Q-операторы Бакстера для систем Руйсенаарса, Сазерленда и Либа — Линигера тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Белоусов Никита Максимович

• Белоусов Никита Максимович
• кандидат наук
• 2024

Оглавление диссертации кандидат наук Белоусов Никита Максимович

Введение

Глава 1. Система Руйсенаарса

1.1 Основные результаты

1.1.1 Гамильтонианы и собственные функции

1.1.2 ^-операторы Бакстера

1.1.3 Локальные соотношения

1.1.4 Свойства собственных функций

1.2 ^-операторы Бакстера

1.2.1 Коммутативность с операторами Макдональда

1.2.2 Коммутативность ^-операторов

1.3 Свойства собственных функций

1.3.1 Локальные соотношения

1.3.2 Диагонализация ^-операторов

1.3.3 Дуальность

Глава 2. Система Сазерленда

2.1 Связь систем Сазерленда и Руйсенаарса

2.2 Собственные функции системы из двух частиц

2.3 ^-операторы

2.4 Равенство интегральных представлений

2.5 Ортогональность и полнота

2.5.1 Ортогональность

2.5.2 Полнота

Глава 3. Система Либа — Линигера

3.1 Гамильтониан и собственные функции

3.2 Метод обратной задачи

3.3 ^-оператор и преобразование Бэклунда

3.3.1 Преобразование Бэклунда

3.3.2 ^-оператор

Заключение

Стр.

Приложение А. Функция двойного синуса

Приложение Б. Некоторые неравенства

Введение

Работа посвящена исследованию трех квантовых интегрируемых систем: гиперболической системы Руйсенаарса, гиперболической системы Сазерленда и системы Либа — Линигера. Все они представляют собой модели частиц в одном измерении, где каждая частица взаимодействует со всеми остальными.

Классическая гиперболическая система Руйсенаарса была открыта Руйсенаарсом и Шнайдером как конечномерная система, описывающая траектории и рассеяние солитонов для уравнения синус-Гордона [1]. Несколько

Т \ и к» и и

позже Руйсенаарсом был найден квантовый вариант этой системы, сохраняющий свойство интегрируемости [2]. Гамильтонианы квантовой системы имеют вид

н = Е П/-(х - х) ПП- х), (1)

I С{1,...,п} ге1 ге1 ге1

\1\=к

где к = 1,... ,п и функции, описывающие взаимодействие,

/бЬ — (х ± га)

V

Руйсенаарсом и Шнайдером также были открыты рациональная, тригонометрическая и эллиптическая модели, которые отличаются типом функций /±(х).

Благодаря трансляционной инвариантности, диагонализация гамильтонианов Нк в случае двух частиц сводится к решению одномерного разностного уравнения. Двучастичные собственные функции были впервые представлены Руйсенаарсом в работах [3; 4]. Собственные функции системы из п частиц

Нк (Хп )Фа„ (Хп) = ^к (Ап )Фл„ (Хп ),

где

Хп = (х1,... ,Хп), Ап = (Аь ... ,Ап),

были построены гораздо позже Халлнасом и Руйсенаарсом [5] с помощью так называемых функций ядра к(хп,уп—1), удовлетворяющих тождествам [6]

И (Хп)К(Хп, Уп-1) = И (-Уп-1)К(Хп, Уп-1).

Здесь справа стоят гамильтонианы для системы из п — 1 частицы. Эти тождества позволяют строить собственные функции для п переменных рекуррентным образом.

Кроме того, в работе [5] было выдвинуто несколько гипотез относительно ключевых свойств построенных собственных функций, одной из которых была симметрия

ФЛ„ (ХпЫ = Фх„ (Ап|р *), (3)

где мы также подчеркнули зависимость собственных функций от параметра д (2) и обозначили д* = ш1 + — д. Еще при решении классической задачи Руйсенаарсом было обнаружено, что каноническое преобразование от исходных координат и импульсов к переменным действие — угол является инволюцией [7]. Аналогичное свойство в квантовом случае, в частности, означает, что собственные функции должны решать сразу две спектральные задачи

Ни (Хп )Фл„ (Хп) = Ни (Лп )ФЛ„ (Хп ),

Ик (Лп)Фл„ (Хп) = Ни (Хп)ФА„ (Хп) (4)

относительно координат т^ и спектральных параметров Aj соответственно. Наличие дополнительной спектральной задачи по Aj называют биспек-тральностью [8; 9], а соответствующие гамильтонианы дуальными. Как следствие, мы будем называть симметрию (3) биспектральной дуальностью. Ввиду инвариантности гамильтонианов (1) относительно замены д ^ д*, из этой симметрии следуют уравнения по Aj (4).

На практике биспектральная дуальность (3) сильно упрощает изу-

«Л Г" 1 *-* и 1 о

чение свойств собственных функций: всякое свойство этих функций как функций от координат Xj также верно для них как функций от спектральных параметров Aj. В частности, из дуальности следуют эквивалентность соотношений ортогональности и полноты, одинаковый вид асимптотик по Xj и Aj, эквивалентные симметрии и аналитические свойства по Xj и Aj.

При перенормировке константы д ^ дш1 в пределе и1 ^ 0 система Руйсенаарса сводится к гиперболической системе Сазерленда [2]. Последняя определяется гамильтонианом [3; 10]

п

Н = _у^ д2 + V д(д-1)

^ ' + —1 -П(х - Хз).

г=1 «,3=1 Ш2У '' 3'

«=3

Интегральное представление для собственных функций системы Сазерлен-да строится аналогичным образом из функций ядра, которые получаются в этом пределе [11]. Другая интегральная формула для собственных функций была найдена Харчевым и Хорошкиным с помощью представления Гельфанда-Цейтлина для группы ОЬ(п,Ж) [12]. Ими также была выдвинута естественная гипотеза, что два этих представления эквивалентны. Наличие двух интегральных представлений вновь связано со свойством бис-пектральности: как было показано в статьях [13; 14], собственные функции гиперболической системы Сазерленда также диагонализуют гамильтони-

I/ 1 \ и и ___

аны рациональной системы Руйсенаарса, действующие по спектральным параметрам.

Кроме того, еще до появления явных интегральных представлений собственные функции модели Сазерленда исследовались Хекманом и Опда-мом [15—19]. В частности, ими была доказана симметрия собственных функций относительно спектральных параметров, полнота и ортогональность, а также вычислены асимптотики относительно координат и изучены аналитические свойства. В работах Хекмана и Опдама собственные функции строились с помощью классического метода подстановки асимптотических рядов, однако в случае системы Руйсенаарса аналогичное представление в виде рядов неизвестно.

В некотором пределе из системы Сазерленда получается еще одна известная интегрируемая модель — открытая цепочка Тоды [20]. Собственные функции цепочки Тоды также имеют рекуррентные интегральные представления, связанные со свойством биспектральности [21—23]. В отличие от систем Руйсенаарса и Сазерленда, их эквивалентность была доказана достаточно давно в работах [24; 25]. Главным ингредиентом доказательств являются Q-операторы Бакстера.

^-оператор был впервые введен Бакстером при исследования вось-мивершинной модели [26; 27]. Впоследствии Q-операторы были построены

и использованы во многих других интегрируемых системах при изучении их спектра и собственных функций. ^-операторы Бакстера Q(A) представляют собой семейство операторов ^ € С), которые коммутируют друг с другом и с гамильтонианами системы

Й^Ш^ИМИ ] = 0,

и чьи собственные числа qудовлетворяют обыкновенному разностному или дифферециальному уравнению

Ж(^дл; {Ни}) q(A) = 0,

где Ни — собственные числа гамильтонианов [28]. Кроме того, как было продемонстрировано Кузнецовым и Скляниным, Q-операторы являются квантовым аналогом классических преобразований Бэклунда [28; 29].

Метод построения Q-операторов достаточно хорошо разработан для различных спиновых цепочек и их вырождений (таких как, например, уже упоминавшаяся цепочка Тоды). Характерной чертой таких моделей является взаимодействие только ближайших друг к другу частиц. Для них Q-операторы строятся из решений уравнения Янга-Бакстера, действующих в бесконечномерных пространствах [29—36]. Обобщение данного метода на случай систем с нелокальным взаимодействием, когда все частицы взаимодействуют друг с другом, неизвестно.

Для систем Руйсенаарса и Сазерленда Q-операторы были построены в случае тригонометрического взаимодействия [37; 38]. С точностью до некоторого преобразования подобия гамильтонианы тригонометрической системы Руйсенаарса эквивалентны операторам Макдональда, исследовавшимся в рамках теории симметрических функций [39]. Операторы Макдональда имеют дискретный спектр, их собственные функции даются полиномами Макдональда. Аналогичным образом тригонометрическая система Сазерленда диагонализуется полиномами Джека [40].

Для доказательства свойств Q-операторов в тригонометрических моделях использовалась теория соответствующих симметрических полиномов. Кроме того, для обоих моделей Q-операторы оказываются связаны с рекуррентными интегральными представлениями симметрических полиномов.

Таким образом, для исследования интегральных представлений собственных функций в гиперболических системах Руйсенаарса и Сазерленда

и, в частности, доказательства вышеупомянутых гипотез, естественно обратиться к Q-операторам Бакстера, чему посвящены первые две главы диссертации. Отметим, что еще одной мотивацией для изучения Q-операторов в этих моделях послужила работа [41], в которой показано, что функции ядра К, тесно связанные с интегральными представлениями собственных функций, в классическом пределе сводятся к производящим функциям преобразований Бэклунда для этих систем.

В третьей главе диссертации строятся Q-операторы для еще одной системы, в которой все частицы взаимодействуют друг с другом — модели Либа — Линигера. Эта модель характеризуется гамильтонианом

п п

2

Нь = + (х« - Х3)

«=1 «,3=1

«=3

и является одной из самых известных квантовых интегрируемых систем [42—44]. Ее собственные функции впервые были найдены с помощью координатного анзаца Бете Либом и Линигером [45].

