Проникновение магнитного поля в трехмерную упорядоченную джозефсоновскую среду тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.07, кандидат наук Поцелуев, Кирилл Андреевич

• Поцелуев, Кирилл Андреевич
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Поцелуев, Кирилл Андреевич

Оглавление

Глава 1. Вводная часть.........................................................................4

1.1. Проникновение магнитного поля в сверхпроводники I и II рода................4

1.2. Джозефсоновские среды..................................................................5

1.3. Длинный периодически модулированный джозефсоновский контакт.........7

1.4. Двумерные джозефсоновские среды.................................................11

1.5. Трехмерные джозефсоновские среды.................................................12

1.6. Постановка задачи.........................................................................18

Глава 2. Эффект Мейсснера в трехмерной упорядоченной джозефсоновской среде................................................................................................28

2.1 Основные уравнения.......................................................................29

2.2 Случай малых скачков фазы...............................................................33

2.3 Квазинепрерывный случай.................................................................36

2.4 Точное решение...............................................................................39

2.5 Результаты расчетов, их интерпретация и анализ....................................40

2.6 Критическое значение /с параметра пиннинга, разделяющее два режима

проникновения поля........................................................................45

2.7 Выводы.......................................................................................46

Глава 3. Возможные конфигурации линейного вихря в трехмерной упорядоченной джозефсоновской среде..................................................47

3.1 Расчет структуры и энергии линейного вихря.......................................48

3.2 Центр вихря в центре ячейки - конфигурация «а»...................................49

3.3 Центр вихря на контакте - конфигурация "Ь"........................................56

3.4 Итоги по конфигурации «а»..............................................................59

3.5 Итоги по конфигурации «Ь»..............................................................68

3.6 Выводы.........................................................................................74

Глава 4. Возможные расстояния между двумя линейными вихрями в трехмерной упорядоченной джозефсоновской среде и критическое значение

параметра пиннинга...........................................................................75

4.1 Методика расчета и основные уравнения.............................................75

4.2 Результаты расчетов, их интерпретация и анализ....................................83

4.3 Вывод формулы для критического значения параметра пиннинга ...........84

4.4 Расчет максимальной силы пиннинга..................................................84

4.5 Выводы.......................................................................................98

Заключение.....................................................................................100

Список литературы.............................................................................102

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Проникновение магнитного поля в трехмерную упорядоченную джозефсоновскую среду»

Глава 1. Вводная часть.

1.1 Проникновение магнитного поля в сверхпроводники I и II рода.

Известно, что проникновение магнитного поля в сверхпроводники I и II рода описывается с помощью уравнения Лондонов [1]

= (1.1)

где 11 - напряженность магнитного поля, а - так называемая лондоновская длина, или уравнений Гинзбурга-Ландау [2]

сс\|/ + (ЗУ2 \|/ +—(- /Й V - 2еА)2 \|/ = 0 (1.2)

2т

2еА>|/) (1.3)

т

где а ,(3- эмпирические постоянные, \|/- волновая функция ансамбля куперовских пар, - плотность сверхпроводящего тока. Из решения уравнения Лондонов и уравнений Гинзбурга-Ландау, в частности, следует, что при проникновении в образец магнитное поле экспоненциально убывает по мере удаления от границы, что соответствует эффекту Мейсснера [3] - выталкиванию магнитного поля из объема сверхпроводника. Характерная глубина проникновения поля - . С помощью уравнений Гинзбурга-Ландау и уравнений Максвелла можно вычислить распределение токов и полей. Из указанных уравнений следует, что при внешнем поле Не, меньшем Нс, в сверхпроводниках I рода имеет место эффект Мейсснера. Если Не > Нс, то

образец переходит в нормальное состояние, магнитное поле проникает в его объем. В сверхпроводниках II рода картина иная: в них энергетически выгодным оказывается проникновение магнитного поля в виде решетки вихревых нитей. Это происходит при полях Не>На (НС1<НС). Вихри, возникающие в

сверхпроводниках II рода, впервые были теоретически обоснованы А.А. Абрикосовым [4] и получили название абрикосовских. Экспериментально они были обнаружены гораздо раньше Л.В. Шубниковым.

На детали проникновения магнитного поля сильно влияют размер и форма сверхпроводника. Чаще всего рассматривают два предельных случая: случай длинного цилиндра либо тонкую пленку толщиной, меньшей которую можно считать двумерным сверхпроводником. При такой толщине пленки магнитное поле проникает на всю глубину. В случае цилиндра магнитное поле, созданное экранирующими токами, эквивалентно полю соленоида, внутри которого поле однородно. Отклонение от однородности наблюдается лишь в области оснований цилиндра. Как показывает расчет [5], при расстояниях от торцов цилиндра, больших его диаметра, магнитное поле можно считать однородным, а линии индукции идущими параллельно оси цилиндра. Пока значение внешнего поля не превышает некоторого критического, оно полностью ко]\!шенсируется полем экранирующих токов, то есть, реализуется эффект Мейсснера. Если высота цилиндра существенно меньше его диаметра, то можно говорить о тонкой пленке в форме диска. Как и в случае длинного цилиндра, в пленки, вихри начинают проникать в образец лишь тогда, когда значение внешнего поле больше некоторго критического (см., например, [5-7]). Чем меньше толщина пленки, тем меньше критическое значение магнитного поля, до которого вихри в пленке не образуются [7].

1.2 Джозефсоновские среды

Со времени открытия в 1986 году высокотемпературных сверхпроводников [8] прошло уже 27 лет. За этот период накопился обширный экспериментальный материал по исследованию ВТСП. Анализ огромного числа данных по исследованию ВТСП позволяет с уверенностью утверждать, что трудности, возникающие при изучении высокотемпературных сверхпроводников, во многом связаны с их сложной неоднородной структурой, обусловленной присутствием в ВТСП большого количества сверхпроводящих гранул, разделенных диэлектрическими областями. Наличие джозефсоновских контактов, возникающих между соседними гранулами, делает ВТСП-керамику сильно нелинейной средой. Среды, содержащие большое количество таких контактов, принято называть джозефсоновскими. Такие среды до сих пор привлекают внимание физиков [9-22], поэтому изучение их свойств лежит в русле

современного исследования ВТСП. Физика гранулированных ВТСП существенно сложнее физики непрерывной среды. Например, достаточно очевидно, что при сильных магнитных полях в отдельных гранулах будут возникать абрикосовские вихри, однако возникает вопрос, что будет при слабых полях? До каких полей возможен эффект Мейсснера? Какого рода вихри будут возникать? В межгранульных областях могут существовать вихри, созданные джозефсоновскими токами через контакты между гранулами. Такие вихри называются джозефсоновскими. Однако основную роль играют другие вихри (гипервихри), рассмотренные в работе Э.Б. Сонина [9]. Они отличаются и от абрикосовских, и от джозефсоновских вихрей тем, что охватывают сразу несколько гранул.

Джозефсоновская среда уже не является непрерывной, поэтому к ней нельзя применить теорию Гинзбурга-Ландау, в частности, авторы работ [23-25] связывают отличие теоретических предсказаний от полученных экспериментальных результатов именно с гранулированностью исследуемых ВТСП. Таким образом, для описания процессов, происходящих в гранулированных ВТСП-средах, необходимо было искать иной математический аппарат.

Для исследования гранулированных сред развито большое количество моделей и подходов, позволяющих изучить отдельные свойства ВТСП. Среди них можно выделить модели (см., например, [9-11]), основанные на макроскопическом описании джозефсоновских сред, при котором используемые параметры усредняются по малому объему сверхпроводника, и модели микроскопического характера, в которых отправной точкой рассуждений является локальная структура ВТСП [14]. Результаты, получаемые в рамках микроскопического (дискретного) описания, в непрерывном пределе не всегда эквивалентны предсказаниям макроскопических (континуальных) подходов (подробнее об этом для сверхпроводников II рода см. [26]). Расхождение предсказаний дискретного и континуального рассмотрений возникает и для

трехмерной джозефсоновской среды (об этом в главе 3). При математическом описании дискретных джозефсоновских сред используют уравнения в конечных разностях, которые при переходе к континуальному пределу преобразуются в дифференциальные.

Поскольку в настоящей диссертации рассматривается модель именно трехмерной джозефсоновской среды, представляется разумным сначала осветить некоторые важные результаты, полученные исследователями для более простых случаев. Следует отметить среди исследованных структур важный случай длинного периодически модулированного джозефсоновского контакта [12-22], обсудить некоторые физические особенности двумерных джозефсоновских сред [34-48], а затем перейти к описанию подходов и методов, разработанных для трехмерных структур [49-76].

