Пространства Орлича на группах, многообразиях и графах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Паненко, Роман Анатольевич

• Паненко, Роман Анатольевич
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Паненко, Роман Анатольевич

Оглавление

Введение

1 ]У-функции и пространства Орлича

1.1 Общие сведения

1.2 Дискретные пространства Орлича

1.3 Пространство Орлича дифференциальных форм

2 Ф-гармоннческне функции и первые когомологии дискретных групп

2.1 Определение 1-когомологий дискретных групп

2.2 Общие соображения относительно

оператора Лапласа

2.3 Пространство Ф-гармонических функций

3 Ф—гармонический анализ на графах

4 Операторы регуляризации де Рама

4.1 Базовые сведения о потоках

4.2 Регуляризация по де Раму

4.3 Регуляризация в пространствах Орлича

4.4 Ьф-Комплекс де Рама

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Пространства Орлича на группах, многообразиях и графах»

Введение

Данная работа состоит из четырех глав, также включает введение, заключение и список литературы.

Ниже мы даем краткий обзор данной работы. Результаты работ [32, 33], включенные в диссертацию (главы 2 и 3), получены автором единолично. Результаты статьи [34], касающиеся свойств операторов регуляризации де Рама (глава 4), получены в неделимом соавторстве с научным руководителем Копыловым Я.А.

В главе 1 приводятся необходимые сведения из теории /V-фупкций и пространств Орлича. Основными источниками по данной тематике нам служат классические книги Pao [29], [30], а также монография Красно-селького и Рутицкого [18], где теория пространств Орлича впервые была изложена последовательно и подробно.

В главах 2 и 3 мы сосредотачиваем свое внимание на вопросах, связанных с дискретными пространствами Орлича, а именно на пространствах, образованных дискретными группами и графами.

В последние десятилетия достаточное распространение получили аналитические методы изучения дискретных структур, в значительной степени в связи с прорывными работами Михаила Громова и других авторов по геометрической теории групп. В частности, одним из примеров может служить применение гармонического анализа для изучения аменабельности и свойства (Т) Каждана (см., например, [20]). Также вопросы роста дискретных групп «на бесконечности» и наличие неподвижных точек при непрерывном изометрическом аффинном действии группы на банаховом пространстве тесно связаны в контексте гармонического анализа с одномерными когомологиями группы с коэффициентами в соответствующем банаховом модуле (см., например [20, 13]).

Таким образом, гармонический анализ на дискретных структурах, помимо своей собственной проблематики, представляет интерес в силу

близкого родства между данными структурами и традиционно геометрическими объектами и методами, в особенности это касается метрической геометрии. Важную роль здесь играет понятие квазиизометрии; для ознакомления с базовыми фактами и определениями отсылаем читателя к [16]. Так все графы Кэли конечно порожденной группы, рассматриваемые в качестве 1-мерных симплициальных комплексов, являются ква-зиизометричными пространствами. Это позволяет, например, корректно определять гиперболические группы через метрические свойства их графов Кэли. Также квазиизометрия сохраняет инвариантными такие свойства групп, как порядок роста и аменабельность. Для групп, квазиизо-метричных некоторой нильпотентной, можно утверждать их виртуальную нильпотентность. В общем случае речь идет о тех алгебраических свойствах группы, которые либо можно считать инвариантными относительно квазиизометрий, либо о том, каким образом они могут быть интерпретированы в соответствующих геометрических реализациях группы: графах Кэли, при рассмотрении действия группы на множестве, в частности, все пространства со внутренней метрикой, допускающие свободное действие группы С, если это действие удовлетворяет некоторым дополнительными условиям, квазиизометричны друг другу и группе С с любой словарной метрикой, см. [16]. Помимо этого, инвариантом являются и когомологии групп, что может служить одной из важных мотивировок для их изучения.

В качестве примера можно обратиться также к предложенному Б. Кляйнером варианту доказательства известной теоремы Громова о группах полиномиального роста [10], где гармонические функции на графе Кэли играют немаловажную роль.

С другой стороны, каждое метрическое пространство, в частности всякое риманово многообразие, квазиизометрично некоторому графу, а именно Е—сети на этом пространстве, см. [16]. Более того, многие аналитические и геометрические проблемы для многообразия могут быть сведены к аналогичным для е—сети на нем. Например, такие, как вопрос о существование положительной функции Грина на многообразии, то есть проверки параболичности соответствующей е—сети, см. [9].

