Прогнозирование остаточного ресурса опорных цапф шаровой мельницы с учетом напряженно-деформированного состояния тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.02.13, кандидат наук Бестужева Ольга Васильевна

• Бестужева Ольга Васильевна
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Бестужева Ольга Васильевна

Введение

Глава 1 Анализ исследований в области эксплуатации шаровых мельниц

1.1 Анализ шаровых мельниц, применяемых на предприятиях строительных материалов

1.2 Виды и назначение цапф и конструктивных элементов мельниц, предъявляемые к ним технические требования

1.3 Анализ причин изменения формы рабочей цилиндрической поверхности цапфы

1.4 Анализ методов прогнозирования остаточного ресурса крупногабаритного оборудования

1.4.1 Концепция прогнозирования остаточного ресурса

1.4.2 Оценка остаточного ресурса по выходным параметрам при их монотонном распределении

1.4.3 Оценка остаточного ресурса по выходным параметрам при их немонотонном изменении

1.5 Цель и задачи исследования

Выводы

Глава 2 Оценка напряженно-деформированного состояния опорных цапф шаровой мельницы

2.1 Математическое описание напряженного состояния опорных цапф под действием силы тяжести и вращения

2.2 Математическое описание напряженно-деформированного состояния опорной цапфы шаровой мельницы от действия температурного поля

2.2.1 Вывод уравнения, описывающего перемещение точек цапфы шаровой мельницы

2.2.2 Определение напряженно-деформированного состояния опорной цапфы шаровой мельницы

2.2.3 Исследование напряжений и деформаций цапфы с учетом температурного поля численным методом

2.3 Определение эквивалентных значений напряжений и деформаций при сложном напряженно-деформированном состоянии опорной цапфы

шаровой мельницы с определением критериев прочности

Выводы

Глава 3 Определение остаточного ресурса опорной цапфы шаровой мельницы

3.1 Характеристика средств измерения

3.2 Методика прогнозирования остаточного ресурса опорной цапфы шаровой мельницы по изменениям расчетных напряжений внешней поверхности цапфы

3.3 Оценка остаточного ресурса опорной цапфы шаровой мельницы по изменению выходных параметров

3.3.1 Получение исходных данных выходных параметров

3.3.2 Подготовка статистических данных

3.3.3 Предварительная обработка полученных статистических данных

3.3.4 Определение остаточного ресурса цапфы шаровой мельницы

3.3.5 Определение уравнения аппроксимации по изменению выходных параметров

3.4 Сравнительный анализ теоретических, статистических и практических

данных

Выводы

Глава 4 Промышленное применение результатов исследования

4.1 Рекомендации по эксплуатации цапфы шаровой мельницы для увеличения срока службы

4.2 Промышленный эксперимент восстановления цилиндричности цапфы шаровой мельницы в условиях эксплуатации

4.2.1. Характеристика оборудования и средств измерения

4.2.2 Оценка точности при восстановлении цапфы шаровой мельницы в условиях эксплуатации

4.2.3 Промышленные испытания на ЗАО «Белгородский цемент»

4.2.4 Технико-экономическое обоснование эффективности

восстановления цапфы в условиях эксплуатации

Выводы

Заключение

Список литературы

Приложения

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Прогнозирование остаточного ресурса опорных цапф шаровой мельницы с учетом напряженно-деформированного состояния»

Введение

Актуальность диссертационного исследования. При производстве строительных материалов в различных отраслях промышленности для измельчения твердых материалов применяют шаровые мельницы. Так при производстве цемента помольное оборудование является основным звеном технологической линии. Значительное динамическое воздействие нагрузки на мельницу приводит к потере работоспособности, что способствует длительным простоям в ремонте. Повышение производительности оборудования достигается либо заменой его более производительным, либо увеличением надежности существующего.

Повышение надежности крупногабаритного оборудования, каковыми, в частности, являются шаровые мельницы, и их долговечности - одна из основных задач промышленного развития. Поэтому важно исследовать природу отказов и неисправностей опорных узлов шаровых мельниц - цапф и установить факторы, определяющие их возникновение. Не менее существенным является и уточнение прочностных расчетов, способствующее назначению рациональных условий работы оборудования, что позволит достигнуть оптимальных конструктивных и эксплуатационных качеств агрегата.

Исследование напряженно-деформированного состояния опорных узлов агрегата позволяет оценить эксплуатационные возможности оборудования и уменьшить число простоев, подготовиться к ремонтному обслуживанию и увеличить межремонтный ресурс.

Вследствие вышеизложенного, актуальность разработки теоретического обоснования повышения эксплуатационной надежности шаровых мельниц с учетом напряженно-деформированного состояния опорных узлов и получение рациональных условий работы оборудования для увеличения срока службы несомненна.

Степень разработанности темы диссертационного исследования.

При работе над диссертацией были изучены коллективные труды и отдельные монографии российских и зарубежных ученых, посвященные теме эксплуатационной надежности оборудования производства строительных материалов. Исследованиями в данной области занимались: Зорин В.А., Севрюгина Н.С., Проников А.С., Карепов В.А., Безверхая Е.В., Чеснокова В.Т., Гетопанов В.Н., Абиев Р.Ш., Струков В.Г. и др. ученые. Исследования в области эксплуатационной надежности шаровых мельниц не проводились.

Представляет интерес разработка моделей, описывающих напряженно-деформированное состояние цапфы шаровой мельницы под действием силы тяжести и температурного поля, а также методик прогнозирования остаточного ресурса.

Объект исследования. Шаровая мельница.

Предмет исследования. Сложное напряженно-деформированное состояние цапфы шаровой мельницы при эксплуатации.

Целью работы является увеличение остаточного ресурса опорных цапф шаровой мельницы за счет изменения сложного напряженно-деформированного состояния и разработка методики, позволяющей его рассчитать без остановки мельницы.

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

1. Произвести анализ состояния эксплуатируемых на предприятиях промышленности строительных материалов шаровых мельниц и методов прогнозирования остаточного ресурса крупногабаритного оборудования.

2. Разработать математическое описание сложного напряженно-деформированного состояния цапфы шаровой мельницы и теоретически исследовать зависимость напряжений и деформаций, возникающих в ее наиболее нагруженных местах.

3. Разработать методику прогнозирования остаточного ресурса опорных цапф шаровой мельницы по изменениям расчетных напряжений, возникающих в ее наиболее нагруженных местах и сопоставить полученные

результаты с результатами, определенными по известной методике и в условиях промышленной эксплуатации мельницы.

4. Разработать рекомендации для увеличения срока эксплуатации опорных цапф шаровой мельницы.

5. Разработать оборудование для восстановления рабочих поверхностей опорных цапф шаровой мельницы и применить его в промышленных условиях.

Соответствие диссертации паспорту научной специальности. Диссертационная работа соответствует паспорту специальности 05.02.13 -«Машины, агрегаты и процессы (строительство и ЖКХ)» по областям исследования: «3. Теоретические и экспериментальные исследования параметров машин и агрегатов и их взаимосвязей при комплексной механизации основных и вспомогательных процессов и операций», «7. Разработка и повышение эффективности методов технического обслуживания, диагностики, ремонтопригодности и технологии ремонта машин и агрегатов в целях обеспечения надежной и безопасной эксплуатации и продления ресурса».

Научная новизна заключается в следующем:

- получено математическое описание напряженно-деформированного состояния цапфы шаровой мельницы от действия температурного поля;

- исследованы зависимости напряжений и деформаций, возникающих на наиболее деформируемой внешней поверхности цапфы, от перепада температур ее внутренней и внешней поверхностей;

- разработана методика прогнозирования остаточного ресурса опорных цапф шаровой мельницы по изменениям расчетных напряжений внешней поверхности цапфы, позволяющая без остановки мельницы адекватно рассчитать остаточный ресурс цапфы, в том числе с момента начала ее эксплуатации, и установить влияющие на его продолжительность параметры.

