Программы локально-оптимального управления и траектории гелиоцентрических перелетов космического аппарата с солнечным парусом с учетом возмущений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.07.09, кандидат наук Чернякина Ирина Владиславовна

• Чернякина Ирина Владиславовна
• кандидат наук
• 2020

Оглавление диссертации кандидат наук Чернякина Ирина Владиславовна

ВВЕДЕНИЕ

1. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ДАВЛЕНИЯ СОЛНЕЧНОГО СВЕТА ДЛЯ УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЕМ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ

1.1 Физические принципы движения космических аппаратов с солнечным парусом

1.1.1 Описание сил светового давления в рамках корпускулярной и волновой теории света

1.1.2 Ускорение, создаваемое солнечным парусом с учётом коэффициентов поглощения, отражения и прозрачности поверхности паруса

1.1.3 Модель деградации оптических коэффициентов поверхности солнечного паруса

1.2 Космические аппараты, использующие солнечное радиационное излучение для создания маршевого ускорения

1.2.1 Проектные параметры, влияющие на движение солнечного паруса

1.2.2 Конструктивные схемы солнечных парусов

1.2.3 Проекты космических аппаратов с солнечным парусом

1.3 Математические модели гелиоцентрического движения космического аппарата с солнечным парусом

1.3.1 Уравнения управляемого движения космического аппарата с солнечным парусом

1.3.2 Возмущения, действующие на космический аппарат с солнечным парусом при гелиоцентрическом движении

1.3.3 Постановка задачи оптимизации перелётов космического аппарата с солнечным парусом и методы определения программных законов управления движением центра масс

1.4 Выводы по главе

2. ЛОКАЛЬНО-ОПТИМАЛЬНЫЕ ЗАКОНЫ УПРАВЛЕНИЯ

2.1 Модель гелиоцентрического движения космического аппарата с солнечным парусом

2.1.1 Величина и направление ускорения от солнечного паруса

2.1.2 Дифференциальные уравнения изменения Кеплеровых элементов орбиты космического аппарата с солнечным парусом

2.2 Локально-оптимальные законы, обеспечивающие постоянство оскулирующих элементов

2.2.1 Локально-оптимальный закон, обеспечивающий постоянство фокального параметра

2.2.2 Локально-оптимальный закон, обеспечивающий постоянство большой полуоси

2.2.3 Локально-оптимальный закон, обеспечивающий постоянство эксцентриситета

2.2.4 Локально-оптимальный закон, обеспечивающий постоянство радиуса перицентра

2.2.5 Локально-оптимальный закон, обеспечивающий постоянство радиуса апоцентра

2.3 Локально-оптимальные законы, обеспечивающие наибольшую скорость изменения оскулирующих элементов

2.3.1 Локально-оптимальный закон, обеспечивающий наибольшую скорость изменения фокального параметра

2.3.2 Локально-оптимальный закон, обеспечивающий наибольшую скорость изменения эксцентриситета

2.3.3 Локально-оптимальный закон, обеспечивающий наибольшую скорость изменения аргумента перицентра

2.3.4 Локально-оптимальный закон, обеспечивающий наибольшую скорость изменения большой полуоси

2.3.5 Локально-оптимальный закон, обеспечивающий наибольшую скорость изменения радиуса перицентра

2.3.6 Локально-оптимальный закон, обеспечивающий наибольшую скорость изменения радиуса апоцентра

2.4 Изменение программных углов управления парусом с учётом ограничения на температуру поверхности

2.5 Определение оптимальных законов управления с использованием принципа максимума Понтрягина

2.5.1 Необходимые условия оптимальности для задач достижения заданных гелиоцентрических орбит

2.5.2 Условия оптимальности для задачи набора параболической гелиоцентрической скорости

2.6 Выводы по главе

3. ОПТИМАЛЬНОЕ И ЛОКАЛЬНО - ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ДЛЯ МЕЖПЛАНЕТНЫХ ПЕРЕЛЁТОВ

3.1 Процедура оптимизации гелиоцентрических траекторий

3.2 Перелёт к Меркурию

3.3 Перелёт к Венере

3.4 Перелёт к Марсу

3.5 Перелёт к Юпитеру

3.6 Сравнение результатов оптимального и локально-оптимальных управлений

3.7 Выводы по главе

4 ЛОКАЛЬНО - ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ДЛЯ ПЕРЕЛЁТОВ В БЛИЖАЙШУЮ ОКОЛОСОЛНЕЧНУЮ ОКРЕСТНОСТЬ И ВЫХОДА ИЗ СОЛНЕЧНОЙ СИСТЕМЫ

4.1 Перелёт в ближайшую околосолнечную область

4.2 Моделирование набора скорости для выхода из сферы действия Солнца

4.2.1 Перелёт по первой баллистической схеме без использования гравитационных манёвров

4.2.2 Перелёт по второй баллистической схеме с использованием гравитационных манёвров

4.2.3 Сравнение оптимального и локально-оптимального управления

4.3 Выводы по главе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

134

ВВЕДЕНИЕ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Программы локально-оптимального управления и траектории гелиоцентрических перелетов космического аппарата с солнечным парусом с учетом возмущений»

Актуальность темы исследования.

Обзор современных космических исследований, а также программ освоения космоса ведущих мировых космических агентств, позволяет сделать вывод о том, что в ближайшем будущем планируются межпланетные полёты, требующие значительных энергетических затрат. Общеизвестно, что космические аппараты с солнечным парусом (КАСП) используют для изменения траектории движения энергию солнечного светового давления. При этом солнечный парус генерирует ускорение без расхода рабочего тела, и космический аппарат может совершить перелёт ко многим объектам Солнечной системы. В настоящее время солнечный парус является таким способом перемещения в космосе, при котором масса движителя меньше массы полезной нагрузки космического аппарата.

Возможности конкретного КАСП определяются, в первую очередь, его массой, площадью паруса, оптическими характеристиками поверхности (изменяющимися при деградации поверхности паруса), а также ограничениями на температуру поверхности и конструктивными особенностями космического аппарата. Солнечный парус, естественно, наиболее эффективен в ближайшей околосолнечной окрестности, но в этой же области на его движение оказывают влияние специфические факторы: релятивистские эффекты от вращающегося гравитирующего тела (Солнца), протяжённость Солнца как источника излучения, отклонение формы поверхности паруса от плоскости, изменение оптических характеристик паруса, обусловленное деградацией и изменением температуры его поверхности. Поэтому оптимизация гелиоцентрических перелётов КАСП с учётом указанных факторов (возмущений) является актуальной задачей.

Степень разработанности.

Исследованию динамики полёта космических аппаратов с солнечным парусом посвящено большое число работ зарубежных и отечественных учёных. За последние 50 лет динамика полёта КАСП получила значительное развитие. Были теоретически обоснованы возможности полётов с солнечным парусом (Цандер Ф.А., Легостаев В.П., Малышев В.В., Поляхова Е.Н., Усачов В.Е., Friedman L., Johnson L., Kezerashvilii R.Y., McInnes C.R., Sauer JR.C., Tsu T.S., Wright J.) и проведены успешные эксперименты по воздействию на космический аппарат светового давления: Echo-1, Echo-2 (США); Знамя-2 (CCCР). К настоящему времени совершено четыре успешных запуска космических аппаратов с солнечным парусом: миссия к Венере IKAROS (JAXA, японское аэрокосмическое агентство); технологическая низкоорбитальная миссия НАСА

NanoSail D-2 (США); околоземные КА международной неправительственной организации LightSail-1 and LightSail-2 (Planetary Society). Последний аппарат в настоящее время функционирует на околоземной орбите и проводит манёвр увеличения геоцентрической скорости КА. До 2025 г. запланировано ещё три запуска КАСП: для исследования околоземного астероида NEA (NASA), российский студенческий наноспутник Парус -МГТУ, а также крупногабаритный КАСП для исследования Юпитера и троянских астероидов (JAXA).

На данный момент в работах исследователей, посвящённых перелётам КАСП с солнечным парусом, рассмотрены вопросы формирования оптимального управления невозмущённым движением идеально отражающего паруса (Зыков А.В., Казмерчук П.В., Овчинников М.Ю., Тычина П.А., Широбоков М.Г., Endo T., Funase R, Macdonald M., Mori О, Morimoto M., Sawada H, Tsuda Y., Yamamoto T.). В работах (Biddy С., Kezerashvilii R.Y., McInnes C.R., Svitek T.) сформированы модели деградации оптических характеристик поверхности паруса с учётом температуры его поверхности. В работах (Зимин В.Н., Неровный Н.А., Kawakatsu Ja., Kawaguchi J.) проведено моделирование формы поверхности развёрнутого паруса с учётом действующих на него сил.