В терминах полевых операторов модель Либа — Линигера эквивалентна квантовому варианту нелинейного уравнения Шредингера [44]. Это позволяет исследовать систему Либа — Линигера в рамках квантового метода обратной задачи [46] и, в частности, еще одним способом построить собственные функции системы (с помощью алгебраического анзаца Бете [47; 48]). Этот подход оказывается удобен для доказательства ряда свойств собственных функций.

В случае периодических граничных условий на собственные функции Либа — Линигера

Нь Фа„ (хп)= А?) ФЛ„ (хп),

3=1

Л„ (Хп)= V А2 Фа„ (Хп), (5)

где х3- € [0, £], спектральные параметры А3 удовлетворяют знаменитым уравнениям Бете [45]

п

Л р

е "чр =

гЛ-Р ТТ А3 - Ак + 1с •

1 _ т3-л-, ] = 1,..., П.

А А А3- - Ак - гс

к=1

к=3

Эти уравнения эквивалентны отсутствию полюсов по А у функции

т(А) = е-* д(А + :с) + е* д(А -;с), (6)

где

п

q(A) = П(A - Aj). (7)

з=1

В рамках алгебраического анзаца Бете функция т(A) является собственным числом трансфер-матрицы — производящей функции операторов, коммутирующих с гамильтонианом модели И [46].

Для системы Либа — Линигера, как и для других интегрируемых моделей, Q-оператор Бакстера позволяет получить уравнения Бете альтернативным образом. По исходной идее Бакстера [26] полином q(A) (7) интерпретируется как собственное число Q-оператора, а уравнение (6) -как тождество для трансфер-матрицы и Q-оператора

= е-¥Q(A + 1С) + е^Q(A - 1с).

Кроме того, по построению Q-оператор представляет собой еще одну производящую функцию для гамильтонианов системы.

Как уже упоминалось, классическим аналогом Q-операторов Бакстера являются преобразования Бэклунда [29]. Для нелинейного уравнения Шредингера, квантовый вариант которого эквивалентен системе Либа -Линигера, соответствующее преобразование Бэклунда исследовалось в работах [49—51]. Как показано в третьей главе диссертации, Q-оператор, построенный по этому преобразованию, с точностью до некоторой нормировки совпадает с виковским символом, изучавшимся в статье [52]. Также, следуя идеям лекций [29], в третьей главе мы даем новый способ построения преобразования Бэклунда для нелинейного уравнения Шредингера, который оказывается удобен при исследовании свойств соответствующего Q-оператора.

Цель и задачи диссертационной работы

Основной целью данной работы является применение Q-операторов Бакстера для исследования моделей с нелокальным взаимодействием: гиперболической системы Руйсенаарса, гиперболической системы Сазерленда и системы Либа — Линигера.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Построить семейство Q-операторов Бакстера для гиперболической системы Руйсенаарса и исследовать их свойства.

2. С помощью Q-операторов доказать биспектральную дуальность собственных функций системы Руйсенаарса. Изучить свойства собственных функций, вытекающие из этой дуальности.

3. Для гиперболической системы Сазерленда из двух частиц построить Q-операторы и исследовать их свойства. С помощью Q-операторов доказать эквивалентность интегральных представлений и ортогональность двучастичных собственных функций.

4. Построить Q-операторы Бакстера для системы Либа — Линигера с периодическими граничными условиями и доказать их основные свойства.

Научная новизна и положения, выносимые на защиту

Все основные результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем.

1. Построены Q-операторы Бакстера для гиперболической системы Руйсенаарса. Доказана коммутативность Q-операторов друг с другом и с гамильтонианами системы. Выведены локальные коммутационные соотношения между Q-операторами и Л-операторами Халлнаса — Руйсенаарса, с помощью которых строится интегральное представление собственных функций системы. Продемонстрировано, что собственные функции гамильтонианов диагонализуют построенные Q-операторы.

2. Доказана биспектральная дуальность собственных функций системы Руйсенаарса. Как следствие, доказаны: симметрия собственных функций по спектральным параметрам; гипотеза Руйсенаарса о разностных гамильтонианах, действующих по спектральным параметрам, и диагонализация дуальных Q-операторов, действующих по спектральным параметрам. Кроме того, получено новое интегральное представление для собственных функций.

3. Построены два семейства дуальных (в смысле биспектральной задачи) Q-операторов для гиперболической системы Сазерленда из

двух частиц. Для обоих семейств Q-операторов доказаны следующие свойства: коммутативность, локальные соотношения с Л-операторами, с помощью которых строятся собственные функции, и диагонализация собственными функциями гамильтонианов. С помощью Q-операторов дано новое доказательство эквивалентности интегральных представлений двучастичных собственных функций, а также их ортогональности.

4. Построен Q-оператор для системы Либа — Линигера с периодическими граничными условиями. Представлен новый вывод преобразования Бэклунда для нелинейного уравнения Шрединге-ра, связанного с этим Q-оператором. Доказано, что Q-операторы коммутируют друг с другом, с гамильтонианами системы, а также удовлетворяют уравнению Бакстера.

Теоретическая и практическая значимость

Работа носит теоретический характер. Результаты первой главы подтверждают давнюю гипотезу о биспектральной дуальности гиперболической системы Руйсенаарса. Ожидается, что эта дуальность упростит изучение аналитических свойств собственных функций. Результаты второй главы говорят об универсальности предложенного подхода, который в дальнейшем может быть использован при изучении более сложных квантовых интегрируемых систем с нелокальным взаимодействием, например, моделей Руйсенаарса и Сазерленда, соответствующих другим корневым системам.

Также ожидается, что результаты, изложенные в первых двух главах диссертации, стимулируют изучение решений уравнения Янга-Бакстера, связанных с бесконечномерными представлениями квантовых групп, которые позволили бы установить интерпретацию построенных Q-операторов с точки зрения теории представлений.

Кроме того, поскольку система Руйсенаарса описывает поведение со-литонов в ряде интегрируемых нелинейных уравнений, таких как уравнение Кортевега — де Фриза и уравнение синус-Гордона, результаты первой главы могут быть использованы при дальнейшем исследовании квантовых вариантов этих уравнений.

В третьей главе связь между классическими преобразованиями Бэклунда и Q-операторами впервые демонстрируется для нелинейного ин-

тегрируемого уравнения в частных производных. Ее результаты могут быть использованы при изучении биспектральной задачи для системы Ли-ба — Линигера.

Методология и методы исследования

При доказательстве основных результатов диссертации были использованы методы теории функций комплексной переменной; асимптотический анализ многократных интегралов; метод обратной задачи для нелинейных интегрируемых уравнений и функциональные методы из квантовой теории поля.

Апробация работы

Основные результаты работы докладывались на следующих конференциях и семинарах:

1. Семинар лаборатории математических проблем физики ПОМИ РАН, Санкт-Петербург, 8 апреля

2. Объединенный воркшоп ПОМИ и ВШЭ по квантовой интегрируемости, Санкт-Петербург, 3-6 июня

3. Конференция «Геометрия и интегрируемость», Сколково, Москва, 18-22 сентября

4. Семинар по интегрируемым системам Лидсского университета (University of Leeds), 13 октября

5. Семинар по интегрируемым системам Пекинского института математических наук и их приложений (Beijing Institute of Mathematical Sciences and Applications), 14 ноября

Публикации

Основные результаты по теме диссертации изложены в 5 работах [80—84], которые изданы в журналах, рекомендованных ВАК.

Личный вклад

Все результаты диссертационной работы были получены лично автором [84] или при непосредственном его участии [80—83]. Во втором случае личный вклад диссертанта, который можно выделить явно, включает теорему 1, часть теоремы 2 в виде утверждений 1, 5 и леммы 3 из [80]; теоремы

2-5, следствия 1-6, утверждение 1 и леммы 1-3 из [81]; доказательства утверждений раздела 3 из [82] и утверждений раздела 4 из [83].

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Q-операторы Бакстера для систем Руйсенаарса, Сазерленда и Либа — Линигера»

Структура работы

Во введении обсуждается актуальность темы, формулируются цель и задачи диссертации, а также основные положения, выносимые на защиту.

Глава 1 посвящена гиперболической системе Руйсенаарса.

В разделе 1.1 собраны основные результаты, касающиеся Q-операторов и собственных функций системы, и описаны идеи их доказательств.

В разделе 1.1.1 определены гамильтонианы системы и с точностью до преобразования подобия эквивалентные им операторы Макдональда. Кроме того, введены функции меры и ядра, из которых строятся все интегральные операторы этой главы. В терминах этих функций определены Л-операторы, с помощью которых строится рекуррентное интегральное представление собственных функций Халлнаса — Руйсенаарса. Необходимые свойства функций меры и ядра приведены в Приложении А.

В разделе 1.1.2 определены Q-операторы Бакстера и сформулированы теоремы об их коммутативности друг с другом и операторами Макдональда. Также в этой части обсуждается, как Q-операторы возникают при анализе асимптотик собственных функций.

В разделе 1.1.3 приведены локальные коммутационные соотношения между Q- и Л-операторами и теорема о диагонализации Q-операторов, которая следует из них. Помимо этого, получено разностное уравнение, которому удовлетворяет собственное число Q-оператора.

Раздел 1.1.4 посвящен свойствам собственных функций. Введены дуальные в смысле биспектральной задачи Q- и Л-операторы и сформулирована теорема о биспектральной симметрии собственных функций. Обсуждаются следствия этой теоремы: симметрия собственных функций относительно спектральных параметров; разностные и интегральные уравнения на собственные функции по спектральным параметрам и асимптотика собственных функций по координатам. Также приведено новое интегральное представление для собственных функций.

В разделах 1.2 и 1.3 приведены доказательства основных результатов главы 1.

В разделе 1.2.1 с помощью тождеств на функции ядра доказана коммутативность Q-операторов и операторов Макдональда.

