R-матричный формализм в дифференциальной геометрии квантовых групп и в интегрируемых моделях математической физики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.03, доктор наук Пятов Павел Николаевич

• Пятов Павел Николаевич
• доктор наук
• 2020

Оглавление диссертации доктор наук Пятов Павел Николаевич

Оглавление

Введение

1. Квантовые матричные алгебры

2. Структура характеристической подалгебры и аналог

теоремы Гамильтона-Кэли

3. Квантование дифференциальных операторов на

линейных группах

4. Эволюция д-деформированного изотропного волчка

5. Квантование дифференциального исчисления на

линейных группах

6. Спектральное расширение и антиинволюция для

алгебр дифференциального исчисления

7. Факторизованное представление для решений квантовых уравнений Книжника-Замолодчикова

8. Основные результаты и публикации

9. Дальнейшее развитие и приложения 42-44 Список литературы

Приложение А. Статья 1. 'Characteristic relations for quantum matrices'.

Приложение В. Статья 2. 'The differential calculus on quantum linear groups'.

Приложение С. Статья 3. 'Hecke Symmetries and Characteristic Relations on Reflection Equation Algebras'.

Приложение D. Статья 4. 'On quantum matrix algebras satisfying the Cayley-Hamilton-Newton identities'.

Приложение E. Статья 5. 'Raise and Peel Models of fluctuating interfaces and combinatorics of Pascal's hexagon'.

Приложение F. Статья 6. 'Density profiles in the raise and peel model with and without a wall. Physics and combinatorics'.

Приложение G. Статья 7. 'Spectral extension of the quantum group cotangent bundle'.

Приложение H. Статья 8. 'Punctured plane partitions and theq-deformed Knizhnik Zamolodchikov and Hirota equations'.

Приложение I. Статья 9. 'Factorised solutions of Temperley-Lieb qKZ equations on a segment'.

Приложение J. Статья 10. 'On the construction of unitary quantum group differential calculus'.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «R-матричный формализм в дифференциальной геометрии квантовых групп и в интегрируемых моделях математической физики»

Введение

Настоящая диссертация посвящена приложениям И-матричного формализма в теории квантовых матричных алгебр, построениии д-аналогов дифференциально-геометрических конструкций для квантовых линейных групп и в изучении некоторых интегрируемых стохастических процессов и моделей квантовой механики. Под И-матричным формализмом мы понимаем технику, основанную на использовании Н-ми тричных представлений группы кос, а в нашем случае, более конкретно, алгебр Гекке, в построении и изучении разнообразных структур на квантовых многообразиях и в рассмотрении мат-физических моделей.

Представим кратко содержание диссертации.

Первый и второй разделы работы посвящены определению и выяснению структурных свойств семейства квантовых матричных алгебр. В разделе 1 мы даем краткое описание применяемой в дальнейшем Н-ми тричнои техники и даем определение квантовой матричной (КМ-) алгебры типа ОЬ(п). В разделе 2 вводится коммутативная характеристическая подалгебра КМ-алгебры, определяются наборы порождающих ее элементов и предъявляются соотношения между ними — соотношения Ньютона. Затем, формулируется основная структурная теорема о КМ-алгебрах типа СЬ{п) — д-аналог теоремы Гамильтона-Кэли.

В третьем и четвертом разделах мы изучаем гейзенбергов дубль над квантовой линейной группой. Этот дубль является квантованием алгебры дифференциальных операторов на группе. Он строится как специальное смэш-произведение двух замечательных КМ-алгебр: КГТ-алгебры и алгебры уравнения отражений. В разделе 3 дано определение гейзенберговых дублейОЬ(п) и БЬ(п) типов, с использованием теоремы Гамильтона-Кэли строится их спектральное расширение, и, в качестве попутного результата, получаются 2 серии динамических Н-ми трип линейного типа. Раздел 4 посвящен исследованию замечательной серии автоморфизмов гейзенбергова дубля. Эти автоморфизмы были введены в рассмотрение Л.Фаддеевым и А.Антоновым и проинтерпретированы ими как операоры дискретной по времени эволюции модели деформированного волчка Эйлера. Мы вычисляем оператор эволюции этого волчка.

Разделы 5 и 6 посвящены построению дифференциального исчисления на линейных квантовых группах. Алгебра дифференциального исчисления порождается четырьмя матрицами генераторов: матрицей генераторов КГТ-

алгебры квантованных функций на группе; парой матриц генераторов двух алгебр уравнения отражений, играющих роль базисов лево- и право-инвариантных производных Ли; и матрицей базисных 1-форм на группе, порождающих квантовую внешнюю алгебру дифференциальных форм. В разделе 5 дается определение таких алгебр типов GL (и) и SL(n) и строится отображение внешней производной. В разделе 6 строится спектральное расширение алгебр дифференциального исчисления; изучаются три серии замечательных автоморфизмов на этих алгебрах, обобщающих автоморфизмы раздела 4; а затем, с использованием этих автоморфизмов строится анти-инволюция унитарного типа для алгебр дифференциального исчисления.

В седьмом разделе работы R-матричный формализм применяется в построении факторизованных формул для двух серий решений квантового уравнения Книжника-Замолодчикова. Эти решения имеют отношение к модели интегрируемого стохастического процесса Raise and Peel, введенного в рассмотрение Я. де Гиром, Б.Ниенхойсом, П.Пирсом и В.Риттенбергом с целью физической интерпретации открытых А.Разумовым и Ю.Строгановым комбинаторных свойств спиновой цепочки XXZ, проявляющихся в ее нефизическом режиме.

Небольшие исторические введения предпосланы каждому тематическому блоку диссертации. Во введении к первому разделу кратко излагается история изучения квантовых матричных алгебр. В начале третьего раздела обсуждается история гейзенбергова дубля. В предисловии к пятому разделу описывается история и обсуждаются проблемы построения дифференциального исчисления на квантовых группах. Во введении к седьмому разделу излагается история квантовых уравнений Книжника-Замолодчикова и их применения к модели Raise-and Peel. Наши исторические заметки не претендуют на полноту обзора всего круга вопросов по каждой из этих обширных тем. Мы упоминаем, в первую очередь, исследования, повлиявшие на исследования в данной диссертации.

В восьмом и девятом разделах диссертации представлены список результатов, выносимых на защиту, и список представляемых к защите статей.

В заключительном десятом разделе мы перечисляем недавние продвижения в направлении исследований диссертационной работы и обсуждаем перспективные направления дальнейших исследований.

1 Квантовые матричные алгебры

С самого создания ленинградской школой математической физики квантового метода обратной задачи рассеяния (КМОЗ) в его формализме просматривались неявно конструкции теории квантовых ГруПп. Их открытие принадлежит В. Дринфельду [D1],

R-матричпый формализм в теории квантовых групп активно развивался с конца 80-х годов в приложении к квантовым интегрируемым моделям и в исследованиях по некоммутативной геометрии квантовых ГруПп. Помимо изначально присутствоваших в формализме КМОЗ, так называемых, RTT-алгебр, — квантованных алгебр функций на группах Ли [FRT], важную роль в развитии теории и приложений квантовых групп сыграло еще одно замечательное семейство алгебр, порождаемых матричными компонентами: алгебры уравнения отражений [Chi, KS]. При значительных различиях в структуре и в теории представлений этих двух семейств в их исследовании возникают общие конструкции (квантовый след, квантовый детерминант, q-обобщения соотношений Ньютона и теоремы Гамильтона-Кэли), роднящие их с классическими матричными алгебрами (см. [EOW, NT, PS, Zh]). Поэтому естественным шагом стало объединенние этих двух семейств в едином семействе квантовых матричных (КМ-) алгебр, предложенное независимо и из разных соображений в работах [Н, ЮР1]. Структурная теория этих алгебр станет предметом нашего изучения в этом и следующем разделах.

Квантовые матричные алгебры — семейство ассоциативных алгебр с единицей, порождаемых набором матричных компонент {Mj}ij=1, удовлетворяющих квадратичным соотношениям специального вида. Эти соотношения задаются с использованием, так называемых, R-матричных представлений группы кос и определяют правила перестановки генераторов Mj. Именно типические свойства R-матричных представлений позволяют доказывать структурные результаты о КМ-алгебрах. Они определяют конкретный вид тождеств Гамильтона-Кэли и структуру характеристических подалгебр в КМ-алгебрах.

Мы начнем с краткого обзора R-матричных представлений группы кос, относящихся к типу геккевских. Такие представления применяются в построении семейств КМ-алгебр линейных типов: GL(n), SL(n), GL(n|m). Первые два семейства будут основными объектами изучения в этом разделе.

Рассмотрим конечномерное с-линейное пространство V, dim V = N. Зафиксировав в нем базис {vj}j=1, мы отождествляем oneраторыХ £ End(V<n)

с матрицами л, 1, 2 , .

«/ 1*) 2 '''«/ П

Для всякого X € Еп^У®т) и для люб ого г > 1 обозначим символом X € End(V®п), п > г + т — 1, оператор, матрица которого имеет вид

(X' )к1".кп _ у" к1 ...к1-\ хк»...к»+т-1 I кг+т ...кп

Здесь и далее символом I обозначается тождественный оператор. Оператор Я € Ли^У®2), для которого выполнено сотношение

Я1 Я2 Я1 _ Я2 Я1 Я2, (1-2)

называется Я-матрицей.

Оператор перестановки Р € Ли^У«2): Р(и«V«и V€ V является И-матрицей. Если Я — Я-матрица, то и Я-1 является И-матрицей.

Всякая И-матрица Я порождает серию представлений рд ГруПП кос вп

рд : Вп ^ Ли^®п) , дг ^ Я, 1 < г < п — 1. (1.3)

Здесь символами д^ обозначены артиновы генераторы группы кос.

И-матрица называется косо обратимой, если существует оператор Фя € End(V®2), такой что

Тг(2)Я12ФД23 _ Тг(2)ФД 12Я23 _ Р13 . (1-4)

В записи этой формулы мы используем обозначение Х, указывающее явно порядковые номера пространств V, в которых оператор X действует не тождественно (например, Р13 _ Р„1/22)- Символом Тг^ здесь и далее мы

г

Для косо обратимой И-матрицы Я определим оператор Ря € Епd(V)

А, 1 _ ТГ(2)ФД 12. (1.5)

Я называется строго косо обратимой, если Ря обратима. Если Я-матрица Я строго косо обратима, то Я-1 тоже строго косо обратима [Си], причем

№-1)—1 __Тг(1)^

я 12.

