Проявления квантовых аномалий в статистической физике: киральный вихревой эффект тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Прохоров Георгий Юрьевич

• Прохоров Георгий Юрьевич
• кандидат наук
• 2021

Оглавление диссертации кандидат наук Прохоров Георгий Юрьевич

при конечной массе

3.3.2 Стабилизация и подавление аксиального тока в плазме

Заключение

Список сокращений, обозначений и система единиц

Литература

А Свойства полилогарифмов )

В Чётности различных величин

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Проявления квантовых аномалий в статистической физике: киральный вихревой эффект»

Введение

Актуальность. В настоящее время существует ряд теоретических исследований, предсказывающих глубокую связь между измеряемыми в экспериментах на ускорителях характеристиками элементарных частиц и гидродинамическими свойствами релятивистской жидкости. Так, была установлена связь поляризации барионов с аксиальным зарядом кварков, который они приобретают именно за счёт гидродинамических эффектов [1-4]. Удивительным наблюдением последних лет является то, что свойства релятивистской жидкости, в частности, связанные с существованием в ней вихрей, управляются фундаментальными микроскопическими свойствами материи, такими как аномалии квантовой теории поля [5-7]. Таким образом, появляется уникальная возможность для изучения квантовых аномалий в экспериментах по соударению тяжёлых ионов. В частности, можно говорить о том, что возникновение поляризации у адронов является экспериментальным наблюдением квантовых аномалий, проявляющихся в гидродинамике.

В целом, описанные транспортные явления, возникающие в плазме из безмассовых частиц и связанные с квантовыми аномалиями, носят название ки-ральных эффектов [8]. Основным физическим объектом, где должны проявляться данные эффекты, является кварк-глюонная плазма (КГП), так как при высоких температурах КГП с хорошей точностью описывается уравнениями для почти идеальной киральной жидкости, т. е. жидкости, состоящей из безмассовых частиц. Физика киральных явлений относится к передовым областям современной фундаментальной теоретической и экспериментальной физики (о чём говорит множество статей на эту тему [1-4,8-26]) и именно исследованию киральных эффектов посвящена данная диссертационная работа.

Двумя важнейшими и наиболее активно обсуждаемыми в современной литературе киральными эффектами, являются киральный магнитный эффект

(КМЭ или СМЕ) и киральный вихревой эффект (КВЭ или СУЕ) [8, 12, 13]. Данные эффекты, с одной стороны, являются проявлениями квантовых аномалий, а с другой - на макроскопическом уровне модифицируют уравнения гидродинамики. В данной работе основное внимание уделено КВЭ.

Осознание глубокой связи эффектов в релятивистской гидродинамике с квантовыми аномалиями является относительно недавним наблюдением. Данная связь была исследована во многих работах [8,11,12,19,21,27]. В частности, было показано, что КМЭ и КВЭ могут быть получены из уравнений релятивистской гидродинамики при учёте вклада киральной аномалии в эти уравнения. Прогресс в понимании связи КВЭ и КМЭ с аномалиями связан также с циклом работ [8,27,28], в котором показано, что гидродинамика может рассматриваться как эффективная теория поля, где роль внешних полей играют химические потенциалы и скорость движения жидкости.

В настоящее время, значительные усилия прикладываются для поиска ки-ральных эффектов в экспериментах по соударению тяжёлых ионов. В частности, недавняя программа по соударению изобаров (ядер с одной массой, но разным электрическим зарядом) на релятивистском ускорителе тяжёлых ионов (ИШС) в Брукхейвенской национальной лаборатории в значительной степени мотивирована возможностью экспериментального наблюдения КМЭ, для дальнейших деталей см. обзор [14].

Существенным шагом в развитии физики киральных эффектов стало их экспериментальное подтверждение в системах твёрдого тела. Так КМЭ был обнаружен в дираковских и вейлевских полуметаллах [26] - системах с псевдорелятивистским спектром квазичастиц.

Киральные эффекты имеют и другие экспериментальные следствия. Как упоминалось выше, аномальный транспорт может вносить значительный вклад в поляризацию адронов в конечном состоянии в экспериментах по соударению тяжёлых ионов. Данная идея лежит в основе цикла работ [1-4], где было предложено рассчитывать поляризацию Л-гиперонов на основе её связи с аксиальным зарядом странных кварков, который они приобретают за счёт КВЭ. Таким образом, появление поляризации у барионов, образующихся в столкновениях тяжёлых ионов, следует рассматривать как одно из важных экспериментальных следствий киральной аномалии. Учитывая, что согласно КВЭ аксиальный за-

ряд пропорционален химическому потенциалу странных кварков, а он, согласно исследованиям на решётке, падает с ростом энергии столкновения, было предсказано падение поляризации гиперонов при увеличении энергии столкновения. Сделанное качественное предсказание подтвердилось в эксперименте STAR по измерению глобальной поляризации лямбда и анти-лямбда гиперонов в периферических Au-Au столкновениях [29]. Таким образом, количественный теоретический анализ и дальнейшее экспериментальное изучение поляризации адро-нов на Нуклотронном Ионном Коллайдере NICA может послужить интересной альтернативой экспериментальному поиску КМЭ [1-4].

Значительный интерес к данному классу вопросов подтверждается и частотой появления новых результатов и работ в этой области. Так, недавно был предложен ещё один подход к вычислению поляризации в фазе конфайнмента, основанный на рассмотрении вихрей в пионной сверхтекучей жидкости [30].

В [15] был предложен новый метод, позволяющий изучать киральные явления с точки зрения физической кинетики. В этой работе была предложена ковариантная функция Вигнера, задающая распределение частиц со спином в нестационарной среде в состоянии локального термодинамического равновесия, что с хорошей степенью точности позволяет описывать эффекты, связанные с ускорением и вращением, с точки зрения термодинамики. Данная функция Вигнера широко применялась при анализе гидродинамических эффектов в жидкостях с поляризацией, в частности, она использовалась для вывода уравнения, описывающего эволюцию поляризации, которое может быть использовано при описании соударений тяжёлых ионов [31,32]. В [16,33] функция Вигнера из [15] была использована при вычислении поляризации гиперонов. Полученный в [16,33] результат для поляризации, как функции энергии столкновения ионов, так же как и результаты [1-4] совпадал с поведением, наблюдающимся в данных STAR [29]. Возникает вопрос об источниках соответствия различных подходов к вычислению поляризации, частичный ответ на него получен в диссертационной работе.