Однако исследований проблемы оптимальных законов управления с учётом оптических характеристик паруса и ограничения на температуру его поверхности не проводилось.

Объектом исследования является гелиоцентрическое движение космического аппарата с солнечным парусом.

Предметом исследования являются законы управления и траектории движения космического аппарата с солнечным парусом.

Цель исследования.

Целью работы является разработка процедуры определения оптимального управления и траекторий гелиоцентрических перелётов космических аппаратов с солнечным парусом за минимальное время с учётом действующих ограничений и ограничения на температуру поверхности.

Для достижения поставленной цели в данной работе решается совокупность следующих задач:

1. Разработка математических моделей гелиоцентрического движения КАСП с учётом возмущений, вызванных особенностями светогравитационного поля Солнца (отличие гравитационного поля Солнца от классического Ньютоновского, обусловленное релятивистскими эффектами и вращением протяжённого гравитирующего тела; отличие светового потока Солнца от центрального вследствие протяжённости поверхности звезды) и

отражающей поверхности паруса (деградация поверхности паруса вследствие воздействия электромагнитного и корпускулярного излучений и отклонение поверхности паруса от плоскости, обусловленное силовым воздействием на тонкоплёночную поверхность паруса).

2. Разработка процедуры последовательного применения локально-оптимальных законов управления, обеспечивающей формирование заданной гелиоцентрической орбиты космического аппарата с солнечным парусом.

3. Разработка программного обеспечения, позволяющего автоматизировать процесс формирования управления и моделирования движения космического аппарата с солнечным парусом с использованием разработанных моделей его функционирования.

4. Оценка степени неоптимальности полученных результатов на основе сравнения с оптимальными решениями, полученными на базе формализма принципа максимума Понтрягина для математических моделей движения КАСП с идеальным солнечным парусом без учёта возмущений.

Методология и методы исследования: основными методами исследования, используемыми в работе, являются методы небесной механики, методы оптимального управления, методы математического моделирования, методы вычислительной математики.

Область исследования.

Область исследования соответствуют областям исследования, указанным в пункте 1 «Расчёт траекторий движения ЛА и орбит космических аппаратов (КА) по заранее известным данным» и пункте 2 «Баллистическое проектирование управляемых летательных аппаратов и исследование динамики их движения» паспорта специальности 05.07.09 Динамика, баллистика, управление движением летательных аппаратов.

Научная новизна полученных результатов

В диссертационной работе впервые получены следующие результаты:

1. Математическая модель управляемого гелиоцентрического движения космического аппарата с солнечным парусом, имеющим заданные проектные и оптические характеристики, с учётом следующих возмущений:

- деградация поверхности паруса вследствие воздействия электромагнитного и корпускулярного излучения;

- отличие гравитационного поля Солнца от классического Ньютоновского, обусловленное релятивистскими эффектами и вращением протяжённого гравитирующего тела;

- отличие светового потока Солнца от центрального при учёте протяжённости поверхности звезды;

- отклонение поверхности паруса от плоскости, обусловленное силовым воздействием на его тонкоплёночную поверхность.

2. Процедура оптимизации гелиоцентрических траекторий, основанная на обоснованном последовательном использовании локально-оптимальных законов управления, позволяющая формировать программы управления космическим аппаратом с солнечным парусом, обеспечивающие минимальную длительность гелиоцентрических перелётов.

3. Оценка степени неоптимальности программ управления космического аппарата с солнечным парусом, полученных с использованием разработанной процедуры, путём сравнения с решениями, полученными на основе необходимых условий оптимальности (принципа максимума Понтрягина) для математической модели невозмущённого движения при гелиоцентрических перелётах (к планетам земной группы Солнечной системы и Юпитеру; в ближайшую околосолнечную окрестность; выход из Солнечной системы).

Теоретическая значимость.

Разработана математическая модель управляемого гелиоцентрического движения космического аппарата с солнечным парусом, имеющим заданные проектные и оптические характеристики, с учётом действующих возмущений. Разработана процедура оптимизации гелиоцентрических перелётов с обоснованным последовательном использовании локально-оптимальных законов управления для формирования программы управления космическим аппаратом с солнечным парусом, обеспечивающей минимальную длительность гелиоцентрических перелётов.

Практическая значимость.

1. Разработано программное обеспечение, позволяющее автоматизировать процесс формирования управления и моделирования движения космического аппарата с солнечным парусом с использованием разработанных моделей его функционирования.

2. Получены программы управления и баллистические схемы гелиоцентрических перелётов космического аппарата с солнечным парусом с учётом принятых ограничений и возмущений:

- к планетам земной группы и Юпитеру;

- в ближайшую околосолнечную окрестность;

- набор скорости для выхода из Солнечной системы.

Положения, выносимые на защиту:

1. Математическая модель гелиоцентрического движения космического аппарата с солнечным парусом, имеющим заданные оптические характеристики, с учётом следующих возмущений:

- деградация поверхности паруса вследствие воздействия электромагнитного и корпускулярного излучения;

- отличие гравитационного поля Солнца от классического Ньютоновского, обусловленное релятивистскими эффектами и вращением протяжённого гравитирующего тела;

- отличие светового потока Солнца от центрального при учёте протяжённости поверхности звезды;

- отклонение поверхности паруса от плоскости, обусловленное силовым воздействием на его тонкоплёночную поверхность.

2. Процедура оптимизации гелиоцентрических траекторий, основанная на обоснованном последовательном использовании локально-оптимальных законов управления, позволяющая формировать программы управления космическим аппаратом с солнечным парусом, обеспечивающие минимальную длительность гелиоцентрических перелётов, в том числе с учётом гравитационных манёвров у планет Солнечной системы, а также ограничений на температуру поверхности паруса.

3. Программы управления и баллистические схемы гелиоцентрических перелётов космического аппарата с солнечным парусом с учётом принятых ограничений и возмущений:

- к планетам земной группы и Юпитеру;

- в ближайшую околосолнечную окрестность;

- набор скорости для выхода из Солнечной системы.

4. Оценка степени неоптимальности программ управления космического аппарата с солнечным парусом, полученных с использованием разработанной процедуры путём сравнения с решениями, полученными на основе необходимых условий оптимальности (принципа максимума Понтрягина) для математической модели невозмущённого движения при гелиоцентрических перелётах (к планетам земной группы Солнечной системы и Юпитеру; в ближайшую околосолнечную окрестность; выход из Солнечной системы).

Степень достоверности.

Достоверность полученных и излагаемых в работе результатов обусловлена применением известных классических и современных методов теории управления и механики полёта, а также использованием методов моделирования. Сравнение решений, на базе полученных программ управления и на базе принципа максимума Понтрягина, показало близость полученных результатов.

Апробация результатов.

Результаты проведённых исследований обсуждались на конференциях:

1. XX Научно-техническая конференция молодых ученых и специалистов, ОАО «Ракетно-космическая корпорация «Энергия» имени С.П. Королёва», г. Королев, 2014 г.

2. III Научно-техническая конференция молодых специалистов ОАО «ИСС» на тему «Разработка, производство, испытания и эксплуатация космических аппаратов и систем», г. Красноярск, 2014 г.

3. Московская молодёжная научно-практическая конференции «Инновации в авиации и космонавтике - 2015» МАИ, г. Москва, 2015 г.

4. Международная конференция: ICNPAA 2016 Mathematical Problems in Engineering, Aerospace and Sciences, г. Ла-Рошель, 2016 г.

5. Международная конференция: 8th International Conference on Recent Advances in Space Technologies - RAST 2017, г. Стамбул, 2017 г.

6. Международная конференция: 3rd IAA Conference on Dynamics and Control of Space Systems (DYCOSS 2017), г. Москва, 2017 г.

7. Международная научная конференция по механике «VIII Поляховские чтения», Санкт-Петербургский государственный университет, г. Санкт-Петербург, 2018 г.

8. Международная конференция: 9th International Conference on Recent Advances in Space Technologies - RAST 2019, г. Стамбул, 2019 г.

Работа выиграла конкурс проектов 2016 года фундаментальных научных исследований, выполняемых молодыми учёными (Мой первый грант) 16-38-00605 «Методы проектно-баллистической оптимизации межпланетных перелётов космического аппарата с солнечным парусом», организация «Российский фонд фундаментальных исследований».

Личный вклад автора.

Все результаты, вынесенные на защиту, получены самостоятельно. Автором сформированы математические модели, разработаны процедуры формирования программ управления гелиоцентрическими перелётами, проведено моделирование гелиоцентрического движения космического аппарата с солнечным парусом.

