Процессы возбуждения мелкомасштабной турбулентности и электромагнитной эмиссии в замагниченной плазме с электронным пучком тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.08, кандидат наук Тимофеев, Игорь Валериевич

• Тимофеев, Игорь Валериевич
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Тимофеев, Игорь Валериевич

Оглавление

Введение

Глава 1. Точная кинетическая теория неустойчивости электронного пучка в замагниченной плазме

1.1. Неустойчивость горячего электронного пучка в холодной замагниченной плазме

1.1.1. Алгоритм численного решения дисперсионного уравнения

1.1.2. Анализ неустойчивого спектра

1.1.3. Сравнение с приближенными решениями

1.2. Влияние температуры плазмы на неустойчивость пучка

1.2.1. Новое представление для тензора проницаемости замагниченной плазмы

1.2.2. Расчеты инкремента в горячей плазме

Глава 2. Теоретическая модель релаксации пучка в режиме захвата

2.1. Модель релаксации пучка

2.2. Сравнение с существующими экспериментами

2.3. Подавление электронной теплопроводности

2.4. Выводы

Глава 3. Сценарий эволюции плазменной турбулентности при

непрерывной инжекции пучка

3.1. Двумерная PIC модель

3.1.1. Описание модели

3.1.2. Результаты тестирования

3.1.3. Выводы

3.2. Одномерная гибридная модель

3.3 Эволюция турбулентности в условиях длительной инжекции пучка

3.3.1. Динамическая стадия

3.3.2. Модуляционная неустойчивость в режиме сильной накачки

3.3.3. Развитая турбулентность

3.3.4. Выводы

Глава 4. Двумерные эффекты на нелинейной стадии пучково-

плазменного взаимодействия

4.1. Параметры численного эксперимента

4.2. Линейная стадия неустойчивости

4.3. Нелинейная стадия

4.3.1. Случай изотропной плазмы Г2 = 0

4.3.2. Случай слабого магнитного поля Г2 = 0.5

4.3.3. Случай сильного магнитного поля ft = 2

4.4. Обсуждение результатов моделирования

Глава 5. Электромагнитная эмиссия турбулентной плазмы на

второй гармонике плазменной частоты

5.1. Модель турбулентного спектра

5.2. Генерация электромагнитного излучения в турбулентной замагни-ченной плазме

5.2.1. Динамическое уравнение для амплитуды

5.2.2. Статистическое уравнение для спектральной плотности энергии

5.2.3. Сравнение с экспериментом

5.3. Генерация терагерцового излучения в турбулентной плазме с пучковой накачкой

5.3.1. Теоретическая модель

5.3.2. Результаты расчётов

Глава 6. Особенности развития модуляционной неустойчивости

в немаксвелловской плазме

6.1. Законы дисперсии потенциальных колебаний плазмы

6.2. Дисперсионное уравнение модуляционной неустойчивости

6.3. Выводы

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Процессы возбуждения мелкомасштабной турбулентности и электромагнитной эмиссии в замагниченной плазме с электронным пучком»

Введение

Пучково-плазменное взаимодействие представляет собой одно из самых распространенных и наиболее фундаментальных явлений в физике плазмы. Несмотря на более чем полувековую историю исследований в этой области [1,2], различные аспекты задачи продолжает активно изучаться как применительно к космическим явлениям [3-5], так и применительно к схеме быстрого поджига в инерциальном термоядерном синтезе [6,7]. В данной работе основное внимание уделено изучению тех режимов пучково-плазменного взаимодействия, которые характерны для лабораторных экспериментов по турбулентному нагреву плазмы сильноточными электронными пучками. Мотивацией для таких исследований является значительный прогресс, достигнутый в экспериментах на открытой ловушке ГОЛ-3 [8,9], который позволил по-новому оценивать реакторные перспективы подобных систем [10].

Несмотря на обилие теоретических моделей, описывающих различные ре-

9

жимы пучково-плазменного взаимодействия, задача предсказания с их помощью результатов реальных экспериментов все еще далека от решения. Дело в том, что максимально приближенная к эксперименту постановка задачи зачастую требует отказа от привычных для теории идеализаций, таких как слабое или сильное магнитное поле, гидродинамический или кинетический характер пучковой неустойчивости, приближение случайных фаз возбуждаемых в плазме турбулентных пульсаций. Кроме того, при длительной инжекции пучка эволюция пучково-плазменной системы может проходить через целую последовательность стадий, определяемых совершенно различными нелинейными процессами. Таким образом, нам не известно ни одной аналитической модели плазменной турбулентности, с помощью которой удалось бы правильно предсказать профили нагрева плазмы или решить проблему самосогласованного описания наблюдаемых в эксперименте спектральных распределений волн и частиц [52]. В связи с этим становится актуальным создание численных моделей, которые

бы позволили с единых позиций изучить всю картину проходимых пучком этапов релаксации и помогли бы определить адекватность существующих теоретических представлений о механизмах насыщения пучковых неустойчивостей.

Весьма актуальным является также вопрос о механизмах генерации электромагнитного излучения в турбулентной плазме с пучковой накачкой. С одной стороны, эта задача представляет интерес для исследования космической плазмы, где электромагнитное излучение является зачастую единственным источником информации о происходящих в плазме процессах. С другой стороны, она интересна для лабораторных пучково-плазменных экспериментов, где понимание процессов излучения оказывается весьма важным как для диагностики параметров возбуждаемой пучком турбулентности, так и для создания генераторов мощного излучения с высокой эффективностью преобразования энергии пучка в энергию электромагнитных волн.

Целью диссертационной работы является изучение основных физических явлений, происходящих в пучково-плазменной системе в процессе длительной инжекции мощного электронного пучка, под действием которого в плазме не только устанавливается квазистационарное турбулентное состояние, но и успевает происходить заметное изменение макроскопических параметров плазмы. Это предполагает

• изучение линейной стадии неустойчивости электронного пучка в замаг-ниченной плазме в рамках точной кинетической теории,

• исследование сценария установления и нелинейной эволюции возбуждаемой пучком турбулентности,

• исследование процессов генерации электромагнитного излучения в туруб-лентной замагниченной плазме,

• изучение влияния интенсивных хвостов надтепловых электронов на турбулентные процессы в плазме, а также

• создание теоретических и численных моделей, способных описывать релаксацию мощных электронных пучков в плазме на масштабах реальных экспериментов.

Первые теоретические подходы к решению задачи о релаксации электронных пучков в плазме основывались на квазилинейной теории [11,12]. Применительно к задаче об инжекции пучка в плазменное полупространство квазилинейный механизм предполагает, что линейный эффект раскачки пучком плазменных колебаний стабилизируется другим линейным эффектом выноса этих колебаний из области релаксации с групповой скоростью [13]. Для более сильных неустойчивостей существенную роль в их стабилизации начинают играть плазменные нелинейности [14,15]. В этом случае плазменные колебания выходят из резонанса с пучком благодаря различным нелинейным процессам типа волна-волна или волна-частица-волна, вероятность которых при достаточно низком уровне насыщения энергии может быть вычислена в рамках последовательной теории возмущений, составляющей основу слаботурбулентного подхода [16,18]. При взаимодействии еще более мощных электронных пучков с плазмой происходит переход к режиму сильной турбулентности, когда в игру вступают такие нелинейные эффекты, как модуляционная неустойчивость и коллапс ленгмюровских волн [17,19,20]. Важным шагом в решении задачи о релаксации пучка в этом режиме стали работы [21,22], где в уравнения, описывающие квазилинейную диффузию пучка на резонансных колебаниях, была включена эффективная частота их нелинейной диссипации, созданная модуляционной неустойчивостью. Предпринятые позднее попытки более детального описания турбулентности, непрерывно возбуждаемой пучком, основывались на численном решении динамических уравнений Захарова [23-25] и ограничивались рассмотрением пространственно однородной задачи. Подобные численные расчеты, выполненные в двух- и трехмерной геометрии, легли затем в основу двухкомпомпонентной модели сильной турбулентности [26].