Раздел 1.2.2 посвящен доказательству интегрального тождества, соответствующего коммутативности двух Q-операторов. В частности, продемонстрировано, что ядро произведения двух Q-операторов является абсолютно сходящимся интегралом. Доказательство интегрального тождества проводится по вычетам в два шага. На первом шаге доказывается, что все кратные полюса, которые появляются из функций меры при последовательном снятии интегрирований, сокращаются между собой. На втором шаге равенство вычетов в простых полюсах сводится к известным комбинаторным тождествам.

В разделе 1.3.1 продемонстрировано, что интегральное тождество, соответствующее локальному соотношению между Q- и Л-операторами, является пределом тождества, соответствующего коммутативности Q-операторов. Также показано, что локальное соотношение между двумя Л-операторами эквивалентно коммутативности Q-операторов.

В разделе 1.3.2, исходя из локальных соотношений и рекуррентного построения собственных функций системы, доказана диагонализация Q-операторов собственными функциями операторов Макдональда. Продемонстрировано, что кратные интегралы, которые встречаются в этом вычислении, абсолютно сходятся. При этом используются нетривиальные неравенства, которые сформулированы и доказаны в Приложении Б.

Раздел 1.3.3 посвящен доказательству биспектральной дуальности собственных функций. Для этого с помощью двух семейств дуальных Q-операторов выводится новое интегральное представление собственных функций.

Глава 2 посвящена гиперболической системе Сазерленда.

В разделе 2.1 обсуждается связь между системами Руйсенаарса и Сазерленда через так называемый нерелятивистский предел.

В разделе 2.2 приводятся два интегральных представления двучастич-ных собственных функций, а также дуальные гамильтонианы, которые они диагонализуют.

В разделе 2.3 проанализированы асимптотики собственных функций и введены два семейства Q-операторов, соответствующие двум интегральным представлениям собственных функций. Доказана коммутативность

обоих семейств Q-операторов и локальные соотношения с соответствующими Л-операторами, из которых следуют свойства диагонализации Q-операторов.

В разделе 2.4 дано новое доказательство эквивалентности интегральных представлений собственных функций, использующее свойства введенных Q-операторов.

В разделе 2.5 обсуждается новый способ доказательства ортогональности и полноты собственных функций с помощью Q-операторов.

Глава 3 посвящена системе Либа — Линигера.

В разделе 3.1 обсуждаются собственные функции системы, полученные Либом и Линигером, и уравнения Бете, возникающие при наложении периодических граничных условий. Также рассмотрен формализм полевых операторов и связь с нелинейным уравнением Шредингера.

В разделе 3.2 приведены необходимые сведения из метода обратной задачи для нелинейного уравнения Шредингера.

Раздел 3.3 посвящен классическому преобразованию Бэклунда и связанному с ним Q-оператору.

В разделе 3.3.1 приведен новый вывод преобразования Бэклунда, основанный на калибровочном преобразовании Ь-матрицы нелинейного уравнения Шредингера.

В разделе 3.3.2 по преобразованию Бэклунда строится Q-оператор как интегральный оператор, действующий в пространстве Фока. Также приведена более компактная формула для Q-оператора в виде нормально упорядоченной экспоненты. С помощью нее доказаны коммутативность Q-операторов друг с другом, с производящей функцией гамильтонианов модели, а также разностное уравнение с производящей функцией гамильтонианов (уравнение Бакстера). Кроме того, продемонстрировано, что Q-оператор диагонализуется собственными функциями гамильтонианов. В конце раздела доказано, что полученная формула для Q-оператора совпадает с другим выражением для него, полученным в рамках теории представлений вырожденной аффинной алгебры Гекке.

В заключении диссертации приводятся основные результаты, а также обсуждаются дальнейшие планы по развитию темы.

Глава 1. Система Руйсенаарса

1.1 Основные результаты

1.1.1 Гамильтонианы и собственные функции

В этой главе мы опишем основные результаты для гиперболической системы Руйсенаарса из п частиц. Модель задается семейством коммутирующих операторов

Нк=еЩ 1 ^ - - :з) п щ^ 'Х;--+;з). (1.1)

1с[п] г€/ V вП ^(Хг Х) ге1 г€/ V вП ^(Хг Х)

|/|=к з£!

где к = 1..... п. Здесь сумма идет по подмножествам

I С [п] = {1.....п}. (1.2)

мощности |11 = к. Операторы Нк действуют на функции от п координат

ХП = (х1. .... (1.3)

и содержат произведения операторов сдвигов

б-1^ ^(жп) = ^(хЬ . . . . Хг - . . . . . Хп). (1.4)

В исходной физической постановке задачи ш1 = Й/тс > 0, и вещественные параметры не умаляя общности, можно считать положительными. Руйсенаарс показал [2], что такие операторы коммутируют друг с другом

Ук.ш: Нк Нт = Нт Нк. (1.5)

Кроме того, при € К операторы Нк формально самосопряжены от-

носительно стандартного скалярного произведения

|<£> = (1Хп ^(Жп) ^(®п). (1.6)

'М"

Общие собственные функции операторов Hk, симметричные по координатам, были построены Халлнасом и Руйсенаарсом в работе [5]. Ключевым элементом построения является функция двойного синуса S2(z|w), где ш = (¡x>i,w2), удовлетворяющая разностным уравнениям

S2(z + = 1 S2(z + = 1 (1 7)

S2(z |ш) =2 sin g, S2(z |ш) =2 sin g'

Функцию двойного синуса можно интерпретировать как некоторое обобщение гамма-функции Эйлера. Интегральное представление и другие свойства этой функции приведены в Приложении А.

С помощью функции двойного синуса, в частности, от Hk можно перейти к более простым операторам Макдональда. Введем функцию меры

д(х) = д(х; #|ш) = S2(ix|w) S-1(ix + д|ш), (1.8)

а также ее попарное произведение, зависящее от n координат,

п

Mxn) = JJ м(хг - Xj). (1.9)

i,j=1

i=j

Заметим, что при вещественных g,w1,w2 последняя функция неотрицательна д(хп) ^ 0. Тогда операторы Макдональда, определенные преобразованием подобия

Mk = Hk ^м(®п), (1.10)

VM(xn)

имеют вид

Mk = ЕП ShI ^ -j - ;g) П e-^. (1.11)

IC[n] iel W2V i j iel

|1 |=k j(/I

Как и исходные операторы Hk они коммутируют друг с другом

Vk,m: Mk Mm = Mm Mk. (1.12)

Общие собственные функции двух семейств операторов и Фм, исходя из формулы (1.10), связаны соотношением

ФЯ(Хп) = V^n) ФМ(Xn). (1.13)

Как следствие, при д,^,ы2 € К операторы Макдональда формально самосопряжены относительно скалярного произведения с мерой д(жп)

= ё,Хп м(жп) ^(жп) ^(жп). (1.14)

ижп

При € К комплексное сопряжение гамильтонианов эквивалентно

отражению координат

Ик(Хп) = Нк( хп). (1.15)

Поэтому операторы Мк также формально самосопряжены относительно билинейной формы

= / ¿Хп ^(Хп) ^(-Хп) ^(Хп), (1.16)

,/М"

причем это верно и в случае комплексных параметров д,^,ы2. Хотя квантово-механическую интерпретацию имеет только случай вещественных большая часть результатов данной работы верна и для комплексных параметров. Поэтому в дальнейшем мы будем считать параметры ¡х>2 комплексными с положительной вещественной частью

Ие > 0, Ие ^2 > 0 (1.17)

и предполагать следующие два условия на комплексный параметр д

0 < Иед < Ие^ + Ие^2, Ие > 0. (1.18)

Заметим, что в случае вещественных последнее неравенство следует

из всех остальных. В качестве области определения операторов Мк возьмем функции ^(хп) аналитичные в полосах

1т х € [- Ие 0], у = 1,...,п. (1.19)

В работе [5] Халлнас и Руйсенаарс построили интегральное представление для общих собственных функций операторов Мк. Помимо функций меры (1.8) это интегральное представление состоит из функций ядра

К(ж) = К(ж; д|и) = £2-1 (гж + 9— и) £2-1 (—ж + у и) , (1.20) где использовано обозначение

д- = + ^2 - д. (1.21)

Заметим, что благодаря формуле отражения (А.9) функции меры и ядра связаны соотношением

м(ж) = К-1(ж + ^). (1.22)

Введем также обозначение для произведения таких функций

к т

К(Жк, Ут) = П П К(ж - У) (1.23)

2=1 3 = 1

и обозначение для суммы координат вектора Жк

жк = Х1 + ... + Жк. (1.24)

Кроме того, введем константу

^ = = -1 52(#М]-П. (1.25)

ГП»

С помощью введенных обозначений определим интегральный оператор Лп(Л), действующий на функциях от n — 1 координаты по формуле

[ЛП(Л) (ж Myn_i)

J Rn-1 (1.26)

X e2niA(x«_y«-i) K(ж„, yn_i) ^(yn_i).

Общие собственные функции операторов Макдональда (1.11) строятся с помощью Л-операторов рекуррентным образом. А именно,

Фл„(ж„) = ЛП(ЛП) Фл„-1 (жп_1), ФА1 (xi) = e2niAlxi, (1.27)

или более явно

Фл„(жп) = ЛП(ЛП) Л^^Л^) • • • Л2(Л2) e2niAlXl. (1.28)

Как показано в разделе 1.3.2, многократный интеграл (1.28) абсолютно сходится при условиях (1.17), (1.18).

Теорема. [5] Функция ФЛп (жп) является собственной для операторов Макдональда

Mk Фл„ (жп) = ek (e2™lAl,..., e2™lAn) Фл„(жп), (1.29)

где k = 1,..., n, при условиях (1.17), (1.18), а также

Reg< Reш2. (1.30)

Здесь бк — элементарные симметрические многочлены

бк (¿1,...,^ ) = ••• ^ . (1.31)

В случае вещественных ¡х>2 эта теорема была доказана в работе [5],

а в статье [81] доказательство было обобщено на случай комплексных параметров.