Основные публикации по теме диссертации.

По теме диссертационной работы опубликовано 15 научных работ, из них 13 индексируются базами данных Scopus/WOS, одна статья опубликована в издании, входящем в перечень журналов рекомендованных ВАК Минобрнауки России.

На разработанное программное обеспечение получены свидетельства о государственной регистрации:

1. Программный комплекс «Моделирование гелиоцентрического движения космического аппарата с солнечным парусом», патент №2015610268 получен 26.01.2015.

2. Программный комплекс «Моделирование и поиск оптимальных схем перелёта космического аппарата с солнечным парусом», патент №2017662592 получен 20.11.2017.

1. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ДАВЛЕНИЯ СОЛНЕЧНОГО СВЕТА ДЛЯ УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЕМ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ

1.1 Физические принципы движения космических аппаратов с солнечным парусом

1.1.1 Описание сил светового давления в рамках корпускулярной и волновой теории света

Согласно волновой электромагнитной теории света давление, которое оказывает на поверхность тела плоская электромагнитная волна, падающая перпендикулярно этой поверхности, равно плотности электромагнитной энергии (т.е. энергии, заключённой в единице объёма) вблизи поверхности. Эта энергия складывается из энергий падающих и отражённых от тела волн. Световое давление падающих и отражённых волн без учёта диффузного рассеяния и поглощения энергии на площадку, ориентированную нормально к потоку лучей, определяется формулой Максвелла

р =(1, (1.1)

г с

где - мощность солнечной электромагнитной волны, падающей на единицу поверхности, находящейся на гелиоцентрическом расстоянии Г (на орбите Земли составляет 53 = 1366,1 Вт/м2);

р - коэффициент отражения поверхности паруса; с = 299 792 458 м^ - скорость света.

Таким образом, зависимость светового давления от мощности излучения является линейной.

С точки зрения квантовой теории свет есть поток частиц - фотонов, каждый из

которых обладает энергией ку и импульсом ку, где к - постоянная Планка, у - частота

с

световых колебании. Число фотонов, которое попадает на один квадратный метр

т Г

перпендикулярной к потоку фотонов поверхности за одну секунду, равно ь = — .

У

Соответственно суммарный импульс, передаваемый фотонами, равен — = Ьку .

с с

Именно этой величине и равно механическое воздействие фотонов на полностью поглощающую поверхность. Если же поверхность частично отражает свет, то число

отражённых фотонов, уносящих импульс обратного направления, равно Ь =

Ну

в „ Рг ЬНу

В результате поверхность получит дополнительный импульс —- =- , а

с с

Р (1

суммарный импульс за одну секунду, т.е. полное световое давление, составит Рг =■

с

что совпадает с (1.1). Следовательно, независимо от способа описания световой волны полное световое давление в случае идеально-отражающего паруса определяется (1.1).

Однако поверхность паруса не является идеально-отражающей. Поток солнечного излучения, падающий на поверхность паруса, частично отражается, частично рассеивается и частично поглощается веществом паруса. В оптике это соотношение описывается коэффициентами отражения р , рассеивания т и поглощения а . Величина этих коэффициентов зависит от длины волны падающего излучения и температуры поверхности. При этом должно выполняться соотношение, следующее из закона сохранения энергии: р + т + а = 1 . Если предположить, что тело находится в термически сбалансированном состоянии (температура поверхности не меняется с течением времени), то спектральное излучение тела должно быть равно поглощению: е(Я,Т) = а(Л,Т) .

Определяющей оптической характеристикой тела является индекс рефракции, который в поглощающих средах имеет комплексный вид П = п - к. Действительная и мнимая части коэффициента рефракции описывают процессы отражения и поглощения света и называются индексами отражения и поглощения. Эти индексы определяются электропроводностью %, диэлектрической проницаемостью Е , магнитной проницаемостью р и длиной волны воздействующего излучения Я :

2 2 Ер %рЯ п -к =—— пк = —--(12)

Е0Ро ' 2^сЕ0р0 '

где Е0 = 8,85 • 10 12 Ф/м - диэлектрическая проницаемость вакуума, р0 = 1,2566370610 6 Н/А2

- магнитная проницаемость вакуума (магнитная постоянная).

Коэффициент отражения при направлении излучения перпендикулярно поверхности может быть вычислен по формуле Френеля [1]:

р(Я,Т)=(п(ЯТ>-'>2+ к(ЯТ>2. (1.3)

4 ' (п (Я, Т) +1)2 + к(Я,Т )2

Коэффициенты, входящие в индекс рефракции, зависят от свойств и толщины материала, длины волны падающего излучения и температуры поверхности. Например, на рисунках 1.1, 1.2 показаны зависимости составляющих индекса рефракции для трёх наиболее часто использующихся для солнечных парусов материалов - алюминия, серебра и бериллия -для пластинки толщиной 1мкм и температуры поверхности 200 К.

-©- 3,5

-п_Ав -п_Ве

/к

50

100

300

350

400

150 200 250

Длина волны, мкм

Рисунок 1.1 - Действительная часть индекса рефракции (индекс отражения) для алюминия

(Л!), серебра (Ag) и бериллия (Be)

Рисунок 1.2 - Мнимая часть индекса рефракции (индекс поглощения) для алюминия (Л!),

серебра (Ag) и бериллия (Be)

В работе [2] для непрозрачных сред получена зависимость для коэффициента излучения:

4п(Л, Т)

£

(Л, Т ) =

(п(л, т)+1)2 +(Ф, т Г

(14)

Использование классической модели Друде позволяет проанализировать форму зависимости индексов отражения и поглощения от длины волны излучения [3] и температуры в первом приближении

п (Л,Т) = к(Л,Т)

0(Т )Л

Е0 2л с

(15)

где о(Т ) =-О--

v ' 1 + аг(Т-Т)

зависимость удельной электрической проводимости от

температуры.

Согласно (1.3) и (1.4) коэффициенты отражения и излучения зависят от температуры. Выражение (1.3) содержит многочлены одной степени в числителе и знаменателе, и поэтому коэффициент отражения зависит от температуры незначительно:

р(Л Т ) =

2 0 (Т) Л — 2 Е0 2л с у о(Т)Л+1 Е0 2л с

о(Т)Л 2 +2, Е0 2л с у о(Т)Л+1 Е0 2л с

^[Ё^аТ-И + 2 (1 + аТТТ - Т0)) + V о0Л <70Л

Коэффициент излучения согласно (1.4), (1.5) зависит от температуры и увеличивается при её повышении:

4

■(л Т )=■

о(Т )Л Е0 2лс

2-

о

Ео2яс (1 + д(Т - Т0)) Ео2яс(1 + д(Т - Т0)) (17)

ооЛ

ооЛ

Е0 2 лс

Е0 2 лс

Данные теоретические зависимости хорошо согласуются с экспериментальными данными. Например, в [4] показано, что интегральный коэффициент излучения алюминиевой поверхности (полученный экспериментально в диапазоне длин волн от 0,1 до 10 нм) изменяется с увеличением температуры по закону, близкому к линейному

£(Т ) = 7,2-10— + 3,2-10—

Постоянные, входящие в эту аппроксимационную формулу, изменяются с изменением характеристик материала и излучения, но некоторые авторы [4, 5] утверждают, что эта зависимость носит линейный характер.

1.1.2 Ускорение, создаваемое солнечным парусом с учётом коэффициентов поглощения, отражения и прозрачности поверхности паруса

Спектральный диапазон электромагнитного излучения Солнца очень широк - от 119,5 нм (~10,4 эВ) до 5000 нм (0,25 эВ) - с максимумом в оптическом диапазоне (около 500 нм). На рисунке 1.3 представлено распределение спектральной плотности солнечного излучения по данным [5].

2 н Ш

к =

3 >,

о и

о =

0 X

1 о и л н и

0

1

е-

0

4 §

1

л

§

о. н

¡£ и

и

Рисунок 1

Площадь под кривой на рисунке 1.3 равна так называемой солнечной постоянной -мощности солнечной радиации на расстоянии, равном среднему расстоянию от Земли до Солнца, попадающей на площадку один квадратный метр при её нормальной ориентации к лучам - = 1366,1 Вт/м2.