В работах Дж. Доджика также обсуждается связь между гармоническим анализом на многообразиях и их дискретных аналогах. В частности, в работах [5] и [6] изучаются свойства дискретного лапласиана на неориентированных бесконечных графах, главным образом, вопросы, связанные с его спектром. Среди прочего, оценки на собственные зна-

чения могут быть полезны, поскольку дают некоторые критерии аменабельности и порядка роста группы, действующей на графе Кэли. Отметим еще, что не только тематика, связанная со спектром дискретного лапласиана и соответствующие геометрические приложения, но и задачи математической физики в более широком смысле, адаптированные для дискретного случая, не остаются без внимания исследователей и применяются, например, для изучения распространения волн и тепла на структурах, моделируемых графами [12]. Также можно обратиться к [2] , где содержатся результаты подобного рода для ориентированных графов, в частности, исследуются волновое уравнение, уравнение теплопроводности, краевые задачи на графах и некоторые приложения в квантовой механике, и, кроме того, содержится полезный список литературы по данному вопросу. Еще одной областью приложения гармонического анализа на графах является теория бесконечных электрических сетей, весьма подробно рассматриваемая в книге [31], где, помимо прочего, затрагивается теория модулярных пространств

В главе 2 мы обращаемся к гармоническому анализу на группах в его связи с первыми групповыми когомологиями. Подобного рода идеи хорошо известны из анализа на многообразиях, в теории Ходжа. При определении комплекса де Рама на римановом многообразии возникают пары сопряженных операторов: дифференциал ¿к и кодифференциал |. Таким образом, определена пара операторов 5к+\<1к, (1к~1 € Епё(0А'(М)). Далее, можем ввести оператор Лапласа:

Ак = 5к+1(1к + ¿к~Чк

Элементы ядра данного оператора, как обычно, называют гармоническими формами. Теорема Ходжа показывает, что гармонические формы однозначно представляют классы когомологий де Рама.

Нам важен тот факт, что оператор Лапласа детерминирован лишь структурой цепного комплекса и может быть определен не только в случае комплекса де Рама. Рассматривая некоторый граф как 1-мерный конечный симплициальный комплекс и построив соответствующий ему коцепной комплекс, мы естественным образом можем определить оператор Лапласа, как это делается выше. В частности для пространства функций, заданных на вершинах графа, он примет вид:

А/(«) = £(/(«) - /И).

Гармонические элементы, как уже было сказано, однозначно представляют классы когомологий, при этом они могут быть выделены в когомологическом классе в соответствии с некоторым критерием минимальности. Например, как минимизирующие функционал энергии Дирихле, определяемый в непрерывном случае соотношением

АЛ = I Ф(^/|)<*г,

или же, следуя геометрической интуиции, как элемент ортогонального дополнения 1т с?, иначе, как точка минимизирующая расстояние от 1т с? до соответствующего класса когомологий, что, опять же, согласуется с теоремой о разложении Ходжа.

Переходя к дискретным группам, мы можем естественным образом распространить на них приведенное выше определение оператора Лапласа:

где Б — порождающее множество группы.

Построенный оператор по-прежнему тесно связан с комбинаторной структурой симплициального комплекса, соответствующего графу Кэ-ли группы. Особенность данной ситуации состоит в том, что обычно рассматриваемые когомологии групп имеют несколько иную природу, нежели симплициальные когомологии, упомянутые выше. Исследуемые в данной работе когомологии группы С с коэффициентами в топологическом С-модуле возникают в связи с тем, каким образом группа действует на этом модуле. В частности, в качестве 0-когомологий мы берем множество С-инвариантных элементов.

В нашей работе мы рассматриваем когомологии с коэффициентами в пространстве Орлича вещественнозначных функций, определенных на элементах группы. Нам требуется некоторым образом модифицировать определение лапласиана так, чтобы согласовать его с вводимой топологией пространств Орлича:

(Дф/Хяг) :=^Ф№-У)-/(*)).

«ей

Следуя идеям, предложенным в [11] и [13] для лебеговых функциональных пространств, мы показываем, что в нашем случае первые когомологии в действительности могут рассматриваться как элементы из

пространства сопряженного симплициальному комплексу графа Кэли, что следует из следующей теоремы:

Теорема 2.3 Предположим, что конечно порожденная группа G действует свободно на счетном множестве X. Тогда

1. Н1{С,еф{Х)) @Ф(Х)/£Ф(Х);

2. н\с,еф{х)) 9Ф{Х)[ЩХ).

Это дает нам возможность действовать по аналогии со случаем сим-плициальных когомологий. В частности, может быть установлен некоторый аналог разложения Ходжа:

Теорема 2.7 Предположим, что Ф — непрерывно дифференцируемая строго выпуклая N-функция, лежащая в Аг(0) П Уг(0). Пусть G — конечно порожденная группа, действующая на счет,ном множестве X. Тогда для любой функции / G D®(X) существует разложение f = u+h, где и Е (¿®(X))Di.(X) и h Е HD®(X). Такое разложение единственно с точностью до элемента из D®(X)G.