1.1.2 ^-операторы Бакстера

В работе [5] были сформулированы гипотезы относительно ключевых свойств собственных функций операторов Макдональда Фд„ (жп) (1.27): симметрий, асимптотик, ортогональности и полноты, мероморфности. Оставшаяся часть этой главы посвящена формулировке и доказательству части этих свойств. Ключевым объектом при их доказательстве являются Q-операторы Бакстера. Результаты этой главы были опубликованы в работах [80; 81].

Определим Q-оператор Бакстера как интегральный оператор Qn(A), действующий на функциях от п координат ^>(жп) по формуле

^п(А) ч>] (жп) = Ъ [ д(у„) б2пгЛ(Жп-уп) К(жп, Уп) ^(уп). (1.32)

Jмn

Константа определена в (1.25). Заметим, что ядро Q-оператора отличается от ядра Л-оператора (1.26) только заменой уп-1 ^ уп. Более того, исходя из явного вида ядер, операторы связаны соотношением

п—1

Лп(А) = б2п1ЛХп Qn—1(А) П К(хп — ж). (1.33)

3=1

Ключевым свойством Q-операторов является их коммутативность. Обозначим

V = Ке —^ (1.34)

и заметим, что ^ > 0 в соответствии с условием (1.18). В разделе 1.2.2 доказано, что произведение двух Q-операторов

Qn(A) Qn(p)

(1.35)

является интегральным оператором с ядром, задаваемым абсолютно сходящимся интегралом. Кроме того, в разделе 1.2.2 доказана следующая теорема.

Теорема 1. При условиях (1.17), (1.18) операторы Бакстера коммутируют

Qn (А) Qn (р) = Qn(p) Qn(A). (1.36)

Ядра операторов в обеих частях (1.36) являются аналитическими функциями А, р в полосе

| Im(A - р)| < Vg. (1.37)

Как объяснено в следующих разделах, это свойство Q-операторов позволяет доказать симметрии собственных функций. Помимо этого, в работе [6] Руйсенаарс доказал, что функция K(xn, yn), содержащаяся в ядре Q-оператора (1.32), удовлетворяет разностным уравнениям с операторами Макдональда

Mk (Xn) K (Xn, yn) = Mk ( Уп) к (Xn, yn), (1.38)

где k = 1,..., n. Здесь в аргументах операторов Mk указаны переменные, по которым они действуют. С помощью этих уравнений и самосопряженности операторов Mk относительно билинейной формы (1.16) в разделе 1.2.1 доказана следующая теорема.

Теорема 2. Операторы Макдональда и Q-операторы коммутируют

Mk Qn(А) = Qn(A) Mk, (1.39)

где k = 1,..., n, при условиях (1.17), (1.18), а также

Reg< Reш2. (1.40)

В конце этого раздела приведем рассуждение о том, как идея рассмотрения оператора Qn(А) (1.32) возникает при анализе асимптотик собственной функции Фд„ (xn). Заметим, что в модели Руйсенаарса взаимодействие между частицами уменьшается при увеличении расстояния между ними — отношения синусов в операторах Макдональда

Mk = ЕП ShiXj) П e-"A> (1.41)

I C[n] i€/ i j i€/

|1 |=k j ^

зависят только от разностей координат ж — и стремятся к константе при увеличении этих разностей. В пределе жп ^ то мы формально можем записать

Мк(жп) - г'к Мк(жп—1)+ гп—к Мк—1(жп—1) б-1^, (1.42)

где в аргументах операторов мы выделили кооординаты, по которым они действуют, так что справа стоят операторы Макдональда для системы из п — 1 частицы (и подразумевается М0 = 1). Кроме того, мы обозначили константу

г = б—^. (1.43)

Исходя из формальной записи (1.42) можно предположить, что асимптотика собственной функции операторов Мк(жп) при жп ^ то имеет вид

ФЛ„ (жп) - с(Лп) ФлП_1 (жп—1) б2п1ЛПхп. (1.44)

То есть асимптотика является собственной функцией оператора, стоящего справа в формуле (1.42). Коэффициент с(Лп) зависит от нормировки собственных функций, а связь между спектральными параметрами А3 и А'

А' = Аз — ——, ] = 1,...,п — 1, 3 ' 2^2 (1.45)

Ап = А» + 2^(п — 1)

о и и «л 1

можно найти, сравнив собственные числа левой и правой частей формулы (1.42), используя формулу (1.29) и рекуррентную формулу для симметрических полиномов

бк (¿1, . . . ,*п) = бк (¿1, . . . , ¿п—1) + ¿п бк —1(^1, . . . ,^п—1). (1.46)

Теперь рассмотрим ту же асимптотику, исходя из интегрального представления собственной функции (1.27). Во-первых, из определений Л-оператора (1.26) и Q-оператора (1.32) следуют соотношения

1а )

баж- Лп(А) б—«^п-1 =Л^А — — I (1.47)

баж- Qn(A) б—^ = Qn(A — ^). (1.48)

В силу (1.47) для интегрального представления (1.28) верна формула

бажп Фл„(жп) = Фл„ — £еп (жп), (1.49)

где мы ввели вектор

еп = (1,..., 1) е Кп. (1.50)

Тогда ввиду соотношения (1.33) и асимптотик функций ядра (А.22)

К(хп — х) — е(х_Хп), хп ^ то, (1.51)

мы (формально) находим асимптотику представления (1.27)

п—1

ФЛ„ (Хп) - е2пгЛ"Жп ^п—1(Лп) П е^(х—Флп.! (®п—1)

3=1

= е2пгЛ"ж" ^п—1(Лп) Фли (®п—1), (1.52)

где при переходе ко второй строчке мы использовали формулу (1.49) и обозначения (1.45). Сравнивая формулы (1.44) и (1.52), естественно предположить, что функции Фл„ 1 (жп-1) являются собственными для оператора 1(Лп), а коэффициент с(Лп), определяющийся нормировкой собственных функций, играет роль собственного числа ^-оператора. Как объяснено в следующем разделе, это предположение может быть доказано с помощью локальных коммутационных соотношений между ф- и Л-операторами.

Еще одной мотивацией для рассмотрения операторов (1.32) было следующее наблюдение. В теории интегрируемых систем ф-оператор Бакстера является квантовым аналогом преобразования Бэклунда. Общая схема, описывающая связь между ядром ф-оператора и производящей функцией преобразования Бэклунда, а также соответствие между их свойствами, изложены Кузнецовым и Скляниным в работе [28], а также в лекциях [29]. В случае модели Руйсенаарса связь между функциями в ядре оператора фп(Л) (1.32) и преобразованием Бэклунда была установлена в работе [41].

1.1.3 Локальные соотношения

Коммутационное соотношение

фп(Л) фп(р) = фп(р) Фп(Л),

(1.53)

записанное в терминах ядер операторов, после несложных переобозначений становится эквивалентно локальному соотношению между Л-операторами. А именно, в разделе 1.3.1 доказано следующее утверждение.

Теорема 3. Локальное соотношение

Лп(А) Лп—1(р) = Лп(р) Лп—1(А) (1.54)

выполняется при А, р Е С, таких что

11т(А — р)| < ^. (1.55)

Собственные функции операторов Макдональда Фл„ (жп)

Фл„(жп) = Лп(Ап) Лп—1(Ап—1) • • • Л2(А2) 62п1л1 Х1 (1.56)

также являются собственными для Q-операторов, что согласуется с коммутационным соотношением из предыдущего раздела

[Мк, Qn(A)] =0. (1.57)

Доказательство диагонализации Q-операторов функциями Фл„ (жп) основано на локальном соотношении между Q- и Л-операторами. Это локальное соотношение в свою очередь получается в качестве предела коммутационного соотношения (1.53). Как уже отмечалось, ядра операторов Лп(А) и Qn(А)

Л(жп, Уп—1; А) = м(Уп—1) б2п1Л(жп— У«-1} К (жп, Уп—1), (1.58)

Q(жn, Уп; А) = м(уп) б2пгЛ(ж«— ) К (жп, Уп) (1.59)

отличаются только заменой Уп—1 ^ Уп. Исходя из асимптотик д- и К -функций (А.22), они связаны в пределе уп ^ то следующий образом

Ит 6п^у„-1+п(21Л+(2—Q(жn,Уп; А) = Л(жп,Уп—1; А — |). (1.60)

Уп ^то V 2 /

Здесь использовано компактное обозначение

а

СС =— (1.61)

—^2

для любого а Е С, так что

С = —, ¿=(-1. (1.62)

—1—2 \—2 -1)

Обозначим также по аналогии с g* = Wi + w2 — g

Л Л Л g* g = Wi + W 2 — g = - = g*. (1.63)

и введем функцию

£(Л) = K(A;g*|w) = S2—^iA + ||w) S—L(—iA + . (1.64)

Рассматривая аналогичный предел (1.60) коммутационного соотношения (1.53), в разделе 1.3.1 мы доказываем следующую теорему.

Теорема 4. Локальное соотношение

Qn(A) Лп(р) = £(A — р) Лп(р) Qn—i(A) (1.65)

выполняется при A, р G C7 таких что

I Im(A — р)| < V2f. (1.66)

Замечание 1. Соотношение (1.54) может быть альтернативно получено как предел тождества (1.65).

Появление в правой части (1.65) функции i^(A — р) связано с интегральным тождеством (А.27)

/ dx e2niAxK(x) = S2(g) i^(A), (1.67)

J R

которое представляет собой преобразование Фурье функции ядра.

Глядя на представление собственной функции (1.56) и локальное соотношение (1.65), нетрудно понять, что Фд„ (xn) является собственной функцией Q-оператора. В разделе 1.3.2 мы приводим доказательство этого факта, включая обоснование абсолютной сходимости интегралов, которые встречаются по пути.