Величина тяги для неидеального солнечного паруса зависит в общем случае от оптических характеристик поверхности, его парусности и расстояния от Солнца [6]

Р = ^ ^ 8 г, 8ь, Бг, Вв >, где £ - фактор спектрального отражения поверхности паруса, описывающий зависимость коэффициента отражения поверхности от длины волны светового потока; 8!, 8Ь - коэффициенты излучения лицевой и задней поверхности паруса;

4 6 8

Энергия солнечного фотона, эВ

.3 - Зависимость спектральной плотности солнечного излучения от энергии

солнечного фотона

Ву, В - неламбертовские коэффициенты лицевой и задней поверхности паруса,

которые описывают угловое распределение испускаемых и диффузно отражённых фотонов. Для лицевой, отражающей поверхности солнечного паруса обычно выбираются

хорошо отражающие алюминий рА1 е(0,88; 0,9) или бериллий рВе1 е(0,95; 0,98). Для задней поверхности паруса выбирается хорошо излучающий хром £с Е (0,63; 0,73) .

Например, оптические коэффициенты для солнечного паруса с высоко отражающей алюминиевой лицевой стороной и сильно излучающей хромированной задней стороной

равны [7]: р = 0,88, д = 0,94, = 0,05, еь = 0,55, Щ = 0,79, В = 0,55.

В плоском случае силу тяги от неидеального паруса можно разложить на

перпендикулярную ( ) и параллельную (Е) поверхности паруса: £

е = 2—8 • соб 0 • (а соб0 + а2), (1.8)

с

8

Е, = • соб0^ а Б1П0, (1.9)

11 с

= 1 (1 + др), «2 = 1 (( (1 -д)р + (1 -р)*'*' I аз = \(1-р), (1.10)

2 2 £ ^ + £и 2

\ 1 ь у

где 0 - угол между направлением на Солнце и нормалью к поверхности паруса, Б - площадь паруса

При этом величина силы тяги может быть вычислена по теореме Пифагора, а угол между направлением нормали к поверхности паруса и величиной силы тяги определяется соотношением:

Щф = ± = аз51"0 =_(1 -дрр 51п0__(111)

Е а!СО80 + а2 (1 + др)соб0 + в (1 -д)р + (1 -р)£В ~£А .

+ £ь

Если не учитывать процессы вторичного излучения и диффузного отражения от поверхности паруса, то формулы (1.8) - (1.11) для тяги от сил светового давления и отклонения направления тяги от нормали к поверхности (рисунок 1.4) могут быть упрощены и представлены в следующем виде:

^8 (0)^ 1 + р2 - 2рсоБ (ж- 20) = ^

Е = ^ 8 (0) ^ 1 + р2 - 2р соб (ж- 20) = ^ 8 соб 0у/1 + р2 + 2р соб 20, (1.12)

(1 -р) б1п 0

Б1П ф=. . (1.13)

•у/1 + р2 + 2рсоБ 20

Рисунок 1.4 - Величина и направление тяги для паруса без учёта диффузного рассеяния

Коэффициент отражения поверхности площадки р зависит от оптических свойств этой поверхности. Если пользоваться моделью геометрического отражения лучей, то есть считать поверхность солнечного паруса идеально гладкой, зеркальной без диффузного отражения, то коэффициент р равен единице. В этом простейшем случае зеркального отражения световое давление на единичную площадку можно определять по формуле:

2£„

р ОТР = .

(114)

Согласно формуле (1.1), для зеркальной поверхности паруса и космического аппарата, движущегося на орбите Земли, световое давление равно рОТР = 9,28 • 10"6 Н/м2. Сила светового давления подчиняется закону обратных квадратов, поскольку энергия излучения Солнца в единицу времени равна энергии, проходящей через последовательность концентрических сфер, охватывающих Солнце, а поверхность сферы радиуса Г равна 4^г2. Именно поэтому рассматриваемые величины мощности светового потока и создаваемого им светового давления изменяются обратно пропорционально квадрату гелиоцентрического расстояния:

Я = &

Г \2

V г У

(115)

где г = 149,6 • 106 км - среднее расстояние от Земли до Солнца.

На основе (1.15) можно определить величины светового давления на орбитах планет Солнечной системы (таблица 1.1).

Таблица 1.1 - Величина светового давления, действующая на идеально чёрный РГП°Ш и

идеально отражающий парус РГ0'ТР, на орбитах планет

с

Планета Рг П0ГЛ Н/м2 РГ0ТР Н/м2

Меркурий 3,1 -10~5 6,2 -105

Венера 8,9 -10~6 1,78 -105

Земля 4,64 -10^ 9,28 -10^

Марс 2,0 -10~6 4,0 -10~6

Юпитер 1,7 -10 7 3,4 -107

Данные таблицы 1.1 показывают, что величина светового давления достаточно мала. Поэтому для использования солнечного паруса в качестве движителя его площадь должна быть достаточно большой. В современных проектах площадь солнечного паруса достигает 10000 м2.

Пусть КА с плоским парусом имеет площадь S и массу m . Конструктивная характеристика паруса, описывающая его «совершенство», называется парусностью и равна

а =S. В англоязычных источниках часто используется обратное к парусности отношение,

m

называющееся поверхностной плотностью или отношением массы к площади.

Если плоскость паруса направлена перпендикулярно лучу света, то тяга, создаваемая световым давлением, равна

S

F = P■ S = (l + p) ^S, (1.16)

c

где

Fn = F™ + F0TP, = ^S, F0TP =p^S. (1.17)

c c

Рассмотрим площадку, ориентированную под углом О к солнечным лучам. Рабочая (текущая) парусность площадки определяется соотношением

S (О) = S cos (О). (1.18)

Угол О будем называть углом установки солнечного паруса. В случае идеально

S

отражающего паруса ( p = 1 , F= FOTP = — S ) тяга F направлена по нормали к

c

S S

поверхности и равна F = 2 —S (О) cosO = 2 —S cos2 О.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Чернякина Ирина Владиславовна, 2020 год

/ / / /

/ /■ / /

МапоБаИ- 1 и§М:5а1 Г ИвМ:5аП-1

С05ГТЮ5-1 А 1КЭГ05 Маян

1990 1995 2000 2005 2010 2015 2020 2025 2030

Дата запуска космического аппарата, год

Рисунок 1.8 - Тенденция увеличения парусности по годам проектирования

Кроме парусности, важными проектными параметрами парусных систем являются соотношения между коэффициентами отражения, пропускания и излучения поверхности. Эти соотношения влияют на величину и направление интегральной силы светового давления и температуру поверхности солнечного паруса.

1.2.2 Конструктивные схемы солнечных парусов

Основная цель при проектировании любой конструкции солнечного паруса - создать как можно большую отражающую поверхность (как правило, это тонкая отражающая плёнка), но при этом свести к минимуму массу конструкции, которая будет поддерживать её. Другие, но не менее важные цели - простота производства и лёгкость раскрытия конструкции солнечного паруса. Плёнка солнечного паруса после раскрытия должна поддерживаться натянутой за счёт тех или иных сил. Эти силы могут быть созданы механически натяжением тросов или штанг, за счёт вращения вокруг центрального тела, за счёт внутреннего давления или за счёт крепления к растягивающему каркасу. Таким образом, можно выделить три основные концепции космических аппаратов с солнечным парусом: каркасная конструкция, роторная конструкция и надувная конструкция (рисунок 1.9).

Роторные Каркасные

Полотно ■

I Однослойные

Лепестковые I

I Коробчатые Гелиоротор I

Рисунок 1.9 - Основные типы конструкций солнечного паруса

Конструкция каркасного типа обычно содержит центральное тело и несколько длинных раздвижных элементов, на которых закреплена плёнка солнечного паруса. Центральное тело, как правило, включает в себя все подсистемы космического аппарата и устройства, которые позволяют развернуть и поддерживать в раскрытом положении каркас. Управление таким космическим аппаратом с солнечным парусом может осуществляться за счёт отражающих рулей, закреплённых к окончаниям каркаса, которые будут создавать управляющий момент. Основные проблемы этой конструкции - сложность развёртывания и упаковки и большая масса по сравнению с парусами роторного типа. Однако набольшее число проектов космических аппаратов с солнечным парусом имеет такую конструкцию.

Роторная (вращающаяся) конструкция обеспечивает раскрытие и сохранение формы паруса за счёт центробежных сил инерции. Солнечный парус этого типа выполнен в виде частей различной формы, закреплённых на центральном теле космического аппарата. Для некоторых роторных аппаратов на концах лопастей солнечного паруса или на тросах растяжках закреплены небольшие грузы, что позволяет увеличить силу инерции. Такая конструкция обеспечивает более низкую массу, по сравнению с каркасной, и, следовательно, более высокую парусность. Преимуществом подобной конструкции также является лёгкость упаковки и раскрытия. Программные развороты подобного паруса могут быть обеспечены управляющими элементами на его поверхности. Эти элементы изменяют свою отражающую способность и таким образом создают управляющий момент.

