Прямые и обратные задачи для дифференциально-разностных уравнений смешанного типа с дробными производными тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Бурцев, Максим Владимирович

• Бурцев, Максим Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Бурцев, Максим Владимирович

Введение

I. Начально-краевые задачи для дифференциально-разностных уравнений диффузии дробного порядка

§1. Смешанная задача для неоднородного уравнения диффузии дробного порядка с запаздывающим аргументом по времени в полуполосе.

1.1. Постановка задачи. Единственность решения.

1.2. Построение решения задачи Коши для неоднородного обыкновенного дифференциально-разностного уравнения дробного порядка с запаздывающим аргументом.

1.3. Существование решения задачи 1.1.

§2. Смешанная задача для неоднородного уравнения диффузии дробного порядка с запаздывающим аргументом по времени и пространственной координате в четверти плоскости.

2.1. Постановка задачи. Единственность решения.

2.2. Существование решения задачи 1.2.

§3. Задача Коши для неоднородного уравнения дробной диффузии с запаздывающим аргументом по пространственной координате.

3.1. Постановка задачи. Единственность решения.

3.2. Существование решения задачи 1.3.

II. Обратные задачи для дифференциально - разностных уравнений смешанного типа с дробной производной.

§4. Обратная начально - краевая задача для дробного диффузионно - волнового уравнения с запаздывающим аргументом по времени.

4.1. Смешанная задача для неоднородного уравнения дробной диффузии с запаздывающим аргументом. Функциональное соотношение.

4.2. Первая задача Дарбу. Функциональное соотношение.

4.3. Существование и единственность решения задачи 2.1.

§5. Обратная задача для неоднородного уравнения смешанного типа с дробной производной и запаздывающим аргументом по времени и пространственной координате.

5.1. Смешанная задача для неоднородного уравнения дробной диффузии с запаздыванием по обеим переменным. Функциональное соотношение.

5.2. Задача Коши для волнового уравнения с запаздыванием по пространственной координате. Функциональное соотношение.

5.3. Существование и единственность решения задачи 2.2.

§6. Обратная задача для неоднородного уравнения смешанного типа с дробной производной и опережающе-запаздывающими аргументами.

6.1. Задача Коши для неоднородного уравнения дробной диффузии с запаздывающим аргументом по пространственной координате. Функциональное соотношение.

6.2. Задача Копти для волнового уравнения с опережающим аргументом. Функциональное соотношение.

6.3. Существование и единственность решения задачи 2.3.

III Начально-краевые задачи для дифференциально-разностных уравнений смешанного типа высокого порядка с дробными производными и отклоняющимися аргументами.

§7. Начально-краевые задачи для уравнений смешанного типа высокого порядка с дробными производными и запаздывающими аргументами.

7.1. Начально-краевая задача для диффузионно-волнового уравнения высокого порядка с дробной производной и запаздывающим аргументом по времени.

7.2. Начально-краевая задача для диффузионно-волнового уравнения высокого порядка с дробной производной и запаздывающими аргументами по обеим переменным.

7.3. Начально-краевая задача для диффузионно-волнового уравнения высокого порядка с дробной производной и кратным запаздыванием по пространственной координате.

§8. Начально-краевая задача для уравнения смешанного типа высокого порядка с дробными производными по времени и пространству с запаздывающим аргументом.

§9. Начально-краевая задача типа Геллерстедта для диффузионно-волнового уравнения высокого порядка с дробными производными по времени и пространству с отражением и опережающе-запаздывающим аргументом. 126 Список литературы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Прямые и обратные задачи для дифференциально-разностных уравнений смешанного типа с дробными производными»

В работах В.Ф. Волкодавова [23], Е.И. Моисеева [51] - [53], A.M. Нахушева [55] - [56], А.П. Солдатова [79], С.П. Пулькина [62] -"[64], Т.Д. Джураева [33], Л.С. Пулькпной [65] - [66], К.Б. Сабитова [71] - [72], А.Н. Зарубина [35] - [39], О.А. Репина [67] - [70], А.А. Килбаса [47] -[48], М.С. Салахитдинова [73] - [74], М.М. Смирнова [78] и других математиков, теория уравнений смешанного типа развивалась в различных направлениях.