Теоретическая и практическая значимость работы заключается в разработке математического описания напряженно-деформированного состояния цапфы шаровой мельницы под действием температурного поля, исследованы зависимости напряжений и деформаций, возникающих на наиболее деформируемой внешней поверхности цапфы, от изменения температур ее внутренней и внешней поверхностей. Разработана методика прогнозирования остаточного ресурса опорных цапф шаровой мельницы по изменениям расчетных напряжений внешней поверхности цапфы.

Разработаны рекомендации по эксплуатации цапфы шаровой мельницы для увеличения срока службы.

Разработано патентно-защищенное оборудование для восстановления рабочих поверхностей опорных цапф шаровой мельницы и применить его в промышленных условиях.

Методология и методы исследования основывались на методах эмпирического исследования, теоретического познания, общелогических методах. В процессе исследований применялись методы математического и компьютерного моделирования; математической статистики; метод конечных элементов; метод наименьших квадратов; метод подобия и размерностей; математические и экспериментальные факторные модели.

Автор защищает следующие основные положения:

1. Математическую модель описания сложного напряженно-деформированного состояния цапфы шаровой мельницы с учетом температурного поля.

2. Методику прогнозирования остаточного ресурса опорных цапф шаровой мельницы по изменениям расчетных напряжений внешней поверхности цапфы.

3. Результаты теоретических и экспериментальных исследований в области прогнозирования остаточного ресурса шаровых мельниц.

4. Разработанные рекомендации для увеличения срока эксплуатации опорных цапф шаровой мельницы.

5. Оборудование, обеспечивающее восстановление рабочих поверхностей опорных цапф с необходимой точностью.

Достоверность научных положений и выводов основывается на использовании современных методов и методик расчёта, применении контрольно-измерительного оборудования высокой точности и подтверждается совпадением результатов теоретических и экспериментальных исследований, а также положительными результатами реализации научно-технических разработок в промышленных условиях.

Апробация результатов работы. Основные положения диссертационной работы обсуждались и получили одобрение на: Международной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых учёных «Молодежь и научно-технический прогресс» (г. Губкин, Губкинский филиал БГТУ им. В.Г. Шухова, 2012 г.); Всероссийской научно-практической конференции «Модернизационное развитие современного российского общества» (г. Волгоград, 2012 г.); Международной научно-практической конференции «Техника и технология современных производств» (г. Пенза, ФГУП «НИИ ЭМП», 2014 г.); Международной научно-практической конференции «Наука и технологии: шаг в будущее» (г. Прага, Чехия, 2014 г.); Международной научно-технической конференции «Программа модернизации инженерно-технического обслуживания АПК как основа промышленной и образовательной политики», (г. Москва, ФГБНУ ГОСНИТИ, 2015 г.); Международной научно-практической конференции «Перспективные разработки науки и техники - 2016» (г. Пшемысль, Польша,

2015 г.); Международной научно-практической конференции «Наука и инновации в современных условиях» (г. Екатеринбург, МЦИИ "ОМЕГА",

2016 г.); Х Международной научно-практической конференции «European Scientific Conference» (г. Пенза, МЦНС «Наука и Просвещение», 2018 г.); Международной научно-практической конференции «Наука и высшая школа в инновационной деятельности» (г. Уфа, ООО «Омега Сайнс», 2018 г.); Международной научно-практической конференции «Технические системы и

технологические процессы» (г. Стерлитамак, ООО «Агентство международных исследований», 2018 г.); Международной научно-практической конференции «Теоретические и практические аспекты развития научной мысли в современном мире» (г. Уфа, ООО «Омега Сайнс», 2018 г.); Всероссийской заочной научно-практической конференции «Современные информационные технологии в образовании и научных исследованиях: ИНФОТЕХ-2018» (г. Уфа, РИЦ БашГУ, 2018 г.).

Публикации. По материалам исследований опубликовано 20 научных работ, в том числе 5 - в рецензируемых научных журналах, рекомендованных ВАК, и 1 - в базе данных Scopus, получен 1 патент на полезную модель.

Структура и объем работы: Структура диссертации включает введение, 4 главы, заключение, приложения, список литературы, включающий 135 источников. Общий объем диссертации 170 страница, включая 33 рисунка, 15 таблиц и 30 страниц приложений.

Глава 1 Анализ исследований в области эксплуатации шаровых мельниц

1.1 Анализ шаровых мельниц, применяемых на предприятиях

строительных материалов

В настоящее время в России насчитывается более 60 предприятий цементной промышленности, производственные мощности которых составляют около 80 млн. тонн цемента в год. Российские цементные заводы оснащены и оснащаются новым высокопроизводительным технологическим оборудованием, обеспечивающим выпуск цемента высокого качества [91].

Основным оборудованием для измельчения сырья и клинкера преимущественно служат помольные шаровые мельницы [10]. Измельчение материала происходит внутри полого вращающегося барабана с помощью мелющих тел, в качестве которых используются шары или стержни [111, 112]. В момент вращения барабана, мелющие тела и измельчаемый материал под действием центробежной силы прижимаются к стенкам мельницы, далее, поднявшись на некоторую высоту, они отрываются и падают по параболической кривой [72, 76]. В момент падения часть мелющих тел, расположенных ближе к оси вращения, разбивает куски материала, при этом их часть, скатываясь по стенкам мельницы, производит истирание. В зависимости от скорости вращения мельницы изменяется характер работы мелющих тел [6].

Классификация шаровых мельниц осуществляется по следующим параметрам [55]:

- режим работы - различают мельницы непрерывного и периодического действия;

- способ помола - мельницы мокрого и сухого помола;

- характер работы - мельницы, работающие по замкнутому и открытому циклам;

- форма мелющих тел - стержневая, шаровая и мельница самоизмельчения;

- способ разгрузки - мельницы с пневматической и механической разгрузкой;

- конструкция загрузочного и разгрузочного устройств - мельницы с загрузкой и выгрузкой через полые цапфы, через люк, мельницы с периферийной разгрузкой;

- конструкция привода - мельница с периферийным и центральным приводом.

Широкое распространение при производстве строительных материалов получили мельницы непрерывного действия сухого и мокрого помола, эксплуатирующие в открытом или закрытом цикле [26]. При этом из мельницы сухого помола недоизмельченный материал направляют в сепараторы для распределения на готовый продукт и крупную фракцию, повторно измельчающийся в мельнице [114].

Корпус мельницы (рисунок 1.1) представляет собой горизонтальную трубу, которая вращается вокруг своей продольной оси [27].

Рисунок 1.1 - Шаровая мельница

Вращающийся корпус мельницы защищается изнутри плитами футеровки, которые для цементной промышленности изготавливаются из износостойкого легированного литья [27]. Корпус заполнен мелющими телами, которые при вращении корпуса измельчают материал в результате их соударений и трения (рисунок 1.2) [109].

Рисунок 1.2 - Внутренняя поверхность корпуса мельницы

Шаровые мельницы разных типоразмеров имеют аналогичные устройство и конструкцию основных узлов. На рисунке 1.3 показана характерная цементная мельница с типоразмером 03,2*15 м. Измельчение материала происходит следующим образом (рисунок 1.3). Материал подаётся в загрузочную воронку 1 и шнековую насадку 2, находящуюся в загрузочной цапфе 3, и далее поступает в первую камеру барабана, постепенно продвигающийся к перегородке 4, где через окна 5 попадает в сборник 6 и элеваторами подаётся в сепаратор [57].