1.3 Длинный периодически модулированный джозефсоновский контакт

Изучению длинного джозефсоновского контакта и подобных систем посвящено значительное количество работ (см., например, [12-22]). Согласно, например, [27], искусственный периодически модулированный джозефсоновский контакт (рисунок 1 а) представляет собой тонкий слой диэлектрика (плоскость хх) между двумя сверхпроводниками, пересеченный параллельными друг другу бесконечными вдоль оси г толстыми полосами диэлектрика толщиной 21 вдоль оси у и шириной с1 вдоль оси х, периодически расположенными вдоль оси х на расстоянии Ь друг от друга. Внешнее магнитное поле, а также оси вихрей направлены вдоль оси ъ. На рисунке 1Ъ представлена структура искусственно создаваемого периодически модулированного джозефсоновского контакта [27].

Исследования длинного контакта показали, что такого рода структура при малых полях будет находиться в мейсснеровском состоянии, при котором внешнее магнитное поле, направленное вдоль контакта, не проникает в контакт, так как краевые токи полностью компенсируют поле внутри контакта [28]. При

Рисунок 1. а - модель периодически модулированного джозефсоновского контакта; Ь - структура искусственно созданного периодически модулированного джозефсоновского контакта.

превышении внешним магнитным полем некоторого критического значения Н

внутрь контакта начинают проникать джозефсоновские вихри. Дискретность расположения джозефсоновских мостиков в длинном контакте создает пиннинг вихря на каждой ячейке. На искусственных структурах типа длинного периодически модулированного джозефсоновского контакта [27] могут быть проверены теоретические предсказания. Интерес к такому контакту вызван тем, что эта модель, являющаяся простейшим случаем дискретной джозефсоновской среды, допускает точный математический расчет, что позволяет более детально представить физику происходящих процессов при рассмотрении ряда важных задач. При исследовании проникновения магнитного поля в длинный контакт распеределение фаз описывается уравнениями в конечных разностях, получаемыми из условий минимума свободной энергии [16, 28] и совпадающими с уравнениями Френкеля-Конторовой [29], полученными при исследовании совершенно других вопросов. При переходе к континуальному пределу эти разностные уравнения преобразуются в дифференциальные уравнения синус-Гордона (например, когда к рассматриваемой задаче применим квазинепрерывный подход [30]), Уравнения синус-Гордона, составляют основу описания локальной электродинамики джозефсоновской среды [31].

Использованные методы позволили ответить на ряд вопросов, связанных с проникновением магнитного потока в контакт, находящийся в критическом состоянии [13], рассчитать профиль проникающего магнитного поля [18] и энергии возникающих вихрей [17], исследовать лавинную динамику проникновения вихрей магнитного потока и вопросы самоорганизации критического состояния [20-22], получить выражения для критического тока, изучить профиль магнитного поля как функцию расстояния от границы и проверить применимость [14] модели Бина [32]. Одним из важных достоинств модели длинного периодически модулированного джозефсоновского контакта является то, что в этой модели уже существует пиннинг, связанный с ее ячеистостью. Пиннинг возникает из-за того, что джозефсоновский вихрь, центр

которого расположен строго в центре ячейки между двумя соседними джозефсоновскими контактами, обладает наименьшей энергией, и для перехода вихря в такую же соседнюю область необходима дополнительная энергия. В качестве аналогии можно представить шарик, находящийся в ямке, которому для перемещения в соседнюю ямку необходимо приподняться, что требует сообщения шарику энергии. Таким образом, эта модель позволяет исследовать - влияние пиннинга без введения дополнительных центров пиннинга. Природа пиннинга в реальном ВТСП может быть различной, но качественное описание в рамках этой модели останется тем же (см. об этом в [14]). Пиннинг в длинном периодически модулированном джозефсоновском контакте характеризуется параметром I, который в этом случае вычисляется по формуле 1 = 2Ы/Х2 [15,18], где Ь -расстояние между центрами пиннинга, / - полутолщина полосы диэлектрика,

/87\]сей - джозефсоновская длина, ус- критическая плотность тока, е -

заряд электрона, к - постоянная Планка, с1 - ширина диэлектрической полосы. Параметр V, аналогичный параметру пиннинга /, рассматривался также С.Л. Гинзбургом как в [21], так и в более ранних его работах. О важной роли этого параметра в описании джозефсоновской среды говорится также и в других работах [13, 33]. Пиннинг играет определяющую роль в процессе проникновения магнитного поля в джозефсоновскую среду. Можно рассмотреть две крайние ситуации:

1) при отсутствии пиннинга магнитное поле проникает в контакт скачком, как в обычном сверхпроводнике II рода, когда вихри сразу заполняют весь образец.

2) при сильном пиннинге вихри возникают в приграничной области, и по мере увеличения поля толщина этой области постепенно увеличивается, вихри проникают все глубже.

Возникает вопрос, что происходит при промежуточных значениях параметра пиннинга. Очевидно, что должно существовать некоторое критическое значение, разделяющее эти два случая. Для длинного периодически модулированного джозефсоновского контакта такое значение было получено в работе [16]. Авторы

[16] показали, что при любых />/с всегда имеется приграничная область проникновения вихрей, которая по мере увеличения значения магнитного поля, становится все больше, вихри проникают в образец все глубже. Если же I <1С,

существует критическое значение поля Н с, зависящее от I, при котором характер

проникновения меняется: при Не < Н* вихри заполняют только приграничную область, но как только внешнее поле Не превысит критическое, вихри целиком заполнят весь контакт. Дальнейшее развитие этого вопроса можно увидеть в [18]. Нахождение критического значения параметра пиннинга [16], а также разных сценариев проникновения вихрей при 1<1С [14] и 1>1С [22], является важнейшим результатом указанных работ. Таким образом, параметр пиннинга определяет характер проникновения магнитного поля в длинный периодически модулированный джозефсоновский контакт.

1.4 Двумерные джозефсоновские среды

Изучению двумерных джозефсоновских сред посвящено значительное количество работ [34-48]. Выделим две основные группы таких сред: пленки, сделанные из гранулированного сверхпроводника [40,42]; 2) двумерные многоконтактные СКВИДы [34-36,38].

Рассмотрим первую группу. Так же, как и в случае длинного периодически модулированного контакта, пиннинг играет важную роль в проникновении магнитного поля в такую пленку. В квазидвумерной структуре, помещенной в перпендикулярное поверхности внешнее магнитное поле, возникающие вихри будут представлять собой уже не длинные соленоидальные структуры, как в случае периодически модулированного джозефсоновского контакта, а отдельные петли [42,43]. Здесь имеют место такие явления, как фазовый переход Костерлица-Таулесса [44,45], являющийся характерным свойством двумерных систем, существование бризеров, эффекты несоизмеримости [37] и т. д.

Двумерный многоконтакный СКВИД представляет собой длинный джозефсоновский контакт, периодически модулированный в двух направлениях [35].

В этом случае остается справедливым описание, основанное на уравнениях в конечных разностях для отдельных ячеек сетки джозефсоновских контактов [35], причем оказывается возможным использование модели Френкеля-Конторовой [34,35] и уравнений синус-Гордона, обобщенных на двумерный случай [37]. Этот подход позволил получить много интересных результатов: были изучены так называемый Ви1к-8С2иГО-эффект [34,35] и самоорганизованное критическое состояние двумерной сетки джозефсоновских контактов [36], вопросы несоизмеримости [37], вычислено значение #С1 и энергия вихря для случая, когда линейный размер гранул значительно превышает лондоновскую длину [39] и т.д.

1.5 Трехмерные джозефсоновские среды

Изучению трехмерных джозефсоновских сред посвящено большое количество экспериментальных [49,51-58,68-72,74-76] и теоретических работ [50,53,57,59-67,73]. В случае трехмерной среды снимаются проблемы, связанные с переходом Костерлица-Таулесса и сопутствующими ему процессами, а возникающие вихри нельзя считать плоскими петлями, как в случае двумерной пленки. Они скорее похожи на длинные соленоиды, оси которых параллельны внешнему магнитному полю и проходят, например, через центры ячеек, расположенных друг над другом. Эта ситуация аналогична ситуации в длинном периодически модулированном джозефсоновском контакте. Кроме того, в случае пленки токи удаленных участков не вносят вклад в магнитный поток, пронизывающий ячейку, тогда как в трехмерном случае вкладом удаленных токов пренебречь нельзя.