Другой новый статистический подход к изучению киральных явлений основан на квантово-статистическом операторе плотности Зубарева для среды, обладающей тепловой завихрённостью [34,35]. Так, в [17] были исследованы эффекты движения среды во втором порядке по производным. Недавно в [18]

подход со статистическим оператором был обобщён на среду с аксиальным химическим потенциалом, и было показано существование новых транспортных явлений, связанных с вектором, перпендикулярным завихрённости и ускорению. Оба подхода - функции Вигнера и оператора плотности Зубарева - используются в диссертации.

В настоящий момент также активно исследуется связь киральных эффектов с гравитационными эффектами и гравитационной аномалией, например, в [12,19,21]. Сейчас стало очевидно, что гравитационная аномалия играет существенную роль в данных явлениях, и отвечает за эффекты, связанные с температурой.

Остаётся мало изученным вопрос о влиянии ускорения на поляризацию и свойства киральных жидкостей, в целом, и КГП в частности. В основном, в литературе [11,12,19,21,22] исследованы эффекты, связанные с завихрённостью, то есть, вращением жидкости. Однако набор первых производных от скорости помимо завихрённости включает вектор ускорения - это соответствует ситуации в электродинамике, где рассматриваются магнитное и электрическое поля, при этом магнитное поле соответствует завихрённости, а электрическое - ускорению (см., например, [17,36]).

Подводя итог, очевидно, что релятивистская гидродинамика квантовые аномалии, киральные эффекты и поляризация тесно связаны друг с другом и относятся к передовому краю современной фундаментальной физики, как теоретической, так и экспериментальной. Именно исследования данных вопросов посвящена данная диссертационная работа.

Цель Исследования. Целью данной диссертационной работы являлись разработка статистических подходов, позволяющих описывать эффекты завихрённости и ускорения, поиск на их основе новых киральных эффектов и исследование связи между гидродинамическими свойствами релятивистской жидкости и явлениями из других областей фундаментальной физики, таких как квантовая теория поля и гравитация.

Задачи исследования. В рамках исследовательской работы были поставлены и решены следующие задачи:

1. Вычислить квантовые поправки с ускорением и завихрённостью в од-

нопетлевом приближении теории поля при конечных температурах вплоть до третьего порядка теории возмущений. Рассмотреть дираковские поля как в массивном, так и в безмассовом случаях.

2. Разработать непертурбативный способ вычисления средних значений физических величин на основе ковариантной функции Вигнера для частиц со спином одна вторая. Вычислить с помощью данного метода среднее значение аксиального тока, получив непертурбативное обобщение кирального вихревого эффекта во всех порядках по завихрённости и массе. Сравнить с результатами пункта 1. Определить границы применимости функции Вигнера.

3. Исследовать и сравнить роль ускорения и завихрённости в релятивистской гидродинамике на примере аксиального тока и непертурбативных формул, полученных в пункте 2. Исследовать зависимость аксиального тока от взаимной ориентации векторов ускорения и завихрённости.

4. Проанализировать на примере аксиального тока роль конечной массы фермионов в среде с завихрённостью при различных температурах. Сформулировать критерии для численного исследования эффектов завихрённости.

5. Построить аналитическое продолжение аксиального тока в область температур ниже температуры Унру. Проанализировать на его основе переход через температуру Унру и возможные феноменологические следствия, связанные с данным переходом.

Новизна и практическая значимость. Оригинальными являются как разработанные методы, так и полученные с их помощью результаты. Впервые разработан алгоритм вычисления высших членов по тензору тепловой завих-рённости квантовой статистической теории возмущений при конечной температуре. Проделанное вычисление третьего порядка в аксиальном токе является на настоящий момент рекордным (до этого были вычислены члены вплоть до второго порядка).

Впервые описан способ получения точных непертурбативных средних на основе функции Вигнера. До этого все расчёты носили пертурбативный характер [37], либо использовали дополнительные приближения [38]. На основе разработанного метода удалось обосновать концепцию угловой скорости, как

действительного химического потенциала и ускорения - как мнимого химического потенциала. Первая из этих концепций высказывалась и ранее (см., в частности, [39,40]), но нам удалось обобщить её на случай массивных ферми-онов, вторая же концепция о мнимости химического потенциала, связанного с ускорением - полностью оригинальная.

На основе сделанного наблюдения о роли ускорения как мнимого химического потенциала нами был обнаружен новый эффект термодинамической неустойчивости в системе с ускорением.

Полученные результаты могут быть использованы при поиске эффектов, связанных с ускорением, на ускорителях элементарных частиц. При достаточной точности эксперимента, они позволят получить экспериментальное подтверждение эффекта Унру из физики тяжёлых ионов. Обнаруженный эффект подавления аксиального тока также представляет интерес с экспериментальной точки зрения и может оказаться существенен при описании измеряемой в эксперименте поляризации адронов.

Достоверность. Достоверность полученных результатов основывается на использовании признанных, широко известных и апробированных методов квантовой статистической теории, таких как метод функции Вигнера и метод статистического оператора плотности Зубарева, возможностью воспроизведения хорошо известных результатов для кирального вихревого эффекта и эффекта Унру и других известных из литературы эффектов, в предельных случаях, а также независимой проверкой результатов с точки зрения различных статистических, теоретико-полевых и геометрических подходов. Точное соответствие средних значений квантовых операторов, выведенных на основе существенно различных теоретических подходов, является нетривиальной проверкой этих результатов и серьёзным основанием в пользу их достоверности.

Выносимые на защиту результаты:

1. Вычислены поправки в третьем порядке теории возмущений по производным скорости (завихрённости и ускорению) к киральному вихревому эффекту на основе фундаментального квантового статистического подхода с оператором плотности Зубарева. Впервые получен коэффициент перед смешанными членами в аксиальном токе фермионов с ускорением и завихрённостью.