Надувная конструкция солнечного паруса, форму которой поддерживает небольшое внутреннее давление, представляется наиболее перспективной для достижения большой парусности. Основным недостатком данной конструкции является её уязвимость с точки зрения повреждения поверхности. Кроме того, для функционирования такой конструкции

требуется разработка материалов с управляемыми оптическими свойствами поверхности, технологии производства которых в настоящее время не существует.

1.2.3 Проекты космических аппаратов с солнечным парусом

Проект ODISEE (Orbital Demonstration of an Innovate Solar sail driven Expandable structure Experiment - 2000 г.), космический аппарат Европейского космического агентства и Германского космического агентства. Основными целями данного проекта были исследование возможностей создания космического аппарата с солнечным парусом низкой стоимости, а также возможности управления таким аппаратом за счёт смещения центра масс. Для выведения этого КАСП планировалось использовать ракету-носитель «Ariane 5» [9]. Целью миссии после выведение КАСП на геостационарную орбиту было увеличение большой полуоси в течение 550 дней и затем выход за пределы сферы действия Земли за 360 дней. Космический аппарат представлял собой центральное тело и квадратный солнечный парус 40 х 40 м (рисунок 1.10,а). Материалом для солнечного паруса были выбраны доступный алюминизированный каптон толщиной 7,6 мкм для наружной поверхности паруса и плёнка толщиной 0,015 мкм, покрытая хромом, на внутренней поверхности паруса для контроля температурных воздействий. Полная масса космического аппарата составила 77 кг. Аппарат не был запущен.

Программа Nanosail-D стала кульминацией десятилетнего исследования NASA в области технологии солнечного паруса. В августе 2008 г. NanoSail-D1 был размещён на борту ракеты Falcon-1, которая взорвалась на этапе разделения [10]. NASA приняло решение использовать для повторного запуска технологическую модель космического аппарата (NanoSail-D2), которая была включена в миссию FASTSAT и была успешно выведена на круговую орбиту высотой 650 км в 2010 г. Космический аппарат был спроектирован на базе платформы 3U Cubesat с массой около 4 кг и имел парус размером 10 м четырёхугольной конфигурации (рисунок 1.10, б). Наноспутники NanoSail-D не имели средств активного контроля, поэтому они не были нацелены на использование солнечного паруса в качестве двигательной установки. Предполагаемая краткосрочная миссия была предназначена для того, чтобы продемонстрировать развёртывание паруса и спуск с орбиты за счёт торможения в верхних слоях атмосферы. Космический аппарат попал в атмосферу после 240 дней пребывания на орбите, что в два-три раза превысило ожидаемое время его существования на орбите. Считается, что пассивная стабилизация за счёт атмосферы не была полностью реализована, а солнечный парус развернуло во время снижения орбиты, что уменьшило эффективную площадь аэродинамического сопротивления.

а) б)

Рисунок1.10 - Космические аппараты с солнечным парусом: а) ODISEE, б) Nanosail-D

Космический аппарат «Космос-1» (рисунок 1.11) был сконструирован в НПО имени Лавочкина по заказу Планетарного общества США. Проект «Космос-1» [11, 12] совмещал преимущества роторного и надувного солнечного паруса. Раскрытие вращающихся штанг осуществлялось за счёт подачи в эти части конструкции избыточного давления. Такая

конструкция позволила добиться парусности (отношения площади паруса к массе аппарата)

2 „ 6 м /кг. Размер космического аппарата в сложенном состоянии примерно 1 метр длиной и

100 кг весом. В сложенном виде каждый из восьми лепестков солнечного паруса

представляет собой небольшую упаковку 30 см х 20 см х 20см. Эти восемь упаковок

расположены в двух плоскостях - по четыре в каждой. Развёртывание лепестков происходит

в два этапа: сначала раскрываются четыре лепестка, лежащие в одной плоскости, а затем -

четыре лепестка, лежащие в другой плоскости. Каждый лепесток в развёрнутом виде

представляет собой равнобедренный треугольник, расширяющийся от продольной оси

аппарата к периферии. После развёртывания лепестки образуют разделённую на сектора

окружность диаметром около 30 ми площадью 600 квадратных метров. Основой

конструкции КАСП является приборная платформа, на которой крепится разгонная

двигательная установка, четыре панели солнечных батарей, служебная аппаратура, фото- и

телекамеры, антенны, и - самое главное - блок солнечных парусов.

Рисунок 1.11 - Центральная часть КА Космос-1

Первая попытка запуска космического аппарата «Космос 1» была предпринята 20 июля 2001 г. с борта российской подводной лодки «Борисоглебск» с помощью ракеты-носителя «Волна». В расчётное время аппарат не отделился от ракеты-носителя. Вторая попытка запуска была осуществлена 21 июня 2005 г. Аппарат также был запущен с российской подводной лодки «Борисоглебск» с помощью ракеты-носителя «Волна». Старт снова оказался неудачным - первая ступень двигателя ракеты-носителя самопроизвольно прекратила свою работу на 83 секунде полёта, в результате чего ракета не набрала необходимую для выхода на орбиту скорость и упала в океан.

IKAROS (Interplanetary Kite-craft Accelerated by Radiation Of the Sun) - межпланетный воздушный змей, ускоряемый за счёт солнечного излучения, японского аэрокосмического агентства. Этот космический аппарат [13, 14] в настоящее время является первым и единственным аппаратом (рисунок 1.12 а) с солнечным парусом, успешно совершающим гелиоцентрический перелёт. Целью миссии был пролёт мимо Венеры. IKAROS был запущен 20 мая 2010 г. и считается функционирующим космическим аппаратом по настоящее время. IKAROS вместе с КА исследования атмосферы Венеры Akatsuki был официально включён в состав полезного груза японской ракеты-носителя (РН) H-IIA в декабре 2009 г. как эксперимент, направленный на проверку технологии межпланетных перелётов с помощью солнечного паруса и испытание тонкоплёночных фотоэлектрических преобразователей: развёрнутые в космосе полотнища паруса используются не только для создания тяги, но и для генерации энергии. При старте IKAROS представлял собой цилиндр диаметром 1,6 м и высотой 0,8 м, размещённый внутри адаптера, под зондом Akatsuki. Сухая масса КА IKAROS составляла 290 кг, из которых 13 кг приходится собственно на парус и 2 кг - на четыре концевых груза, а полная масса равна 310 кг. Площадь солнечного паруса равна 184,2 м . Верхняя сторона центрального блока («барабана») КА покрыта традиционными солнечными

батареями (СБ), которые служат основным источником энергии для бортовой аппаратуры, а на боковой стороне барабана размещён сложенный парус и система его раскрытия. Для стабилизации и последующего развёртывания паруса аппарат закручивался после отделения от последней ступени РН. Мембрана паруса изготовлена из полиамидной плёнки толщиной 7,5 мкм с алюминиевым напылением. Четыре трапецеидальных лепестка образуют полотнище квадратной формы с диагональю 20 м, при этом полная масса мембраны составляет всего 1,8 кг. На каждом из лепестков приклеены две полосы из элементов тонкоплёночных СБ, сделанных из аморфного кремния толщиной 25 мкм. Эти СБ являются гибкой многослойной конструкцией. Они занимают всего 5% площади паруса, но способны вырабатывать мощность до 500 Вт. КАСП функционировал по следующему сценарию: выведение КА на опорную орбиту, отстыковка от ракеты-носителя и сброс обтекателя; развёртывание СП в рабочее положение; программное гелиоцентрическое движение КАСП. Все задачи миссии были выполнены, в частности получены видеоизображения процесса развёртывания паруса и фотографии Венеры. В настоящее время КА продолжает функционировать (передаёт телеметрическую информацию) на гелиоцентрической орбите с перигелием в районе орбиты Венеры и афелием на орбите Земли.

LightSail-1 [15, 16] является первым из серии трёх проектов европейского Планетарного общества. Конструкция космического аппарата базируется на основе кубсатов Nanosail-D, но она значительно больше (рисунок 1.12, б). LightSail-1 был запущен 20 мая 2015 г., успешно развернул свой солнечный парус 7 июня 2015 г. и успешно завершил пробный полёт 14 июня 2015 г. Используется квадратный парус со стороной 32 м такой же каркасной конструкции, как в космическом аппарате NASA NanoSail-D2. Целью миссии являлась демонстрация развёртывания солнечного паруса в космосе и его использование для формирования орбиты. Продолжением этого проекта является космический аппарат большего размера (32 x 32 м) LightSail-2, разработанный для демонстрации возможности маневрирования в околоземном пространстве с использованием солнечного паруса. Запуск этого аппарата планируется на декабрь 2019 г. Продолжением этой линейки космических аппаратов будет проект LightSail-3, разработанный для миссии перелёта в точку L1 системы Земля - Солнце [17].