Краевые задачи для дифференциальных уравнений с дробной производной исследовались в работах А.Н. Кочубея [49], А.В. Псху [60] - [61]; для уравнений смешанного типа с дробными производными - в работах С.Х. Геккиевой [26] - [27]; для дифференциально-разностных уравнений смешанного типа - в работах А.Н. Зарубина [34] - [43]; в работах А.А. Андреева [2]- [5] и его учеников [57], [76] - [77] рассматривались краевые задачи для уравнений смешанного типа с инвалютивным отклонением.

Тем не менее, следует отметить, что, не смотря па достаточно большое количество работ, посвященных изучению как уравнений с отклоняющимся аргументом, так и уравнений с дробными производными, теория уравнений смешанного типа с дробными производными и отклоняющимся аргументом находится в начале своего развития.

Наиболее близкими в этом направлении являются работы А.Н. Зарубина [41] - [42] и Е.А. Зарубина [46], где были впервые рассмотрены краевые задачи для уравнений смешанного тина с дробной производной и запаздывающим аргументом.

Отсутствие исследований по начально-краевым задачам для уравнений смешанного типа с дробной производной и запаздывающими аргументами, а так же прикладные возможности этих уравнений при математическом моделировании процессов экономики, математической биологии, нелинейной оптиюi, подтверждает актуальность темы диссертации.

Следует так же отметить, что н теория обратных задач представляет собой активно развивающееся направление современной математики. Интенсивное исследование обратных задач в значительной степени обусловлено необходимостью разработки математических методов решения обширного класса важных прикладных проблем, связанных с обработкой и интерпретацией наблюдений. Обратные задачи для линейных уравнений в частных производных, состоящие в определении либо начального, либо граничного условия, либо правой части уравнения по некоторой дополнительной информации о решении уравнения, исследовались целым рядом авторов, такими как: A.M. Денисов [30], О.М. Алифанов [1], М.М. Лаврентьев [50], JT.A. Чудов [83] и др. Однако, обратные задачи для уравнений смешанного типа практически не изучены, тем более для дифференциально-разностных уравнений смешанного типа с дробными производными.

Цель работы. Целью диссертационной работы является исследование разрешимости новых, прямых и обратных, нелокальных начально-краевых задач для неоднородных дифференциально-разностных уравнений смешанного типа с дробной производной и запаздыванием по различным переменным, рассматриваемых в неограниченных областях, содержащих внутри себя линию изменения типа.

Для обоснования корректности впервые поставленных задач необходимо доказательство теорем существования и единственности классических решений, что определяет структуру работы и содержание глав.

Методы исследования. В работе широко используются методы теории интегральных уравнений Вольтерра, качественные свойства специальных функций, функции Миттаг-Леффлера, Н - функции Фокса, дифференциальных и дифференциально-разностных уравнений, как обыкновенных, так и в частных производных, интегральные преобразования. метод вспомогательных функций (метод "abc"), метод разделения переменных Фурье.

Научная новизна. Все результаты, полученные в работе, являются новыми в актуальной проблеме теории дифференциально-разностных уравнений в частных производных - проблеме решения прямых и обратных нелокальных задач для уравнения смешанного типа с дробной производной и запаздывающими аргументами.

Основные результаты выносимые на защиту:

1. Доказательство теорем существования и единственности решения начально-краевых задач для неоднородных дифференциально-разностных уравнений диффузии дробного порядка в канонических областях.

2. Доказательство теорем существования и единственности решения обратных задач для неоднородных дифференциально-разностных уравнений смешанного типа с дробной производной.

3. Доказательство теорем существования и единственности начальнокраевых задач для дифференциально-разностных уравнений смешанного типа высокого порядка с дробными производными, запаздыванием, опережением и отражением.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в качестве основы для дальнейшей разработки теории нелокальных задач для неоднородных дифференциально-разностных уравнений и систем дифференциально-разностных уравнений смешанного типа с дробной производной и отклоняющимися аргументами в областях изменения типа уравнения.

Практическая значимость работы заключается в возможности применения полученных результатов к исследованию различных физических и биологических смешанных процессов, в частности, в теории диффузии в пористых материалах, в нелинейной оптике, в изучении колебания кристаллической решетки, в теории популяций и др.

Апробация работы.

Основные результаты и содержание работы докладывались и обсуждались па:

• Международной конференции "Современные методы физико-математических наук", посвященной 75-летию Орловского государственного университета и 75-летию физико-математического факультета (2006г.) ОГУ, г. Орел.

• Четвертой Всероссийской научной конференции с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи" (2007г.) СамГТУ, г. Самара.