И как следствие получаем, что гармонические функции также уникальным образом представляют когомологические классы:

Следствие 2.8 Если действие группы G на X свободно, то пространство Н (G, £Ф(Х)) может быть естественным образом отождествлено с пространством Н Иф (X) / Иф (X)G.

Также в работе доказано следующее утверждение

Теорема 2.10 Пусть Ф — N-функция из Д2(0) П Уг(0), и пусть Г, G — бесконечные конечно порожденные группы, причем G неаме-набельна. Если G нормальная подгруппа Г с бесконечным централизатором Zr{G), то н\г,еф{Т)) = 0.

В главе 3 вводятся основные определения гармонического анализа на графах и устанавливаются их базовые свойства. Также доказываются дискретные аналоги теоремы единственности

Следствие 3.12 Пусть fug— Ф-гармонические функции на конечном множестве S такие, что f\as = g\ds■ Тогда / = g на S;

неравенство Гарнака

Теорема 3.13 Пусть Ф и Ф — пара двойственных Ы—функций, и Н: 11 и д 11 Е-° — Ф-супергармоническая на II функция. Тогда для каждого х Е II имеет, мест,о оценка

тах%) < [Ф'(Ф'(1)с1её(ж)) + 1}Цх);

и теоремы Гарнака о пределе монотонной последовательности гармонических функций

Теорема 3.15 Пусть — возрастающая последовательность конечных связных подмножеств V, и пусть U = (Ji^- Пусть {hi} — возраст,ающая последовательность функций на U U дU. Тогда, если hi — Ф-гармоническая (или, Ф-супергармоническая) на каждом Si, то или hi(x) —> со для всех х Е U, или hi(x) —>■ h(x) для всех х Е U и h— Ф-гармоническая (соответственно Ф-супергармоническая) на U.

Полученные результаты в значительной степени опираются на идеи, используемые в статье Холопайнена и Соарди для р-гармонических функций, где 1 < р < оо, и распространяют их результаты на более общий случай Ф-гармонических функций.

В некотором смысле, здесь мы продолжаем тематику главы 2, где мы сфокусировали свое внимание на гармоническом анализе в контексте пространств Орлича. И действительно, в том случае, когда рассматриваемый граф является графом Кэли некоторой группы, введенные здесь определения очевидным образом согласуются с конструкциями гармонического анализа на группах. Здесь же мы обращаемся к несколько более общему случаю, работая с произвольными бесконечными графами ограниченной степени. Как уже было сказано выше, одним из подходов к определению гармонических функций является использования свойства минимальности таких объектов в некотором классе. Таким образом, под гармоническими функциями мы понимаем функции, минимизирующие следующее обобщение функционала энергии Дирихле:

xES

Связь данного определения с введенным выше комбинаторным определением лапласиана

Дф/0г) = 'Ш-№)

выявляется в теореме

Теорема 3.8 Пусть Б С V — конечное множество. Равенство Дф/ = О имеет место тогда и только тогда, когда / минимизирует р(д) на множестве Mf = {д: Б и дБ —> К | д\ая = /|а$■}.

Подобные конструкции восходят к анализу на пространствах Орли-ча, в свою очередь обобщающих опыт работы и специфику лебеговых пространств.

В главе 4 мы изучаем регуляризацию потоков на многообразии.

Понятие потока было введено де Рамом в его классической монографии [22], где он также определяет пару операторов Де и Ае, зависящих от последовательности положительных параметров е = {£|, £2,... } и обладающих следующими свойствами:

Теорема (1) Если Т — к-поток на М, то И£Т — к-поток, а А£Т — (к — 1)-поток и выполняется соотношение

ЯеТ - Т = &АгТ + АедТ.

(2) Носители потоков Я£Т и АеТ лежат в сколь угодно малой окрестности носителя виррТ при достаточно малом значении параметров е».

(3)ЯеТ е С°°, и если Т е С°°, то АеТ е С°°.

(4) Если все £г ст,ремятся к нулю, то К£Т —> Т, а АгТ —>• 0 в О'(М).

(5) Если Т обладает компактным носителем, лежащим в М, то К£Т —> Т в пространстве форм с компактным носителем на М.

В данной работе мы вводим базовые определения теории потоков для контекста, но в действительности нас интересуют лишь те потоки, которые соответствуют дифференциальным формам.

