Прогнозирование временных рядов с долговременной корреляционной зависимостью тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат технических наук Кричевский, Андрей Михайлович

• Кричевский, Андрей Михайлович
• кандидат технических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат технических наук Кричевский, Андрей Михайлович

Введение.

1 Обзор методов анализа и прогноза временных рядов с долговременной корреляционной зависимостью. Постановка задачи исследования.

1.1 Временные ряды с долговременной корреляционной зависимостью.

1.2 Постановка задачи диссертации.

1.3 Основные результаты раздела.

2 Фрактальный анализ временных рядов.

2.1 Пространственные фрактальные объекты.

2.2 Генерирование фрактальных временных рядов.

2.3 Фрактальная размерность временных рядов.

2.4 Главные компоненты временных рядов.

2.5 Основные результаты раздела.

3 Прогнозирование рядов с долговременной корреляционной зависимостью.

3.1 Параметрические модели временных рядов.

3.2 Методология Бокса-Дженкинса.

3.3 Модель ARFIMA (p,d,q) временного ряда.

3.4 Оценивание параметра d.

3.5 Модель обучения на примерах.

3.6 Минимизация эмпирического и структурного рисков

3.7 Применение нейронных сетей для прогнозирования рядов.

3.8 Основные результаты раздела.

4 Модельные и экспериментальные исследования.

4.1 Моделирование фрактальных шумов.

4.2 Моделирование фрактальных рядов.

4.3 Экспериментальные исследования реальных рядов.

4.4 Основные результаты раздела.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Прогнозирование временных рядов с долговременной корреляционной зависимостью»

Актуальность исследования. Все формальные процедуры прогнозирования предусматривают перенос прошлого опыта в неопределенное будущее. Такие алгоритмы прогнозирования построены на предположении, что условия, породившие полученные ранее данные, неотличимы от условий будущего. Исключение составляют только те переменные, которые точно распознаны моделью прогнозирования. В подавляющем большинстве случаев предположение о неразличимости прошлого и будущего не выполняется в полной мере.

Одним из возможных методов улучшения точности прогнозирования служит применение новых разрабатываемых моделей, способных к более адекватному описанию наблюдаемых данных и получению прогнозных оценок путем экстраполяции. Для построения модели временного ряда не требуются знания ни производства, ни условий, в которых протекает тот или иной процесс. Модель строится только на основе имеющейся числовой информации. Задача аналитика в этом случае заключается в том, чтобы выяснить статистическую закономерность, которой подчиняются отсчеты, образующие временной ряд, и сделать прогноз на будущее, основываясь на этой закономерности.

Процедуры прогнозирования могут классифицироваться как качественные и количественные. На одном полюсе находится чисто качественный аппарат, не требующий явного математического оперирования данными. На другом количественный аппарат, состоящий из процедур, которые на выходе дают числовые оценки прогноза. Отметим, что некоторые количественные алгоритмы требуют значительно более тщательной и изощренной техники обработки данных, чем другие. В данной работе рассматривается количественный подход к получению оценок прогноза как единственно верной отправной точке для эффективного прогнозирования событий.

Зависимость структуры ряда от времени играет ключевую роль при прогнозировании, моделировании и анализе временных рядов различной природы. Несмотря на наличие достаточно простых и хорошо разработанных алгоритмов прогнозирования, основанных, например, на построении «наивных» моделей, процедур сглаживания, регрессионных моделей, существуют временные ряды, которые плохо описываются этими моделями, и требуются более сложные алгоритмы для представления таких временных процессов.

В последние годы появился увеличивающийся интерес к временным рядам, обладающим долговременной положительной корреляционной зависимостью. В английском языке синонимами этого понятия являются такие термины как long memory (долгая память), long-range dependence (долговременная зависимость), strong dependence (сильная зависимость) или persistence (персистентность). Ни у одного из этих терминов еще нет адекватного перевода на русский язык, поэтому в работе такой ряд будем называть рядом с долговременной корреляционной зависимостью (ДКЗ).