2. Разработан алгоритм нахождения точных непертурбативных формул на основе ковариантной функции Вигнера в среде с тензором тепловой завихрённо-сти. На основе данного алгоритма получено непертурбативное выражение для аксиального тока в среде с завихрённостью во всех порядках по завихрённости и при произвольной массе частиц, обобщающее киральный вихревой эффект.

3. Обоснована концепция завихрённости, как нового действительного химического потенциала, и впервые выдвинута и обоснована концепция ускорения, как нового мнимого химического потенциала. Показано, что следствием второй из концепций является появление нестабильности в аксиальном токе при температуре Унру.

4. Предсказан эффект подавления аксиального тока при нулевой температуре в области завихрённости, меньшей двух масс, как следствие появления завихрённости в виде химического потенциала. На основе обнаруженного эффекта сформулирован критерий для численного исследования эффектов завих-рённости.

5. Показана недостаточность функции Вигнера при описании эффектов ускорения. В частности, показано, что функция Вигнера приводит к ненулевой дивергенции аксиального тока в отсутствии внешних полей. Получено решение данной проблемы на основе фундаментального подхода с оператором плотности.

Личный вклад. Содержание диссертации и положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора. Автор принимал активное участие во всех этапах работы, в том числе разработке концептуальной части исследования и постановке задачи. Его вклад является определяющим в проведении самого исследования, аналитических и численных расчётов, разработке алгоритмов, а также подготовке и написании статей. Все выносимые на защиту результаты получены лично автором.

Апробация. Результаты диссертации были представлены лично автором на семинарах Лаборатории Теоретической Физики (ЛТФ) ОИЯИ в Дубне, Лаборатории Физики Высоких Энергий (ЛФВЭ) ОИЯИ в Дубне, Национального Института Ядерной Физики (ШРК) во Флоренции в Италии, Института Земно-

го магнетизма, Ионосферы и Распространения Радиоволн в Троицке, а также на конференциях:

- The International Conference on Strangeness in Quark Matter (SQM 2017), Utrecht, Nether-lands, 2017.

- The Helmholtz International Summer School «Hadron Structure and Hadronic Matter, and Lattice QCD», JINR, Dubna, Russia, 2017.

- XXIVth International Baldin Seminar on High Energy Physics Problems «Relativistic Nuclear Physics and Quantum Chromodynamics» (XXIV Международный Балдинский семинар по проблемам физики высоких энергий), ОИЯИ, Дубна, Россия, 2018.

- Matter under Extreme Conditions in Heavy-Ion Collisions and Astrophysics, ОИЯИ, Дубна, Россия, 2018.

- Lattice and Functional Techniques for Exploration of Phase Structure and Transport Properties in Quantum Chromodynamics, BLTP, JINR, Dubna, Russia, 2018.

- The 27th International Conference on Ultrarelativistic Nucleus-Nucleus Collisions «QUARK MATTER 2018», Venice, Italy, 2018.

- XVIII Workshop on High Energy Spin Physics DSPIN-19, ОИЯИ, Дубна, Россия, 2019.

- The XXIV International Workshop «High Energy Physics and Quantum Field Theory» (QFTHEP-2019), D.V. Skobeltsyn Institute of Nuclear Physics, M.V. Lomonosov Moscow State University and Southern Federal University, Sochi, Russia, 2019.

- The 5th Workshop on Chirality, Vorticity and Magnetic Field in Heavy Ion Collisions, Beijing, China, 2019.

- The II International Workshop on Theory of Hadronic Matter under Extreme Conditions, BLTP, JINR, Dubna, Russia, 2019.

- The 18th International Conference on Strangeness in Quark Matter (SQM 2019), Bari, Italy, 2019.

- Весенняя онлайн-школа для студентов-бакалавров «Физика кварк-глюонной материи», Государственный университет «Дубна», Дубна, Россия, 2020.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 7 печатных работах в рецензируемых журналах, включённых в список ВАК и/или международных баз данных Web of Science и/или Scopus [41-47].

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения, списка сокращений, библиографии и 2 приложений. Общий объём диссертации составляет 118 страниц, в том числе 16 рисунков и 1 таблица. Библиография включает 87 наименований на 9 страницах.

Глава 1

Обзор квантово-полевых эффектов завихрённости и ускорения и методов их исследования

Как было сказано ранее, в релятивистской жидкости из элементарных частиц возникает ряд эффектов, обусловленных наиболее фундаментальными квантовыми-полевыми свойствами материи. В частности, был открыт (пока только на теоретическом уровне) киральный магнитный эффект (КМЭ)

з" = 2П2в ". (1.1)

где в левой части стоит четырёх-вектор электромагнитного тока, а в правой части - произведение аксиального химического потенциала, отражающего разность числа правокиральных (частицы со спином вдоль импульса и античастицы со спином против направления импульса) и левокиральных (частицы со спином против направления импульса и античастицы со спином вдоль направления импульса) фермионов [13,48,49] (в данном случае - безмассовых), и магнитного поля [8,12,13], электрический заряд фермионов считаем равным 1. Возникает парадоксальный эффект - электрический заряд двигается вдоль магнитного поля, а не электрического, согласно классической электродинамике.

Не менее парадоксальный эффект, который, как правило, обсуждается од-

новременно с КМЭ, это киральный вихревой эффект (КВЭ)

X = (?) , (12)

где в левой части стоит аксиальный ток - этот ток соответствует разности токов числа частиц правокиральных и левокиральных фермионов - а в правой части завихрённость (понятие завихрённости будет введено далее), умноженная на сумму квадратов температуры и химического потенциала (отвечающего обычному электрическому заряду). Таким образом, возникает перенос аксиального заряда вдоль направления угловой скорости вращения жидкости.