Косо обратимой И-матрице Я сопоставим с-липейпое отображение Тгд : End(V) « W ^ ^ ^^ ^^^^^анства ихи матриц, с компонентами принадлежащими с-линейному прострапству в пространство W

Тгд(М) _ Е1к=АкМк V М € End(V) « W. (1.6)

Это отображение называется К-следом. Нетрудно убедиться, что перестановка Р строго косо обратима, а ТгР совпадает с обычным следом. Характеристическим свойством И-следа является соотношение

Тгд (2) Яl = II. (1.7)

И-матрнца Я, чей минимальный многочлен является квадратичным, называется геккевской. С помощью масштабного преобразования минимальный многочлен такой И-матрицы всегда можно привести к виду

(Я - qI)(Я + д-11) =0, (1.8)

где q £ с\{0} - отличный от нуля комплексный параметр.

И-матричные представления (1.3), порождаемые геккевскими И-матрпцами, являются представлениями алгебр Ивахори-Гекке Нп^), чьи артиновы генераторы gг удовлетворяют квадратичным условиям (д^ — q1)(gг + q-11) = 0 -соотношениям Гекке. В алгебрахможно задать набор, так называемых, бакстеризованных генераторов

дг(х) = 1 + —гдг, х £ с\{0}, г = 1,...,п — 1, (1.9)

для которых выполняются соотношения

дг(х) дг+1(ху) &М = дг+1(у) дг (ху) gг+l(x), (1.10)

дг(х)дг(х—!) = \ " ' 1, (1.11)

именуемые, соответственно, уравнениями Янга-Бакстера и соотношениями унитарности. Бакстеризованные элементы играют важную роль в теории представлений алгебр Ивахори-Гекке. В частности, с их помощью задаются рекуррентные выражения для пары примитивных центральных идемпотен-тов a(n),s(n) £ НпМ Р, Су]:

a

(1) = 5(1) = 1,

a(г+1) = a(г) gг(q—2г) ^ 5(г+1) = ^ 5(г) ^2г) 5(г) Vг > 1, (1.12) д.a(n) = a(n)gj = —q—1a(n), д5й(п) = s(n)g] = qs(n) Vj : 1 < j < П — 1.

Здесь ^ = — q—'г)/^ — q—1) — стандартное обозначение для q-чиceл. Во избежание сингулярностей при определении a(n), s(n) мы полагаем

= 0 V г : 2 < г < п. (1.13)

Определение 1.1. Строго косообратимая геккевская R-матрица R называется R-матрицей типа GL(n), если в порождаемом ей представлении pR выполнены условия

гапкрд(а(г)) > 0 Vi = 1,...,n, рд(a(n+1)) = 0. (1.14)

Как показано в [Gu], для R-матриц типа GL(n) верно соотношение

rank pR(a(n)) = 1.

Это позволяет вводить понятие q-определителя в квантовых матричных алгебрах, связанных с такими R-матрицами (см. ниже).

Серия R-матриц Дринфельда-Джимбо

N

R(DJ) = ^ qjEjk < Ekj + (q - q-1) ^ Ej < Ekk, (1.15) j,k=1 j<k

где (Ejk)[" := $jm $kh j, k, m, l = 1,..., N, - базис матричных единиц, является наиболее известным, но далеко не единственным примером R-матриц типа GL(n). В данном при мере n = dim V = N, по, вообще говоря, это

GL(n)

многопараметрические обобщения R-матриц (1.15) [R1], семейство R-матриц Креммера-Жерве [CG, 10] и др.

Упорядоченная пара {R, F} R-матриц R и F называется совместной R-матричной парой, если выполняются соотношения

Ri F2 Fi = F2 Fi R2, R2 Fi F2 = Fi F2 Ri, (1.16)

Равенства (1.16) называются соотношениями твиста. Пары R-матриц {R, P} {R, R}

{R, F}

поставлять квантовые матричные алгебры M(R, F). Для их определения нам потребуется свободная ассоциативная алгебра W = с(1,Мд), порождаемая единицей и компонентами NXN матрицы M = ЦМ^Ц^ь^. Мы также будем использовать i-копии марицы М: М^, i > 1, задаваемые рекуррептпо

F

Мт := Mi, М, := Fi_iM^F-\ Vi> 1. (1.17)

В частном случае F = P i-коппн оператора М G End(V) < W совпадают с его обычными копиями (1.1): М^ = М^.

Определение 1.2. [Н, 10Р1]. Пусть {R, F} — совместная пара строго ко-сообратимых R-матриц. Фактор-алгебра свободной алгебры W = c(1,Mk); a, b = 1,... , N; no двустороннему идеалу, порождаемому соотношениями

RiMtM2 = MtM2RI, (1.18)

называется квантовой матричной (КМ-) алгеброй и обозначаетсяM(R, F).

В случае, если R - геккевская R-матрица (R-матрица типа GL(n)j7 соответствующая алгебра M(R, F) называется геккевской КМ-алгеброй (КМ-алгеброй типа GL(n)j.

В алгебре M(R, F) для всех ¿-копий матрицы генераторов M выполняются соотношения [IOP1]

R^MM+i = MiMi+TRi, V i > 1, (1.19)

причем при различных значениях индексах соотношения (1.19) эквивалентны.

Пожалуй, наиболее важными примерами квантовых матричных алгебр,

{R, P} {R, R}

Паре {R, P} отвечает, так называемая, RTT-алгебра [Dl, FRT], Обычно матрицу ее генераторов обозначают символом T. Соотношения (1.18) в данном случае принимают вид

R1T1T2 = T1T2R1. (1.20)

{R, R}

дем обозначать матрицу генераторов этой алгебры символом L. Соотношения (1.18) для генераторов этой алгебры можно переписать в виде

R1L1R1L1 = L1R1L1R1.

Оба эти семейства КМ-алгебр играют важную роль в построении и изучении интегрируемых моделей математической физики. Оба семейства обладают дополнительными алгебраическими структурами. Нам будет в дальнейшем важна геометрическая трактовка этих алгебр: в случае R = R(DJ) RTT-алгебра интерпретируется как алгебра квантованных функций на группе GL(n), алгебра уравнения отражений представляется квантованием алгебры право-инвариантных дифференциальных операторов waGL(n). Применение этих алгебр в построении дифференциального исчисления на квнто-вых группах мы обсудим разделах 3 и 5. В следующем разделе мы сформулируем общие для всех КМ-алгебр GL(n) типа структурные результаты.

2 Структура характеристической подалгебры и q-аналог теоремы Гамильтона-Кэли

Рассмотрим в КМ-алгебре M(R, F) линейную оболочку единицы и всех элементов вида

ch(x(k)) := TrR (i ...fc) (рд (x(k)) MT M2 ...Mk) V k > 1, (2.1)

где x(k) — произвольный элемент групповой алгебры c[Bk]. Будем обозначать это подпространство символом C(R, F).

Утверждение 2.1. C(R, F) является абелевой подалгеброй КМ-алгебры M(R,F). Мы будем называть эту подалгебру характеристической.

Характеристическая подалгебра алгебры уравнения отражений принадлежит ее цетру: C (R, R) С z[M(R, R)].

Примечания.

• Абелевость характеристических подалгебр RTT-алгебр была впервые отмечена в работе [Mai], где проверялась коммутативность элементов C (R, P ), называемых степенными суммами (см. ниже). Полное доказательство абелевости для произвольных КМ-алгебр приведено в [ЮР1].

•

отражений доказывалась в [D2, R2] с использованием конструкции квазитреугольных алгебр Хопфа. В формализме КМ-алгебр доказательство центральности приведено в [1Р2].

При изучении умножения в характеристических алгебрах рассматриваются следующие наборы элементов.

Степенные суммы p^ i > 0:

p0 := TrR(1 )1 (=q-n[n]qi В GL(n) случае), pT(M) := TrR(M),

Pk (M ) := TrR (i ...fc) (Rk-i ...R2R1 MtM2 ...Mk) , k = 2,3,.... (2.2)

При рассмотрении КМ-алгебр геккевского типа также используются элементарные симметрические многочлены e^ i > 0:

eo := 1,

ek(M) := TrR(i...fc) ((рд(a(k)) MtMj ... M*) , k = 1, 2,.... (2.3)

При этом для корректности определения на параметр q накладываются ограничения q : [i]q = 0 Vi = 2,..., k. Отметим, что в КМ-алгебрах типа GL(n) число нетривиальных элементов e^ конечно: en+ = 0 Vi > 0.

В дальнейшем мы будем указывать аргумент в обозначении степенных сумм и элементарных симметрических многочленов лишь в случаях, когда его отсутствие может вызвать путаницу (см., например, утверждение 3.2).

Утверждение 2.2. Характеристическая подалгебра геккевской КМ-алгебры порождается набором степенных сумм {pi} >0. При у слов ии [i]q = 0 Vi > 27 она также порождается набором элементарных симметрических многочленов Эти два набора генераторов связаны между собой q-анало-гами соотношений Ньютона

k-i

^(-qУ егр^-г = (-1)k-1 [k]q ek V k > 0. (2.4)

¿=0

Представление набора генераторов {M^}а,ь=1,...,м КМ-алгебры в виде матрицы позволяет не только компактным образом записывать соотношения на них (1.18). Важной особенностью КМ-алгебр является наличие аналога теоре-

M

M

Матрица

(Mk)i = TrR(2...k) (Rk-i ...R2R1 MtM2...Mk), k = 2,3,... (2.5)

kM M(R, F). Мы используем надчеркнутый символ k в определении (2.5), чтобы исключить возможную путаницу с обозначением обычной матричной степени MК По определению полагаем M1 = M, M0 = I.

Для матриц L генераторов алгебр уравнения отражений M(R, R) (1.21) понятия надчеркнутой и обычной матричных степеней совпадают: Lk = Lk.

Надчеркнутую матричную степень, как и обычную, можно представить в виде последовательного применения бинарной ассоциативной операции * к парам матриц

M*N = M • 0(N), (2.6)

где ф - линейное преобразование вида

0(N)i = Тгд(2) (N2R12), (2.7)

а символом "•" обозначена операция обычного произведения матриц. Отображение ф задается по совместной таре строго косообратимых Л-матриц {Л, Р} и является обратимым [ОР].

Эквивалентной формой определения (2.5) является

Мк = М*М (2.8)

4

к раз

при этом ассоциативность операции * приводит к аддитивности процедуры возведения в надчеркнутую степень

Мк = Мк+7.

Теорема 2.3. (д-аналог теоремы Гамильтона-Кэли).

Для матрицы М генераторов КМ-алгебры типа СЬ(п) выполняется характеристическое тождество

п

^ Мп-1 ег = 0 . (2.9)

¿=0

Примечания.