Все эти теоретические и численные подходы, однако, основывались на представлении о линейном характере возбуждения резонансных с пучком колебаний, которое позволяло отождествлять скорость накачки энергии в турбулентность с линейным инкрементом пучковой неустойчивости. Очевидно, что при достаточно большой энергии резонансных волн это представление перестает быть верным, и динамика пучка оказывается нелинейной. Наиболее отчетливо влияние пучковых нелинейностей проявляется при раскачке регулярной волны в пространственно однородной задаче, когда захват пучка в создаваемую ей потенциальную яму приводит к насыщению волновой энергии [27,28]. В более реалистичной задаче об инжекции пучка через границу эффекты захвата способствуют формированию локализованных в пространстве волновых пакетов. Подобные пакеты были обнаружены экспериментально [29,30], а затем особенности их регулярной динамики были воспроизведены в численных расчетах, основанных как на методе частиц в ячейках (Particle In Cells, PIC) [31], так и на методах численного решения уравнения Власова [32,33].

Упомянутые исследования, однако, не отвечают на вопрос о том, какую роль играют пучковые нелинейности в состоянии развитой турбулентности. Для изучения этого вопроса необходимо провести численное моделирование, которое, с одной стороны, будет способно на больших временах отслеживать эволюцию возбуждаемой пучком турбулентности, а с другой, позволит обеспечить достаточно подробное описание кинетических эффектов, связанных с захватом пучка. Такому моделированию, ставшему возможным только недавно благодаря появлению адекватных задаче вычислительных ресурсов, и посвящена данная работа.

Важной характеристикой возбуждаемой в плазме неустойчивости является ее линейный инкремент Г. Вычисление этой величины в широкой области волновых чисел позволяет определить тип и спектральный состав наиболее неустойчивых возмущений. В последнее время интерес к этой задаче значительно возрос благодаря исследованиям по инерциальному термоядерному синтезу,

в которых вопрос о релаксации генерируемых с помощью лазерного излучения релятивистских электронных потоков является весьма важным. В рамках этих исследований впервые были получены численные решения точного дисперсионного уравнения для неустойчивости электронного пучка в изотропной плазме без использования каких-либо упрощающих предположений [34]. Прямые вычисления инкремента в рамках самой общей линейной теории стали поводом для пересмотра и уточнения результатов, полученных с помощью различных приближений. Даже в наиболее простом случае одномерной двухпотоковой неустойчивости более детальное исследование [116] показало, что гидродинамическое и кинетическое приближения способны предсказывать инкремент только по порядку величины. Чтобы определить доминирующие неустойчивости, возбуждаемые горячим пучком в замагниченной плазме, необходимо решать гораздо более сложные дисперсионные уравнения, что требует применения параллельных численных алгоритмов и больших вычислительных мощностей. Проблема анализа всего неустойчивого спектра в замагниченной плазме в рамках точной релятивистской кинетической теории упоминается в литературе как сложнейшая задача ("daunting task") Клеммоу-Догерти [67]. Для произвольного магнитного поля и произвольного направления распространения колебаний эта задача впервые решена в данной работе.

Для изучения той роли, которую играют эффекты захвата в процессе турбулентного нагрева плазмы электронным пучком, в данной работе предложены теоретическая [115] и две численные модели [119,120]. Подробное описание как плазменной турбулентности, так и кинетических эффектов, связанных с захватом пучка, может обеспечить PIC модель, однако полномасштабный учет кинетики и пучка, и плазмы в рамках этой модели оказывается весьма затруднительным даже в одномерном случае. Дело в том, что в численной модели вместе с медленной динамикой плазмы на временах инжекции пучка 0.1 — 1 мкс) необходимо описывать также и быстрые процессы возбуждения высокочастотных плазменных колебаний, а наряду с пространственным масштабом

реального эксперимента 1 м) необходимо разрешать и микроскопические масштабы, соответствующие области поглощения волновой энергии. Для характерных значений плотности плазмы в открытых ловушках п = 1015см-3 эти масштабы различаются на 6-7 порядков. Это обстоятельство делает актуальными попытки поиска более экономичных с вычислительной точки зрения моделей, способных в одномерном случае воспроизвести те же самые нелинейные эффекты, которые определяют коллективное торможение пучка в рамках более общих подходов. Если считать, что в режиме захвата турбулентные процессы в плазме практически не влияют на ту мощность, которую может отдать пучок [115], то для определения поглощаемого в плазме полного потока энергии детальное кинетическое описание плазмы представляется менее важным, чем описание пучка. В связи с этим для моделирования релаксации пучка и турбулентного нагрева плазмы на больших пространственных и временных масштабах разумно использовать упрощенную гибридную модель, в которой пучок следует моделировать набором отдельных частиц, оставляя в задаче связанные с ним кинетические эффекты, а медленную нелинейную эволюцию плазмы описывать усредненными гидродинамическими уравнениями с теми же плазменными нелинейностями, которые содержатся в уравнениях Захарова. Таким образом, для численного моделирования реальных экспериментов в данной работе используется одномерная гибридная модель, адекватность которой для описания основных турбулентных процессов в плазме проверяется с помощью более строгой PIC модели.

Вопрос о генерации электромагнитных волн на первой и второй гармониках плазменной частоты в возбуждаемой пучком плазменной турбулентности наиболее интенсивно начал изучаться применительно к задаче о солнечных радио-всплесках III типа. Для вычисления мощности электромагнитной эмиссии были предложены модели, основанные на теориях как слабой, так и сильной турбулентности. В работе [79] было замечено, что в сильнотурбулентном спектре значительная часть волновой энергии содержится в длинноволновых

и

ленгмюровских колебаниях, не запертых в коллапсирующих кавернах, поэтому существенный вклад в электромагнитное излучение плазмы возникает от слаботурбулентных процессов слияния этих волн и их рассеяния на флуктуациях плотности плазмы. Специфика сильной турбулентности в этих расчётах сказывалась лишь на выборе характерных размеров энергосодержащей области /с-спектра и на оценке уровня насыщения волновой энергии в этой спектральной области. Для описания излучения, возникающего в экспериментах по ин-жекции мощных электронных пучков в плазму на открытой ловушке ГОЛ-3, необходимо модифицировать предложенную в работе [79] модель по двум направлениям. Во-первых, необходимо обобщить расчёты мощности излучения на случай достаточно сильного магнитного поля, которое существенно увеличивает частотный спектр взаимодействующих плазменных мод. Во-вторых, параметры области источника в турбулентном спектре для случая мощного пучка должны быть модифицированы с учётом того, что мощность накачки энергии в турбулентность в режиме захвата ограничивается пучковой нелинейностью. Кроме того, для лабораторных пучково-плазменных экспериментов характерно формирование весьма интенсивных надтепловых хвостов на функции распределения плазменных электронов, в связи с чем необходимо исследовать также влияние и этого фактора на основные параметры турбулентного спектра.

