Расчет гетерогенного реактора с эффективными условиями на аксиальных границах активной зоны тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Аристархова Елена Александровна

• Аристархова Елена Александровна
• кандидат наук
• 2020

Оглавление диссертации кандидат наук Аристархова Елена Александровна

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. УРАВНЕНИЯ ГЕТЕРОГЕННОГО РЕАКТОРА С ЭФФЕКТИВНЫМИ УСЛОВИЯМИ НА АКСИАЛЬНЫХ ГРАНИЦАХ АКТИВНОЙ ЗОНЫ

1.1 Постановка задачи

1.2 Аксиальная составляющая потока нейтронов

1.3 Ортогональность функций у ^ (г)

1.4 Поддиагональные элементы матрицы г)

1.5 Граничные условия

1.6 Радиальная составляющая потока нейтронов

1.7 Общее решение

1.8 Разностное преобразование

1.9 Численный метод

ГЛАВА 2. ЭФФЕКТИВНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ ПОТОКА НЕЙТРОНОВ НА АКСИАЛЬНЫХ ГРАНИЦАХ АКТИВНОЙ ЗОНЫ

2.1 Постановка задачи

2.2 Метод расчета матриц эффективных граничных условий на аксиальных границах активной зоны

ГЛАВА 3. ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ ГЕТЕРОГЕННОГО МЕТОДА РАСЧЕТА РЕАКТОРА С ЭФФЕКТИВНЫМИ УСЛОВИЯМИ НА АКСИАЛЬНЫХ ГРАНИЦАХ АКТИВНОЙ ЗОНЫ

3.1 Код ТЯЕС

3.2 Модификация кода ТЯЕС

3.3 Программа вычисления элементов матрицы эффективных граничных условий 76 ГЛАВА 4. ВЕРИФИКАЦИЯ МЕТОДА РАСЧЕТА ГЕТЕРОГЕННОГО РЕАКТОРА С ЭФФЕКТИВНЫМИ УСЛОВИЯМИ НА АКСИАЛЬНЫХ ГРАНИЦАХ АКТИВНОЙ ЗОНЫ

4.1 Описание расчетной модели активной зоны реактора

4.2 Верификация метода расчета матриц эффективных граничных условий

4.2.1 Модель ТВС

4.2.2 Расчеты ТВС

4.2.3 Расчеты ТВС

4.3 Верификация усовершенствованного метода расчета гетерогенного реактора

4.3.1 Расчеты ТВС 1 и ТВС 2 по коду TREC

4.3.2 Полномасштабные расчеты активной зоны реактора

4.3.3 Полномасштабные расчеты с корректировкой

4.4 Анализ времени работы кода TREC

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ВВЕДЕНИЕ

На протяжении всей истории существования ядерной энергетики происходит создание новых и развитие существующих методов расчета ядерных энергетических установок.

В связи с ростом требований по обеспечению безопасности ядерной энергетики большое внимание уделяется совершенствованию расчетных методов с целью повысить точность получаемых результатов. Повышение точности расчетов достигается путем усложнения математической модели, что приводит к увеличению вычислительных затрат. В настоящее время при обосновании безопасности ядерных реакторов широко используются динамические комплексы связанных нейтронно-физических и теплогидравлических кодов, в которых проводятся трехмерные расчеты пространственного распределения энерговыделения.

Отметим некоторые комплексы связанных кодов, получившие широкое распространение.

• ATHLET/BIPR-VVER [1, 2] на базе российского нейтронно-физического кода БИПР-8 и немецкого теплогидравлического кода ATHLET. Комплекс применяется для анализа безопасности реакторов ВВЭР.

• Российские КОРСАР/ГП [3] и КОРСАР/BR [4], в которых нейтронно-физическое моделирование реактора проводится кодом КАРТА. Программные комплексы используются для обоснования безопасности легководных реакторов.

• Российский STEPAN/KOBRA [5] для анализа быстрых переходных и аварийных процессов в реакторах РБМК.

• Нейтронно-физический код PARCS [6] в связке с теплогидравлическим кодом RELAP5 [7], разработанные в США. Этот комплекс кодов широко применяется в динамических расчетах легководных реакторов, таких как PWR, BWR и ВВЭР.

• Код DYN3D [8], разработанный в HZDR (Германия), используется для моделирования переходных процессов в легководных реакторах. В состав кода входит собственный теплогидравлический модуль FLOCAL.

• Французский комплекс CRONOS2/FLICA4 [9, 10], предназначенный для полномасштабных трехмерных динамических расчетов легководных реакторов.

Во всех этих комплексах при моделировании нейтронно-физических процессов используется диффузионное приближение в сочетании с гомогенизацией ячеек. Расчеты по связанным нейтронно-физическим и теплогидравлическим кодам требуют значительных вычислительных затрат, и, как правило, большая часть времени приходится на трехмерные расчеты пространственного распределения энерговыделения. Подобные комплексы часто ориентированы на расчеты реакторов конкретного типа с возможностью использования корректирующих коэффициентов.

Загрузки современных ядерных реакторов с промежуточным спектром

и и т-\ _

нейтронов имеют сложную гетерогенную компоновку активной зоны. В ряде случаев гомогенизация отдельных элементов активной зоны таких реакторов и диффузионное приближение приводят к большим погрешностям в расчетах. Транспортные методы на "мелкой" сетке позволяют достичь высокой точности, но при этом требуют очень больших вычислительных затрат.

В настоящее время разработаны численные методы, которые позволяют достигать более высокую точность, чем диффузионное приближение, при достаточно высоком быстродействии.

Одним из таких методов является метод поверхностных гармоник, предложенный Н.И. Лалетиным [11]. Этот метод основан на построении конечно-разностных уравнений из уравнения переноса [12, 13]. Уравнение переноса нейтронов решается в небольших объемах (в ячейках, ТВС) с различными граничными условиями. Решение в каждом объеме представляется в виде линейной комбинации пробных решений с произвольными коэффициентами. Затем моменты общего решения в этих объемах приравниваются на границах между этими объемами. В результате получаются конечно-разностные уравнения для коэффициентов при пробных решениях в указанных объемах. Полученные конечно-разностные уравнения

дают решение, которое приближает решение исходного уравнения переноса с любой наперед заданной точностью. Описанный метод реализован в программных комплексах SUHAM [12] и SVS [14].

Другим методом, который позволяет достигать более высокую точность, является метод, основанный на теории гетерогенного реактора [15, 16]. Этому методу посвящена представленная работа.

Впервые гетерогенный метод был опубликован в докладах А.Д. Галанина [17, 18] и С.М. Фейнберга [19] на Первой Международной конференции по мирному использованию атомной энергии в 1955 году. Реактор рассматривался как система точечных стоков и источников, связанных функциями Грина [15]. Основная идея теории гетерогенного реактора состоит в предположении, что каждая ячейка реактора может быть охарактеризована некоторым количеством постоянных, определяемых только свойствами данной ячейки, т.е. не зависящих от свойств и расположения остальных ячеек. Это предположение позволяет разделить расчет реактора на две относительно независимые части: 1) определение постоянных, характеризующих данную ячейку; 2) определение свойств совокупности ячеек с заданными постоянными.

Гетерогенный метод изначально был предложен для расчета тяжеловодных и графитовых канальных реакторов и развивался в направлении усовершенствования анализа полиячеек, малых критических сборок и реакторов [15]. Также он применялся в разработке методов и кодов для расчета симметричных загрузок энергетических реакторов [20, 21]. Однако в течение длительного времени гетерогенный метод значительно уступал по вычислительной эффективности стандартным гомогенным диффузионным моделям и не использовался для полномасштабных расчетов больших реакторов из-за сложной структуры гетерогенных уравнений.

Интенсивное развитие гетерогенного метода началось в 1970-х годах в СССР. С.С. Городков [22, 23] предложил квазиальбедный метод преобразования гетерогенных уравнений, базирующийся на построении элементарных решений в реакторных ячейках, содержащих изломы в области замедлителя, и их сшивания исходя из требований наибольшей гладкости полного решения. Впервые была разработана гетерогенная модель, позволяющая выполнять полномасштабные расчеты реакторов с большим количеством ячеек (до 2000) и по вычислительной

эффективности не уступающая стандартным диффузионным конечно-разностным гомогенным моделям. Предложенный им подход был обобщен на трехмерный случай и реализован в программе HEM [24]. Однако вывод квазиальбедных уравнений довольно сложен и не прослеживается связь с исходными гетерогенными уравнениями.

В работах [25-27] был предложен метод прямого преобразования гетерогенных уравнений к разностной форме. Применение разностного оператора со свободными параметрами, выбираемыми из требования наилучшего уничтожения далеких членов, сразу приводит к разностным уравнениям, непосредственно связанным с исходными гетерогенными уравнениями. В работе [28] уравнения гетерогенного реактора обобщены на трехмерный случай путем разложения в ряд Фурье аксиальной составляющей потока нейтронов.

В качестве нейтронно-физических констант в гетерогенном методе вместо традиционных макроскопических сечений и коэффициентов диффузии используются матрицы эффективных условий (Л -матрицы) [29] на границах ячеек. Эти матрицы определяются из серии транспортных расчетов ячейки с различными значениями нейтронных токов на её границе и устанавливают связь между потоками и токами нейтронов на границах ячеек. Этот подход позволяет сократить число энергетических групп, необходимое для трехмерного расчета реактора. Групповые потоки нейтронов ищутся в виде суперпозиции функций Грина, являющихся решением уравнения диффузии для однородной бесконечной среды с сингулярным источником. Интенсивность источников определяется через матрицы граничных условий.

Метод решения разностных гетерогенных уравнений был реализован в коде TREC [30-34], предназначенном для трехмерного нейтронно-физического расчета реактора в монопольном и дипольном приближениях. В дальнейшем были разработаны методы [35, 36] для трехмерного моделирования переходных процессов и кампании реактора, которые реализованы в разных версиях кода BARS.