В задаче прогноза и анализа временных рядов со сложной структурой часто используются модели класса ARIMA{p,d,q) (авторегрессионные проинтегрированные скользящего среднего -Autoregressive Integrated Moving Average) порядка (p,d,q), которые моделируют различные ситуации, встречающиеся при анализе стационарных и нестационарных рядов. В зависимости от анализируемого ряда модель ARIMA (p,d,q) может трансформироваться к авторегрессионной модели AR(p), модели скользящего среднего MA(q) или смешанной модели ARM A (p,q). При переходе от нестационарного ряда к стационарному, значение параметра d, определяющего порядок разности, принимается равным 0 или 1, т.е. этот параметр имеет только целочисленные значения. Однако из поля зрения исследователей выпадала ситуация, когда параметр d может принимать дробные значения.

Для анализа этой проблемы в работах зарубежных ученых, в первую очередь, C.W.Granger, J.R.Hosking, P.M.Robinson, R. Beran, был предложен новый класс моделей ARFIMA(p,d,q), допускающий возможность нецелого параметра d и получивший название авторегрессионный дробно интегрированный процесс скользящего среднего (Autoregressive Fractional Integrated Moving Average) [52, 57]. Такие ряды обладают своей спецификой: медленно спадающей корреляцией, самоподобием, дробной размерностью. Прогнозирование временных рядов с помощью модели ARFIMA(p,d,q) открывает более широкие перспективы для повышения точности прогноза, что подчеркивает актуальность темы исследования.

Цель диссертационной работы заключается в разработке алгоритмов прогнозирования временных рядов, обладающих долговременной корреляционной зависимостью, и оценке точности прогнозирования.

Для достижения поставленной цели в диссертации решаются следующие основные задачи:

• создание алгоритмов моделирования фрактальных временных рядов с ДКЗ;

• разработка алгоритмов прогнозирования для временных рядов, характеризующихся ДКЗ;

• применение искусственных нейронных сетей для получения прогнозных оценок временного ряда;

• экспериментальные исследования точности прогнозирования реальных временных рядов, обладающих ДКЗ.

Методы исследования. Для решения поставленных задач используются . методы теории вероятностей, корреляционно-спектрального анализа, нейросетевого моделирования, статистической обработки экспериментальных данных.

Основные научные результаты, полученные в диссертационной работе:

1. Разработан алгоритм моделирования фрактальных временных рядов (зарегистрирован в Отраслевом фонде алгоритмов и программ), основанный на методе случайного срединного смещения.

2. Предложен метод идентификации параметров модели ARFIMA(p,d,q) для прогнозирования реальных временных рядов.

3. Получены прогнозные оценки временных рядов с использованием моделей искусственных нейронных сетей;

4. Проведено экспериментальное исследование точности прогноза различными методами на реальных временных рядах.

Степень новизны научных результатов

1. Разработанный алгоритм моделирования фрактальных временных рядов отличается от известных тем, что позволяет создавать ряды по заданным значениям показателя Херста, являющегося в определенной степени классификатором рядов, и необходимой длине исходных данных.

2. Новым в предложенном алгоритме прогнозирования является начальный выбор параметров р и q модели ARMA(p,q) по виду и характеру изменения частной автокорреляционной функции временного ряда и последующая трансформация к модели ARFIMA(p,d,q) с вычислением показателя d.

3. Развитие нейросетевой технологии в задаче прогнозирования, реализованной в работе, заключается в использовании и построении различных конфигураций нейронных сетей, введении этапа тестирования полученной сети, расчете ошибок прогнозирования на обучающей и тестовых выборках.

4. Новизна экспериментальных исследований состоит в комплексном изучении реальных и смоделированных временных рядов, включающем в себя анализ авто- и частной корреляционных функций, спектральной плотности, расчет и вычисление главных компонентов ряда, построение прогнозных оценок ряда и оценку точности прогноза.

Степень обоснованности и достоверности научных результатов

Обоснованность полученных научных положений и выводов подтверждается сопоставлением прогнозных оценок и их точности, полученных посредством различных, рассмотренных в диссертации, моделей: нейросетевой и модели с ДКЗ. Кроме того, модель ARFIMA(p,d,q) позволяет перейти к более простым ситуациям описания временных рядов.

