Расчёт и оптимизация упругих стержневых систем при импульсном нагружении тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Вешкин Максим Сергеевич

• Вешкин Максим Сергеевич
• кандидат наук
• 2023

Оглавление диссертации кандидат наук Вешкин Максим Сергеевич

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. АНАЛИЗ РАБОТ, ПОСВЯЩЁННЫХ РАСЧЁТУ И ОПТИМИЗАЦИИ СООРУЖЕНИЙ ПРИ ДЕЙСТВИИ ДИНАМИЧЕСКИХ НАГРУЗОК

1.1. Развитие аналитических и численных методов динамического расчёта механических систем

1.2. Теории и модели учёта внутреннего трения в материале

1.3. Развитие теории оптимального проектирования

1.4. Анализ современных работ в области расчётов и оптимизации динамически нагруженных систем

1.5. Определение цели исследования

ГЛАВА 2. ДИНАМИЧЕСКИЙ РАСЧЁТ УПРУГИХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ С УЧЁТОМ ОСОБЕННОСТЕЙ ИМПУЛЬСНОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ

2.1. Актуальность разработки расчётного модуля

2.2. Особенности импульсных воздействий

2.3. Мгновенный импульс

2.4. Выбор рациональной расчётной модели для учёта внутреннего трения в материалах

2.5. Свободные колебания стержневой системы

2.6. Модификация вычисления коэффициента внутреннего трения в виде ЦЦ

для стержневой системы, включающей различные материалы, в случае свободных колебаний

2.7. Неустановившиеся вынужденные колебания стержневой системы

2.8. Модификация вычисления коэффициента внутреннего трения в виде Ц

для стержневой системы, включающей различные материалы, в случае вынужденных колебаний

2.9. Варианты аппроксимации динамических нагрузок во времени

2.10. Рассмотрение тестовых примеров

Выводы по главе

ГЛАВА 3. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНО-ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ, ВОЗНИКАЮЩИХ В СТЕРЖНЯХ ВСЛЕДСТВИЕ

ДЕЙСТВИЯ НА НИХ УДАРНОГО ИМПУЛЬСА

3.1. Первая серия экспериментов (однородный стержень)

3.2. Вторая серия экспериментов (составные стержни из материалов с различными коэффициентами внутреннего трения)

3.2.1. Постановка экспериментов

3.2.2. Расшифровка результатов экспериментов

3.2.3. Результаты экспериментальной проверки разработанной методики ... 69 Выводы по главе

ГЛАВА 4. РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМОВ ДИСКРЕТНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ УПРУГИХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ ПРИ ИМПУЛЬСНЫХ НАГРУЗКАХ

4.1. Постановка задачи оптимизации. Метод поиска, целевая функция, варьируемые параметры и ограничения

4.2. Развитие метода декомпозиции пространства варьируемых параметров в задачах оптимизации динамически нагруженных систем

4.2.1. Алгоритм процесса оптимизации

4.2.2. Решение тестовых задач

4.2.3. Оптимизация плоской двухпролётной пятиэтажной рамы

Выводы по главе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Основные публикации по теме диссертации

ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Документы, подтверждающие внедрение результатов

диссертационной работы

ПРИЛОЖЕНИЕ 3. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ и её краткое описание

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность проблемы. Динамические воздействия в настоящее время вносят существенный вклад в напряжённо-деформированное состояние (НДС) строительных конструкций. Это влияние обусловлено повышением высотности зданий и сооружений, их парусностью вследствие укрупнения строительных объектов, а также ростом динамических нагрузок техногенного происхождения. Необходимость экономии материала неизбежно снижает надёжность зданий и сооружений. Все эти факторы требуют тщательного учёта влияния динамических составляющих внешних воздействий при расчёте зданий и сооружений.

Среди динамических воздействий импульсного характера существенную роль играют как природные (ветровые и сейсмические воздействия, прибойные волны в водоёмах), так и техногенные воздействия (нагрузки от ударного оборудования, движущихся объектов и т.п.). При аварийных и чрезвычайных ситуациях имеют место падения объектов на конструкции, ударные волны от взрывов, прогрессирующие разрушения и т.д.

В отличие от продолжительных гармонических нагрузок, для которых, зачастую, достаточно ограничиться расчётом на установившиеся вынужденные колебания, при импульсных воздействиях, как при любых произвольно меняющихся во времени нагрузках, необходимо рассмотрение динамического отклика системы в течение некоторого промежутка времени. Также необходимо учитывать начальные условия на границах интервалов времени. В результате длительность расчётов может существенно возрастать.

Учёт влияния внутреннего демпфирования, вызывающего затухание колебаний рассматриваемой системы, является очень важным для достижения необходимой точности динамического расчёта конструкций как в случае множественных (в т.ч. периодических), так и в случае одиночных динамических воздействий.

В алгоритмах оптимизации существенным фактором является снижение трудоёмкости вычислительного процесса при перерасчётах системы в связи с их

большим количеством, но при этом должна сохраняться удовлетворительная точность динамических расчётов.

Не менее актуальным является разработка и развитие алгоритмов оптимального (рационального) проектирования для решения задач оптимизации систем при действии динамических и, прежде всего, импульсных нагрузок.

Применение разработанных алгоритмов расчёта и оптимизации позволит получить рациональные проекты систем, способных эффективно воспринимать заданные динамические, в том числе импульсные, нагрузки, что даёт возможность принимать технически обоснованные решения для обеспечения требуемой надёжности и, в то же время, экономичности.

Степень разработанности темы. В последнее время встречается достаточное количество исследований, посвящённых развитию динамических расчётов в отношении отдельных элементов и узлов с учётом определённых свойств материалов, а также учёту различных случаев нелинейности физических либо геометрических свойств элементов и систем. Что касается исследований, посвящённых вопросам оптимального проектирования систем, подверженных динамическим, в частности импульсным, воздействиям, то их крайне мало. Это направление требует развития, как в теоретической части, так и в области практической реализации алгоритмов оптимизации.

Цель диссертационной работы. Целью исследования является развитие методов динамического расчёта и методов оптимизации стержневых систем, при импульсных воздействиях.

Задачи исследования:

1. Анализ существующих исследований, посвященных динамическому расчёту и оптимизации конструкций, зданий и сооружений, включая анализ разработанных ранее моделей внутреннего трения.

2. Модификация учёта внутреннего трения в стержневых системах, включающих элементы из различных материалов, и разработка алгоритма динамического расчёта на свободные колебания и неустановившиеся вынужденные колебания на основе данной модификации.

3. Программная реализация модуля динамического расчёта для разработанного алгоритма и экспериментальная проверка достоверности расчётов, выполненных с помощью данного программного модуля.

4. Развитие метода декомпозиции пространства варьируемых параметров в задачах оптимизации стержневых систем, подверженных импульсным воздействиям на основе направленного обобщения варьируемых параметров сечений и дополнительных масс.

Объект исследования - стержневые системы, подверженные динамическим, в частности, импульсным воздействиям.

Предмет исследования - динамические характеристики системы (частоты и формы собственных колебаний), изменение характеристик напряжённо-деформированного состояния стержневой системы во времени (усилия, напряжения, перемещения, скорости и ускорения точек системы), рациональная компоновка элементов системы с учётом их жесткостных, инерционных и демпфирующих характеристик.

Научная новизна исследования:

1. Предложена модификация комплексной модели внутреннего трения, разработанной Е.С. Сорокиным, для учёта различных свойств внутреннего трения в элементах неоднородных стержневых систем, существенно уточняющая результаты динамических расчётов.

2. Предложено развитие метода декомпозиции пространства варьируемых параметров в задачах многопараметрической оптимизации стержневых систем, подверженных импульсным воздействиям, в части формирования матрицы базисного преобразования и разработки критериев определения её компонент для различных видов варьируемых параметров и активных ограничений.

3. На основании численных исследований с использованием разработанных алгоритмов получены и систематизированы данные о рациональном распределении жесткостных характеристик стержневых систем и значений дополнительных узловых масс при действии импульсных нагрузок.

Теоретическая и практическая значимость результатов исследования:

1. С использованием предложенной модификации комплексной модели внутреннего трения разработаны алгоритмы, позволяющие выполнять расчёты упругих неоднородных стержневых систем с конечным числом степеней свободы с учётом внутреннего трения в материале элементов при свободных колебаниях и при действии произвольно меняющихся во времени динамических нагрузок. Использование дискретно-континуального подхода обеспечило значительное снижение трудоёмкости таких расчётов, что позволило успешно использовать разработанные алгоритмы в составе комплекса поиска оптимального решения.

2. Развитие метода декомпозиции пространства варьируемых параметров позволило значительно снизить трудоёмкость решения задач многопараметрической оптимизации в отношении систем, испытывающих действие импульсных нагрузок, сохраняя при этом точность решения.

Предложенные в диссертационной работе методики, алгоритмы и их программные реализации, а также полученные данные рекомендуются для использования в проектных, научно-исследовательских организациях.

Теоретическая и практическая значимость выполненных разработок подтверждается поддержкой гранта МО и Н РФ №2.1.2./4822 (2009 г.).

Внедрение результатов работы. Полученные результаты (методики, алгоритмы расчёта и данные расчётов) используются в учебном процессе НГАСУ (Сибстрин) в курсе «Динамика и устойчивость сооружений», читаемом студентам, обучающимся по специальности 08.05.01 «Строительство уникальных зданий и сооружений» и по специальности 08.03.01 «Промышленное и гражданское строительство». Результаты исследования внедрены в проектной организации ООО «Техпром-Инжиниринг» (г. Новосибирск).

Методы исследования. В качестве методологической базы при выполнении исследования использовались основные положения и методы строительной механики, сопротивления материалов и теории упругости, а также теории нелинейного математического программирования.

Положения, выносимые на защиту:

1. Модификация комплексной модели внутреннего трения, разработанной Е.С. Сорокиным, для случая неоднородных стержневых систем.

2. Алгоритмы расчёта стержневых систем с конечным числом степеней свободы при учёте внутреннего трения на свободные и неустановившиеся вынужденные колебания с использованием предложенной модификации комплексной модели внутреннего трения.

3. Развитие метода декомпозиции пространства варьируемых параметров на итерациях задачи многопараметрической оптимизации стержневых систем, подверженных импульсным воздействиям, в части формирования матрицы базисного преобразования и разработки критериев определения её компонентов для различных случаев варьируемых параметров и активных ограничений.

Достоверность результатов исследования обеспечивается корректным использованием общепринятых положений, методов строительной механики, сопротивления материалов, использованием апробированных численных методов расчёта стержневых систем и методов нелинейного математического программирования. Достоверность разработанных алгоритмов и методики учёта внутреннего трения для неоднородных стержневых систем подтверждена экспериментальной проверкой результатов расчёта.

Личный вклад автора:

- разработка и программная реализация алгоритма расчёта стержневых систем с конечным числом степеней свободы с учётом внутреннего трения на свободные и вынужденные колебания с использованием модели внутреннего демпфирования материала, предложенной Е.С. Сорокиным;

- разработка и программная реализация методики учёта внутреннего демпфирования для системы элементов, выполненных из различных материалов и

имеющих различные характеристики внутреннего трения в соответствии с вкладами отдельных элементов в общее внутреннее демпфирование по уровню энергии их деформации;

- экспериментальное обоснование методики учёта внутреннего демпфирования для системы элементов, выполненных из различных материалов;

- проведение расчётов с использованием разработанного программного модуля;

- формирование и решение задач оптимизации стержневых систем при импульсном воздействии.

Апробация результатов исследования.