Кратко изложим основные идеи, на которых базируется операция регуляризации по де Раму. В анализе хорошо известна процедура сглаживания функций. Подбирая правильно определенную весовую функцию и усредняя с этими весами значения заданной функции в окрестности

некоторой точки, мы можем добиться гладкости С°° в данной точке. В частности, таким образом можно сгладить любую локально суммируемую функцию /, выполнив ее свертку с некоторой функцией ip € С°°, обладающей компактным носителем:

/(ж) = J ¡р(х- y)f(y)dy.

Де Рам использует данную идею для сглаживания дифференциальных форм и элементов сопряженного формам пространства — потоков. Вводимый им оператор

R*: Пк(Шп) -> Пк(Шп)

сглаживает форму ш = ^ <...<j ...ip(%)dx4 Л- • -Лdxlp, выполняя свертку коэффициентов данной формы с некоторой четной функцией / Е С°°, обладающей компактным носителем:

К..лр(х) = J ah-iP(x + y)f(y)dy1 Л • • • /\dyn

Естественным образом данный оператор индуцирует оператор регуляризации R на потоках Т:

RT(oj) = T(R*UJ).

Данную операцию можно перенести на многообразия, локально определяя операторы регуляризации.

Вслед за де Рамом в работе [1] В. М. Гольдштейн, В. И. Кузьминов и И. А. Шведов рассматривали операторы де Рама R и А на пространствах дифференциальных форм Lp(M,Ak), интегрируемых по модулю в степени р на римановом многообразии М. Было показано, что, выбрав подходящим образом семейство параметров e^j, можно добиться, чтобы семейство операторов де Рама R^ and А^, соответствующих последовательности {eitk}keN переводило ХАформы в Ьр-формы, и если ш Е LP(M, Ак) (соответственно, ш Е Пкд(М) := {в Е Ьр(М,Ак) \ dB Е Lq{M, Afc+1)})), то R(i)U} —> oj при г —> оо in Lp (соответственно^ Qk (М)).

В нашей работе мы распространяем данные идеи на пространства Орлича:

Теорема 4.9 Пусть М — римапово многообразие. Существует последовательность операторов R^), А^ на пространстве потоков Т>'(М) таких, что

(1) Оператор Щг) от,ображает Ьф(М, Ак) вЬф(М,Ак) таким образом, что

|| ^(г) IIФ < 1 +

г

(2) Оператор Ащ отображает Ьф(М,Ак) в ЬФ(М, Л*'-1) таким образом, что

м л м 1

КМ*) ф < -;

г

(3) Щг)Ш — гладкая форма; если и — гладкая форма, то А^ш — глад-

'КСЬ&у

(4) Если Ф — А2-регулярная функция, то 11(г)Ш —>• ш при г —> оо для всех ш е ЬФ(М, Ак);

Оператор А, о которым мы пока ничего не говорили, задает цепную гомотопию комплекса {Пф(А7),с1) и его подкомплекса, состоящего из гладких форм

Пк*Г\М) п%(М) Пкф+1(М)-

'ф

¡с! -¿(г) Я(г) Ж"

¡а

ж"

А(г) К(г)

И

...-- Пф-1(М) П|(М) Пф+1(М)--...

таким образом, что выполняется соотношение гомотопии:

Щ) - 1(1 = А^д + дА^).

Как следствие, построенные операторы имеют вполне прозрачный кате-горный смысл, что суммируется в данной теореме:

Теорема 4.13 Если Ф — А2-регулярная N-функция, то операторы Д определяют морфизм комплексов из {П%(М),с1} в тоо4Л(М),й}, а также имеет место изоморфизм Д§ — Нф(М).

Благодарности

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю Я. А. Копылову, который познакомил его с тем кругом проблем,

что составляют содержание данной работы, и благодарен за все усилия и время, вложенные в нашу совместную работу, а также всегда теплое и внимательное отношение.

Также автору хотелось бы поблагодарить профессора А. Д. Медных за внимание к данной работе и ценные замечания, способствовавшие улучшению текста.

Глава 1

TV-функции и пространства Орлича

1.1 Общие сведения.

В данном параграфе мы напомним некоторые понятия теории пространств Орлича, необходимые нам для дальнейшей работы.

Определение 1.1 Функция Ф : R. —> К. называется N-функцией, если она положительна вне нуля и Ф(0) = 0; четна, выпукла, и обладает двумя предельными свойствами:

lim —^ = 0, lim —-- = +оо

х^О х х-*оо X

Любая N-функция допускает, представление вида:

\х\

Ф(х) = J <p(t) dt,

о

где функция <p(t) определена для t ^ 0, не убывает, непрерывна справа, а также удовлетворяет следующим условиям: <p(t) > 0, если t > 0; <р(0) = 0; lim^oo <p(t) = со. В дальнейшем будем писать Ф' вместо (р.