Достоверность научных результатов обосновывается экспериментальным изучением реальных временных рядов, включающим статистическую проверку и построение автокорреляционной функции и спектральной плотности, которые являются основными критериями принадлежности анализируемых данных к модели ARFIMA(p,d,q).

Практическая ценность. Предложенные в работе методы прогнозирования временных рядов, основанные на модели временных рядов с ДКЗ, позволяют увеличить точность прогнозных оценок и достоверность выводов. Такие методы могут быть использованы в различных ситуациях и сферах деятельности, где необходимо получать информацию о будущем поведении систем.

Полученные результаты и разработанные алгоритмы используются в аналитической деятельности инвестиционной компании «Доходъ», учебном процессе ГУАП и Международного банковского института.

Программная разработка «Исследование фрактальных рядов» зарегистрирована в Отраслевом фонде алгоритмов и программ Федерального агентства по образованию.

Положения диссертационной работы, выносимые на защиту:

1. Алгоритм моделирования фрактальных временных рядов, которые обладают долговременной корреляционной зависимостью, отличающийся от известных тем, что позволяет создавать ряды по заданным значениям показателя Херста и необходимой длине ряда.

2. Алгоритм прогнозирования временного ряда по модели ARFIMA(p,d,q), включающий начальный выбор параметров р и q модели ARMA(p,q) по виду и характеру изменения частной автокорреляционной функции временного ряда и последующую трансформацию к модели ARFIMA(p,d,q) с вычислением показателя d.

3. Нейросетевое прогнозирование временных рядов, основанное на построении различных типов нейронных сетей и выборе наиболее пригодной сети по величине погрешности прогноза на обучающей и тестовой выборках.

4. Экспериментальное исследование реальных и смоделированных временных рядов, в частности, анализа авто- и частной корреляционных функций, спектральной плотности, расчета и нахождения главных компонентов, построения прогнозных оценок ряда и оценке точности прогнозирования.

Апробация работы. Результаты отдельных этапов работы докладывались и обсуждались на заседаниях 11, 12 и 14 Международных студенческих школ-семинаров «Новые информационные технологии» (Москва, МИЭМ, 2003, 2004, 2006), 9 и 11 Международных научно-технических конференциях студентов и аспирантов (Москва, МЭИ, 2003, 2005), 4 и 6 Международных научно-практических конференциях «Актуальные проблемы экономики и новые технологии преподавания» (Санкт-Петербург, МБИ, 2005, 2007), 3 Всероссийской научной конференции «Управление и информационные технологии» (Санкт-Петербург, ЛЭТИ, 2005), 3 школы-семинара БИКАМП-01 (Санкт-Петербург, ГУАП, 2001), 8 и 9 научных сессий аспирантов ГУАП (Санкт-Петербург, ГУАП, 2005, 2006).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 15 научных работах.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Кричевский, Андрей Михайлович

Основные результаты, полученные автором в данном разделе, нашли отражение в работах [15,16,23,25,31].

Заключение

На основании проведенного исследования получены следующие результаты:

1. Проанализированы пространственные фрактальные объекты, начиная с простейших геометрических фракталов типа снежинки Коха и салфетки Серпинского, кратко описаны L-системы и системы итерированных функций, с помощью которых можно образовывать фрактальные объекты.

2. Рассмотрены способы генерирования фрактальных временных рядов, включающие как классическое, так и фрактальное броуновские движения, описаны и рассчитаны спектры различных видов фрактальных шумов, предложен метод случайного срединного смещения и выполнена его практическая реализация. Описаны такие виды фрактальной размерности как емкостная, корреляционная, размерность вложения. Подробно проанализирован метод нормированного размаха, позволяющий оценить показатель Херста и величину фрактальной размерности, приведен алгоритм этого метода.

3. Приведены сведения по методу сингулярного спектрального анализа, который дает возможность визуализировать временной ряд в плоскости вычисленных главных компонентов. Описаны основные этапы алгоритма расчета главных компонентов и выдвинуто предположение о возможности классификации временных рядов по виду главных компонентов или собственных векторов.