Основные результаты диссертационного исследования докладывались и обсуждались:

- на конференции на II-й Всероссийской конференции «Проблемы оптимального проектирования сооружений» (Новосибирск, 2011 г.);

- на 23-й «Всероссийской конференции по численным методам решения задач теории упругости и пластичности» (Барнаул, 2013 г.);

- на III-й Всероссийской конференции «Проблемы оптимального проектирования сооружений» (Новосибирск, 2014 г.);

- на 23-й международной научно-практической конференции «Природные и интеллектуальные ресурсы Сибири» (Томск, 2017 г.);

- на VII Международном симпозиуме «Актуальные проблемы компьютерного моделирования конструкций и сооружений» (Новосибирск, 2018 г.);

- на XII, XIII и XIV Всероссийских научно-технических конференциях «Актуальные вопросы архитектуры и строительства», (Новосибирск, 2019, 2020, 2021 гг.) ;

Публикации. По материалам диссертационной работы опубликовано 21 печатная работа, включая 7 статей в журналах, входящих в перечень ВАК, а также 1 статью в журнале, индексированном в информационно-аналитической системе научного цитирования Scopus.

Структура и объём диссертации.

Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы из 114 наименований, а также 3 приложений. Текст диссертации изложен на 123 страницах, включает в себя 24 таблицы и 38 рисунков.

Первая глава содержит обзор истории развития базовых научных знаний в области динамики и оптимизации, а также обзор некоторых современных работ близких к тематике настоящего исследования.

Во второй главе описывается формирование и решение систем дифференциальных уравнений свободных и неустановившихся колебаний стержневых систем с конечным числом степеней свободы. Рассмотрены математические особенности, связанные с упрощением практических расчётов. Предлагается методика учёта внутреннего трения для стержневых систем, включающих элементы из различных материалов.

В третьей главе описаны эксперименты, выполненные с целью оценки разработанных алгоритмов динамического расчета стержневых систем при импульсных воздействиях. Проведен анализ полученных экспериментальных данных и выполнено их сопоставление с результатами расчётов.

В четвёртой главе описан разработанный алгоритм оптимизации стержневых систем, подверженных импульсным воздействиям. Рассмотрены задачи поиска оптимального решения. Приведён анализ полученных оптимальных проектов, на основе которого сформулированы выводы.

В заключение диссертации приведены общие выводы о проделанной работе. Представлен список литературы и приложения.

ГЛАВА 1. АНАЛИЗ РАБОТ, ПОСВЯЩЁННЫХ РАСЧЁТУ И ОПТИМИЗАЦИИ СООРУЖЕНИЙ ПРИ ДЕЙСТВИИ ДИНАМИЧЕСКИХ

НАГРУЗОК

1.1. Развитие аналитических и численных методов динамического расчёта механических систем

Развитие динамики как раздела классической механики началось в XVII веке. Значительный вклад в зарождение теории колебаний, формулирование законов упругого удара тел, упругих деформаций и формирование основ классической механики внесли Г. Галилей, Х. Гюйгенс, Р. Гук и И. Ньютон [43, 44].

В XVIII веке существенный вклад в разработку методов аналитической механики, основ динамики твёрдого тела и основ современной теории колебаний был сделан Л. Эйлером [81, 98], Д'Аламбером [31, 96] и Ж.Л. Лагранжем [42]. Исследования М.В. Остроградского, У.Р. Гамильтона, К.Г. Якоби, Г.Р. Герца и Г.Г. Кориолиса и др. продолжили развитие аналитической механики XIX веке.

Вопросам численного моделирования в динамических расчётах сооружений и получению уравнений движения при колебаниях стержневых конструкций посвящены многие работы [32, 33, 35, 37, 59, 94, 105 и др.]. Предложено множество подходов для определения частот колебаний, например, таких как метод Галеркина [10, 13], метод Релея-Ритца [5] (приближенный метод, распространённый в строительной механике) и метод конечных элементов (МКЭ).

Наиболее распространенным и объединяющим в себе первые два является метод конечных элементов. В основе метода лежит дискретизация непрерывной области сеткой в набор дискретных частей, обычно называемых элементами. В классической постановке МКЭ матрицы элементов построены на основе статических (в основном, полиномиальных) функций форм [14, 36]. МКЭ возник из необходимости поиска эффективных решений задач строительной механики и теории упругости в 1930-х годах. Одними из основоположников идей, лежащих в основе метода, считаются А. Хренников и Р. Курант. Их работы опубликованы в

1940-х годах [100, 101]. Эффективность метода впервые была продемонстрирована в 1944 году И. Аргирисом, реализовавшим метод с применением электронно-вычислительных машин (ЭВМ).

Развитие МКЭ связано также с решением задач в рамках космических исследований в 1950-х годах. В СССР распространение и практическая реализация МКЭ в 1960-х годах связана с именем Л. Оганесяна [2]. Толчком к развитию метода в 1963 послужило доказательство возможности его рассмотрения как одного из вариантов метода Рэлея-Ритца. Путём минимизации потенциальной энергии в МКЭ задача сводится к системе линейных уравнений равновесия. Область применения МКЭ значительно расширилась, когда в 1968 году было установлено, что уравнения, математически определяющие параметры элементов в задачах, могут быть легко получены с помощью вариантов метода взвешенных невязок, таких как метод Галёркина или метод наименьших квадратов. Это сыграло важную роль в теоретическом обосновании МКЭ, так как позволило применять его при решении многих типов дифференциальных уравнений. Таким образом, метод конечных элементов превратился в общий метод численного решения дифференциальных уравнений или систем дифференциальных уравнений [4].

Следует отметить, что развитие МКЭ, как и других вычислительных алгоритмов, находится в прямой зависимости от возможностей вычислительных средств.

1.2. Теории и модели учёта внутреннего трения в материале

Диссипация энергии играет одну из ключевых ролей в колебаниях механических систем. Она может быть обусловлена как трением внешней среды, так и внутренним трением в материале.

Исследования, посвященные внутреннему трению в деформируемом материале, продолжаются более ста пятидесяти лет. За это время разработано множество различных, и нередко противоречащих друг другу, теорий и моделей, описывающих процесс рассеяния энергии колебания, но ни одна из них на

сегодняшний день не является универсальной. История экспериментального изучения внутреннего трения также крайне противоречива.

В 1865 году У.Т. Кельвин изложил гипотезу о сходстве внутреннего трения в твёрдых телах с вязким трением в жидкостях [102]. Д.У. Рэлей в 1877 г., исследуя затухающие колебания, выдвинул предположение о потери энергии колебаний за счёт взаимодействия тела с вязкой внешней средой. Предложенная Рэлеем функция описывала только внешние диссипативные силы [69, 110], его работы сыграли значительную роль в развитии теории колебаний неконсервативных систем. В. Фойгт в 1890-1892 годах опубликовал теорию упруго-вязкого тела, в которой используется гипотеза Кельвина [1]. Предложенную теорию называют гипотезой Кельвина-Фойгта или (в русскоязычных источниках) просто гипотезой Фойгта. Она точнее отображает реальные свойства деформируемых тел, чем идеально упругая схема, и позволяет смоделировать свойство ползучести материала. Однако такая модель не отражает свойство релаксации. Коэффициент внутреннего трения, согласно теории Кельвина-Фойгта, оказывается пропорциональным скорости изменения циклических деформаций.

Опыты Берлинера в 1906 году [79] показали зависимость между площадью петли динамического гистерезиса и амплитудой напряжений при динамических испытаниях образцов на графике зависимости «о-е» (напряжения - деформации), что несколько противоречило гипотезе Фойгта.

Опубликованные в 1912-1914 годах результаты опытов Роуэтта, [113] показали, что изменения площади петли гистерезиса на графике зависимости «о-е» в процессе колебаний являются частотно независимыми, что не совпадает с гипотезой Фойгта. Теория, согласно которой, коэффициент внутреннего поглощения обратно пропорционален частоте колебаний, что также противоречит гипотезе Кельвина-Фойгта, была разработана Дж. Максвеллом [104].

В 1938 году Зинер [114] обосновал теоретически предположение, показанное в 1936 году экспериментально Бенневитцем и Ретгером [79], что внутреннее трение в металлах обусловлено тепловой диффузией. Было выявлено

противоречие с предыдущими многочисленными опытами, показывающими, что удельное рассеяние энергии постоянно. Различные теории внутреннего трения предложены в работах А.Ю. Ишлинского [39], А.Р. Ржаницына [67], И. Больцмана и В. Вольтерра [9], Н.Н. Давиденкова [30], И.Л. Корчинского [40].

Е.С. Сорокин в период с 1946 по 1956 годы провел опыты по изучению внутреннего трения. В результате удалось установить, что зависимость удельного рассеяния энергии от частоты колебаний для большинства материалов проявляется лишь в узком диапазоне частот, а его зависимость от амплитуды напряжений является нелинейной.

Зависимость между циклическими напряжениями и деформациями в работах Е.С. Сорокина [79, 80] представляется в комплексной форме и называется гипотезой «Комплексной жёсткости». При этом используется модель упруго-вязко-пластического тела, описывающая его наследственные и диссипативные свойства. Теория хорошо согласуется с опытом и математически очень удобна. Однако в работе [66] были указаны неточности, к которым может привести использование гипотезы Е.С. Сорокина в нестационарных задачах, а в работе [91] показано, что использование этой гипотезы в нестационарных задачах с сохранением только устойчивых решений эквивалентно переходу к «скорректированной» гипотезе Фойгта.

Колебания систем с распределёнными параметрами исследовались в работах Я.Г. Пановко [57, 58], И.И. Блехмана и А.Д. Мышкиса [6].

В работе А.И. Цейтлина [92] предложена линейная модель частотно независимого внутреннего трения, удовлетворяющая принципу причинности, а также уточнены параметры комплексной жёсткости, используемой при гармонических колебаниях. А в его монографии [93] с общих позиций теории линейных систем дается анализ концепции частотной независимости внутреннего трения и рассматриваются различные математические модели, используемые для описания внутреннего трения в материалах. Основное внимание в монографии уделено групповым динамическим воздействиям на здания и сооружения.

В развитии исследований влияния внутреннего трения в материалах на динамическое процессы в строительных конструкциях следует отметить значимые результаты С.П. Тимошенко [82], А.Н. Крылова [41], В.Д. Потапова [62, 63, 107, 109], А.Н. Потапова [60, 61], А.Н. Обморшева [54], В.В. Болотина [7], А.Г. Тяпина [87, 88, 86], И.М. Бабакова [3].

1.3. Развитие теории оптимального проектирования

Проблема снижения материалоемкости сооружения при постоянном увеличении стоимости строительных материалов приобретает особенное значение. Очевидно, что современные строительные конструкции должны быть эффективными и экономичными. Теория оптимизации, в отличие от распространенного в инженерной практике вариантного проектирования, позволяет создать конструкцию, которая будет наилучшей с точки зрения материалоемкости из ряда систем рассматриваемого типа [51].

Значительный вклад в развитие теории оптимального проектирования внесли труды отечественных и зарубежных учёных: Н.И. Абрамова, Н.П. Абовского, Н.В. Баничука, А.И. Виноградова, Л.Н. Воробьева, А.В. Геммерлинга, В.Н. Гордеева, Г.И. Гребенюка, Б.В. Гринева, В.А. Киселева, А.А. Комарова, И.Б. Лазарева, К.А. Лурье, Л.С. Ляховича, Д.А. Мацелявичуса, Ю.В. Немировского, Е.Л. Николаи, А.В. Перельмутера, В.А. Пермякова, Ю.М. Почтмана, И.М. Рабиновича, Ю.А. Радцига, А.Р. Ржаницына, А.П. Сейраняна, В.А. Троицкого, А.П. Филина, К.М. Хуберяна, А.П. Чижаса, А.А. Чираса, Я. Ароры, З. Васютынского, Ван дер Плаатца, М. Заргами, Б. Карихало, Д. Келлера, М. Леви, З. Мроза, Н. Ольхоффа, В. Прагера, Д. Рожваны, М. Тейлора, Э. Хога, Л. Шмидта и многих других. В трудах этих учёных заложены основы теории оптимального проектирования, получены решения целого ряда практических задач, разработаны эффективные методы и алгоритмы расчёта.