• Второй Всероссийской конференции "СамДиф" (2007г.) СГУ, г. Самара.

• Международном Российеко-Азербайджанском симпозиуме "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и ин-форматики"и VI Школе молодых ученых "Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики" (2008г.) Нальчик - Эльбрус.

• Научном семинаре кафедры математического анализа и дифференциальных уравнений в 2004 - 2008гг. Орел, ОГУ (руководитель д. ф.-м. н., профессор А.Н. Зарубин).

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [12] -[21], второму автору работ [15], [18] - [20] принадлежит только постановка задач.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и библиографического списка. В каждой главе - три параграфа. Список литературы содержит 85 наименований. Объем - 148 страниц.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Бурцев, Максим Владимирович, 2008 год

1. Алифанов О.М. Обратные задачи теплообмена. - М.: Машиностроение, 1988. - 280 с.

2. Андреев А.А., Огородников Е.Н. О корректности некоторых краевых задач для уравнения типа Бицадзе Лыкова с инволютиным отклонением // Труды десятой межвузовской конференции " Математическое моделирование и краевые задачи". - Самара. 2000. С. 8 - 16.

3. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу.-М.: Высшая школа, 1999. 695 с.

4. Бабенко К. И. К теории уравнений смешанного типа // Успехи мат. наук. 1953. - т.8, №2. - 160 с.

5. Байков В.А., Жибер А.В. Уравнения математической физики. -Москва Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. -252 с.

6. Бейтмен ГЭрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Преобразования Фурье, Лапласа, Меллина. т. 1-2. - М.: Наука, 1969. - 344 с.

7. Бицадзе А.В. О некоторых задачах смешанного типа // Докл. АН СССР. 1950. - т. 70, №4. - с. 561 - 564

8. Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Задачи по математической физике: Учеб. пособие. М.: Изд-во МГУ, 1998. - 350 с.

9. Бурцев М.В. Начально-краевая задача для дифференциально-разностного уравнения дробного порядка // Вестник науки. Орел: ОГУ, В.З, 2004. - с 32 - 34.

10. Бурцев М.В. Смешанная задача для неоднородного уравнения дробной диффузии с запаздывающим аргументом по времени и пространственной координате // Материалы конференции "СамДнф-2007". Самара: Издательство "Универс групп", 2007. -с. 35 - 36.

11. Бурцев М.В. Обратная начально-краевая задача для дробного диффузионно-волнового уравнения опережающе-запаздывающего типа // Дифферснциальныеуравнения и смежные проблемы. Труды международной научной конференции. Стерлитамак. 2008. -Т. 3 - С. 74 - 85.

12. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. М.: ГИФМЛ, 1959. - 628 с.

13. Волкодавов В. Ф. Принцип локального экстремума и его применение к решению краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными. Автореф. дис. . д-ра физ.-мат. наук. -Казань, 1969. 10 с.

14. Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений М.: Наука, 1982. - 304 с.

15. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1988.

16. Геккиева С.Х. Задача Коши для обобщенного уравнения переноса с дробной по времени производной / /Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2000. Т.5, №1. с. 16 -19

17. Геккиева С.Х. Краевая задача для обобщенного уравнения переноса с дробной производной по времени // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 1994, №1. с. 17 -18

18. Денисов A.M. Введение в теорию обратных задач: Учеб. пособие. -М.: Изд-во МГУ, 1994. 208 с.

19. Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М.: Наука, 1966. - 672 с.

20. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М.: Наука, 1974. - 544 с.

21. Джураев Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов. Ташкент: Фан, 1979. - 238 с.

22. Зарубин А.Н. Краевые задачи для дифференциальных и дифференциально-разностных уравнений. Учебное пособие. Орел: ОГУ, 2002. - 220 с.35 . Зарубин А.Н. Уравнения смешанного типа с запаздывающим аргументом. Учебное пособие. Орел: ОГУ, 1997. - 255 с.

23. Зарубин А.Н. Интегральные преобразования теории дифференциально-разностных уравнений смешанного типа //Дифференциальные уравнения. 1999. - Т.35, №8 - с. 1135 - 1136.

24. Зарубин А.Н. Интегральные преобразования 'теории дифференциально-разностных уравнений смешанного типа / / Дифференц. уравнения. 1999. - Т.35, №8. - с. 1135 - 1136

25. Зарубин А.Н. Задача для уравнения фрактальной диффузии с запаздывающим аргументом // Вестник науки. Орел: ОГУ, В.4, 2005. - с. 73 - 79

26. Зарубин А.Н., Зарубин Е.А. Начально краевая задача для дифференциально-разностного уравнения смешанного типа с дробной производной // Материалы международной конференции. -Орел: ОГУ, 2006.