• Соотношения Ньютона для алгебр уравнения отражений были выведены в статьях [РБ, СР81], их обогцение на случай произвольной геккевской КМ-алгебры доказано в [ЮР1]. Отметим, что определение КМ-алгебры использовавшееся в [ЮР1], отличается от приведенного выше. Эквивалентность этих определений доказывается в [ЮР2].

ных с Л-матрицей Дринфельда-Джимбо (1.15), были доказаны в [ЫТ]. Обобщение на случай произвольных алгебр уравнения отражений типа СЬ(п) представлено в [СР81], а на случай произвольной КМ-алгебры типа СЬ(п) в [ЮР1]. Ранее варианты тождеств Гамильтона-Кэли для некоторых примеров КГТ-алгебр обсуждались в [ЕО\¥].

•

ней) рассматривалось иное обобщение теоремы Гамильтона-Кэли на случай некоммутативных ассоциативных алгебр. В этом подходе вводится понятие квазидетерминанта, позволяющее строить аналоги формул и утверждений классической теории матриц для наиболее общего семейства алгебр порождаемых матричными компонентами. При этом не

используются R-матрицы и не накладываются специфические квадратичные соотношения на матричные генераторы (1.18). Для построения матричных степеней применяется классическое определение матричного умножения; скалярные коэффициенты характеристического тождества заменяются диагональными матрицами, причем компоненты этих матриц являются не многочленами, а рациональными функциями генераторов алгебры. Такую цену приходится заплатить за большую общность рассмотрения. В частном случае алгебр уравнения отражений, отвечающих R-матрице Дринфельда-Джимбо (1.15), характеристические тождества Гельфанда, Ретаха и соавторов совпадают с (2.9), однако для КМ-алгебр общего вида связи характеристических тождеств в двух подходах не просматривается.

Из теоремы 2.3 следует, что необходимым и достаточным условием обратимости матрицы генераторов КМ-алгебры типа GL(n) как по отношению к обычному матричному умножению, так и по отношению к умножению * (2.6), является обратимость элемента en. В алгебрах M(R, F) тип a GL(n) с элементом en связывают понятие квантового определителя матрицы генераторов M (см. ниже).

Рассмотрим факторизацию КМ-алгебры GL(n) типа по соотношению вида en ~ 1. Такая факторизация приводит к контролируемому и интересному результату в случае, если элемент en принадлежит центру КМ-алгебры. В алгебрах уравнения отражений условие центральности en выполнено всегда. В RTT-алгебрах условия центральности квантового определителя описываются следующим утверждением.

Утверждение 2.4. [Gu] В RTT-алгебре (1.20) munaGL(n) для квантового определителя en и матрицы генераторов алгебры T выполняются соотношения

Руководствуясь этим результатом, мы можем выделить подкласс НТТ-алгебр типа 5Х(п).

(2.10)

(2.11)

Определение 2.5. Рассмотрим RTT-алгебру M(R, P) типа GL(n). Квантовым определителем матрицы ее генераторов T называется элемент1

detR T := Tr (i...n) (рд(а(п)) T1T2 ...Tn) = en(T), (2.12)

Предположим, что задающая ее R-матрица R такова, что соответствующая матрица OR (2.11) скалярна. В таком случае квантовый определитель принадлежит, центру алгебры, и фактор-алгебра M(R, P) по соотношению detRT = 1 называется RTT-алгеброй типа SL(n).

Важным сврйством RTT-алгебр типа SL(n) является обратимость матрицы генераторов T или, иными словами, наличие отображения антипода T ^ T-1 : TT-1 = T-1 T = /, которое превращает ее в алгебру Хопфа (см. [FRT]). Явное выражение для T-1 дается формулой

(T-1)1 = qn(n-1) [n]q Тгд (2,...,„) (T2 ...Tn рд(а(п))) . (2.13)

Хорошо известными примерами RTT-алгебр THnaSL(n) являются квантованные алгебры функций на группах SL(n) [FRT], в построении которых используются R-матрицы Дринфельда-Джимбо (1.15), удовлетворяющие условиям определения (2.5). Заметим однако, что для многопараметрических R-матриц типа GL(n) [R1] условия определения (2.5), как правило, не выполняются.

В следующем разделе мы займемся исследованием структуры гейзенбер-гова дубля (определение см. ниже) над RTT-алгебрами THnaSL(n).

3 Квантование дифференциальных операторов на линейных группах

Гейзенбергов дубль над квантовой группой был введен веден в рассмотрение в начале 90-х годов прошлого века в работах М.Семенова-1Тян-Шанского и др. [S, AFI, SWZ2], С алгебраической точки зрения он является смэш-произведением квантованной универсальной обертывающей алгебры и двойственной ей алгебры Хопфа (см. [Моп]). В дифференциально-геометрической интерпретации гейзенбергов дубль представляет из себя квантование алгебры дифференциальных операторов на группе Ли или, иначе, квантование

1 Нормировочный коэффициент в определении элемента detR T выбирается так, чтобы он был групповым относительно операции коумножения A(Tj) = TL ® T"-

алгебры функций на кокасательном расслоении группы Ли. Поскольку ко-касательные расслоения групп Ли являются естественными фазовыми пространствами при формулировке классических интегрируемых моделей, стоит ожидать, что гейзенбергов дубль сыграет аналогичную роль в теории квантовых интегрируемых систем.

В этом разделе мы занимаемся изучением структуры гейзенбергова дубля над RTT-алгеброй типа SL(n). Мы строим его спектральное расширение и вводим в спектрально расширенном дубле новый набор генераторов. Вычисление перестановочных соотношений для этих генераторов дает новый способ построения динамических R-матриц GL(n) типа, как известной серии, так и ранее не встречавшейся. В следующем разделе с использованием новых генераторов мы решим задачу построения оператора эволюции квантовой модели q-деформированного изотропного волчка [AFI, AF2],

Определение 3.1. Рассмотрим пару КМ-алгсбр, ассоциируемых со строго косообратимой R-матрицей R: RTT-алгебру M(R, P), порождаемую матрицей генераторов T с соотношениями (1.20), и алгебру уравнения отражений M(R, R), порождаемую матрицей генераторов L с соотношениями (1.21). Гейзенберговым дублем этих алгебр называется алгебра, генераторами которой выступают компоненты матриц T и L, удовлетворяющие, помимо (1.20) и (1.21), еще и перестановочным соотношениям (3.3) между компонентами T и L. Для удобства запишем все соотношения вместе:

Для этой алгебры в дальнейшем используется обозначение НР7(Л).

Алгебра (Л) называется гейзенберговым дублем геккевского типа (типа СЬ(п)), если используемая в ее построении R-мampuцaR относится к геккевскому типу (типу СЬ(п)у).

Для построения 5Х(п) редукции этой алгебры рассмотрим перестановочные соотношения элементов еп(Т) и еп(Ь).

Утверждение 3.2. [1Р2]. В гейзенберговом дублеНР1 (Л) т,и,па, СЬ(п) выполняются соотношения

RiT^ = T1T2R1, R1L1R1L1 = L1R1L1R1, R1L1R1T1 = y2 T1L2, где 7 G {с\0} .

1l1 R1L1

(3.1)

(3.2)

(3.3)

Le„(T) = q-2y2n e„(T) (O*)-1 LO*, Te„ (L) = q 2y-2n e„(L) T.

(3.4)

(3.5)

Определение 3.3. Рассмотрим гейзенбергов дубль (R) тип a GL(n). Предположим, что для задающей его R-матрицыЯ соответствующая матрица OR (2.11) скалярна, а параметры y и q связаны соотношением Yn = q. В таком случае фактор-алгебра (R) по соотношениям2

detRT = qn2 en(T) = 1, en(L) = q-11 (3.6)

называется гейзенберговым дублем типа SL(n) и обозначается HDSL(n)(R).

Прокомментируем классический предельный переход q 4 1 для алгебры HDSL(n)(R), задаваемой с помощью R-матрицы Дринфельда-Джимбо (1.15). Произведем линейную замену и переобозначение генераторов алгебры

T 4 t : tj = Tj, L 4 г : j = (ij 1 - Li) /(q - q-1), (3.7)

и учтем условия предельного перехода RiBJ} -4 P, Я* -4 I + (q - q-1)P, Y2 = q2/n -4 1 + (q - q-1)i. (3.

Соотношения на генераторы гейзенбергова дубля (3.1)—(3.3) и условия 5Х(п) редукции (3.6) в пределе q ^ 1 принимают вид

М2] = 0,

[4Л] = Р12(^2 - £1), (3.9)

[М2] = (Р12 - П 112) ¿2,

Тг £ = 0, ае1 £ = 1,

что есть не что иное, как определяющие соотношения алгебры Лий/(п) право-инвариантных векторных полей действующих па координатных функциях ¿к группы Ли 5Х(п). Такой классический предел оправдывает интерпретацию гейзенбергова дубля НДщ^Я) как квантования (т.е., q-деформации) алгебры дифференциальных операторов на 5Х(п).

Для дальнейшего изучения гейзебергова дубля нам потребуется центрально расширить КМ-алгебру СЬ(п) типа М(Л, Л) с использованием корней характеристического многочлена матрицы ее генераторов Ь.

Рассмотрим алгебру рациональных функций от п перемениых с(д1,..., дп). В предположении алгебраической независимости генераторов характеристической подалгебры С (Л, Л) алгебры уравнения отр ажений М(Л, Л) за-

2Нормнровка элемента en(L) будет в дальнейшем объяснена.

дадим ее вложение С (Я, Я) ^ с^,..., дп), при котором образами генераторов бг(Ь) являются элементарные симметрические многочлены

ег(£) ^ ег(^1,...,дп) := ^ Д} Д}... дл V г = 0, l,...,n, (3.10)

1<?1<...<}г<П

Это вложение задает структуру С (Я, Я)-модуля на с(д1,..., дп).

Определение 3.4. Спектральным расширением алгебры уравнения отражений М(Я, Я) гашга СЬ(и) назовем, алгебру

М(Я,Я) := М(Я,Я) ® с(М1,...,Мп).

С

Иными словами, алгебра М(Я, Я) получается расширением алгебрыМ(Я, Я) набором рациональных функций оти взаимно коммутирующих переменных д^ д2, ... , Дп; удовлетворяющих соотношениям

ба(Ь) = ба(Д1, . . . , Дп), Ь} Да = Да Ь} (3.11)

V г,^ = 1,...,Г\Т, V а = 1,..., и.

Переменные да «мм будем называть спектральными переменными. Фактор-алгебру алгебры М (Я, Я) по со от,ношениям,

п

еп (Ь) = П Да = д-11 (3.12)

а=1

будем называть спектральным расширением алгебры уравнения отражений типа 5Х(и).