Код BARS предназначен для трехмерного нейтронно-физического расчета стационарного состояния гетерогенного реактора и моделирования кампании, ксенонового переходного процесса, а также динамики на мгновенных и запаздывающих нейтронах [36]. Одной из особенностей кода BARS является то, что

он позволяет проводить расчеты стационарных состояний и динамики реактора в потвэльном приближении [37-43].

В качестве модуля расчета пространственного распределения энерговыделения в коде BARS используется нейтронно-физический код TREC [30], который является также и самостоятельной программой для проведения расчетов стационарных состояний реактора. Код TREC выполняет расчеты эффективного коэффициента размножения нейтронов ( Кэф ), пространственного распределения потока нейтронов и

энерговыделения.

Трехмерный динамический нейтронно-физический код BARS использовался при расчетах различных типов реакторов (РБМК, ВВЭР, PWR, ПУГР). В 1995 г. стационарная версия кода BARS была аттестована для РБМК в ГАН РФ [44, 45], а в 2007 году код был аттестован для реакторов ПУГР [46, 47]. Высокая точность кода BARS при моделировании быстрых переходных процессов была подтверждена расчетами «нейтронных вспышек» в импульсном графитовом реакторе (ИГР) [48]. В работах [37-43] была подтверждена высокая точность расчетов по коду BARS и легководных реакторов с тесной решеткой. Для полномасштабного моделирования динамики реакторов код BARS был объединен с теплогидравлическими кодами RELAP5 [38, 40], КОРСАР [49], SERPENT [50] и РАСНАР [51-53]. Результаты валидации этих комплексов связанных кодов показывают, что код BARS может быть эффективно использован для стационарных и динамических расчетов реакторов различных типов [37-48].

В настоящее время код BARS широко используется для расчета стационарных состояний и моделирования кампании легководных реакторов с промежуточным спектром нейтронов в составе ПК BARST [54]. В рамках этого комплекса нейтронно-физическая база данных рассчитывается кодом UNK [55]. Код UNK решает многогрупповое уравнение переноса нейтронов в 1-D и 2-D геометриях методом вероятности столкновений. Особенностью кода является возможность учета детальной структуры сечений в резонансной области с использованием более мелкой энергетической сетки. Другой особенностью кода UNK является его геометрический модуль, позволяющий точно моделировать геометрию сложных по структуре ТВС в

2-D геометрии, что существенно в расчетах реакторов с промежуточным спектром нейтронов. Нейтронно-физические расчеты по комплексу BARST проводятся как в покассетном, так и в потвэльном приближениях [54]. Моделирование переходных процессов реакторов с промежуточным спектром нейтронов осуществляется в составе комплексов программ SERB (связка кода BARS с кодом SERPENT [50]) и БОРТ-2 (связка BARS c РАСНАР [51-53]). Эти комплексы предназначены для взаимосвязанных нейтронно-физических и теплогидравлических расчетов стационарных состояний и переходных процессов, включая аварийные, легководных реакторов с промежуточным спектром нейтронов.

Описанный выше гетерогенный метод для удобства изложения далее будем называть базовым.

Численный алгоритм кода TREC построен на итерационной схеме, в которой все параметры, характеризующие свойства ячеек и описывающие взаимосвязь аксиальных гармоник, заключены в правую часть гетерогенных уравнений. Использование такой схемы в сочетании с аксиальным разложением потока нейтронов в ряд Фурье позволяет разделить трехмерную задачу на систему двумерных задач. За счет такого разделения задачи численный алгоритм гетерогенного метода легко поддается распараллеливанию. Созданы распараллеленные версии кода BARS с использованием суперкомпьютеров [56], [57] и графических процессоров [58]. При небольшом числе гармоник (до 10) счетное время задачи растет линейно с увеличением числа гармоник. В этом случае Фурье-разложение потока нейтронов, реализованное в коде TREC, имеет значительное преимущество перед традиционными трехмерными конечно-разностными схемами. Высокая интегральная сходимость ряда Фурье обеспечивает эффективный расчет с небольшим числом гармоник интегральных параметров () и двумерного

распределения потока нейтронов, а также в рамках модели позволяет гибко учитывать сложную аксиальную геометрию ячеек и произвольные изменения в положении регулирующих стержней. Расчеты больших энергетических реакторов на тепловых нейтронах, таких как РБМК и ВВЭР, по коду BARS позволяют достичь достаточно высокую точность аксиального распределения энерговыделения с использованием 7-10 аксиальных гармоник. При расчетах с числом гармоник больше

10 основные вычислительные затраты приходятся на вычисление правой части уравнений, поэтому время счета начинает расти квадратично с увеличением числа гармоник. Гетерогенные расчеты легководных реакторов с промежуточным спектром нейтронов требуют увеличения числа аксиальных гармоник до 30-40 из-за наличия больших «всплесков» потока тепловых нейтронов в аксиальных отражателях, что значительно увеличивает счетное время.

Для того чтобы избежать прямого расчета распределения потока нейтронов в аксиальных отражателях предлагается использовать матрицы эффективных условий на границах активной зоны по аналогии с матрицами эффективных условий, задаваемых на границах между ячейками. Использование матриц эффективных граничных условий позволит сократить число аксиальных гармоник, что приведет к сокращению счетного времени при заданной точности. Актуальность применения матриц эффективных условий на аксиальных границах активной зоны, наряду с распараллеливанием, повышается при необходимости моделирования динамики реактора в реальном времени.

Для реализации предлагаемого подхода требуется решить две задачи:

• обобщить базовую гетерогенную теорию на случай, когда на аксиальных границах активной зоны задаются эффективные условия;

• разработать методику вычисления элементов матрицы эффективных условий на границе между активной зоной и многозонным отражателем.

Решению и компьютерной реализации поставленных задач посвящена данная работа.

Актуальность работы обусловлена необходимостью сокращения времени моделирования переходных процессов в ядерных реакторах с сохранением требуемой точности получаемых результатов. Актуальность работы повышается при моделировании динамики реактора в реальном времени.

Целью данной работы является разработка методов и кодов расчета гетерогенного реактора с эффективными условиями на аксиальных границах активной зоны.

Научная новизна

Получены уравнения гетерогенного реактора в дипольном приближении с эффективными условиями на аксиальных границах активной зоны, обобщающие базовую гетерогенную теорию. Разработан численный алгоритм решения гетерогенных уравнений с эффективными граничными условиями, который реализован в усовершенствованной версии кода TREC.

Предложен метод вычисления матриц эффективных условий на аксиальных границах активной зоны. Получены аналитические выражения для элементов треугольной матрицы на границе между активной зоной и многозонным отражателем в малогрупповом диффузионном приближении. Разработан алгоритм вычисления матриц эффективных граничных условий, который реализован в коде Laref.

Практическая значимость

Гетерогенный метод с использованием матриц аксиальных эффективных граничных условий позволяет значительно сократить время проведения нейтронно-физических расчетов легководных реакторов с промежуточным спектром нейтронов за счет уменьшения количества аксиальных гармоник при сохранении требуемой точности получаемых результатов. Предлагаемый подход наиболее актуален для динамических расчетов. Сокращение счетного времени особенно важно для моделирования переходных процессов в реальном времени. Кроме того, разработанная методика вычисления матриц эффективных граничных условий может быть легко использована в диффузионных кодах, реализующих традиционные сеточные методы.

На защиту выносятся:

• вывод уравнений гетерогенного реактора с эффективными условиями на аксиальных границах активной зоны;

• реализация гетерогенного метода с эффективными граничными условиями в усовершенствованной версии кода ТЯЕС;

• метод вычисления матриц эффективных условий на аксиальных границах активной зоны;

• численный алгоритм вычисления матриц эффективных граничных условий, реализованный в коде Ьаге£

• результаты верификации метода вычисления матриц эффективных граничных условий и гетерогенного метода с эффективными граничными условиями.

Личный вклад автора заключается в разработке и реализации гетерогенного метода с эффективными условиями на аксиальных границах активной зоны.

Автором лично:

• получены уравнения гетерогенного реактора в дипольном приближении с эффективными условиями на аксиальных границах активной зоны;

• создана усовершенствованная версия кода ТКЕС, в которой реализован гетерогенный метод с эффективными граничными условиями;

• получены аналитические выражения для элементов треугольной матрицы на границе между активной зоной и многозонным отражателем в малогрупповом диффузионном приближении;

• разработан алгоритм вычисления матриц эффективных граничных условий;

• создан код Ьаге^ предназначенный для расчета матриц эффективных граничных условий;

• проведена верификация разработанных методов.

Достоверность результатов работы

Достоверность результатов, полученных по разработанному гетерогенному методу с эффективными граничными условиями, подтверждена тестовыми расчетами активной зоны легководного реактора с промежуточным спектром нейтронов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Расчет гетерогенного реактора с эффективными условиями на аксиальных границах активной зоны»

Апробация работы

Результаты работы были доложены на следующих семинарах:

• XVIII школа-семинар по проблемам физики реакторов «Физические проблемы замкнутого топливного цикла» ("Волга-2014"), сентябрь 2014, Россия, Тверская обл.

• XXV научно-технический семинар по нейтронно-физическим проблемам ядерной энергетики ("Нейтроника-2014"), 21-24 октября 2014 г., Россия, Обнинск.

Публикации

По теме диссертации опубликовано 5 статей, среди которых 2 статьи в рецензируемых научных изданиях:

1. Аристархова Е.А., Малофеев В. М. Уравнения гетерогенного реактора с эффективными условиями на аксиальных границах активной зоны // Атомная энергия. - 2016. - Т. 120, вып. 3. - С. 134-138.