Вопросам проектирования систем наименьшего объёма с учётом ограничений по прочности, устойчивости и частоте собственных колебаний посвящены работы П.С. Баублиса, Л.Н. Воробьева, А.Ф. Елизарова,

Т.Л. Дмитриевой, Б.А. Тухфатуллина, А.В. Ижендеева, А.П. Малиновского,

A.В. Мищенко, Н. Ольхоффа, А.Б. Те, А.Г. Филиппова, Ю.Я. Юдина,

B.В. Юрченко, Е.В. Янькова и других исследователей [34, 83, 84, 97].

Становление и развитие теории оптимального проектирования позволило, наряду с сохранением традиционных методов проектирования конструкций, изменить подход к решению задачи о назначении параметров сечений. На смену расчёту нескольких вариантов с последующим их сравнением и выбором лучшего, пришли методы оптимизации, ориентированные на широкие возможности современной вычислительной техники.

1.4. Анализ современных работ в области расчётов и оптимизации динамически нагруженных систем

Ниже приводится анализ работ последних десятилетий, тематика которых наиболее близка настоящему исследованию.

В исследованиях Ю.А. Россихина, М.В. Шитиковой, М.Г. Меза Эстрады разрабатывается волновая теория удара для анализа ударного взаимодействия упругих тел, для случая ударного взаимодействия шара с вязкоупругой мишенью в виде балки Тимошенко с учётом растяжения ее срединной поверхности [68, 111, 112]. В исследовании не рассматриваются сложные стержневые системы и не обсуждаются вопросы оптимального проектирования.

В работах Г.Я. Пановко, А.Е. Шохина, А.М. Гуськова, Е.А. Коровайцевой разрабатывается виброизолирующая подвеска, представляющая пространственную систему упругих криволинейных стержней. Целью исследований является обеспечение стабильности функционирования оборудования в условиях внешних вибрационных воздействий [28, 29, 56]. В исследовании рассматриваются конструктивные элементы системы и не обсуждаются вопросы оптимального проектирования.

В.И. Соболев и Нгуен Фу Туан в своих исследованиях занимались изучением и моделированием трансформаций процессов собственных колебаний многомерных динамических систем при импульсных воздействиях [52, 53, 74, 75, 76].

В составе исследований определялись условия формирования минимальных и максимальных величин параметров интенсивности процессов собственных колебаний, а также возможность и достижимость устранения трансформированных собственных колебаний упруго-деформируемых динамических систем с одной степенью свободы при импульсных воздействиях, изучались возможности устранения колебаний по заданному направлению в упруго-деформируемых многосвязных механических системах с конечным числом степеней свободы путём подбора параметров динамических систем. Исследовались трансформации собственных колебаний при увеличении степени свободы одномерной колебательной системы с целью определения закономерностей импульсных воздействий на интенсивность колебаний при различных параметрических данных. На основе разработанных методов и программных средств моделировались многомерные колебания, изучались свойства трансформаций колебательных процессов при импульсных воздействиях в условиях параметрических ограничений. В результате разработаны методики проведения и обработки результатов физического эксперимента, позволяющей осуществлять экстраполяцию параметров колебательного процесса по различным значениям момента времени импульсного воздействия. Проведены эксперименты по проверке влияния импульсных воздействий на трансформацию колебаний многомерной динамической системы с оценкой погрешностей теоретических результатов. Данное исследование имеет близкую тематику, но импульсные воздействия здесь рассматриваются как фактор влияния на процесс колебаний. В исследовании обсуждаются вопросы проектирования систем с требуемыми свойствами по амплитудам собственных колебаний и по заданной низшей частоте собственных колебаний.

В исследованиях Е.С. Шепитько под руководством В.Д. Потапова [95, 106, 108] выполнены следующие разработки:

- сформулирована расчётная модель, позволяющая учитывать нелокальное демпфирование в материалах, разработана методика расчёта стержневых

элементов на динамические воздействия с использованием модели нелокального демпфирования материала;

- разработана методика подбора параметров, характеризующих нелокальное демпфирование материала;

- выполнено обоснование применения одномерной модели стержня при динамическом расчёте конструктивных элементов, выполненных из композитных материалов.

Основным предметом, рассматриваемым авторами, является формулировка модели нелокального демпфирования в материалах. В исследовании не рассматриваются сложные стержневые системы и не обсуждаются вопросы оптимального проектирования.

А.В. Кузнецовым под руководством А.И. Рубана разработаны и исследованы новые программные алгоритмы глобальной оптимизации, основанные на методе усреднения координат, при наличии ограничений-неравенств:

1. Алгоритм на допустимых пробных точках [45, 46, 103].

2. Алгоритм поиска главных экстремумов (глобальный экстремум и близкие к нему по функции качества) [49].

3. Алгоритм с использованием двух видов свертки ограничений в штрафную функцию: прямая свертка и свертка в относительных величинах [47, 48].

4. Алгоритм прямого учёта ограничений в ядрах процедуры усреднения координат [45, 46].

Основной предмет исследования - алгоритмы глобальной оптимизации. Вопросы расчёта стержневых систем не рассматриваются.

И.Н. Серпик и А.И. Тютюнников занимались разработкой алгоритма оптимального синтеза несущих конструкций кузовов грузовых вагонов, основанного на дискретных множествах структур и параметров, а также решением задач оптимизации тонкостенных систем. В их работах [71, 72, 73, 85]

объектом исследования являются кузова грузовых вагонов, как тонкостенные системы. Стержневые системы не рассматриваются.

Исследования Л.Е. Путеевой и Б.А. Тухфтуллина посвящены оптимизации сечений элементов плоских стержневых систем при многопараметрическом воздействии [64, 65, 83, 84]. Данные исследования имеют близкую тематику к настоящей работе, рассматриваются плоские стержневые системы, обсуждаются вопросы оптимального проектирования, но не затрагиваются динамические расчёты.

Исследования А.А. Гаврилова посвящены изучению напряженно-деформированного состояния неразрезной тонкостенной балки с учётом вторичных сдвигов, разработке метода расчёта характеристик свободных колебаний неразрезной тонкостенной балки бисимметричного сечения с учётом вторичных сдвигов и оценке влияния учёта вторичных сдвигов на основные характеристики НДС балки при статическом нагружении и параметры свободных колебаний балки [11, 12, 50]. В исследованиях под руководством Г.И. Гребенюка А.А. Гавриловым выполнена разработка алгоритма оптимизации параметров многопролётной балки с ограничениями по прочности и частотам колебаний; оценка влияния ограничений по частотам собственных колебаний на характеристики оптимального проекта [25, 26, 27].

Эти исследования имеют близкую тематику к настоящей работе, в них обсуждаются вопросы оптимального проектирования стержневых элементов, но рассматриваются расчёты на установившиеся колебания при гармонической нагрузке, а сами исследования больше направлены на рассмотрение особенностей НДС, обусловленных тонкостенными профилями сечений элементов. Сложные стержневые системы не рассматриваются.

1.5. Определение цели исследования

Проведённый обзор научных источников показывает, что большинство работ в области динамики затрагивает вопросы совершенствования расчётов, моделей и учёта структурных особенностей конструкций. Некоторые работы, в основном связанные с машиностроением, касаются вопросов оптимизации, но,

зачастую, они относятся лишь к элементам конструкций или механизмов, либо их свойствам. Достаточно редко встречаются работы, посвященные вопросам оптимальности систем подверженных динамическим воздействиям. В работах, связанных с оптимальным проектированием, в основном рассматриваются системы в условиях установившихся вынужденных колебаний (стационарные колебания), либо обсуждаются их амплитудно-частотные характеристики.

В данном исследовании рассматриваются вопросы оптимального проектирования систем подверженных воздействиям, произвольно меняющимся во времени, с малой длительностью, либо условно-мгновенным, а также периодическим импульсным воздействиям. В этом случае процесс колебаний является, во-первых, не стационарным, а во-вторых, включающим широкий спектр частот колебаний. В случае установившихся вынужденных колебаний факторами, влияющими на НДС системы, является место приложения, частота и амплитуда гармонического воздействия, а также свойства самой стержневой системы. При импульсных воздействиях на развитие процесса колебаний влияет множество дополнительных факторов (таких, как начальные условия движения, форма и длительность импульса и т.п.). Помимо того, рассмотрение процесса затухающих полигармонических колебаний в обязательном порядке требует получения динамического отклика на некотором интервале времени, что существенно повышает трудоёмкость такого расчёта. Таким образом, при импульсных воздействиях отсутствует возможность получения аналитических зависимостей между варьируемыми параметрами задачи поиска оптимального решения и функциями изменения параметров НДС системы во времени. В настоящее время исследования такого рода чрезвычайно редки.

ГЛАВА 2. ДИНАМИЧЕСКИЙ РАСЧЁТ УПРУГИХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ С УЧЁТОМ ОСОБЕННОСТЕЙ ИМПУЛЬСНОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Расчёт и оптимизация упругих стержневых систем при импульсном нагружении»

2.1. Актуальность разработки расчётного модуля

Любой алгоритм подбора параметров системы (инженерная задача), в том числе и процесс оптимального проектирования, подразумевает необходимость некоторого (зачастую весьма большого) числа перерасчётов оптимизируемой системы, что требует использования достаточно мощного вычислительного аппарата для реализации процесса поиска оптимального проекта.

Для численного моделирования элементов конструкций, как правило, в программных расчётных комплексах используется метод конечных элементов (МКЭ). Это позволяет задать различные свойства материала в различных направлениях. Но при этом сам процесс динамического расчёта оказывается, даже на сегодняшний день, весьма «трудоёмким» (по затратам расчётных мощностей ЭВМ) и поэтому длительным. Наиболее ярко эта проблема проявляется при вычислении откликов системы на произвольные динамические и импульсные воздействия. При необходимости итерационных перерасчётов в рамках математического поиска оптимального проекта вопрос временных затрат становится крайне острым.

На сегодняшний день современные программные комплексы, как правило, направлены на решение задач расчёта систем с заданными входными параметрами, либо имеют некий внутренний алгоритм поиска оптимального проекта, имеющий функционал возможностей, определяемый производителем. Встраиваемость таких комплексов в итерационный процесс собственной управляющей программы поиска оптимального проекта представляется достаточно сложной задачей. Это обусловлено большей ориентированностью расчётных комплексов на формирование исходных данных для расчёта в режиме их ввода оператором, либо в процессе их импорта, также требующего

вмешательства оператора. Этот фактор затрудняет исследования, направленные на разработку новых алгоритмов поиска оптимального решения.

Поэтому в рамках данного исследования, в первую очередь, возникла необходимость разработки расчётного модуля на динамические воздействия, удовлетворяющего нижеперечисленным требованиям:

- приемлемая скорость динамических перерасчётов, обеспечивающая возможность практической реализации алгоритмов поиска оптимального проекта;

- встраиваемость расчётного модуля в общий блок оптимизационного комплекса;

- корректируемый протокол обмена информацией между управляющим блоком и расчётным модулем в зависимости от постановки задачи оптимизации.

С этой целью разработан расчётный модуль <Ютат» для динамического расчёта стержневых упругих систем [70], в том числе выполняющий:

- расчёт на собственные колебания и на установившиеся вынужденные колебания;

- расчёт на свободные колебания и колебания при произвольно меняющихся во времени динамических нагрузках;

- расчёт на статические воздействия.

Для учёта диссипации энергии за счёт внутреннего трения в расчётном модуле используется модель внутреннего трения, предложенная Сорокиным Е.С.

В разработанном модуле используется дискретно-континуальный подход к формированию задачи динамического расчёта. Стержневая система разбивается на элементы и узлы. За основные неизвестные традиционно принимаются функции перемещений и ускорений узлов стержневой системы во времени. В отличие от МКЭ в дискретно-континуальном подходе число узлов и значительно меньше. Соответственно, значительно снижается порядок системы дифференциальных уравнений, описывающих процессы свободных или вынужденных колебаний. Число степеней свободы масс зависит от количества узлов системы. Формирование матриц масс и жёсткости выполняется с использованием метода начальных параметров в отношении каждого стержневого

элемента при заданных единичных перемещениях или ускорениях узлов. Аналогичным образом выполняется расчёт НДС каждого элемента стержневой системы после определения функций перемещений и ускорений её узлов.