Как мы уже отмечали, число N строк (столбцов) матрицы Ь} не обязано и

построенных с использованием И-матрицы Дринфельда-Джимбо (1.15), это действительно так.

В спектрально расширенной алгебре М(Я, Я) характеристическое тождество (2.9) теоремы Гамильтона-Кэли принимает факторизованный вид:

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Пятов Павел Николаевич, 2020 год

Список литературы

[AF1] Alekseev, A.Yu. and Faddeev, L.D., '(T*G)t: A Toy Model For Conformal Field Theory'. Commun. Math. Phys. 141 (1991) no.2, 413 422.

[AF2] Alekseev, A.Yu. and Faddeev, L.D., 'An involution and dynamics for the q deformed quantum, top'. J. Math. Sci. 77 (1995) 3137—3145.

[AIP] Arutyunov, G.E., Isaev, A.P., Popowicz, Z.: 'Poincare-Birkhoff-Witt property for bicovariant differential algebras on simple quantum groups'. J. Phys. A: Math. Gen. 28 (1995) no. 15, 4349-4359.

[AKO] Arutyunov, G., Klabbers, R., Olivucci, E., 'Quantum Trace Formulae for the Integrals of the Hyperbolic Ruijsenaars-Schneider model7. J. High Energ. Phys. 2019, 69 (2019). https://doi.org/10.1007/ JHEP05(2019)069

[APR] Alcaraz, F.C., Pyatov, P. and Rittenberg, V., 'Density profiles in the raise and peel model with and without a wall. Physics and combinatorics'. J. Stat. Mech.: Theor. Exp., (2008) P01006.

[BGN] Batchelor, M.T., de Gier, J., Nienhuis, В., 'The quantum, symmetric XXZ chain at A = —1/27 alternating sign matrices and plane partitions'. J. Phys. A: Math. Gen. 34 (2001) L265-L270.

[CG] Cremmer, E. and Gervais, J.-L., 'The quantum group structure associated with non-linearly extended, Virasoro algebras'. Comm. Math. Phys. 134 (1990) 619-632.

[Chi] Cherednik, I.V., 'Factorizing particles on a half line and root systems'. Theor. Math. Phys. 61, no.l (1984) 977-983.

[Ch2] Cherednik, I., 'Double affine Hecke algebras'. London Mathematical Society Lecture Notes Series 319, Cambridge University Press, Cambridge, 2005.

[C-W] Cantini, L., Garbali, A., de Gier, J., Wheeler, M., 'Koornwinder polynomials and the stationary multi-species asymmetric exclusion process with open boundaries'. J. Phys. A: Math. Theor. 49 (2016) 444002 (32pp).

[Dl] Drinfeld, V.G., 'Quantum Groups'. In Proceedings of the Intern.

Congress of Mathematics, Vol. 1 (Berkeley, 1986), pp. 798-820, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1987. For the expanded version see Journ. of Math. Sciences 41, no.2 (1988) 898-915.

[D2] Drinfeld, V.G., 'On almost cocommutative Hopf algebras'. Leningrad Math. J. 1, no.2 (1990) 321-342.

[DF1] Di Francesco, P., 'Boundary qKZ equation and generalized Razumov-Stroganov sum rules for open IRF models'. J. Stat. Mech.: Theor. Exp. (2005) P09004.

[DF2] Di Francesco, P., 'Totally Symmetric Self Complementary Plane Partitions and the quantum Knizhnik-Zamolodchikov equation: a conjecture'. J. Stat. Mech.: Theor. Exp. (2006) P09008.

[DFZ1] Di Francesco, P., Zinn-Justin, P., 'Quantum Knizhnik-Zamolodchikov equation, generalized Razumov-Stroganov sum rules and extended Joseph polynomials'. J. Phys. A: Math. Gen. 38 (2005) L815-L822.

[DFZ2] Di Francesco, P., Zinn-Justin, P., 'Quantum Knizhnik-Zamolodchikov equation: reflecting boundary conditions and combinatorics'. J. Stat. Mech.: Theor. Exp. (2007) P12009.

[dG-R] de Gier, J., Nienhuis, B., Pearce, P.A., Rittenberg, V., 'The raise and peel model of a fluctuating interface'. J. Stat. Phys. 114 (2004) 1-35.

[dGP] de Gier, J., Pyatov, P., 'Factorised solutions of Temperley-Lieb qKZ equations on a segment'. Adv. Theor. Math. Phys. 14 (2010) 795-877.

[dGPZ] de Gier, J., Pyatov, P. and Zinn-Justin, P., 'Punctured plane partitions and the q-deformed Knizhnik-Zamolodchikov and Hirota equations'. J.Comb. Theory Ser. A 116 (2009) 772-794.

[DM1] Donin, J. and Mudrov, A., (sl(n))-covariant quantization of symmetric coadjoint orbits via reflection equation algebra'. Contemp. Math. 315 (2002) 61-79.

[DM2] Donin, J.6 Mudrov, A., 'Explicit equivariant quantization on coadjoint orbits o/GL(n, C)'. Lett. Math. Phys. 62, no.l (2002) 17-32.

[EFK] Etingof, P.I., Frenkel, I.B., Kirillov, A.A., Jr., 'Lectures on representation theory and Knizhnik-Zamolodchikov equations'. Mathematical Surveys and Monographs 58, AMS, Providence, 1998.

[EOW] Ewen, H., Ogievetsky, O. and Wess, J., 'Quantum matrices in two dimensions'. Lett. Math. Phys. 22 (1991) no. 4, pp. 297-305.

[ES] Etingof, P. and Schiffmann, O., 'Lectures on the dynamical Yang-Baxter equations'. In: Quantum groups and Lie theory (Durham 1999), London Math. Soc. LN series 290, Cambridge Univ. Press 2001.

[EV1] Etingof, P., Varchenko, A., 'Solutions of the quantum dynamical Yang-Baxter equation and dynamical quantum groups'. Comm. Math. Phys. 196 (1998) 591-640.

[EV2] Etingof, P., Varchenko, A., 'Exchange dynamical quantum groups'. Comm. Math. Phys. 205 (1999) no. 1, 19-52.

[F] Faddeev, L.D., 'On the exchange matrix for WZNW model'. Comm. Math. Phys. 132 no.l (1990) 131-138.

[Fe] Felder, G., 'Conform,ai field theory and integrable systems associated to elliptic curves'. In Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vols. 1, 2 (Zürich, 1994), Birkháuser, Basel, 1995, 1247-1255; liep-th 9407154.

[Fl] Floré, M., 'Multiparameter quantum Cauchy-Binet formulas'. arXiv: 1807.08542 [math.QA],

[FP1] Faddeev, L.D. and Pyatov, P.N., 'The differential calculus on quantum linear groups'. In: Dobrushin, R.L., Minios, A., Shubin, M.A. and

Vershik, A.M. (eds.), Contemporary Methematical Physics, AMS Translations - Series 2, ISSN 0065-9290, vol.175 pp.35 47 (1996).

[FP2] Faddeev, L.D. and Pyatov, P.N., 'Quantization of differential calculus on linear groups'. In: Isaev, A.P., (ed.), Problems in Modern Theoretical Physics, JINR Publishing Dept. 96-212, Dubna, pp.19-43 (1996) (in Russian).

[FR] Frenkel, I.B., Reshetikhin, N., 'Quantum affine algebras and holonomic difference equations'. Commun. Math. Phys. 146 (1992) 1-60.

[FRT] Faddeev, L.D., Reshetikhin, N.Yu. and Takhtajan, L.A., 'Quantization of Lie groups and Lie algebras'. Leningrad Math. J. 1 no.l (1990) 193225.

[FV] Finn, C., Vanicat, M., 'Matrix product construction for Koornwinder polynomials and fluctuations of the current in the open ASEP'. J. Stat. Mech.: Theor. Exp. (2017) 023102 .

[GJ] Green, H.S., Jarvis, P.D., 'Casimir invariants, characteristic identities, and Young diagrams for color algebras and superalgebras'. J. Math. Phys. 24 (1983) 1681-1687.

[GN] Gervais, J.-L., Neveu, A., 'Novel triangle relation and absense of tachyons in Liouville string field theory'. Nucl. Phys. B 238 (1984) 125141.

[Goul] Gould, M.D., 'Characteristic identities for semi-simple Lie algebras'. J. Austral. Math. Soc. (Series B) 26 (1985) 257-283.

[Gou2] Gould, M.D., Polynomial-Identities for Simple Lie-Superalgebras'. J. Austral. Math. Soc. (Series B) 28 (1987) 310-327.

[GPS1] Gurevich, D.I., Pyatov, P.N. and Saponov, P.A., 'Hecke symmetries and characteristic relations on reflection equation algebras'. Lett. Math. Phys. 41 (1997) 255-264.

[GPS2] Gurevich, D.I., Pyatov, P.N. and Saponov, P.A., 'The Cayley-Hamilton theorem for quantum matrix algebras o/GL(m|n) type'. St. Petersburg Math. J. 17 (2006) 119-135.

[GPS3] Gurevich, D.I., Pyatov, P.N. and Saponov, P.A., 'Quantum matrix algebras of the GL(m|n) type: the structure and spectral parameterization of the characteristic subalgebra'. Theor. Math. Phys. 147 (2006) no. 1, 460—485.

[GS1] Gurevich, D. and Saponov, P., 'Quantum line bundles via Cayley-Hamilton identity'. J. Phys. A: Math. Gen. 34 (2001) 4553-4569.

[GS2] Gurevich, D. and Saponov, P., 'Geometry of non-commutative orbits related to Hecke symmetries'. Contemporary Mathematics, ISSN 02714132, vol. 433. In Proc. of a conference in memory of Joseph Donin, pp.209-250 (2007).

[G-T] Gelfand, I.M., Krob, D., Lascoux, A., Leclerc, B., Retakh, V.S. and Thibon, J., 'Noncommutative symmetric functions'. Adv. Math. 112 (1995) no. 2, pp. 218-348.

[Gu] Gurevich, D.I., 'Algebraic aspects of the quantum Yang-Baxter equation'. Leningrad Math. J. 2 (1991) no. 4, pp. 801-828.

[Gy] Gyoja, A., 'A q-analogue of Young symmetrizer'. Osaka J. Math. 23 (1986) 841-852.

[H] Hlavaty, L., 'Quantized braided groups'. J. Math. Phys. 35 (1994) 25602569.

[Ig] Igusa, J., 'Theta Functions'. Grund. Math. Wiss. 194, Springer-Verlag, 1972.

[IO] Isaev, A., Ogievetsky, O., 'On quantization of r matrices for Belavin-Drinfeld triples'. Physics of Atomic Nuclei 64 (2000) 2126-2130.