2. Аристархова Е.А., Малофеев В. М. Эффективные условия для плотности потока нейтронов на аксиальных границах активной зоны // ВАНТ. Сер. Физика ядерных реакторов. - 2015. - Вып. 2. - С. 20-24.

3. Аристархова Е.А. Эффективные условия на аксиальных границах активной зоны и гетерогенный расчет реактора // ВАНТ. Сер. Ядерно-реакторные константы. - 2015. - Вып. 1. - С. 16-30.

4. Аристархова Е.А. Метод гетерогенного расчета реактора с эффективными условиями на аксиальных границах активной зоны // Сборник научных

трудов XVIII семинара по проблемам физики реакторов В0ЛГА-2014, «Физические проблемы замкнутого топливного цикла». - Электронная версия (СБ). - Москва, 2014.

5. Аристархова Е.А. Эффективные условия на аксиальных границах активной зоны и гетерогенный расчет реактора // Материалы XXV научно-технического семинара НЕЙТР0НИКА-2014, «Нейтронно-физические проблемы ядерной энергетики». - Обнинск, Россия, 21-24 октября 2014 г. - С. 32-34.

Также материалы диссертации изложены в научно-техническом отчете: Разработка метода расчета матриц эффективных граничных условий на торцевых границах активной зоны. По теме: Развитие программного комплекса расчета динамики БОРТ-2. Совершенствование кодов для физических расчетов перспективных активных зон на основе метода Монте-Карло / Исполн.: Е.А. Аристархова, В.М. Малофеев - Инв. № 260-39 от 11.11.2014. - М., 2014.

Структура, объём и содержание диссертации

Диссертация состоит из введения, 4 глав основного текста, заключения, списка сокращений и списка литературы. Объем диссертационной работы составляет 130 страниц, включая 36 рисунков и 9 таблиц. Список литературы содержит 64 источника.

Глава 1 посвящена выводу уравнений гетерогенного реактора с эффективными условиями на аксиальных границах активной зоны. Матрицы эффективных условий на границах между активной зоной и многозонными отражателями задаются аналогично матрицам эффективных условий на границах между ячейками. Усовершенствованные уравнения переходят в уравнения базовой теории гетерогенного реактора, когда матрицы аксиальных граничных условий диагональны

и их элементы стремятся к бесконечности. Приведено описание общего решения уравнений гетерогенного реактора, разностного преобразования и численного метода.

В главе 2 изложен метод вычисления матриц эффективных условий на аксиальных границах активной зоны, базирующийся на решении одномерных уравнений диффузии. Представлено общее решение уравнений диффузии для всех энергетических групп, изложен вывод всех соотношений для вычисления элементов треугольной матрицы граничных условий.

В главе 3 приведено описание программной реализации гетерогенного метода с эффективными условиями на аксиальных границах активной зоны в виде усовершенствованной версии кода TREC. Описан алгоритм вычисления элементов матрицы эффективных аксиальных граничных условий, реализованный в коде Laref.

Глава 4 посвящена верификации разработанных методов на примере тестовых расчетов активной зоны легководного реактора с промежуточным спектром нейтронов. Представлены результаты расчетов двух отдельных ТВС и полномасштабного расчета активной зоны по коду TREC.

ГЛАВА 1. УРАВНЕНИЯ ГЕТЕРОГЕННОГО РЕАКТОРА С ЭФФЕКТИВНЫМИ УСЛОВИЯМИ НА АКСИАЛЬНЫХ ГРАНИЦАХ

АКТИВНОЙ ЗОНЫ

1.1 Постановка задачи

Рассмотрим реактор с ячейками, имеющими многозонную по высоте структуру, размещенными в узлах к квадратной или гексагональной решетки.

Формально будем считать, что ячейки находятся в однородной среде, в которой групповые потоки удовлетворяют системе уравнений:

-Дф% (г, I)(г, I) = ^-У-1(г, % = 1,-, ^ = 1/т*; ^ = 1/ь2, (1.1)

где т% и Ь - квадраты длины замедления и диффузии.

В дипольном приближении О-вектор потока нейтронов Ф(г, I) вблизи границы ячейки к с эквивалентным радиусом рк представим в виде:

фк (Ркп, I)=ф0( I)+(Фк (I), п),

где п - произвольный единичный двухкомпонентный вектор, Фк (I)={фк (I), Фк (I)}.

Граничные условия на поверхности ячейки к зададим в форме:

а

С („\\

аФк(г)

кФк(!) = Лк(!)Фк(!) ^к; к = Рк— г=рк , (12)

V д /

дх

а

дг

дг

где Фк (I) = {Фк (I), Фк (I), Фк (I)};

Л (I) и Лгк (I) - блочно-диагональные матрицы,

Лк(I) = {лк(I),Лк(I),Лк(I)}, Лхк(I) = {Ахк(00};

ф0(z), ф£ (z), фУ (z) - векторы монопольной и дипольных компонент потока; Л0(z), Л^(z) и А°(z) - G^G эффективные матрицы, которые формируются из физических характеристик [29], определяемых из детального многогруппового расчета изолированной ячейки.

Эффективные условия на аксиальных границах активной зоны представим в

виде:

I=х,фк(0); МI= -ХЛ(Н), (1.3)

oz oz

где и Х2 - матрицы эффективных условий для нижней и верхней границы активной

зоны соответственно, Н - высота активной зоны.

В базовой теории гетерогенного реактора [16] граничные условия (1.3) имеют следующий вид:

фк (0) = 0; фк (Н) = 0,

и, как правило, ставятся на экстраполированных границах аксиальных отражателей.

Требуется найти решение системы уравнений (1.1) с граничными условиями (1.2) и (1.3).

1.2 Аксиальная составляющая потока нейтронов

Аксиальную зависимость потока нейтронов вблизи границы представим в виде (индекс к далее опущен):

и .

ячейки к

м

ф(Г, *) = (2)фт (Г),

(1.4)

т=1

где (z)- треугольная G^G матрица;

фт (г) = {фЦ (г), фт (г), фт (г)}, фт (г) - монопольная компонента G -вектора фт (г),

фХ (г) и фу (г) - его дипольные компоненты; М - число аксиальных гармоник.

Диагональные элементы матрицы (z) представим в виде:

<(z)=sin(шmmz+5m); т=1,..., <°.

(1.5)

Параметры ©g и 8тт определим таким образом, чтобы выполнялись граничные условия:

<тт (0)=\тт ^ тт (0);

утт (н)=-*. тт ^ тт (н);

т = 1,..., о.

(1.6)

Подставив выражение (1.5) в уравнения (1.6), получим систему уравнений:

ю°, соэ 8°, = лг sin 8°,;

т т 1 т'

< со^тн+8т)=? sin(юmн+8т);

& = 1,..., О.

(1.7)

Из первого уравнения системы (1.7) найдем выражение для параметров 8тт :

<

<

ют

8 т = агс1в ^

(1.8)

Подставим выражение (1.8) во второе уравнение системы (1.7):

сОБ

т

ю8тН + аг^

со!

= БШ

1 У

ютЯ + аг^

со!

(1.9)

1 У

Разделив уравнение (1.9) на ю%т бш части, получим:

ю8тИ + аг^

ю

и проведя преобразование левой

1 у

ю

V с1в(шти) -1

с!вКИ) + ^

ю

ю

(1.10)

Проведем преобразования уравнения (1.10):

? с1в(юти) - ют=-я%% с1в(юти) -

12

(1.11)

Умножив обе части уравнения (1.11) на , запишем окончательный вид уравнения в следующем виде:

tg(юmн)=■

ют (я**+я г)

ю

%2- я я,

т 12

(1.12)

Из численного решения уравнения (1.12) находятся значения параметров (т=1,...,М).

В базовой теории гетерогенного реактора [16, 28] параметры принимают значения квадратного корня из аксиального лапласиана реактора:

2

ю

ГТ кт = т/а, =— ,т=1,...,М.

\ г Н

(1.13)

1.3 Ортогональность функций (2)

Рассмотрим функции утт (z). Т.к. функции утт (z) выражаются соотношением (1.5), для них выполняется следующее уравнение:

дут (^=-ют2^тт (4 (1.14)

Из граничных условий (1.6) вытекает:

утт (0)=^тт у тт (0);

(1.15)

утт (н)=-*, тт у тт (н).

Умножим уравнение (1.14) на утт . Затем заменим в уравнении (1.14) индекс т на п и умножим на утт (z). Проинтегрируем каждое из полученных уравнений по ъ и вычтем первое из второго:

н н

| (у тт (^^^^^^ (^ - утт (^ду тт (z) уь=(ют2 - ют2) / утт (^ у тт ((1.16)

0 0

Проведем преобразования левой части уравнения (1.16), применяя формулу интегрирования по частям. Используя граничные условия (1.15), получим:

н

| (ут (z)дутт (^ - утт (^дут (^^=

0 (1.17)

=-у тт (н)*.тту тт (н)+утт (н)*.ттутт (н) - у тт №ту тт (0)+у тт (0кту тт (0)=0

<

В силу соотношения (1.17), левая часть уравнения (1.16) обращается в ноль. Перепишем уравнение (1.16) в следующем виде:

и

(ют2 - ю2 (I)< (№=о. (1.18)

Т.к. Ф при т Ф п, то из уравнения (1.18) получаем соотношение:

и

(I) V %% (I) & =

0, т Ф п;

8п, т = п.

Таким образом, функции V %% (I) ортогональны.

Найдем выражение для параметра :

н и

Преобразуем выражение (1.20) к виду:

Используя соотношения:

V% (и) = зт(ю%и+5%); ^ (и) = соз(ш%и+5%); V%(0) = эт ; (0) = ,

(119)

Я8п = IV** № = | э1и2(ю% 2+5% уь. (1.20)

=(ю%и - эт^и + 5% )соэ(ю%и + 5%) + эт соэ )Д 2ю% ). (1.21)

о

<

о

а также граничные условия (1.6), преобразуем выражение (1.21) к следующему виду:

^ = (<2 н+к* у**2 (0)+к** у**2 (н) )/( 2).