Большинство моделей трехмерной джозефсоновской среды соответствует макроскопическому (континуальному), не дискретному описанию (см., например, [51,65-68]). На базе такого подхода были получены интересные результаты, в

частности, при изучении проникновения в среду магнитного поля. В работе [54] исследователями было обнаружено, что величина магнитного потока, проникшего в гранулированный сверхпроводник, при полях порядка 10"5 Тл перестает зависеть от частоты приложенного внешнего поля. Этот экспериментальный результат хорошо согласуется с предсказаниями модели распределенной джозефсоновской среды, выдвинутой авторами [54]. Экспериментальные зависимости магнитной восприимчивости и сопротивления в [11] удовлетворительно объясняются с помощью теории усредненной джозефсоновской среды Сонина [9,53], упомянутой ранее. Экспериментальная проверка некоторых выводов этой теории проводилась также в [57]. Однако макроскопические подходы не позволяют выяснить все детали токовых конфигураций, поведения вихрей, пиннинга и т.п., тогда как дискретный подход, примененный в серии работ [59-64] и о котором пойдет речь в диссертации, дает возможность исследовать многие вопросы без усреднения используемых параметров и характеристик, как это свойственно макроскопическому, континуальному описанию. Этот подход основан на условиях квантования флюксоида в ячейках упорядоченной джозефсоновской

среды. Флюксоидом называется выражение вида Фт+—- У^"0 , где Ф„, -

2к k

полный магнитный поток через т-ую ячейку, Ф0 - квант магнитного потока,

У - сумма скачков фазы на джозефсоновских контактах m-ой ячейки с

к

учетом знака. Согласно условию квантования флюксоида, полный флюксоид должен быть кратен кванту магнитного потока, то есть

(1.4)

271 к

гдеКт - целое число, равное количеству квантов потока в m-ой ячейке.

Поскольку условие (1.4) будет использоваться в дальнейшем, приведем его вывод. Величина тока через джозефсоновский контакт определяется скачком фазы на контакте ф: J = Jq sin ф. Рассмотрим любой замкнутый контур Г, проходящий внутри сверхпроводника, так что плотность тока в любой точке

контура равна нулю. Изменение фазы при обходе контура определяется соотношением

Аф=#Уф.^//+2ф^, (1.5)

Г к

где - алгебраическая сумма скачков фазы на джозефсоновских контактах

к

контура. Одно из уравнений Гинзбурга-Ландау имеет вид

]=-п3(ПЧц>-2еА), (1.6)

т

где ей т - заряд и масса электрона, п3 - концентрация сверхпроводящих электронов, А - вектор магнитного потенциала. Находя отсюда Уф при 7 = 0, получим

= — §А-Ш =—1В-с18 = 271—, (1.7)

г Нг П Ф0

где Ф - поток магнитного поля через площадку, ограниченную контуром, Фф = кЬ, / е = 2 • 10"15 Вб - квант магнитного потока.

При обходе по замкнутому контуру волновые функции должны быть однозначными, т.е. изменение фазы должно быть кратным 2л: Дф = 2%К. Отсюда получаем

Еф • + = 2пК (1.8)

I фо

Равенство (1.8) можно сформулировать как условие квантования флюксоида (1.4). Если в контуре нет джозефсоновских контактов, квантование флюксоида переходит в квантование магнитного потока.

Выписав уравнение (1.4) для каждой ячейки, получаем систему уравнений в конечных разностях для конкретного распределения токов.

Важно отметить, что уравнения, входящие в эту систему, могут быть получены другим спообом - из условий минимума свободной энергии, но эти вычисления более громоздки, так как требуют выписывания выражения для свободной энергии. Можно показать, что на базе условий квантования флюксоида

могут быть получены уравнения для одномерного и двумерного случаев, описанных ранее.

Вышеупомянутый дискретный подход [59-64] состоит в исследовании модели трехмерной упорядоченной джозефсоновской среды, представляющей собой кубическую решетку из сверхпроводящих проводов, каждая связь которой содержит один джозефсоновский контакт. Так же, как и описанному ранее длинному контакту, этой модели присущ пиннинг, связанный с ее ячеистостью. Это важное достоинство, благодаря которому можно учитывать пиннинг, не вводя дополнительных механизмов зацепления вихрей. Подход, предложенный в [59], позволил рассчитать мейсснеровскую токовую конфигурацию и получить значения магнитных полей, до которых возможен эффект Мейсснера, описать возникающие вихри и их взаимодействие друг с другом [61,88,98]. Интересные результаты получены при анализе устойчивости [63,64] мейсснеровского состояния относительно малых флуктуаций скачков фазы на контактах и развития этих флуктуаций, а также при исследовании устанавливающихся профилей магнитного поля в образце, что позволило получить критическое значение /с параметра пиннинга, разделяющее два режима проникновения поля [62]. При I >1С расчет при любом значении внешнего поля Не приводит к приграничной токовой конфигурации конечной длины, полностью компенсирующей внешнее поле в глубине образца. Если же / < /с, то такая ситуация реализуется лишь до некоторого значения внешнего поля Нтах. При больших значениях поля оно проникает внутрь среды на бесконечную глубину. Подобное критическое значение 1С существует и для длинного периодически модулированного контакта [16,18,22], о котором говорилось ранее.

Экспериментальные исследования [57,58], проведенные для иттриевой керамики, показали, что существует целый ряд характерных значений магнитных полей реального ВТСП. Одно из них объясняется авторами [57] на основе идеальной модели трехмерной упорядоченной джозефсоновской среды, предложенной в [59]. Есть основания ожидать, что и другие обнаруженные

экспериментально значения магнитного поля могут быть объяснены с помощью этой же модели при внесении в нее определенных модификаций и уточнений.

Яркой иллюстрацией модели, предложенной в [59], является следующий снимок структуры композита 1п-опал [68] (рисунок 2), что дает определенные основания использовать для подобных сред модели с периодическим расположением джозефсоновских контактов.

Рисунок 2. Электронно-микроскопические снимки композита 1п-опал. Светлые области соответствуют металлу, темные - диэлектрику [68].

1.6 Постановка задачи

Все вышесказанное о модели [59] подтверждает ее полезность и применимость. В исследованиях, проведенных ранее в рамках этой модели [5964], было сделано определенное упрощение. Система уравнений, полученная в рамках этой модели, содержит два безразмерных параметра: параметр пиннинга / и так называемый структурный фактор Ь. В работе [59] и других исследованиях по этой тематике решались задачи при условии Ъ = 0, которое упрощало систему рассматриваемых уравнений. Соответственно, результаты всех этих работ справедливы лишь для указанного частного значения Ь.

Параметр Ъ отражает учет непрямолинейности линий магнитной индукции, связанной с дискретностью рассматриваемой модели вдоль оси магнитного поля.

Чтобы нагляднее представить смысл этого параметра, рассмотрим две ситуации: Ъ = 0 и Ьф 0.

Равенству Ь = О соответствует набор соленоидов, линии магнитной индукции которых прямолинейны и параллельны внешнему полю. Такая картина справедлива [62], в частности, для искусственной структуры, созданной из сверхпроводящих нитей, склеенных друг с другом по всей длине, так что джозефсоновскими контактами являются поверхности соединения нитей. Сказанное иллюстрируют рисунки За и ЪЬ. Пусть сечение каждой нити имеет форму, показанную на рисунке За. Каждая из четырех заштрихованных граней является поверхностью соединения с другой такой же нитью. На рисунке ЪЬ показана структура, состоящая из четырех таких нитей. Джозефсоновскими контактами являются поверхности соединения нитей (заштрихованные грани на рисунке ЪЬ).

Структура, составленная из множества таких нитей, периодична вдоль плоскости, перпендикулярной оси нити. Каждая замкнутая область (на рисунке ЪЬ показана только одна из них) аналогична соленоиду, линии магнитной индукции которого прямолинейны и параллельны внешнему полю. Условие Ь = О отражает тот факт, что поле внутри соленоида однородно. Результаты работы [59] и других

Рисунок 3. Примеры трехмерных упорядоченных джозефсоновских сред.

исследований по этой тематике справедливы именно для такой картины распределения магнитного поля.

Условие 6*0 соответствует более сложной структуре. Ее простейший элемент показан на рисунке Зс. Каждый из шести заштрихованных торцов является поверхностью соединения с другим таким же элементом. На рисунке Зй? показана структура из 8 таких элементов. Джозефсоновские контакты образуются в местах соприкосновения заштрихованных областей. Направление внешнего магнитного поля показано стрелочкой. Очевидно, что поле внутри такой структуры не является однородным. Учет этой неоднородности приводит к ненулевым значениям параметра 6. Чем более искривлены линии индукции магнитного поля, тем больше значение параметра 6. Таким образом, условие 6 - 0, удобное для решения системы уравнений, соответствует другой физической модели, поскольку не учитывает периодичность среды вдоль направления приложенного поля. В диссертации рассматривается случай 6 * 0, то есть трехмерная джозефсоновская среда, составленная из множества элементов, представленных на рисунке Зс. Выражение для параметра 6 выводится в соответствующей главе.