Определение 1.2 Если Ф — N-функция, то функция, заданная следующим образом

X

Ф(ж)= I {&)~\t)dt, где (Ф')_1(ж) = sup t,

J Ф '(t)<x

называется дополнительной к Ф.

Если Ф — /У-фупкция, дополнительная к Л"-фупкп.ии Ф, то Ф — дополнительная к Ф.

Замечание. Пара дополнительных Лг-фупкций Ф,Ф удовлетворяет неравенству Юнга

аЪ < Ф(а) + Ф(6)

для всех неотрицательных а и Ь; равенство достигается тогда и только тогда, когда Ь = Ф'(а).

Определение 1.3 Говорят, что N-функция Ф удовлетворяет Аг-условию для малых х (для больших х, для всех х), и пишут Ф е Аг(0) ( Ф е Д2(оо); Ф е А2), если существуют константы х0 > О, К > 2 такие, что Ф{2х) < КФ(х) для 0 < х < Хо (для х > хо, для всех х > 0).

Определение 1.4 Функция Ф удовлетворяет Уг-условию для малых х (для больших х, для всех х), и пишут Ф € Уг(0) (Ф € У2(оо); Ф € УгЛ если существуют константы Хо > 0 и с > 1 такие, что Ф(ж) < ^Ф(сх) для 0 < х < хо (для х > хо, для всех х >0).

Далее мы будем называть УУ-фупкции, удовлетворяющие, в зависимости от контекста, тому или иному виду Д2 -условия (У2-условия) Дг-регулярными (У2-регулярными).

Замечание. Д2-условие равносильно ограниченности следующего соотношения (локально, или для всех значений переменной, в зависимости от того, что нам требуется):

хФ'(х) ^

< С < 00

Ф(ж)

Также известно, что УУ-фупкция У2-регулярна тогда и только тогда, когда дополнительная /У-фупкция Д2-регулярна.

Далее, положим Ф — УУ-фупкция, а (О, Е, //,) — пространство с мерой.

Определение 1.5 Будем обозначать Ьф = ЬФ(С1) = такое

пространство измеримых функций / : П —>■ К, что

рФ(/) := / Ф(/)ф < оо. ¿п

Предложение 1.6 Как показано в [30], множество Ьф является ли-

нейным пространством в следующих случаях: (1) /¿(П) < оо, Ф € Дг(оо); (п) = оо, Ф € Д2.

(111) П — счетное множество, ¡1 — считающая мера на П, Ф е Дг(0). Определение 1.7 Линейное прост,ранет,в о

ЬФ = ЬФ(П) = Ьф(П,Е,ц) = {/ : Л —>• К — измеримая функция : рф(а/) < оо для некоторого а > 0}

называют пространством Орлича на (П,Е,//).

Для пространства Ьф = //''(О, Е, //,), ЛГ-функция Ф называется Д 2 - регулярной, если Ф е А2(оо) при < оо или Ф € А2 при = оо, или Ф € Д2(0) для считающей меры ¡л.

Пусть Ф — дополнительная А-функция к Ф.

Далее, как обычно, мы отождествляем пару функций, совпадающих всюду за пределами множества меры нуль.

Для функции $ Е Ьф определим функционал || • ||ф (называемый нормой Орлича):

Отметим, что в общем случае данный функционал является полунормой и обращается в норму лишь, если ¡л удовлетворяет условию (см. [29, р. 59]): Если А б X и ц{А) > 0, тогда существует В е Е, В С А такое, что 0 < ц(В) < оо.

Эквивалентная норма функции / € Ьф — калибровочная (иначе норма Люксембурга) определяется функционалом Минковского

Этот функционал является нормой вне всяких ограничений на ц (см. [29, с. 54, Theorem 3]).

1.2 Дискретные пространства Орлича

Далее, X — счетное множество, наделенное считающей мерой.

Определение 1.8 Определим в явном виде класс Орлича £Ф(Х) как множество таких вещественнозначных функций на X, что

Рф(/) :=Х>(/0г))<оо.

жех

В дальнейшем мы будем пользоваться следующим обозначением

/е^ро | ^ад*))^1!

хех )

I а

Определение 1.9 Будем обозначать

£Ф(Х) = {/ : X —У К. : рф(а/) < оо для некоторого а > 0}

дискрет,ное пространство Орлича на X.