В случае д5 — 0 появляется дополнительное слагаемое

(?(13)

Изучению КВЭ посвящена вторая глава, здесь же мы опишем, каким образом были получены данные эффекты. Удивительным наблюдением является то, что оба эффекта (1.1) и (1.2) являются прямым проявлением фундаментального явления в теории поля - квантовых аномалий [5-7,50]. В частности, ключевую роль играет так называемая киральная аномалия в аксиальном токе

02Р2 1

\7 4 м —__Ч_Р Р а +__Я л Я кХ (14)

= + Я Пра ' ( )

где мы сразу записали вклады электромагнитного поля и гравитации [50] (говорят об электромагнитной или калибровочной, и гравитационной или лорен-цовой киральных аномалиях)1. В силу важности этой формулы, полезно более подробно расшифровать обозначения: слева стоит ковариантная производная — дм{у/-93ь), е - заряд электрона, 0 - заряд рассматриваемых фер-мионов в единицах заряда электрона, ток

зМ = 5Ф , (1.5)

является разностью правого и левого токов, а матрица 75 определена согласно «Списку сокращений, обозначений и системе единиц». Обе аномалии в данной формуле играют ключевую роль в гидродинамике релятивистской жидкости,

:В большинстве формул кроме (1.4) электрический заряд электрона считается равным единице е = 1.

причём, что может показаться парадоксальным, даже в отсутствие электромагнитного и гравитационного полей (происхождение данного «парадокса» станет понятно из следующих двух разделов этой главы).

Связь с аномалиями имеет ключевое значение для всей физики киральных явлений и мы уделим особое внимание её обсуждению. В конце данной главы мы обсудим основные методы исследования эффектов завихрённости и ускорения, которые будут использоваться в последующих главах.

1.1 Киральные эффекты как проявление аксиальной аномалии и второго начала термодинамики

В данном разделе будет приведены результаты недавней, но уже ставшей классической, работы [11], в которой были выведены КВЭ и КМЭ, возможно, впервые показана их прямая связь с киральной аномалией, а также показано, что эти эффекты сохраняются за пределами приближения свободных частиц в гидродинамическом приближении (что было существенным новым шагом в физике киральных явлений, по сравнению с оригинальным выводом данных эффектов для свободных частиц [39,51,52]).

Следуя [11], рассмотрим вначале упрощённый случай с одним и(1) аномальным током. В конце мы приведём результаты [28] для случая с двумя токами - векторным и аксиальным, что соответствует реальной физической ситуации в квантовой электродинамике (КЭД). Далее везде рассматривается среда из безмассовых или почти безмассовых фермионов. В частности, к этому случаю относится кварк-глюонная плазма, для которой можно пренебречь массами и и ё кварков.

В данном разделе нами будет использоваться метрика Минковского в виде П"^ = (-1,1,1,1) и е0123 = 1 (чтобы сохранить соответствие с оригинальной работой). Рассмотрим среду, состоящую из фермионов, находящуюся во внешнем электромагнитном поле А" с тензором напряжённостей Р"^. Движение материи

в каждой точке этой среды описывается 4-вектором скорости

1

u* = (-Y, Yv), Y = rr^—ö , u*u* = u2 = -1. (1.6)

V1 — v2

В релятивистской гидродинамике скорость жидкости может быть определена различными способами. Мы в данном разделе будем следовать Ландау и Лиф-шицу (система Ландау) [53], считая, что 4-скорость определена таким образом, что в сопутствующей системе отсчёта, когда u* = (—1,0, 0,0), импульс жидкости равен нулю, а энергия такая, как при отсутствии диссипаций, то есть считаем, что скорость связана с переносом энергии, а не самих частиц (см. обсуждения систем определения скорости в [17,53,54]).

Электромагнитное поле можно разложить на 4-векторы напряжённостей электрического и магнитного полей, определённые следующим образом

E* = F*vuv , B* = 1 e*vaßuvFaß . (1.7)

2

В системе покоя имеем

u* = (—1,0,0,0), E0 = 0 , El = F°l, B0 = 0 , B1 = — б°шdka ^ в = rotA . (1.8)

Таким образом, приведённые в (1.7) выражения являются прямым 4-мерным обобщением стандартных 3-мерных напряжённостей. Уравнения гидродинамики имеют следующий вид

'я T*v = Fj , * (1.9)

d*j * = CE*B* ,

где T- тензор энергии-импульса жидкости, j* - гидродинамический (электрический) ток, а C - численный коэффициент перед аксиальной аномалией (см. электромагнитную часть в (1.4)). Здесь первое уравнение - закон изменения энергии-импульса во внешнем поле, а второе уравнение - закон (не-)сохранения заряда, учитывающий аксиальную аномалию [5]. Появление аксиальной аномалии во втором уравнении (1.9) является ключевым моментом в выводе [11], отличающем его от аналогичного анализа [53]. Именно в данный момент мы производим модификацию гидродинамики за счёт квантовой аномалии.

Ещё одним важнейшим уравнением, которое нам потребуется в дальнейшем, является второе начало термодинамики

д^ > 0 , (1.10)

где вм - плотность потока энтропии. Сложность уравнения (1.10) состоит в том, что вид вм в вязкой жидкости во внешнем поле заранее неизвестен, и должен быть определён как раз из условия (1.10). Уравнение (1.10) является вторым ключевым моментом в наших рассуждениях. Забегая вперёд, скажем, что ки-ральные эффекты возникают в результате совместного учёта аксиальной аномалии в (1.9) и второго начала термодинамики (1.10).

Тензор энергии-импульса и гидродинамический ток идеальной несжимаемой жидкости имеют вид

Т^ = (£ + р)и^ + рп^ , 3м = пи* , (1.11)

где £ - плотность энергии, р - давление, п - плотность заряда. Для вязкой жидкости во внешнем электромагнитном поле без аксиальной аномалии, когда С = 0, появляются дополнительные слагаемые в токе и тензоре энергии-импульса

Т^ = (£ + р)иии + рп^ + т^ , 3* = пи* + ^ . (1.12)

Заметим, что согласно используемому определению 4-скорости по Ландау и = и^и, = 0. Выберем поток энтропии в виде (так как окажется, что его дивергенция может быть определена неотрицательной, то такой выбор обоснован)

в^ = ви" - , (1.13)

где в - плотность энтропии, удовлетворяющая стандартному соотношению из термодинамики £ + р = Тв + дп, д - химический потенциал. Дивергенция плотности потока энтропии будет иметь вид (см. вывод без электромагнитного поля в [53])

1 д Е

д^ = -Т- ^(д,Т - Т). (1.14)

Как показано в [53], второе начало термодинамики, заключающееся в требовании неотрицательности правой части (1.14), фиксирует вид поправок тш и

V ш

Тш, = -ПраРв (даив + двПа) - (С - о П)Р^даиа

2

Vш = -аТРш"дуТ + , (1.15)

где а - электропроводность, п и ( - коэффициенты вязкости, - оператор ортогональной проекции на 4-скорость иш

Рши = Пш^ + ищи» , (1.16)

обладающий свойствами

= РШ"ищ = 0 , РШ" Руа = РШ , РШ" Рщ» = -1 . (1.17)

Легко проверить, что при условии (1.15) и п,С,а > 0 выполняется (1.10) для (1.14). Таким образом устанавливаются поправки с вязкостью и во внешнем поле в отсутствии аксиальной аномалии.