а) б)

Рисунок 1.12 - Космические аппараты: а) Ikaros, б) Lightsail-1

Gossamer-1 (рисунок 1.13, а) является первым из группы проектов Gossamer, часть плана развития движения с солнечным парусом, предложенного Германским космическим агентством (DLR) в сотрудничестве с ESA [18]. Gossamer-1 представляет собой четырёхугольный солнечный парус размером 5 х 5 м каркасного типа. В качестве каркаса используются четыре линзовидных трубки из углеродного волокна. Запуск этого космического аппарата на орбиту высотой 320 км планировался в 2015 г. и был направлен только на демонстрацию стратегии развёртывания парусов большой площади. Данный космический аппарат не был запущен, но разработки группы проектов Gossamer Германским космическим агентством были продолжены. В 2017 г. была завершена разработка миссии Gossamer-2 - квадратного паруса площадью 20 х 20 м на высоту 500 км. Этот солнечный парус имел активную систему управления ориентацией и был предназначен для демонстрации возможностей солнечного паруса по маневрированию в околоземном пространстве. Запуск этого аппарата не состоялся, хотя все наземные испытания были проведены. Через несколько лет (2021 г.) DLR планирует запуск Gossamer-3 - космического аппарата с парусом 50 x 50 м - на среднюю околоземную орбиту для анализа возможности выхода из сферы действия Земли с использованием ускорения за счёт солнечного радиационного давления.

Компания L'Garde (США) разрабатывала проект Sunjammer (рисунок 1.13, б) -солнечный парус площадью 1200 м . Предварительно было запланировано выведение космического аппарата на геостационарную переходную орбиту в качестве вторичной полезной нагрузки [19, 20]. Разработчики Sunjammer (КАСП назван так в честь известного рассказа Артура Кларка) предложили отделить механизм развёртывания после формирования рабочей конфигурации паруса, что позволяет существенно снизить массу космического аппарата и увеличить его парусность. Целью миссии являлось испытание процессов развёртывания, полёта и навигации космического аппарата с солнечным парусом. Планировалось достижение параболической геоцентрической траектории, перелёт КА в

точку либрации L1 системы Земля-Солнце и формирование квазиустойчивой галоорбиты. Предполагалось, что конструкция Sunjammer будет сохраняеть устойчивость за счёт разработанных и произведённых L'Garde четырёх холодо-отверждающихся ферменных конструкций, которые развёртываются за счёт избыточного давления.

Космический аппарат Sunjammer имеет следующие характеристики:

• масса КА 32 кг;

• площадь паруса 1196,39 кв.м.;

• масса полезной нагрузки 16 кг;

• масса собственно солнечного паруса 16 кг.

Ссылаясь на недоверие к возможностям этого подрядчика, NASA отменило миссию в октябре 2014 г.

а)

б)

Рисунок 1.13 - Космические аппараты: a) Gossamer -1,6) Sunjammer

Проект Near-Earth Asteroid Scout (NEA Scout) (рисунок 1.14) финансируется в США Human Exploration центром NASA и Центром управления полётами. Запуск космического аппарата запланирован на 2020 г. для полёта к околоземному астероиду. Околоземные астероиды представляют интерес для науки, в частности, NASA продолжает исследовать возможности изучения этих небольших объектов с помощью человека. NASA предлагает минимизировать риски пилотируемой экспедиции с помощью первоначальной разведки с использованием недорогого роботизированного космического аппарата. Космический аппарат NEA Scout будет запущен в качестве вторичной полезной нагрузки на первый полёт космической системы SLS (Space Launch System). Чтобы измерить физические свойства

околоземного астероида, космический аппарат NEA Scout совершит пролёт около объекта изучения на расстоянии 10 км со скоростью 10-20 м/с.

Проект космического аппарата, базируется на 6U кубсате размерами 10 х 20 х 30 см, массой 14 кг [21]. КА создан в первую очередь на основе использования уже готовых разработок проектов NanoSail-D и LightSail-2. Благодаря использованию солнечного паруса становится возможным перехват нескольких целей в одном окне запуска. Предполагается, что продолжительность миссии к астероиду 1991VG составит от 2,5 до 3 лет.

В окололунном пространстве NEA Scout развернёт панели солнечных батарей и антенну. После гравитационного манёвра у Луны будет развёрнут солнечный парус, и начнётся проверка космического аппарата. Четыре штанги длиной 6,8 м развёрнут цельный солнечный парус из алюминизированного полиамида площадью 86 м и толщиной 2,5 мкм. Время развёртывания полотна паруса составляет 30 минут. Система управления ориентацией солнечного парусного корабля (ACS) состоит из трёх исполнительных подсистем: система управления маховиком, системы управления реактивным движением и регулируемой системы масс-транслятора. Силовая установка холодного газа расположена под солнечным парусом и обеспечивает начальные импульсные манёвры, необходимые для облёта Луны.

Рисунок 1.14 - Космический аппарат Near-Earth Asteroid Scout (NEA Scout)

1.3 Математические модели гелиоцентрического движения космического аппарата с

солнечным парусом

1.3.1 Уравнения управляемого движения космического аппарата с солнечным парусом

Используются следующие математические модели для описания гелиоцентрического движения космического аппарата с солнечным парусом:

RCS

ОСЕ Card

- система дифференциальных уравнений движения КАСП в комбинированной системе координат - для моделирования движения КАСП и небесных тел Солнечной системы;

- система уравнений для описания изменения оскулирующих элементов орбиты КАСП - для выбора программ управления;

- математические модели расчёта оптических характеристик, температуры и деградации поверхности паруса, а также интенсивности солнечного излучения - для расчёта возмущений, действующих на КАСП со стороны окружающего пространства.

Комбинированная система координат (рисунок 1.15) объединяет плоскую полярную систему координат и дополнительные фазовые координаты (наклонение / и долгота восходящего узла О ), описывающие мгновенное положение плоскости орбиты по отношению к плоскости эклиптики. Направление на точку весеннего равноденствия определяет положительное направление оси Х [22].

Рисунок 1.15 - Комбинированная система координат, составляющие скорости и ускорения

Для описания гелиоцентрического движения КАСП используются следующие уравнения:

КА

* = А(х)(а + Г) + В(х)-х,

(126)

Л(х) =

0 0 0 ^ 008/ 8Ш и

0 0

1 0 0 1 00

00

8Ш / У„ 0

V

0

008и

8Ш и 8Ш / У

, В(х) =

V

(0 0 1 0 0 0^

0 0 0 1 0 0 г У

0 0 0 0 0 г

У

0 0 —£ 0 0 0 г

0 0 0 0 0 0 ч0 0 0 0 0 0у

(1.27)

В этих уравнениях х(|)=(г и Уг У9 □ /)Т е X - вектор, описывающий состояние

системы в соответствии с граничными условиями. Он определяется целями миссии и возможными ограничениями; X - набор допустимых состояний системы; I - текущее время; г (I) - гелиоцентрический радиус космического аппарата в полярной системе координат;

а (Д,Д) - ускорение от сил светового давления (Д - угол установки паруса, определяющий

направление проекции ускорения в плоскости орбиты, Д - угол установки паруса,

определяющий отклонение ускорения от плоскости орбиты); f - ускорение от сил отличных от светового давления.

Величина ускорения от сил светового давления и требуемые углы установки паруса определяются в соответствии с оптическими характеристиками поверхности паруса по соотношениям (1.8) - (1.11) [7, 23 - 25].

1.3.2 Возмущения, действующие на космический аппарат с солнечным парусом при

гелиоцентрическом движении

Поскольку сила светового давления обратно пропорциональна квадрату гелиоцентрического расстояния, с наибольшей эффективностью солнечный парус в качестве двигательной установки может использоваться в ближайшей окрестности Солнца. В работах [2, 4, 5, 26, 27] показано, что для выполнения некоторых манёвров солнечный парус должен проходить на расстоянии менее 0,1 а.е. от Солнца. Например, траектория солнечного зонда, рассчитанная в [26], включает серию орбит с перигелиями в четыре солнечных радиуса, который немного меньше 0,02 а.е. Скорость движения в перигелии такой траектории настолько велика, что становятся заметными релятивистские эффекты для окружающей среды вокруг Солнца, в частности, кривизна пространства-времени. Эффекты кривизны пространства-времени в сочетании с принципом стационарности действия при использовании солнечного паруса в связанных гелиоцентрических и некеплеровских орбитах были рассмотрены в [3, 6]. Было показано, что эти эффекты приводят к невыполнению третьего закона Кеплера. Несмотря на то, что солнечный парус на траектории полёта близок

к Солнцу в течение короткого времени, возмущения в его движении в этот период велики, и это может привести к значительным изменениям в траектории уже далеко от Солнца.