[IOP1] Isaev, A.P., Ogievetsky, O.V. and Pyatov, P.N.: 'On quantum, matrix algebras satisfying the Cayley-Hamilton-Newton identities'. J. Phys. A: Math. Gen. 32 (1999), pp. L115-L121.

[IOP2] Isaev, A., Ogievetsky, O. and Pyatov, P., 'Cayley-Hamilton-Newton identities and quasitringular Hopf algebras'. In Proc. of JINR Workshop 'Supersimmetries and Quntum Symmetries'.\ July 27-31, 1999. Eds. E.Ivanov, S.Krivonos ans A.Pashnev, JINR, Dubna E2-2000-82, pp. 397405.

[IF* 1] Isaev, A.P., Pyatov, P.N., 'Covariant Differential Complexes on Quantum Linear Groups'. J. Phys. A: Math. Gen. 28 (1995) 2227-2246.

[IP2] Isaev, A., Pyatov, P., 'Spectral extension of the quantum group cotangent bundle'. Comm. Math. Phys. 288 (2009) no.3, 1137-1179.

[Is] Isaev, A.P., 'Twisted Yang-Baxter equations for linear quantum (super)groups'. J. Phys. A: Math. Gen. 29 (1996) 6903-6910.

[J] Jimbo, M., 'A q-analog of U+ 1)) Hecke algebra and the Yang-Baxter equation'. Lett. Math. Phys. 11 (1986) 247-252.

[JG] Jarvis, P.D., Green, H.S., 'Casimir invariants and characteristic identities for generators of the general linear, special linear and orthosymplectic graded Lie algebras'. J. Math. Phys. 20 (1979) 21152122.

[JM] Jimbo, M., Miwa, T., 'Algebraic analysis of solvable lattice models'. AMS, Providence, 1995.

[Ju] Jurco, B., 'Differential calculus on quantized simple Lie groups'. Lett. Math. Phys. 22 (1991) 177-186.

[JW] Jordan, D., White, N., 'The center of the reflection equation algebra via quantum, minors'. J. Algebra 542 (2020) 308-342.

[KL] Kirillov, A., Jr., Lascoux, A., 'Factorization of Kazhdan-Lusztig elements for Grassmanians'. Adv. Stud, in Pure Math. 28 (2000) 143-154.

[KP] Kasatani, M., Pasquier, V., On polynomials interpolating between the stationary state of a O(n) model and a Q.H.E. ground state. Comm. Math. Phys. 276 (2007) 397-435.

[KS] Kulish, P.P., Sklyanin, E.K., 'Algebraic structures related to reflection equations'. J. Phys. A: Math. Gen. 25, no.22 (1992) 5963-5975.

[KSch] Klimyk, A. and Schmiidgen, K., 'Quantum groups and their representations'. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1997.

[KT1] Kantor, I., Trishin, I., 'On a concept of determinant in the supercase'. Comm. in Algebra 22 (1994) 3679-3739.

[KT2] Kantor, I., Trishin, I., 'On the Cayley-Hamilton equation in the supercase'. Comm in Algebra 27 (1999) 233-259.

[Mac] Macdonald, I.G., 'Symmetric Functions and Hall Polynomials (Oxford Mathematical Monographs) \ Oxford University Press, 1998.

[Mai] Maillet J.M., 'Lax equations and quantum groups'. Phys. Lett. B 245 (1990) 480-486.

[Mall] Maltsiniotis, G., 'Groupes quantiques et structures différentielles'. C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math. 331 (1990) 831-834.

[Mal2] Maltsiniotis, G., 'Le langage des espaces et des groupes quantiques'. Commun. Math. Phys. 151 (1993) no.2, 275-302.

[M-B] Mitra, S., Nienhuis, B., de Gier, J., Batchelor, M.T., 'Exact expressions for correlations in the ground state of the dense 0(1) loop model'. J. Stat. Mech.: Theor. Exp. P09010 (2004).

[Mol] Molev, A., 'Sklyanin determinant, Laplace operators, and characteristic identities for classical Lie algebras'. J. Math. Phys. 36 (1995) no.2, 923943.

[Mon] Montgomery, S., Hopf algebras and their actions on rings'. CBMS Lecture Notes vol. 82, American Math. Society, Providence, RI, 1993.

[MRS] Molev, A.I., Ragoucy, E., Sorba, P., 'Coideal subalgebras in quantum, affine algebras'. Rev. Math. Phys. 15 (2003) no.8, 789-822.

[Mudr] Mudrov, A.I., 'Quantum conjugacy classes of simple matrix groups'. Comm. Math. Phys. 272 (2007) no.3, 635^660.

[Mum] Mumford, D., 'Tata lectures on theta. F. Progress in Mathematics, Vol. 28, Birkhâuser Boston Inc., Boston, MA, 1983.

[N] Noumi, M., Macdonald-Koornwinder polynomials and affine Hecke rings'. Surikaisekikenkyusho kokyuroku 919 (1995) 44-55 (in Japanese).

[NT] Nazarov, M., Tarasov, V., 'Yangians and Gelfand-Zetlin bases'. Publ. RIMS 30 (1994) 459.

[OP] Ogievetsky, O. and Pyatov, P.: 'Orthogonal and Symplectic Quantum Matrix Algebras and Cayley-Hamilton Theorem for them'. arXiv:math/0511618.

[Pa] Pasquier, V., 'Quantum incrompressibility and Razumov Stroganov type conjectures'. Ann. Henri Poincaré 7 (2006) 397-421.

[PI] Pyatov, P., 'Raise and Peel Models of fluctuating interfaces and combinatorics of Pascal's hexagon'. J. Stat. Mech.: Theor. Exp. 09 (2004) P003.

[P2] Pyatov, P., 'On the construction of unitary quantum group differential calculus'. J. Phys. A: Math. Theor. 49 (2016) 415202 (25pp).

[P-N] Pearce, P.A., Rittenberg, V., de Gier, J., Nienhuis, B., Temperley-Lieb stochastic processes. J. Phys. A: Math. Gen. 35 (2002) L661-L668.

[PS] Pyatov, P., Saponov, P., 'Characteristic relations for quantum matrices'. J. Phys. A: Math.Gen. 28 (1995) 4415-4421.

[Rl] Reshetikhin, N.Yu., 'Multiparameter quantum groups and twisted quasitriangular Hopf algebras'. Lett. Math. Phys. 20 (1990) 331-335.

[R2] Reshetikhin, N.Yu., 'Quasitriangular Hopf algebras and invariants of tangles'. Leningrad Math. J. 1, no.2 (1990) 491-513.

[RSI] Razumov, A.V., Stroganov, Yu.G., 'Spin chains and combinatorics'. J. Phys. A: Math. Gen. 34 (2001) 3185-3190.

[RS2] Razumov, A.V., Stroganov, Yu.G., 'Combinatorial nature of gound state vector of 0(1) loop model'. Theor. Math. Phys. 138 (2004) 333-337.

[S] Semenov-Tyan-Shanskii, M.A., 'Poisson-Lie groups. The quantum duality principle and the twisted quantum double'. Theor. Math. Phys. 93 (1992) no.2, 1292-1307.

[Sm] Smirnov, F.A., 'Form factors in completely integrable modles of Quantum Field Theory'. World Scientific, Singapore, 1992.

[Sul] Sudbery, A., 'Canonical differential calculus on quantum general linear groups and super-groups'. Phys. Lett. B284 (1992) 61-65.

[Su2] Sudbery, A., 'The algebra of differential forms on a full matric bialgebra'. Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 114 (1993) 111-130.

[SWZ1] Schupp, P., Watts, P., Zumino B., 'Differential geometry on linear quantum, groups'. Lett. Math. Phys. 25 (1992) no.2, 139-147.

[SWZ2] Schupp, P., Watts, P., Zumino B., 'Bicovariant quantum algebras and quantum, Lie algebras'. Commun. Math. Phys. 157 (1993) no.2, 305329.

Tzygan, B.L., 'Notes on differential forms on quantum, groups'. Selecta Math. Sov. 12 (1993) no.l, 75.

Woronowicz, S.L., 'Differential calculus on compact matrix pseudogroups (quantum, groups)'. Commun. Math. Phys. 122 (1989) no.l 125-170.

Zhang, J.J., 'The quantum Cayley-Hamilton theorem'. J. Pure Appl. Algebra 129 (1998) no. 1, pp. 101-109.

q

equation and Alternating Sign Matrices'. J. Stat. Mech.: Theor. Exp. (2007) P01007.

Zumino, B., 'Differential calculus on quantum spaces and quantum groups'. Preprint LBL-33249 and UCB-PTH-92/41 (1992); hep-th/9212093.

Приложение A.

Статья 1.

Pavel Pyatov, Pavel Saponov 'Characteristic relations for quantum matrices'

Journal of Physics A: Mathematical and General, volume 28, number 15 (1995) 4415-4421.

DOI https://doi.org/10.1088/0305-4470/28/15/020 Разрешение на копирование: Согласно

https://publishingsupport.iopscience.iop.org/open-access-options-for-authors/ автор статьи может использовать полную журнальную версию статьи в своей диссертации при условии, что указан источник.

J. Phys. A: Math. Gen. 28 (1995) 4415^421. Printed in the UK

Characteristic relations for quantum matrices

P N Pyatovf§ and P A Saponovf ||

f Bogoliubov Laboratory of Theoretical Physics, Joint Institute for Nuclear Research, 141980 Dubna, Moscow Region, Russia

| Theoretical Department, Institute for High Energy Physics, 142284 Protvino, Moscow Region, Russia

Received 10 April 1995

Abstract. The general algebraic properties of the algebras of vector fields over the quantum linear groups GLq(N) and SLq[N) are studied. These quantum algebras appear to be quite similar to the classical matrix algebra. In particular, the quantum analogues of the characteristic polynomial and characteristic identity are obtained for them. The ^-analogues of the Newton relations connecting two different generating sets of central elements of these algebras (the determinant-like and trace-like ones) are derived. This allows one to express the ^-determinant of quantized vector fields in terms of their ^-traces.

1. Introduction

Since their discovery, quantum groups have been presented in several closely related but not strictly equivalent forms. Having originally been obtained as the quantized universal enveloping (que) algebras [1,2], they were then reformulated in a matrix form [3]. In this latter approach a quantum group is generated by a pair of upper- and lower-triangular matrix generators L+ and L_ satisfying quadratic permutation relations. A further variation of this approach is to combine L+ and L_ into a single matrix generator L = S(L_)L+. Here S(-) is the usual notation for the antipodal mapping. Following [4] we will call the algebra generated by the matrix generator L the reflection equation algebra (rea). After suitable treatment this algebra can be related to the quantum group by the (Hopf algebra) isomorphism [5,6], although the Hopf structure is implicit in the rea formulation. This algebra has found several applications (see [4,7,8,9] and references therein). Let us mention only one of them here, namely the construction of the quantum group differential calculus, in which the matrix generators L are used as the basic set of (right-)invariant vector fields [10-12].