(1.22)

В том случае, когда поток на внешних границах аксиальных отражателей равен нулю, как в базовой гетерогенной теории, параметр принимает вид [30]:

^ = Н/ 2. (1.23)

1.4 Поддиагональные элементы матрицы у(г)

Поддиагональные элементы матрицы у( г) представим в следующем виде:

( М \

у*' (г) = а*т ехр(-у!г) + д* ехр(-у? (Н-ф^у?*(г) ; * = 2,...,С; ' = 1,...,* -1. (1.24)

V 1=1 У

Первые два слагаемые в выражении (1.24) описывают экспоненциальное затухание потока нейтронов по мере удаления от аксиальных отражателей. Предполагается, что параметры у*2(* = 2,...,С) зависят от нейтронно-физических свойств активной зоны и

выбираются таким образом, чтобы обеспечивалась достаточно быстрая сходимость по гармоникам разложения (1.4). Сумма по гармоникам у**(г) в выражении (1.24) введена для того, чтобы выполнялось следующее условие ортогональности:

н

Iу*'(г)у**(г)дг = 0; * = 1,...,С; ' = 1,...,*-1. (1.25)

0

Умножим выражение (1.24) на у**(г) и проинтегрируем по г:

Н( м N н

ат |1 ехр(-ут2) + дт ехр(-у|(Н-2)) + £с®ур(г) у^ = ]<'(г)уП( (1.26)

о V I=1 У о

Используя условия ортогональности (1.19) и (1.25) из выражения (1.26) получим

соотношение для коэффициентов с

а :

т1 '

1 и

сш1=- ■^ | (ехр(-у? ^+ктт exp (-у?(и - 2))) V®(№.

0

(1.27)

Подставив соотношение (1.5) при т=1 в выражение (1.27) и учитывая, что [59]

и

| ехр(ах) эт хкх = ^^^ (а 8|п х - cos х),

(1.28)

проведем преобразование выражения (1.27):

"тI

1 и ^и

I ехР(-У ?z) •2 + 5? к - Т? I ехР (-У2(и - Ю) ^п(ю?г + 5?)к2

о

о

ш.

(у %2 + ю?2)

к>?

ехР(-У?и)

эт(о?и + 5 %) - соэ(о?и + 5 %) - ехр(-у ?и)

^ sin(ш?И + 5%) + cos(ш/?И + 5 %)

Vшf

^^ (у ?2 + ю?2)

ю.

■ — sin 5% - соэ 5% ш?

— sin 5% - соэ 5%

Vш?

Окончательное соотношение для коэффициентов с! запишем в следующем виде:

„3 "тI

ю.

8? (у ?2 +ю?2)

11 ю%

(ехр(-у ?и )э1п(ю?и + 5?) - эш 5?) +

+ ехр(-у ?и )соэ(ю?и + 5 ?) - соэ 5 ?

ю?кт

4 (э1п(ю?и + 5 ?) - ехр(-у ?и )эт 5 ?) -ю

(1.29)

Я? (у?2 +ю?2)

соэ^и + 5??) + ехр(-у ?2и) соэ 5 ?

Граничные условия (1.3) для у* (г) (^ >у) будут иметь вид:

б

у* (0) = 2х*к у т (0);

к=]

г

у'т (Н) = -2 к*куI (Н);

к=]

* = l,...,С; ] = и.^-1.

(1.30)

Подставим выражение (1.24) в граничные условия (1.30):

а:

м

-у* + у * ехр(-у * Н) + 2 С у'Г (0)

I =1

1 т

1 + д* ехр(-у*Н) +

м

Л *-1

+ 2 С*1 у**(0) +2к?укт (0);

I=1 У к=]

а

м

-у* ехр(-у* Н) + д* у * + 2 с* у* (Н)

I =1

2 т

ехр(-у* Н) + д*

м

\ *-1

2с*1 у*(Н) -2к*кут(Н).

у к=]

I=1

(1.31)

Используя граничные условия (1.6) для диагональных элементов матрицы (г), преобразуем уравнения системы (1.31) следующим образом:

а* (-у* + д* у * ехр(-у * Н)) = Х^а* (1 + д* ехр(-у * Н)) + 2 Х*к у* (0);

к=]

а

*-1

* (-у* ехр(-у* Н) + д* у *) = -Х (ехр(-у* Н) + д*) - 2 Х * у * (Н).

(1.32)

к=]

<

Вычитая из первого уравнения системы (1.32) второе, получим соотношение:

а

т

у? (- 1 + ехр(-у ?и)) + кту? (ехр(-у?и) - 1 )] = а®т [я??? ( 1 + кт ехр(-у?и)) + Я?? (ехр^и) + к?)] + £ [я ?VI (о) + Я?кVI (и)],

+

из которого найдем выражение для коэффициентов а ! :

ат = (у ? (ехр(-у?и) - 1 ) + к®т у? (ехр(-у?и) - 1 ) -Я?? ( 1 + к®т ехр(-у?и)) -

1 ?-1 (1.33)

-1 ?? (ехр(-у ?и) + к?)) х £(я?к V* (о) + Я ?к VI (и)).

Преобразуем систему уравнений (1.32) к следующему виду:

/ 4-1 2"1

? [ + кту2 ехр(-у2и) - ^ (1 + кт ехр(-у§и))] = VIШ

к=!

чП

-у?? ехр(-у 1и) + к? у? + Я?? (ехр(-у??и) + к®т )] = -£Я|кVI(и).

а

т

а

т

к=!

Разделим первое уравнение системы (1.34) на второе:

г-1

-у?+ ! ехр(-у?и) - Я??? ( 1 + к? ехр(-у?и)) £ ^^ (о)

-у?? exp(-у/?И) + ктту? +Я ?? (ех^-у^) + кт) £ ^ (и)"

к=!

Из уравнения (1.35) найдем выражение для коэффициентов к? :

ехр(-у?? и) х (у ?? - Я??) £ Я ?кVI (о) + (у ?? +Я ???) £ Я?кVкт (и)

к=! к=!

?-1 Я-1

ехр(-у?и) х (у? - Я ???) £ Я? VI (и) + (у? +Я??) £ Я ?к VI (о)

к=! к=!

(1.34)

(1.35)

(1.36)

<

Выражения (1.29), (1.33) и (1.36) определяют поддиагональные элементы матрицы у(г).

1.5 Граничные условия

Подставим разложение (1.4) функции ф(г, г) в граничное условие (1.2):

м м м - / — (_)

2 V т (г )дф* (г) = Л( г)2 ¥ * (г)Ф* (г) ~2 Ф* (г)^[ М г)

т=1

т=1

т=1

(1.37)

Используя соотношения:

С I ] Л С I С \

Л* (т (г )Ф* (г) = 2 Л*' (г) I 2 У* ( х)фЯ (г) 1-2 Ф* (г) 2 Л * (г)У* (г)

]=1

¿=1

У ]=1 V

г I ] Л * I * ^

Лг*(г)Ут(2)ф*(Г) = 2Лг*(г)I 2УЯЧХ)ФЯ(Г) 1-2Ф*(г) 2Л*(^У*(г)

'=1 V ¿=1 У ]=1 V *=]

* = 1,...,С; т = 1,...,м,

перепишем равенство (1.37) для группы g в следующем виде:

м ( § Л м

2 2 у* (х^фЯ (Г) 1=2

Я=1 V ¿=1 У Я=1

* = 1,..., С.

2 ФЯ (г)2 Л*' (2)уЯ (г) - 2 ФЯ (Г) г- 12 Л** (2)УЯ (г)^

]=1 ¿=] ]=1 -г V'=]

(1.38)

Умножим равенство (1.38) на У**(г) и проинтегрируем по г:

м I * н м С С н

2121 У* (2)у**(2((фЯ (Г) =2 2 ФЯ (Г)2/Л*' (2)уя (2)у?(2)(ь -

т=1 V '=1 0

СН

у Я=1 \_ ]=1 '=]' 0

Н

]=1 '=] 0

-2 ФЯ (г)21 - (Л** (г)у * (г)) У** (2)(Х

; * = 1,...,С.

(1.39)

Используя условия ортогональности (1.19) и (1.25), преобразуем равенство (1.39) следующим образом:

м

$?кф? (г) = £

т=1

о о и

£ ф'т (Г)£| Л ^ (I )< (I )¥?? (I )к2-

!=1 '=]' о

и

]=1 '=] о

£ ф т (г )£!^( Л2 ?г ((I)) ¥?? (^

(1.40)

; ? = 1,. .,О.

Разделим равенство (1.40) на Я? и проведем интегрирование по частям. Получим систему уравнений:

м

кфёп (г) = £

т=1

О О

£ ф1 (Г) £л ] +£ Ф1 (Г)£Л!)

. ]=1 '=] ]=1 '=]

; ? = 1,...,О; п = 1,...,М, (1.41)

где

1 и

Л ] = ^ |Л ?' (IЖ (^ ?? (

о

Л2.] = —

V о

IЛ2? (I) V] (I) V ?? (I )к! -1 д № (I) V: (I)) V ?? (I )к

(1.42)

Подставив соотношение (1.24) в выражение (1.42), преобразуем выражения для Л и Л2] к следующему виду:

(Г / \

Л?>' = ат(л 1 ?' +Л2?" )

Лпт ^? (Л1 пт + Л2пт )

а / \

Л^?' = ат ( Я?' + Л 1 ?" + Л2?" ),

пт ? пт пт пт

(1.43)

где

и

л 1?; = |Л?'(I)(ехр(-у|2) + кт ехр(-у2 (и -1)))v??(z)кz;

о

м и

Л2] =£ с] |Л ?' (I К (IV Г (I )кГ;

1=1 о

и Я

Я] =-j^(Лz?' (z)v1 (I) )v ?? (I №

(1.44)

Л 1] = ю? \ Лz?' (I) (-у ' ехр(-у'I) + к!у2 ехр (-у2 (и -1))) VI?? (I)кг, о

м и

Л 2] = £ с] jЛz?' (*)< ш„?? (z)кz.