В приемник второй секции мельницы 7 поступает определенный в сепараторе недоизмельчённый материал и ссыпается в барабан через элеваторные лопасти 8. Далее с помощью лопастей через направляющий конус 9 направляется во вторую камеру на доизмельчение [111].

Через торцовую решетку 10 выходит готовый материал и через лопасти 11 и конус 12 направляется в разгрузочный трубошнек 13 и далее через патрубок 14 просыпается через окна 15, откуда попадает на сито 16. Затем через патрубок 17 готовый материал отправляют на склад, а по патрубку 18 отводятся раздробленные мелющие тела [112].

Рисунок 1.3 - Схема шаровой мельницы: 1 - воронка; 2 - шнековая насадка; 3 - загрузочная цапфа; 4 - межкамерная перегородка; 5 - окна; 6 - сборник;

7 - приемник; 8 - элеваторные лопасти; 9 - направляющий конус;10 -торцовая решетка; 11 - лопасть; 12 - конус; 13 - разгрузочный трубошнек; 14 - разгрузочный патрубок; 15 - окна; 16 - сито; 17, 18 - патрубки

По данным статистического сборника Федеральной службы государственной статистики «Промышленность. 2015 год» на цементных заводах России в основном используются шаровые мельницы следующих типоразмеров [91]:

1. Мельницы с типоразмером 02,6*13 м с центральным или со смещенным расположением привода, электродвигателем мощностью 1000 кВт и скоростью вращения вала двигателя 1000 мин-1. Мельниц такого типа в нашей стране по официальным данным действует 181 штука. Мельницы работают по открытому циклу и используются при сухом и мокром помоле для тонкого измельчения клинкера и сырья.

2. Мельницы с типоразмером 03*14 м с центральным расположением главного привода. Мельницы мокрого помола служат для измельчения мягкого сырья по открытому или замкнутому циклу, для сырьевых материалов - с подсушкой по замкнутому циклу. Приводной синхронный электродвигатель имеет мощность 1600 кВт и скорость вращения вала 1000 мин-1. Таких мельниц в нашей стране по официальным данным действует 135 штук.

3. Мельницы с типоразмером 03*14 м с центральным расположением привода, электродвигателем мощностью 3150 кВт и скоростью вращения вала двигателя 500 мин-1. Таких мельниц в нашей стране по официальным данным действует 102 штуки. Мельницы предназначены для мокрого помола сырьевых материалов и клинкера с добавками.

4. Мельницы с типоразмером 03,2*15 м с нецентральным (смещенным) расположением главного привода. Мощность приводного электродвигателя -2000 кВт при скорости вращения вала 1000 мин-1. Таких мельниц в нашей стране по официальным данным действует 231 штука. Мельницы мокрого помола работают по открытому или закрытому циклу для измельчения клинкера.

При проведении технического обслуживания шаровых мельниц, установленных на исследуемых цементных заводах, получены следующие результаты основных технических характеристик и количества шаровых мельниц (таблица 1.1).

Как видно из таблицы 1.1, основным оборудования для измельчения цементной промышленности является мельница с типоразмером 03,2*15 м.

Таблица 1.1 - Характеристики шаровых мельниц цементных заводов

№ п/п Типоразмер мельницы, м Масса мельницы, т. Номинальная производительность, т/час (предельные отклонения ±15%) Количество на заводе Наименование цементного завода

1. 02,0x10,5 156 10,2 2 Воронежский филиал «ЕВРОЦЕМЕНТ груп»

240,6 2 АО «Себряковцемент»

17,4 1 ЗАО «Мальцовский портландцемент»

2. 02,2x13,0 224 14,4 3 ОАО «Кузнецкий цементный завод»

18,3 2 ЗАО «Невьянский цементник»

18,6 3 Воронежский филиал «ЕВРОЦЕМЕНТ груп»

18,0 1 ОАО «Щуровский цемент»

25 6 ЗАО «Белгородский цемент»

26,5 6 ЗАО «Мальцовский портландцемент»

20,9 9 ОАО «Кузнецкий цементный

завод»

23,1 17 ОАО "Магнитогорский цементно-огнеупорный завод"

3. 02,6x13,0 253 22,7 9 ЗАО «Михайловцемент»

26,0 6 ОАО «Мордовцемент»

26,2 3 Воронежский филиал «ЕВРОЦЕМЕНТ груп»

25,0 2 ЗАО «Ульяновскцемент»

26,5 3 АО «Новотроицкий цемент»

26,7 7 АО «Себряковцемент»

13,5 6 ОАО «Щуровский цемент»

4. 03,0x8,5 244 425,8 3 ЗАО «Белгородский цемент»

41,2 2 ЗАО «Катавский цемент»

50,0 3 ЗАО «Белгородский цемент»

47,0 5 ОАО «Новотроицкий цементный завод»

5. 03,0x14,0 264 47,5 3 ЗАО «Ульяновскцемент»

48,0 5 ЗАО «Савинский цементный завод"

51,2 4 АО «Себряковцемент»

43,0 2 ООО «Топкинский цемент»

6. 03,2x8,5 235 328,8 2 ЗАО «Мальцовский портландцемент»

264,6 2 АО «Себряковцемент»

55,0 3 ЗАО «Белгородский цемент»

47,0 2 ЗАО «Савинский цементный завод»

7. 03,2x15,0 450 49,1 12 ЗАО «Осколцемент»

48,0 4 ОАО «Мордовцемент»

48,9 18 ООО «Топкинский цемент»

47,8 2 ОАО «Сухоложскцемент»

47,2 1 АО «Себряковцемент»

8. 04,0x13,5 390...530 76,5 3 ЗАО «Мальцовский портландцемент»

73,0 4 ОАО «Щуровский цемент»

75,0 2 ОАО «Сухоложскцемент»

Общее количество исследуемых мельниц 223

Техническое состояние шаровых мельниц, наработка которых составляет 40 лет и более, характеризуется высоким уровнем износа и, в первую очередь, всей механической части опорных узлов вращающихся деталей [91]. В связи со сложным финансовым положением многих компаний из-за мирового финансово-экономического кризиса запуск новых линий приходится откладывать на неопределенный срок и наиболее перспективным является сейчас именно восстановление имеющегося оборудования [107]. Поэтому вопрос восстановления работоспособности технологического оборудования является весьма актуальным.

1.2 Виды и назначение цапф и конструктивных элементов мельниц, предъявляемые к ним технические требования

К основным конструктивным элементам мельницы относятся: барабан, загрузочный и разгрузочный узел, подшипники и привод, который состоит из главного и вспомогательного приводов. Барабан мельницы изготовляют из углеродистой стали, внутренняя поверхность которого облицована футеровочными бронеплитами [10]. С двух сторон он имеет днища с несущими узлами - цапфами, служащими опорой скольжения барабана шаровых мельниц. Предназначение цапфы - передача веса корпуса с мелющими телами и материалом на подшипники, загрузка и выгрузка продукции [28]. Конструкция днища выполняется цельной или сварной. В состав сварных входят фланец и крышка.

Отливаются днища вместе с цапфами типа полого цилиндра. Изготавливают их из конструкционной стали по ГОСТ 977-88 - 25Л, 35Л, 45Л, 55Л с твердостью НВ 129...171. Соотношение диаметра цапфы шаровых мельниц соразмерно от 30 до 40 % диаметра барабана, что соответствует значению в 800... 1800 мм [55].

В таблице 1.2 представлена классификация цапф по размерам. Предъявляемые технические требования к цапфам указаны в таблице 1.3 [6].