На защиту выносятся следующие положения

Линейный анализ неустойчивости горячего релятивистского электронного пучка в горячей замагниченной плазме в рамках точной кинетической теории.

Теоретическая модель коллективной релаксации пучка в режиме, при котором происходит захват электронов пучка полем неустойчивых колебаний.

Сценарий нелинейной эволюции пучково-плазменной системы, описывающий переход в новый турбулентный режим с постоянной мощностью накачки.

Двумерные эффекты во взаимодействии линейно неустойчивых колебаний замагниченной плазмы, имеющих общие захваченные частицы.

Модель турбулентного спектра для расчётов мощности электромагнитной эмиссии турбулентной замагниченной плазмы вблизи второй гармоники плазменной частоты в режиме с постоянной мощностью пучковой накачки.

Расчёты инкремента модуляционной неустойчивости ленгмюровской волны накачки в сильно неравновесной плазме с медленно спадающим по импульсам релятивистским надтепловым хвостом плазменных электронов.

13

Глава 1

Точная кинетическая теория неустойчивости электронного пучка в замагниченной плазме

Развитие линейной теории неустойчивости электронного пучка в плазме началось в конце сороковых [1,2], однако многообразие режимов этой неустойчивости настолько велико (см. обзоры [18,35]), что некоторые из них остаются предметом активных исследований и по сей день. В частности, задачу вычисления инкрементов неустойчивых колебаний с произвольным направлением распространения в системе горячая изотропная плазма — горячий релятивистский пучок в рамках полностью кинетического описания удалось решить только недавно [34,36]. Что касается неустойчивости пучка в замагниченной плазме, то гидродинамический режим неустойчивости проанализирован довольно полно [37,38], а кинетическое рассмотрение ограничивается случаями либо строго продольного [39], либо строго поперечного распространения колебаний [40]. Анализ общего случая неустойчивости косых волн в замагниченной плазме в рамках релятивистской кинетической теории представляет собой весьма трудоёмкую с вычислительной точки зрения задачу. В данной работе эта задача решается сначала для более простой системы, состоящей из моноэнергетического электронного пучка с угловым разбросом и холодной плазмы, в которой значительно упрощается процесс идентификации всех ветвей неустойчивых колебаний, а затем для наиболее общего случая неустойчивости горячего пучка в горячей плазме. Насколько нам известно, это первый пример численного решения полностью электромагнитного дисперсионного уравнения в достаточно широкой области спектра, которое предполагает кинетическое описание системы плазма-пучок при произвольной величине магнитного поля.

Благодаря зависимости инкремента от различных параметров пучка и плазмы пучковая неустойчивость насчитывает большое число разнообразных режимов даже в изотропной плазме [14,41,42]. В плазме с магнитным по-

лем в игру вступают дополнительные ветви собственных колебаний, и картина неустойчивости становится еще более сложной. Не претендуя на исчерпывающее описание всего многообразия режимов, мы ограничимся рассмотрением только тех параметров пучка, которые характерны для экспериментов по пучковому нагреву плазмы в открытых ловушках [9]. Особый интерес при этом для нас представляет изучение вопроса о том, насколько эффективно магнитное поле подавляет неустойчивость косых волн и насколько велика стабилизирующая роль тепловых разбросов плазмы и пучка. Согласно существующим представлениям [37,38], которые основаны на гидродинамическом подходе, увеличение магнитного поля приводит к монотонному снижению эффективности раскачки колебаний с большими углами распространения, делая в итоге неустойчивость релятивистского пучка почти одномерной. Наша цель — проследить, как меняется спектр наиболее неустойчивых колебаний при переходе от слабого к сильному магнитному полю в рамках более общей теории, и выяснить, насколько сильно учет кинетических эффектов видоизменяет общепринятую картину такого перехода.

1.1. Неустойчивость горячего электронного пучка в холодной

замагниченной плазме

Рассмотрим сначала случай холодной плазмы и пучка малой плотности, в котором все ветви плазменных колебаний могут быть легко идентифицированы. Частоты собственных колебаний и> системы плазма-пучок определяются дисперсионным уравнением

,2

2 ^

= 0, (1.1)

в котором компоненты тензора диэлектрической проницаемости для холодной плазмы с плотностью щ и пучка с произвольной функцией распределения /

имеют вид [18]:

_1 ШР 47Ге2 [ Л ^ Л 72 ^с2

" 1" + ~ ) ^

° п=—оо -1-

47гге2

о;

и и2 — си2

/оо

С?Р £ ЛгЛг*/,

о;,

п=—оо 2 и__2

пи>су эт 9 1к±

еуу~1 , ,2 _ , .2

+

47ге^

от — и>£ и>

/оо

4-7ге2

— Е-гх —

Ш

47гге2 ш

р оо

/<Ф £ ад

2 по;сг; сое 0

п=—оо оо

ы2 4тте2 -

1-^ +

I (Ьр £ ВпЗпЗ'пу2 бтвсовв,

п=—оо

/оо

¿р £ Вп32у2 сов2 9,

где = ^Акще2/те - плазменная частота, и;с = еВ/(тес) - частота циклотронного вращения нерелятивистского электрона в магнитном поле В, 7 и V - релятивистский фактор и скорость, соответствующие импульсу р, Зп = Зп(к±,уу 8т9/ис) — функция Бесселя порядка п, а ^ - ее производная по аргументу. Коэффициенты Ап и Вп определяются формулами

1

Ап —

Вп =

х

ш — к\\у соя 9 — пис/7 1

и — к\\у соэ 9 — пшс/7 15/ 1 ( ГШг

1д/ и соб 9 — к\\У д/' у др сиру вт 9 д9

у др русоб9 \7wsm61

а система координат выбрана так, что силовые линии магнитного поля направлены вдоль г, а волновой вектор имеет компоненты к = (к±, 0, /сц). Будем исследовать неустойчивость моноэнергетического пучка, функция распределе-

ния которого по импульсам имеет следующий вид:

(1.2)

■тг/2

д(в) =ехр(-02/^2)> <3= / з(0)вт0<г0

о

Такое распределение характерно для мощных нагревных пучков в открытых ловушках, которые в процессе транспортировки из области генерации в область сильного магнитного поля получают значительный угловой разброс А9, оста-

упрощает дисперсионное уравнение, хотя даже в этом случае поиск его решений представляет собой трудоемкую вычислительную задачу.

1.1.1. Алгоритм численного решения дисперсионного уравнения

С математической точки зрения задача (1.1) сводится к отысканию всех нулей некоторой комплексной функции Р(ш) в верхней полуплоскости комплексной переменной и. Для поиска нулей будем использовать метод Ньютона, то есть будем искать корень как предел рекуррентной последовательности

Сходимость этого итерационного процесса зависит от выбора начального приближения шо, которое должно располагаться достаточно близко от с^. Чтобы найти шо, мы предположим функцию Р(ш) аналитической и вычислим контурные интегралы вокруг области предполагаемого нахождения корня. Поскольку все полюса функции лежат на действительной оси, то принцип аргумента Коши, примененный к верхней полуплоскости, дает нам количество корней в области:

ваясь при этом почти моноэнергетическими. Это обстоятельство значительно

шп+1 =шп- Г(ип)/Г'(шп).