A remarkable property of the rea formulation is that the algebra of the L matrices turns out to be quite similar in several respects to the classical matrix algebra. In particular, both the notions of the matrix trace and the matrix, determinant admit generalization to the case of L matrices (see [3,13] and [6,14,15]). In the present paper we intend to establish further similarities of the rea to the classical matrix algebra. We restrict ourselves to considering the rea of the GLq{N) and/or SLq(N) type only. For these algebras the recurrent formulae relating two different centre generating sets, the determinant-like and the trace-like ones, are obtained. These formulae are quantum analogues of the classical

§ E-mail address: [e-mail] [[ E-mail address: [e-mail]

0305-4470/95/154415+07$19.50 © 1995 IOP Publishing Ltd

4415

Newton relations. Furthermore, we define the characteristic polynomial and derive the characteristic identities (the analogue of the Cayley-Hamilton theorem) for the ¿-matrices. The existence of these identities was first mentioned in [4], where they were presented for the case N = 2 (see also [16]). For general N the characteristic identities were obtained in [17] (see remark 4.8 of [17]) when studying the algebraic structure of quantum Yangians Yq{gl{N)). We reproduce this result in the rea approach. Then, by joint use of the quantum Newton relations and the characteristic identities one can obtain the expressions for tracelike central elements of higher powers. In the que representation the similar characteristic identities were considered in [18]. We believe that the rea representation and the use of the /i-matrix technique makes all considerations and the final formulae much more transparent.

We conclude this section with a brief mention of some facts from the classical theory of matrices (see, e.g., [19]), which will then be generalized to the quantum case.

Consider the N x N matrix A with complex entries. Its characteristic polynomial is defined as

N

A (JC) = det IIX 1 - A II = xN + 1 )*a(jfc) xN~k , (1.1)

jt=i

The eigenvalues {X,-}, i = 1,..., N, of the matrix A are solutions of the characteristic equation A(jc) = 0. The coefficients a(i) of the characteristic polynomial expressed in terms of A; form the set of basic symmetric polynomials of N variables:

N

<r(l) = £x,=TrA a(2) = J2XiXj

i<j (1.2)

er{N) ee ["Jx, = det A. i= I

One can also express o(i) directly in terms of the matrix elements of A. Up to a numerical factor each cr(i) is given by the sum of all the principal minors of the ith order

Here eL",v is the antisymmetric Levi-Civita TV-tensor. The compact matrix notations used in this formula will be explained later (directly in the quantum case).

Another standard set of symmetric polynomials is given by the traces of powers of the matrix A

N

s(i) = Yt&kT = Tr A1 1 < i ^ N. (1.4)

¿=1

The two basic sets {cr(0} and {i(0} are connected by the so-called Newton relations

icr(i) -s{\)a(i - 1) + ■■■ + (-I)'-1i(i - I)ff(l) + (-1)^(0 = 0. (1.5)

In particular, these recurrent relations allow one to express the determinant of the matrix A as a polynomial of the traces of its powers.

Finally, if one substitutes the matrix A in the characteristic polynomial (1.1) instead of the scalar variable x then the resulting matrix expression vanishes identically. This is the Cayley-Hamilton theorem, and according to it any function of the matrix A can be reduced to a polynomial of an order not exceeding N — 1.

2. Quantum Newton relations and the characteristic polynomial

First of all let us introduce some definitions and notation to be used in what follows. The REA is defined as the algebra generated by matrix generators L subject to the following permutation rules:

R\2 = &12 R\2 LI . (2.1)

Here the standard notation for matrix spaces (see [3]) is used: R12 is the GLq(N) ^-matrix [2] satisfying the Yang-Baxter equation and the Hecke condition respectively

^12-^23^12 — ^23^12^23 (2-2)

R2 - I + XR (2.3)

where 1 is the unit matrix, and X = q — l/q. Below we will further compress this notation by denoting Ritj+i) = Rt and omitting the index of the L-matrix, i.e. L\ = L, since it always appears in the first matrix space.

We will also need the notions of the quantum trace and the 3-deformed Levi-Civita tensor. The operation Tr9 of taking the quantum trace of a N x N quantum matrix X looks like

Tr9(X)=Tr(DX) 2> = diag{<f-A'+1Ii-JV+3.....qN~l]. (2.4)

The ^-deformed Levi-Civita tensor e^-"' (or €q"N in brief notation) is defined, up to a factor by its characteristic property

^R, + ^ = 0 1 ^ i < N - 1.

(2.5)

The normalization is usually fixed by demanding e^-'" = 1 for i'i = 1,.,., i,v = N. Its square is then equal to

where pq = (qp — q~p)/k are usual ^-numbers. Note, that both of these definitions are closely related to the Hopf structure of the quantum group and the corresponding comodule structure of the REA [3,20].

Two generating sets for the centre of the REA were presented in [3], One of them is formed by the trace-like elements

sq(0 =qi~N Ttq V l^i^N (2.6)

where the normalizing factor is chosen for convenience. Another generating set consists of the determinant-like elements ~ €q",NL-N .,, ... For our purposes

it is better to express these generators in terms of the ¿-matrices:

<r,(i) = ^""(Mi •. (2.7)

Here the or,- are normalizing constants. The first of them is fixed as

a: =q'-NNqJ\€q\2

by the natural condition aq{\) = s9(l). Others will be specified below.

The connection between the two basic sets {oq(k)} and (s(/(£)} is provided by quantum analogues of the Newton relations (1.5). At the classical level they are usually derived by using the spectral representations (1.2), (1.4) for <r(k) and s(k). However, this representation is not available in the quantum case. Indeed, the spectrum of the quantum matrix L can be constructed only if the centre of the rea is algebraically closed. The latter in turn can be

treated only in a particular representation of the REA. To overcome this difficulty we shall develop a little bit more technique.

Define an operator SN which symmetrizes any N x N matrix X in N matrix spaces:

SN(X) = X\ + RiXiR] -\-----b Hjv-, ... RiX}R} ... . (2.8)

The characteristic properties of this symmetrizer

[sff(X), Rt]= 0 1< i ¡S N - 1 (2.9)

are fulfilled due to relations (2.2), (2.3). Furthermore, the following useful formula:

= (2.10) is a direct consequence of (2.9) and (2.5). Here the scalar factor sx reads

*x = = ql~N TrgX.

e,

■q I

For X = V this factor coincides with sq(i) (2.6). Now we are able to prove Proposition. For 1 < £ < N the generators aq(i) and sq(i) are connected by the relations

-¡Zi-er,(i) - s,(l)ff,(i -!) + •■■ + C-iy-'^Ci - l)ff,(l) + (-1 ySq(i) = 0 (2.11)

provided that the numerical factors a,- are fixed as follows: AU q-W-'O

Proof. Consider the quantities sq(i - p)crq(p) for 1 1. With the help of (2.10)

and the definitions of sg(i) and crq(i) one can perform the following transformations:

sg(i ~ 1)^(1) = <W ~ IW^L e'™" = SN{V-])L ¿f" = 5?(i) + a, RlL Riei.*

sg(i - P)crq{p) = a^^d^R, ... Vi)№■ • ■ Rp-ùp~^q"N

... RP)(L R\...

4.

-t-aj-i

iî_Ikj-.W/r2». P. -Ч/-Г P. P.

qi

(N~i + 1), cr,(i)

j, (l)a, (i - 1) = ... Ä(_2)cl Я, ...

qN~l Щ

Now the arbitrary coefficients a,, should be fixed in such a way that the last term in Sq(i ~ p 4- 1)<7?(/j -1) and the first one in $q(i — p)oq(p) are equal. This is the case if the up satisfy the relations

= + (2.13)

Pq

Then, on taking the alternating sum l)"-^0" — p)vq(p) we find that the only terms which survive are the first one in sq(i — 1)ct9(I) and the last one in sv(l)aq(i — 1) and, thus, we obtain relations (2,11). Finally, given the value of ot\ one easily shows that the recursion (2.13) is solved by (2.12). □

A few remarks are in order here:

(i) So far we have always been considering the matrices GLq{N). Specializing to the SLg(N) case can be achieved by fixing the quantum determinant of the L-matrix (see [6,14,15]): DetL = ?'-%(A0 = 1.

(ii) It is worth mentioning that the singular points where the connection between {^(0} and {<Jq(i)} breaks down are .the roots of unity: kq = 0 for 1 < k < N. This is apparently related to the fact that the isomorphism of the Hecke algebra of the A^-i type and the group algebra of symmetric group CSn is also destroyed at these points (see, e.g., [21]).

Now let us turn to the derivation of the quantum characteristic identity for the matrix L. It can be found in a way quite similar to that of the classical case. Namely, we should find a matrix polynomial B of (N — l)th order in L obeying the relation

(L - *1) B(L, x) = A GO. (2.14)

Here x is a c-number variable and A(;t) is a scalar polynomial of x, the characteristic polynomial of the L-matrix. The following theorem is a generalization of the Cayley-Hamilton theorem to the quantum case.

Theorem. The matrix polynomial B(L, x), when defined as

r ,

B(L,x) = Rl...RfJ_i j~[ [(L-92i*l)tf1...iiAf_]J (2.15)

satisfies the relation (2.14). The characteristic polynomial of the matrix L looks like

N

A(x) = £(-xy<rq(N-i) (2.16)

i=0

and for the L-matrix the following characteristic identity is satisfied:

N

A(L) = £(-L)'<r9(JV -i) = 0. (2.17)

i=0

Proof. The relation (2.14) is fulfilled if and only if its left-hand side is totally q-antisymmetric, i.e. if it obeys the characteristic relations (2.5) of the ^-antisymmetric tensor. This in turn is valid if the matrix quantity (L — xl) B(L, x) commutes with all R-n 1 ^ i ^ N — 1 up to terms proportional to the ^-symmetric projectors P+i = (R; + lfq)/2q, which vanish when being contracted with zq"N. Now, the key observation is that the commutator [/?] , (L — xt)R\(L — ^xt)R\] is proportional to P+ only if = q1. With this observation the construction of B becomes clear and one immediately checks that B chosen as in (2.15) does satisfy the relation (2.14).

Then, as a direct consequence of (2.14) and (2.15) we get the following expression for

AO):

This expression can be further simplified with the use of (2.5), (2.1), (2.2) and the q-combinatorial relations. The calculations are straightforward but rather lengthy and we omit them here, presenting only the result in (2.16).