Целью настоящей диссертации является изучение влияния структурного фактора 6 на поведение трехмерной упорядоченной джозефсоновской среды во внешнем магнитном поле. Математически это соответствует поиску решений систем разностных нелинейных уравнений для случая 6*0. Были проведены следующие исследования:

1. Анализ влияния структурного фактора 6 на мейсснеровские токовые конфигурации и максимальное значение магнитного поля, до которого еще возможно мейсснеровское состояние.

2. Описание и расчет возможных конфигураций уединенного линейного вихря, вычисление энергии вихря, сравнение устойчивости конфигураций во всем диапазоне значений 6.

3. Расчет конфигураций двух взаимодействующих линейных вихрей. Вычисление критических значений параметра пиннинга 1С/, при которых вихри еще могут находиться на заданном расстоянии с! друг от друга. Изучение влияния параметра Ь на эти значения.

4. Нахождение максимальной силы пиннинга F и исследование ее зависимости от величины структурного фактора Ь.

Для достижения указанных целей потребовалось решение следующих задач:

• Вывод систем разностных нелинейных уравнений для мейсснеровского и вихревого случаев и разработка идеи их решения.

• Разработка алгоритмов численного решения систем разностных уравнений, описывающих каждый из исследуемых вопросов.

• Вывод формул для структурного фактора Ь в случае мейсснеровского состояния и в случае вихрей.

• Вывод формул для энергии уединенного вихря для ненулевых значений Ь.

• Вывод зависимости максимальной силы пиннинга от структурного фактора Ь.

Актуальность диссертационной работы определяется тем, что она является дальнейшим этапом развития метода описания трехмерной джозефсоновской среды, которую можно считать упрощенной моделью гранулированных сверхпроводников. Изучение джозефсоновских сред является важным шагом на пути понимания физики процессов, происходящих в реальных ВТСП. Кроме того, в последние годы джозефсоновские среды вызывают все больший интерес [9,10,11,13-22,33,36,41,42,46-48,54-59], поэтому изучение свойств таких сред лежит в русле исследований ВТСП, проводимых в последние годы.

Степень достоверности результатов проведенных исследований подтверждается применением апробированных теоретических подходов, согласием полученных результатов с результатами других теоретических исследований, а также публикацией материалов в российских и зарубежных научных журналах и докладами на научных конференциях.

Научная новизна: Работа является логическим продолжением исследований [1319,30,39,59-63], основанных на преимущественно дискретном описании систем джозефсоновских контактов. В работах [11,20-22,33-36,38,39,41,46-49,54,57,65,73] рассматривались аналогичные структуры, но изучался другой круг вопросов. В работах [59-63] тоже рассматривалась трехмерная джозефсоновская среда, но уравнения решались для случая, когда не учитывалась дискретность среды вдоль направления приложенного внешнего магнитного поля, что соответствовало равенству нулю параметра Ь, входящего в систему уравнений. В настоящей диссертации рассмотрение проводится для всех возможных значений параметра Ь. Новизна полученных результатов подтверждается отсутствием аналогичных результатов в других работах по этой тематике.

Научная ценность результатов, представленных в диссертации, состоит в том, что полученные новые результаты являются вкладом в теорию трехмерной джозефсоновской среды, которую можно считать упрощенной моделью гранулированных сверхпроводников. Следует отметить, что в 2006 году были получены экспериментальные данные [57,58], для объяснения которых авторы привлекли теорию, предложенную в [59]. Кроме того, в работах [57,81,82] имеются ссылки на определенные теоретические выводы, полученные на базе этой модели, что подтверждает ее полезность.

Практическая значимость работы. Полученные в диссертации результаты способствуют более детальному пониманию процессов в трехмерной джозефсоновской среде, которую можно считать упрощенной моделью гранулированных сверхпроводников. Результаты проведенного исследования могут быть использованы при анализе экспериментальных данных для ВТСП-образцов: характерных магнитных полей, формы вихрей, характера вихревой решетки, зависимости расстояния между вихрями от температуры и т. д. Разработанные методы решения систем разностных нелинейных уравнений, соответствующих мейсснеровскому состоянию, одиночному линейному вихрю и

двум взаимодействующим вихрям, могут быть применены и для анализа других конфигураций.

Методология и методы исследования: работа представляет собой теоретическое исследование, включающее в себя вывод основных уравнений на основе физики сверхпроводников и электродинамики, их аналитическое решение, а также составление программ численного расчета для случаев, не поддающихся аналитическому решению. Положения, выносимые на защиту

1. При внесении трехмерной упорядоченной джозефсоновской среды во внешнее магнитное поле в ней возникают экранирующие токи, обеспечивающие мейсснеровское состояние, которое может существовать до некоторого критического значения Нс магнитного поля. Это значение определяется

параметром пиннинга 1 и структурным фактором Ь. Величина Ис является

монотонно возрастающей функцией как параметра I, так и параметра Ъ.

2. При любых значениях параметра пиннинга / и структурного фактора Ь линейный вихрь в дискретной джозефсоновской среде всегда имеет центральную часть (остов вихря), в которой токи и скачки фаз на контактах значительно больше, чем в наружной области вихря.

3. Энергия линейного вихря с центром на контакте при всех значениях / и Ъ больше энергии конфигурации с центром в середине ячейки. В обеих конфигурациях с увеличением структурного фактора Ь при одном и том же значении параметра пиннинга I скачки фаз на контактах и токи в центральной области вихря, а также полные энергии вихрей уменьшаются. Рост структурного фактора Ь ведет к снижению значения критического поля Яс,, при котором возникновение вихревой решетки является энергетически выгодным.

4. При заданном расстоянии между центральными ячейками вихрей б/ и фиксированной величине структурного фактора Ъ система уравнений, описывающая конфигурацию двух взаимодействующих вихрей, имеет решение

только при значениях параметра пиннинга, превышающих некоторое критическое значение ld (Ь). Рассчитанная на базе этих значений максимальная

величина силы пиннинга является монотонно растущей функцией параметров / и Ь.

5. Для всех значений Ь при стремлении / к нулю минимальное расстояние между двумя уединенными линейными вихрями в дискретной среде не возрастает неограниченно (как для абрикосовских вихрей в непрерывной среде), а достигает некоторой конечной величины ¿/0 и далее остается постоянным, что говорит о том, что при стремлении / к нулю пренебречь пиннингом линейных вихрей нельзя.

Личный вклад автора: Диссертант принимал участие в постановке и решении задач, обработке и обсуждении полученных результатов; выбор общего направления исследований и оптимальных методик вычислений осуществлялся совместно с научным руководителем. Все представленные в диссертации теоретические результаты получены автором лично. Автором также был предложен метод полной линеаризации нелинейных уравнений, не использовавшийся ранее.

Достоверность полученных результатов подтверждается адекватностью примененного математического подхода: условия квантования флюксоида выполнены для всех ячеек среды. Кроме того, ожидаемые физические факты, а именно мейсснеровское состояние, существование и взаимодействие вихрей, их пиннинг, наличие критического значения параметра пиннинга, при котором вихри еще могут находиться на заданном расстоянии друг от друга и т.д. - все это подтвердилось. Результаты, соответствующие частному значению ¿>=0, совпали с результатами предыдущих работ.

Апробация результатов работы. Полученные в работе результаты докладывались и обсуждались на следующих конференциях: Международной конференции по инновационным материалам и методам, секция «сверхпроводимость и магнетизм» (Conference on Innovative Materials and

Techniques (CIMT), Hammamet, Tunisia 12-15 November, 2012); на российской молодежной конференции по физике и астрономии, секция «физика конденсированного состояния» (Физика.СПБ, Санкт-Петербург, 24-25 октября 2012 - Санкт-Петербургский физико-технический институт имени А.Ф.Иоффе); на I всероссийском конгрессе молодых ученых, секция «физика твердого тела и материаловедение» (Санкт-Петербург, 10-13 апреля 2012 - Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики); на неделях науки в Санкт-Петербургском Политехническом университете (в 2010, 2011,2012 годах).

Публикации: материалы диссертации опубликованы в 11 печатных работах, из них 6 статей в рецензируемых журналах и 5 тезисов докладов.