(1.3)

(1.4)

При N = 1 начальным приближением будет

(1.5)

Это значение не равно Шк, поскольку интеграл (1.5) находится численно с некоторыми ошибками. При N = 2 начальные приближения о;01 и с^о2 для двух корней находятся из системы уравнений

При N > 2 область будем делить на части, содержащие меньшее количество корней.

Такой способ поиска начального приближения оказывается гораздо более трудоёмким, чем последующая итерационная процедура в методе Ньютона. Действительно, расчёт контурного интеграла в комплексной плоскости и требует многократного вычисления функции F(ui), в то время как в методе Ньютона, как правило, достаточно ограничиться вычислением всего лишь нескольких значений F(u) и F'(u). В связи с этим более эффективно в качестве начального приближения для метода Ньютона в определенной точке ^-пространства использовать уже известное решение в соседней точке. Таким образом, зная решение хотя бы в одной точке, можно "вырастить11 неустойчивую ветвь плазменных колебаний во всем ^-пространстве. При этом для поиска решений, описывающих различные ветви, будем по-прежнему вычислять контурные интегралы (1.4)-(1.6), но не во всем пространстве волновых чисел, а лишь вдоль отдельных линий к± = const.

Основной результат работы представлен на рис. 1.1. Здесь показано, как меняется инкремент неустойчивых колебаний в достаточно широкой области к-спектра при изменении величины ведущего магнитного поля О = шс/шр. Для численного решения уравнения (1.1) были выбраны следующие параметры пучка: р = 2.29 гас, щ = 0.002 щ, А9 = 0.2. Из рисунка видно, что при любых

(1.6)

1.1.2. Анализ неустойчивого спектра

„п>0 _п<0 ЕэН- Ья+

О 12340 1234

Рис. 1.1. Карты инкремента пучковой неустойчивости в к-пространстве для различных значений магнитного поля.

значениях быстрее остальных нарастают колебания, распространяющиеся строго вдоль магнитного поля, что противоречит гидродинамическим предсказаниям, согласно которым в слабых магнитных полях (Г2 < 1) в силу анизотропии релятивистской массы частиц пучка основную роль должны играть неустойчивости косых волн. Прежде, чем перейти к более детальному сравнению численного инкремента с известными аналитическими результатами, идентифицируем все неустойчивые колебания, которые наблюдаются в численном решении. Благодаря малой плотности пучка эта задача несколько упрощается, поскольку в этом случае пучок слабо искажает дисперсию собственных колебаний холодной плазмы и>к, добавляя к их числу только вынужденные колебания на частотах со = к\\У + пО,/у. Нетрудно предположить, что наиболее неустойчивыми окажутся колебания, соответствующие пересечению пучковых и плазменных ветвей (рис. 1.2а). Подтверждением этому является рис. 1.2Ь, из которого

П = 0.5

Рис. 1.2. (а) Законы дисперсии собственных колебаний холодной плазмы и пучковых ветвей (п = 0, ±1) для = 2 (угол ф между векторами к и В составляет 10°); (Ь) сравнение линий пересечения пучковых и плазменных ветвей в к-пространстве (пунктир) с линиями локальных максимумов инкремента.

видно, что численное решение для инкремента неустойчивости действительно достигает локальных максимумов вдоль резонансных линий /сц = пред-

ставляющих собой решения уравнений Шк{к±,к\\) = Щу + пП/7. В связи с этим о каждой неустойчивой ветви будем говорить, как о собственном колебании холодной плазмы, указывая при этом с помощью верхнего индекса номер п того резонанса, на котором оно раскачивается. Уравнение (1.1) обладает симметрией (си, к) —> (—и*, —к), поэтому, допуская произвольный знак Яе(и;), можно ограничиться рассмотрением положительных /сц. Чтобы различать волны одного типа, но имеющие по отношению к пучку разные направления распростране-

ния, будем к названию неустойчивых ветвей добавлять индекс '+' или ' — 'в зависимости от знака 11е(а;). Так, из рис. 1.2 видно, что при О, = 2 наиболее быстрой оказывается черенковская раскачка медленной необыкновенной волны Е®+. С меньшей эффективностью эта же волна возбуждается на циклотронных резонансах п = ±1 и Е~1). Незначительным инкрементом обладает неустойчивость ветви , низкочастотная часть которой соответствует вистле-рам, а высокочастотная описывает замагниченные электронные колебания. В качестве еще одного кинетического эффекта появляется раскачка обыкновенной О*1'4"2 и быстрой необыкновенной Е^ волн на нормальном эффекте До-пплера. С уменьшением магнитного поля, как показывает рис. 1.1, при малых к± доминирующей по прежнему остается черенковская раскачка волны Е3+, а при больших к± эта же ветвь ( только в области верхнегибридного резонанса) более эффективно раскачивается на циклотронных резонансах п < 0. При этом число резонансов с разными п, которые дают заметный вклад в неустойчивость верхнегибридной моды, увеличивается до тех пор, пока не наступает их полное перекрытие. Единственная ветвь , которая оказывается устойчивой во всем диапазоне изменения Г2, соответствует вистлерам с отрицательной частотой.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Тимофеев, Игорь Валериевич, 2013 год

Литература

1. А. И.Ахиезер, Я. Б. Файнберг: О взаимодействии пучка заряженных частиц с электронной плазмой. // ДАН СССР, 1949, Т. 69, С. 555.

2. D. Bohm and Е. P. Gross. Theory of plasma oscillations. В. Excitation and damping of oscillations. // Physical Review, 1949, V. 75, P. 1864.

3. T. Umeda. Vlasov simulation of Langmuir wave packets.// Nonlin. Processes Geophys., 2007, V. 14, P. 671.

4. I. Silin, R. Sydora, K. Sauer. Electron beam-plasma interaction: Linear theory and Vlasov-Poisson simulations.// Phys. Plasmas, 2007, V. 14, P. 012106.

5. Yu. Tyshetskiy, I. H. Cairns, P. A. Robinson. Statistics of beam-driven waves in plasmas with ambient fluctuations: Reduced-parameter approach.// Phys. Plasmas, 2008, V. 15, P. 092110.

6. A.Karmakar, N.Kumar, A.Pukhov, O.Polomarov, G.Shvets. Three-dimensional filamentary structures of a relativistic electron beam in fast ignition plasmas.// Phys. Plasmas, 2008, V. 15, P. 120702.

7. X. Kong, J. Park, C. Ren, Z. M. Sheng, J. W. Tonge. Evolution of a relativistic electron beam-plasma, return current system.// Phys. Plasmas, 2009, V. 16, P. 032107.

8. А. В. Аржанников, В. Т. Астрелин, А. В. Бурдаков и др. Исследование механизма быстрого нагрева ионов в многопробочной ловушке ГОЛ-3.// Физика плазмы, 2005, Т. 31, С. 506.