Таким образом, мы можем снабдить наше пространство парой эквивалентных норм. Если / € £Ф(Х), то норма Орлича функции / определяется как

ф := \\И\е*(х) := 8ир иеё*

/(х)и(х)

хех

а калибровочная норма (или норма Люксембурга), соответственно:

11/11(ф) := \\Д**ЧХ) ■= ¡пф > 0 : рФ (£) < 1

Доказательство эквивалентности для данного случая можно, например, найти в [29, §3.3, предложение 4], таким образом имеем:

11/11(Ф)<11/11Ф<2||/||(Ф).

Не теряя общности рассуждений, мы будем подразумевать, что пространство £Ф(Х) снабжено калибровочной нормой || • ||(ф).

Следующее утверждение хорошо известно для общего случая пространств с мерой (см. [29, §3.4, предложение 8]). Здесь мы приводим его «счетную» версию (которая нам, собственно говоря, и потребуется в дальнейшем).

Предложение 1.10 Пусть Ф е Д2(0), и пусть Ф — дополнительная к Ф N-функция. Если, / е £Ф(Х), то Ф'(|/|) е Р(Х).

1.3 Пространство Орлича дифференциальных форм

Пусть М — риманово многообразие. Скалярное произведение в точке х е М £;-форм и(х) и в(х) на ТХМ будем обозначать (ш(х),в(х)). Это дает нам функцию х (->■ (ш(х),в(х)) на М.

Пусть Ф : К —> [0, оо) и Ф : 1 4 [0, оо) — пара двойственных УУ-функций. Обозначим символом ЬФ(М, Ак) класс всех таких измеримых &-форм и , что

РФМ := / Ф(|о;(ж)|)сг^ Зм

1м < ОО.

ш

Здесь <1цм — стандартный элемент объема риманова многообразия М. Как обычно, мы отождествляем /с-формы различающиеся не более, чем на множестве меры ноль.

Определим для риманова многообразия М (не обязательно ориентируемого) пространство Ьф(М,Ак) как класс всех измеримых /с-форм ш таких, что они удовлетворяют условию:

Рф(аш) < оо для некоторого а > 0.

Очевидно, Ьф(М,Ак) С Ьф(М,Ак).

Как и в случае функциональных пространств Орлича, пространство Ьф(М,Ак) снабжено парой эквивалентных норм: калибровочная норма

1М1(ф) = N1 ¿<*>(м) = > 0 : ^(^г) - 1

и норма Орлича

1М1ф = 1Мкф(м)

= 8Ир<

(ш(х),0(х)) йцм

м

: в е Ь*(М, Ак), рф(0) < 1

Также аналогично функциональному случаю, можно показать, что пространство Ьф(М,Ак) с любой из этих норм является банаховым.

Очевидно, что калибровочная норма /с-формы ш совпадает с нормой функции ее модуля |и;|. Аналогичное утверждение для нормы Орлича устанавливается в следующем утверждении.

Лемма 1.11 Норма Орлича к-формы и е Ьф(М,Ак) совпадает с нормой Орлича функции ее модуля |и;|.

Доказательство. Рассмотрим такую форму в € Ь^(М,Ак), что Рф($) < 1; тогда

ш

< / \ш(х)\\в(х)\д/1м

ш

< эир

1

/ \ш(х)\д(х)с1^м

Таким образом,

М|ф = вир

Р*{в)< 1

./м

(а;(х),в(х)) фм

< || М ||ф-

Теперь пусть (</т),теГ1 — последовательность функций в (М), удо-

влетворяющих р^(дт) < 1 и таких, что

/ Мж)^ ¿м

■{х)(1цм

|а;| ||ф при ш —> ос.

Поскольку

мы имеем

/ Иж)|дт(х)с1(лм < / \со(х)\\дт(х)\(1ц ¿м Jм

/ ж II <7

Jм

< II ы

м —> || М ||ф при т —> оо.

Рассмотрим последовательность (^т)те1| из А'-форм определяемую условием

в (х) = 1йй' если ^ ^ 0; 10,

иначе.

Таким образрм, рф(0т) = < 1 и

им

ш

\ш(х)\\дт(х)\<1цм

II М ф

ф

при 771 —У ос. И, следовательно,

М ||ф < Эйр

веь-},(м,Ак),

ря,(в)< 1

{ш{х),в{х))йрм

'М

| Сс> || ф.

□

Лемма 1.12 Предположим, что на римановом многообразии М задано семейство дифференциальных форм х ь-ш(х,у) одинаковой степени к, зависящих от параметра у из а-конечного пространства с мерой — У. Пусть функция (х,у) (->• \ш{х,у)\ измерима на М х У. Предположим, что форма {х (->■ оо(х,у)} лежит в Ьф для каждого у и что интеграл 1(х) = /у оо(х, у)с1у существует для почти всех х £ М. Тогда

\\1\\ф< { М;у)\\ф<1у. (1.1)

Доказательство. Пусть Ф — УУ-фупкция, двойственная к Ф. По лемме 1.11 можем перейти от формы ш и / к функциям и |/|.