Рассмотрим силу, действующую на КАСП со стороны вращающегося притягивающего Солнца с учётом релятивистских эффектов. Геометрия пространства-времени в непосредственной близости от вращающегося Солнца описывается в метрике Керра и может быть задана в сферических координатах (r, в, р( следующим образом [28]:

ds2 = -fc2dt2 - 4GJsin2 в dtdф + — + r2 (de2 + sin2 в dф2) (1 28)

c r f

f = i-2^, (1.29)

c2 r

где t - время, измеренное дистанционным статическим наблюдателем, G - гравитационная постоянная, M = 1.99 х 1030 кг - масса Солнца, c - скорость света, J = (i.9 ± 0.015)х1041 кг/м2 -кинетический момент вращающегося Солнца [6]. Второе слагаемое в метрике (1.28) приводит к смещению системы координат в сторону вращения Солнца. Этот эффект является максимальным для орбит, лежащих в экваториальной плоскости Солнца. Если ввести вектор фазовых координат X = (t, r, в, р(, то можно записать четырёхмерный момент количества

¡i dx

движения солнечного паруса как p = m- , где т - истинное время, измеренное в

dr

системе отсчёта движения солнечного паруса.

В этом случае компоненты ускорения четырёхмерного объекта могут быть записаны в

форме:

✓ = r + ™fF? -fr sm2 в,

Г с г v ' с г

4 GJ

ав = rO + 2rÓ-rún6 eos в ф2 + ——ф ¿sin6>cos6>, (13°)

с г

ар =

(lггф + г2 ф} + 2г eos в в ф

. 2GJ t +

2 2 с г

siné? .

г- 26>cos6> t.

V r

В уравнениях (1.30) t = , и из метрики (1.28) можно найти, как соответствующий

dr

временной интервал связан с временным интервалом инерциальной системы координат

dt dr

f 1 -1/2 1 1 dr i r 1

f -

1

c 2f

dt J c

dф

V dt j J

(131)

В случае, когда сила от давления солнечного света действует исключительно в радиальном направлении (парус расположен перпендикулярно световому потоку), то момент

V

импульса L является постоянным. Однако, поскольку давление солнечной радиации приводит к изменению энергии солнечного паруса, то энергия не является постоянной.

Энергия будет сохраняться только при г = г0. В этом случае из (1.31) следует, что — = 1, а

ёт

угловой момент и энергия паруса могут быть вычислены по зависимостям:

L = vQrQ

f 2 Л"V2 / ~ ~ ч1/2

2 ^ ' 2 2GM L2 г

c--+ — fo

r r2

f"—

fo .2 v c у

, E = c

(1.32)

V 'о 'o J

где fo = f(ro).

В [5] ускорение космического аппарата с солнечным парусом от сил светового давления определяется как:

(l - 77) к cos у cos а + (2г/ -1)к cos2 у cos Ч*

r

а =■

r2

й (2п -l)/?cos2 у sin Л,

ав =--^--, (1.33)

r2

аф =

(2r¡ -l)/?cos2 ^cosO-(l-77)^cos^sin«

r2

Здесь ^ - угол между нормалью к поверхности солнечного паруса n и радиальным направлением, Ф - угол между n и трансверсальным направлением, j - угол между n и направлением солнечной радиации, < - масса единичной площадки солнечного паруса (величина обратная парусности), L5 = 3.842 х 1026 Вт - солнечная светимость, X - угол

между направлением распространения солнечного излучения и радиальным направлением в специальной релятивистской системе координат:

*, (1.34)

2жса

cos^ = (l + tan2 4 + tan2 Л2 )"Ш, (1.35)

^Ф = (1 + cot2 4 + tan2 ^)~1/2, (1.36)

cosj = (l+tan2 (4 +()+tan2 4) 12, (137)

sin( = —. (138)

c

Если в = ж/2 , то космический аппарат с солнечным парусом выполняет плоское движение. В этом случае уравнения (1.30), (1.33) могут быть сведены к виду:

r .. GM . .2 GM ,_!.2 -2 2GJ a = r + —Г ft2- — f V2 - fi-ф2-~гт /фГ = r c r c r

(l - t¡)k cos(^1 + a)cosa + (2^ -1)к cos2(\ + a)cos^

r2

a* = 0.

r 2 (1.39)

аф = (2гф + гф) ? - 20£цг = (Т -со^(Л + ^ - (1 - Т])к ^(л + а>ш а

с2г3 г2

Если не рассматривать изменение релятивистского времени из-за высокой скорости

космического аппарата, то можно допустить = 1. Это означает, что пространство и время

dт

рассматриваются независимо и в уравнениях (1.29), (1.31) все члены порядка 1/ с2 опущены.

Если парус идеально отражает, то т = 1 и уравнения (1.39) можно ещё упростить:

г .. ОМ , .2 ОМ _-Ь2 _ ;2 20^ ^ ■ гсо82Ц+a)cosA

а = г + ом/I2 -'г2 -/гф2-=-Л2 ' ^,

г с г с г г

п

а = 0, (1.40)

аФ = (2ф + ф) - J = Kos!íi^)snA.

2 3 2

c r r

Переходя к нормальной системе дифференциальных уравнений плоского движения и предполагая, что t = 1, получаем

r = Vr,

• GM . GM .^2 V 2GJ к cos2 (^+«)cos^

Vr =--- f + — f Vr + — + — /¥ф+--

r2 c r2 r c r ф r

r

• У,Уф 2GJ к cos2 (^+a)sin \

' ф = ' 2 3 'r+ 2 '

ф r c r r

Система уравнений (1.41) использовалась для моделирования и оптимизации движения КА с солнечным парусом, целью которого является выход из сферы действия Солнца и набор максимального гиперболического избытка скорости. Эти уравнения не могут быть использованы для расчёта перелёта к конкретному небесному телу, потому что оно может находиться далеко от плоскости эклиптики и необходимо рассматривать некомпланарное движение.

В этом случае 0фк12 и (1.33) - (1.38) для идеально отражающего паруса (^ = 1) и

— = 1 будут выглядеть следующим образом: dr

.. им им ! .2 , (Л2 ■ 2п -2\ г ■ ■ 2п

г с г у ' с г г

4GJ . . ксо^уыпД

,2

... ^ р 14 -ч'

гб+ 2г6-г^тб со&6 ф +—¿—гф &т6со&6 =— ,

с г г

.. 2-\ г, А ■ 2GJ(smв . Л ксо$2гсо$Ф

-12 ггф+г ф) + 2гсо?,в в ф+ -г-2всо$в =---

г \ ) с г \ г I г

(1.42)

или в нормальной форме:

/• = V.

г'

2

У , К*т2(Р СМ СМ ! 2 ^ 2(1] 1 ^со82(Д+а)со8Д

• ^

• 2/-1 2 ^ 2 2 ^ г 2 Ъ ^ Я> 2 '

Г Г Б1П2 ^ Г СТ Г ^Г ^ Г

(143)

тэт <9

^ _ ГгГу У/пСО^в | 2(7./^ 1 ^С082 (Д+а)81пД

Г эт^ С2Г3 Г Г2

■ V

Г

■ 2

УгУв 4 СЗУ /гсо^тД

У в - ■ п 2 2 ^иьс .

Г Э1П# ГС Г Г Г

Рассмотрим возмущения, связанные с отклонением формы поверхности паруса. В большинстве работ, посвящённых оптимизации и моделированию движения космического аппарата с солнечным парусом, например [23, 29, 30], солнечный парус принимается за идеальную плоскость. Однако поверхность паруса является тонкой плёнкой, принимающей под действием сил светового давления и инерционных сил форму, существенно отличающуюся от плоскости. В [31] было проведено исследование, которое позволило вывести аналитические выражения для определения формы колебаний (рисунок 1.16) солнечного паруса и оценить их возможное влияние на его движение.

Для решения задачи о колебаниях солнечного паруса вводятся следующие допущения

[32]:

в качестве модели выбрана мембрана, жёстко закреплённая по краям; парус совершает поперечные колебания; колебания паруса считаются малыми;

пренебрегается изменением площади поверхности паруса при колебаниях; сила натяжения равномерно распределена по поверхности паруса; материал паруса считается однородным.