Как уже было сказано, в [11] был сделан важнейший следующий шаг -учтена аксиальная аномалия в правой части второго уравнения (1.9). В этом случае, предполагая, что поправки в ток энтропии имеют вид (1.13), мы бы получили с учётом (1.9) при С = 0 вместо (1.14)

д,вш = -Тдщщтш" - vш(дшТ - Т) - (ЕщВш). (1.18)

Последний член в (1.18) является знаконеопределённой величиной и может поменять знак дивергенции потока энтропии. Поэтому, на ранее найденных решениях (1.13) и (1.15) не будет выполняться в общем случае второе начало термодинамики. Выход из данной ситуации был найден - было показано, что теперь необходимо включить в поток энтропии и гидродинамический ток дополнительные слагаемые, связанные с вращением среды и магнитным полем

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Прохоров Георгий Юрьевич, 2021 год

Литература

[1] Rogachevsky Oleg, Sorin Alexander, Teryaev Oleg. Chiral vortaic effect and neutron asymmetries in heavy-ion collisions // Phys. Rev. — 2010. — Vol. C82.

— P. 054910.

[2] Helicity separation in Heavy-Ion Collisions / Mircea Baznat, Konstantin Gudima, Alexander Sorin, Oleg Teryaev // Phys. Rev. — 2013. — Vol. C88, no. 6. — P. 061901.

[3] Hyperon polarization in heavy-ion collisions and holographic gravitational anomaly / Mircea Baznat, Konstantin Gudima, Alexander Sorin, Oleg Teryaev // Phys. Rev. — 2018. — Vol. C97, no. 4. — P. 041902.

[4] Sorin Alexander, Teryaev Oleg. Axial anomaly and energy dependence of hyperon polarization in Heavy-Ion Collisions // Phys. Rev. — 2017. — Vol. C95, no. 1. — P. 011902.

[5] Weinberg Steven. The quantum theory of fields. Vol. 2: Modern applications. — Cambridge University Press, 2013. — 8.

[6] Adler Stephen L., Bardeen William A. Absence of higher order corrections in the anomalous axial vector divergence equation // Phys. Rev. — 1969. — Vol. 182. — Pp. 1517-1536. — [,268(1969)].

[7] Alvarez-Gaume Luis, Witten Edward. Gravitational Anomalies // Nucl. Phys.

— 1984. — Vol. B234. — P. 269. — [,269(1983)].

[8] Zakharov Valentin I. Chiral Magnetic Effect in Hydrodynamic Approximation.

— 2012. — [Lect. Notes Phys.871,295(2013)].

[9] Zakharov V. I. Chiral liquids // EPJ Web Conf. — 2015. — Vol. 95. — P. 03040.

[10] Zakharov V. I. Notes on conservation laws in chiral hydrodynamics. — 2016.

[11] Son Dam T., Surowka Piotr. Hydrodynamics with Triangle Anomalies // Phys. Rev. Lett. — 2009. — Vol. 103. — P. 191601.

[12] Strongly Interacting Matter in Magnetic Fields / Dmitri Kharzeev, Karl Landsteiner, Andreas Schmitt, Ho-Ung Yee // Lect. Notes Phys. — 2013.

— Vol. 871. — Pp. pp.1-624.

[13] Fukushima Kenji, Kharzeev Dmitri E., Warringa Harmen J. The Chiral Magnetic Effect // Phys. Rev. — 2008. — Vol. D78. — P. 074033.

[14] Chiral magnetic and vortical effects in high-energy nuclear collisions - A status report / D. E. Kharzeev, J. Liao, S. A. Voloshin, G. Wang // Prog. Part. Nucl. Phys. — 2016. — Vol. 88. — Pp. 1-28.

[15] Relativistic distribution function for particles with spin at local thermodynamical equilibrium / F. Becattini, V. Chandra, L. Del Zanna, E. Grossi // Annals Phys. — 2013. — Vol. 338. — Pp. 32-49.

[16] Global hyperon polarization at local thermodynamic equilibrium with vorticity, magnetic field and feed-down / F. Becattini, I. Karpenko, M. Lisa et al. // Phys. Rev. — 2017. — Vol. C95, no. 5. — P. 054902.

[17] Buzzegoli M, Grossi E., Becattini F. General equilibrium second-order hydrodynamic coefficients for free quantum fields // JHEP. — 2017. — Vol. 10.

— P. 091. — [Erratum: JHEP07,119(2018)].

[18] Buzzegoli M., Becattini F. General thermodynamic equilibrium with axial chemical potential for the free Dirac field // JHEP. — 2018. — Vol. 12. — P. 002.

[19] Landsteiner Karl, Megias Eugenio, Pena-Benitez Francisco. Gravitational Anomaly and Transport // Phys. Rev. Lett. — 2011. — Vol. 107. — P. 021601.

[20] Landsteiner Karl, Megias Eugenio, Pena-Benitez Francisco. Anomalous Transport from Kubo Formulae // Lect. Notes Phys. — 2013. — Vol. 871.

— Pp. 433-468.

[21] Stone Michael, Kim Jiyoung. Mixed Anomalies: Chiral Vortical Effect and the Sommerfeld Expansion // Phys. Rev. - 2018. - Vol. D98, no. 2. - P. 025012.

[22] Chiral Anomaly and Local Polarization Effect from Quantum Kinetic Approach / Jian-Hua Gao, Zuo-Tang Liang, Shi Pu et al. // Phys. Rev. Lett.

- 2012. - Vol. 109. - P. 232301.