Теорема 5. Функция Фд„ (xn) является собственной для Q-оператора

n

Qn(A) ФЛ„(xn) = П K^(A — Aj) Фл„(®n). (1.68)

j=i

Интегралы в обеих частях (1.68) абсолютно сходятся при

| Im(A — An)| < Vif (! — I Im(Ak — Aj)| ^ 0(e), (1.69)

где = 1,..., п, параметр е Е [0,1) и

= 2(П-Г)ее (1.70)

Приведем простое следствие этой теоремы, касающееся собственного числа ^-оператора

п

д(Л, Лп) = П ^(Л - А,-). (1.71)

3=1

Для этого объединим собственные числа операторов Макдональда (1.29) в производящую функцию

п

Е(А, Лп) = П(е'2ж"'Л - е2'"1А))

'=1 (1.72)

п

""у —1)к е2п(п-к)^1А е2п^1Ап^

к=0

Используя разностное уравнение для функции двойного синуса (А.1), нетрудно доказать, что собственное число ^-оператора удовлетворяет следующему разностному уравнению по Л

Е(А + | — гил) д(Л — 1) = Е(л — |) д(Л), (1.73)

коэффициенты которого выражаются через собственные числа гамильтонианов (что является характерным свойством ^-операторов [28]).

1.1.4 Свойства собственных функций

Собственная функция

Фл„ (®п) = ФЛ„ (®п; р|01,02) (1.74)

обладает набором симметрий по всем своим переменным и параметрам. Во-первых, ввиду симметричности двойного синуса по о1,о2 (А.4)

|и1,и2) = ^2(^1^2,01), (1.75)

собственная функция тоже симметрична по

Фл„ (жп; д^,^) = Фл„ (жп; д (1.76)

Тогда из (1.29) следует, что при условии

0 < Иед< шт(ИеИеы2) (1.77)

помимо исходных операторов Макдональда М^(жп; д|ы1,ы2) (1.11) собственная функция диагонализует операторы

М(х;д|ш2,ш1) = £ П (Г(- д) Пе"'"2в" (1.78)

/С[п] ¿6/ ( 1 ^) ¿6/

|/ |=Л

со сдвигами координат на — I ¡х>2.

Кроме того, интегральное представление (1.27)

Фл„ (жп) = 1 1 м(Уп—1)

•/М"-1

X e2niAn(x«-yn-1) K(жп, yn-!) Фл„ 1 (yn-0

(1.79)

явно симметрично по координатам Xj.

Другие симметрии, рассматриваемые дальше, уже не столь очевидны и основываются на теоремах из предыдущего раздела и рекуррентности интегрального представления (1.28)

Фл„(®n) = ЛП(ЛП) An_i(An_i) • • • Д2(Л2) e2niAlX1. (1.80)

Для объяснения следующей симметрии введем аналог функции меры (1.8) на пространстве спектральных параметров Aj

/(Л) = /(Л; g*|£) = S2(гЛ|£) S2-1(iA + g*|£) (1.81)

и ее попарное произведение

n

Д(лп)= П M(Ai _ Aj). (1.82)

Заметим, что благодаря формуле отражения (А.9) /¿-функция связана с уже встречавшейся при описании собственного числа Q-оператора ^-функцией (1.64) по формуле

/(Л) = k-1(л + | ). (1.83)

Введем также попарные произведения КС-функций

п т

К^(Лп, 7т) = ПП ^(А* — ). (1.84)

*=1 ,=1

С помощью введенных функций определим аналоги Л- и ^-операторов, действующие на функциях от спектральных параметров А,

[Лп(ж) (Лп) = ¿п—1()*|ш) / ^7п—1 м(7п—1)

'М"-1

X е2п1х(Лп—2"-1) К)(Л„, 7п—1) р(7п—1),

(1.85)

[<5п(ж) (Лп) = ) ^7п Д(7п)

'М"

X е2п1х(л"—К^(Лп, 7п) р(7п).

(1.86)

Поскольку в сущности эти операторы отличаются от исходных лишь инволюцией параметров д ^ )*, ш ^ ш, для них верны локальные соотношения

Оп(ж) Оп(у) = Оп(у) Оп(х),

Лп(х) Лп—1 (у) = Лп(у) Лп—1(Х), (1.87)

<Оп(ж) Лп(у) = К(X — у) Лп(у) <5п—1(х),

где в последней формуле участвует К-функция, содержащаяся в ядрах исходных Л- и ^-операторов. Для выполнения этих соотношений здесь и впоследствии мы предполагаем условия

0 < Иед< Иео1 + Иео2, 0 < Иед < Ие0 1 + Ие02. (1.88)

Заметим, что при о1,о2 Е М они эквивалентны.

С помощью Л-операторов можно рекуррентным образом построить собственные функции О-оператора

Ф X" (Лп) = (Лп; д*|ш)

= Лп(Хп) Лп—1(Хп—1) • • • Л2(Х2) е2п1А1Х1, так что аналогично Теореме 5

(1.89)

<§п(ж) ФX"(Лп) = П К(X — X) фX"(Лп). (1.90)

3=1

Используя спектральные тождества для ф-операторов (1.68), (1.90), рекуррентное построение их собственных функций и связь между ф- и Л-операторами

п—1

ЛП(А) = е2пЛхп фп—1(А) П К(хп — х),

П=1 (1.91)

п— 1

Лп(х) = е2пЛпХ фп—1(х) П К(Ап — А,)

з=1

в разделе 1.3.3 доказана следующая симметрия.

Теорема 6. Собственная функция Фд„(хп) удовлетворяет соотношению дуальности

ФЛ„ (хп; дИ = Ф*п (Ап; д*|£). (1.92)

Замечание 2. В случае п = 2,3 соотношение дуальности было другим способом доказано в работе [53].

Иными словами, собственная функция системы Руйсенаарса имеет два интегральных представления

Фа„ (Хп) = Лп(Ап) ФЛп-! (Хп— 1) = Лп(Хп) ФЛп-! (Хп—1) (1.93)

рекуррентных по координатам и спектральным параметрам соответственно. Функции, из которых строятся эти представления отличаются только заменой параметров д ^ д*, ^ ^ £. Следовательно, любое свойство собственной функции как функции хп также становится ее свойством как функции Ап (и наоборот). Например, как уже обсуждалось, исходное интегральное представление (1.79) симметрично относительно ж3, а значит из (1.92) следует симметрия относительно Аз .

Следствие 1. Собственная функция ФЛп (хп) инвариантна относительно перестановок компонент векторов хп и Ап.

Замечание 3. Симметрия относительно А3 также следует из локального соотношения между Л-операторами (1.54)

Лп(А) Лп—1(р) = Лп(р) Лп—1(А) (1.94)

и абсолютной сходимости интегрального представления (1.80) (раздел 1.3.2).

Приведем еще два прямых следствия Теоремы 6. Исходная функция ФЛ„(жп) была собственной для операторов Макдональда и ^-операторов, действующих на функциях от координат ж3. Следовательно, она также является собственной для аналогичных операторов, действующих на функциях от спектральных параметров А3.

Следствие 2. Функция ФЛп (жп) является собственной для двух Q-операторов

п

Qn(А) Фл„(Хп) = П К^(А - А,) Фл„(®п), (1.95)

3=1

п

<5п(ж) Фл„ (Хп) = П К(х - X) Фл„(Хп). (1.96)

3=1

Следствие 3. Функция ФЛп (жп) является собственной для двух семейств операторов Макдональда

Мк(Хп; Фл„(жп) = вк(в2™1Л,..., е2™1Лп) ФЛ„(жп), (1.97)

М5(Лп; №) Фл„(жп) = вДв2™1*1,..., в2™^) ФЛ„(жп) (1.98)

при условиях

Ие#< Иео>2, Ие< Ие£2. (1.99)

Иными словами, функция Фл„ (жп) является решением сразу двух спектральных задач: относительно переменных х3 и А3. Это свойство называют биспектральностью, а соответствующие операторы дуальными.

В случае вещественных ¡х>2 > 0 соотношение дуальности (1.92) упрощается при перенормировке спектральных параметров

ФЛ„ (Жп) = (Жп). (1.100)

В силу однородности функции двойного синуса (А.5) соотношение дуальности имеет вид

Фл„ (Жп; ^|^) = Фж„ (Лп; ). (1.101) Кроме того, введем функцию

п

п(Лп) = П ^(гАг - 1А3 + р). (1.102)

«,3=1

¿=3'

Пользуясь разностными уравнениями для двойного синуса, нетрудно проверить тождество для операторов Макдональда

МДАп; д*) = п—1(Лп) Мя(Ап; д) п(Ап). (1.103)

Исходя из этого тождества, формулы (1.10) и симметрии (1.101), перенормированная собственная функция

ФЛ„(Хп) = у^Жп) м(Лп) п(Лп) Фл„ (Хп) (1.104)

является решением биспектральной задачи

Н(®п; д|и) Фа„(Хп) = вк(в2пЛ^2,... ,в2пЛ"^2) Фа„(®п), (1.105)

ЯДАп; д|и) Фл„(®в) = вДв2пх^2,... ,в2^2) Фл„Ы (1.106)

с одинаковыми гамильтонианами Руйсенаарса (1.1), действующими по хз и Аз. Это свойство собственных функций было предсказано Руйсе-наарсом достаточно давно исходя из решения классической задачи [54]. Классический аналог биспектральной симметрии заключается в том, что преобразование исходных канонических переменных к переменным действие — угол является инволюцией [7].

В ходе доказательства Теоремы 6, пользуясь формулами (1.91), (1.96), мы также устанавливаем третье интегральное представление для собственной функции (его сходимость доказывается только для > 0).

