Проекционные алгоритмы регуляризации плохо обусловленных линейных алгебраических систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.17, кандидат наук Иванов, Андрей Александрович

• Иванов, Андрей Александрович
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Иванов, Андрей Александрович

Оглавление

Введение

Глава 1. Итерационный проекционный метод С. Качмажа

1.1. Метод алгебраической реконструкции

1.1.1. Метод Качмажа как итерационный метод уменьшения ошибки

1.1.2. Постановка задачи реконструктивной компьютерной томографии

1.2. Влияние последовательности выбора строк в алгоритме алгебраической реконструкции

1.2.1. Алгоритм упорядочивания строк с использованием четной перестановки

1.2.2. Рандомизированный алгоритм Качмажа

1.2.3. Классификация и обобщение способов выбора проекционной последовательности

1.3. Программные реализации модификации классического алгоритма Качмажа и вычислительный эксперимент

1.3.1. Классический алгоритм Качмажа с циклическим правилом

1.3.2. Классический алгоритм Качмажа с квазиоптимальным правилом

1.3.3. Классический алгоритм Качмажа с использованием правила четной перестановки

1.3.4. Классический алгоритм Качмажа с использованием рандомизированного правила

1.3.5. Результаты вычислительных экспериментов для задачи компьютерной томографии с параллельной схемой сканирования

1.4. Заключение

Глава 2. Проекционный метод для решения задачи регуляризации решений

линейных систем

2.1. Регуляризованный итерационный проекционный метод

2.2. Рандомизированный регуляризованный метод алгебраической реконструкции

2.3. Квазиоптимальный регуляризованный метод алгебраической реконструкции

2.4. Результаты вычислительных экспериментов для задачи компьютерной томографии с параллельной схемой сканирования в присутствии возмущений

2.5. Заключение

Глава 3. Решение интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода на основе

расширенных регуляризованных нормальных уравнений

3.1. Понятие корректно поставленной задачи

3.2. Корректность постановки вычислительной задачи

3.3. Метод регуляризации А.Н. Тихонова для задачи нормального псевдорешения с.л.а.у

3.3.1. Выбор параметра регуляризации при решении с.л.а.у. со множеством правых частей

3.4. Решение дискретизированного интегрального уравнения Фредгольма с использованием регуляризованного алгоритма Качмажа

3.4.1. О решении задачи Филлипса

3.4.2. О решении еще одной тестовой задачи реконструкции изображения

3.5. Заключение

Глава 4. Регуляризирующие алгоритмы вычисления оценок двумерных импульсных характеристик искажающих систем

4.1. Об эффективной индексации двухуровневых теплицевых матриц

/

4.2. Постановка задачи идентификации

4.2.1. Приведение обобщенной задачи регуляризации к каноническому виду

4.2.2. Метод расширенных регуляризованных систем для обобщенной задачи регуляризации

4.3. Правило останова итерационных алгоритмов как параметр регуляризации

4.4. Решение задачи идентификации с использованием останова итерационного алгоритма по специальным правилам

4.5. Заключение

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Проекционные алгоритмы регуляризации плохо обусловленных линейных алгебраических систем»

Введение

В начале введения к диссертационной работе приводится и анализируется классификация методов решения систем линейных алгебраических уравнений. Указываются обзорные исторические сведения о вычислительных задачах и методах их решения, имеющих отношение к тематике работы, а также обосновывается актуальность проведенного исследования. Приводится классификация вычислительных методов. Затем с использованием указанной классификации определяется место основных научных результатов работы в системе научных знаний. Указываются цель работы, объект и предмет исследований, а также используемые методы исследования. Далее приводится краткое содержание каждой главы диссертации и сведения об апробации результатов. В завершении введения обосновывается научная новизна, а также практическая и теоретическая значимость работы.

Современный уровень развития постиндустриального общества наиболее точно можно описать как индустрию знаний, базу которой составляют наукоемкие технологии. Результат их применения по большей части состоит в производстве гигантских объемов данных, подлежащих последующему анализу. Достаточно рассмотреть вычислительные задачи неразрушающей диагностики как совокупности способов, методов, алгоритмов и средств, предназначенных для изучения характеристик исследуемых объектов по результатам анализа косвенной информации о них. Большинство этих задач приводят к необходимости решения систем линейных алгебраических уравнений (с.л.а.у.) больших и сверхбольших размерностей, когда невозможно определить численный ранг решаемой системы, ее совместность или тем более число обусловленности.