Таблица 1.2 - Размеры и конструктивные особенности цапф

№ п/п Типоразмеры мельниц Номинальный диаметр й, мм Предельные отклонения, мм , мкм мм

1. 02x10,5 800 -0,12 -0,24 10 400 370

2. 02,2x13 900 -0,16 -0,32 10 480

-0,18 -0,36 450

3. 02,6x13 1200 0 -0,3 10 800

0 -0,4 760

4. 03x14 1400 -0,21 -0,4 10 840

-0,15 0,39 800

5. 03,2x15 1400 -0,19 -0,41 10 920

6. 04x13,5 1400 -0,21 -0,41 10 1050

-0,2 -0,5 1000

Таблица 1.3- Технические требования, предъявляемые к цапфам

№ п/п Параметр Требование

1. Качество отливки цапфы Соответствие требованиям ТУ завода-изготовителя и ГОСТ 977-88

2. Рабочие поверхности цапфы Наличие дефектов не допускается

3. Необработанные поверхности цапфы Глубина дефектов не допускается свыше 10 мм, их общая площадь менее 50 см2, в количестве не более 3 штук.

4. Биение торцевое относительно оси цапфы Менее 0,3 мм

5. Биение радиальное относительно оси цапфы Менее 0,5 мм

6. Линейные радиусы (неуказанные) 5 мм

7. Уклоны формовочные В соответствии с ГОСТ 3213-80

8. Шероховатость рабочей цилиндрической поверхности цапфы Яа 2,5 мкм.

Загрузочные узлы, представленные на рисунке 1.4, выполнены по одному варианту конструктивной системы. Опорами загрузочных узлов являются вкладыши подшипников. Под действием центробежных сил и тяжести барабана, измельчаемого материала и мелющих шаров создается давление [81].

Загрузочное устройство цапфы выполняется в виде течки и трубошнека (рисунок 1.4а) или в виде конусов (рисунок 1.4б).

/ 2 3

Рисунок 1.4 - Загрузочный узел: а) 1 - течка; 2 - трубошнек; 3 - крышка; б) 1 - течка; 2 - конус; 3 - крышка; 4 - подшипник

Вместе с цапфой отлито и выходное днище - разгрузочный узел корпуса (рисунок 1.5). Для разгрузки мельницы внутри цапфы (рисунок 1.5) имеется трубошнек, который транспортирует измельчаемый материал на разгрузку и предохраняет внутренний корпус цапфы от износа [55, 75, 101].

Рисунок 1.5 - Разгрузочный узел: 1 - крышка; 2 - трубошнек;

3 - разгрузочный патрубок

Проведенный статистический анализ на 18 заводах показал, что количество эксплуатируемых мельниц - 223 штуки, которые включают 446 загрузочных и разгрузочных цапф, требующие ремонта в связи с износом [91, 107].

1.3 Анализ причин изменения формы рабочей цилиндрической

поверхности цапфы

На ряде предприятий для исследования производились обмеры загрузочных и разгрузочных цапф мельниц, которые были остановлены из -за ремонта или находились на складах [34, 101].

Обследование включало в себя определение времени эксплуатации загрузочного или разгрузочного узла, проверку записей в заводских журналах, соблюдение норм эксплуатации, технологических процессов и режимов

обработки при ремонте, химический состав и твердость используемого материала детали.

При нарушении технологического процесса изготовления и эксплуатации цапф мельниц формируются наследственные дефекты, которые определяют повышенный износ цилиндрической поверхности цапф [18]. Вследствие чего цапфы теряют цилиндрическую форму рабочей поверхности и приобретает форму, близкую к усеченному конусу (рисунок 1.6) [15].

Рисунок 1.6 - Износ рабочей поверхности цапфы

Износ цапф шаровых мельниц наблюдается в рабочем состоянии, эксплуатирующихся в непрерывном рабочем режиме, при этом движение измельчаемого материала и мелющих шаров при вращении мельницы и их падение с высоты вызывает смещение на подшипниках скольжения мельницы и общего вектора ее нагрузки [81, 83].

В процессе длительной эксплуатации широко распространенной причиной потери работоспособности цапф шаровых мельниц является отклонение от цилиндрической формы рабочей поверхности (рисунок 1.7) [34]. При этом наблюдаются различные дефекты рабочей поверхности цапфы - задиры, забоины, трещины, риски (рисунок 1.8).

Рисунок 1.7 - Изменение поверхности цапфы

ггве*»-'' ■ Л***!' ~' ' •••

а) б)

Рисунок 1.8 - Дефекты рабочих поверхностей цапфы: а) налипание баббита на поверхность цапфы; б) разрушение подшипника

На искажение цилиндрической поверхности цапф шаровых мельниц влияют множество факторов, которые условно можно классифицировать на 3 группы дефектов:

1. Наследственные дефекты - дефекты, определяемые технологией восстановления при обработке рабочих цилиндрических поверхностей цапф мельниц. Нарушение технологического процесса восстановления приводит к возникновению деформаций поверхностного слоя рабочей поверхности -насыщение материала обрабатываемой поверхности абразивными материалами при ремонте.

2. Конструктивные дефекты - дефекты, зависящие от правильности подбора материалов подшипника и цапфы. При опытно-промышленной эксплуатации доказано оптимальное сочетание ввиду высоких нагрузок мельницы - для подшипника: баббит марки Б-16, Б-63, Б-84 в соответствии с ГОСТ 1320-74; для цапфы: сталь 35Л в соответствии с ГОСТ 977-75. Существенное значение имеет смазка, влияющая на продолжительность работы такой пары.

3. Эксплуатационные дефекты - дефекты, учитывающие подготовку контактного сопряжения вкладыша подшипника и цапфы перед эксплуатацией, периодических диагностик и профилактику обслуживания за счет исключения дефектов контактного сопряжения и ремонтно-сервисного обслуживания шаровых мельниц.

В процессе эксплуатации шаровые мельницы подвергаются воздействию нагрузок, что приводит к износу цапфы, влияющему на появление дефектов на ее рабочей поверхности. Анализируя эксплуатационные и технологические свойства мельниц на заводах ЗАО «Белгородский цемент», ЗАО «Мальцовский портландцемент», ЗАО «Осколцемент», а также на других предприятиях, определены причины выхода из строя цапф мельниц - эксплуатация не представляется возможной при наличии дефектов, которые представлены в таблице 1.4 [79].

Таблица 1.4 - Виды дефектов цапф

Дефект Величина дефекта, мм

Отклонения формы от цилиндричности: 1) для цапф при диаметре 800...1200 мм; 2) для цапф при диаметре 1200...1800 мм. 2,5 5,0

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Бестужева Ольга Васильевна, 2019 год

- ■

% э | 1 ч.

|

| 1 Г (3

к 1

1 ■..

1 I

|

I

¡ь I •ч

1

э. с:

1 1

> |

э. к

а. I Ч>

э, % ■ч

1 •м

I

Л

йи "-1

¿3

Гг. .1-

Ч)

...

— 1

•м

се О. 1

Приложение В

> restart',

> Т-.=

Trl • In | — ) + Tr2 • hi ( -jj

In

R2 Rl

( R2

{r.

