Радикалы решеточно упорядоченных колец тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Шавгулидзе, Наталия Евгеньевна

• Шавгулидзе, Наталия Евгеньевна
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Шавгулидзе, Наталия Евгеньевна

1 Предварительные сведения об /-кольцах

1.1 Определение и свойства решеточно упорядоченных колец.

1.2 ¿-гомоморфизм.

1.3 ¿-идеал.

1.4 Теоремы об изоморфизме.

1.5 Пересечение и сумма /-идеалов.

1.6 /-идеал, порожденный подмножеством.

2 /-первичный и /-полупервичный правые /-идеалы

2.1 Правый /-первичный /-идеал.

2.2 Правый /-полупервичный /-идеал.

3 Радикал /-кольца

3.1 Радикал /-кольца и односторонние /-идеалы.

3.2 /-Аннулятор.

3.3 Специальный класс /-колец.

4 Примеры специальных радикалов

4.1 Класс /-первичных /-колец

4.2 Класс /-колец без положительных делителей нуля.

5 Радикалы и /-модули

5.1 Специальный класс /-модулей.

5.2 Связь со специальным классом /-колец.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Радикалы решеточно упорядоченных колец»

Начало общей теории радикалов колец было положено Курошем и Амицуром в 1953 году. В своей работе [8] А. Г. Курош ввел основные понятия теории радикалов, а также указал основные методы их построения; им были описаны характеристики радикальных и полупростых классов, построение нижнего и верхнего радикала, порожденного данным классом колец (алгебр). Монография В. А. Андрунакиевича и Ю. М. Рябухина [4] подвела итог общей теории радикалов в 80-х годах.

Теория радикалов помогает понять строение колец (алгебр) с помощью разбиения на полупростые и радикальные, которые уже проще описать. В XX веке было найдено большое число радикалов, которые нашли многочисленные применения в разных областях современной теории колец.

Важную роль в теории ассоциативных колец играет лемма Андерсона-Дивинского-Сулинского (см. [17]), которая говорит о том, что радикал идеала кольца Я является идеалом кольца Я.

В работе В. А. Андрунакиевича, А. В. Андрунакиевича (см. [5]) радикал кольца представляется в виде пересечения односторонних идеалов, для каждого из которых выполнено условие: факторкольцо по наибольшему идеалу, содержаще t муся в данном правом идеале, является полупростым. Там же наднильпотент-ный радикал кольца представляется в виде пересечения правых полупервичных идеалов с тем же условием.

В работе В. А. Андрунакиевича [1] из класса наднильпотентных радикалов выделен класс специальных радикалов, которому принадлежит значительная часть известных радикалов. В работе В. А. Андрунакиевича [2] появляется понятие первичного модуля для характеризации первичного радикала.

В. А. Андрунакиевич, Ю. М. Рябухин [3] показали, что с помощью первичных модулей можно охарактеризовать специальные радикалы. Они определяют специальный класс модулей и показывают, что он задает радикал и что он связан со специальным классом колец. Если задан специальный класс колец, то специальный радикал кольца Я представляется в виде пересечения ан нуля торов Д-модулей из соответствующего специального класса модулей. Приводятся примеры специальных классов модулей, в том числе класс всех первичных модулей.

Плодотворной оказалась идея распространить теорию радикалов на реше-точпо упорядоченные кольца (¿-кольца), что видно на примере исследований, проведенных в работах А. В. Михалева и М. А. Шаталовой.

М. А. Шаталова в работе [15] вводит понятия /-первичного и /-полупервичного /-идеала решеточно упорядоченного кольца (/-кольца) и определяет радикал в классе /-колец аналогично тому, как он был определен Курошем для колец. В этой работе М'. А. Шаталова изучает два радикала, определенные в классе решеточно упорядоченных колец: Л-радикал и /-радикал, и показывает их связь между собой.

В работе [16] М. А. Шаталова вводит поиятие специального класса решеточно упорядоченных колец, аналогичное определению В. А. Андрунакиевича для колец. М. А. Шаталова показывает, что специальными классами являются класс всех /-первичных /-колец, класс всех /-первичных /-колец без локально нильпотентных /-идеалов, класс /-колец, не содержащих строго положительных делителей нуля, класс подпрямо неразложимых/-колец с /-идемпотентной сердцевиной.