2.2. Особенности импульсных воздействий

В рамках расчётов, касающихся импульсных воздействий следует обратить внимание на длительность передачи нагрузки на заданную систему и места её передачи. Нагрузки, обусловленные ударом твёрдых объектов по ограждающим или несущим элементам здания, имеют наиболее короткую длительность передачи воздействия на систему и, как правило, достаточно сосредоточенную область приложения. Такие воздействия могут быть рассмотрены, как условно мгновенные, обеспечивающие точкам системы начальные скорости. Нагрузки, обусловленные действием ветрового порыва или ударной волны, в зависимости от скорости могут иметь широкий диапазон длительностей передачи воздействия на систему и большую площадь приложения. Для таких нагрузок необходимо учитывать влияние формы функциональной зависимости воздействия во времени. Здесь следует отметить, что степень этого влияния зависит и от характеристик самой системы. При уменьшении длительности воздействия в сторону периодов, соответствующих высшим собственным частотам заданной системы это влияние становится незначительным. И, наоборот, в случае длительности передачи воздействия к низшим собственным частотам системы зависимость воздействия во времени оказывает существенное влияние на НДС системы в момент передачи нагрузки и на дальнейший процесс изменения НДС во времени. То есть необходимо оценивать длительность передачи импульсной нагрузки по отношению к периодам собственных колебаний системы.

Согласно [89] форма изменения давления от взрывной воны на расстоянии порядка 50 «радиусов заряда» имеет форму, приведённую на рис. 2.1. На рис. р -

давление ударной волны, р0 - атмосферное давление. Фаза первичного роста давления (набегание ударной волны) может считаться практически мгновенным, затем следует снижение давления (фаза сжатия Тк ) вплоть до возникновения

разряжения. Далее возникают вторичные волны значительно меньшего уровня, которыми, как правило, можно пренебречь. Длительность фазы сжатия т в зависимости от мощности взрывчатого вещества и расстояния до эпицентра может разниться от долей до десятков периода колебаний Тх, соответствующих

первой собственной частоте здания или сооружения. В случаях Ткотрг < 0,257,'

рекомендуется [55] вести расчёт на импульсное воздействие. В случаях 0,25-11 <Ткотрг <10- 7,' рекомендуется рассматривать влияние, как максимального

избыточного давления, так и удельный импульс в волне. При Ткотрг >10-1\

рекомендуется рассматривать «статическое» воздействие мгновенно приложенного избыточного давления (форма прямоугольного импульса). Сходным образом выглядит изменение во времени воздействия от порывов ветра.

Рисунок 2.1 - Изменение давления при прохождении ударной волны.

На рис. 2.2 приведены простейшие зависимости аппроксимации протяженного импульса, соответствующие одинаковой его мощности (площади графиков равны).

При рассмотрении импульсной нагрузки, как протяжённой во времени, расчёт включает в себя два этапа:

- расчёт системы на неустановившиеся вынужденные колебания, непосредственно во время передачи нагрузки (в зависимости от сложности аппроксимации может состоять из нескольких интервалов);

РРо 2

а

1тр

- расчёт системы на свободные колебания после окончания действия импульсной нагрузки, с начальными условиями (перемещения, скорости), полученными по окончании действия нагрузки.

Рисунок 2.2 - Упрощенное представление зависимостей импульсных нагрузок во времени различными формами, а) прямоугольная; б) синусоидальная; в) треугольная; г) и е) форма «волна»

При рассмотрении импульсной нагрузки, как мгновенной, расчёт включает в себя:

- определение начальных скоростей точек системы полученных в результате передачи мгновенного импульса (в случае отсутствия воздействий до этого, перемещения будут нулевыми);

- расчёт системы на свободные колебания после окончания действия импульсной нагрузки, с начальными условиями (перемещения, скорости), полученными в конце действия нагрузки.

Если нагрузка является периодической, в обоих случаях выполняется циклическое чередование этапов расчёта.

При необходимости возможно представление заданного протяженного воздействия совокупностью большого числа мгновенных импульсов, передающих системе дополнительные скорости. В этом случае общее время действия нагрузки делится на малые интервалы, на которых заданная непрерывная зависимость интегрируется и вычисляется значение эквивалентного по мощности мгновенного импульса на каждом интервале времени. Далее рассматриваются свободные колебания на этих интервалах времени. Начальными условиями для каждого следующего интервала являются перемещения точек системы в конце предыдущего интервала и их скорости с учётом поправок от действия очередного мгновенного импульса на новом интервале времени.

Таким образом, для расчёта на импульсные нагрузки будут использоваться три типа расчёта:

- расчёт на мгновенный импульс;

- расчёт на свободные колебания;

- расчёт на неустановившиеся вынужденные колебания.

Для статических нагрузок используется обычный статический расчёт, выполняемый отдельно. Влияние статического воздействия на характеристики движения при колебаниях не рассматривается.

2.3. Мгновенный импульс

В случае рассмотрения импульсного воздействия, как условно-мгновенного происходит приращение скоростей точек (узлов) системы. Система алгебраических уравнений для их определения имеет вид:

[ т]-А2& + RS = 0, (2.1)

здесь [т] - матрица масс; А2& - вектор приращений скоростей; RS - вектор узловых «мгновенных реакций», вызванных мгновенными импульсами. Для определения вектора RS используется стандартный прием строительной механики (по аналогии с обычными нагрузками):

Rs = а ■ SF - • Fu , (2.2)

SF, ¥и - соответственно вектор концевых усилий элементов и вектор узловых нагрузок в грузовом состоянии ОСМП от действия мгновенного импульса; а , с - соответственно матрица концевых смещений элементов и матрица узловых смещений в единичных состояниях ОСМП.

Решение (2.1), имеет вид:

А2& = -[т]-1 ■ RS. (2.3)

2.4. Выбор рациональной расчётной модели для учёта внутреннего трения в материалах

Поскольку расчёт на импульсное воздействие требует рассмотрения развития процесса колебаний стержневой системы во времени, учёт внутреннего трения в таком случае является весьма актуальным. Об этом свидетельствуют результаты расчётов без учёта трения, также выполненных в ходе исследования.

Существующие на сегодняшний день модели внутреннего трения можно разделить на три основные группы. Одна из них объединяет различные модификации гипотезы Фойгта. Другой группой является гипотеза Е.С. Сорокина и различные варианты описания сил внутреннего сопротивления с помощью постоянных комплексных модулей. К третьей группе можно отнести предложения по учёту наследственных принципов со специальными ядрами, которые предусматривают частотную независимость абсолютного рассеяния энергии в достаточно широком диапазоне частот возмущения.

В качестве используемой модели внутреннего трения в материалах выбрана модель внутреннего трения, предложенная Сорокиным Е.С. [79]. Достоинствами данной модели внутреннего трения являются частотная независимость логарифмического декремента затухания колебаний и существенная простота её использования. Помимо этого, расчёты с использованием выбранной модели хорошо согласуются с экспериментальными данными, полученными в рамках данного исследования.

Модель внутреннего трения, предложенного Сорокиным Е.С. представляется неоднородным упруго-пластическим телом, для которого получена [79] следующая взаимосвязь напряжений - деформаций в комплексной форме:

ст*(Г) = £'0-(м + /-'Р)-8*(Г), (2.4)

где а*(7) и е*(7) - напряжения и деформации, соответственно, представленные в комплексном виде, Е0 - модуль упругости;

и и V - параметры, зависящие от коэффициента внутреннего трения у:

1

У

и

I ■

У

2 '

v = ■

У

1 +

Т

(2.5)

4 4

На рис. 2.3 приведена графическая интерпретация комплексного представления 8* (7). Вектор 8* (7) совершает вращение в комплексной

плоскости вокруг начала координат с частотой со с учётом фазы |ы.

Рисунок 2.3 - Комплексное представление деформаций Приведённые на рис. 2.3 еКе(7) и е1т(7), соответственно, действительная и мнимая части 8* (7). Проекция еКе(7) вектора 8* (7) на вещественную ось отражает зависимость реальных относительных деформаций от времени.

81т(7) = 80 • 8т(с0 -г + |ы), 8Ке(7) = 80 • С08(с0 • ? + |ы) .

(2.6)

С7 = Еп ■ V • 8П

неупр и и

= Кг"

(со-? + |ы + а)

Рисунок 2.4 - Комплексное представление напряжений

На рис. 2.4 приведена графическая интерпретация комплексного представления а * (/), аналогичная £*(/). Здесь аупр - напряжения упругого

сопротивления а - соответственно, напряжения неупругого сопротивления.

Для наглядности выполнено наложение а * (/) и £*(/). Мнимая единица в (2.4)

математически означает отставание г * от а по времени на четверть периода,

что видно из рис. 2.4. Здесь а - фаза между а * (?) и г * (?);

а = (и/у) = агс^у/(1 - 0.25у2))« агс^(у)« у, (2.7)

а аке(0 и а1т(0 ~~ соответственно действительная и мнимая части Проекция стКе(?) вектора на вещественную ось отражает зависимость

нормальных напряжений от времени.

аКе(?) = а0-со8(а)-? + |1И-а) , а1т(?) = а0-8т(со-?+ |ы + а), (2.8)

2.5. Свободные колебания стержневой системы

С учётом (2.4) система уравнений свободных колебаний в компактной матричной форме принимает следующий вид [79]:

[т] ■ [Г] + (и + г ■ V) ■ [к] • = О, (2.9)

где [/и]-матрица масс, [&] -матрица внешней жёсткости, [■£*] -вектор

комплексных перемещений узлов, / - мнимая единица.

Для поиска решения применяем подстановку в виде [79]:

[2"\ = С-[2г'\еа'\ (2.10)

[г^^у.-^Ц, (2.11)

2^ - комплексный вектор формы колебаний (по аналогии с собственными)

С - константа. Тогда:

= (2.12)

подставляем эти выражения в (2.9) и сокращаем на C • eQ '': [m]{Zf*}(Q*)2 +(u + i • v)•[k]•[Zf*] = 0,

выполнив для удобства замену

\ 2 / * \ 2 ¡j¡ ¡j¡ Q ) = -(p ) , то есть Q =±i • p ,

-(p )2 •[m]• [Zf*] + (u + i • v)•[k]•[Zf*] = 0,

*

представив: p = pRe + i • pIm,

Тогда (p* f = pRe - pim + 2 • i • pRe • pim.

подставляя (2.11) и (2.17) в (2.15), получим:

-(pRe - pL + 2 • i • pRe • pim )•[m] • [[Z líe ] + i {Z

(2.13)

(2.14)

(2.15)

(2.16) (2.17)

f im

+

(2.18)

f im

0,

+ (и +i ■ ^)■[^]■[[2£] + г ■[21

После преобразований приходим к системе уравнений, включающей две подсистемы:

[(- Р2т )■[ т]-и ■[ k ]]■[ 2 £ ] + [-(2 ■ рКе ■ р1т )■[ т] + V ■[ k ]]■[ 2£ ] = 0

(2.19)

( 2 ■ Рке ■ Рьт )■[ т] - V ■[ k ]]■[ 2 £ ] + [( - Р2т )■[ т]-и ■[ k ]]■[ 2(т ] = 0. Обозначим матрицы:

[ А] = [( Р]2е - Р2т )■[ т] - и ■[ k ]

(2.20)

тогда:

[ В ] = [( 2 • pr, • pta )•[ m]-*•[ k ]],

[ Z í, ]-[ В ]•[ Z¿, ] = 0 [В]•[ZR,] + [*]•[Z/ ] = 0.