Рассмотрим функцию д на М с р^(д) < 1. Воспользовавшись теоремой Тоне л ли, имеем

/ \1(х)\д(х)(111м

' м

< / \1{х)\\д{х)\(1рм

>м

< / / \и{х,у)\\д{х)\(1у ) им

\ш(х,у)\\д{х)\(1цм)(1у < / \\ш{-,у)\\Ф(1у.

/у \ли / Зу

Посколько это справедливо для любой /с-формы 9 с р^(9) < 1, можем взять супремум от левой части равенства и получить (1.1). □

Определение 1.13 Дифференциальная (к + 1 )-форма в £ Цос(М,Ак+1) называется обобщенным дифференциалом к-формы ш £ Ь1ос(М,Ак) (будем писать дш = в), если для всех ориентируемых областей V С 1гЛМ выполняется

[ в Ли = (~1)к+1 [ шЛ ди

для любой формы и G Vn~k{V), где V\V) множество гладких 1-форм на М с компактным носителем, лежащим в Int У.

Пусть Ф1 и — пара N-функций. Для 1 < k < п положим

Пкф-%2(М) = {и Е Ьф1(М,Ак~1) : du е Ьф2(М,Afc)} .

Полученное прост,ранет,во являет,ся банаховым с нормой графика, т,. е. с нормой вида

1М1фъф2 = (NU, + 11<М112)*-

Глава 2

Ф-гармонические функции и первые когомологии дискретных групп

2.1 Определение 1-когомологий дискретных групп

Пусть G — дискретная группа, а V — топологический 6'-модуль, т.е. вещественное или комплексное топологическое векторное пространство, снабженное линейным представлением

7Г : G х V ->■ V, (g,v) ж(g)v,

где все операторы 7г(д) имеют конечную норму. Такое пространство V называется банаховым G-модулем, если V — банахово пространство, а 7г — представление G изометриями V. Введем следующие обозначения:

Z\G, V) := {b G Vе I (Уд, b G G) b(gh) = + тг(^)6(/г)} - 1-коциклы;

B\G, У) = {6 G Z^G, V) I (3v G V) (Vc/ G G) b(g) = тг(g)v - v}-

1-кограницы;

Hl(G,V) = Zl(G} V)/B1(G, V) — 1-когомологии с коэффициентами в V.

Снабдим Z1(G,V) топологией поточечной сходимости в G. Будем обозначать символом В (G,V) замыкание Bl{G)V) в данной топологии.

__^

Факторпространство Я (G,V) = Z1(G,V)/B (G,V) называется редуцированными 1-когомологиями G с коэффициентами в G-модуле V.

Предположим, что заданы замкнутая нормальная подгруппа N группы G и G-модуль V, тогда группа G действует на Я1 (А", V\n) следующим образом (см. [21, 24]): на Z1(N,V\n) действие определяется формулой

(9 ■ ъ)(п) = к(д){Ъ(д~1пд))

(b Е Z1(N,V\n), д Е G, п Е N). Поскольку это действие оставляет пространство Bl{N,V17v) инвариантным, мы получаем определенное таким образом действие G на Я1 (А", V|jv)- В силу того, что для т Е N

(т ■ Ь)(п) = Ь(п) + (ж(n)b(m) — Ь(т)),

действие N на ii1 (iV, V|iv) тривиально, и действие G на ii1(iV, V|jv) пропускается через G/N.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Паненко, Роман Анатольевич, 2018 год

Литература

[1] Гольдштейн В.М., Кузьминов В.И., Шведов И.А., Об одном свойстве операторов регуляризации Де Рама// Сибирский математический журнал. -1984. Том 25, № 2. -С. 104-111.

[2] Степовой Д. В. Модели и алгоритмы решения задач математической физики на ориентированных графах и их приложение в квантовой механике, автореферат диссертации на соискание ученой степени канд.физ.-мат.наук, Ростов-на-Дону, 1998.

[3] Bourdon М., Martin F. and Valette A., Vanishing and non-vanishing for the first LP-cohomology of groups// Comm. Math. Helv. —2005. Vol. 80, no. 2. -P. 377-389

[4] Dodziuk J., Difference Equations, Isoperimetric Inequality and Transience of Certain Random Walks// Transactions of the American Mathematical Society. -1984. Vol. 284, no. 2. -P. 787-794.

[5] Dodziuk J., Laplacian on manifolds and analogous difference operator for graphs// Contemp. Math. -1986. Vol. 49. -P. 45-49.