Trl In I ~ I + Trl In In

r

R 1

T:=-ч-v 1 y (1)

R2 , Rl

> — + с 2 ■ r + —• Ц ■int(T-i,i = Rl .,r); r r 1 - v

и := ~ +c2r— -1 R2 ^ [a(Hv) Trl to^ ~ \ + R1L Trl (2)

^ ^ v Rl

- Tr2 Rl1 - 2 Trl / in | — | - Trl r- 2 Tr2 r\w \ I + Trl r +c2+ j —--—( R2 ^ (a (1 + v) Rl2 Trl Inf -Ц- | 4-Rl* Trl - Trl Rlz (3)

> dijf (u, r);

-2 Trl / In I — I - Trl f -1 Trl r In [ ~ I + Tr2 f

a (1 +v) I -4 Trl r In ( —1 —4 Tr2r\n{

Rl

. . Гг2 i ___, „,

X ' _I r ) I Rl

4 n 1 t ( R2

> cotlect{diff(u, r), r)',

x a (1 + v) f-2 Trl In ( ^j- J - Trl - 2 Trl In ^ ~ I + Trl

(i-v)m —

a (1 + v) ^ - 4 Trl ln( ) -4 7r2Jnf ^

-V, In I If

a (1 + v) [iRT Trl In | f] | + Rl2 Trl - Trl Rl1)

2 r

> collect^%, Rl);

а ( 1 +v) Tri Inf ^ J + Tri - Tri \ Rl¿

~R2 \ 2

+ 7

<l-v)ln( t(l+v) Í - 2 Tri

+ c2

-ITrl tu f — I - Tri ~ 2 Tr2 In ^-JJ I + Tr2

R2

1 а ( l +v) 1-4 Tri -у- I -4 ThZlnl -jj-

cl

(l-v)blf

1 -2-v ' 2-( 1 + v) '

X:= ■ Gl :=

2 y GÎ

1 -2V

E

2 + 2 V

> q :=

2-Gl-a- ( Î +v) 1 -2-v

П ~

2Ea (1 + v)

(2 + 2 v) (1 — 2 v) > or •■= 2 Gl (4) + + (4) + -y ) -Т| Г;

! (

or :=

2 + 2 v

2 E

c2 +

v \

а ( 1 + v) ^-2Trlln^~ J — Tri — 2 Tr2 In ^ -^j j + Tri 7 '

(5)

(6)

(7)

(8)

а (l + v) [ -4 Гг/lnf —Ï - 4 7V2Ini-f-

\ r j V RÎ

0-v).n(§ | а (1 -+v) [iRl2 Tri In ( Щ- ) + Rlz Tri - Tr2 Rl:

-cl + , 4

+- 2

f

+

(2 +2v) (1 — 2 v)

2 V £

£- + c2

\ \

1

4

a ( 1 +v) [ -2 Tri lnj^ — j - Tri - 2 Tr2 In^ | + Tr2

a ( 1 + v) I -4 Tri InI — 4 7>2 InÍ

Я2

a ( 1 4- v) I 2 ЛГ Tri Inf J + Rl¿ Tri - Tr2RT

'C/+ 4

+

+ c2 r - -7

4

r

cl r

/ (I v) Inf ---

R2 ^ +v) \ 2Rl2m Ц j +Rl2Tri

- Tr2 Rl2 - 2 Tri r2 In Í 1 - Tri r - 2 7>2 1 + Tri r

R2

IE a (1 +v) f Tri Ln f J +Ш In J -jY

(2 +2 v) ( [ -2 v) In

R2 Rl

> Сr :— simpHfyi %) ; 1

or := - -

E \ 2a Rl2\ Tri Inf ~

(-14-2v)ln(f ),2(-l+v2)

- 2 a 2 v 7W Inf ^ j - 2 a/; v 7V2 ln( ^y j - 4 ar2v2 7W In(^ )

— 4 a 2 V2 Tr2 In f ~ j + 4 aRl2 v2 Tri Inf j —aRl2 Tri + aRl2 Tr2 + ar Tri -a r Tr2 - 12 cl toi ~ j V + 8 cl Ц ~ j у - 4 c2 In Í ~ ) ? + aRI2 v Tri

(9)

— a. Rl2 V Tr2 — a r2 v Tri -fa r\ Tri -la2 \ Tri + 2 a r v Tri + 2 a Rl2 \ Tri

-2aRl2\ÍTr2-2aRl2TrI taí^-j + 4c2b(^-} r2

v + 2 a r2 Trl In ( -ty j

+ 2ar2 Tri In^ j - j + 4vVezln

C(p :=

(2 +2v) r

2E { — +c2r~ — r 4

'-(l-v)lnj-ff

— J -MWInj^ —

a {I

+ v) j 2 7W In I y¡ ) + R]1 Trl - Tr2 Rf2 ~ 2 m ? In f -y- \ ~~ Trl 2

(10)

■ 2 Tr2 r2 In f ~ ) + Tr2 r2

(2 +2v) ( 1 —2v)

2 v E

ez + cl

a ( 1 +v) ^ -2 Tri In ^ y- j - Trl - 2 Trl toi j + Trl j

a

(1 -f v) f -4 Trl In f y ) - 4 Tr2 In Í 'R}-

-Й+-

{ a(l +v) (2/г/2гг/1п( Jy) + Rl2 TrJ - Tr2 RJ:

+

+ cl i----

4

r

jçL

r

Л i-vi toi If

Rl

a (1 + v) {2RÍ1 Tri +R/2 Trl

Trl Rl2 - 2 Trl r2ln(f)- Trl r - 2 Tri ¿ In ( yy j + Trl r

J J J

2Ea(l + v) I Tri Inj — ) + Tri In ¡

(2+2v) (I — 2 v) In

R2 Rl

> o<p ■= simplify^ Щ) ;

c<p:=\ --4—-[e ¡2 aRl2 v Tri In ( 1 (11)

4 (-l+2v)ln П

+ 2 ai? v Tri ln(f )+2 a ? v Tr2 Inf -jj j +4ar2v Tri In j + 4 at2 V2 Tr2 111 I j + 4 a ЛУ2 v2 Tri ln [ ] ~ a 7W + a R}2 Tr2 + a ^ Trl — a. r2 Tr2 - 12 cl tnf j V + S ¡ä( ^y- j V2 +4 cl In( ~ j r + a Rl2 v Tri -aRl2v Tr2-arv Tri + a r2 v 7У2 - 2 a r2 v Tri + 2 a r2 v2 Tr2 +2 atf/2 v2 Tri -2aRl2v2Tr2-2aRl2Trl lnf~l -4c21n(4r Ï ¿V-2a.¿Trl Ц^)

/г; ; i /г/

-2 a/'2 Tr2 In f JR¡ I +4vr2e Inf j - 4 V2 r~ ez Inf ^ j + 4 ci In | ^ > œ := mm&ijyí&Ql-m+X- fer+ — +(4) | —ц-гЬ

œ:"--'^w :. 2, lEhH§H^iflv °2)

( - 1 + 2 v) Inj j ( -1 + V )

/г/

a vT/2 Inj' ^ j + a Tri In j

v

+ 2 c2 In f j v2 — a v Tri ln(f I-+ a 7V2 Inf ^rr

l л;

E {-ez+2ezv -ez\2 -2c2v + 2c2v2)

m --i--------L (13)

(-] +2 v) (-1 +v )

( - l + 2 v) ( - 1 + v2) Ш Jf

{e ^-2av27>71n|' —j -2av2 Tri ln

R2 \ \ \ { r J [Ri

RI J

~ä v ты ^ -y- j - fit v m In j ТГ7 ] + a 7W In ^ j + a Tr2 In j

> normal{collect{{\7>), sz))\

E I V2 (14)

R2\ t , . 2ч L I [.Rl J \ Rl

(-l+2v)to^| f-l+v) -2av2rWln(f )-2av2^ln(^)-2,2,n(f)v+2c21n(f )v2

— a v 7W -av + a7W

+ a 7>21n| —7 R1

> us int{az-r, r^RI..R2)-0;

us := - V —-1-(e Í2aRl2v Tri Bftf ■M) (15)