Используя соотношения (1.5) и (1.24), перепишем выражения (1.44) в следующем виде:

Л1] = | Л^ (I) (ехр(-у|2) + к1 ехр (-у 2 (и -1))) эт^ + 5? )сЪ;

о

м и

л2] = £ с] IЛ^ (I) эт^ + 51) эЬКг + 5? )кг,

и

я] =-|э1п(ю?2 + 5?)к Л**(I) у'ехр(-у|2)-

о V V

м ^

-кту2 ехр (-у 2(и -1)) - £ стюI соэ(ю;2 + 5') ;

1=1 У У

и

Л^ 1] = ю? I Лz?' (I) (-у ' ехр(-у'I) + кту2 ехр (-у\(Я -1))) соб^ + 5*? )сЪ;

о

м и

л2/т = £ стю\ю? I Л*?'' (I) соэ(ю;2 + 51) ^(ю/г + 5? )к2.

(1.45)

о

Предположим, что ячейки реактора имеют многозонную по высоте структуру. В этом случае аксиальная зависимость физических характеристик описывается

кусочно-постоянными функциями Л*'(г) = Л* и Аг*(г) = Лzf , V = 1,...,N, где N-

число аксиальных зон.

Учитывая многозонную структуру ячеек, а также соотношения (1.28) и [59]

| ехр(ах) сов хдх = ехр(а~х) (а сов х + вт х),

проведем преобразования выражений (1.45). Введем новые обозначения:

X1'(г) = зт(ш*г + 5*)

дЯ у2ехр (-у 2(н - г)) у; ехр(-у'г)

у22+ш*2

у1 2 + ш*2

X2'(г) = ш* соз(ш*г + 5*)

дя ехр (-у2(н - г)) ехр(-у'г)

у 22+ш*2

у1 2 + ш*2

Х3*Я- (г) =

зт ((Щ -ш*)г + (51 -5*)) ^ 2 (ш; -ш* ) "

соз (5; -5*)

, ш; *шП;

2

, = ш*;

х3*Я +(г) =

зт ((ш' + ш*) г + (5; +5*))

2 (ш' + ш* )

Хг1ПЯ(г) = ш* соз(ш*г + 5*)

Хг 2] (г) = ш* 2зт(ш*г + 5П)

дЯ у22 ехр (-у 2(н - г)) у'2 ехр(-у 'г)

у22+ш*2

у1 2 + ш*2

дЯу2ехр (-у2(н - г)) у' ехр(-у[г)

у 22 + ш*2

у1 2 + ш*2

Хг3ПЯ-(г)=

зт((ш;-ш*)г + (5; -5*)) ^ 2 (ш' -ш* ) "

зт(5; -5*)

2

^ ш' = ш*

Хг 3ПЯ + ( г ) = ■

зт ((ш' + ш*) г + (5; +5*))

2 (ш +шП )

(1.46)

Используя выражения (1.46), окончательные соотношения для параметров Л1 , Л2, Лг1], Аг2и Я*' (1.45) запишем в следующем виде:

ПЯ " ПЯ " ПЯ ПЯ V / 1 ^

N

Л187' = V Л8' (у187' (г ) - у2871 (г ) - у187' (г ) + у287' (г ))•

пт / , у \Кпш\ у/ ЪптгУ у' Л* пт\ у-1/ А птг\ у-1'р у=1

N М

Л 2пт=У Л8 У с']т1 (узпт -(гу)—у3пт+(гу)—узпт -(+ узпт+()•

у=1 /=1

Я87' = У Лг8' Я81 (г ) - Я81 (г )

Япт УЛгу _Япт (гу) Япт (гу-1)

у=1

N

Лг18' = У Лг8' (угР' (г ) - уг2871 (г ) - угР' (г .) + уг281 (г .));

пт / у у у А п^ V у/ А п^ V у/ А/ п^ V у-1/ А п^ V у-1/у'

у=1

N М

Лг2пт = У Лгу8' У </ю'< (угЗ^- (^) + угЗ^ + (г) - у^- (гч_1) - у^ + (гу-1));

(1.48)

у=1 /=1

у = 1,..., N, где

I М \

Ят&) = зт(ш8г + 58) У1 ехр(-у^)-<у2ехр(-у2(Н -г))-У О/ сс^ +5/) , (1.49)

V /=1 )

^ и ^ - нижняя и верхняя границы зоны V соответственно.

Условия (1.3) переходят в нулевые граничные условия базовой гетерогенной теории, если матрицы ^, Х2 диагональны и ^88, М8 8 = 1,. ., В этом случае выражения для элементов матриц эффективных граничных условий Л(г) и Лг(г), (1.43), учитывая соотношения (1.13) и (1.23), принимают вид [30]:

Л8' (г) = Лс8' (г) - Лс8' (г) + а2пт (Агс8т + Лгс8' ),

пт V у пт- V / пт+ \ у г \ пт- пт+ 1"

где

^спт+ (2) = ~ [ Л8' (г) соб а(т + п)гсЬ,

ж ^

" 0

П/

а г _

^сптЛг) = ~ кг8\г)со?>а(т + п)гск.

77" *

0

Если ячейки реактора имеют многозонную по высоте структуру, то [31], [33]:

где

N

= \_ХптЛа^) ~ Х„т+ («VI)!

у=1

N

у=1

Хпт - (х)

(х)

-'[ж -

эт(т - п)х

(т - п)п

х

—, т = п;

п

,т Ф п;

эт(т + п) х (т + п)п

1.6 Радиальная составляющая потока нейтронов

Используя разложение (1.4) функции ф(г, I), а также выражения (1.5) и (1.24) для функций (I), запишем уравнение (1.1) для группы % в виде:

м

м

-££ < (z)лIФtя (г)+£

т=1 '=1

м

т=1

£-1 < (-у/2 exp(-у2z) - кту22 ехр (-у/(и - z)) +

'=1 v

+£«2(I) ф!(Г)+Ю? у?(^т(г) 2££<(z)ф'm(г) ^ т-1'(z)ф'm(г)

ы

2

' т V т

м

м 2-1

(1.50)

т=1 '=1

т=1 '=1

Умножим равенство (1.50) на V?? (I) и проинтегрируем по 7:

т=1 '=1 о

м ? и м?-1 и ( 2 2

-£ £ I V?(IЖ?(I^Л^т (г) + £ £ I ат I -у? ехр^у^^ - у? ехр (-у2(и - z)) +

т=1 '=1 о V

и

м 2 1 и 2

+£ сцю? V??(z) уП? (z)kzфm (г)+{ют у??(z)vn?(z)Фm (г)

1=1 У о

+

(1.51)

м ? и

м ?-1 и

£ £ IV? (z)v?? (z)kzфm (г)=^ £ £ IVт-1' (I) V?? (^т (г).

т=1 '=1 о

т=1 '=1 о

Используя условия ортогональности (1.19) и (1.25), преобразуем равенство (1.51) к следующему виду:

м 2-1

-8? Лгф ? (г)+££<

т =1 '=1

I (-у?2 ^р^у?^ - кт' у ?2 ехр (-у ?(и - z))) V??(z )kz +

+ О? 8?

7 м и

ф'т (г) + ю? Япф? (г) + £gSnф? (г) = £?-7 £ IVт-1?- (I)V2? (z)kzфs-1 (г).

т=1 о

(1.52)

Разделим равенство (1.52) на Я? и перенесем сумму по т из левой части в правую. Приведя подобные слагаемые, получим равенство:

(\ м 1 и

ю? +£?)ф?(г) = £ — IVm-1?-1(z)V??(z)kzфm-1(г) +

т=1 8п о

? _1 I и 1 I 2 2 \

+£ ат 11—(у?2 ехр(-у1 ^+ктт у!2 ехр (-У!(и - z))) V п(z)kz - с

'=1 V о 8п 4 '

?' ю? тп п

ф'т (г)

(1.53)

Введем обозначения:

а?2 =ю?2 +£2;

1 и

Ь?1 = — ^т-1?-1( z)V?? (z)kz;

8п о (1.54)

1 и

рпт=I (у?2 ехр(-у?z)+кт? у ?2 ехр (-у ?(и - z))) V ??(z)kz.

о

Подставив соотношение (1.5) в выражения (1.54), получим следующие соотношения

для параметров Ь?? 1 и р?' :

^ г г пт -Г пт

1 и

1 = — I эшК-^т"1) sin(ш?z+5? )kz;

п о

и

1 и

рпт = I (у?2 ехр(-у?^+кт у ?2 ехр (-у ?(и - z))) sin(ш?z+5? ^

о

Проведем преобразование первого выражения из соотношений (1.55). Окончательное выражение для параметра Ь 1 будет иметь следующий вид:

28?

эш ((юё-1 - ю?) и + 5ё"1 - 5?) - эт (5ё"1 - 5?)

\\ т п / т п I \ т п /

ю -1 ю

тп

т ((ю?-1 + ю?) и + 5ё"1 +5?) - эш (5ё"1 + 5?)

\ V т п * т п I \ т п I

ю ?'1 + ю?

т п

(1.56)

Применяя (1.28), проведем преобразование выражения для параметра р?'т из соотношений (1.55) следующим образом:

,?2 и

,?2 и

Рёт = ут I ехр(-у1 I )sin(ш?z+5?^ + ^ |exp (-у2 (и -1)) sln(ш?z+5? ^

8 о

8 о

ю? у?2

+

яп (у?2г;

ю/к? у?2

ехр(-у? и)

у sin(ш?И + 5?) - соэКи + 5?)