4. Рассмотрены параметрические модели временных рядов, включая авторегрессионную модель порядка р - AR(p), модель скользящего среднего порядка q - MA(q), смешанную модель порядка (p,q) - ARMA(p,q), а также нестационарный временной ряд в виде авторегрессионной проинтегрированной модели скользящего среднего - ARIMA(p,d,q), где d определяет интегрирования Установлена связь между параметрами автокорреляционной, частной автокорреляционной функциями и свойствами временного ряда, сформулированы практические рекомендации по идентификации временного ряда.

5. Проанализировано свойство долговременной корреляционной зависимости (ДКЗ) во временных рядах, рассмотрены требования к автокорреляционной функции и спектральной плотности, которым должен удовлетворять ряд с таким свойством. Установлено, что временной ряд с ДКЗ описывается классом моделей ARIMA(p,d,q), в котором значение показателя d принадлежит интервалу (-0,5; 0,5), что приводит к появлению модели ARFIMA(p,d,q) (буква F - fractional - означает «дробный).

6. Указаны пути оценки параметра d во временной и частотной областях, проведено их сравнение и выявлено предпочтение второй оценки над первой. Рассмотрены статистики для проверки гипотезы о различии между долговременной и кратковременной зависимостями временного ряда и установлено превосх одство FI/S- анализа над традиционными методами.

7. Рассмотрена модель обучения на примерах, в качестве которых используются экспериментальные данные, предложена оценка качества обучения в виде функционала риска, проанализирован эмпирический риск и указаны принципы его минимизации. Установлен принцип минимизации структурного риска, который уменьшает верхнюю границу ошибки обобщения, проведено сравнение эмпирического и структурного рисков.

8. Выбраны две стратегии минимизации фактического риска и указаны пути их реализации. В качестве первой стратегии, при которой сохраняется фиксированным доверительный интервал и минимизируется эмпирический риск, предложено использовать традиционную многослойную нейронную сеть, а для второй - с сохранением эмпирического риска и минимизации доверительного интервала - применять машину опорных векторов. Оценены основные проблемы, связанные с реализацией первой стратегии.

9. Проведено моделирование фрактальных шумов, используемых в качестве примеров самоподобных процессов. Приведены результаты моделирования коричневого и розового шумов, различающихся степенью зависимости спектра от частоты. Выполнен анализ временных рядов, определяющих эти шумы, и показано, что автокорреляционная функция и спектральная плотность имеют вид, характерный для рядов со свойством ДКЗ. Проведено сравнение временных рядов фрактальных шумов с рядом логистического отображения, приводящим к хаосу, и выявлено кардинальное отличие последнего от рядов с ДКЗ.

10. С помощью разработанного алгоритма метода случайного срединного смещения (этот алгоритм зарегистрирован в Отраслевом фонде алгоритмов и программ) выполнено моделирование фрактальных временных рядов при разных значениях показателя Херста, служащего критерием классификации рядов. Вычислены характеристики смоделированных рядов, в первую очередь, автокорреляционной функции и спектральной плотности и показано, что такие ряды относятся к временным рядам с ДКЗ. Установлено, что значение показателя Херста влияет на поведение ряда с точки зрения его обладания свойством долговременной корреляционной зависимости.

11. Выполнено экспериментальное исследование реальных временных рядов, в качестве которых взяты ежедневные изменения цен акций Аэрофлота, Газпрома, Сбербанка, Сибнефти и Татнефти в период 1.02.01 по 14.09.06 (1400 торговых дней). Осуществлена стандартная процедура проверки принадлежности анализируемых рядов к рядам с долгой памятью посредством вычисления автокорреляционной функции и спектральной плотности и выяснено, что все рассмотренные ряды обладают свойством ДКЗ.

12. Проведена идентификация моделей, пригодных для описания этих рядов, и по виду частной автокорреляционной функции установлено, что первоначальной моделью может служить модель ARFIMA{ 1,0,0), трансформирующаяся к авторегрессионной модели первого порядка AR{ 1). Определен параметр d модели ARFlMA(1,d,Q), которая уточняет первоначальную модель AR{ 1). Выполнен прогноз по этим моделям и вычислены ошибки прогнозирования. Показана возможность прогнозирования временных рядов с использованием искусственных нейронных сетей в виде многослойного персептрона, построена и обучена сеть, получены прогнозные характеристики временного ряда.