Следствие 4. В случае вещественных > 0 функция ФЛп (хп) имеет

рекуррентное интегральное представление

Фл„Ы = в2пЛл фп—1(Ап) фп—1(хп) Флп-!(®п—1). (1.107)

Приведем еще одно следствие Теоремы 6. Оно не относится к основным результатам диссертации, поскольку не было опубликовано. В то же время оно напрямую следует из доказанной Теоремы 6 и главного результата статьи [55]. Введем функции

пп

м'(Хп) = П ^(х — Х), м'(Ап) = П ^(А» — Аз), (1.108)

«,з=1 «,з'=1

»<3 »<3

и определим еще одну функцию, тесно связанную с собственной функцией системы,

ч

Ел„(Жп) = Ел„(Жп; дИ = в-^п(п-1) М'(Жп) А'(Лп) Фл„(Жп). (1.109)

В статье [55] Халлнас и Руйсенаарс получили асимптотики этой функции при больших спектральных параметрах А3 , используя исходное интегральное представление (1.27). А именно, в случае вещественных они доказали, что

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Белоусов Никита Максимович, 2024 год

Список литературы

1. Ruijsenaars S. N. M., Schneider H. A new class of integrable systems and its relation to solitons // Annals of Physics. — 1986. — Vol. 170, no. 2. -P. 370-405.

2. Ruijsenaars S. N. M. Complete integrability of relativistic Calogero-Moser systems and elliptic function identities // Communications in Mathematical Physics. — 1987. - Vol. 110, no. 2. — P. 191—213.

3. Ruijsenaars S. N. M. Systems of Calogero-Moser type // Particles and Fields. — Springer New York, 1999. — P. 251—352.

4. Ruijsenaars S. N. M. A generalized hypergeometric function satisfying four analytic difference equations of Askey-Wilson type // Communications in Mathematical Physics. — 1999. — Vol. 206, no. 3. — P. 639—690.

5. Hallnas M., Ruijsenaars S. Joint eigenfunctions for the relativistic Calogero-Moser Hamiltonians of hyperbolic type: I. First Steps // International Mathematics Research Notices. — 2014. — Vol. 2014, no. 16. -P. 4400 4456.

6. Ruijsenaars S. N. M. Zero-eigenvalue eigenfunctions for differences of elliptic relativistic Calogero-Moser Hamiltonians // Theoretical and Mathematical Physics. — 2006. — Vol. 146, no. 1. — P. 25-33.

7. Ruijsenaars S. N. M. Action-angle maps and scattering theory for some finite-dimensional integrable systems. I. The pure soliton case // Communications in Mathematical Physics. — 1987. — Vol. 115, no. 1. — P. 127—165.

8. Duistermaat J. J., Grünbaum F. A. Differential equations in the spectral parameter // Communications in Mathematical Physics. — 1986. — Vol. 103, no. 2. — P. 177—240.

9. The bispectral problem. Vol. 14 / ed. by J. P. Harnad, A. Kasman. — American Mathematical Society, 1998.

10. Olshanetsky M. A., Perelomov A. M. Quantum integrable systems related to Lie algebras // Physics Reports. — 1983. — Vol. 94, no. 6. — P. 313—404.

11. Hallnas M., Ruijsenaars S. A recursive construction of joint eigenfunctions for the hyperbolic nonrelativistic Calogero-Moser Hamiltonians // International Mathematics Research Notices. — 2015. — Vol. 2015, no. 20. -P. 10278—10313.

12. Kharchev S., Khoroshkin S. Wave function for GL(n, R) hyperbolic Sutherland Model // International Mathematics Research Notices. — 2023. -Vol. 2023, no. 18. — P. 15408—15424.

13. Chalykh O. A. Bispectrality for the quantum Ruijsenaars model and its integrable deformation // Journal of Mathematical Physics. — 2000. -Vol. 41, no. 8. — P. 5139—5167.

14. Kharchev S., Khoroshkin S. Wave function for GL(n, R) hyperbolic Sutherland Model II. Dual Hamiltonians // International Mathematics Research Notices. — 2022. — DOI: 10.1093/imrn/rnac317.

15. Heckman G. J., Opdam E. M. Root systems and hypergeometric functions I // Compositio Mathematica. — 1987. — Vol. 64, no. 3. — P. 329—352.

16. Heckman G. J. Root systems and hypergeometric functions II // Compo-sitio Mathematica. — 1987. — Vol. 64, no. 3. — P. 353—373.

17. Opdam E. M. Root systems and hypergeometric functions III // Compositio Mathematica. — 1988. — Vol. 67, no. 1. — P. 21—49.

18. Opdam E. M. Root systems and hypergeometric functions IV // Compositio Mathematica. — 1988. — Vol. 67, no. 2. — P. 191—209.

19. Opdam E. M. Harmonic analysis for certain representations of graded Hecke algebras // Acta Mathematica. — 1995. — Vol. 175, no. 1. — P. 75—121.

20. Inozemtsev V. I. The finite Toda lattices // Communications in Mathematical Physics. — 1989. — Vol. 121, no. 4. — P. 629—638.

21. Kharchev S., Lebedev D. Eigenfunctions of GL(n, R) Toda chain: Mellin-Barnes representation // Journal of Experimental and Theoretical Physics Letters. — 2000. — Vol. 71. — P. 235—238.

22. Givental A. Stationary Phase Integrals, Quantum Toda Lattices, Flag Manifolds and the Mirror Conjecture // arXiv: alg-geom/9612001. — 1996.

23. Gerasimov A., Kharchev S., Lebedev D., Oblezin S. On a Gauss-Givental representation of quantum Toda chain wave function // International Mathematics Research Notices. — 2006. — Vol. 2006. — O96489.

24. Gerasimov A., Lebedev D., Oblezin S. Baxter Operator and Archimedean Hecke Algebra // Communications in Mathematical Physics. — 2008. -Vol. 284, no. 3. - P. 867-896.

25. Kozlowski K. K. Unitarity of the SoV Transform for the Toda Chain // Communications in Mathematical Physics. — 2015. — Vol. 334, no. 1. -P. 223—273.

26. Baxter R. J. Partition function of the Eight-Vertex lattice model // Annals of Physics. — 1972. — Vol. 70, no. 1. — P. 193—228.

27. Baxter R. J. Exactly solved models in statistical mechanics. — London : Academic Press, 1982.

28. Kuznetsov V. B., Sklyanin E. K. On Backlund transformations for many-body systems // Journal of Physics A: Mathematical and General. — 1998. — Vol. 31, no. 9. — P. 2241.

29. Sklyanin E. K. Backlund transformations and Baxter's Q-operator // arXiv: nlin/0009009. — 2000.

30. Kuznetsov V. B., Salerno M., Sklyanin E. K. Quantum Backlund transformation for the integrable DST model // Journal of Physics A: Mathematical and General. — 2000. — Vol. 33, no. 1. — P. 171.

31. Korff C. A Q-operator identity for the correlation functions of the infinite XXZ spin-chain // Journal of Physics A: Mathematical and General. — 2005. — Vol. 38, no. 30. — P. 6641.

32. Derkachov S., Karakhanyan D., Kirschner R. Baxter Q-operators of the XXZ chain and R-matrix factorization // Nuclear Physics B. — 2006. — Vol. 738, no. 3. — P. 368—390.

33. Derkachov S. E. Factorization of the R-matrix and Baxter's Q-operator // Journal of Mathematical Sciences. — 2008. — Vol. 151, no. 2.

P. 2880—2893.

34. Bazhanov V. V., Frassek R., Lukowski T., Meneghelli C, Staudacher M. Baxter Q-operators and representations of Yangians // Nuclear Physics B. — 2011. — Vol. 850, no. 1. — P. 148—174.

35. Frassek R., Sz6cs6nyi I. M. Q-operators for the open Heisenberg spin chain // Nuclear Physics B. — 2015. — Vol. 901. — P. 229—248.

36. Babelon O., Kozlowski K. K., Pasquier V. Baxter operator and Baxter equation for q-Toda and Toda2 chains // Reviews in Mathematical Physics. - 2018. - Vol. 30, no. 06. - P. 1840003.

37. Kuznetsov V. B., Mangazeev V. V., Sklyanin E. K. Q-operator and factorised separation chain for Jack polynomials // Indagationes Math-ematicae. — 2003. — Vol. 14, no. 3/4. — P. 451-482.

38. Gerasimov A., Lebedev D., Oblezin S. Baxter operator formalism for Macdonald polynomials // Letters in Mathematical Physics. — 2014. -Vol. 104. - P. 115-139.

39. Macdonald I. Symmetric function and Hall Polynomials. — Second edition. - Oxford : Oxford University Presss, 1995.

40. Jack H. A class of symmetric polynomials with a parameter // Proceedings of the Royal Society of Edinburgh Section A: Mathematics. — 1970. -Vol. 69, no. 1. - P. 1—18.

41. Hallnas M., Ruijsenaars S. Kernel functions and Backlund transformations for relativistic Calogero-Moser and Toda systems // Journal of Mathematical Physics. — 2012. — Vol. 53, no. 12.

42. Корепин В. Е., Боголюбов Н. М., Изергин А. Г. Квантовый метод обратной задачи и корреляционные функции. — Москва : Наука, 1991.

43. Gaudin M. The Bethe Wavefunction. — Cambridge : Cambridge University Press, 2014.

44. Славнов Н. А. Введение в теорию квантовых интегрируемых систем. Квантовое нелинейное уравнение Шрёдингера. — Москва : МИАН, 2011. - С. 3—118.

45. Lieb E. H., Liniger W. Exact Analysis of an Interacting Bose Gas. I. The General Solution and the Ground State // Physical Review. — 1963. -Vol. 130, no. 4. — P. 1605—1616.

46. Склянин Е. К. Квантовый вариант метода обратной задачи рассеяния // Записки научных семинаров ЛОМИ. — 1980. — Vol. 95. -P. 55-128.