В вычислительной математике выделяют две большие группы численных методов решения с.л.а.у. — прямые и итерационные методы, или методы последовательных приближений. Стоит отметить, что итерационные методы, сходящиеся к абсолютно точному решению за конечное число итераций, можно относить и к группе прямых методов решения линейных систем, поэтому для определенных математических результатов отличие между прямым методом и итерационным может быть не определено явным образом. В целом, по классификации Й. Абаффи (I. АЬаГА) и Э. Спедикато (Е\ БресНка^)) [2], при решении линейных систем выделяют три базовых класса прямых методов,

исходя из их алгоритмической структуры.

• Первый класс состоит из методов, устройство которых таково, что в процессе решения исходная система трансформируется в систему с меньшим рангом, например, в алгоритме исключения Гаусса каждый шаг исключает одно уравнение из системы и, соответственно, одно неизвестное.

• Второй класс включает методы, которые преобразуют матрицу исходной с.л.а.у. к матрице, решение с.л.а.у. с которой получается простым образом, например, приведение матрицы к треугольному или диагональному видам.

• Третий класс методов характеризуется тем, что в процессе решения матрица системы остается неизменной, а модифицируется некоторая вспомогательная матрица. Примерами методов последнего класса являются ABS-алгоритмы [2].

Возможна также и другая классификация прямых методов решения, например, в работе [105] предлагается следующая:

• Ортогональные прямые методы, характеризующиеся тем, что основные этапы метода используют только ортогональные преобразования, которые, как известно (например, [111]), не изменяют обусловленности вычислительной задачи, а значит, являются вычислительно устойчивыми. Наибольшее применение нашли при решении уравнений Ляпунова и Рикатти в задачах теории управления.

• Методы решения системы нормальных уравнений, начальный этап которых состоит в преобразовании исходной системы к эквивалентной, в смысле метода наименьших квадратов, с использованием левой трансформации Гаусса. При этом ухудшается обусловленность вычислительной задачи, а решение эквивалентной системы принято искать с использованием различных модификаций метода Холецкого.

• Методы Питерса-Уилкинсона, в которых решение плохо обусловлен-

ной системы нормальных уравнений заменяется решением с использованием метода Холецкого эквивалентной хорошо обусловленной системы (например, [99]). Матрица такой системы получается с использованием метода исключения Гаусса с частичным выбором ведущего элемента. Число операций в данном методе такое же, что и в методе отражений, однако в процессе преобразований, свойство разреженности часто удается сохранить лучше. Этим объясняется выделение данных методов в отдельный класс.

• Методы расширенной матрицы, основная идея которых состоит в преобразовании произвольной исходной с.л.а.у. к эквивалентной расширенной совместной системе. Например, приемы итерационного уточнения решения из [93], расширенная система А. Бьерка (A. Bjorck), метод расширенных регуляризованных систем А.И. Жданова [10].

В случае, когда матрица системы имеет большую размерность, применение прямых методов может оказываться невозможным, так как оно связано с различными преобразованиями над матрицей системы (в том или ином виде), которую не всегда возможно сохранить в оперативной памяти вычислительного устройства.

Например, такие с.л.а.у. возникают при решении задач реконструктивной компьютерной томографии высокого разрешения. Для интерпретации данных, полученных в результате неразрушающего сканирования некоторого объекта, с 60-70-х годов применяются различные аппаратные и программные реализации итерационного метода, разработанного польским математиком С. Качма-жем (S. Kaczmarz) еще в 1937 году; этот метод был использован Г. Хаусфилдом (G.N. Hounsfield) — конструктором первого томографа «ЭМИ-сканнер» [110] (нобелевская премия по физиологии и медицине в 1979 году). Простота реализации и крайне малая сложность одной итерации перевесили на практике крайне медленную скорость сходимости. Более того, последовательность при-

ближений по методу С. Качмажа не сходится к точному решению задачи в случае, если решаемая с.л.а.у. оказывается несовместной, что может приводить к появлению различных артефактов при интерпретации данных сканирования. Часто такие линейные системы обладают свойством разреженности, когда количество нулевых элементов в матрице оказывается преобладающим. В 70-е годы, в литературе, посвященной разреженным матрицам, выделяется новое направление — алгоритмы для решения систем в смысле метода наименьших квадратов большой размерности.

В статье [106] приводится в пример проект уравнивания опорной геодезической сети Северной Америки, объявленный в 1974 году (подробное описание проекта в работах [102, 103]), который предполагал решение системы из 6 ООО ООО нелинейных уравнений (по количеству наблюдений) и 400 000 (географические координаты 200 000 пунктов) неизвестных. Данная задача сводится к задаче многократного решения линейной системы уравнений той же размерности и той же структуры разреженности.