(2.21)

Из (2.21) следует:

где а - произвольный коэффициент; учитывая это в (2.21), имеем:

= 0 (а)

[в]{гЦ + а-[А].[гЦ = о (б), Упрощая и преобразуя (2.23):

или, возвращаясь к обозначениям (2.20):

\(р1-р1)-Н-и{к]}[г£] = о

обозначив:

{р1г~Ры) = К> {2'Рш-Ры) = К , и разделив в (2.25) подсистемы соответственно наг/ и^

1

и

А,.

v

[т]-[к]

[2£] = 0

■[<И

Уравнения (2.27) идентичны уравнениям собственных [А, • [да] - [&]] х = 0, а отношения

Х„ X

"и _ " 'V _ ^

и v

где X - собственные числа частотного уравнения без учёта трения,

Оег\_Х\т]-[Щ = 0,

(2.22)

(2.23)

(2.24)

(2.25)

(2.26)

(2.27)

колебаний

(2.28)

(2.29)

Таким образом, по модели Сорокина Е.С. при получении решения для свободных колебаний с учётом внутреннего трения, имеется возможность использовать результаты расчёта на собственные колебания (без учёта трения). Подставляя (2.28) в (2.26):

из (2.30) имеем:

X • V

4 л 2 п

2-Рке'

Рке

Х-

и2 +у2

(2.31)

(2.32)

Так как и - у!и2 + V2 < 0, а отрицательное значение рКе соответствует росту амплитуд во времени [79], окончательно

\[х со 2-со

1+

У

Р]т =

4

\[Х-у

1 +

2

У_ 4

со-у

(2.33)

со-у

2 \[4=л

+ У

Здесь со - частота собственных колебаний системы (без учёта трения)

Действительная часть общего решения (2.9), учитывая тождество Эйлера, после всех упрощений [8]:

Ы = [>£,]■ е-^ ■ (С • со• 0 - с • а • • г)), (2.34)

Учитывая (2.33) и обозначив Сх = С, С2= -С ■ а, 2 = , =

[г] = [г'}

со-у 4

С1 •СОБ

/ Л

2-со-?

+ У

+ С2 • БШ

/ \\ 2-со-?

+'|г //

(2.35)

константы С15 С2 определяются из начальных условий движения.

2.6. Модификация вычисления коэффициента внутреннего трения в виде Щ для стержневой системы, включающей различные

материалы, в случае свободных колебаний

Свойства внутреннего трения в рамках используемой модели описываются единственным коэффициентом у [79]. Поэтому для систем, включающих элементы из различных материалов, необходимо корректное определение данного коэффициента. В работах Е.С. Сорокина [78] предложен вариант вычисления средневзвешенного (по жесткостям элементов) значения уэкв:

Уз

IX-У, _

«е1

1X

7=1

(2.36)

В настоящем исследовании выполнена модификация (2.37), предполагающая вычисление уэквг для каждой учитываемой частоты

собственных колебаний. Здесь определятся вклад каждого элемента в общий уровень потерь энергии колебаний на / -й собственной частоте с учётом удельной деформации этого элемента в соответствующей / -й форме собственных колебаний системы:

Уз

2

■М

2

2

А1

г

А1

(2.37)

где

2

А'

- ветор I -й формы собственных колебаний системы,

[а] - матрица перемещений узлов в единичных состояниях,

Ы

(2.38)

(2.39)

[^¡ш у ] ~ матрица внутренней жёсткости / -го элемента системы,

матрица

к., формируется аналогично матрице внешней жёсткости [&]:

(2.40)

где

(2.41)

у. - коэффициент внутреннего трения материала _/ -го элемента системы

В результате для системы с конечным числом степеней свободы выражение

для вектора перемещений узлов стержневой системы имеет вид:

( \

п г

¿=1

2

а/4+Уэкв,,-

/

■СОБ

Г \

2 • со, • ?

л/4 + У

2

ЭКВ,2 J

+ С2 • БШ

г \\

2 • со, • ?

+ Уз

(2.42)

экв,г у у

Схожий подход, но применённый для другой модели внутреннего трения, представлен в [90].

2.7. Неустановившиеся вынужденные колебания стержневой системы

Система уравнений вынужденных колебаний в компактной матричной форме имеет следующий вид:

[т] • [Г] + (и +1 -V) ■ [к] • [2*] = [>*], (2.43)

где [/и] - матрица масс; [&] - матрица внешней жёсткости; [-£*] - комплексный

вектор перемещений узлов; / -мнимая единица; -вектор комплексных

узловых нагрузок.

Решение данной системы дифференциальных уравнений [70с(;] представляет собой, как известно, сумму общего решения системы однородных

уравнений ] и частного решения системы неоднородных уравнений

г

(2.44)

Алгоритм получения описан в параграфе 2.5. Здесь приводится

алгоритм получения частного решения

2

2

. Далее используется обозначение

= [г].

Вопрос, который возникает до интегрирования уравнения (2.43), относится к способу образования комплексных возмущающих сил вектора по

заданным действительным возмущающим силам ^ (?) •

Очевидно, что действительную силу Fi(t) можно принимать либо в

качестве вещественной части комплексной силы, либо в качестве её мнимой части.

Условимся в дальнейшем, в целях определенности, считать заданную действительную силу за вещественную часть комплексной силы. Поскольку обе части (вещественная и мнимая) комплексно представленной нагрузки влияют на решение уравнения (2.43), очевидно, что её мнимая часть не может быть независимой от её вещественной части и должна определяться однозначно. Правило образования комплексной по заданной действительной силе, естественно, не может быть произвольным.

Если действительная часть гармонической силы задана в виде:

^еЛО = ^-сов(со/7-?-Уг), (2.45)

то комплексная гармоническая сила в соответствии с правилом получения фундаментального решения однородного уравнения представляется выражением

(2.46)

причем мнимая часть комплексной силы будет:

= (2.47)

где со^ - частота и фаза всего вектора нагрузок , а - фаза / -й компоненты

Р* вектора.

На рис. 2.5 комплексное представление заданной гармонической нагрузки Р* показано графически.

'UO

Рисунок 2.5 Комплексное представление нагрузки

(0 = F0,i ■sin• t - ) > (0 = • cos(coF ■ í - v,.). (2.48)

Комплексное представление F0*¿ выполним на основе следующего преобразования:

F* =F0i .et<a"4-Vl) = F0i-е^ =F0i • е K'í} • (cos(-v;) + z • sin(-v;)). (2.49) Тогда, раскрыв скобки при t = 0, получим

F0i ■ (cos(-v;) + i ■ sin(-v;)) = F0i ■ cos(-v;) + F0i ■ i ■ sin(-v;). (2.50) Обозначим

fors, =fo, -cos(-v;), F0Inv =F0i -sii^-v,). (2.51) С учётом (2.51), получим:

F0,i F0ReJ + i ' F0 Im,¿ '

тогда (2.46) запишется в виде:

/7 _ 77 .

1 i ~ 1 0 i е

(соF-t)

(2.52)

(2.53)

Заметим, что постоянную комплексную силу можно рассматривать как предельное значение силы (2.46) при со^ —» 0.

Для вектора сил одной частоты о)А с учётом произвольных фаз при

аппроксимации на некотором отрезке времени:

= (2.54)

Рассмотрим получение частного решения (2.43).

1) для величины • соответствующей гармонической составляющей нагрузки, где

М^оке + ^ом]. (2-55)

[F0 ] ■ emf* = [F0Re + i ■ Foim ] ■ (cos (®F ■ * ) + 1 ■ sin (®F ■ *)) =

= [F0Re ] ■ C0s(®F ■ *) - [F0Im ] ■ Sin (®F ' *) + ^^ +i ■ ([F0Re ] ■ Sin (®F ■ *) + [F0Im ] ■ C0S(®F ' *)) •

Здесь и далее цветом выделена действительная часть. Неоднородное матричное уравнение состояния имеет вид:

[m] ■ [Z* (*)] + (и + i ■ v) ■ [к] ■ [Z* (*)] = [F*] ■ e^*, (2.57)

Для поиска решения матричного уравнения (2.57) применяем подстановку:

[ Z * (* )] = [ Z 0* ]■ e^ *, (2.58)

где [ Z* ] - комплексный вектор констант

[Z*] = [Z0rs] + i ■ [Z0im ], (2.59) - частота гармонической составляющей динамической нагрузки. С учётом тождества Эйлера:

[Z* (*)] = [Z* ] ■ ёЪ* = [Z0Re ] ■ cos(fflF ■ *) - [Z0im ] ■ sin (^ ' *) +

+ i ■ ([Z0Re ] ■ Sin (®F ■ *) + [Z0Im ] ■ C0S(®F ' *)).

Так как [Z* (*)] = -®F ■ * ■ [Z0*], (2.61) то после подстановки (2.58), (2.61) в (2.57), получим:

-®F ■ [m] ■ [Z0*] ■ e'^* + (и + i ■ v) ■ [к] ■ [Z0*] ■ e^ * = [F0*] ■ e^ *. (2.62)

После сокращения на e'"F * подстановки (2.59) и (2.55) уравнение (2.62)

(2.60)

принимает вид:

2

■ [т] ■ [^0Ке + 1 ■ Z01т ] + (и + * ■ ^) ■ [к] ■ [Z0Ке + 1 ' ^Лт ] = [^0Не + 1 ' ^Ьт ] (2-63)

Приняв для удобства обозначение: [Л] = [и ■[к•[т]], (2.64)

раскрыв скобки в (2.63) и разделив слагаемые на две группы - действительные и мнимые, приходим к системе уравнений, включающей две подсистемы:

(2.65)

v

[ к ]■[ Z 0Re ] + [ A]{ Z

0Im I I F0Im I.

Преобразуя систему (2.65), приходим к решению:

IZ0Re ] = [B]-1 ■[F0r6 ] + [C]-1 ■[F0im ] ,

(2.66)

Здесь

[Z0Im] = [BГ ■[F0ta]-[C]-1 ■[^]

[Bг =([A] + V2 ■[к]■[A]-' ■[к])"', [C]-'-v(v2 [к] + [4[к]-' ■[A])-'.

(2.67)

Введём для наглядности обозначения:

[Fcos ] = [F0R6 ] ; [FSin ] = [F)Im ]; [Zcos ] = [Z0RS ]; -[ZSin ] = [^ ], (2.68)

тогда действительные части комплексных соотношений для векторов нагрузок и перемещений записываются в виде:

Re([F*] ■ еш"*) = [FCoS ] ■ cos(®F ■ *) + [FSin ] ■ sin(®F ■ *) Re([Z*] ■ e«F*) = [ZCos] ■ cos(fflF ■ *) + [Zsin] ■ sin(®F ■ *),

где

[ Z „ ] = [ B ]-1 ■[ Fcos ]-[C ]-1 ■[ F„n ]

(2.69)

[ Z»n ] = [ B Г-[ Fs„, ] + [C Г'-[ Fcos ].

Решение (2.57) с учётом (2.60) принимает вид:

[Z* (*)] = [Zcos ] ■ cos (®F ■ *) + [Zsin ] ■ sin (®F ■ *) + l ■ ([Zcos ] ■ sin (®F ■ *) - [Zsin ] ■ cos (®F ■ *)) .

+

(2.70)

Действительная часть решения [18]:

(0] = [2со§] • ссЦсо^ • + [г^ ] • ап^ • =

или в подробном виде:

'(М+*2-М-И"1 •[*])"'4

-^ч^ж^г-мры

(2.71)

[г(г)] =

СОБ

+

(2.72)

2) Для соответствующей постоянной составляющей считаем, что

со^ = 0, и решаем как в случае гармонической нагрузки, в результате:

2.8. Модификация вычисления коэффициента внутреннего трения в виде Щ для стержневой системы, включающей различные

материалы, в случае вынужденных колебаний

Определение коэффициента у при вынужденных колебаниях,

2

системы (2.43), аналогично

отвечающего за неоднородное решение изложенному в параграфе 2.6 приёму определения коэффициента уэкв при свободных колебаниях:

2

у

экв ,1<к

2

ы

■м-

2

г

(2.74)

здесь

ZF (k)

вектор амплитуд [Zsin ] либо [Zcos] частного решения (2.69), т.е.