47. Faddeev L. D. How algebraic Bethe ansatz works for integrable model // arXiv: hep-th/9605187. - 1996.

48. Славное H. А. Алгебраический анзац Бете. — Москва : МИАН, 2017. -С. 3 189.

49. Konopelchenko B. G. The group structure of Bäcklund transformations // Physics Letters A. — 1979. — Vol. 74, no. 3. — P. 189—192.

50. Sasaki R. Canonical structure of Bäcklund transformations // Physics Letters A. — 1980. — Vol. 78, no. 1. — P. 7—10.

51. Konopelchenko B. G. Elementary Bäcklund transformations, nonlinear superposition principle and solutions of the integrable equations // Physics Letters A. — 1982. — Vol. 87, no. 9. — P. 445—448.

52. Цветков А. А. Об одном семействе коммутирующих виковских символов // ТМФ. — 1981. — Т. 47, № 1. — С. 38—49.

53. Hallnäs M., Ruijsenaars S. Joint eigenfunctions for the relativistic Calogero—Moser Hamiltonians of hyperbolic type II. The two-and three-variable cases // International Mathematics Research Notices. 2018. Vol. 2018, no. 14. — P. 4404—4449.

54. Ruijsenaars S. N. M. Finite-dimensional soliton systems // Integrable and superintegrable systems. — 1990. — P. 165—206.

55. Hallnäs M., Ruijsenaars S. Joint eigenfunctions for the relativistic Calogero—Moser Hamiltonians of hyperbolic type. III. Factorized asymp-totics // International Mathematics Research Notices. — 2021. — Vol. 2021, no. 6. — P. 4679—4708.

56. Ruijsenaars S. N. M. Sine-Gordon solitons vs. relativistic Calogero-Moser particles // Integrable structures of exactly solvable two-dimensional models of quantum field theory. — Dordrecht : Kluwer, 2001. — P. 273—292.

57. Zamolodchikov A. B., Zamolodchikov A. B. Factorized S-matrices in two dimensions as the exact solutions of certain relativistic quantum field theory models // Annals of Physics. — 1979. — Vol. 120, no. 2. — P. 253—291.

58. Belousov N., Derkachov S., Kharchev S., Khoroshkin S. Baxter operators in Ruijsenaars hyperbolic system III. Orthogonality and completeness of wave functions //To appear in Annales Henri Poincaré, arXiv:2307.16817. -2023.

59. Langer R., Schlosser M. J., Warnaar S. O. Theta functions, elliptic hypergeometric series, and Kawanaka's Macdonald polynomial conjecture // SIGMA. Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications. - 2009. - Vol. 5. - P. 055.

60. Hallnäs M., Langmann E., Noumi M., Rosengren H. Higher order deformed elliptic Ruijsenaars operators // Communications in Mathematical Physics. - 2022. - Vol. 392, no. 2. - P. 659-689.

61. Belousov N., Derkachov S., Kharchev S., Khoroshkin S. Hypergeometric identities related to Ruijsenaars systems // Journal of Algebra. - 2024. -Vol. 638. - P. 918-930. - DOI: 10.1016/j.jalgebra.2023.09.033.

62. Noumi M., Sano A. An infinite family of higher-order difference operators that commute with Ruijsenaars operators of type A // Letters in Mathematical Physics. - 2021. - Т. 111, № 4. - С. 91.

63. Belousov N., Derkachov S., Kharchev S., Khoroshkin S. Baxter operators in Ruijsenaars hyperbolic system IV. Coupling constant reflection symmetry // arXiv:2308.07619. - 2023.

64. Paris R., Kaminski D. Asymptotics and Mellin-Barnes Integrals. — Cambridge : Cambridge University Press, 2001.

65. Hallnäs M., Ruijsenaars S. Product formulas for the relativistic and non-relativistic conical functions // Representation Theory, Special Functions and Painlevé Equations—RIMS 2015. Vol. 76. - 2018. - P. 195-246.

66. Derkachov S. E., Kozlowski K. K., Manashov A. N. Completeness of SoV representation for SL(2, R) spin chains // SIGMA. Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications. — 2021. — Vol. 17. — P. 063.

67. Брычков Ю. А., Широков Ю. М. О некоторых предельных формулах для обобщенных функций // Математические заметки. — 1967. — Т. 2, № 1. - С. 81—90.

68. Тахтаджян Л. А., Фаддеев Л. Д. Гамильтонов подход в теории соли-тонов. — Москва : Наука, 1986.

69. Васильев А. П. Функциональные методы в квантовой теории поля и статистике. — Ленинград : Издательство Ленинградского университета, 1976.

70. Vlaar B. A non-symmetric Yang-Baxter algebra for the quantum nonlinear Schrodinger model (PhD Thesis) // arXiv:1303.6450. — 2013.

71. Oxford S. C. The Hamiltonian of the Quantized Nonlinear Schroedinger Equation. PhD thesis. — 1979.

72. Chicherin D., Derkachov S. The R-operator for a modular double // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. — 2014. — Vol. 47, no. 11. — P. 115203.

73. Hasegawa K. Ruijsenaars' commuting difference operators as commuting transfer matrices // Communications in mathematical physics. — 1997. -Vol. 187. — P. 289—325.

74. Antonov A., Hasegawa K., Zabrodin A. On trigonometric intertwining vectors and non-dynamical R-matrix for the Ruijsenaars model // Nuclear Physics B. — 1997. — Vol. 503, no. 3. — P. 747—770.

75. Kurokawa N., Koyama S. Multiple sine functions // Forum Mathe-maticum. — 2003. — Vol. 15.

76. Ruijsenaars S. N. M. Special functions defined by analytic difference equations // Special functions 2000: current perspective and future directions / ed. by J. Bustoz, M. E. H. Ismail, S. K. Suslov. — Dordrecht : Springer Netherlands, 2001. — P. 281—333.

77. Ruijsenaars S. N. M. First order analytic difference equations and integrable quantum systems // Journal of Mathematical Physics. — 1997. — Vol. 38, no. 2. — P. 1069—1146.

78. Faddeev L. D. Discrete Heisenberg-Weyl Group and modular group // Letters in Mathematical Physics. — 1995. — Vol. 34, no. 3. — P. 249—254.

79. Ruijsenaars S. A relativistic conical function and its Whittaker limits // SIGMA. Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications. — 2011. — Vol. 7. — P. 101.

Публикации автора по теме диссертации

80. Belousov N., Derkachov S., Kharchev S., Khoroshkin S. Baxter operators in Ruijsenaars hyperbolic system I: commutativity of Q-operators // Annales Henri Poincaré. — 2023. — DOI: 10.1007/s00023-023-01364-4.

81. Belousov N., Derkachov S., Kharchev S., Khoroshkin S. Baxter operators in Ruijsenaars hyperbolic system II: bispectral wave functions // Annales Henri Poincaré. — 2023. — DOI: 10.1007/s00023-023-01385-z.

82. Белоусов Н, Деркачёв С., Харчев С., Хорошкин С. Q-операторы Бак-стера в гиперболических системах Руйсенаарса—Сазерленда: случаи одной и двух частиц // Вопросы квантовой теории поля и статистической физики. 28. Зап. научн. сем. ПОМИ. — 2023. — Т. 520. -С. 50-123.

83. Белоусов Н. М., Деркачёв С. Э. Q-оператор для квантовой модели НШ // Вопросы квантовой теории поля и статистической физики. 25. Зап. научн. сем. ПОМИ. — 2018. — Т. 473. — С. 34-65.

84. Белоусов Н. М. Преобразование Бэклунда для нелинейного уравнения Шредингера // Вопросы квантовой теории поля и статистической физики. 27. Зап. научн. сем. ПОМИ. — 2020. — Т. 494. — С. 5—22.

Приложение А Функция двойного синуса

Функция двойного синуса 52(2|ш), где ш = (ы1,ы2), является некоторым обобщением гамма-функции Эйлера Г(2) и удовлетворяет двум разностным уравнениям [75; 76]

52(2 + 1 52(2 + ^2|ш)

£2(2 |ш) 2 в1п 52(г |ш) 2в1п ^

При условиях

(А.1)

Ие > 0, Ие > 0, 0 < Ие 2< Ие + Ие (А.2)

ее логарифм имеет интегральное представление

(И (вЬ [(22 - - )£] 22 - - ы2\

'п = |" ^

(А.3)

Параметры будем называть периодами. Как видно из интегрально-

го представления и разностных уравнений, функция 52(2 |ш) симметрична по периодам

52(^1,^2) = ^2(2 |о>2,^1) (А.4)

и является однородной функцией при одновременном растяжении всех параметров

52(а2|а^,аы2) = 52(г|ы1,ы2), а е (0, то). (А.5)

Далее иногда мы будем опускать периоды в обозначении 52(2) = 52(2|ш). Из разностных уравнений (А.1) можно вывести общие формулы

52(2 + + к^) = (-1)тк—--^^- (А.6)

х ' ' т-1 к-1 4 7

п 281п^^^ П 2з1п^^^

5=0 2 5=0 1

52(2 - - к^) = (-1)тк52(2)

Пт п(2 — т^ п(2 — й(х>2) , ,

--П -- (А.7)

в=1 в=1

1

для любых целых т,к ^ 0. Кроме того, из этих двух формул следует формула факторизации

52(2 + тш + = (-1)

тк 52(2 + 52(2 + к^2) 52(2)

(А.8)

верная уже при любых т,к € Ж. Аналогично гамма-функции Эйлера, функция двойного синуса удовлетворяет формуле отражения

52(2)52(Ш + Ш - ^) = 1,

(А.9)

которая при помощи разностных уравнений (А.1) также записывается в ви-

де

52(г)52(- г) = —4вт — вт —.

Ш Ш>2

(А.10)

Функция 52(2) является мероморфной функцией г, ее полюса находятся в точках

2т,к = тш1 + кш2, т,к ^ 1, (А.11)

а нули в точках

2— т — к = —тш1 — кш2, т,к ^ 0.

