03.2011.

48. Luo, Y. Design of compact and smooth free-form optical system with uniform illuminance for LED source Text. / Y. Luo, Z. Feng, Y. Han, H. Li // Optics Express.-2010.-Vol. 18, № 9. P.9055-9063. - ISSN 1094-4087.

49. Nonimaging Optics Text. / eds. R. Winston, J.C. Minano. P. Benitez. El-seiver, 2005. - 497 pp. - ISBN 0-12-759751-4.

50. Oliker, V.l. Geometry and Nonlinear Partial Differential Equations Text. / V.l. Oliker, A. Treibergs. AMS Bookstore, 1992. - 154 pp.

51. Oliker, V.l. Geometric and variational methods in optical design of reflecting surfaces with prescribed irradiance properties Text. / V. Oliker // SPIE Proceedings Vol. 5942. 2005. - P.594207.

52. Pachamanov, A. Optimization of the light distribution of luminaries for tunnel and street lighting Text. / A. Pachamanova, D. Pachamanova // Engineering Optimization. 2008. - Vol. 40, № 1. - P.47-65. - ISSN 0305-215X.

53. Parkyn, W.A Illumination lenses designed by extrinsic differential geometry Text. / W.A. Parkyn // SPIE Proceedings Vol. 3482. 1998. - P.389-396.

54. Parkyn, B. Free-form illumination lens designed by a pseudo-rectangular lawnmower algorithm Text. / B. Parkyn, D. Pelka // SPIE Proceedings Vol. 6338. 2006. - P.633808.

55. Ries, H. Performance limitations of rotationally symmetric nonimaging devices Text. / H. Ries, N. Shatz, J. Bortz, W. Spirkl // Journal of Optical Society of America A. 1997. - Vol. 14, № 10. - P.2855-2862. - ISSN 10847529.

56. Ries, H. Tailoring freeform lenses for illumination Text. / J. Muschaweck, H. Ries // SPIE Proceedings Vol. 4442 2001. - P.43-50.

57. Ries, H. Tailored freeform optical surfaces Text. / J. Muschaweck. H. Ries // Journal of Optical Society of America A. 2002. - Vol. 19, № 3. - P.590-595.-ISSN 1084-7529.

58. Ries, H. Optimized tailoring for lens design Text. / R. .letter, H. Ries // SPIE Proceedings Vol. 5875-2005. P.58750A.

59. Shatz, N. Nonrotationally symmetric reflectors for efficient and uniform illumination of rectangular apertures Text. / N. Shatz, J. Bortz, R. Winston // SPIE Proceedings Vol. 3428. 1998. - P. 176-183.

60. Shatz, N. Design optimization of a smooth headlamp reflector to SAEIDOT beam-shape requirements Text. / N. Shatz, J. Bortz. M. Dassanayake // SPIE Proceedings Vol. 3781. 1999. - P. 135-154.

61. Shatz, N. Optimal design of a nonimaging projection lens for use with an RF-powered source and a rectangular target Text. / N. Shatz, J. Bortz, D. Kirkpatrik, M. Dubinovsky // SPIE Proceedings Vol. 4446. 2002. -P.207-220.

62. Shatz, N. Optimal design of light-engine optics for a video projector Text. / N. Shatz, J. Bortz, M.Peterson // SPIE Proceedings Vol.5185. 2004. -P.147-155.

63. Timinger, A. Designing tailored free-form surfaces for general illumination Text. / A. Timinger, J. Muschaweck, H. Ries // SPIE Proceedings Vol. 5186. 2003. - P.128-132.

64. Wang, K. Design of compact freeform lens for application specific light-emitting diode packaging Text. / K. Wang, F. Chen, Z. Liu, X. Luo, Sh. Liu //Optics Express.-2010.-Vol. 18, № 2. P.413-^25. - ISSN 1094-4087.

65. Wang, L. Discontinuous free-form lens design for prescribed irradiance Text. / L. Wang, K. Qian, Y. Luo // Applied Optics. 2007. - Vol. 46, № 18. - P.3716-3723. - ISSN 0003-6935.

66. Zheng, Zh. Freeform surface lens for LED uniform illumination Text. / Zh. Zheng, X. Hao, X. Liu // Applied Optics. 2009. - Vol. 48, № 35. -P.6627-6634. - ISSN 0003-6935.