[23] Gao Jian-hua, Pu Shi, Wang Qun. Covariant chiral kinetic equation in the Wigner function approach // Phys. Rev. - 2017. - Vol. D96, no. 1. - P. 016002.

[24] Gao Jian-hua, Pang Jin-Yi, Wang Qun. Chiral vortical effect in Wigner function approach // Phys. Rev. - 2019. - Vol. D100, no. 1. - P. 016008.

[25] Golkar Siavash, Son Dam T. (Non)-renormalization of the chiral vortical effect coefficient // JEEP. - 2015. - Vol. 02. - P. 169.

[26] Observation of the chiral magnetic effect in ZrTe5 / Qiang Li, Dmitri E. Kharzeev, Cheng Zhang et al. // Nature Phys. - 2016. - Vol. 12.

- Pp. 550-554.

[27] Sadofyev A. V., Shevchenko V. I., Zakharov V. I. Notes on chiral hydrodynamics within effective theory approach // Phys. Rev. - 2011. - Vol. D83. - P. 105025.

[28] Sadofyev A.V., Isachenkov M.V. The Chiral magnetic effect in hydrodynamical approach // Phys. Lett. B. - 2011. - Vol. 697. - Pp. 404-406.

[29] Adamczyk L. et al. Global A hyperon polarization in nuclear collisions: evidence for the most vortical fluid // Nature. - 2017. - Vol. 548. - Pp. 62-65.

[30] Teryaev Oleg V., Zakharov Valentin I. Chiral vortical effect in pionic superfluid vs spin alignment of baryons. - 2017.

[31] Relativistic fluid dynamics with spin / Wojciech Florkowski, Bengt Friman, Amaresh Jaiswal, Enrico Speranza // Phys. Rev. - 2018. - Vol. C97, no. 4.

- P. 041901.

[32] Spin-dependent distribution functions for relativistic hydrodynamics of spin-1/2 particles / Wojciech Florkowski, Bengt Friman, Amaresh Jaiswal et al. // Phys. Rev. D. - 2018. - Vol. 97, no. 11. - P. 116017.

[33] Karpenko Iu., Becattini F. Vorticity in the QGP liquid and Lambda polarization at the RHIC Beam Energy Scan // Nucl. Phys. - 2017. - Vol. A967. -Pp. 764-767.

[34] Zubarev D.N. Nonequilibrium statistical thermodynamics. Studies in soviet science. - Consultants Bureau, 1974.

[35] Zubarev D. N., Prozorkevich A. V., A. Smolyanskii S. Derivation of nonlinear generalized equations of quantum relativistic hydrodynamics // TMF. - 1979. - Vol. 40:3. - P. 394-407.

[36] Buzzegoli Matteo. - Thermodynamic equilibrium of massless fermions with vorticity, chirality and magnetic field. - Other thesis, 2020. - 4.

[37] Becattini F., Grossi E. Quantum corrections to the stress-energy tensor in thermodynamic equilibrium with acceleration // Phys. Rev. - 2015. - Vol. D92. - P. 045037.

[38] Florkowski Wojciech, Speranza Enrico, Becattini Francesco. Perfect-fluid hydrodynamics with constant acceleration along the stream lines and spin polarization // Acta Phys. Polon. - 2018. - Vol. B49. - P. 1409.

[39] Vilenkin A. Macroscopic parity violating effects: neutrino fluxes from rotating black holes and in rotating thermal radiation // Phys. Rev. - 1979. - Vol. D20. - Pp. 1807-1812.

[40] Jiang Yin, Liao Jinfeng. Pairing Phase Transitions of Matter under Rotation // Phys. Rev. Lett. - 2016. - Vol. 117, no. 19. - P. 192302.

[41] Prokhorov George, Teryaev Oleg. Anomalous current from the covariant Wigner function // Phys. Rev. - 2018. - Vol. D97, no. 7. - P. 076013.

[42] Prokhorov George Y, Teryaev Oleg V., Zakharov Valentin I. Effects of rotation and acceleration in the axial current: density operator vs Wigner function // JHEP. — 2019. — Vol. 02. — P. 146.

[43] Prokhorov G., Teryaev O., Zakharov V. Axial current in rotating and accelerating medium // Phys. Rev. — 2018. — Vol. D98, no. 7. — P. 071901.

[44] Prokhorov Georgy, Teryaev Oleg, Zakharov Valentin. Polarization in HIC: comparison of methods // European Physical Journal Web of Conferences. — Vol. 204 of European Physical Journal Web of Conferences. — 2019. — 9. — P. 05003.

[45] Prokhorov G. Yu., Zakharov V. I., Teryaev O. V. Rotation and spin dynamics in heavy-ion collisions // European Physical Journal Web of Conferences. — Vol. 191 of European Physical Journal Web of Conferences. — 2018. — 10.

[46] Vorticity and A polarization in baryon rich matter / Mircea Baznat, Konstantin Gudima, George Prokhorov et al. // European Physical Journal Web of Conferences. — Vol. 171 of European Physical Journal Web of Conferences. — 2018. — 2. — P. 07003.

[47] Chiral effects in external gravitational field / P.G. Mitkin, G. Prokhorov, O.V. Teryaev, V.I. Zakharov // Nuclear and Particle Physics Proceedings. — 2018. — Vol. 300-302. — Pp. 203 - 209. — QCD 18 is the 21st International Conference on Quantum Chromodynamics.

[48] Hirono Yuji, Hirano Tetsufumi, Kharzeev Dmitri E. The chiral magnetic effect in heavy-ion collisions from event-by-event anomalous hydrodynamics. — 2014. — 11.

[49] Chiral Magnetic Effect in Isobar Collisions from Stochastic Hydrodynamics / Gui-Rong Liang, Jinfeng Liao, Shu Lin et al. — 2020. — 4.

[50] Photonic Chiral Current and Its Anomaly in a Gravitational Field / A.D. Dolgov, I.B. Khriplovich, A.I. Vainshtein, Valentin I. Zakharov // Nucl. Phys. B. — 1989. — Vol. 315. — Pp. 138-152.

[51] Vilenkin A. Quantum field theory at finite temperature in a rotating system // Phys. Rev. - 1980. - Vol. D21. - Pp. 2260-2269.