9. V. S. Koidan, А. V. Arzhannikov, V. Т. Astrelin, et al. Progress on the multimirror trap GOL-3// Fusion Sci. Technol., 2005, V.47, N IT, P. 35.

10. A. V. Burdakov, A. A. Ivanov and E. P. Kruglyakov. Modern magnetic mirrors and their fusion prospects.// Plasma Phys. Control. Fusion, 2010, v. 52, p. 124026.

И. А. А. Веденов, Е.П.Велихов, P. 3. Сагдеев.// Ядерный синтез, 1962, Т. 2, С. 465.

12. W.EDrummond, D. Pines.// Nucl. Fusion Suppl., 1962, V.3, P. 1049.

13. Я. Б. Файнберг, В.Д.Шапиро. Квазилинейная теория возбуждения колебаний при инжекции электронного пучка в плазменное полупространство.// ЖЭТФ, 1964, Т. 47, С. 1389.

14. JI. И. Рудаков. Коллективное торможение мощного пучка релятивистских электронов в плотной плазменной мишени.// ЖЭТФ, 1970, Т. 59, С. 2091.

15. В. N. Breizman, D. D. Ruytov. Powerful relativistic electron beams in a plasma and in a vacuum (theory).// Nucl. Fusion, 1974, V. 14, P. 873.

16. В.Н.Цытович. Теория турбулентной плазмы.// M: Атомиздат, 1971.

17. А. С. Кингсеп. Сильная ленгмюровская турбулентность и турбулентный нагрев плазмы. "Физика плазмы. Т.4"(Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР, М, 1983, С.48).

18. Б. Н. Брейзман. Коллективное взаимодействие релятивистских электронных пучков с плазмой.// Вопросы теории плазмы. Вып. 15/ Под ред. Б.Б.Кадомцева.- М.: Энргоатомиздат. 1986.

19. В. Е. Захаров. Коллапс и самофокусировка ленгмюровских волн.// Основы физики плазмы, / Под ред. А.А. Галеева, Р.Н.Судана. М.: Атомиздат. 1984. Т. 2, С. 79.

20. В.Д.Шапиро, В.И.Шевченко. Сильная турбулентность плазменных колебаний.// Основы физики плазмы, / Под ред. А.А. Галеева, Р.Н.Судана. М.: Атомиздат. 1984. Т. 2, С. 119.

21. К. Papadopoulos. Nonlinear stabilization of beam plasma interactions by parametric effects.// Phys. Fluids, 1975, V. 18, P. 1769.

22. А.А.Галеев, P. 3. Сагдеев, В.Д.Шапиро, В.И.Шевченко. Релаксация сильноточных электронных пучков и модуляционная неустойчивость.// ЖЭТФ, 1977, Т. 77, С. 507.

23. J. С. Weather all, D.R.Nicholson, M.V.Goldman. Steady-state turbulence with a narrow inertial range.// Phys. Fluids, 1983, V. 26, P. 1103.

24. М. V. Goldman. Strong turbulence of plasma waves.// Rev. Mod. Phys., 1984, V. 56, P. 709.

25. P. A. Robinson, D. L. Newman. Two-component model of strong Langmuir turbulence: Scalings, spectra and statistics of Langmuir waves.// Phys. Fluids B, 1990, V. 2, P. 2999.

26. P. A. Robinson. Nonlinear wave collapse and strong turbulence.// Rev. Mod. Phys., 1997, V. 69, P. 507.

27. И. H. Онищенко, A. P. Линецкий, H. Г. Мациборко и др. К нелинейной теории возбуждения монохроматической плазменной волны электронным пучком.// Письма в ЖЭТФ, 1970, Т. 12, С. 407.

28. W. Е. Drummond, J. Н. Malmberg, Т. M.O'Neil, J.R.Thompson. Nonlinear Development of the Beam-Plasma Instability.// Phys. Fluids, 1970, V. 13, P. 2422.

29. A. Y. Wong, P. Y. Cheung. Three-Dimensional Self-Collapse of Langmuir Waves.// Phys. Rev. Lett, 1984, V.52, P. 1222.

30. M. D. McFarland, A. Y. Wong. Spectral content of strong Langmuir turbulence in the beam plasma interaction.// Phys. Plasmas, 1997, V. 4, P. 945.

31. M.V.Goldman, D.L.Newman, K.D.Kang, F. Crary, M. M. Oppenheim. Theory and simulations of electron beam-driven localized wave structures.// Physica Scripta, 2000, V. T84, P. 34.

32. M.V.Goldman, D.L.Newman, M. M. Oppenheim. New Insights Into How Beam-Excited Instabilities Saturate. // Physica Scripta, 1998, V.T75, P. 52.

33. Ю. С. Сигов, В.Д.Левченко. Когерентные явления при релаксации размытых электронных пучков в открытых плазменных системах.// Физика плазмы, 1997, Т. 23, С. 325.

34. A.Bret, L.Gremillet, D.Benisti, Е.Lefebvre. Exact Relativistic Kinetic Theory of an Electron-Beam-Plasma System: Hierarchy of the Competing Modes in the System-Parameter Space.// Phys. Rev. Lett, 2008, V. 100, P. 205008.

35. А. Б. Михайловский. Теория плазменных неустойчивостей, Т. 1. М.: Атомиздат, 1975.

36. L. Gremillet, D. Benisti, Е. Lefebvre, A. Bret. Linear and nonlinear development of oblique beam-plasma instabilities in the relativistic kinetic regime.// Phys. Plasmas, 2007, V. 14, P. 040704.

37. B.B.Godfrey, W. R. Shanahan, L. E. Thode. Linear theory of a cold relativistic beam propagating along an external magnetic field.// Phys. Fluids, 1975, V. 18, P. 346.

38. A. Bret, M. E. Dieckmann, C. Deutsch. Oblique electromagnetic instabilities for a hot relativistic beam interacting with a hot and magnetized plasma.// Phys. Plasmas, 2006, V. 13, P. 082109.

39. R. C. Tautz, R. Schlickeiser. Counterstreaming magnetized plasmas. I. Parallel wave propagation.// Phys. Plasmas, 2005, V. 12, P. 122901.

40. J. R. Cary, L. E. Thode, D. S. Lemons et al. Simple criteria for the absence of the beam-Weibel instability.// Phys. Fluids, 1981, V. 24, P. 1818.

41. A. Bret, M. C. Firpo, C. Deutsch. Electromagnetic instabilities for relativistic beam-plasma interaction in whole k space: Nonrelativistic beam and plasma temperature effects.// Phys. Rev. E, 2005, V. 72, P. 016403.

42. A. Bret, M. C. Firpo, C. Deutsch. Characterization of the Initial Filamentation of a Relativistic Electron Beam Passing through a Plasma.// Phys. Rev. Lett., 2005, V. 94, P. 115002.

43. B. S. Newberger. New sum rule for products of Bessel functions with application to plasma physics.// J. Math. Phys., 1982, V. 23, P. 1278.

44. H. Qin, С. K. Phillips, and R. C. Davidson. A new derivation of the plasma susceptibility tensor for a hot magnetized plasma without infinite sums of products of Bessel functions.// Phys. Plasmas, 2007, V. 14, P. 092103.