[6] Dodziuk J., Karp L., Spectral and function theory for combinatorial Laplacians// Contemp. Math. —1988. Vol. 73. -P. 25-40.

[7] Holopainen I, Soardi P.M., p-harmonic functions on graphs and manifolds// Manuscripta mathematica. —1997. Vol. 94, issue 1. —P. 95-110.

[8] Kamiñska A., Musielak J., On convolution operator in Orlicz spaces// Revista Matemática de la Universidad Complutense de Madrid. —1989. Vol. 2, suppl. -P. 157-178.

[9] Kanai M., Rough isometries and the parabolicity of Riemannian manifolds// Journal of the Mathematical Society of Japan. —1986. Vol. 38, no. 2. -P. 227-238.

[10] Kleiner В., A new proof of Gromotf s theorem on groups of polynomial growth// Journal of the Amer. Math. Soc. —2010. Vol. 23, no. 3. —P. 815-829.

[11] Martin F., Valette A., On the first Lp-cohomology of discrete groups// Groups Geom. Dyn. -2007. Vol. 1, no. 1. -P. 81-100.

[12] Pagliacci M., Heat and wave equation on homogeneous trees// Boll. Un. Mat. Ital. -1993. Vol. A(7). -P. 37-45.

[13] Puis M., The first LP-cohomology of some finitely generated groups and p-harmonic functions// J. Funct. Anal. —2006. Vol. 237, no. 2. —P. 391-401.

[14] Rao M.M., Almost every Orlicz space is isomorphic to a strictly convex Orlicz space// Proc. Am. Math. Soc. -1968. Vol. 19. -P. 377-379.

[15] Rao M.M., Convolutions of vector fields. Ill: Amenability and spectral properties, in: Rao M. M. (ed.), Real and Stochastic Analysis. New Perspectives// Trends in Mathematics, Birkhauser. Boston, MA (2004). -P. 375-401.

[16] Бураго Д.Ю., Бураго Ю.Д., Иванов С.В., Курс метрической геометрии/ / Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004

[17] Зорич В.А., Математически анализ, часть I// М.: Наука, 1981

[18] Красносельский М.А., Рутицкий Я.В., Выпуклые функции и пространства Орлича// М.: ГИФМЛ, 1958.

[19] Кутателадзе С.С., Основы функционального анализа// Новосибирск: Изд-во Института математики СО РАН, 1995.

[20] Bekka В., de la Harpe P., and Valette A., Kazhdan's Property (T)// Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2008.

[21] Brown K., Cohomology of Groups// New York-Heidelberg-Berlin: Springer-Verlag, 1982.

de Rham G., Variétés Différentiables. Form,es, Courants, Formes Harmoniques// Paris: Hermann, 1955.

Ekeland I., Témam R., Convex Analysis and Variational Problems// Classics in Applied Mathematics. 28. Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics, 1999.

Guichardet A., Cohomologie des Croupes Topologiques et des Algèbres de Lie// Paris: Cedic/Nathan, 1980.

Hardy G.H., Littlewood J.E. and Pölya G., Inequalities// Cambridge, Engl.: At the University Press, 1952.

Iwaniec T., Martin G., Geometric Function Theory and Nonlinear Analysis// Oxford: Oxford University Press, 2001.

Lubotzky A., Discrete Groups, Expanding Graphs and Invariant Measures// Basel: Birkhauser, 2010.

Musielak J., Orlicz Spaces and Modular Spaces// Lecture Notes in Mathematics, 1034. Berlin etc.: Springer-Verlag, 1983.

Rao M.M., Ren Z.D., Theory of Orlicz Spaces.// Pure and Applied Mathematics, 146. New York etc.: Marcel Dekker, 1991.

Rao M.M., Ren Z.D., Applications of Orlicz Spaces// Pure and Applied Mathematics, 250. New York, NY: Marcel Dekker, 2002.

Soardi P., Potential Theory on Infinite Networks, Lecture Notes in Mathematics, vol. 1590, Springer-Verlag, Berlin, 1994.

Работы автора по теме диссертации:

Копылов Я.А., Паненко P.A., Ф-гармонические функции на дискретных группах и первые £ф-когомологии// Сибирский математический журнал. -2014. Том 55, № 5. -С. 1104-1117.

Паненко P.A., Ф-гармонические функции на графах// Сибирские электронные математические известия. —2017. Том 14. —С. 1-9.

[34] Kopylov Ya. A., Panenko R. A., De Rham regularization operators in Orlicz spaces of differential forms on Riemannian manifolds// Сибирские электронные математические известия. —2015. Том 12. — С. 361-371.