[52] Vilenkin A. Equilibrium parity violating current in a magnetic field // Phys. Rev. - 1980. - Vol. D22. - Pp. 3080-3084.

[53] Landau L, Lifshitz E. Fluid Mechanics: Landau and Lifshitz: Course of Theoretical Physics. - 2013. - 09.

[54] Weinberg Steven. Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity. - New York: John Wiley and Sons, 1972.

[55] Becattini F. Covariant statistical mechanics and the stress-energy tensor // Phys. Rev. Lett. - 2012. - Vol. 108. - P. 244502.

[56] De Groot S. R. Relativistic Kinetic Theory. Principles and Applications / Ed. by W. A. Van Leeuwen, C. G. Van Weert. - 1980.

[57] Korsbakken Jan Ivar, Leinaas Jon Magne. The Fulling-Unruh effect in general stationary accelerated frames // Phys. Rev. - 2004. - Vol. D70. - P. 084016.

[58] Chiral kinetic theory in curved spacetime / Yu-Chen Liu, Lan-Lan Gao, Kazuya Mameda, Xu-Guang Huang // Phys. Rev. D. - 2019. - Vol. 99, no. 8. - P. 085014.

[59] Florkowski Wojciech, Kumar Avdhesh, Ryblewski Radoslaw. Thermodynamic versus kinetic approach to polarization-vorticity coupling // Phys. Rev. - 2018.

- Vol. C98, no. 4. - P. 044906.

[60] Becattini F., Ferroni L. The Microcanonical ensemble of the ideal relativistic quantum gas with angular momentum conservation // Eur. Phys. J. - 2007.

- Vol. C52. - Pp. 597-615.

[61] Becattini F. Thermodynamic equilibrium with acceleration and the Unruh effect // Phys. Rev. - 2018. - Vol. D97, no. 8. - P. 085013.

[62] van Weert Ch.G. Maximum entropy principle and relativistic hydrodynamics // Annals of Physics. - 1982. - Vol. 140, no. 1. - Pp. 133 - 162.

[63] Local thermodynamical equilibrium and the beta frame for a quantum relativistic fluid / F. Becattini, L. Bucciantini, E. Grossi, L. Tinti // Eur. Phys. J. — 2015. — Vol. C75, no. 5. — P. 191.

[64] Relativistic hydrodynamics from quantum field theory on the basis of the generalized Gibbs ensemble method / Tomoya Hayata, Yoshimasa Hidaka, Toshifumi Noumi, Masaru Hongo // Phys. Rev. — 2015. — Vol. D92, no. 6. — P. 065008.

[65] Hongo Masaru. Path-integral formula for local thermal equilibrium // Annals Phys. — 2017. — Vol. 383. — Pp. 1-32.

[66] Morozov V. G., Ropke G., Holl A. Kinetic theory of quantum electrodynamic plasma in a strong electromagnetic field. I: The covariant formalism // Theor. Math. Phys. — 2002. — Vol. 131. — Pp. 812-831. — [Teor. Mat. Fiz.131,432(2002)].

[67] Holl A., Morozov V.G., Ropke G. Covariant linear response theory of relativistic QED plasmas // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. — 2003. — Vol. 319. — Pp. 371 - 403.

[68] Holl A., Morozov V. G., Ropke G. Kinetic theory of QED plasmas in a strong electromagnetic field. 2. The Mean field description // Theor. Math. Phys. — 2002. — Vol. 132. — Pp. 1029-1042. — [Teor. Mat. Fiz.132,161(2002)].

[69] Jeon Sangyong, Heinz Ulrich. Introduction to Hydrodynamics // Quark-Gluon Plasma 5 / Ed. by Xin-Nian Wang. — 2016. — Pp. 131-187.

[70] Luzum Matthew, Romatschke Paul. Conformal Relativistic Viscous Hydrodynamics: Applications to RHIC results at s(NN)**(1/2) = 200-GeV // Phys. Rev. C. — 2008. — Vol. 78. — P. 034915. — [Erratum: Phys.Rev.C 79, 039903 (2009)].

[71] Weinberg Steven. The Quantum theory of fields. Vol. 1: Foundations. — Cambridge University Press, 2005. — 6.

[72] Aarts Gert. Can stochastic quantization evade the sign problem? The relativistic Bose gas at finite chemical potential // Phys. Rev. Lett. - 2009. - Vol. 102.

- P. 131601.

[73] Roberge Andre, Weiss Nathan. Gauge Theories With Imaginary Chemical Potential and the Phases of QCD // Nucl. Phys. - 1986. - Vol. B275. -Pp. 734-745.

[74] Phase diagram in the imaginary chemical potential region and extended Z(3) symmetry / Yuji Sakai, Kouji Kashiwa, Hiroaki Kouno, Masanobu Yahiro // Phys. Rev. - 2008. - Vol. D78. - P. 036001.

[75] Brito Richard, Cardoso Vitor, Pani Paolo. Superradiance // Lect. Notes Phys.

- 2015. - Vol. 906. - Pp. pp.1-237.

[76] Kharzeev D. Hawking-Unruh phenomenon in the parton language // Eur. Phys. J. - 2006. - Vol. A29. - Pp. 83-87.

[77] Castorina P., Kharzeev D., Satz E. Thermal Hadronization and HawkingUnruh Radiation in QCD // Eur. Phys. J. - 2007. - Vol. C52. - Pp. 187-201.

[78] The Thermal Production of Strange and Non-Strange Hadrons in e+ e-Collisions / F. Becattini, P. Castorina, J. Manninen, H. Satz // Eur. Phys. J. - 2008. - Vol. C56. - Pp. 493-510.

[79] Ramond Pierre. Field theory. A modern primer // Front. Phys. - 1981. -Vol. 51. - Pp. 1-397. - [Front. Phys.74,1(1989)].

[80] Robinson Sean P., Wilczek Frank. A Relationship between Hawking radiation and gravitational anomalies // Phys. Rev. Lett. - 2005. - Vol. 95. - P. 011303.

[81] Teryaev O. V. Gravitational form factors and nucleon spin structure // Front. Phys.(Beijing). - 2016. - Vol. 11, no. 5. - P. 111207.