45. Ю. С. Сигов. Вычислительный эксперимент: мост между прошлым и будущим физики плазмы.// Избранные труды, (сост. Г.И.Змиевская, В.Д.Левченко) М.: Физматлит, 2001.

46. Я. Б. Файнберг, В. Д. Шапиро, В. И. Шевченко. К нелинейной теории взаимодействия с плазмой монохроматического пучка релятивистских электронов.// ЖЭТФ, 1969, Т. 57, С. 966.

47. Р. И.Ковтун, А. А. Рухадзе. К теории нелинейного взаимодействия релятивистского электронного пучка малой плотности с плазмой.// ЖЭТФ, 1970, Т. 58, С. 1709.

48. А. В. Аржанников, А. В. Бурдаков, В. С. Койдан и др. Увеличение эффективности взаимодействия сильноточного релятивистского электронного пучка с плазмой.// Письма в ЖЭТФ, 1978, Т. 27. С. 173.

49. А. V. Arzhannikov, V.T. Astrelin, А. V. Burdakov et al. // Proc. of the 17th International Conference on Fusion Energy 1998, Yokohama, Japan, 19-24 October 1998 (ICP/11); A. V. Arzhannikov et al. // Trans, of Fusion Technol, 1999, V. 35, P. 112.

50. A. V. Arzhannikov, V. T. Astrelin et al. Recent results on plasma heating and improved confinement at the GOL-3-II facility.// Trans, of Fusion Technol, 2001, V. 39, P. 17.

51. А. В. Бурдаков, В. В. Поступаев. Особенности переноса тепла при пучковом нагреве плазмы в экспериментах на установке ГОЛ-3.// Препринт ИЯФ 92-9, 1992.

52. А. V. Burdakov, I. A. Kotelnikov, V. I. Erofeev. Explanation of turbulent suppression of electron heat transfer in GOL-3 facility at the stage of relativistic electron beam injection.// Trans, of Fusion Technol, 2005, V. 47(1T), P. 74.

53. А. В. Аржанников, В. Т. Астрелин, А. В. Бурдаков и др. Прямое наблюдение аномально низкой продольной электронной теплопроводности во время коллективной релаксации сильноточного релятивистского электронного пучка в плазме.// Письма в ЖЭТФ, 2003, Т. 7, С. 426.

54. Вшивков В.А., Вшивков К.В., Дудникова Г.И. Алгоритмы решения задачи взаимодействия лазерного импульса с плазмой.// Вычислительные технологии, 2001, Т. 6, № 2, С. 47-63.

55. А. V. Terekhov. Parallel Dichotomy Algorithm for Solving Tridiagonal System of Linear Equations with Multiple Right-Hand Sides. // Parallel Comput., 2010, doi:10.1016/j.par co.2010.02.005.

56. Ч.Бэдсел, А.Ленгдон. Физика плазмы и численное моделирование. М.: Энергоатомиздат, 1989.

57. Т. Zh. Esirkepov. Exact charge conservation for Particle-in-Cell simulation with an arbitary form-factor.// Computer Physics Communications, 2001, V. 135, P. 144.

58. A.Taflove, S.C. Hagness. Computational Electrodynamics: The Finite-Difference Time-Domain Method, 3rd ed., Norwood, MA: Artech House, 2005.

59. J. P. Boris. Relativistic plasma simulation - optimization of a hybrid code coordinates.// Procedings 4th International Conference on the Numerical Simulation of Plasmas, Washington, 20-24 September 1970, V. 6. P. 3-67.

60. Е.М.Лившиц, Л. П. Питаевский. Физическая кинетика.- 2е изд. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002, С. 175.

61. Р. 3. Сагдеев, В.Д.Шапиро, В.И.Шевченко. Диссипация мощной электромагнитной волны в неоднородной плазме и сверхсильная плазменная турбулентность.// Физика плазмы, 1980, Т. 6, С. 377.

62. Е. А. Кузнецов. Об усредненном описании ленгмюровских волн в плазме.// Физика плазмы, 1976, Т. 2, С. 327.

63. Л.М.Дегтярев, Р. 3. Сагдеев, Г.И.Соловьев, В.Д.Шапиро, В. И. Шевченко. Одномерная турбулентность ленгмюровских волн.// Физика плазмы, 1980, Т. 6, С. 485.

64. A. Bret, L. Gremillet and D. Benisti. Exact relativistic kinetic theory of the full unstable spectrum of an electron-beam-plasma system with Maxwell-Juttner distribution functions.// Phys. Rev. E, 2010, V. 81, P. 036402.

65. J. T. Frederiksen and M. E. Dieckmann. Electromagnetic turbulence driven by the mixed mode instability.// Phys. Plasmas, 2008, V. 15, P. 094503.

66. A. Karmakar, N. Kumar, A. Pukhov, 0. Polomarov and G. Shvets. Detailed particle-in-cell simulations on the transport of a relativistic electron beam in plasmas.// Phys. Rev. E, 2009, V. 80, P. 016401.

67. A. Bret, L. Gremillet and M. E. Dieckmann. Multidimensional electron beam-plasma instabilities in the relativistic regime.// Phys. Plasmas, 2010, V. 17, P. 120501.

68. M.Oppenheim, D.L.Newman, and M.V.Goldman. Evolution of Electron Phase-Space Holes in a 2D Magnetized Plasma.// Phys. Rev. Lett., 1999, V. 83, P. 2344.

69. L. Muschietti, I. Roth, C. W. Carlson, and R. E. Ergun. Transverse Instability of Magnetized Electron Holes.// Phys. Rev. Lett., 2000, V. 85, P. 94.

70. D. L. Newman, M. V. Goldman, M. Spector, and F. Perez. Dynamics and Instability of Electron Phase-Space Tubes.// Phys. Rev. Lett., 2001, V. 86, P. 1239.

71. N. Singh, S. M. Loo, and B. E.Wells. Electron hole structure and its stability depending on plasma magnetization.// J. Geophys. Res., 2001, V. 106, P. 21183, DOI: 10.1029/2001JA900056.

72. T.Umeda, Y.Omura, T.Miyake, H.Matsumoto, and M. Ashour-Abdalla. Nonlinear evolution of the electron two-stream instability: Two-dimensional particle simulations.// J. Geophys. Res., 2006, V. Ill, P. A10206, DOI: 10.1029/2006JA011762.

73. T. Umeda. Generation of low-frequency electrostatic and electromagnetic waves as nonlinear consequences of beam-plasma, interactions.// Phys. Plasmas, 2008, V. 15, P. 064502.

74. A. V. Burdakov, A. A. Ivanov, E. P. Kruglyakov. Modern magnetic mirrors and their fusion prospects.// Plasma Phys. Control. Fusion, 2010, V. 52, P. 124026.

75. W.L.Kruer, J.M.Dawson, and R.Sudan. Trapped-Particle Instability.// Phys. Rev. Lett, 1969, V. 23, P. 838.

76. M. V. Goldman. Theory of Stability of Large Periodic Plasma Waves.// Phys. Fluids, 1970, V. 13, P. 1281.

77. V. L. Ginzburg, V. V. Zheleznyakov.// Sov. Astron. 2, 235 (1958)

78. D. A. Gurnett, R. R. Anderson. Electron Plasma Oscillations Associated with Type III Radio Bursts.// Science, 1976, V.194, P. 1159.