4 (R2\( 2 зл I, \ { Rl J

in I — Ul-v—2v+2v;

+ 4 aRl2\>2 Trl In ^ j 4- Л22 a Tri - R21 a Tr2 + 2 Rl1 ez In

-2 ß/fölni Jy j -4 Я22 a v2 Trl in Í ) - 2 Ä22 a v 7>2 In ( *

+ 2 R22 a v2 Tr2 -2R22a \ Tri + R22 a v Tr2 - R22 a v Trl - 4 Rl2 ez In ( ~

( R2 \ 2

+ 2R12 ¡s\n\Y¡ ) v2 + 4 Л/2 c2 In j v-4tf/2c2ln| ~

+ 4 Д22 c2 In ^ ^y j V2 + 2 R22 a Tr2 In f ^y j - a Я/2 Trl 4- a Rl2 Tr2 + a Rl2 V 7W — aRl2 v Tr2 + 2 aRl2 V2 Trl -2a Rl2\~ Tr2-2aR12 Trl ln( Щ- I 1 I =0

Rl

1 1 t r_ »»2... ~-, , „ „ „,2.Я

4 1 -v3_2V + 2V;'

(£■ {2 aRl2v Trl + 4 aRl2 v" Trl + 2 Rl2 ez — 2 R22 ez (16)

-4R22av~ Tr2 — 2 Ä22 av Tr2-4 Л72 ev + 2 ísv" 4- 4 Й72с2v -4 Äi2 c2 v + 4 R22 ezv - 2 R22 ezv2 ~ 4 R22 c2 v + 4 R22 c2 \>2 4 2 R22 a Tr2 -2 aRl2 Tri ) )

--( E ( R22 a Tri — R21 a Tr2 + 2 R22 a v*2 Tr2

4 (,-v!-2v + 2v3)l„(f )

— 2 R21 a v2 TV/ +Ä#av Tr2 - R? av Tri -aRl2 Tri +aRl2 Tr2 4 aRl2 v Гг/ -aRl2v 7V24-2 aRl2v2 Tri - 2 a Rl2\2 Tri)) =0 > collect{(\6% £z)\ J_ E {-2R22+2R12\2 -4 Rl2y -2 R22 \2 +4 R22 v +2R11) ez 4 I _ v2 _ 2 у + 2 v'

-v2 - 2 v 4 2 v

■ {Е ( 2 a R l2 v TW 4- 4 а Я/2 v TW - 2 aRl2 Tri

AR2lav2 Tr2 -2 Л22 а v Ш +2 Я2г а Tr2 + 4RÍ~c2v-4 Rl2 c2\ - 4 R2l c2 v

+ 4 R2l c2 V2) ) - ---'--(e (r2z a Tri -R21 а Tr2

4 (i ? i ^^ \ R2 ^ 1 — v _ 2 v + 2 v ; ln -—

Rl

4- 2 R22 a y2 Tr2-2RTa\ Tri + R22 a v Tr2 - R22 a v Tri - aRl2 Tri 4-а Rl2 Tr2 + aRl2vTrl ~ aRl2vTr2 +2 a R/2\2 Tri -2 aRl2\~ Тгз)) =0 > solve{us, ez);

Í2 aRlzv Tri Inf 1 + 4 aRl2 v2 Tri InÍ -77" ) + R22 aTrl -R22 aTr2 (18)

лт j i, /г/

- 4 R22 a v2 7г2 In { уу 1 - 2 R22 a v Tr2 ln í | + 2 Rf а v" Г/2 -2 R2T а \ Tri

+ R22 а v Tr2 — R22 а v Tri + 4 Rl2 с2 Ц -|у j V-4 Rl2 Ц -|y j v"

— 4 R22 й2 In ~y j v +4 Ä22 c2 ln( yy ] v2 4- 2 Л22 a Tr2 toi ™y j - а Я/2 Tri + aRl2 Tr2 4 a Rl2 v Tri — a Ä/2 v 7>2 4- 2 а Ä/2 v Tri - 2 aRl2 \2 Tri

— 2 a.Rl2 Tri ln i ) 1 / ílní4r1 Ы2-Я22 - 2 iïT2 v +R12 v + 2 R22 v

— R21 v2

RI \ \ Rl

> ez ■— simplifyi %) ;

ez ■= - y (2 a Rl2 v 7W In Jy j +4 V2 Tri ln yy j + R22 a Tri - R22 a Tr2 (19)

- 4 R22 a v2 Tri Ц yy j - 2 R22 a v Tr2 ln^ — j +2 T?22 а V2 Г/2 - 2 R22 а V'2 Г/-/ 4- R21 о. v 7У2 — TÎ22 а v Tri + 4 Rl2 с2 ln | -yy j v - 4 Rl1 c2 \n\ yy j v2

- 4 R22 c2 In( yy j v + 4 R22 c2 ln( yy J v2 + 2 R22 a Tr2 ln| yy j - aRl2 Tri + a Rl2 Tr2 4- a Rl2 v Tri -aRl2v Tr2 4- 2 a Rl2 Tri -2 aRl2 Tr2 -2 aRl2 Tri ln( Jy 11 / ítoí 4тI1 (Ä/2 - - 2 Rl2 v 4- /?/2 v2 + 2 R22 v

-TÎ2V

> eo/tecil (19), In I

«J . .

? 2

-у (2 аÄT2 v Tri +4aRÍ'v~ Tri-2 aRl2 Tri — AR21 av 7V2-2Ä22 av 7У2 (20)

+ 2 RT a Tr2 + 4 RI2 с2 v -4 RI2 c2 y2 - 4 RT c2 v 4 4 R22 с2 y2) / (Rl2-R22 -2Rll\ + Rl2 v2 + 2 R22\-Rfv) ~ \ (R^a Tri - R22 a Tr2

+ 2 R22 (xv2 Tr2 — 2 R22 a\2 Tri 4 R22 a v Tr2 - R22 av Tri - aRl2 Tri 4-a Rl2 Tr2 4- a Rl2 v Tri-aRlzvTr2 + 2aRl2 \ Trl -2 a Rl2\2 Tr2) / ( (Rl2 - R22- 2 Rl2 v

1 2 1 1 2\ f R?

4- RT v 4 2Ä2'v-Ä2zv ) ln[ yy

ez'v* -

a-( 1 -V-2-V2) -{Tr2-R22-lT\-Rl2) 4 2- v-( i - v)-c2- (Rl2 - R22)

(l — v)2- {Rl2 — R22) a-(-Trl + Tr2) • ( 1 -V-2-V2)

a { -2v: - v 4 l) {R22 Tr2-Rl2 Trl) +2 v ( 1 - v) c2 (Rl2 - R22)

(1 -vf (Rl2-R22)

J_ a (-Trl 4 7>2) (-2 v2 - v 4 l)

2 n v2 ¡f R2

(1-v) к —

(21)

> tier := (13);

(К ;=

(-1 4 2 v) (-1 W)

/ ( E

(1-V)2 [RÎ~-R22)

(a { - 2 v2 — v 4 Í ) (R22 Tr2

\ \

Rl2 Trl) + 2 v (1 - v) c2 {Rl2 — R22) ) 4

1 « ( - Trl 4- Tr2) ( -2 v2 - v 4- 1 )

u-vr.ni

42

a ( - 2 V2 - V 4 1 ) (R22 Tr2 - Rl2 Trl ) 4 2 V ( 1 - v) c2 (Rl2 - R21)

( 1 - v)2 {RI2 — R22)

(22)

J_ a (-Tri 47V-2) (-2 v2 -v 4 l)