ю

V п

у

+ — б1П 5? + соэ 5?

п п п

у <

+

я?? (у 22+ю?2;

ю

у sin(ш?И + 5?) - cos(ш?И + 5?) - ехр(-у ?и)

у

—б1П5! -соэ5!

Окончательное выражение для параметра р?п'т перепишем в виде:

р8 =

.г пт

®8 у1

ьп8 (у82 + Ю2)

— (ът 58 - ехр(-у8Н) ът(ю8Н + 58)) + соъ

ехр(-у8Н )соъ(ю8Н + 5 8)

х

я8я (у 82+®82)

х

и

ю8

(ът(ю8Н + 58) - ехр(-у|И) ът 58) + ехр(-у|И) соъ 58 - соъ(ю8Н + 58)

Используя соотношения (1.54), перепишем равенство (1.53) следующим образом: ( 2\ М

(-аг + ж8 ) ф8 (г) = у

т=1

Решение системы уравнений (1.58) представим в виде:

8 М

ф8(г) = УУ АС8 V(г); п = 1,...,М; 8 = 1,...,С, (1.59)

'=1 /=1

где А' - произвольные константы;

С8 - элементы блочно-треугольной матрицы; (г) - функции Грина, удовлетворяющие уравнениям

-А 3 (г) + ж ^ (г) = 5(г); 1 = 1,..., 8; / = 1,..., М.

Подставив выражение (1.59) в уравнения (1.58), получим систему рекуррентных соотношений:

8 М М

У У Н2+жп2) Сй'(г)=У

1=1 /=1 т=1

'Ь81

-1

&8

фП

8-1

8-1

(Г) + Уа8п

'=1

(8' 81 82 2 Рпт - СтпЮп )

) фп (г)

п = 1,..., М.

(1.58)

■л-Н

1 г-1 М г-

—УУ С- (г) + У а8 (р8 -

п / ^ / 1 т/ / V / / * т пт

Ь- 1=1 /=1

М

=1

Юн Стп ) У Ст/^/ (г)

7=1 /=1

. (1.60)

из которой можно определить параметры С?

Сп1 ? 2

п I т=1

1 м

--£

г'2 £

-1г. 22-1

Я?

1 ?-1 / \ _ с2-1 + v аё ( пё - ю?2са ) с

г,?стi +£ ат (рпт юп сти ) с

1='

ё = 1,...,о;' = 1,..., ё-1; п = 1,...,м; / = 1,...,м.

При нулевых эффективных условиях на внешних границах отражателей, характерных для базовой теории гетерогенного реактора, параметры С ?' не зависят от к, я, / и выражение (1.61) принимает следующий вид [30]:

С?'

-? -1

-С2-1; С?? = 1;

? = 1,...,О;' = ?-1.

1.7 Общее решение

Решение (159), (1.61) уравнений (1.58) описывает вклад отдельной произвольной ячейки реактора в общий баланс нейтронов. Общее решение для реактора в целом строится в виде суперпозиции решений с использованием теоремы сложения цилиндрических функций [60]. В матричном виде в дипольном приближении это решение можно представить в виде [25]:

ф = С(К + ПОЛ, (1.62)

где ф - вектор коэффициентов разложения монопольной и дипольных компонент групповых потоков на границе ячеек размерности 3

С - блочная треугольная матрица из элементов С? размерностиMxGxK; К и I - диагональные матрицы, элементами которых являются функции Бесселя

Ко, К1,1о, 11 :

К = (Шё{К0(я К^я ^пр\ К^я

ё т ,к

I = diag{/0(я 8тр), 11(я ёт тР), Л(я ёт тР)};

ё,т, к

g = 1,...,С; т = 1,...,М; к = 1,...,К; F - блочно-диагональная матрица размерности 3

Г00 Г0 х Г0 у

Г X0 Г XX г ^

Г у0 Г Г ^

Г =

составленная из функций Грина;

А - вектор произвольных постоянных размерности 3 xM^G^K.

(1.63)

Запишем граничное условие (1.41) в матричном виде:

dф = Лф,

(1.64)

где Л - блочная матрица размерности 3 x■Mx■Gx■K: Л = diag |Л° + Лг, Лd, Л( |. Общее решение (1.62) подставим в граничное условие (1.64):

Cd (К + №)А = Лф. (1.65)

Проведем преобразование множителя d(К + из левой части равенства (1.65):

d(К + №) = dK + (II 1 (№ + К - К) = (К - dlI К + dII^С-1С(К + №).

Используя выражение для вронскиана функций Бесселя [60]:

(к - (II 1К = -1 \

запишем окончательное выражение для множителя ((К + IF)

d(K + IF) = -I 1 + da CCK + IF). (1.66)

Подставим выражение (1.66) в равенство (1.65):

-CI -1A + Cdtr C- 1C(K + IF)A = Лф. (1.67)

Учитывая вид решения (1.62), перепишем равенство (1.67) в следующем виде:

-CI-1A + CdII- 1C- 1ф = Лф. (1.68)

Предположим, что между матрицами A и ф существует линейное соотношение,

и .

задаваемое матрицей у :

A = уф. (1.69)

Подставим соотношение (1.69) в равенство (1.68):

-CI-1уф + CdII C- 1ф = Лф. (1.70)

Из равенства (1.70) получим следующее соотношение между матрицами у и Л :

-CI-1y + CdII-1C-1 = Л. (1.71)

Умножив левую и правую части равенства (1.71) сначала на -C-1, затем на I, найдем выражение для матрицы у :

у = -IC Ч + dIC"\ (1.72)

Учитывая соотношение (1.69), перепишем решение (1.62) в следующем виде:

ф = С(К + Ш)уф.

(1.73)

К уравнениям (173) нужно добавить краевое условие. Уравнения гетерогенного реактора сформулированы для бесконечного замедлителя. Конечный размер реактора в радиальном направлении можно приближенно учесть следующим образом. Дополним реактор фиктивными ячейками (нулевого радиуса и с нулевым значением физических характеристик), сохраняя регулярность решетки, так чтобы граница полученной расчетной области (ломаная линия) приближенно описывала форму внешней границы.

Пусть к - множество узлов решетки, примыкающих к границе реактора, а +1 - соседние с к^ узлы, расположенные за пределом расчетной области. Введем краевое условие вида:

В целях устранения "дальнодействия" матрицы F (1.63) проведем разностное преобразование второго уравнения из системы (1.74), как это сделано в работах [16] и [25]. Для этого выделим в этом уравнении явно монопольную и дипольные составляющие и перепишем его в виде системы:

Фк, +1 = Ьфк я,

где Ь - вектор, состоящий из монопольной и дипольных компонент.

1.8 Разностное преобразование

Перепишем соотношение (1.73) в виде системы уравнений:

N = С-^-1ф; N = (I-1К + .

(1.74)

N0 = Б0 у0 N° + F00 у0 N° + F0 х y1N х + F0 у y1N у; Nх = Б1^х + F х 0 у0 № + F ~ y1Nх + F ^ y1Nу; N у = Б1y1Nу + F у 0 у0 № + F ух у^ х + F ^ у^ у;

Б = I "К ,

где N - преобразованный вектор потока нейтронов,

У - диагональная матрица физических характеристик реактора, Б - матрица, которая описывает влияние ячеек самих на себя (диагональная по энергетическим группам и гармоникам), Р - матрица, которая описывает влияние ячеек друг на друга.

Элементы диагональных по g и т (£=1,...,0; т=1,...,М) блоков

Г 00 тл0 х тл0 у тлх0 тлхх т?ху тт,>'0 17 ух ТЛУУ „

, г , г , г , г , г , г , г , г матрицы р равны:

Р«, 00 = Р 1 1,

Р

т,1,к К0(ж шГ\,к );

-ВДЪ )

«,0 х

Р«,0у =-К «г )

1 т,1,к "Лат 1,к /

х\,к + ОУ\,к

Ох\,к + У\,к

1 к

Р«, х 0

т,\,к

Р«; у° = 2 К (ж «Пь) —;

тЛ,к 1 V т I,к / '

;2К1(г«1\;к) ^;

М ;к

У\;к

т,\,к

Р« ;ХУ т,!,к

Р«; Ух т,\,к

Р«; УУ т,\,к

ж г..

т I ,к

К1(ж'яг1М) - 2 К 2«г,к

Х\;к ^Х\;к + У\

Х\; к Х\; к +0У\,к

г г

"2К 2 (ж «г, к) "2К 2(жтгl; к)

г г

У\; к Х\; к +^У\, к

г г

Ч,к Ч,к

2 У, ^ Ох.. + у,,

К^^) - 2К 2(ж «г, к) - к \;к Уи

ж «г..

т \, к

гг

Чк Чк

(1.76)

где г,к = г\,к > г\,к = гк " г\

О = (вх,в ) равно нулю в прямоугольной геометрии и ^ - в гексагональной;

Хк и - компоненты вектора г|к.

Если г в матрице F (1.76) заменить на произвольный вектор г, то при г Ф гк будут справедливы следующие выражения:

(А -ж2)р°°(г,гк) = 0; (Аг -ж2)Р0х(г,гкг) = 0; (А -ж2)р>,гк) = 0; (А„ - ж2)Г0 (г,г) = 0; (А„ - ж2)(г,гк) = 0; (А - ж2)Г-(г,гк) = 0; (Аг - ж2)0(г,гк) = 0; (Аг - ж2)(г,гк) = 0; (А - ж2)(г,гк) = 0;

ж = (шё{я1}.

Введем диагональный по g и т разностный оператор Р, связывающий соседние ячейки и аппроксимирующий дифференциальный оператор - Аг + ж2 на сетке, совпадающей с узлами решетки. Построим его так, чтобы приближенно выполнялись следующие соотношения:

РГ00 = к00 ■ РГ0 х = к0 х ■ рг 0 у = к0 у ■

РГХ0 = кХ0; РГ« = к«; РГ^ = к^; (1.77)

ргу0 = я^0; ргух = кух; ргуу = куу

где Я00, Я0Х, Я0у, ЯХ0, Я™, Я^, Яу0, Ях, Яууу - диагональные по g и т матрицы, связывающие соседние ячейки.