79. E. H. Кручина, P. 3. Сагдеев, В. Д. Шапиро. Сильная ленгмюровская турбулентность как источник радиоизлучения.// Письма в ЖЭТФ, 1980, Т. 32, С. 443.

80. R. J. М. Grognard. Numerical simulation of the weak turbulence excited by a beam of electrons in the interplanetary plasma.// Solar Physics, 1982, V. 81, P. 173.

81. M.V.Goldman. Progress and problems in the theory of type III solar radio emission.// Solar Physics, 1983, V. 89, P. 403.

82. P.A.Robinson, I. H. Cairns, and A. J.Willes.// Astrophys. Journal, 1994, V. 422, P. 870.

83. B. Li, P. A. Robinson, I. H. Cairns. Numerical modeling of type III solar radio bursts in the inhomogeneous solar corona and interplanetary medium.// Phys. Plasmas, 2006, V. 13, P. 092902.

84. H.Khalilpour, G.Foroutan, M.Moslehi-Fard, B.Li, and P.A.Robinson. Dynamics of a beam of hot electrons propagating through a plasma in the presence of nonthermal electrons.// Phys. Plasmas, 2009, V. 16, P. 072901.

85. D. A. Gurnett, S. D. Shawhan, and R. R. Shaw. Auroral hiss, Z mode radiation, and auroral kilometric radiation in the polar magnetosphere: DE 1 observations.// J. Geophys. Res, 1983, V. 88, P. 329.

86. I. H. Cairns and J. D. Menietti. Stochastic growth of waves over Earth's polar cap.// J. Geophys. Res, 2001, V. 106, P. 29515.

87. A. V. Arzhannikov, A. V. Burdakov, S. A. Kuznetsov, M.A. Makarov, K. I. Mekler, V. V. Postupaev, A. F. Rovenskikh, S. L. Sinitsky, V. F. Sklyarov. Subterahertz emission at strong REB-plasma interaction in multimirror trap GOL-3.// Fusion Sci. and Technol., 2011, V. 59(1T), R 74.

88. G. Benford, D. Tzach, K. Kato, D. F. Smith. Collective Microwave Emission from Intense Elecron-Beam Interactions: Theory and Experiment.// Phys. Rev. Lett., 1980, V. 45, P. 1182.

89. P.Y.Cheung, A.Y.Wong, C.B.Darrow, and S.J.Qian. Simultaneous Observation of Caviton Formation, Spiky Turbulence, and Electromagnetic Radiation.// Phys. Rev. Lett., 1982, V. 48, P. 1348.

90. H. J. Hopman and G. C. A. M. Janssen. Scattering of Relativistic Electrons on Electric Field Concentrations in a Turbulent Plasma.// Phys. Rev. Lett., 1984, V. 52, P. 1613.

91. A. Ben-Amar Baranga, G. Benford, D. Tzach, K.Kato. Diagnosis of Strong Beam-Plasma Turbulence Conditions from Electromagnetic Emission.// Phys. Rev. Lett, 1985, V. 54, P. 1377.

92. A. J. Willes, P. A. Robinson, and D. B. Melrose. Second harmonic electromagnetic emission via Langmuir wave coalescence.// Phys. Plasmas, 1996, V. 3, P. 149.

93. B. Li, A. J. Willes, P. A. Robinson, and I. H. Cairns. Second harmonic electromagnetic emission via beam-driven Langmuir waves.// Phys. Plasmas, 2005, V. 12, P. 012103.

94. H. P. Freund and K. Papadopoulos. Spontaneous emission of radiation from localized Langmuir perturbation.// Phys. Fluids, 1980, V. 23, P. 732.

95. H. P. Freund and K. Papadopoulos. Radiation from a localized Langmuir oscillation in a uniformly magnetized plasma.// Phys. Fluids, 1980, V. 23, P. 1546.

96. K. Akimoto, H. L. Rowland, and K. Papadopoulos. Electromagnetic radiation from strong Langmuir turbulence.// Phys. Fluids, 1988, V. 31, P. 2185.

97. P. H.Yoon, R. Gaelzer, T. Umeda, Y. Omura, and H. Matsumoto. Harmonic Langmuir waves. I. Nonlinear dispersion relation.// Phys. Plasmas, 2003, V. 10, P. 364.

98. V. N. Tsytovich. Theory of Turbulent Plasma (Consultants Bureau, New York, 1977).

99. А. А. Галеев, P. 3. Сагдеев, В. Д. Шапиро, В. И. Шевченко. Влияние звуковой турбулентности на коллапс ленгмюровских волн.// Письма в ЖЭТФ, 1976, Т. 24, С. 25.

100. W. Main and G. Benford. A model of strong beam-plasma turbulence.// Phys. Fluids B, 1989, V. 1, P. 2479.

101. L. M. Degtyarev, R. Z. Sagdeev, G. I. Solov'ev, V.D.Shapiro and V. I. Shevchenko. Critical problems in the theory of strong Langmuir turbulence: comparison of analytical and numerical models.// Sov. Phys. JETP, 1989, V. 68, P. 975.

102. V. Pierrard, M. Lazar. Kappa Distributions: Theory and Applications in Space Plasmas.// Solar Physics, 2010, V. 267, P. 153.

103. P. H.Yoon. Electron kappa distribution and steady-state Langmuir turbulence.// Phys. Plasmas, 2012, V. 19, P. 052301.

104. V. T. Astrelin, A. V. Burdakov, P. Z. Chebotaev, V. V. Filippov, V.S.Koidan, K.I. Mekler, P.I. Melnikov, V. V.Postupaev, A.F. Rovenskikh, M. A. Shcheglov, H. Wuerz. Hot electron target interaction experiments at the GOL-3 facility.// Nucl. Fusion, 1997, V. 37, P. 1541.

105. J.J.Podesta. Landau damping in relativistic plasmas with power-law distributions and applications to solar wind electrons.// Phys. Plasmas, 2008, V. 15, P. 122902.

106. X.L.Liu, S.Q.Liu, X.Q.Li. Relativistically modulational instability by strong Langmuir waves.// Phys. Plasmas, 2012, V. 19, P. 092101.

107. S. Q. Liu, H. Chen. Strong Langmuir turbulence in Kappa distributed plasmas.// Phys. Plasmas, 2012, V. 19, P. 012303.

108. Ф. X. Хакимов, В. Н. Цытович. Нелинейная стабилизация модуляционной неустойчивости.// ЖЭТФ, 1976, Т. 70, С. 1785.

109. V. N. Mel'nik, Е. P. Kontar. Plasma Radio Emission of Beam-Plasma Structures in the Solar Corona.// Solar Physics, 2003, V. 215, P. 335.

110. L. N. Vyacheslavov, V. S. Burmasov, I. V. Kandaurov, E. P. Kruglyakov, О. I. Meshkov, and A. L. Sanin. Spectra of developed Langmuir turbulence in a nonisothermal magnetized plasma.// Phys. Plasmas, 1995, V. 2, P. 2224.

111. L. N. Vyacheslavov, V. S. Burmasov, I. V. Kandaurov, E. P. Kruglyakov, О. I. Meshkov, S. S. Popov and A. L. Sanin. Strong Langmuir turbulence with and without collapse: experimental study.//Plasma Phys. Control. Fusion, 2002, V. 44, P. B279.