[82] Tuchin Kirill. Taming instability of magnetic field in chiral medium // Nucl. Phys. - 2018. - Vol. A969. - Pp. 1-13.

[83] Laine Mikko, Vuorinen Aleksi. Basics of Thermal Field Theory // Lect. Notes Phys. - 2016. - Vol. 925. - Pp. pp.1-281.

[84] Ambrus Victor E. Helical massive fermions under rotation // JHEP. — 2020.

— Vol. 08. — P. 016.

[85] Flachi Antonino, Fukushima Kenji. Chiral vortical effect with finite rotation, temperature, and curvature // Phys. Rev. — 2018. — Vol. D98, no. 9. — P. 096011.

[86] Temperature dependence of the axial magnetic effect in two-color quenched QCD / V. Braguta, M. N. Chernodub, V. A. Goy et al. // Phys. Rev. — 2014.

— Vol. D89, no. 7. — P. 074510.

[87] Integrals and Series: More special functions / A.P. Prudnikov, Y.A. Brychkov, I.U.A. Brychkov, O.I. Marichev. Integrals and Series. — Gordon and Breach Science Publishers, 1986.

Приложение А

Свойства полилогарифмов

Ып (- )

Свойства полилогарифмов хорошо описаны, например, в [87]. По определению

то к

ук

ии (- ) = ^ -Т- , | < 1, Ие 1. (А.1)

к=1

При ^ 1 полилогарифм (-) определяется как аналитическое продолжение ряда (А.1)

- Г то -1

(-) = -— --| arg(1 - -)| < п , Ие 0 . (А.2)

Г(^) Л е - -

Теперь можно выразить типичные интегралы с Ферми-распределением через полилогарифмы

= -VГ^)Ь1^+1(-е-А1-гЛ2). (А.3)

Jо еж+А1+гА2 + 1

Для всех целых п > 0, пользуясь (А.3), можно показать, что справедливо

| ^ + 1 = -п!Ы„+1(-е-А1-'А2). (А.4)

В частности, для интеграла вида (2.36)

1 = -2Ыз(-е-А1-а2). (А.5)

еж+А1+гА2 + 1

Соответственно, имеем

1 Т3

у (2п3) ер+т+т+^ + 1 п

также

[ |р| 3т4

=--2Ы3(-е ^ т т ). (А.6)

} (2п3) е р+-+-++ ^ П2 ь14(-е-т- т -т). (А.7)

Таким образом, интегралы, которые появляются при вычислении аксиального тока, в киральном пределе выражаются через полилогарифмы Ы3. Заметим, что при вычислении других величин в киральном пределе возникают такого же типа полилогарифмы с другим V.

Полилогарифмы обладают замечательными свойствами. Нам потребуется одно из них, с помощью которого можно будет заменять появляющиеся у нас комбинации полилогарифмов на полиномы с конечным числом слагаемых. В общем случае имеем

К2] , _2

1»( ^ = - V с*.» 1п» 2к(-х); Со.» = 1; С1.» =-П

Ь1п(х) + (-1)»Ь1П(-) = - ^ см 1п»-2к(-г);

х) V , пГ 6(п - 2)!'

к—0

Ск.» = (-1)4-12(22к)1-п -СВ2к; п =1,2,...; к = 0,1,..., К2], (А.8)

где - это целая часть, 1п(х) - главное значение комплексного логарифма (т.е. -п < 1т[1п(х)] ^ п), а В2к - числа Бернулли (заметим, что числа Бернулли являются рациональными). Введём величину

/М) = « + 2пг[2П+ . (А.9)

Тогда, согласно (А.8) при п = 3 и х = -еа+гЬ имеем

1 П2

Ы3(-еа+г6) - Ь13(-в-а-г6) = -6/(а, Ь)3 - -/(а, Ь). (А.10)

Аналогично

1 П2 7п4

Ы4(-еа+") + 1л4(-е~*) = --/(а, б)4 - -/(а, Ь)2 - — . (А.11)

Данные формулы справедливы в общем случае произвольных действительных а и Ь согласно [87]. Если 1+I < 1, что эквивалентно требованию -п < Ь < п,

то целая часть равна нулю и /(а, Ь) = а + ¿6. В этом случае (А.10) переходит в

1 п2

Ь1з(-еа+г6) - Ь1з(-е-а-г6) = --(а + ¿Ь)3 - — (а + ¿Ь), |Ь| < п. (А.12)

6 6

А (А.11) переходит в

1 п2 7п 4 Ь14(-ва+гЬ) + Ь14(-в-а-гЬ) = -—(а + ¿Ь)4 - Г2(а + ¿Ь)2 - — . (А.13)

В другом предельном случае а ^ 1 стирается информация о Ь

Ыз(-еа+гЬ) - Ыз(-е-а-гЬ) = -1 а3 + 0(а2), а » 1. (А.14)

6

Приведём также дополнительно формулы для Ы2(-)

= -Ь12(-е-А1-гА), (А.15)

___ = _л„(_ е-А1-гА2^

у0 1 + ех+А1+а2

откуда следует

(зр 1 ТЧ. , _ М1_ 51 _

2

-р , / _ <-~1 ___ •^2 Ч У . _ч

Ь12(-е т т т ). (А.16)

] (2пз)рет+^Г!+51++ 1 2п2 Из (А.8) имеем

1 п2

Ы2(-еа+г6) + Ь12(-е-а-г6) = -2/(а, Ь)2 - - ,

1 п2

Ы2(-еа+гЬ) + Ь12(-е-а-г6) = --(а + ¿Ь)2 - — , |Ь| < п . (А.17)

26

Приложение В

Чётности различных величин

В данном приложении мы приведём таблицу С, Р, Т чётностей различных используемых величин, в частности, векторного тока ]м и акисального тока ^, тензора энергии-импульса , генераторов лоренц-преобразований 1м и Км, 4-скорости , компонент тензора завихрённости и ам, а также вектора (1.57). Данная таблица взята частично из [18].

Т 00 Т 0г Т ^ 10 1* 10 л и0 и а0 а п0 К 0 Кг 10 1г

Р + — + + — — + + — — + + — + — + — — +

Т + — + + — + — + — + — — + + — — + + —

С + + + — — + + + + + + + + + + + + + +