Структура и объем работы Диссертация состоит из четырех глав и заключения, содержит 112 стр. машинописного текста, включая 29 рисунков и список цитированной литературы (101 наименование).

Список публикаций автора по теме работы:

1. Зеликман М.А. Влияние структурного фактора на мейсснеровское состояние в трехмерной упорядоченной джозефсоновской среде [Текст] / М.А. Зеликман, К.А. Поцелуев // Научно-технические ведомости СПбГПУ. - 2011. - Т.116. - №1. - С.18 - 25.

2. Зеликман М.А. Мейсснеровское состояние в трехмерной упорядоченной джозефсоновской среде [Текст] / М.А. Зеликман, К.А. Поцелуев // Журнал технической физики. - 2012. - Т.82. - №5. - С.1 - 6.

3. Зеликман М.А. Влияние структурного фактора на конфигурацию линейных вихрей в трехмерной упорядоченной джозефсоновской среде [Текст] / М.А. Зеликман, К.А. Поцелуев // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки. - 2012. - Т.1. - №141. - С.17 - 27.

4. Зеликман М.А. Структура и энергия линейного вихря в трехмерной упорядоченной джозефсоновской среде [Текст] / М.А. Зеликман, К.А. Поцелуев // Журнал технической физики. - 2013. -Т.83. - №3- С.8 - 16.

5. Зеликман М.А. Пиннинг и возможные расстояния между линейными вихрями в трехмерной упорядоченной джозефсоновской среде [Текст] / М.А. Зеликман, К.А. Поцелуев // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки. - 2013. - Т.2. - №170. - С.39 - 46.

6. Зеликман М.А. Пиннинг линейных вихрей и возможные расстояния между ними в трехмерной упорядоченной джозефсоновской среде с отличным от нуля структурным фактором [Текст] / М.А. Зеликман, К.А. Поцелуев // Журнал технической физики. - 2014. - Т.84. - №1.- С.28 - 37.

7. Potseluev К.А. Meissner state in а 3D ordered Josephson medium [Text] / M.A. Zelikman, K.A. Potseluev // First International Conference on Innovative Materials and Techniques (CIMT-2012), Hammamet, Tunisia, November 12-15 (2012). Book of Abstracts.- 2012. - P.76.

8. Поцелуев К.А. Влияние структурного фактора на конфигурацию линейных вихрей в трехмерной упорядоченной джозефсоновской среде [Текст] / М.А. Зеликман, К.А. Поцелуев // Российская молодежная конференция по физике и астрономии «ФизикА.СПб», Санкт-Петербург, Россия, Октябрь 24-25 (2012). Тезисы докладов.- 2012. - С.7-8.

9. Поцелуев К.А. Линейные вихри в трехмерной упорядоченной джозефсоновской среде [Текст] / М.А. Зеликман, К.А. Поцелуев // I Всероссийский Конгресс молодых ученых, Санкт-Петербург, Россия, Апрель 10-13 (2012). Тезисы докладов.- 2012. - С.196-197.

10. Поцелуев К.А. Эффект Мейсснера в трехмерной упорядоченной джозефсоновской среде [Текст] / М.А. Зеликман, К.А. Поцелуев // Материалы научно-практической конференции «XXXIX Неделя науки СПбГПУ», Санкт-Петербург, Россия, Декабрь 6-11 (2010). Материалы конференции. Физико-механический факультет / СПб.: Изд. Политех, ун-та.- 2010. - С.131-132.

11. Поцелуев К.А. Линейные вихри в трехмерной упорядоченной джозефсоновской среде [Текст] / М.А. Зеликман, К.А. Поцелуев // Материалы научно-практической конференции «ХЬ Неделя науки СПбГПУ», Санкт-Петербург, Россия, Декабрь 5-10 (2011). Материалы конференции. Физико-механический факультет / СПб.: Изд. Политех, ун-та.- 2011. - С.150-151.

Заключение диссертации по теме «Физика конденсированного состояния», Поцелуев, Кирилл Андреевич

4.5 Выводы

1. При любой фиксированной величине структурного фактора Ь и заданном расстоянии между центральными ячейками вихрей d система уравнений, основанная на условиях квантования флюксоида, имеет решение только при значениях параметра пиннинга, превышающих некоторое критическое значение 1а(Ъ). При меньших значениях параметра пиннинга вихри не могут находиться на заданном расстоянии друг от друга.

Получена формула зависимости критического значения параметра пиннинга 1а от Ъ для различных расстояний й между осями вихрей. При больших й

значения перестают зависеть от величины Ь. Поэтому они могут быть

вычислены при 6=0. При конкретном значении с1 с ростом Ъ значение 1а

монотонно убывает.

Исследованы зависимости максимальной силы пиннинга Т7 от параметра / при различных значениях Ъ. Максимальная сила пиннинга, рассчитанная на базе зависимости от Ь, является монотонно возрастающей функцией параметров / и Ъ.

Для всех Ъ при стремлении / к нулю минимальное расстояние между двумя уединенными линейными вихрями в дискретной среде не возрастает неограниченно (как длл абрикосовских вихрей в непрерывной среде), а достигает некоторой конечной величины в. 0 и далее остается постоянным. Этот факт говорит о том, что при стремлении / к нулю пренебречь пиннингом линейных вихрей нельзя.

100

Заключение

Итоги исследования:

1. Рассчитаны экранирующие токовые конфигурации, обоспечивающие мейсснеровское состояние. Вычислено максимальное значение магнитного поля кс, до которого существует эффект Мейсснера. Величина кс является монотонно возрастающей функцией как параметра /, так и параметра Ь.

2. При любых значениях структурного фактора Ъ и параметра пиннинга I линейный вихрь в дискретной джозефсоновской среде всегда имеет центральную часть (остов вихря), в которой токи и скачки фаз на контактах значительно больше, чем в наружной области вихря.

3. Энергия линейного вихря с центром на контакте при всех значениях I и Ъ больше энергии конфигурации с центром в середине ячейки. В обеих конфигурациях с увеличением структурного фактора Ъ при одном и том же значении параметра пиннинга / скачки фаз на контактах и токи в центральной области вихря, а также полные энергии вихрей уменьшаются. Рост структурного фактора Ъ ведет к снижению значения критического поля Нсх, при котором возникновение вихревой решетки является энергетически выгодным.

4. При заданном расстоянии между центральными ячейками вихрей с1 и фиксированной величине структурного фактора Ъ система уравнений, описывающая конфигурацию двух взаимодействующих вихрей, имеет решение только при значениях параметра пиннинга, превышающих некоторое, критическое значение (Ьл-. Рассчитанная на базе этих значений максимальная величина силы пиннинга является монотонно растущей функцией параметров / и Ь.

5. Для всех значений Ъ при стремлении / к нулю минимальное расстояние между двумя уединенными линейными вихрями в дискретной среде не возрастает неограниченно (как для абрикосовских вихрей в непрерывной среде), а

достигает некоторой конечной величины ¿/0 и далее остается постоянным.

Этот факт говорит о том, что при стремлении I к нулю пренебречь пиннингом линейных вихрей нельзя.

Перспективы дальнейшей разработки темы: В качестве дальнейшего направления исследований планируются следующие варианты:

1) Исследование устойчивости мейсснеровского состояния трехмерной упорядоченной джозефсоновской среды по отношению к малым флуктуациям во всем диапазоне значений структурного фактора Ь на основе анализа квадратичной формы второй вариации потенциала Гиббса. Это исследование позволит узнать, как параметр Ь влияет на характер проникновения магнитного поля.

2) Проследить развитие неустойчивых флуктуаций, на основе чего определить приграничный профиль проникающего в образец магнитного поля при ненулевых Ъ.

3) Параллельно с этим было бы целесообразным провести экспериментальное исследование на искусственно созданных структурах, максимально приближенных к описанной модели, с целью проверки теоретических предсказаний и внесения уточнений в построенную теорию.

Рекомендации. Результаты проведенного исследования могут быть использованы при анализе экспериментальных данных для ВТСП-образцов: характерных магнитных полей, формы вихрей, характера вихревой решетки, зависимости расстояния между вихрями от температуры и т. д. Разработанные методы решения систем разностных нелинейных уравнений, соответствующих мейсснеровскому состоянию, одиночному линейному вихрю и двум взаимодействующим вихрям, могут быть применены и для анализа других конфигураций.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Поцелуев, Кирилл Андреевич, 2013 год

Список литературы:

1. London F., Н. The Electromagnetic Equations of the Supraconductor [Text] / F. London, H. London / Proc. Roy. Soc. (Lond.).-1935.-V. A149.-№866.- P. 71-88.