112. A. J. Willes and D.B.Melrose. The polarisation of second harmonic coronal type III bursts.// Solar Physics, 1997, V. 171, P. 393.

113. А. А. Кузнецов. О генерации солнечных микроволновых всплесков на второй гармонике плазменной частоты.// Физика плазмы, 2007, Т. 33, С. 534.

114. I. V. Timofeev and К. V. Lotov. Ion dynamics in plasma compensation scheme. // Nuclear Instruments and Methods in Physics Research A, 2002, V. 485, № 3, P. 228-233.

115. I. V. Timofeev and K.V. Lotov. Relaxation of a relativistic electron beam in plasma in the trapping regime. // Physics of Plasmas, 2006, V. 13, №6, P. 062312.

116. К. В. Лотов, И.В.Тимофеев. Переходный режим одномерной двухпото-ковой неустойчивости. // Вестник НГУ, серия "Физика2008, Т. 3, №1, С.62-65.

117. К. В. Лотов, А.В.Терехов, И.В.Тимофеев. О насыщении двухпотоковой неустойчивости электронного пучка в плазме. // Физика плазмы, 2009, Т. 35, №6, С. 567-574.

118. I. V. Timofeev, K.V. Lotov, and A. V. Terekhov. Direct computation of the growth rate for the instability of a warm relativistic electron beam in a cold magnetized plasma. // Physics of Plasmas, 2009, V. 16, P. 063101.

119. А. В. Терехов, И. В. Тимофеев, К. В. Лотов. Двумерная численная модель плазмы для изучения процессов пучково-плазменного взаимодействия. // Вестник НГУ, серия "Физика 2010, Т. 5, №2, С. 85-97.

120. I. V. Timofeev, А. V. Terekhov. Simulations of turbulent plasma heating by powerful electron beams. // Physics of Plasmas, 2010, V. 17, P. 083111.

121. V.Astrelin, A.Burdakov, I.Kandaurov, V.Postupaev, S.Sinitsky, I.Timofeev. Physical basis for the use of long pulse electron beam in multimirror trap.// Transactions of Fusion Science and Technology, 2011, v. 59, № IT, p. 310-312.

122. I. V. Timofeev. Second harmonic electromagnetic emission of a turbulent magnetized plasma driven by a powerful electron beam.// Physics of Plasmas, 2012, v. 19, p. 044501.

123. I. V. Timofeev. Two-dimensional simulations of nonlinear beam-plasma interaction in isotropic and magnetized plasmas.// Physics of Plasmas, 2012, v. 19, p. 042108.

124. A. V. Arzhannikov and I. V. Timofeev. Generation of powerful terahertz emission in a beam-driven strong plasma turbulence.// Plasma Physics and Controlled Fusion, 2012, v. 54, p. 105004.

125. I. V. Timofeev. Modulational instability of a Langmuir wave in plasmas with energetic tails of superthermal electrons.// Physics of Plasmas, 2013, v. 20, p. 012115.

126. M.K. A.Thumm, A. V. Arzhannikov, V. T. Astrelin, A. V. Burdakov, ч I. A. Ivanov, P. V. Kalinin, I. V. Kandaurov, V. V. Kurkuchekov,

S. A. Kuznetsov, M.A. Makarov, K.I. Mekler, S. V. Polosatkin, S.A.Popov, V. V. Postupaev, A. F. Rovenskikh, S. L. Sinitsky, V.F.Sklyarov, V. D. Stepanov, Yu. A. Trunev, I. V. Timofeev, L. N. Vyacheslavov. Generation

of High-Power Sub-THz Waves in Magnetized Turbulent Electron Beam Plasmas.// Journal of Infrared, Millimeter, and Terahertz Waves, 2013, v. 34 (DOI: 10.1007/sl0762-013-9969-3).

127. A. V. Arzhannikov, A.V.Burdakov , V. S. Burmasov, P.V.Kalinin, S. A. Kuznetsov, M.A. Makarov, I. A. Ivanov, K. I.Mekler, S.S.Popov, V. V. Postupaev, A. F. Rovenskikh, S. L. Sinitsky, V.F.Sklyarov, V. D. Stepanov, I. V. Timofeev, M. K.A.Thumm, and L. N. Vyacheslavov. Experimental and theoretical investigations of high power sub-millimeter wave emission at two-stream instability of high-current REB.// Fusion Science and Technology, 2013, v. 63, № IT, p. 82.

128. К. В. Лотов, И. В. Тимофеев. Динамика ионов в схеме плазменной компенсации.// Тезисы докладов XXIX Звенигородской конференции по физике плазмы и УТС, Звенигород, 2002, С. 196.

129. I. V. Timofeev. Electron viscosity in strong laser field. // Proceedings of 31st EPS Conference on Plasma Physics, London, 28 June - 2 July 2004, ECA v.28B, P-4.031.

130. К. В. Лотов, И.В.Тимофеев. Модель релаксации релятивистского электронного пучка в плазме в режиме захвата.// Тезисы докладов XXXIII Звенигородской конференции по физике плазмы и УТС, Звенигород, 2006, С. 82.

131. I.V. Timofeev and К. V. Lotov. Relaxation of a relativistic electron beam in plasma in the trapping regime. // 16th International Conference on HighPower Particle Beams, Oxford, UK, 2006, Abstracts, P. 68.

132. I.V. Timofeev and K.V. Lotov. Relaxation of a relativistic electron beam in plasma in the trapping regime. // 11th International Conference-School on Plasma Physics and Controlled Fusion, Alushta, Ukraine, 2006, Abstracts, P. 83.

133. I. V. Timofeev, К. V. Lotov. Relaxation of a relativistic electron beam in plasma in the trapping regime. // Вопросы атомной науки и техники, серия "Физика2007, Т. 13, №1, С.46-48.

134. К. В. Лотов, А. В. Терехов, И. В. Тимофеев. Двумерная численная модель плазмы для изучения пучково-плазменного взаимодействия. // Тезисы докладов XXXV Звенигородской конференции по физике плазмы и УТС, Звенигород, 2008, С. 137.

135. К. В. Лотов, А.В.Терехов, И.В.Тимофеев. О насыщении двухпотоковой неустойчивости электронного пучка в плазме. // Тезисы докладов XXXV Звенигородской конференции по физике плазмы и УТС, Звенигород, 2008, С. 297.

136. I.V. Timofeev, А. V. Terekhov, К. V. Lotov. Exact growth rates of the relativistic electron beam instability in a magnetized plasma. // 7th International Conference on Open Magnetic Systems for Plasma Confinement, Daejeon, Korea, 2008, Abstracts, P. P20.

137. I. V. Timofeev, A. V. Terekhov, K.V. Lotov. Computer simulation of relativistic electron beam relaxation in plasma. // 7th International Conference on Open Magnetic Systems for Plasma Confinement, Daejeon, Korea, 2008, Abstracts, P.P21.

138. I.V.Timofeev, K.V.Lotov, and A.V.Terekhov. Direct computation of the growth rate for the instability of a warm relativistic electron beam in a cold magnetized plasma. // Proceedings of 36th EPS Conference on Plasma Physics, Sofia, Bulgaria, 29 June - 3 July 2009, ECA v. 33E, P-1.015.