13. Проведено сравнение рассмотренных методов прогнозирования по величине ошибки прогноза для всех рядов анализируемых акций и установлено предпочтение модели ARFIMA^, d,0) над другими моделями (авторегрессионной и нейросетевой) в задаче прогнозирования, что повышает достоверность прогноза.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Кричевский, Андрей Михайлович, 2008 год

1. Бокс, Дж. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. Вып.1/Дж. Бокс, Г. Дженкинс. М.: Мир, 1974, 408 с.

2. Большаков, А.А. Методы обработки многомерных данных и временных рядов./А.А.Большаков, Р.Н. Каримов-М.: Горячая линия Телеком, 2007, 522 с.

3. Борисов, В.Д. Метод фрактального анализа временных рядов. / В.Д. Борисов, Г.С. Садовой//Автометрия, 2000, т.6, С. 1019.

4. Боровиков, В.П. Прогнозирование в системе Statistics в среде Windows./В.П. Боровиков, Г.И. Ивченко. М.: Финансы и статистика, 1999, 384 с.

5. Вапник, В.Н. Восстановление зависимостей по эмпирическим данным. / В.Н.Вапник. М.: Физматгиз, 1979,324с.

6. Вапник, В.Н. Теория распознавания образов./ В.Н.Вапник, А.Я.Червоненкис. М.: Наука, 1974, 468с.

7. Витолин, Д. Применение фракталов в машинной графике / Д.Витолин //Сотри1ег\л/ог1с1-Россия.1995, N15.C.11.

8. Голяндина,Н.Э. Метод «Гусеницал-ЭЭА: анализ временных рядов: учебное пособие/ Н.Э.Голяндина. СПб, СПбГУ, 2004, 156 с.

9. Градштейн, И.С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И.М.Градштейн, И.М.Рыжик М.: Физматгиз, 1963, 1100 с.

10. Данилов, Ю.А. Лекции по нелинейной динамике/ Ю.А.Данилов. М.: Постмаркет, 2001, 118 с.

11. Дубовиков,М.М., Размерность минимального покрытия и локальный анализ фрактальных временных рядов/ М.М.

12. Дубовиков,Ф.В. Крянев., Н.В. Старченко // Вестник Росс. Универс. Дружбы народов, сер. «Прикл. и комп. матем.», 2004, т.З, №1, С.30-44.

13. Кричевский, A.M. Прогнозирование временных рядов с использованием искусственных нейронных сетей / A.M. Кричевский // Труды 3-ей школы-семинара БИКАМП-01 / ГУАП. СПб. 2001.

14. Кричевский, A.M. Оценка горизонта прогноза в хаотических временных рядах/A.M. Кричевский//Тезисы докл. 11-ой Межд. школы-семинара «Новые информационные технологии»/М. 2003. С.242.

15. Кричевский, A.M. Реконструкция динамической системы по временному ряду / A.M. Кричевский // Тезисы докл. XII Межд. школы-семинара «Новые информационные технологии» / Моск. Гос. инст. электроники и матем. М. 2004. С. 182-184.

16. Кричевский, A.M. Выбор параметров при реконструкции динамической системы / A.M. Кричевский // Труды 4-ой Межд. науч.-практ. конф. «Актуальные проблемы экономики и новые технологии преподавания» / Межд. Банковский институт. СПб. 2005. С. 199-202.

17. Кричевский, А. М. Оценки размерности хаотических временных рядов / A.M. Кричевский// Восьмая научная сессия ГУАП / ГУАП. СПб. 2005. С.456-458.

18. Кричевский A.M. Реконструкция хаотических временных рядов с использованием нейронных сетей / A.M. Кричевский // Сб. докл. 3-й Всеросс. научн. конф. «Управление и информационные технологии» / СПб. 2005. С.224-229.