(sin)

Уэкв Fk соответствует

Z

F (k J"

[ZSin ] , а УЭКв! соответствУет [zF(k}] = [Zcos ] .

В данном случае возникает необходимость итерационного вычисления у экв, т.к. его значение определяет вычисление векторов [ ZcoS ] и [ Zsin ], а они, в свою

очередь, - значение у экв Fk. Т.е. выполняется расчёт [ ZcoS ] и [ Zsin ] при некотором

начальном значении Уэкв , например, среднем для системы, после чего итерационно выполняются следующие действия:

(eos) (sin)

- вычисляются новые значения у;кв 'Fk, у;кв Fk;

- вычисляются [ Zcos ] и [ Zsin ] .

В результате проведённых численных экспериментов выяснилось, что процесс вычисления уэкв Fk сходится за 3-4 итерационных перерасчёта.

2.9. Варианты аппроксимации динамических нагрузок во времени

В случае, когда длительность импульсного воздействия оказывается меньше полупериода высшей определяемой частоты собственных колебаний системы, отпадает необходимость рассматривать его, как протяженное. В этом случае его форма и длительность перестают оказывать сколько-нибудь существенное влияние на развитие дальнейших свободных колебаний системы. Поэтому удобно рассматривать такое воздействие, как условно мгновенное.

В остальных случаях можно воспользоваться разными вариантами аппроксимации воздействий во времени. В данном исследовании выбраны и реализованы в расчётном модуле два варианта аппроксимации:

- множеством мгновенных импульсов;

- кусочно-гармоническая аппроксимация.

Оба варианта могут использоваться для разных случаев зависимостей воздействий, поэтому применение того или иного варианта обусловлено прежде всего удобством. Первый вариант удобен в случаях достаточно коротких воздействий (близких по длительности к периодам высших определяемых частот),

а также имеющих существенные нарушения плавности. Второй вариант, соответственно, имеет смысл применять для более длительных (близких к периодам низших определяемых частот) воздействий, имеющих достаточно гладкую форму.

Принцип представления воздействия множеством мгновенных импульсов описан в п. 2.1. Рассмотрим вариант кусочно-гармонической аппроксимации произвольной функциональной зависимости заданной внешней нагрузки.

Как уже отмечено в п. 2.7, нагрузка при использовании модели, предложенной Е.С. Сорокиным, должна иметь гармонический характер. Для произвольных функциональных зависимостей нагрузки во времени, необходимо проводить гармоническую аппроксимацию воздействия с разбивкой на интервалы:

"К1) 10) -|("т»)"

Гf 1= \f 1 ...Пр Г...Гf Т

appr J appr J appr J appr J

(2.75)

где

Г f "г

L aPPr J

fO) fO) fO)

appr,l ' '' appr,i ' '' appr,n

tramp

- вектор аппроксимации заданных

нагрузок, преобразованных к узловым по п степеням свободы системы, на _/-м интервале времени, пы - число интервалов разбивки времени действия нагрузок.

Для нагрузок, имеющих произвольную зависимость во времени, в том числе и линейную, предлагается следующая аппроксимация [18]:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Вешкин Максим Сергеевич, 2023 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Александров А.В., Потапов В.Д., Зылев В.Б. Строительная механика. В 2 кн. Кн. 2 Динамика и устойчивость упругих систем: учебное пособие для вузов. Под ред. А.В.Александрова. М.: Высшая школа, 2008. 384 с.

2. Андреев В.Б., Астраханцев Г.П., Дымников В.П., Руховец Л.А., Четверушкин Б.Н. Памяти Леонарда Амаяковича Оганесяна (1925-2013) // Журнал вычислительной математики и математической физики, 2014. Т. 54. № 5. С. 892.

3. Бабаков И.М. Теория колебаний М.: Наука, 1965. 560 с.

4. Бате К., Вилсон Е., Численные методы анализа и метод конечных элементов / Перевод с английского. А.С. Алексеева и др. Под редакцией Смирнова А.Ф. М.: Стройиздат. 1982. 448 с.

5. Бидерман В.Л. Теория механических колебаний: учебник для вузов. М.: Высшая школа, 1980. 480 с.

6. Блехман И.И., Мышкис А.Д., Пановко Я.Г. Механика и прикладная математика. М.: Наука, 1990. 360 с.

7. Болотин В.В. Случайные колебания упругих систем. М.: Наука, 1979. 336 с.

8. Вешкин М.С., Гребенюк Г.И. Об использовании комплексной модели внутреннего трения в расчётах стержневых систем на импульсные воздействия // Известия вузов. Строительство, 2019. № 5 (725). С. 5-17.

9. Вибрации в технике: / Под ред. В.К.Фролова М.: Машиностроение, 1981. Т. 6. 456 с.

10. Ворович И.И. О методе Бубнова - Галёркина в нелинейной теории колебания пологих оболочек. // Доклады АН СССР, 1956. Т. 110. № 5. С. 723-726.

11. Гаврилов А.А., Гребенюк Г.И. Влияние геометрических характеристик тонкостенных стержней на значения частот свободных крутильно-депланационных колебаний // Проблемы оптимального проектирования сооружений. Доклады 2-й Всероссийской конференции, Новосибирск, 5-6 апреля, 2011 г. Новосибирск: НГАСУ (Сибстрин), 2012. С. 74-80.

12. Гаврилов А.А., Морозов Н.А. Прочность и жёсткость тонкостенных стержней при изгибных колебаниях // Вестник ОГУ, 2012. № 6. С. 253-257.

13. Галёркин Б.Г. Стержни и пластинки. Ряды в некоторых вопросах упругого равновесия стержней и пластинок. // Вестник инженеров, 1915. Т. 1. С.897-908.

14. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. Пер. с англ. М.: Мир, 1984. 428 с.

15. Гребенюк Г.И. Двухэтапный процесс оптимизации сложных конструкций при ограничениях по прочности и жёсткости. // Известия вузов. Строительство и архитектура, 1988. № 12. С. 27-31.

16. Гребенюк Г.И., Вешкин М.С. Дискретные модели расчета и оптимизации стержневых конструкций при импульсном нагружении // Известия Алтайского государственного университета, 2012. № 1-1 (73). С. 36-38.

17. Гребенюк Г.И., Вешкин М.С. Разработка алгоритмов численного расчёта и оптимизации стержневых систем при действии импульсных нагрузок // Вестник Томского государственного архитектурно-строительного университета, 2014. № 4 (45). С. 106-116.

18. Гребенюк Г.И., Вешкин М.С. Расчет упругих стержневых систем на динамические воздействия с использованием модели "комплексной жесткости" для внутреннего трения в материалах // Известия высших учебных заведений. Строительство, 2020. № 5 (737). С. 18-30.

19. Гребенюк Г.И., Вешкин М.С. Расчет и оптимизация стержневых систем при импульсном нагружении // Труды Новосибирского государственного архитектурно-строительного университета (Сибстрин), 2012. Т. 15. № 1 (53). С. 68-73.

20. Гребенюк Г.И., Максак В.И., Вешкин М.С. Оценка эффективности использования обобщенных переменных проектирования в задаче оптимизации стержневых систем при импульсном нагружении // Вестник Томского государственного архитектурно-строительного университета, 2022. Т. 24. № 2. С. 76-86.

21. Гребенюк Г.И., Роев В.И., Вешкин М.С. Алгоритмы численного динамического расчета стержневых систем при импульсном нагружении // Труды Новосибирского государственного архитектурно-строительного университета (Сибстрин), 1999. Т. 2. № 2. С. 28-37.

22. Гребенюк Г.И., Роев В.И., Яньков Е.В., Вешкин М.С., Волков А.С. Экспериментально-теоретическая проверка технической теории удара // Труды Новосибирского государственного архитектурно-строительного университета (Сибстрин), 2009. Т. 12. № 2. С. 25-34.

23. Гребенюк Г.И., Роев В.И., Яньков Е.В., Вешкин М.С., Сабуров В.С., Волков А.С. Исследование изгибных колебаний стальной балки при действии импульсных нагрузок сообщение 1 // Известия высших учебных заведений. Строительство, 2009. № 10(610). С. 3-11.

24. Гребенюк Г.И., Роев В.И., Яньков Е.В., Вешкин М.С., Сабуров В.С., Волков А.С. Исследование изгибных колебаний стальной балки при действии импульсных нагрузок. Сообщение 2 // Известия высших учебных заведений. Строительство, 2010. № 1 (613). С. 120-128.

25. Гребенюк Г.И., Гаврилов А.А. Алгоритм оптимизации параметров неразрезной балки тонкостенного профиля при ограничениях по прочности и частотам колебаний // Актуальные вопросы строительства. Материалы V Всероссийской научно-технической конференции. Новосибирск: НГАСУ (Сибстрин), 2012. Т. 1. С. 75-79.

26. Гребенюк Г.И., Яньков Е.В., Гаврилов А.А. Определение оптимальных параметров тонкостенных многопролётных балок с использованием критерия максимального отклонения собственных частот от резонанса // Проблемы оптимального проектирования сооружений. Доклады 3-й Всероссийской конференции, Новосибирск, 15-17 апреля, 2014 г. Новосибирск: НГАСУ (Сибстрин), 2014. С. 121-128.

27. Гребенюк Г.И., Гаврилов А.А. Расчёт на прочность неразрезных балок тонкостенного профиля с учётом вторичных сдвигов // Труды НГАСУ, № 2. Новосибирск: НГАСУ (Сибстрин), 2012. С. 11-18.

28. Гуськов A.M., Коровайцева Е.А., Пановко Г.Я., Шохин А.Е. Исследование влияния внешнего вибрационного поля на динамику кварцевого генератора // Машиностроение и инженерное образование, 2011. № 3. С. 37-43.

29. Гуськов А.М., Пановко Г.Я., Шохин А.Е. Расчёт стержневой пространственной системы виброизоляции твердого тела при транспортной вибрации // Проблемы машиностроения и надёжности машин, 2012. № 2. С.17-24.

30. Давиденков H.H. О рассеянии энергии при вибрациях // Журнал технической физики, т. VIII, вып. 6. Санкт-Петербург: ФТИ им. А.Ф. Иоффе, 1938. С. 483-499.

31. Даламбер Ж. Динамика. Пер. с франц. М.-Л.: Гостехтеориздат, 1950.

32. Ден-Гартог Дж.П. Механические колебания / Перевод с четвертого американского издания Обморщева А.Н. Под редакцией Мейнгард С.А. М. : Гос. изд-во физ. мат литер, 1960. 580 с.

33. Динамический расчет сооружений на специальные воздействия. Справочник проектировщика / Под ред. Б.Г. Коренева, И.М. Рабиновича. М. : Стройиздат, 1981. 215 с.

34. Дмитриева, Т. Л. Разработка и тестирование численных алгоритмов решения условно экстремальных задач / Т. Л. Дмитриева, У. Хухуудэй // Ученые записки Комсомольского-на-Амуре государственного технического университета. - 2020. - Т. 1. - № 1(41). - С. 59-72. - EDN FWOFEK.

35. Дукарт А.В., Олейник А.И. Динамический расчет балок и рам: учеб. Пособие. М. : Изд-во АСВ, 2002. 144 с.

36. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике М.: Мир, 1975. 541 с.

37. Игнатьев, А. В. Математическая модель и алгоритмы динамического расчета конструкций по методу конечных элементов в форме классического смешанного метода / А. В. Игнатьев // Известия Волгоградского государственного технического университета. - 2018. - № 5(215). - С. 22-26. -EDN UPZXQA.

38. История механики в России / Под ред. А.Н. Боголюбова, И.З. Штокало. Киев: Наукова думка, 1987. 392 с.

39. Ишлинский А.Ю. Прикладная математика и механика. Т. IV М.: Наука, 1940.

40. Корчинский И.Л. Расчёт строительных конструкций на вибрационную нагрузку М.: Госстройиздат, 1948. 133 с.