Г

Рисунок 1.16 - Вынужденные колебания треугольного паруса

Пусть солнечный парус находится под действием солнечного давления, направленного параллельно оси Ou. Тягу, создаваемую бесконечно малой площадью поверхности солнечного паруса, можно определить по формуле:

dF = P ( г, р, С, ef ,еь, Bf, B ) cos2 6ds, (1.44)

где P(г,pCef,eb,Bf,BB) - давление солнечного света на траектории движения;

cos2 (0) = cos2 (n, u) - угол между нормалью к поверхности паруса и осью Ou.

Так как парус совершает поперечные колебания, то нормаль к его поверхности

I 9м ди А можно найти как n = ---,--,1

[а*' ду' ]

Угол между нормалью и осью Ou можно определить при помощи скалярного произведения их векторов ( u = |0,0,1} ):

cos

(n,u ) =

n • u

n

д и >0 + f д и Л

дх ) V fy J

ди Л ' ди

— + --

V дх J V дУ

0 +14

\2

+ 1

'ди кдх

2 i ди Л

(145)

dy

1

Подставив (1.45) в (1.44) и проинтегрировав, получим изменение силы тяги из-за изменения формы солнечного паруса:

1

F = P\S

Г fa*

"Л 2

ds.

(146)

д и \дх у

ду

у

1

и

Поверхностный интеграл первого рода можно свести к двойному интегралу, спроецировав поверхность на плоскость хОу:

ёз =

ды дх

2

У

+1 • ёхёу.

С учётом этого выражение (1.46) примет вид:

I т

Р = Р Ц

(дыЫ 2+ (дыЫ^ 2 + 1

1дх 1 1дУ У

0 0

I т

ёхёу = р 11

00

2 (дЫ + —

1дУ у

гёхёу.

(1.47)

+ 1

Подставив выражения для производных и проинтегрировав (1.47), получим численное значение тяги в данный момент времени. Анализ (1.47) показывает, что в условиях упругих колебаний сила светового давления изменяется обратно пропорционально квадрату гелиоцентрического расстояния. Вычисляя интегральную часть (1.47) для каждой конкретной проектной схемы паруса и учитывая, что сила светового давления обратно пропорциональна квадрату номинального значения гелиоцентрического расстояния, можно рассчитать отклонение силы светового давления для всей траектории движения.

Рассмотрим возмущения, связанные с протяжённостью Солнца как источника света. При движении солнечного паруса в непосредственной близости от Солнца для вычисления силы светового давления некорректно считать Солнце точечным источником света. В [26] предлагается модель сил светового давления вблизи поверхности Солнца для двух вариантов солнечной поверхности: диск с равной освещённостью и сферическое тело со светящейся поверхностью.

Уравнение для давления солнечного излучения на плоский, однородный идеально отражающий солнечный парус получают, используя понятие удельной интенсивности

излучения 1( (г, п, ?). Она представляет собой интенсивность электромагнитного излучения в

диапазоне частот ((, ( + проходящей через единичный телесный угол ёЮ, проведённый

в направлении п, через единицу измерения площади dA за единицу времени dt на расстоянии г.

Тензор давления излучения определяется как второй угловой момент удельной интенсивности поля излучения, интегрированного во всём диапазоне частот:

л да

(1.48)

О 4л

В [26] показано, что при использовании допущения, что Солнце является плоским диском с однородной светимостью, выражение (1.49) может быть представлено в виде:

P(r ) = L

3wcR2

i-fi-f R^

= P0 (r )• F (r ),

Po (r )= L

2ncr

(1.49)

F (r ) = f

í ,, л

V RS J

1-

1 -

f R ^

2 Л

3/2 Л

V r J

где ^ - радиус солнечного диска.

R

Выражение (1.49) при —-—> 0 переходит в известное выражение для сил светового

г

давления Р0 (г) совпадающее с (1.1). Функция F(г) описывает отклонение сил светового давления, рассчитанных в предположении, что Солнце - однородно светящийся диск, от результатов, полученных для точечного источника света. Минимальное значение этой функции 2/3 достигается при г = Я3 .

На рисунке 1.17 показана зависимость функции от расстояния, выраженного в солнечных радиусах. Из рисунка 1.17 следует, что для расстояния от Солнца, превышающем десять радиусов солнечного диска, изменением светового давления можно пренебречь.

г. рйинус солнечного лиска Рисунок 1.17 - Функция F(r)

r

2

1.3.3 Постановка задачи оптимизации перелётов космического аппарата с солнечным парусом и методы определения программных законов управления движением центра масс

Для моделирования перелётов к планетам или в околосолнечное пространство введём множество фазовых координат Х0 , которое будет соответствовать начальным условиям перелёта. Тогда в конечный момент времени X набор параметров этого множества будет соответствовать неким целевым параметрам (например, эксцентриситет будет соответствовать эксцентриситету орбиты, выбранной для перелёта планеты).

Требуется определить оптимальную по быстродействию программу управления положением солнечного паруса, обеспечивающую выполнение граничных условий межпланетного перелёта и выполнение ограничений на температуру поверхности паруса при фиксированных проектных параметрах аппарата и начальных значениях оптических параметров поверхности:

Uopt (t) = arg min {tk (u (t) , x (t ))| x (t0 ) = X0 , X (tk ) = Xk ,T ^ Тпред } = "(t )eU v '

(1.50)

f r \

x (t0 )= x0 =

и

V

фЕ

V^E

X (tk )= Xk =

'Pl

и

Pl

V

rPl

V

ФР1

Pl

V^pi J

Задачу набора скорости для покидания сферы действия Солнца можно записать следующим образом: V ^max , tk = fix , т.е. набирается максимальная скорость при фиксированном времени перелёта [33].

Существует три основных метода определения программных законов управления: определение закона управления с применением необходимых условий оптимального управления (принцип максимума Понтрягина), использование локально-оптимальных законов управления параметрами перелёта и кусочно-гладкое (кусочно-постоянное) управление. В данной диссертации для получения закона управления парусом использовались локально-оптимальные законы управления, а для верификации полученных результатов - формализм принципа максимума Понтрягина [34].

1.4 Выводы по главе 1

В первой главе диссертационной работы решены следующие задачи исследования:

Рассмотрены физические аспекты ускорения космического аппарата за счёт радиационного излучения Солнца с учётом реальных оптических характеристик, изменения температуры и деградации поверхности паруса.

Классифицированы современные и перспективные проекты космических аппаратов с солнечным парусом, разработанные ведущими мировыми космическими агентствами.

Разработаны математические модели управляемого движения космического аппарата с неидеально отражающим солнечным парусом под действием солнечного радиационного излучения с учётом возмущений от релятивистских эффектов вблизи вращающегося гравитирующего тела и отклонения солнечного излучения от излучения точечного источника.

2. ЛОКАЛЬНО-ОПТИМАЛЬНЫЕ ЗАКОНЫ УПРАВЛЕНИЯ

2.1 Модель гелиоцентрического движения космического аппарата с солнечным парусом

Движение космического аппарата с солнечным парусом может быть описано различными способами, в том числе дифференциальными уравнениями изменения оскулирующих элементов. Эти элементы описывают изменение некоторой «усреднённой» орбиты, и они не изменяются, если на космический аппарат не действую возмущения или управляющие ускорения. Локально-оптимальным будем называть управление, обеспечивающее наискорейшее изменение одного из оскулирующих элементов. В работе предлагается подход, основанный на использовании последовательности таких локально-оптимальных законов управления. Этот подход не даёт доказательства оптимальности полученных решений (даже необходимости), но позволяет получить решения, достаточно близкие к оптимальному и позволяющие решить задачу на математической модели любой сложности. Данная глава посвящена описанию процедуры формирования таких управлений.

2.1.1 Величина и направление ускорения от солнечного паруса

Для получения локально-оптимальных законов управления предположим, что поверхность паруса плоская, однородная, идеально-отражающая. Тогда ускорение от сил светового давления может быть вычислено по формуле (1.26) или в проекциях на оси гелиоцентрической траекторной системы координат вектор ускорения будет иметь следующие компоненты, составляющие ускорение:

а =

Г аг >

г п £

аф = Р а 2 тг

ф

V ап у

СОБ3 Д СОБ3 Д СОБ3 Д СОБ2 Д БШ Д СОБ2 Д СОБ2 Д Бт Д

л

= а

СОБ3 Д СОБ3 Д ^ СОБ3 Д СОБ2 Д Бт Д СОБ2 Д СОБ2 Д Бт Д

(2.1)

V 2 1 2 у

Траектории межпланетных перелётов с солнечным парусом обычно лежат вблизи плоскости эклиптики.

В этом случае угол Д = 0 и уравнения (2.1) для идеально отражающего паруса принимают вид

а =

Га.^

V а» у

= Р

£

а 2

тг

соб3 Д СОБ2 Д БШ Д 0