Подействовав операторами Р и Я (1.77) на обе части уравнений системы (1.75), придем к следующей системе разностных уравнений:

<

Р№ = ( РБ0 + Я00) у0 N° + R0 х у^х + R0 у y1N у; PNх =( РБ1 + Я ~) y1Nх + RХ 0 у 0№ + RХу y1N у; р№ = ( РБ1 + Я ^) у^ у + R у 0 у 0№ + R ух y1NХ.

(1.78)

Вывод элементов разностных операторов приведен в работе [32].

Стоит ещё раз отметить, что полученные уравнения гетерогенного реактора с эффективными условиями (1.3) на аксиальных границах переходят в уравнения базовой теории гетерогенного реактора, представленные в работах [31-33], если матрицы и Х2 диагональны и X^,X^да, g = 1,...,О.

1.9 Численный метод

Приведем описание численного метода решения уравнений гетерогенного реактора, изложенного ранее в работах [30-33].

Представим систему уравнений (1.78) в матричном виде:

Р^ = Оу( Кэф N = {№; N *; N};

" Р 0 0" РБ0 + к00 к0 * к0 >

Р = 0 Р 0 ; О = к *0 РБ1 + К ** к ^

0 0 Р к >0 К ** РБ1 + к ^

Матрица Q описывает влияние ячеек друг на друга. В матрицу у введен параметр Кэф, пропорциональный числу вторичных нейтронов на деление. Структура матрицы у и её зависимость от Кэф подробно описаны в работах [29] и [31].

Для численного решения уравнения (1.79) воспользуемся нелинейным итерационным процессом, в котором значение К уточняется через заданное число

внешних итераций на собственное значение. Итерационная схема вычисления главного собственного числа при фиксированном значении К имеет вид:

ОУ (К эф

X," -X; Nу," N

= — Оу(Кф,й"1;

КЭф ^ Кэф; N ^ N,

где ] - номер цикла внешних итераций; п - номер внешней итерации в цикле; Ху,и - текущее значение главного собственного числа.

Уточнение Кэф проводится исходя из условия равенства единице главного собственного значения через заданное число и0 внешних итераций:

Л(Кэф) -1 = 0. (1.81)

Численно уравнение (181) решается с помощью метода Ньютона, итерационная схема которого имеет вид:

X-1 -1 Кз = КУ-1 +—_- •

эф 'эф дХ-1/дК'

,-1 (1.82)

дХ Х-Х

дК Кф - К^ф1

Для вычисления производной в (1.82) используется метод секущих.

Для ускорения внешних итераций (1.80) применяется двухчленный чебышевский метод. Число внешних итераций и0 выбирается в соответствии с длиной цикла чебышевского ускорения. Обычно и0 полагается равным 6. Число итераций в первом цикле, как правило, увеличивается за счет нескольких дополнительных простых итераций без чебышевского ускорения. Кроме и0 задаются

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Аристархова Елена Александровна, 2020 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Langenbuch, S. Development of Coupled Systems of 3D Neutronics and Fluid-Dynamic System Codes and Their Application for Safety Analysis / Langenbuch S., Velkov K., Kliem S., Rohde U., Lizorkin M., Hegyi G., Kereszturi A. // EUROSAFE-2000. - Paris, November, 2000.

2. Лизоркин, М.П. Расчетное моделирование нейтронно-физических и сопряженных физико-теплогидравлических процессов в реакторах ВВЭР: автореф. дис. на соискание ученой степени канд. техн. наук: 05.14.03 / Лизоркин Михаил Петрович. -М., 2007.

3. Программный комплекс КОРСАР/ГП, аттестационный паспорт программного средства. - Колл. авт. М. : НТЦ ЯРБ. - 2009. - № 263 от 23.09.2009.

4. Филин, Р.Д. Программный комплекс КОРСАР/BR для расчетов в обоснование безопасности реакторов блочной и интегральной компоновки и реакторов типа ВВЭР / Филин Р.Д., Мигров Ю.А., Коротаев В.Г., Артемов В.Г., Артемова Л.М., Бенедиктов Д.В., Пискарев А.В., Шемаев Ю.П., Гудошников А.Н. // Технологии обеспечения жизненного цикла ядерных энергетических установок. - ФГУП «НИТИ им. А. П. Александрова» - 2015. - Номер 2 (2). - С. 6-14.

5. Отчёт РНЦ КИ: Отчёт по программе STEPAN/KOBRA для анализа аварий в РБМК / Исполн.: Краюшкин А.В., Бабайцев В.Н., Глембоцкий А.В. и др. - Инв. № 3302/30. - М., 2002.

6. Joo, H. PARCS: A multidimensional two-group reactor kinetics code based on the nonlinear analytical nodal method / H. Joo, D. Barber, G. Jiang and T. Downar // Purdue University, School of Nuclear Engineering. - July 2002.

7. RELAP5/MOD3.2 Code Manual. - NUREG/CR-5535. - INEL-95/0174, 1995.

8. Grundmann, U. DYN3D Version 3.2, Code for Calculation of Transient in Light Water Reactors (LWR) with Hexagonal or Quadratic Fuel Elements. Description of Models and Methods / Grundmann U., Rohde U., Mittag S., Kleim S // Report FZR-434. - Rossendorf, Germany, 2005.

9. Magnaud, F. Resolution of the neutron trasport equation in CRONOS code. - Tech. rep. CEA report 12353. - 1994.

10. Toumi, I. FLICA4: A Three-dimensional Two-phase Flow Computer Code with Advanced Numerical Methods for Nuclear Applications / I. Toumi, A. Bergeron, D. Gallo, E. Royer, D. Caruge // Nuclear Engineering and Design, 200. - 2000. - P. 139-155.

11. Лалетин, Н.И. Об уравнениях гетерогенного реактора // ВАНТ. Сер. Физика и техника ядерных реакторов. - 1981. - Вып. 5(18). - C. 31-46.

12. Бояринов, В. Ф. Реализация трехмерных уравнений метода поверхностных гармоник в комплексе программ SUHAM-3D // ВАНТ. Сер. Физика ядерных реакторов. - 2009. - Вып. 3. - C. 44-56.

13. Ковалишин, А.А. Основные принципы метода поверхностных гармоник. Плоская геометрия // ВАНТ. Сер. Физика ядерных реакторов. - 2010. - Вып. 1. - C. 13-22.

14. Ковалишин, А.А. Алгоритмы и программные комплексы для расчетного анализа ядерных реакторов на основе эффективных методов решения уравнения переноса: автореф. дис. на соискание ученой степени д-ра физ.-мат. наук: 05.13.18 / Ковалишин Алексей Анатольевич. - М., 2011.

15. Галанин, А.Д. Теория гетерогенного реактора. - М.: Атомиздат, 1971.

16. Кочуров, Б.П. Численные методы в теории гетерогенного реактора. - М.: Атомиздат, 1980.

17. Галанин, А.Д. Вычисление коэффициента теплового использования в гетерогенном реакторе // Доклады советской делегации на международной конференции по мирному использованию атомной энергии. Женева 1955. Реакторостроение и теория реакторов. - Издательство Академии Наук СССР, М., 1955. - С. 236-250.

18. Галанин, А.Д. Критический размер гетерогенного реактора с малым числом блоков // Доклады советской делегации на международной конференции по мирному использованию атомной энергии. Женева 1955. Реакторостроение и теория реакторов. - Издательство Академии Наук СССР, М., 1955. - С. 191-198.

19. Фейнберг, С.М. Гетерогенные методы расчета реакторов. Обзор результатов и сравнение с экспериментом // Доклады советской делегации на международной конференции по мирному использованию атомной энергии. Женева 1955. Реакторостроение и теория реакторов. - Издательство Академии Наук СССР, М., 1955. - С. 152-190.

20. Lugou, J. Three-Dimensioanl Theory of Heterogeneous Reactors. / J. Lugou, C.Magnot // Three-Dimensioanl Theory of Heterogeneous Reactors. Nucl. Sci. Eng. - 1964.

- Vol.19. - P.58.

21. Кочуров, Б.П. О расчетах гетерогенного реактора в дипольном приближении. -Препринт ИТЭФ-141. - М., 1976.

22. Городков, С.С. Новый метод расчета гетерогенных реакторов. - Препринт ИАЭ-2251. - М., 1973.

23. Городков, С.С. Дальнейшее развитие квазиальбедного метода расчета гетерогенных реакторов. - Препринт ИАЭ. - 2502. - М., 1975.

24. Городков, С. С. Аннотация программы "НЕМ-3" // Вопросы атомной науки и техники. Сер. Физика и техника ядерных реакторов: научно-технический сборник. -М.,1984. - Т. 8(45). - С. 40-42.

25. Кочуров, Б.П. Разностный подход к решению уравнений гетерогенного реактора / Кочуров Б.П., Малофеев В.М. // Атомная энергия. - 1977. - Т. 42, Вып. 2. - С. 87-90.

26. Kochurov, B. A Difference Approach to the Solution of Heterogeneous Reactor Equations / B. Kochurov and V. Malofeev // Annals of Nuclear Energy. - 1977. - Vol.4. -P.21.

27. Кочуров, Б.П. Метод решения разностных уравнений гетерогенного реактора / Кочуров Б.П., Малофеев В.М. - Препринт ИТЭФ-74. - М., 1977.

28. Кочуров, Б.П. О трехмерных расчетах гетерогенного реактора / Кочуров Б.П., Малофеев В.М. // Атомная энергия. - 1980. - Т. 48, вып. 6. - С. 387-388.