41. Крылов А.Н. Вибрация судов: Учебник для судостроительных ВТУЗов и кораблестроительных специальностей индустриальных ВТУЗов. Л.; М.: ОНТИ НКТП СССР, 1936. 441 с.

42. Кудрявцев П.С. Основные линии развития физических идей в XVIII в. Под ред. Григорьян А.Т., Полак Л.С. Очерки развития основных физических идей. М., АН СССР, 1959. С. 198-218.

43. Кузнецов Б.Г. Генезис механического объяснения физических явлений и идеи картезианской физики. Под ред. Григорьян А.Т., Полак Л.С. Очерки развития основных физических идей. М., АН СССР, 1959. С. 156-185.

44. Кузнецов Б.Г. Основные принципы физики Ньютона. Под ред. Григорьян А.Т., Полак Л.С. Очерки развития основных физических идей. М., АН СССР, 1959. С.186-197.

45. Кузнецов A.B., Рубан А.И. Алгоритмы прямой непараметрической поисковой глобальной оптимизации при ограничениях-неравенствах. Информатика и системы управления: Межвуз. Сб. научных трудов. Вып. 4. Красноярск: НИИ ИПУ, 1999. С. 134-139.

46. Кузнецов А.В., Рубан А.И. Алгоритм непараметрической поисковой оптимизации при наличии ограничений-неравенств. Вестник Красноярского государственного технического университета. Информатика, вычислительная техника, управление. Вып. 26. Красноярск: Изд-во КГТУ, 2001. С. 195-206.

47. Кузнецов А.В. Алгоритмы непараметрической поисковой глобальной оптимизации при ограничениях-неравенствах. Тезисы IV Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям. Красноярск, 2003. С. 78-83.

48. Кузнецов А.В., Константинов П.Е., Рубан А.И. Непараметрическая поисковая глобальная минимизация штрафных функций. Информатика и системы управления: Межвузовский сборник научных трудов. Вып. 4. Красноярск: НИИ ИНУ, 1999. С. 88-98.

49. Кузнецов А.В. Программный алгоритм поиска главных экстремумов // Информатика и системы управления. Вьш. 10: Межвуз. сб. науч. тр. Красноярск: ГУ НИИ информатики и процессов управления, 2004. С. 35-44.

50. Куча Г.В., Гаврилов А.А. Исследование колебаний тонкостенных балок комбинированного сечения // Вестник ОГУ, 2006. № 12, приложение часть 2. С. 477-479.

51. Ляхович Л.С. Особые свойства оптимальных систем и основные направления их реализации в методах расчета сооружений : моногр. Томск : Изд-во Том. гос. архитектур.-строит. ун-та, 2009. 372 с.

52. Нгуен Фу Туан, Соболев В.И. Обеспечение минимального значения амплитуд собственных колебаний упругих систем при воздействии мгновенного импульса // Системы. Методы. Технологии.2013. № 3(19). С. 34-38.

53. Нгуен Фу Туан Колебания конечномерной динамической системы при воздействии прямоугольного кинематического импульса // Вестник ИрГТУ. Иркутск : Изд-во ИрГТУ, 2014. № 1. С. 18-24.

54. Обморшев А.Н. Введение в теорию колебаний / Учеб. пособие М.: Наука, 1965. 276 с.

55. Орленко Л.П. Физика взрыва и удара / Учебное пособие для вузов. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. 304 с.

56. Пановко Г.Я., Шохин А.Е. Синтез конструкции пространственной стержневой подвески. // В сб. «Управляемые вибрационные технологии и машины» в 2-х ч. 4.2. Курск, КГТУ, 2010. С. 74-79

57. Пановко Я.Г. Введение в теорию механических колебаний М.: Наука, 1971. 240 с.

58. Пановко Я.Г. Внутреннее трение при колебаниях упругих систем М.: Физматгиз, 1960. 193 с.

59. Потапов, А. Н. Анализ колебаний конструкций с выключающимися связями / А. Н. Потапов // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Строительство и архитектура. - 2017. - Т. 17. - № 1. - С. 38-48. - DOI 10.14529/build170105. - EDN XXHPRT.

60. Потапов, А. Н. Временной анализ упругой реакции диссипативных систем. Часть 1 / А. Н. Потапов // Строительная механика и расчет сооружений. -2017. - № 3(272). - С. 53-61. - EDN YPJJHZ.

61. Потапов, А. Н. Временной анализ упругой реакции диссипативных систем. Часть 2 / А. Н. Потапов // Строительная механика и расчет сооружений. -2017. - № 4(273). - С. 55-62. - EDN ZBKRJH.

62. Потапов В.Д. Устойчивость пологой арки при действии детерминированной и стохастической нагрузки с учётом нелокального демпфирования // Проблемы машиностроения и теории надёжности, 2013. № 6. С. 9-16.

63. Потапов В.Д. Устойчивость стержней при стохастическом нагружении с учётом нелокального демпфирования // Проблемы машиностроения и теории надёжности, 2012.№ 4. С. 25-31.

64. Путеева Л.Е., Тухфатуллин Б.А. Определение невыгодного сочетания нагрузок из условия устойчивости // «Строительство-2011»: материалы межд. науч.-практ. конф.- Ростов на Дону: Рост. гос. строит. ун-т, 2011. С. 163-165.

65. Путеева Л.Е., Тухфатуллин Б.А. Оптимальное проектирование стержневых систем под действием многопараметрической нагрузки при учете ограничений по прочности, жесткости, устойчивости и на частоту собственных колебаний // Архитектура и строительство: Тезисы докладов научно-техн. конференции. Томск: ТГАСУ, 1999. С. 65-66.

66. Резников Л.М. Об учёте внутреннего неупругого сопротивления при исследовании случайных колебаний конструкций // Строительная механика и расчёт сооружений, 1974. № 4. С. 48-53.

67. Ржаницын А.Р. Некоторые вопросы механики систем, деформирующихся во времени М.: ГИТТЛ, 1949. 248 с.

68. Россихин Ю.А., Шитикова М.В. Удар упругого шара по балке Тимошенко и пластинке Уфлянда-Миндлина с учётом растяжения срединной поверхности // Известия вузов. Строительство, 1996. № 6. С. 28-34.

69. Рэлей Дж. Теория звука. т. 1 М.: Гостехтеоретиздат, 1955. 504 с.

70. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2022619410 Российская Федерация «ётат3» : № 2022618878 : заявл. 04.05.2022 г.: опубл. 20.05.2022 г. / Вешкин М.С.; Правообладатель: Вешкин М.С.

71. Серпик И.Н., Тютюнников А.И. Оптимизация несущих систем грузовых вагонов с использованием комплекса математических моделей // Тяжелое машиностроение, 2007. № 8. С. 25-28.

72. Серпик И.Н., Левкович Ф.Н., Тютюнников А.И. Современные информационные технологии в параметрической оптимизации несущих систем вагонов // Современные наукоемкие технологии, 2004. № 6. С. 43-44.

73. Серпик И.Н., Алексейцев А.В., Левкович Ф.Н., Тютюнников А.И. Структурно-параметрическая оптимизация стержневых металлических конструкций на основе эволюционного моделирования // Известия ВУЗов. Строительство. № 8, 2005. С.16-24 .

74. Соболев В.И., Нгуен Фу Туан. Конечномерные аппроксимации в моделировании собственных колебаний упругих систем при воздействии мгновенного импульса // Вестник ИрГТУ. Иркутск : Изд-во ИрГТУ, 2012. № 9. С. 51-53.

75. Соболев В.И., Нгуен Фу Туан. Синтез динамических систем при ограничениях на частоты собственных колебаний // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование, 2014.№ 2 (42). С. 26-30.

76. Соболев В.И., Нгуен Фу Туан. Синтез динамической системы второго порядка с минимальными амплитудами собственных колебаний по заданному направлению // Вестник ИрГТУ. Иркутск : Изд-во ИрГТУ, 2013. № 9 С. 89-95.

77. Сорокин Е.С. Внутренние и внешние сопротивления при колебаниях твёрдых тел. Научное сообщение ЦНИИСК вып. 3 Госстройиздат 1957. 66 с.

78. Сорокин Е.С. Динамический расчёт несущих конструкций зданий, Москва 1956. 340 с.

79. Сорокин Е.С. К теории внутреннего трения при колебаниях упругих систем. М.: Госстройиздат, 1960. 154 с.

80. Сорокин Е.С. Метод учёта неупругого сопротивления материала при расчёте конструкций на колебания // Исследования по динамике сооружений. Госстройиздат, 1951. С. 50-90.

81. Сретенский Л.Н. Аналитическая механика (XIX век) / Под ред. Григорьян А.Т., Погребысский И.Б. История механики с конца XVIII века до середины XX века. М. Наука, 1972. С. 7-45

82. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле М.: Наука, 1967. 444 с.

83. Тухфатуллин Б.А., Путеева Л.Е. Алгоритм оптимизации стержневых систем по группам переменных при ограничениях по прочности, жесткости и устойчивости // «Проблемы оптимального проектирования сооружений»: доклады I Всеросс. конф. - Новосибирск: НГАСУ, 2008. С. 390-396.

84. Тухфатуллин Б.А., Путеева Л.Е. Поиск оптимального распределения материала при проектировании плоских стальных рам // Тр. межд. конф. «Научно-технические проблемы прогнозирования надежности и долговечности конструкций и методы их решения». Санкт-Петербург, 2008. Т. 2. С. 363-364.

85. Тютюнников А.И., Серпик И.Н. Разработка методики оптимального синтеза несущей системы вагона - автомобилевоза // Проблемы и перспективы развития вагоностроения: Матер, науч.- практ. конф. Брянск: БГТУ, 2004. С.18-22.

86. Тяпин А.Г. Демпфирование в модальном методе. Часть III: Парадокс с усечением коэффициентов демпфирования // Сейсмостойкое строительство. Безопасность сооружений, 2013.№ 2. С. 36-40.

87. Тяпин А.Г. Демпфирование в прямом и модальном методах. Часть II: замена материального демпфирования в сооружении рэлеевским демпфированием // Сейсмостойкое строительство. Безопасность сооружений, 2013. № 1. С.21-28.

88. Тяпин А.Г. Демпфирование в прямом и модальном методах: эффект искусственного «урезания» коэффициентов // Сейсмостойкое строительство. Безопасность сооружений, 2012. № 4. С. 29-35.

89. Физика взрыва / Под ред. Л.П. Орленко. Изд. 3-е, испр. В 2 т. Т. 1. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. 832 с.

90. Цейтлин А.И., Гусева Н.И. Статистические методы расчёта сооружений на групповые динамические воздействия. М.: Строиздат, 1979. 176 с.

91. Цейтлин А.И. К теории внутреннего трения при колебаниях упругих систем // Строительная механика и расчёт сооружений, 1975. № 2. С. 12-16

92. Цейтлин А.И. Линейная модель идеального частотно-независимого внутреннего трения // Строительная механика и расчёт сооружений, 1972. № 2.

93. Цейтлин А.И., Гусева Н.И. Статистические методы расчёта сооружений на групповые динамические воздействия. М.: Стройиздат, 1979. 175 с.

94. Шеин, А. И. Колебания стержневых систем с учетом физической и геометрической нелинейности / А. И. Шеин, А. В. Чуманов // Строительная механика и расчет сооружений. - 2020. - № 4(291). - С. 54-60. - DOI 10.37538/0039-2383.2020.4.54.60. - EDN XCXGDC.

95. Шепитько Е.С. Колебания стержней с учётом нелокального демпфирования // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений, 2016. № 5. С. 64-71.

96. D'Alembert, Jean le Rond Traité de Dynamique, dans lequel les Lois de L'Equilibre & du Mouvement des Corps sont Réduites au plus petit Nombre Possible. Paris: David L'Aîné, 1743. 228 p.

97. Dmitrieva, T. Algorithm for building structures optimization based on Lagrangian functions / T. Dmitrieva, Kh. Ulambayar // Magazine of Civil Engineering. - 2022. - No 1(109). - P. 10910. - DOI 10.34910/MCE.109.10. - EDN DEHQHE.