А. В. Михалев и М. А. Шаталова в работе [10] изучили первичный радикал в классе решеточно упорядоченных колец, определенный как пересечение всех /-первичных /-идеалов; доказали, что он совпадает с множеством элементов /кольца, модуль которых принадлежит первичному радикалу, определенному в классе всех колец (равному пересечению всех первичных идеалов). А также ими было доказано, что он совпадает с пересечением минимальных /-первичных /идеалов и со множеством всех строго /-нильпотентных элементов. В работах А. В. Михалева и М. А. Шаталовой [11] и [12] содержится целый ряд интересных результатов в области упорядоченных модулей.

Представляет интерес дальнейшее развитие теории радикалов в классе /колец, что приводит к необходимости решения следующих задач:

1) Получить характеризацию радикалов в классе /-колец с помощью односторонних /-идеалов. В связи с этим изучить свойства односторонних /-идеалов.

2) Охарактеризовать специальные радикалы с помощью односторонних /идеалов.

3) Изучить свойства решеточно упорядоченных модулей и получить характеризацию специальных радикалов с помощью аннуляторов решеточно упорядоченных модулей.

Диссертационная работа изложена на 74 страницах и состоит из введения и пяти частей. Библиография включает 22 наименования. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Шавгулидзе, Наталия Евгеньевна, 2009 год

1. Андрунакиевич В.А. Первичные модули и радикал Бэра // Сиб. мат. журн., т.2, номер 6, стр.801-806, 1961

2. Андрунакиевич В.А., Рябухин Ю.М. Специальные модули и специальные радикалы // ДАН СССР т. 147, стр.1274-1277, 1962

3. Андрунакиевич В.А., Рябухин Ю.М. Радикалы алгебр и структурная теория, Москва, Наука, 1979

4. Андрунакиевич В.А., Андрунакиевич A.B. Односторонние идеалы и радикалы колец // ДАН СССР, т.259 стр.11-15, 1981

5. Биркгоф Г. Теория решеток, Москва, Мир, 1984

6. Копытов В.М. Решетонно упорядоченные группы, Москва, Наука, 1984

7. Курош А.Г. Радикалы колец и алгебр // Матем. сб., 33, номер 1, стр. 13-26, 1953

8. Ламбек И. Кольца и модули, Москва, Мир, 1971

9. Михалев A.B., Шаталова М.А. Первичный радикал решеточно упорядоченных колец // Сборник работ по алгебре, Москва, Изд-во МГУ, стр.178-184, 1989

10. Михалев A.B., Шаталова М.А. Проективные и свободные упорядоченные модули // Матем. заметки, 11, номер 1, стр. 41-52, 1972

11. Михалев A.B., Шаталова М.А. Свободные упорядоченные модули // Матем. заметки, 12, номер 4, стр. 477-487, 1972

12. Салавова К. Радикалы колец с инволюцией 1 // Comment. Math. Univ. Carolinae, п.18, pp. 367-381, 1977

13. Фукс Jl. Частично упорядоченные алгебраические системы, Москва, Наука, 1965

14. Шаталова М.А. и lj-колъца // Сибирский математический журнал, т.7, N°6, стр.13831389, 1966

15. Шаталова М.А. К теории радикалов в структурно упорядоченных кольцах // Математические заметки, т.4, N-Q, стр.639-648, 1968

16. Anderson Т., Divinsky N., Sulinski A. Hereditary radicals in associative and alternative rings // Canadian Journal of Mathematics, Vol 17, pp. 594-603, 1965

17. Arnautov V.l. Properties of one-sided ideals of topologocal rings // Buletinul Academiei de §tiin$e a Republicii Moldova, Matematica, n.l(60), pp. 3-14, 2006

18. Bigard A., Keimel K., Wolfenstein S. Groups et anneaux reticules, Berlin; Heidelberg; N.Y.: Springer-Verlag, 1977

19. Birkhoff G., Pierce R.S. Lattice-ordered rings // An. Acad. Brasil. Ci., 28, pp. 41-69, 1956

20. Johnson D.G. A structure theory for a class of lattice ordered rings // Acta Math, 104 n.2, pp.163-215, 1960

21. Steinberg S.A. Lattice-ordered rings and modules // Ph. D. Thesis, Urbana, Illinois, 1970Публикации по теме диссертации

22. Шавгулидзе Н.Е. Радикалы 1-колец и односторонние I-идеалы // Фунд. и прикл. матем. 2008. 14, вып. 8. 233-245.

23. Шавгулидзе Н.Е. Специальные классы 1-колец и лемма Андерсона-Дивинского-Сулинского // Вестник МГУ, 2010. №■2, 42-44.

24. Шавгулидзе Н.Е. Специальные классы 1-колец // Фунд. и прикл. матем. 2009. 15, вып. 1. 157-173.9