2. Гинзбург В. JT. К теории сверхпроводимости [Текст] / В. Л. Гинзбург, Л. Д. Ландау //ЖЭТФ.-1950.-Т.20.-№12.-С. 1064-1082.

3. Meissner W. Ein neuer Effekt bei Eintritt der Supraleitfähigkeit [Text] / W. Meissner, R. Ochscenfeld // Naturwissenschaften.- 1933.- V. 21.-No. 44. - P. 787788.

4. Абрикосов A.A. О магнитных свойствах сверхпроводников второй группы [Текст] / A.A. Абрикосов //ЖЭТФ,- 1957 - Т.32. - №6. - С. 1442-1452.

5. Зеликман М.А. Нелинейный отклик сверхпроводящих керамик различной формы на низкочастотное магнитное поле [Текст]/ М.А. Зеликман, З.Т. Максутова, В.К. Соболевский, Н.В. Старостина ''/ЖТФ.-1994.-Т.64.-№7.-С.48-55.

6. Максимова Г.М. Смешанное состояние и критический ток в узких сверхпроводящих пленках [Текст] / Г.М.Максимова //ФТТ. - 1998. -Т.40.-№10.-С.1773-1777.

7. Водолазов Д.Ю. Распределение экранирующих токов в тонких сверхпроводящих пленках [Текст]/ Д.Ю. Водолазов // Письма в ЖТФ.-1999.-Т.25.-№20.-С.84-88.

8. Bednorz J.G. Possible high Тс superconductivity in the Ba-La-Cu-0 system [Text]/J.G.Bednorz, K.A.Müller//Z. Phys. B.-1986.-V. 64.-No.l.- P. 189-193.

9. Сонин Э.Б. Теория джозефсоновской среды в ВТСП: вихри и критические магнитные поля [Текст] / Э.Б. Сонин //Письма в ЖЭТФ - 1988. - Т.47. - №8 -С.415-418.

10. Иоффе Л.Б. Свойства сверхпроводников с размытой температурой перехода [Текст]/Л.Б.Иоффе, А.И.Ларкин//ЖЭТФ. - 1981. - Т.81. - №2,- С.707-718.

11. Кузьмичев Н.Д. Критическое состояние среды Джозефсона [Текст] / Н.Д. Кузьмичев // Письма в ЖЭТФ. - 2001. - Т.74. - №5. - С.291-295.

12. Chen D.-X. Magnetic dynamic hysteresis of a resistively shunted Josephson junction array [Text]/ D.-X.Chen, A.Sanches, A.Hernando //Phys.Rev. B.-1994.-V.50.-No.14.-P. 10342-10345.

13. Брыксин В.В. Проникновение магнитного потока в контакт в критическом состоянии [Текст]/ В.В. Брыксин, А.В. Гольцев, С.Н. Дороговцев, А.Н.Самухин // ФТТ,- 1992.-Т.34.-№7.-С.2306-2309.

14. Брыксин В.В. Критическое состояние неоднородного джозефсоновского контакта [Текст] / В.В. Брыксин, С.Н. Дороговцев // ЖЭТФ.-1992.-Т.102.-№3.-С.1025-1039.

15. Дороговцев С.Н. Критическое состояние цепочки сквидов [Текст] / С.Н.Дороговцев, Ю.И.Кузьмин //СФХТ.-1993.-Т.6.-№1 .-С.44-50.

16. Dorogovtsev S.N. Magnetic-Flux Penetration and Critical Current in Long Periodically Modulated Josephson Junction [Text]/ S.N. Dorogovtsev, A.N. Samukhin // Europhys. Lett.-1994.-V.25.-No.9.- p.693-698.

17. Зеликман M.A. О расчете энергии пиннинга вихрей в длинном периодически модулированном джозефсоновском контакте [Текст]/ М.А. Зеликман //ЖТФ.-2004.-Т.74.-№4.-С. 1-9.

18. Зеликман М.А. Проникновение магнитного поля в длинный периодически модулированный джозефсоновский контакт [Текст] / М.А.Зеликман // ЖТФ.-2009.-Т.79.-№2.-С.36-42.

19. Зеликман М.А. Установление квазиоднородной последовательности вихрей в периодически модулированном джозефсоновском контакте конечной длины [Текст] / М.А.Зеликман // ЖТФ.-2009.-Т.79.-№12.-С. 19-25.

20. Ginzburg S.L. Granular superconductors and a sandpile model with intrinsic spatial randomness [Text] / S.L.Ginzburg, N.E.Savitskaya // Phys.Rev.E. -2002.-.V.66.-No.2.-P.6128-6133

21. Гинзбург С.JI. Структура критического состояния в дискретном сверхпроводнике с различными значениями сквид-параметра [Текст] / С.Л.Гинзбург, А.В.Накин, Н.Е.Савицкая // Известия РАН. Серия физическая . -2009.- Т.73.-№1.-С.13-15.

22. Гинзбург С.Л. Самоорганизация критического состояния в цепочке СКВИД [Текст] / С.Л.Гинзбург, Н.Е.Савицкая // Письма в ЖЭТФ,- 1998.-Т.68.-№9,-С.688-694.

23. Аматуни Л.Э. Движение вихрей в мостиковых структурах из высокотемпературных сверхпроводников [Текст] / Л.Э.Аматуни, А.А.Ахумян и др. // Письма в ЖЭТФ,- 1989.-Т.49.-№10.-С.559-562.

24. Ogale S.B. Current transport in high-Tc polycrystalline films of Y-Ba-Cu-0 [Text]/ S.B.Ogale, D.DijKamp // Phys.Rev.B.-1987.-V36.-No.13.-P.7210-7213.

25. Chaudari P. Direct measurement of the superconducting properties of single grain boundaries in У^агСизОу.б [Text]/ P.Chaudari, J.Mauhart et.al. // Phys.Rev.Lett.-1988.-V.60.-No. 16.-P. 1653-1656.

26. Ктиторов С.А. Влияние решеточных эффектов на критическое поведение сверхпроводников II рода в магнитном поле. [Текст] / С.А.Ктиторов, Б.Н. Шалаев//ФТТ.- 1995.-Т.37.-№1.-С.175-184.

27. Golubov А.А. Dynamics of a Josephson fluxon in a long junction with inhomogeneities: theory and experiment [Text]/ A.A.Golubov, I.L.Serpuchenko, A.V.Ustinov // Sov. Phys.JETP.-1988.- Vol. 67.-No.6.- P. 1256-1264.

28. Кулик И.О. Эффект Джозефсона в сверхпроводящих туннельных структурах. [Текст]/И.О.Кулик, И.К. Янсон - М.: Наука, 1970. С.272.

29. Конторова Т.А. К теории гластической деформации и двойникования [Текст] / Т.А.Конторова, Я.И.Френкель // ЖЭТФ. - 1938. - Т.8. - №1. - С.89-95.

30. Зеликман М.А. Пиннинг вихрей и проникновение магнитного поля в длинный периодически модулированный джозефсоновский контакт [Текст] / М.А.Зеликман //ЖТФ.-2007.-Т.77.-№10.-С.68-74.

31. Силин В.П. О бегущих мелкомасштабных джозефсоновских вихрях [Текст] / В.П.Силин // Письма в ЖЭТФ.-1994.-Т.60.-№6.-С.442-445.

32. Bean С.Р. Magnetization of Hard Superconductors [Text]/ C.P. Bean //PhysRev.Lett.-1962.-V.8..-N.6.-P.250-253.

33. Геращенко О.В. Лавины магнитного потока в джозефсоновской среде [Текст] / О.В. Геращенко // Письма в ЖЭТФ. - 2007. - Т.86. - №7. - С.539-543.

34. Гинзбург С.Л. Bulk-SQUID-эффект в сложной системе как следствие ее неэргодичности [Текст] / С.Л.Гинзбург, А.В.Накин, Н.Е.Савицкая // ЖЭТФ.-2010.- Т.92.-№9.-С.644-649.

35. Гинзбург С.Л. Bulk-SQUID-эффект в дискретном сверхпроводнике как следствие синхронизции частот генерации составляющих его джозефсоновских контактов [Текст] / С.Л.Гинзбург, А.В.Накин, Н.Е.Савицкая // ЖЭТФ.-2012.-Т. 141 ,-№2.-С.310-318.

36. Гинзбург С.Л. Лавинообразная динамика магнитного потока в двумерном дискретном сверхпроводнике [Текст] / С.Л.Гинзбург, А.В.Накин, Н.Е.Савицкая // ЖЭТФ.-2006.-Т.130.-№5(11).-С.862-872.