19. Кричевский, A.M. Применение главных компонентов для анализа нерегулярных временных рядов / A.M. Кричевский // Тезисы докл. 11-ой Межд. науч.-техн. конф. студ. и асп. / Моск. энерг. инст. М. 2005. С.121.

20. Кричевский, A.M. Главные компоненты как критерии классификации временных рядов / A.M. Кричевский // Тезисыдокл. XIV Межд. школы-семинара «Новые информационные технологии» / Моск. Гос. инст. электроники и матем. М. 2006. С.82-84

21. Кричевский, A.M. Метод опорных векторов в задаче регрессии/A.M. Кричевский// Научная сессия ГУАП / ГУАП. СПб. 2006. С.279-281.

22. Кричевский, A.M. Инструментарий извлечения знаний в управленческих задачах / М.Л. Кричевский, A.M.Кричевский // Известия Межд. Акад. Наук высшей школы. 2006. 3(37). С. 153161.

23. Кричевский, A.M. Генерирование фрактальных временных рядов / A.M. Кричевский // Труды 6-ой Межд. науч.-практ. конф. «Актуальные проблемы экономики и новые технологии преподавания» / Межд. Банковский институт. СПб. 2007. С. 151153.

24. Кричевский, A.M. Свидетельство ' об отраслевой регистрации разработки №7923 «Исследование фрактальных рядов» / A.M. Кричевский // Федеральное агентство по образованию. Отраслевой фонд алгоритмов и программ. / М. 2007.

25. Кричевский, A.M. Анализ и применение моделей временных рядов с долгой памятью / A.M. Кричевский//Науч.-технические ведомости СПб Гос. Политехнического института. 2007. №4. С.137-141.

26. Кроновер, P.M. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории / P.M.Кроновер. М.: Постмаркет. 2000. 352 с.

27. Мандельброт, Б. Фракталы и возрождение теории итераций. /в книге Пайтген Х.-О., Рихтер П.Х. Красота фракталов. М.: Мир,1993. С.131-140.

28. Мандельброт, Б. Фракталы, случай и финансы/ Б.Мандельброт. Москва Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика». 2004. 228 с.

29. Мандельброт, Б. Непослушные рынки / Б.Мандельброт. М.: Издательский Дом «Вильяме». 2006. 462с.

30. Марпл, С.Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения /С.Л. Марпл. М.: Мир.1990. 428с.

31. Осипов, J1.A. Оценка и применение моделей временных рядов в экономических задачах / Л.А.Осипов, A.M. Кричевский// Информационно-управляющие системы, 2007, № 5(30). С.45-51.

32. Оссовский, С. Нейронные сети для обработки информации / С. Оссовский. М.: Финансы и статистика. 2002. 476с.

33. Петере, Э. Хаос и порядок на рынках капитала. Новый аналитический взгляд на циклы, цены и изменчивость рынка / Э.Петере. М.: Мир. 2000. 334с.

34. Слуцкин, Л.Н. Курс МВА по прогнозированию в бизнесе / Л.Н. Слуцкин М.: Альпина Бизнес Букс. 2006. 277с.

35. Уэлстид, С. Фракталы и вейвлеты для сжатия изображений в действии / С. Уэлстид. М.: Триумф. 2003. 320с.

36. Федер, Е. Фракталы / Е. Федер. М.: Мир. 1991. 282с.

37. Хайкин, С. Нейронные сети: полный курс / С.Хайкин. М.:Издательский Дом «Вильяме». 2006. 852с.

38. Ханк, Д.Э. Бизнес-прогнозирование / Д.Э. Ханк, Д.У. Уичерн, А.Дж. Райте. М.: Издательский Дом «Вильяме». 2003. 656с.

39. Червяков, ИМ. Предсказание фрактальных временных рядов с помощью нейронных сетей / Н.И. Червяков, Э.И.Тихонов // Нейрокомпьютеры: разработка, применение. 2003. №10-11. С. 19-24.

40. Шредер, М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая /М. Шредер. Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика». 2005. 528с.

41. Bailtie, R.T. Long memory processes and fractional integration in econometrics / R.T. Baillie // Journal of Econometrics. 1996. 73. P. 5-59.