To prove the characteristic identity we shall contract the relation (2.14) with zf-J!+l:

The right-hand side of this relation is proportional to the unit matrix and, hence, ¿2...N+I js pr0p0rti0nai to (L - jcl)-1. The classical limit of this relation is the

standard base for proving the Cayley-Hamilton theorem [19]. In the quantum case all the considerations are completely the same, and the resulting statement is that the matrix

Here we present few final comments:

(i) The characteristic identity provides us with the compact expression for the inverse matrix of L:

(ii) Multiplying the characteristic identity by Lp, and taking the q-trace we obtain the expressions of higher symmetric polynomials sq(N + p) in terms of the basic ones cq(i).

(iii) On passing to concrete REA representations the order of the characteristic identity may decrease due to the basic symmetric polynomials cq(i) becoming dependent. This is illustrated in the recent paper [22] where the ¿-matrices were realized as pseudo-differential operators acting on the quantum plane and they were found to possess the characteristic identity of second order.

Acknowledgment

The work of PP has been made possible by a fellowship of INTAS Grant 93-2492 and is carried out within the research programme of the International Centre for Fundamental Physics in Moscow.

References

[1] Drinfel'd V G 1987 Proc. Int. Congress of Mathematicians (Berkeley, 1986) p 79S

[2] Jimbo M 1986 Lett. Math. Phys. 11 247

[3] Faddeev L D, Reshetikhin N Yu and Takhtadjan L A 1989 Algebra i Analiz 1 178 (Engl, transl. 1990

Leningrad Math. J. 1 193)

[4] Kulish P P and Sklyanin E K 1992 J. Phys. A: Math. Gen. 25 5663

[5] Burroughs N 1987 Common. Math. Phys. 133 91

[6] Drabant B, Jurio B, Schlieker M, Weich W and Zumino B 1992 Lett. Math. Phys. 26 91

[7] Reshetikhin N Yu and Semenov-Tian-Shansky M A 1990 Lett. Math. Phys. 19 133

[8] Kulish P P 1994 Representations of ^-Minkowski space algebra Algebra i Analiz 6 195

[9] Majid Sh 1993 Quantum groups, Integrable Statistical Models and Knot Theory ed M-L Ge and H J de Vega

(Singapore: World Scientific) p 231 £10] Jurio B 1991 Lett. Math. Phys. 22 177

[11] Alekseev A Yu and Faddeev L D 1991 Commun. Math. Phys. 141 413

[12] Zumino B 1992 Proc. Xth IAMP Conf. (Leipzig, ¡991) (Berlin: Springer) p 20

[13] Reshetikhin N Yu 1989 Algebra i Analiz 1 169 (Engl, transl. 1990 Leningrad Math. J. 1 491)

[14] Shupp P, Watts P and Zumino B 1992 Lett. Math. Phys. 25 139; 1993 Commun. Math. Phys. 1S7 305

(L-x 1) B(L, x) = A (*).

polynomial A(L) vanishes identically.

□

[I5J Faddeev L D and Pyatov P N 1994 The differential calculus on quantum linear groups Preprint hcp-th/9402070 (F A Berezin Memorial Volume, to appear)

[16] Isaev A P and Malik R P1992 Phys. Lett. 280B 219

[17] Nazarov M and Tarasov V 1994 Pvbl RIMS 30 459

[18] Gould M D, Zhang R B and Bracken A J 1991 J. Math. Phys. 32 2298

[19] Lancaster P 1969 Theory of Matrices (New York: Academic)

[20] Kulish P P and Sasaki R ¡993 Prog. Tkeor. Phys. 89 741

[21] Wenzl H 19SS Invent. Math. 92 Fasc 2 349

[22] Chu C-S and Zumino B 1995 Realization of vector fields for quantum groups as pseudodifferential operators

on quantum spaces Preprint UCB-PTH-95/04, q-alg/9502005

Приложение B.

Статья 2.

Ludwig Faddeev, Pavel Pyatov, 'The differential calculus on quantum linear groups '

In 'Contemporary Mathematical Physics'. Edited by R.L. Dobrushin, R.A. Minlos, M.A. Shubin and A.M. Vershik,

American Mathematical Society Translations - Series 2, Advances in Mathematical Sciences, volume 176 (1996) 35-47.

ISSN 0065-9290, ISBN 978-0-8218-0426-1

Разрешение на копирование: Согласно соглашению о копирайте автор статьи может использовать копии в образовательных и научных целях при условии, что указан источник.

Amer. Math. Soc. Transi. (2) Vol. 175, 1996

"3

The Differential Calculus on Quantum Linear Groups

L. D. Faddeev and P. N. Pyatov

ABSTRACT. The non-commutative differential calculus on the quantum groups SLg(N) is constructed. The quantum external algebra proposed contains the same number of generators as in the classical case. The exterior derivative defined in a constructive way obeys a modified version of the Leibniz rules.

§1. Introduction

Recent interest in constructing differential calculi on quantum groups stems from Woronowicz's pioneering work [33]. In it he formulated the general algebraic framework for dealing with the problem. In subsequent investigations the emphasis was on two main directions. First, experience in dealing with such algebras was accumulated while considering the simplest low dimensional examples (see, e.g., [32, 23, 27]). It was soon recognized that the true quantum group differential calculus should be bicovariant, and that this condition is very restrictive. Indeed, only the use of this condition allows one to obtain the unique external algebra construction for the SLq(2) Cartan 1-forms [13]. Next, a very close connection was established with the theory of quadratic quantum algebras (quantum spaces) [19, 10, 31]. It was then realized that the condition of unique ordering of higher order monomials (the so-called diamond condition) is very important [21, 28], and that in fact it must only be checked for cubic monomials [20].

Another direction of investigation was the search for an adequate technique for dealing with quantum differential algebras. Here the close connections between the quantum differential calculi and the i?-matrix formulation for quantum groups and algebras [10] were soon established [16, 11, 34] (for further considerations see [6]). It turns out that the ii-matrix technique is highly appropriate in treating the arising problems.

The next stage of investigations was to combine both lines of research to obtain concrete differential algebra constructions for known series of quantum groups. Here substantial progress was achieved for the GLq{N) case. Namely, in the series of

1991 Mathematics Subject Classification. Primary 81R50.

The first author was supported by the Russian Academy of Sciences and the Academy of Finland. The second author was supported in part by RFBR (grant No. 93-02-3827), ISF (grant RFF-000) and INTAS (grant No. 93-127).

©1996 American Mathematical Society

"c

36 L. D. FADDEEV AND P. N. PYATOV

papers [18, 29, 26, 28, 30] a pair of nice-looking differential algebras on GLq(N) was constructed. But the situation with the (/-deformed series of simple Lie groups appears to be much more complex. The natural way of obtaining the SLq(N), SOq(N), and SPq(N) differential calculi by performing reduction from the GLq(N) calculi failed in the quantum case, because one cannot consistently reduce the number of the generating elements in the GLq (N) differential algebras constructed (see the discussion in [8, 35]). In principle one can treat these nonreduced (or partially reduced) differential calculi as a quantizations of nonstandard classical calculi on the special groups (see [22]), but the problem of finding the deformations of the ordinary calculi still remained open. It is rather natural in this situation to revise once again the basic postulates involved in the construction scheme. The only postulate that seems too restrictive is the classical Leibniz rule for the exterior derivative [11]

d(f-g)=df-g+(-l)Wf-dg.

Indeed, let us recall that the basic vector fields after quantization correspond to finite shifts rather than to infinitesimal differentiations. The natural Leibniz rule for them is multiplicative rather than being additive. Correspondingly, the Leibniz rule for the differential must take into account this shift property of vector fields.

In this paper we propose a construction of the differential algebra with the appropriately modified Leibniz rule. We consider the case closest to GLq(N)—the SLq(N) differential algebra. Here only one Cartan 1-form and one basic vector field must be reduced. The reduction scheme for vector fields was already developed in [28]. We propose the reduction scheme for Cartan 1-forms. Here we do not discuss the involution leading to the unitary reduction of our system. As was shown in [2], this can be done for q on the circle (|g| = 1) for the algebra of vector fields and functions on the quantum group. We believe that the involution found in [2] can be extended to the differential forms as well.

The paper is organized as follows. In §2 we fix the notation of the i?-matrix technique and formulate the basic postulates of our construction. We believe that it was the consistent use of the i?-matrix technique that allowed us to carry through the construction. This not only simplified the calculations, but played an important heuristic role. In §3 we present the external algebra on SLq(N). This algebra is also supplied with the action of the basic vector fields (or Lie derivatives). We refer to this extended algebra as the differential algebra on SLq (N). Section 4 is devoted to construction of the exterior derivative operator d. Note that the proposed scheme can be equally applied to GLq{N). In this way one can recover a wide variety of differential algebras on GLq(N). It seems to us that such a nonuniqueness is due to the fact that GLq{N) is not semisimple.

§2. The basic principles and notation

The starting point for our consideration is the Hopf algebras Fun (GLq(N)) and Pun(SLq(N)) [10]. We present here some facts and definitions related to these algebras.

We choose the corresponding i?-matrix [15] R G Matjv(C)®2 in the form

(2.1)

R = q^2ea <8) en + e^ ® e^ + A ^ e^ ® en,

i i^j j<i

"c

THE DIFFERENTIAL CALCULUS ON QUANTUM LINEAR GROUPS 37

where i,j = 1,... ,N and A = q — 1 /q. In what follows we shall also use the shorthand notation R for the matrix R® I G Matjv(C)®3, where / € Matjv(C) is the unit matrix. One can easily distinguish, in the context of each formula, whether R belongs to MatN(C)®2 or to Matjv(C)®3. The iî-matrix (2.1) satisfies the Yang-Baxter equation and the Hecke condition, respectively,

(2.2) RR'R = R'RR',

(2.3) R2 — 1 + XR.

Here R' = I ® R, and I = I <g> I. It is worthwhile to establish the connection with other frequently used /¿-matrix conventions:

our R equals Ri2 = P12R12 = R\2Pi2, our R'1 equals Ri2P\2-

Here P G MatTv(C)®2 is the permutation matrix and the notation R\2, R12, Rf2 is presented in [10].