(А.12)

При € О все полюса и нули простые. Вычеты функций 52(2) и 52 1(г)

в соответствующих точках равны

(_1)тк

52 (2) = ^П12т1-Нп-,

х=хш,к 2п т"' . к "1 ^ . ПЙШ2

[ 2 БШ-Ц 2вт-

в=1 Ш2 в=1 Ш1

(А.13)

Нев ) = _1)тк+т+к_

| 2 Бт-|| 2 Бт-

в=1 Ш2 в=1 Ш1

(А.14)

Функция двойного синуса может быть также записана в терминах гиперболической гамма-функции Руйсенаарса [77]

= 52 12 +

Ш + Ш

(А.15)

или квантового дилогарифма Фаддеева 7(2^) [78]

7 (2) = ( —12 +

Ш + Ш

1П

^ ехр |

2ш1Ш2

о + Ш2

2 2 + "V2

(А.16)

Обе функции С(2|ш) и 7(2|ш) были открыты независимо.

Две основные функции, появляющиеся при исследовании модели Руй-сенаарса, записываются как отношения двойных синусов

м(2) = 52(г2) 1(г2 + д), (А.17)

+ ^2 + д ^ _1 / + ^2 - д

К(2) = 52 (г2 + 1 1 2 2 ' * ) 52"^г2 + 11 2 2 * ). (А.18)

При этом подразумеваются условия на параметры

Ие> 0, Ие> 0, 0 < Иед< Ие+ Иео>2, (А.19)

а также

^ = Ие—0. (А.20)

Как показано в [80, Приложение А], при ограниченной мнимой части 11т 21 < Ь для этих функций верны оценки

|д(2)| < Се™*|Ее|К(2)| < Се"™*|Ее, (А.21)

где константа С является равномерной по параметрам д, ш, меняющимся на компактах внутри области, задаваемой условиями (А.19), (А.20). Там

же было показано, что эти функции имеют асимптотики

- *

м(ж) - е^|х|± ^, К (ж) - е"^|ж|, ж (А.22)

где использованы обозначения

д = д* = + ^2 - д. (А.23)

Еще один ключевой результат, который используется в тексте, — это следующая формула преобразования Фурье [79, Утверждение С.1].

Утверждение. [79] При > 0 выполняется тождество

[ ухс / . + ^2 \с_1/ . + ^2 ~

(жеШ1Ш2У ь21гж - г^ +----152 (гж - гр +---—

^ \ 2 / V 2

= ^WWey(v+p)52(ip - ) (А.24)

х S-i(iy + ^) S-1 (-iy + ^),

где параметры v, р, y удовлетворяют условиям

Wi + W2 т Wi + ^2 |т . V - р

< Im р< Im v<-, | Imy| < Im-. (А.25)

2 2

В частном случае

V = Р = -1 (А.26)

полагая у = —^2А и используя однородность двойного синуса (А.5) (а = —2) мы получаем формулу преобразования Фурье для функции К(ж)

dx e2niAxK(x) = S2(g) K(Л), (А.27)

'М

где 11т А| < Иед/2 и неравенства (А.25) выполнены в силу условий на константу д (А.19), (А.20). Здесь использованы обозначения

К (А) = К (А; д*|Л), д* = , Л = (-,-). (А.28)

—^2 V— 2 —^

Заметим, что правая часть тождества (А.27) аналитична по —1,—2 в области Ие —^ > 0. Интеграл слева тоже аналитичен по периодам. Действительно, исходя из оценки (А.21), он абсолютно сходится равномерно по параметрам Л,д удовлетворяющим условиям (А.19), (А.20). Следовательно, формула (А.27) также верна для комплексных периодов, удовлетворяющих упомянутым условиям.

В работе также используются следующие две асимптотики при —1 ,—2 > 0. Во-первых, как показано в статье [77, Утверждение Ш.6],

1 _

ЗДи) = ^2 Г-1 ((l + 0(ы-1)), ^ ^ то. (А.29)

Кроме того, мы используем предельное соотношение [77, Утверждение III.7]:

lim + = (2 sin У"'. (А.30)

В тексте также используются равномерные по оценки для функций меры и ядра, соответствующие этим асимптотикам. А именно, из [65, Утверждения B.1, B.2] следует, что при g > 1 и достаточно малом > 0 выполняются неравенства

|M(x; )| ^ C(g) (shgx)2 ^ C(g) eg|x|,

(А.31)

|K(x; )| ^ C(g) (2ch gx) ^ C(g) .

А из [65, Утверждение С.3] следуют оценки на дуальные функции ядра и меры для е (0, П1]

5-1 (А п + (1 - д)^1 \2п

1 1

<

С1(д)(1 + |А|)с2(5) е[V"1+2]|Л|,

/ А п + (1 - д)^1 ^ 5 К ; -

2п

1 1

<

Сз(д)(1 + |А|)с4(5) е[^"1-2]|л|

(А.32)

при любом достаточно малом

Приложение Б Некоторые неравенства

Лемма 4. Для любого е Е [0, 2] и переменных у1, у2, у Е К верно неравенство

|У1 - У21 - |У1 - У1 - |У2 - у1 < е (|У1| + |У2| - |у|) . (Б.1)

Доказательство. Рассмотрим два случая. Во-первых, предположим, что |у1| + |у2| ^ |у |. Тогда, используя неравенство треугольника, получаем

|У1 - У2| - |У1 - У| - |У2 - у| ^ 0 ^ е (|у 11 + |у21 - |у|), (Б.2)

поскольку е ^ 0.

Затем предположим, что |у1| + |у2| ^ |у|. Используя |у3- - у| ^ |у| - |у3-1 и |у1 - У21 < | У11 + |У21, находим

|У1 - У2| - |У1 - у| - |У2 - у| ^ 2 (|У11 + |у21 - |у|) ^ е (|у 11 + |у21 - |у|) , (Б.3) поскольку е ^ 2. □

Определим функцию

п п-1 п п-1

Ьп(уп-ъ хп) = ^|хг - х| + ^2 |Уг - уз| - уз|. (Б.4)

¿,3=1 ¿,3=1 ¿=1 3=1

¿<3 ¿<3

Кроме того, обозначим

п

11хп|| = ^2 |х3 |. (Б.5)

3=1

Лемма 5. Для любого е Е [0, 2] верно неравенство

Ьп ^ (п - 1)е|Жп| - е|уп-1|. (Б.6)

Доказательство. Обе части неравенства (Б.6) симметричны по компонентам векторов жп, уп-1. Не умаляя общности, рассмотрим компоненты, упорядоченные по убыванию

Х1 ^ ... ^ Хп, У1 ^ ... ^ Уп-1. (Б.7)

Для вектора жп из упорядоченных компонент можно записать

п |_п/2]

£ |жг - ж^ | = £ (п - 2т + 1) |жт - жп-т+11. (Б.8)

¿,2=1 т=1

¿<2

Аналогично для вектора уп-1. Как следствие,

1_п/2] |(п 1)/2]

^п = £(п - 2т +1)|жт - жп-т+11 + £ (п - 2т)|ут - Уп-т| т=1 т=1

п п- 1

- У |.

¿=1 2=1

(Б.9)

Следующий шаг — перегрупировать слагаемые из этих трех сумм. Рассмотрим слагаемое с т = 1 из первой суммы и слагаемые с г = 1, п из третьей двойной суммы и напишем оценку

п- 1

(п - 1) | ж 1 - жп| -У (|ж1 - у-1 + |жп - у-1)

(Б.10)

< (п - 1) £ (|ж11 + |жп|) - £ ЦУп^Ц,

где мы несколько раз воспользовались неравенством (4). Аналогично оценим слагаемое с т > 1 из первой суммы вместе с соответствующими слагаемыми из третьей двойной суммы

п- т

(п - 2т + 1)|жт - жп-т+11 - £ (|жт - У | + К-т+1 - У |) < 0, (Б.11)

2=т

где мы несколько раз использовали неравенство треугольника. Оставшиеся слагаемые из третьей двойной суммы можно оценить вместе со слагаемыми из второй суммы

п- т

(п - 2т)|ут - Уп-т| - £ (|жг - Ут | + |ж* - Уп-т|) < 0, (Б.12)

¿=т+1

где мы опять использовали неравенство треугольника. Собирая вместе все оценки, получаем

Ьп < (п - 1) £ (|ж11 + |жп|) - £ ЦУп^Ц < (п - 1) £||Жп|| - £ ||Уп-1У. (Б.13)

Теперь обозначим за у* вектор из к компонент у* = (у1к),..., у*к)),

(к)

У3 ) Е К. Определим функцию 5п рекуррентным соотношением

5п(у1,..., Уп) = Ьп(уп-1, Уп) + ^п_1(у1,..., Уп-1), 51 = 0. (Б.14)

Следствие 7. Для любого е Е [0,2(п - 1)]

п- 1

5п ^ е||уп||--НУ*II, (Б.15)

п|

Сп *=1

где числа сп определяются рекуррентным соотношением

Сп =(П - 1)(Сп-1 + 1), С1 =0. (Б.16)

Доказательство. Докажем по индукции. Случай п = 2 эквивалентен Лемме 4

52 = |у12) - у22)|-|у12) - у11}|-|у22) - У11}|

(Б.17)

^ (2)| , | (2) Л | (1)| У 7

<е ^у! )| + |у2 -ф! )|

для любого е Е [0, 2].

Пусть неравенство выполнено для 5п-1. Используя (Б.15) для 5п-1 с параметром есп-1/сп, рекуррентную формулу (Б.14) и оценку (Б.6) с параметром е/(п - 1), находим

1 п-2

5п ^ е||уп|| + е)-^-1---) ||уп-11--У ||У*|| (Б.18)

Сп п 1 Сп

п- 1

—п п 1 ' —п *=1

п- 1

—п

*=1

= е|Уп| - НУ*||. (Б.19)

*=1