42. Barnsley, M. Fractals Everywhere / M. Barnsley. Boston. Academic Press. 1988. 462 p.

43. Breidt, F.J. The detection and estimation of long memory in stochastic Volatility / F.J.Breidt, N. Crato, P.Lima// Journal of Econometrics, 1998, 73, P.325-348.

44. Fasset, L.Fundamental of Neural Networks/ L.Fasset. New Jersey, 1994. 576 p.

45. Geweke, J. The estimation and application of long memory time series models / J. Geweke S.Porter-Hudak// Journal of Time Series Analysis, 1983, 4, P.221-238.

46. Granger, C.W. Varieties of long memory models/ C.W. Granger, Z.Ding // Journal of Econometrics, 1996, 73, P.61-77.

47. Granger, C.W. Introductoin to long-memory time series models and fractional differencing/ C.W. Granger, R.Joyeux // Journal of Time Series Analysis. 1980, v.1, P. 15-29.

48. Grassberger, P., Measuring the strangeness of strange attractors / P. Grassberger, I.Procaccia // Physica D, 1983, 9,P.189-208.

49. Gunn, S.R. Support vector machines for classification and regression / S.R.Gunn // Technical Report, University of Southampton, 1998.

50. Hertz, J. Introduction to the Theory of Neural Computation/ J. Hertz, A.Krogh , R.Palmer. Santa Fe. 1996. 328p.

51. Hilborn, R.C. Chaos and Nonlinear Dynamics / R.C.Hilborn. Oxford, University Press. 2000. 582p.

52. Hosking, J.R.M. Fractional differencing / J.R.M.Hosking// Biometrica, 68,1,P.165-176.

53. Lo, A.W. Long-term memory in stock market prices / A.W.Lo// Econometrica, 1991, 59,P. 1279-1313.

54. Muller, B. Neural Networks. An Introduction / B.Muller, J.Reinhart, Strickland M. Berlin: Springer-Verlag. 1995. 340 p.

55. Packard, N.H. Geometry from a time series/ N.H.Packard, J.P.Crutchfield, J.D. Farmer //Physical Review Letters, 1980,45, P.712-716.

56. Peters, E.E. Fractal Market Analysis: Applying Chaos Theory to Investment and Economics / E.E.Peters. N.Y.: J.Wiley & Sons, 1994. 322 p.

57. Robinson, P.M. Long-memory Time Series. / in Times Series with Long Memory. / P.Robinson. Oxford, University Press, 2003, 4-32.

58. Rumelhart, D.E. Learning internal representations by error propagation. / D.E.Rumelhart, G.E.Hinton, R.J.Williams in Parallel Distributed Processing , v.1,chap.8,1986.

59. Smola, A.J. A tutorial on support vector regression / A.J.Smola, B.Scholkopf. NeuroCOLT2 Technical Report Series, 1998.

60. Sprott, J.C. Chaos and Time-Series Analysis/ J.C.Sprott. Oxford, University Press, 2003. 508 p.

61. Takens, F. Detecting strange attractors in turbulence / In "Dynamical Systems and Turbulence" (ed. D.A.Rand, L.S.Young).-New York, Springer, 1981, 366-381.

62. Robinson, P.Times Series with Long Memory. / P.Robinson. Oxford, University Press, 2003. 284 p.

63. Vapnik, V. N. Statistical Learning Theory / V.N. Vapnik. N. Y.: Wiley. 1998. 626 p.

64. Vapnik, V. N. The Nature of Statistical Learning Theory/ V.N. Vapnik. N. Y.: Springer, 2000. 382 p.

65. Samorodnitsky, G. Stable Non-Gaussian Random Processes. G.Samorodnitsky, M. Taggu. N. Y.: Chapman & Hall, 1994. 424 p.

66. Resnick, S.I. Heavy tail modeling and teletraffic data/ S.I.Resnick. //Annals of Statistics, 1997, 25,5, P.1805-1869.

67. Willinger, W. Self-similarity in high-speed packet traffic: analysis and modeling of Ethernet traffic measurements / W.Willinger, M.S.Taqqu, W.E.Lelan. // Statistical Science, 1995, 10, 1, P.67-85.