29. Кварацхели, А.Ю. Метод вычисление физических характеристик ячейки гетерогенного реактора / Кварацхели А.Ю., Кочуров Б.П. // Атомная энергия. - 1985.

- Т. 58, вып. 2. - С. 183-191.

30. Малофеев, В.М. TREC - программа трехмерного расчета большого гетерогенного реактора // ВАНТ. Сер. Физика и техника ядерных реакторов. - 1985. - Вып. 4. - С.29-32.

31. Малофеев, В.М. Алгоритм и программы трехмерного расчета гетерогенного реактора (программы TREC и TREC6). - Препринт ИТЭФ-34. - М., 1985.

32. Малофеев, В.М. Метод трехмерного расчета гетерогенного реактора в дипольном приближении. - Препринт ИТЭФ 87-73. - М., ЦНИИатоминформ, 1987.

33. Малофеев, В.М. TRECD - программа трехмерного расчета гетерогенного реактора в дипольном приближении. - Препринт ИТЭФ 88-164. - М., ЦНИИатоминформ, 1988.

34. Малофеев, В.М. О трехмерных расчетах подкритического гетерогенного реактора с источником нейтронов // Атомная энергия. - 1985. - Т. 59, вып. 6. - С. 440-442.

35. Малофеев, В.М. Метод трехмерного моделирования выгорания и ксенонового переходного процесса в гетерогенном реакторе с учетом теплогидравлики (программа BARS). - Препринт ИТЭФ-111. - М., 1991.

36. Аввакумов, А.В. Трехмерное моделирование переходных процессов на запаздывающих нейтронах в гетерогенном реакторе / Аввакумов А.В., Малофеев В.М. // Атомная энергия. - 1991. - Т. 70, вып. 1. - С. 8-12.

37. Научно-технический отчет ИПБ РНЦ КИ: Усовершенствованная трехмерная потвэльная нейтронно-физическая модель для анализа реактивностных аварий в легководных реакторах: особенности, преимущества и валидация / Исполн.: А.В. Аввакумов, В.М. Малофеев. - Инв.№ 90-12/1-8-97. - М., 1997.

38. Отчет ИПБ РНЦ КИ: Потвэльное полномасштабное моделирование реактивностных аварий с выбросом регулирующего стержня в реакторе ВВЭР-1000 / Исполн.: А.В. Аввакумов, В.М. Малофеев, C.C. Пылев, В.С. Сидоров. - № 90-12/1-3397. - М., 1997.

39. Avvakumov, A. Validation of an Advanced Heterogeneous Model for LWR Detailed Pin-by-Pin Calculations / A. Avvakumov, V. Malofeev // International Conference on the Physics of Nuclear Science and Technology. - October 5-8, 1998, Long Island, New York. - Vol. 2. - P. 1068-1075.

40. Diamond, D.J. Intercomparison of results for a PWR rod ejection accident / D.J. Diamond, A. Aronson, J. Jo, A. Avvakumov, V. Malofeev, V. Sidorov, P. Ferraresi, C. Gouin, S. Aniel, M.E. Royer // Nuclear Engineering and Design. - 1 September 2001. -Vol. 208. - P. 181-189.

41. Akimushkin, S. Validation of a Pin-by-pin Heterogeneous Method Against LWR MOX Benchmarks / Akimushkin S., Avvakumov A., Malofeev V. et. al. // Proc. of the International Conference on the New Frontiers of Nuclear Technology: Reactor Physics, Safety and High-performance Computing (PHYSOR 2002). - Korea, October 2002.

42. Аристархова, Е.А. Детальный нейтронно-физический расчет плавучего энергоблока гетерогенным методом / Е.А. Аристархова, В.М. Малофеев // Материалы XVI семинара по проблемам физики реакторов, 3 - 7 сентября 2010 г. - М.: НИЯУ МИФИ, 2010. - С. 52-55

43. Аристархова, Е.А. Детальный нейтронно-физический расчет плавучего энергоблока гетерогенным методом. - Инв. № 34-21/16-10 от 30.09.2010. - М., 2010.

44. Отчет ИПБ РНЦ КИ: Верификация программного пакета BARS/COTT для трехмерного нейтронно-теплогидравлического расчета РБМК / Исполн.: Аввакумов А.В., Востриков М.А., Малофеев В.М., Мендусов В.Ф., Сидоров В.С., Хренников Н.Н. - № от-07/93. - 1994.

45. Программа BARS/COTT с библиотекой констант. Аттестационный паспорт программного средства № 63 от 21.12.1995.

46. Верификационный отчёт ИПБ РНЦ КИ: Программный комплекс BARS для трёхмерного нейтронно-теплогидравлического расчёта реактора ПУГР / Акимушкин С.В., Малофеев В.М., Сидоров В.С. - Инв. №91-10/12 от 15.04.1999. - М., 1999.

47. Программный комплекс BARS. Аттестационный паспорт программного средства № 225 от 23.05.2007.

48. Отчет ИПБ РНЦ КИ: Моделирование динамики регулируемого импульса в реакторе ИГР / Исполн.: А.В. Аввакумов, В.М. Малофеев. - № 90/1-17-95 - 1995.

49. Василенко, В.А. Опыт создания и основные характеристики теплогидравлического расчетного программнового поколения КОРСАР / В.А. Василенко, Ю.А. Мигров, С.Н. Волкова, Ю.В. Юдов и др. // Теплоэнергетика. -МАИК «Наука/Интерпериодика». - М., 2002. - № 11.

50. Отчёт о НИР РНЦ КИ: Математическое описание кода SERPENT / Устинов B.C., Ганжинов A.M., Жуков Ю.М. и др. - Pen № 31/1-435-99. - М., 1999.

51. Отчет о научно-исследовательской работе: Программный комплекс РАСНАР-BARS (описание применения) / Исполн.: В.М. Малофеев, В.С. Сидоров, А.В. Аввакумов, Е.А. Аристархова. - Инв. № 34-21/8-09 от 29.09.2009. - М., 2009.

52. Отчет о научно-исследовательской работе (промежуточный) по теме: Разработка программного комплекса связанного расчета теплогидравлических и нейтронно-физических процессов на базе кодов РАСНАР-2 и BARS / Исполн.: А.В. Аввакумов,

Е.А. Аристархова, В.М. Малофеев, В.С. Сидоров. - № 34-21/4-10 от 10.06.2010. - М., 2010.

53. Отчет о научно-исследовательской работе: Отладка программного комплекса связанного расчета теплогидравлических и нейтронно-физических процессов на базе кодов РАСНАР-2 и BARS / Исполн.: А.В. Аввакумов, Е.А. Аристархова, В.М. Малофеев, В.С. Сидоров. - № 34-21/17-10 от 11.11.2010. - М., 2010.

54. Верификационный отчет: Подготовка верификационных материалов кода BARST/ Исполн.: А.В. Аввакумов, Е.А. Аристархова, А.П. Гасай, В.Д. Давиденко, Т.Ю. Карпушкин, В.М. Малофеев, В.С. Сидоров, В.Ф. Цибульский. - Инв. № 214-21/22-12 от 09.11.2012. - М., 2012.

55. Белоусов, Н.И. Программа UNK для детального расчета спектра нейтронов в ячейке ядерного реактора / Н.И. Белоусов, В.Д. Давиденко, В.Ф. Цибульский. -Препринт ИАЭ-6083/4, РНЦ "Курчатовский Институт". - М., 1998.

56. Техническая справка: Разработка ускоренных методов решения уравнений ПК РАСНАР-БАРС, формирование вариантов создания параллельных версий комплекса / Исполн.: А.В. Аввакумов, Е.А. Аристархова, С.А. Горемыкин, В.М. Малофеев, В.С. Сидоров. - Инв. № 34-21/9-11 от 01.12.2011. - М., 2011.

57. Отчет о НИР: Создание распараллеленной версии блока нейтронно-физической части программного комплекса БОРТ-2 с обеспечением его работы в ОС WINDOWS и LINUX / Исполн.: В.М. Малофеев, В.С. Сидоров, А.В. Аввакумов, А.П. Гасай, С.А. Горемыкин, В.А. Пальшин - Инв. № 260-45/47-13 от 28.10.2013. - М., 2013.

58. Малофеев, В.М. Распараллеливание гетерогенного расчета реактора на графическом процессоре / В.М. Малофеев, В.А. Пальшин // ВАНТ. Сер. Физика ядерных реакторов. - 2015. - Вып. 1. - C.4-10

59. Двайт, Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. -Издательство «Наука», М., 1978.

60. Градштейн, И.С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / Градштейн И. С., Рыжик И.М. - М., Физматгиз, 1962.

61. Шишков, Л.К. Методы решения диффузионных уравнений двумерного ядерного реактора. - М., Атомиздат 1976.

62. Техническая справка: Разработка модернизированного кода BARST для связки с кодом ВЫМПЕЛ, кроссверификация кода с кодами НОРКА и UNK / Исполн.: А.В.

Аввакумов, Е.А. Аристархова, А.П. Гасай, Т.Ю. Карпушкин, В.М. Малофеев. - Инв. № 214-21/6-12 от 26.06.2012. - М., 2012.

63. Научно-технический отчет о научно-исследовательской работе: Доработка программы LVM для расчета Л-матриц в формате кода BARS из констант программы ВЫМПЕЛ, зависящих от выгорания, температуры и плотности теплоносителя в ТК и МКП, температуры топлива и отравления Xe. Инструкция для пользователя программы LVMb / Исполн.: А.В. Аввакумов, Е.А. Аристархова, В.М. Малофеев. -Инв. № 108-81 вн-15 от 09.11.2015. - М., 2015.

64. Программный комплекс ВЫМПЕЛ-РТПАК_02. Описание применения. - ОКБМ, РНЦ КИ. - Инв. № 11051/07от (по учету ОКБМ). - 2007.