37. Бабаев Е.С. Эффекты несоизмеримости в решеточной модели Гинзбурга-Ландау [Текст] / Е.С.Бабаев, С.А.Ктиторов //ФТТ.-1997.-Т.39.-№7.-С.1158-1162.

38. Верзаков С.А. Исследование системы мезоскопических гранул при помощи модели квантовых косинусов [Текст] / С.А.Верзаков, Ю.Е.Лозовик //ФТТ,-2000.-Т.42.-№3.-С.400-406.

39. Брыксин В.В. Свойства решеток с «большими» джозефсоновскими контактами между сверхпроводящими гранулами [Текст] / В.В.Брыксин, А.В.Гольцев, С.Н.Дороговцев // Письма в ЖЭТФ.-1989.-Т.49.-№8.-С.440-443.

40. Волков А.Ф. Об эффекте Джозефсона в гранулированных сверхпроводниках [Текст] / А.Ф.Волков // Письма в ЖЭТФ,- 1989.-Т.49.-№2.-С.86-89.

41. Ишикаев С.М. Магнитные свойства двумерных джозефсоновских сеток с SNS-переходами [Текст] / С.М.Ишикаев, Э.В.Матизен, В.В.Рязанов, В.А.Обознов // Письма в ЖЭТФ.-2002.-Т.76.-№3.-С. 194-198.

42. Головашкин А.И. Изучение нелинейности магнитной восприимчивости керамических образцов YBa2Cu307.x в низкочастотных магнитных полях [Текст] / А.И.Головашкин, Н.Д.Кузьмичев, И.С.Левченко, Г.П.Мотулевич, В.В.Славкин // ФТТ.-1990.-Т.32.-№5.-С.1374-1377.

43. Jeffries С. Nonlinear electrodynamics in the granular superconductor УВа2Си307: Experiments and interpretation [Text]/ C.Jeffries, Q.Lam, Y.Kim et.al. // Phys.Rev.- 1989.-Vol.39.-No.l6.-P.l 1526-11527.

44. Kosterlitz J. M. Ordering metastability and phase transitions in 2 dimensional systems [Text] / J. M.Kosterlitz, D. J.Thouless // J. Phys. C.:Solid State Phys.-1973.-V. 6.-P.1181-1203.

45. Wu W. M. Nucleation of Vortices and Anti-Vortices in Mesoscopic Superconducting Discs [Text]/ W. M.Wu, M. B.Sobnack, F. V.Kusmartsev //JLTP.- 2008.-V.150.-No. 3.-P.654-659.

46. Protopopov I.V. Anamalous periodicity of supercurrent in long frustrated Josephson-junction rhombi chain. [Text]/ I.V.Protopopov, M.V.Feigel'man // Phys. Rev. B.-2004.-V. 70.-No.l8.-P.4519-4530.

47. Protopopov I.V. Coherent transport in Josephson-junction rhombi chain with quenched disorder. [Text]/ I.V.Protopopov, M.V.Feigel'man // Phys. Rev. B.-2006.-V.74.-NO.6.-P.4516-4530.

48. Protopopov I.V. Superconductor-insulator duality for the array of Josephson wires. [Text]/ I.V.Protopopov, M.V.Feigel'man // Письма в ЖЭТФ.-2007.-Т.85.-№10,-P.621-626.

49. Кузьмичев Н.Д. Проникновение магнитного поля в систему слабых связей гранулярного сверхпроводника УВа2Сиз07.х [Текст] / Н.Д.Кузьмичев // ФТТ,-2001.-Т.43.-№11.-С. 1934-1938.

50. Clem J.R. Granular and superconducting-glass properties of the high-temperature superconductors [Text]/ J.R.Clem // Physica C: Superconductivity. -1988 -V.153-155,- P.50-55

51. Баранов M.A. Об аномальной температурной зависимости первого критического поля ВТСП-керамики [Текст] / М.А.Баранов, В.С.Горбачев,

A.В.Сенаторов // Письма в ЖЭТФ.-1991,-Т.53.-№2.-С.93-96.

52. Корженевский A.JI. О правомерности расчета поверхностного сопротивления гранулированного сверхпроводника на основе однородной решеточной модели [Текст] / А.Л.Корженевский, А.А.Лужков // ФТТ.-1991.-Т.ЗЗ.-№10.-С.2976-2979.

53. Сонин Э.Б. Эффект Холла и анизотропия сверхпроводников II рода в смешанном состоянии [Текст] / Э.Б.Сонин, А.Л.Холкин // ФТТ.-1992.-Т.34,-№4.-С.1147-1151.

54. Белодедов М.В. О проникновении магнитного поля в гранулированный сверхпроводник [Текст] / М.В.Белодедов, С.В.Черных // ЖТФ,- 2003.-Т.73.-№2.-С.75-80.

55. Хирный В.Ф. Обнаружение и исследование свойств круговых вихревых колец в Bii;6Pbo,4Sr2Ca2Cu30y сверхпроводниках II рода с током [Текст] /

B.Ф.Хирный, В.П.Семиноженко, А.А.Козловский, Ю.А.Гринченко // ФНТ.-1994.-Т.20.-№ 8.-С.774-777.

56. Хирный В.Ф. Круговые и геликоидные вихри в ВТСП. Зависимость плотности криического тока от площади поперечного сечения образца [Текст] /

B.Ф.Хирный, В.П.Семиноженко, А.А.Козловский // ФТТ.-1996.- Т.38.-№ 10,-

C.2951-2958.

57. Милошенко В.Е. Нижние критические поля сверхпроводника Y-Ba-Cu-O [Текст] / В.Е.Милошенко, И.М.Шушлебин, О.В.Калядин // ФТТ.-2006,- Т.48,-№ 3.-С.403-406.

58. Шушлебин И.М. Проникновение магнитного потока в сверхпроводники Y-Ba-

Cu-0 и Tl-Ba-Ca-Cu-0 [Текст] / И.М.Шушлебин //Изв. РАН. Сер.физ.-1993.-Т.57.-№11.-С.178-182.

59. Зеликман М.А. Вихревые состояния и экранирующие токи в трехмерной джозефсоновской среде [Текст] / М.А.Зеликман //СФХТ, 1992,Т.5,№1,с.60-72.

60. Зеликман М.А. Линейные вихри в трехмерной упорядоченной джозефсоновской среде при малых значениях параметра пиннинга [Текст] / М.А.Зеликман // ЖТФ.-2006.-Т.76.-№4.-С.9-16.

61. Зеликман М.А. Равновесные состояния плоских вихрей в трехмерной упорядоченной джозефсоновской среде и смысл понятия «энергия пиннинга» [Текст] / М.А.Зеликман // ЖТФ-2004.-Т.74.-№9.~С.55-62.

62. Зеликман М.А. Проникновение магнитного поля в трехмерную упорядоченную джозефсоновскую среду при малых значениях параметра пиннинга [Текст] / М.А.Зеликман // ЖТФ,- 2010,- Т.80,- №3.-С.21-30.

63. Зеликман М.А. Развитие неустойчивости мейсснеровского состояния в трехмерной упорядоченной джозефсоновской среде [Текст] / М.А.Зеликман // ЖТФ.-2009.-Т.79.-№9.-С.47-57.

64. Зеликман М.А. Устойчивость мейсснеровского состояния в трехмерной упорядоченной джозефсоновской среде [Текст] / М.А. Зеликман // ЖТФ. - 2008 -Т.78. -№ 8. - С.14 - 21.

65. Белевцов Л.В. Критический ток текстурированных гранулярных сверхпроводников в области сильных магнитных полей [Текст] / Л.В.Белевцов, А.А.Костиков //ФТТ.-2007.-Т.49.-№.6.-С. 1006-1011.

66. Щерстинов B.C. Флуктуационные эффекты в решеточной модели сверхпроводника в окрестности верхнего критического поля [Текст] / В.С.Шерстинов // ФТТ,-1992.-Т.34.-№ 4.-С. 1142-1146.

67. Ефетов К.Б. Фазовый переход в гранулированных сверхпроводниках [Текст] / К.Б.Ефетов // ЖЭТФ.-1980.-Т.78.-№ 5,- С.2017-2032.

68. Романов С.Г. Разрушение током сверхпроводящего состояния в трехмерной решетке слабосвязанных гранул индия в опале [Текст] / С.Г.Романов, Д.В.Шамшур // ФТТ.-1991 ,-Т.42.-№ 4.-С.581-588.

69. Hiraga К. High Resolution Electron Microscopy of High-Tc Superconductor Y-Ba-Cu-0 [Text]/ K.Hiraga, D.Shindo, M.Hirabayashi, M.Kikuchi, Y.Syono // J. Electron Microsc. -1987.-V.36/-No.4.-P.261-269.