The unital associative algebra Fun(GLq(N)) is generated by N2 elements T = {tij)fj=l- Multiplication and comultiplication in it are defined, respectively, by

(2.4) RTT' = TT'R,

(2.5) A {tij) — tik®tkj,

where T means T <g> I in (2.4) and T = I <g> T

-ii..Am _ -q \ -q

fies the following characteristic relations:

The ç-deformed Levi-Civita tensor (= in shorter notation) satis-

(2.6) £lq-NRi = -q~h\"N, 1 ^ i < N,

il ...ijv I _ 1

|ii = l,...,ifc=fe,...,ijv=iV — 1 •

Here Ri = J®^1) ® R® i^-i-i) (note. Ri = RR2 = The quantum determinant of T, detg T, defined via the relation

(2.7) eJ-^Til]2 ■■■TN = T1T2--- = e1^ ■ det, T,

where Tk = /®(fc"1)(g)TOl®(iV""fc), is a central element of the algebra Fan(GLq(N)). This can be checked by means of the following formula

(2.8) *N+1e1q-NR%1---Rf1 =q±1y1e2-N+1,

where ^ = (V^iLi G <CN is an arbitrary vector. The Hopf algebra Fan(SLq(N)) is then obtained by adding one more relation

(2.9) det9 T = 1

to (2.4). Finally, the antipodal mapping S(-)on Fun(GLq(N)) and Fan(SLq(N)) (for its explicit form see [10]) satisfies the relations

(2.10) S{T)T = TS{T) = /;

therefore, in what follows we prefer the notation T-1 to S{T).

Now let us turn to the differential algebra of extensions of Fun(GLq(N)) and Fnn(SLq(N)). First, we must fix the basic principles of our construction:

e

38 L. D. FADDEEV AND P. N. PYATOV

A. The bicovariance condition. Following [33], we require that a differential algebra should possess the bicomodule structure with respect to the underlying quantum group. By this condition we guarantee that the left and right translations in a quantum group do not affect the structure of its differential calculus. From this viewpoint it looks most natural to use, say, right-invariant and left-adjoint vector fields L = and Cartan 1-forms Q = in addition to the X"s as

the generating elements for differential algebra1. The left and right Fun(GLq(N))~

^ coactions in this case read:

(2.11) SL(xij) = tikty1 ® xki, SR(xij) = xi:j <g> 1,

where by X = (xij)^=1 we understand either L or il

In the case of the S Lq(N)-difierenti&l algebra, the number of independent Car-tan 1-forms should be reduced by 1. This can only be achieved in a bicovariant manner by use of the (/-deformed trace [10, 24] (see also [34, 28, 12]). Here we define this operation and present several useful formulas

(2.12) Trg(X) = Tr{VX), V = dmg{q-N+\q-N+3,... The Trg-operation possesses the invariance property

(2.13) TYg<5L(X) = l®T¥gX, and also satisfies the relations

TrgwiRXR-1) = Tr^R^XR) = J ■ TrqX, (2-14) TYg(li2) (Rf(X, R)R~1) = TV?(1,2) f(X, R),

1^(2 )R±1=q±NL TrqI=[N}q.

Here the index in parentheses denotes the number of the matrix space in which the operation Tr9 acts, and [iV]g = (qN — q~N)/\.

B. The ordering condition. We suppose that multiplication in the differential algebra is defined by relations quadratic in T, Q, and L and that these relations allow us to order lexicographically any quadratic monomial of the generators. Moreover, they must yield a unique ordering for any higher order monomial of T, ft and L. The latter is the so-called diamond (or confluence) condition (see, e.g., [7]). It guarantees us that the Poincare series of the classical differential algebra does not change under quantization. The direct verification of this condition consists in the use of the Diamond Lemma [7]. Such calculations appear to be very cumbersome already in the N — 2 case (see the discussion in subsection 3.8 of [21]) and it seems hard to generalize them to an arbitrary N. The alternative approach that we shall advocate here consists in noticing that the quadratic relations for T, 0, L express in fact the action of some representation of the braid group on the differential algebra. The diamond condition is then the consequence of the braid group defining relations, so that it should follow from the general properties (2.2), (2.3) of the i?-matrix. Examples of such formal i?-matrix manipulations are presented in [14] and in §3 of the present paper.

C. The last but not least condition is that the differential algebra is to be supplied with a differential complex structure. In other words, we must define the

JFor left-invariant and right-adjoint generators all the constructions proceed similarly.

"c

THE DIFFERENTIAL CALCULUS ON QUANTUM LINEAR GROUPS 39

C-linear differential mapping d on it. Taking into account the discussion above, we choose the following set of its characteristic properties:

• d is of degree 1 with respect to the natural Z-grading on the algebra of differential forms;

• d satisfies the nilpotence condition: d2 = 0.

Now let us proceed to the construction of such a differential algebra.

§3. The differential algebra

We summarize the main result of this section in

Theorem 1. For general values of the deformation parameter q ([2]q ^ 0, [N}g ^ 0, [N]q ± -AqN, [N ± 1], + ±qN^4) the GLq{N)-differential algebra defined as

(3.1) RTT' = TT'R,

(3.2) RtlRtl + ftMLfT1 = Kq(tt2 + Rti2R),

(3.3) RflR~1T = Til',

(3.4) RLRL = LRLR,

(3.5) RLRT = q2/NTL',

(3.6) R~1nRL = LRflR~\ where

(3.7) Kg =

[N)q + XqN'

admits a consistent reduction to SLq(N). This reduction is achieved by adding three more relations

(3.8) detq T = 1, Tr,fi = 0, DetL = l, to (3.1)-(3.6). Here

(3.9) e\~N Det L = q1~N(R1R2 ■ ■ ■ Rn-xL^e1-»

— Ql N (L1R1R2 ■ ■ ■ RN-l)N£lq "N ■

Proof. It is not difficult to check the bicovariance condition for (3.1)-(3.8) by using the commutation properties of T's (2.4) and the definitions for left and right transitions on the quantum group (2.5), (2.11). Here we only mention the transformation properties of Det L:

6L(DetL) = 1 ®DetL, 6R{DetL) = DetL® 1.

The validity of the ordering condition for the quadratic monomials of T, fI, L can be verified by rewriting relations (3.1)-(3.6) in matrix components. Instead, we can convince ourselves of its validity by noticing that relations (3.1), (3.2), (3.4) contain the correct number of the commutation relations for the T's, STs, and Vs because of their symmetry properties

Pf{RTT' - TT'R)P± = P^ (RLRL - LRLR)P± = 0, P±(RSIRQ, + ÎIRÏIR-1 - Kq(il2 + Rn2R))Pf = 0.

40 L. D. FADDEEV AND P. N. PYATOV

Here P^ = (±i? + q,=Fl)/[2]g are the quantum symmetrizer and antisymmetrizer, respectively (see [15, 10]).

Now, let us concentrate on checking the diamond condition for monomials cubic in T, Q, and L. First, we choose a suitable complete set of such monomials:

(3 10) (R'RM)3, T{R'ft)2, RTT'0", R'R-iflR'^RnR'RL, TT'T", (R'RLf, T(R'L)2, RTT'L", R''1 R~lQ.(R' RL)2, TVL'R!LR!.

"I Here T" = T3 = I®2 <g> T and the same is true for Q" and L". The combinations

| (3.10) are constructed so that one can apply the "commutation rules" (3.1)-(3.6)

1 to any adjacent pair of generators entering into them. We interpret this opera-£ tion as the ((?-)permutation of a pair of generators. Applying the g-permutations

three times to the monomials (3.10), we arrange their entries in the inverse order. £ Obviously, this reordering can be performed in two different ways, depending on

2 whether we first permute the left pair of generators or the right one. The diamond £2 condition states that in both cases the result will be the same. We demonstrate how ° the calculations proceed in the most complex case of the (i?'iiii)3-reordering. This

example was already considered in [14] and here we present a simpler derivation. The calculations proceed as follows:

(R'RQ,)3 = RR' RilRflR' Ril

| l«-»2 perm.

- MlRR'RilRttR' ' + KqRR'(iI2 + RQ,2R)R'RQ

(3.11) J. 2^3 perm. RQRnR'RnR^R'^ - KqRnRR'{n2 + RQ2R)R'^

I l«->2 perm.

- ttRR'ttRR'^nR^R'^1 + Kq{tt2 + RQ,2R) R'RQR^R''1, and in another way

(R'RQ)3 = R'RilRR'Rnm

J, 2n3 perm.

- R!RttRUR'RflR-1 + KqR'Ri}RR'{Q2 + RQ,2R)

(3.12) I 1«2 perm. nRR'RilRnR'^R-1 - KqR'{Q,2 + R02R)R'RnR~1

| 2«3 perm.

- nRR'QRR'^nR^R'^1 + KqnRR'{n2 + Rft2R)i?'"1 R'1.

Here we use (2.2) and (3.2) through all the calculations. It remains to compare the rig-terms arising under transformations (3.11) and (3.12). Here we need one more formula (see [14]), namely

(3.13) Ril2RQ-flRn2R = 0.

It is derived as follows: denoting the left-hand side of (3.13) by U and using (3.2) twice, we obtain

(3.14)

U + KqRUR = 0.

"c

THE DIFFERENTIAL CALCULUS ON QUANTUM LINEAR GROUPS 41

Now, dividing U into the sum of (/-symmetric and g-antisymmetric parts U±,

U± = U ±RUR±\ U+ Pf = U- = 0, 1 + R~2

mi

we transform (3.14) into the following pair of relations

(I + KqR2)U+ = 0, (1 — Kq)U- — 0.

Then, under restrictions (1 + KqR2) / P^, Kq ^ 1, or, equivalently, [N ± 1], ^ ±qN[N]q ± 0, we get the desired relation (3.13).

Now one can compare the /i,-terms in (3.11) and (3.12), moving all the ft2 entries to the left. The result is the same in both cases and, thus, the diamond condition on (R'RQ)3 is satisfied. The same calculations, although simpler, can be carried out for all other monomials of (3.10), and we leave them as an exercise.

It remains to check the consistency of the 5,L9(AT)-reduction. The centrality of det,T is easily proved by using relation (2.8). Next, the application of Tr,(2) to

(3.2) and the subsequent use of the Hecke relation (2.3) give

[Tr, ft,ft]+ + AqNn2 = Kq([N]q + AqN) ft2 + Kq Tr„ ft2,

from which we conclude that Tr, ft anticommutes with $1 under the conditions that

• the parameter k, is chosen as in (3.7);

• the quadratic scalar combination TV, ft2 identically vanishes.

The latter statement is a direct consequence of (3.2). It is derived as follows. Applying Trq(ii2)(. • ■) and Trg(li2)(- • • -R-1) operations to (3.2) and using (2.14),

(2.3) we obtain a system of linear relations on the quadratic scalars (Tr, ft)2 and TV, ft2:

2 (TV, ft)2 - [jV],«, Trq ft2 = 0, -A(TY, ft)2 + (2 qN - Kq(qN + q~N)) Trqfl2=0.

The determinant of this system, <7iV[2]2[Ar](J/([./V]1j + AqN), does not vanish under the conditions of the theorem and, hence, we conclude that