98. Euler L. Mechanica, sive motus scientia analytice exposita. T. 1-2. Petropoli, 1736.

99. Grebenyuk G.I., Veshkin M.S. Internal friction influence on the calculation results and rod system optimization under impulse action // В сборнике: Journal of

Physics: Conference Series. Intelligent Information Technology and Mathematical Modeling 2021 (IITMM 2021). Gelendzhik, 2021. C. 032086.

100. Hrennikoff A. Framework Method and its technique for solving plane stress problems // IABSE Publications, 1949. Vol. 9. P. 217-248.

101. Hrennikoff A. Solution of problems of elasticity by the framework method // Journal of Applied Mechanics, 1941. Vol. 8 № 4. P. 169-175.

102. Kelvin (Thomson W.) On the elasticity and viscosity of metals // Proceedings of Royal Society of London, 1865. P. 289-297.

103. Kuznetsov A.V. Nonparametric retrieval global optimization with presence of restrictions-inequalities // Abstracts The Hiird Russian-Korean International Symposium on Science and Technology. June 22-25. Novosibirsk State Technical University, 1999. P. 222.

104. Maxwell J.C. On the Dynamical Theory of Gases. Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 1867. A157, P. 49-88.

105. Potapov, A.N. About the Free-Vibration Mode Shapes of Elastoplastic Dissipative Systems / A. N. Potapov // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. - 2018. - Vol. 14. - No 3. - P. 114-125. - DOI 10.22337/2587-9618-2018-14-3-114-125. - EDN YLBERF.

106. Potapov V.D., Shepitko E.S. Computer modeling of nonlinear system vibrations with applowance for nonlocal damping // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering, 2018. Vol. 14. № 1. P. 137-144.

107. Potapov V.D. On the stability of columns under stochastic loading Taking into account nonlocal damping // Journal of Machinery Manufacture and Reliability,

2012. Vol. 41, №. 4, P. 284-290.

108. Potapov V.D. Stability of a flat arch subjected to deterministic and stochastic loads taking into account nonlocal damping // Journal of Machinery Manufacture and Reliability, 2013. Vol. 42, Issue 6, P. 450-456.

109. Potapov V.D. Stability via nonlocal continuum mechanics // Int. J. Solids Struct,

2013. Vol. 50, P. 637-641.

110. Rayleigh J. Proceedings of the Mathematical Society // Proceedings of the Mathematical Society, 1873. Vol. 4.

111. Rossikhin Yu.A., Shitikova M.V., Meza Estrada M.G. Modeling of the impact response of a beam in a viscoelastic medium // Applied Mathematical Sciences, 2016. Vol. 10, Issues 49-52. P. 2471-2481.

112. Rossikhin Yu.A., Shitikova M.V. The method of ray expansions for investigating transient wave processes in thin elastic plates and shells // Acta Mechanica, 2007. Vol. 189, Issue 1. P. 87-121.

113. Rowett F.E. Elastic hysteresis in steel // Proceedings of Royal Society, 1914. P. 528-543.

114. Zener C. Internal Friction in Solids. I. Theory of Internal Friction in Reeds // The Physical Review, 1937. Vol. 52. № 3. P. 230.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Основные публикации по теме диссертации Статьи в изданиях, входящих в перечень ВАК РФ

1. Гребенюк Г.И., Роев В.И., Яньков Е.В., Вешкин М.С., Сабуров В.С., Волков А.С. Исследование изгибных колебаний стальной балки при действии импульсных нагрузок. Сообщение 1 // Известия высших учебных заведений. Строительство, 2009. № 10 (610). С. 3-11.

2. Гребенюк Г.И., Роев В.И., Яньков Е.В., Вешкин М.С., Сабуров В.С., Волков А.С. Исследование изгибных колебаний стальной балки при действии импульсных нагрузок. Сообщение 2 // Известия высших учебных заведений. Строительство, 2010. № 1 (613). С. 120-128.

3. Гребенюк Г.И., Вешкин М.С. Дискретные модели расчета и оптимизации стержневых конструкций при импульсном нагружении // Известия Алтайского государственного университета, 2012. № 1-1 (73). С. 36-38.

4. Гребенюк Г.И., Вешкин М.С. Разработка алгоритмов численного расчёта и оптимизации стержневых систем при действии импульсных нагрузок // Вестник Томского государственного архитектурно-строительного университета, 2014. № 4 (45). С. 106-116.

5. Вешкин М.С., Гребенюк Г.И. Об использовании комплексной модели внутреннего трения в расчетах стержневых систем на импульсные воздействия // Известия высших учебных заведений. Строительство, 2019. № 5 (725). С. 5-17.

6. Гребенюк Г.И., Вешкин М.С. Расчет упругих стержневых систем на динамические воздействия с использованием модели "комплексной жесткости" для внутреннего трения в материалах // Известия высших учебных заведений. Строительство, 2020. № 5 (737). С. 18-30.

7. Гребенюк Г.И., Максак В.И., Вешкин М.С. Оценка эффективности использования обобщенных переменных проектирования в задаче оптимизации стержневых систем при импульсном нагружении // Вестник Томского

государственного архитектурно-строительного университета, 2022. Т. 24. № 2. С. 76-86.

Статьи в зарубежных изданиях, индексируемых в базах данных Scopus и Web of Science

8. Grebenyuk G.I., Veshkin M.S. Internal friction influence on the calculation results and rod system optimization under impulse action // В сборнике: Journal of Physics: Conference Series. Intelligent Information Technology and Mathematical Modeling 2021 (IITMM 2021). Gelendzhik, 2021. С. 032086.

Статьи в других печатных изданиях

9. Гребенюк Г.И., Роев В.И., Вешкин М.С. Алгоритмы численного динамического расчета стержневых систем при импульсном нагружении // Труды Новосибирского государственного архитектурно-строительного университета (Сибстрин), 1999. Т. 2. № 2. С. 28-37.

10. Гребенюк Г.И., Роев В.И., Яньков Е.В., Вешкин М.С., Волков А.С. Экспериментально-теоретическая проверка технической теории удара // Труды Новосибирского государственного архитектурно-строительного университета (Сибстрин), 2009. Т. 12. № 2. С. 25-34.

11. Гребенюк Г.И., Вешкин М.С. Расчет и оптимизация стержневых систем при импульсном нагружении // Труды Новосибирского государственного архитектурно-строительного университета (Сибстрин), 2012. Т. 15. № 1 (53). С. 68-73.

Свидетельства о регистрации программ для ЭВМ:

12. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2022619410 Российская Федерация «dinam3» : № 2022618878 : заявл. 04.05.2022 г.: опубл. 20.05.2022 г. / Вешкин М.С.; Правообладатель: Вешкин М.С.

ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Документы, подтверждающие внедрение результатов

диссертационной работы

п ¡if] ТЕХПРОМ

у[|ш инжиниринг

ООО «Техпром-Инжиниринг» 630058, Новосибирская обл., г.Новосибирск, ул.Плотинная, 2/2 Тел. [phone], e-mail: [e-mail]

АКТ ВНЕДРЕНИЯ

результатов диссертационной работы Вешкина Максима Сергеевича

Материалы диссертации Вешкина М.С. на соискание учёной степени кандидата наук «Расчёт и оптимизация упругих стержневых систем при импульсном нагружении» внедрены в работу и используются ООО «Техпром-Инжиниринг».

Разработанные методики, алгоритмы расчёта и оптимизации стержневых систем, испытывающих динамические воздействия, авторская программа «Этат», используются специалистами ООО «Техпром-Инжиниринг» для поиска рациональных решений при проектировании конструкций зданий и сооружений, подверженных динамическим, в частности импульсным нагрузкам.

Генеральный директор ООО «Техпром-Инжиниринг»

Д.Ф. Коробков

ОГРН 1165476170090, ИНН 5408012040, КПП 540801001, Р/счет 40702810801380001417, Банк — Филиал ПАО МДМ Банк, г. Новосибирск. К/счет: 30101810850040000775. БИК: 045004775. ОКВЭД: 71.11. Генеральный директор: Коробков Дмитрий Федорович, e-mail: Korobkovcfcngs.ru.

120

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ (СИБСТРИН)

ОКПО 02068976 ОГРН 1025401905484 ИНН/КПП 5405115866/540501001 Ленинградская ул., д. 113, Новосибирск 630008 Тел. [phone], факс [phone] E-mail: [e-mail]

№

Утверждаю: Проректор по учебно-штательной работе и

На №

от

жнои политике

Г

И

М.Н. Шумкова 2022 г.

СПРАВКА

о внедрении результатов диссертационной работы Вешкина Максима Сергеевича Материалы кандидатской диссертации Вешкина М.С. «Расчёт и оптимизация упругих стержневых систем при импульсном нагружении» используются в учебном процессе при чтении лекционных курсов по дисциплинам «Динамика и устойчивость сооружений», «Сейсмостойкость сооружений» при подготовке инженеров по специальности 08.05.01 «Строительство уникальных зданий и сооружений» и курса «Методы оптимизации строительных конструкций и сооружений» при подготовке кадров высшей квалификации направления 08.06.01 «Техника и технологии строительства» в ФГБОУ ВО «Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет (Сибстрин)».

Директор института строительства, канд. техн. наук

В.А. Гвоздев

ПРИЛОЖЕНИЕ 3. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ и её краткое описание

Ш€€ШШШАЖ ФВДИРАЩЖЖ

ж жжжжж

ж

сНпатЗ

Правообладатель: Вешкин Максим Сергеевич (Яи)

Автор(ы): Вешкин Максим Сергеевич (Я11)

Заявка №2022618878

Дата поступления 04 мая 2022 г.

Дата государственной регистрации в Реестре программ для ЭВМ 20 МйЯ 2022 ¿,

Руководитель Федеральной службы по интеллектуальной собственности

документ подписан'эИектроннои подписью

Сертификат б8b80077eJ.4e40f0a94edbd24145d5c7 Владелец Зубов Юрий Сергеевич

Действителен с 2ЩШ>22 по 26.05.2023

Ж Ж

ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж

жжжжж

СВИДЕТЕЛЬСТВО

о государственной регистрации программы для ЭВМ

№ 2022619410

РЕФЕРАТ ПРОГРАММЫ ДЛЯ ЭВМ

1. Автор: Вешкин Максим Сергеевич

2. Правообладатели: Вешкин Максим Сергеевич

3. Название: Dinam 3

4. Аннотация (назначение, область применения). Расчёт напряжённо-деформированного состояния упругих стержневых систем, подверженных динамическим воздействиям, при учёте внутреннего трения материала (Модель Сорокина Е.С.). Дифференциальные уравнения движения записываются в форме перемещений и ускорений узлов. Для решения линейных дифференциальных уравнений свободных колебаний используются следующие методы: метод Гаусса, метод исчерпывания. Исходные данные включают информацию о нагрузках (возможно рассмотрение статических, моногармонических, произвольных во времени, мгновенных), о топологии системы (расположение узлов и элементов, их закрепления и соединения), физико-механических характеристиках материалов элементов, количестве определяемых форм и частот собственных колебаний, временном отрезке сканирования динамического отклика и количестве точек на нём. Программный модуль позволяет определить частоты и формы собственных колебаний, получить информацию об изменении параметров напряжённо-деформированного состояния (НДС) стержневой системы на указанном отрезке времени.

Функциональные возможности программы

a) Ввод исходных данных - файловый;

b) Представление результатов в текстовом (файловом) и в графическом виде (отображение НДС системы на экране ЭВМ во времени и пространстве);

1. Тип реализующей ЭВМ (технические характеристики ЭВМ):

• IBM PC - совместимый;

• объем оперативной памяти - 1 Гб и более;

• не менее 20 Мб свободного пространства на жёстком диске.

2. Язык программирования. С++.

3. Вид и версия операционной системы. Windows 7, 8, 10

4. Объем программы (исходного текста) \ 261 Кб.