70. Hirotsu Y. High Resolution Electron Microscopy of Crystal and Defect Structures of High-Tc Superconductor Ba2YCu307.x [Text]/ Y.Hirotsu, Y.Nakamura, Y.Mirata, S.Nagakura, T.Nshihara, M.Takata //.Jap.J.Appl.Physics.- 1987.-V.26.-No.7.-P.l 168-1171.

71. Matsui Y. High Resolution Transmission Electron Microscopy of Defects in High-Tc Superconductor Ba2YCu307 [Text]/ Y.Matsui, E.Takayama-Miromachi, S.Horiuchi, K.Kato //.Jap.J.Appl.Physics.-1987.-V.26.-No.5.-P.777-779.

72. Kitano Y. Electron Microscope Observation of Fabrics of the High-Tc Y-Ba-Cu-Oxide [Text]/ Y.Kitano, I.Mukouda, Y.Komura, H.Fujii, T.Okamoto // J. Electron Microsc. -1987.-V.36.-No.4.-P.241-245.

73. Гинзбург С.JI. Влияние структуры сложной сети на свойства динамических процессов на ней [Текст] / С.Л.Гинзбург, А.В.Накин, Н.Е.Савицкая // Письма в ЖЭТФ. - 2009. - Т.90. - № 12. - С.873 - 878.

74. Бойко Б.Б. Исследование высокотемпературной сверхпроводимости в Т1-Ва-Са-Си-О-керамике [Текст] / Б.Б.Бойко и др. // Письма в ЖЭТФ.-1988.-Т.48.-№ 2.-С.103-105.

75. Сухарева Т.В. Особенности гальваномагнитных свойств гранулярных высокотемпературных сверхпроводников YBa2Cu307.x в очень слабых магнитных полях [Текст] / Т.В.Сухарева, В.А.Финкель // ФТТ.-2012.-Т.54,-№3.-С.427-432.

76. Деревянко В.В. Изучение магнитосопротивления ВТСП YBa2Cu307.x в слабых магнитных полях: ориентационная зависимость магнитосопротивления

[Текст] / В.В.Деревянко, Т.В.Сухарева, В.А.Финкель // ФТТ.-2007-Т.49.-№10,-С.1744-1749.

77. Braunisch W. Paramagnetic Meissner effect in high-temperature superconductors [Text]/ W.Braunisch et.al. // Phys Rev, В.- 1993.-V. 48-No. 6,-P. 4030-4042.

78. Zelikman, M.A. Vortex states and screening currents in a 3D Josephson medium [Text]/ M.A.Zelikman // Superconductor Science & Technology. - 1997. - Vol.10. -No.7. -P.469-474.

79. Zelikman, M.A. Vortex states and screening currents in a 3D Josephson medium with small loop inductance [Text] / M.A.Zelikman // Superconductor Science & Technology. - 1997. - Vol. 10. - No. 11. -P.795-800.

80. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений [Текст]: Справочник / И.С.Градштейн, И.М.Рыжик - М.: Наука, 1971,- 1100с.

81. Matteo Di. Lower threshold field in 3D Josephson junction arrays [Text]/ Di Matteo, Paasi, Tuohimaa, De Luca // Phys. Lett, A.-1998.-V.247.- No.4-5.- P.360-364.

82. Tuohimaa. Magnetic flux distribution in a 3D inductive network of Josephson junctions [Text] / Tuohimaa, Paasi, De Luca, Tarhasaari, Di Matteo // Phys. Rev. B.-2000.-V.61.- No.14,- P.9711-9718.

83. Muller K.-H. Josephson vortices and flux penetration in high temperature superconductors [Text] / K.-H.Muller, J.C.Macfarlane, RDriver // Physica C-superconductivity and Its Applications.- 1989. -Vol. 158. - P. 69-75.

84. Rzchowski M.S. Vortex pinning in Josephson-junction arrays [Text] / M.S.Rzchowski, S.P.Benz, M.Tinkham, C.J.Lobb // Phys. Rev. В. -1990,- Vol. 42.-N0.4.-P. 2041-2050.

85. Kivshar Y.S. Dynamics of solitons in nearly integrable systems [Text]/ Y.S.Kivshar, B.A.Malomed //Rev. Mod. Phys. -1989. -Vol. 61.-No.4 .-P. 763-915.

86. Parodi F. The critical state and the flux dynamics in squid arrays [Text] / F.Parodi, R.Vaccarone // Physica C-superconductivity and Its Applications. - 1991. Vol. 173. -No.l-2.-P. 56-64.

87. Зеликман M.A. Мейсснеровское состояние в трехмерной упорядоченной джозефсоновской среде [Текст] / М.А.Зеликман, К.А.Поцелуев // ЖТФ. - 2012. - Т.82. - №5. - С.1 - 6.

88. Зеликман М.А. Линейные вихри в трехмерной упорядоченной джозефсоновской среде [Т^кст] / М.А.Зеликман // ЖТФ.- 2005,- Т. -75.- № 1. - С. 37-44.

89. Де Жен П. Сверхпроводимость металлов и сплавов [Текст] / П.Де Жен - М: Мир. 1968.С.279.

90. Маломед Б.А. Резонансное излучение цепочки джозефсоновских вихрей на решетке неоднородностей [Текст] / Б.А.Маломед, И.Л.Серпученко, М.И.Трибельский, А.В.Устинов // Письма в ЖЭТФ.-1988,- Т.47.-№ 10.-С.505-507.

91. Буздин А.И. Особенности проникновения наклонных вихрей в слоистые сверхпроводники [Текст] / А.И.Буздин, А.Ю.Симонов // Письма в ЖЭТФ,-1990.- Т.51.-№ 3.-С.168-171.

92. Губанков В.Н. Пиннинг флуксонов на структуре абрикосовских вихрей в длинном джозефсоновском туннельном переходе [Текст] / В.Н.Губанков, М.П.Лисицкий, И.Л.Серпученко, М.В.Фистуль // Письма в ЖЭТФ.-1993,.-Т.57.- № 8.-С.468-472.

93. Хирный В.Ф. Захват потока и разорванные вихри Абрикосова в керамических иттриевых ВТСП образцах [Текст] / В.Ф.Хирный, А.А.Козловский // ФТТ,-2001.-Т.43.-№12,- С.2117-2120.

94. Балаев Д.А. Гистерезис .магнитосопротивления гранулярных ВТСП как проявление магнитного потока, захваченного сверхпроводящими гранулами, на примере композитов YBCO + СиО [Текст] / Д.А.Балаев, Д.М.Гохфельд,

А.А.Дубровский, С.И.Попков, К.АТШайхутдинов, М.И.Петров // ЖЭТФ.-2007.-Т.132.-№6.- С.1340-1351.

95. Балаев Д.А. Механизм гистерезисного поведениямагнитосопротивления гранулярных ВТСП. Универсальность ширины гистерезиса магнитосопротивления [Текст] / Д.А.Балаев, А.А.Дубровский, К.А.Шайхутдинов, С.И.Попков, Д.М.Гохфельд, Ю.С.Гохфельд, М.И.Петров // ЖЭТФ.-2009.-Т. 135.-№2.-С.271 -279.

96. Мейлихов Е.З. Индуцированная одноосным давлением и (или) магнитным полем анизотропия критического тока в ВТСП-керамиках [Текст] / Е.З.Мейлихов // СФХТ.-1991.- Т.4.- № 12,- С.2297 - 2309.

97. Зеликман М.А. Структура и энергия линейного вихря в трехмерной упорядоченной джозефсоновской среде [Текст] / М.А.Зеликман, К.А.Поцелуев // ЖТФ. - 2013. - Т.83. - №3. - (в печати).

98. Зеликман М.А. Пиннинг линейных вихрей и возможные расстояния между ними [Текст] / М.А.Зеликман // ЖТФ. - 2006 - Т.76. - № 9 - С.65 - 73.

99. Зеликман М.А. Возможные расстояния между линейными вихрями в трехмерной упорядоченной джозефсоновской среде [Текст] / М.А.Зеликман // ЖТФ.-2005-Т.75.-№8-С.7 - 15.

100.Ландау Л.Д. Электродинамика сплошных сред [Текст]/ Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц - М.: Наука, 1982.С.621

101. Зеликман М.А. Проникновение магнитного поля в трехмерную упорядоченную джозефсоновскую среду при очень малых значениях параметра пиннинга [Текст] / М.А.Зеликман // ЖТФ,- 2010,- Т.80,- №11.-С.41-48.