2 f , ¿2 ( R2

(1-v) In —

\ t v —

\

a

( -2 v2 - v 4 i) (Д22 Tr2-Rl2 Trl) 4 2 v (1 - v) c2 {R/2 - R22) ( 1 — v )2 ( Rl2 — R22 )

1 a (-Trl 4 Tr2) ( -2 v2 - v 4 1 )

(i-vrHf

Y л

v" - 2 c2 v 4 2 et v

E I -2av Tri Inf — ) -2av2 Tr2 Inf Г

(-l+2v)(-1+v2)l„(f ^ ^ l-'J

— aV JW In(^) -av Tri Inj yy | + ot Tri In í y- j + a 7r2lníyy

> Gl ■—

2- ( i + v) '

Gl := —---(23)

2 +2 v

> Oí simplif}:{ öz) ;

- Tri R22 - 2 R22 Tr2 hi Í yy j (24)

_= _J___1____

2 C-1+V)lti(|y] {Rf-R2>)

-2 Tr i Inf у j Rl2 - Tr2 Rl2 + Rl2 Tri + 2 Rl2 Tri Inf ^ j +2 7V21n(^yy j Rl2

+ 2 Tri In ' — ) R22 - 2 Tr2 In j yy J Д/2 4- Д22 Tr2) E a

> or ■— simplifyi or) ;

er/' := - -л--1-(e{ - a Ä/2 Tri R21 v (25)

4 (_1+v2)r2(„1+v)ln j^n (/г/2_л22} I I

+ a Rl2 Tr2 R? V2 - 2 a r Tri Rl2v~3ar Tri Rl2 v42a/Tri Я22 v -f 3 a ? Tri R22 v2 + 2 a r Tr2 RГ v + 3 a r2 Tr2Rl2 \2 - 2 a r2 Tr2 R22 у - 3 с/ г2 7У2 Ä22 v2 + a R Г2 Tri R21 -fa Rl4 Tri v2 - a Rl2 Tr2 R21 - a Rl4 Tr2 v + ar2 Tri RI2 - a r Tri R22 -ar2 Tr2Rl2 + a 2 Tri R22 - 2 a RI4 Tri In [

'(f)

-4 с/ bí ) V2 Л22 - 4 ,2 lní Ц] r2Rl2 + 4 C21й( j ^ R22 — a Rl4 Tri + aRI4 Tr2 - 4 сЛпí Щ I R21 + 2 a Rl2 Tri In( Щ 1 R22 +2a/î/4 Tri In

{ R2_

Rl J-" ' "" "1 Rl J"~ ' """{ Rl

+ 4 c2111 ( fl ) ?R¡1 ~4c2 M' Rl~ ) ? %'2 Rf+2a * Trl 111 ( ~)Rj2

-2 a2 Tri ~ j R? + 2M 2 Tri In ( yy j Rl2 - 2 a 2 Tri yy j Я22 -2a Rl2 Tri In ^ yy j R22 v2 - 4 v2 f a Rl2 Tri in f -yy j + 4 v2 2 R21 a Tri in f yy j + 4 v r R22 a Tri In ( yy j - 4 v r2 a Rl2 Tri Ц -yy ) - 2 a r Tri In ^ y- j Rl2 \2

+ 2 ar2 Tri In — j RT v3 - 2 a.r Tr2 In yy j Rl2 r Tr2 In yy j R21 \2

Rl

> <J(p "= simplify^Сер);

сг<р := - -!-if Í -а /г/2 7W Я22 V2 (26)

4 (-1 + v2) г2 (-1 -fv) Iní^y) {R12-R12) [

Rl ,

+ aRl2 m R22 v2 + 2 а 2 Tri Rl2 v + a r2 7W Д/2 v2 - 2 а r Tri R22 v

- а Г Tri R22 V2 - 2 (X Г Tr2 Rl2 v — а r2 Tr2 /Í/2 v42a/ Tri Ä22 v + а / 7У2 Ä22 v2 -На Rl2 Tri R22 + aRl4 Tri v2 -aRl2 Tri R22 - а Rl4 Tr2 v4ar Tri Rl2

- а 2 Tri R22 — a r2 Tr2 Rl2 + a r Tr2 R22 — 2 а/î/4 Tri In ^ yy -8c/ ^y j V Rl2 + 8 cl 1ii[^)vä22+4c-/ ln№) S Rl2

- 4 cl Ц yy ) v2 R22 + 4 c2 In ( yy j r Rl2 - 4 c2 In \ yy ) r2Rf-aRl4 Tri + aRl4 Tr2 - 4 cl In ^ yy J Ä22 + 2 ц Rl2 Tri In f yy J R22 + 2 а Rl4 Tri In yy

- 4 6-2 In f -yy j 2 v2 /?/2 + 4 ¿'2 In f yy j 2 v2 /Î22 —2a 2 Tri In ^ j Rl2 + 2 а 2 Tri In ( -y- ) R22 - 2 a 2 Tr2 ln( yy j Rl2 + 2 а r2 Tr2 In yy j Я22

- 2 а Ä/2 Tri In ( j R22 v + 4 v2 r a Rl2 Tri In (^f) -4v2 2 R22 a Tri !n { y

-4vr2R22a Tr2 in ( ^ ) + 4 v r aRl2 Tri In 2 Tri In f ] Rl2 v

-2a 2 Tri In f —■ j R22 v42u r Tr2 In f yy j Rl2 \2 - 2 а 2 Tr2 In ^ yy j R2T v2

+ 4 с/ ln^-yy j Rl2 ~> r '■— Rl;

r :—Rl (27)

"> ul ■= (25)=0;

ul :=-j (f [2 aRl2 Tri R22\ + 2 aRl2 Tri R22 - 2 aRl2 Tri R? v (28)

-2a Rl2 Tri Rl2 \Z — 2 aRl4 Tri v —2 aRl4 Tri v2 + 2 а Rl4 Tr2v+2 a Rl4 Tri v2 -Sei H'^yj VÄ/2+8c/ bi^y) vRl2 + 4cl ln(f ) X2 Rl2

'(f)

4 cl In I Rp~. J v2 R22 - 4 cl In f' yy ) R^ - 4 a R]4 Trl M 4гт I v — 4 a Ä/4 7W In ( -yy j v2 4-4 cl InÍ yy j /?/2 - 4 c2 lní yy ) R!4

+ 4 c2 In ( -yy ) R12 Rl1 + 4 R}2 ^ a Tr2 ln ( YI ) + 4 V R¡1 a T>'2 lr ( tfí + 4c2in(^-j R!4v-4c2\n(fJS)Rl2vR22)y [(-1 +v)i/2{-l

+ v) lní yy] U/3-tf22)j =0

> 2 a /г/ Tri R22 v2 - 2 a Rl2 Tr2 R21 \ -2 <xRl4 Tri X 4- 2 a Rl4 Tr2 v

— 8 cl Inífy) VR12 + Scl lü(-yy ) vRf+4cl Цуу) v Rl1

— 4 In ^ yy j v~R22-2 aRl4vTrl-4 cl Inf yy j Я22

4- 4 v2 Rl2 R22 a Tr2 In ^ yy j + 4 v Я/2 Я22 a Tr2 In \ yy j + 2 a Rl2 v Tri R22

— 2 a Rl2 v 772 Ä22 - 4 c2 In^ yy j +J$ c2 In ^ yy j /г/2 Я22 4 4 с/ In ^ yy j ЯУ2

— 4 aÄ/4 Tri ta(fy) v2+4c21nfyyj/í;4v2-4c21i^|yl Rl2v R2" -4a RI4 v Tri lní yy 1 4-2 a Rl4 v Tr2 = 0;