27. Зарубин Е.А. Метод интегральных преобразований решения дифференциально-разностных уравнений математической физики. Методическая разработка. - Орел, ОГУ, 2003.- 34 с.

28. Зарубин Е.А. Задача Коши для дифференциально-разностного уравнения диффузии дробного порядка по времени // Вестник науки. Орел: ОГУ, В.4, 2005. - с. 73 - 79.

29. Килбас А.А., Репин О.А. Аналоге задачи Бицадзе-Самарского для уравнения смешанного типа с дробной производной // Дифференц. уравнения. 2003. -Т. 39, №5. - с. 638 - 644.

30. Килбас А.А., Репин О.А. Задача со смещением для параболо-гиперболического уравнения // Дифференц. уравнения. 1998. -Т.43, №6. - с. 799 - 805.49 . Кочубей А.Н. Диффузия дробного порядка //Дифференц. уравнения. 1996. - Т.26, №4. - с. 660 - 670.

31. Лаврентьев М.М., Резницкая К.Г. Теоремы единственности некоторых нелинейных обратных задач для уравнений параболического типа //Докл. АН СССР. 1973. Т. 208, № 3. с. 531-533

32. Моисеев Е.И. Некоторые вопросы спектральной теории уравнений смешанного типа. Дис. . д-ра физ.-мат. наук. М.: МГУ, 1979.52 . Моисеев Е.И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром. -М.: Изд-во МГУ, 1988. 150 с.

33. Моисеев Е.И. Применение метода разделения переменных для решения уравнений смешанного типа // Дифференц. уравнения. -1990. т. 26, Ш. - с. 1160 - 1172.

34. Нахушев A.M. Элементы дробного исчисления и их применение. Нальчик: изд-во КБНЦ РАН, 2000. 299 с.

35. Нахушев A.M. Дробное исчисление и его применение. М.: ФИЗ-МАТЛИТ, 2003. - 272 с.56 . Нахушев A.M. О некоторых краевых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа j j Дифференц. уравнения. 1969. - Т.5, т. - с. 44 -59.

36. Псху А.В. Краевые задачи для дифференциальных уравнений с частными производными дробного и континуального порядка. -Нальчик: Изд-во КБНЦ РАН, 2005. 186 с.

37. Пулъкина Л. С. Смешанная задача с интегральным условием для гиперболического уравнения // Математические заметки. 2003. Т.73, В.З. с.435 - 445.

38. Репин О.А. О разрешимости одной нелокальной задачи для параболо-гиперболического уравнения с дробной производной //Мат. моделирование и краевые задачи: Труды тринадцатой межвузовской научной конференции. Самара: СамГТУ, 2004. - с. 161 - 164

39. Репин О.А. Краевые задачи со смещением для уравнений гиперболического и смешанного типов. -Саратов:Изд-во Саратов, ун-та. 1992. 161 с.

40. Сабитов К.Б., Тихомиров В.В. О построении собственных значений и функций одной газодинамической задачи Франкля // Математическое моделирование. 1990. Т.2, №10. с. 100 - 109.

41. Саушкин И.Н. Об одной краевой задаче для уравнения с инволю-тивным отклонением в бесконечной области // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды Второй Всероссийской конференции. Ч. 3. Самара: СамГТУ, 2005. с. 199 - 204.

42. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. М.: Высшая школа, 1985. - 304 с.

43. Солдатов А.П. Решение одной краевой задачи теории функций со смещением.// Дифференц. уравнения. 1974. -т. 10, №1. - с. 143 -152.

44. Трикоми Ф. О линейных уравнениях в частных производных второго порядка смешанного типа. (Пер. с итал. Ф. И. Франкля). -M.-JL: Гостечиздат, 1947. 192 с.

45. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: В Зт. Т.З/Пред. и прим. А.А. Флоринского. 8-е изд. -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 728 с.

46. Франкль Ф.И. К теории сопел Лаваля //Изв. АЕ СССР. сер. ма-тем. - 1945. т. 9, №5. - с. 387 - 422.

47. Чудов Л. А. Обратная задача Штурма-Лиувилля // Мат. сб. 1949. Т. 25, № 3. С. 451-454.