2 a /гг Tri R21 v 4 2 a /?/2 Tri R22 v2 - 2 a R I2 Tr2 R22 v - 2 a /?/2 7У2 Л22 v2 (29)

R2 Rl

- 2 a /Í/4 Tri v - 2 a /Í/4 Tri \ 4- 2 a £i4 Tr2 v + 2aRl4 Tr2v~ - tel \n{ Rl2

+ 8 с/ In ( f j v R22 + 4 с/ to^ yy j v2 Rl2 — 4 cl lu ^ fj ) v' R22 - 4 c 7 tn ( Щ )r22 - 4 a Rl4 Tri In { Ш 1 v - 4 a Rl4 Tri Ц Jy ) v'

Rl [ Rl

4- 4с/ In|| yy j Rl2 — 4c2 In^yy j Rl4 4- 4 c2 in[ f¡^Rl2R21

+ 4 v2 Rl2 R2L a Tr2 ln i yy ) -f 4v Rl2 R22 a Tr2 In f yy j + 4 c2 In | yy j Rl4 v~

- 4 c2 in j^yy j R12v2 R22 = 0 > collect(%, cl);

(-4ta(f)/^+8h(f )virf+4b(f )«• (30)

-4 toi ~ 1 R22 - 8 lní ~ ) v Rl2) cl 4- 2 a Rl1 Tri R22 v 4- 2 a Ä/2 7W Д22 v2

я/ ; ^

- 2 a Rl2 Tr2 R22 v - 2 a Rl2 Tr2 R21 v¿ - 2 a Rl4 Tri v - 2 a Rl4 Tri v¿

4- 2 a Rl4 Tr2 v 4 2 a Ä/4 Tr2 v2 -4 ¿2 toi yy 1 Д/2 v2 Д22 - 4 a Rl4 Tri ln Í -yy

4 aRl4 Tri ) V2 + 4 V Rl2 R22 a Tri Inf -yy j - 4 c2 Inf -yy j Rl4

+ 4сШ(% ) R11 К? + 4 J RI2 R21 aTr2\x\[j^ j 4 4c21n(-|y) Ä^V^O > coUecti %, с2 ) ;

+

- 4 In I -?f 1 Я22 - 8 Lni 4т 1 V Rl2 ) cl + 2 a Rl2 Tri Rl2 V + 2 a. Rl2 Tri R22 V2

R1 J { Rl

-2a Rl2 Tr2 Rl2 v — 2 а Rl2 Tri Rl2 v2 - 2 aRl4 Tri v - 2 aRl4 Tri v2

+ 2aRl4Trlv +2 aRl4 Trlv -4 aRl4 Tri Цуу ] V -4 aRl4 Tri yy) v2 + 4 v Rl2 R22 a Tr2 In ( ) +4 v2 Rl2 R22 a Tr2 Inf Щ- I = 0

l Rl J l Rl

R2

> ul ••= collec(\ %, ln[ — :

Rl , .

ul \= ( ( - 4 V2 Rl2 R22 —4 Rl4 +4 Rl2 R22 + 4R14 \2) c2: + ( -4 R22 v2 + 8 R22 v 4- 4 Rl2 v2 (32) 4- 4 Rl2 -4 R22 - 8 Rl2 v) cl -4a Rl4 Tri v - 4 aRl4 Tri v44a Rl2 Tr2 R22 v + 4 aRl2 Tr2 R22 V2) In \ yy j - 2 а Rl2 Tr2 R22 V - 2 а Rl2 Tr2 R22 \

+ 2 aRl2 Tri R22v 4- 2 aRl2 Tri R21 v2 4 2 а Rl4 Tr2 v 4- 2 а Д/4 7>2 v2

- 2 a Rl4 Tri V - 2 a Rl4 Tri V2 = 0 "> r := R2;

r := R2 (33)

"> (25) = 0;

- — Í £ Í 6 v2 R24 а 7У2 In f — ) 4 4 v R24 a Tr2 In ( — ) - 4 v R22 а Rl2 Tri Inf — 1 (34) 4 \ V V Rl ) \ Rl ) \ Rl Í

-2aR24 Tr2 v - 3 a R24 Tr2 v - 4 cl Inf yy j R24 v42a R22 Tr2 In f yy j Rl2 -2 aR24 Tr2 In ^ yy j - «Л24 Tri 4 a R24 Tr2 4 4 c2 In ( ^ ) R24 -2 aRl2 Tri R22 v — 4 aRl2 Tri Rl2\2 +2 aRl2 Tr2 R22 v 4 4 aRl2 Tri R21 v2 + 2 aRl2 Tri R22 4 а Rl4 Tri V2 -2 aRl2 Tr2 R22 - aRl4 Tri v2

- 2 а Л74 Tr7 In ( ^y j - 8 cl In f yy j v Ä/2 + 8 cl In \ -yy j v Л22 4-4 cl Inf -jj 1 v2 /Í/2 - 4 сУ In f yy ) v2 Ä22 - а Я/4 Tri 4 а Rl4 Tr2

4 cl Inf 4т ) R22 + 2 a Rl2 Tri loi Щ- ) R22 4- 2 aRl4 Tri lnf 44 I v"

Rl) \R1 ) \R1

- 6 aRl2 Tri Iri ( -yy j R22 y2 + 4 cl ^(Yf)R,2~4cnn{W)R,2R22

- 2 V2 RÍ-R22 a Tr2 yy j + 4 c2 toi yy j RI2 v2 Я22 -f 2 aR24 Tri v

> ы2 := simplifyi ( %) ) ;

u2 := - y j E f 6 V2 R24 a Tr2 In | yy j +4 V R24 a Tr2 yy j (35)

- 4 v R22 a Rl2 Tri In ( yy j - 2 в /?24 7У2 v - 3 a Я24 Tr2 v2 - 4 c2 ln ^ y2 j /?24 v2 + 2 aRl2 Tr2 Inf yy] Rl2 -2 a R24 Tri In j'yy j - a.R24 Tri +aR24 Tr2

+ 4 c2 ln f 4r ) Ä24 - 2 a /?Г Tri R22 v - 4 a Д/2 7W A22 v2 + 2 a Л/2 7>2 Л22 v

+ 4 a Rl2 Tr2 R22 v2 + 2 a /?/2 TW Я22 + a ЯУ4 Tri \ -2 aRl2 Tr2 R22 -aRl4 Tr2 \

— 2 aRl4 Tri ln f -yy j — 8 с/ Infyyj VRÎ- + Scl Inj ^

+ 4 cl ln ^ yy j y2 Rl2-4 cl In j^yy j v2 R22-aRl4 Tri + aRl4 Tr2 -4cl\n\yj^ R22+ 2a Rl2 Tri l^y^y j + 2 aRl4 Tri In ^ yy j V2

— 6 aRl2 Ш InÍ -yy ) Ä22 v2 + 4 àl ln ^ yy j Rl2 — 4 c2 ln Í yy j Rl2 Ä22 -2v2Rl2 R22 a 7У2 In ( yy j -f 4 c2 ln f yy ) Ä/2 v2 R21 + 2 a R24 Tri v

>

+$ aR24 Tri v2) ] Д ( -1 + v2) Ä22 ( - 1 +yj ln ) j = 0

-4 aRl7 Tri R22 v + 4 a /г/2 Tr2 R22 + 2 atf/7 Tri \x\{ \ R21 + 2 a Rl2 Tri R22

Ri

4- a /?/4 Tri v2 - 2 a Я/2 Ш Я22 - aRl4 Tr2 v2 - 2 a Ri4 Tri In I

'(f)

-8W ln(^-]v/ï/2 + 8C7 In f ^yy j v Ä22 + 4 с/ Ln ^ yy j v2 Rl2