Первый и наиболее полный по состоянию численных методов на 1975 год обзор методов решения разреженных задач приводится в работе И. Даффа (1.8. Пай:, [104]). В настоящее время вслед за Х.Д. Икрамовым (работы [106, 107]), следует выделять следующие направления решения разреженных задач

• Быстрые прямые методы решения специальных конечно-разностных линейных систем.

• Итерационные методы решения положительно определенных систем.

• Итерационные методы решения знаконеопределенных систем.

• Программное обеспечение для решения систем общего вида с использованием прямых методов.

Как абсолютно верно отмечается в [106], выбор эффективного метода решения задачи вычислительной физики связан с максимальным учетом информации, заключенно в ее дифференциальном прототипе.

Требования к памяти вычислительного устройства естественно зависят и от реализации выбранного метода решения, компактных схем хранения данных. Исследования в этом направлении ведутся по пути разработки эффективных алгоритмических и программных приемов при работе с многомерными массивами. Например, для задач с плотными матрицами наименьшее требование памяти у метода нормальных уравнений, однако формирование нормальной системы может качественно изменить задачу: она потеряет полный ранг, что может остаться незамеченным при решении. Как отмечается в [108], при использовании, например, метода Гаусса с полным выбором ведущего элемента, когда порядок системы настолько велик, что матрицу целиком нельзя разместить в оперативной памяти, требуется существенно большее количество обменов между разными уровнями памяти. Количество таких обменов может также характеризовать эффективность применения выбранного метода решения.

Отдельное направление в вычислительной математике заполняют алгоритмы для решения линейных систем с симметричными матрицами в случае положительной определенности которых, вопрос выбора метода является скорее схоластическим, чем конструктивным, выбор по существу однозначен - это одна из форм метода квадратных корней (метод Холецкого). В случае же если симметричная матрица не является положительно определенной, а порядок системы велик, то выбор метода решения не может быть настолько однозначен.

В начале введения был упомянут метод итераций С. Качмажа, который в случае, если уравнения матрицы системы попарно ортогональны, является прямым методом. Однако такая ситуация крайне редка на практике, но одним из дополнительных преимуществ к использованию метода Качмажа является тот факт, что полученная последовательность приближений для совместных систем общего вида сходится к решению в смысле метода наименьших квадратов.

Отметим, что любая несовместная с.л.а.у. может быть приведена к эквивалентной расширенной регуляризованной системе уравнений с использованием метода А.И. Жданова (работы [10, 11]). В трех главах диссертационной работы из четырех эта идея об эквивалентной расширенной системе является базовой, а материалы диссертации развивают следующие направления вычислительной математики:

• Итерационные методы решения знаконеопределенных систем.

• Методы расширенной матрицы.

Возвращаясь к задачам неразрушающей диагностики, следует сказать, что с увеличением разрешающих способностей сканирующих устройств объем данных для анализа возрастает на порядки, а выявление возможных артефактов в интерпретации этих данных приобретает критическую значимость.

Конструированию различных алгоритмов на основе итераций С. Качма-жа посвящено существенное количество работ: согласно исследованию [112] польского математика и библиографа А. Сигелски (A. Cegielski), на начало 2010 года статья С. Качмажа цитируется более чем в четырехстах реферируемых и значимых публикациях ученых из различных областей знаний. В Советской и Российской научных школах исследования итераций С. Качмажа представлены в литературе такими известными учеными как: В.Н. Ильин, Г.П. Васильченко, A.A. Светлаков и другие, в работах [13, 109]. В 2008 году американскими математиками Т. Штромером (Т. Strohmer) и Р. Вершининым (R. Vershynin) в [37] была предложена рандомизированная модификация итерационного метода, она генерирует последовательность приближений к решению, которая для совместных и переопределенных с.л.а.у. сходится с экспоненциальной скоростью.

Множество модификаций идеи метода ортогональных проекций или алгоритма алгебраической реконструкции нашли свое практическое применение в различных областях знаний, связанных с обработкой и интерпретацией боль-

ших объемов данных: при реконструкции синограмм в медицине, биологии, геологии; при решении задач диагностики плазмы, кристаллографии, дефектоскопии и микроскопии и др.

Однако по-прежнему остаются предпосылки для теоретического исследования сходимости итераций по методу С. Качмажа с целью ее ускорения, а также разработки регуляризованных модификаций метода для решения классической и обобщенной задачи регуляризации А.Н. Тихонова. В частности, является актуальным построение такой модификации, которая будет обладать гарантированной сходимостью последовательности приближений к точному регуляризованному решению исследуемой некорректной или плохо обусловленной задачи, вне зависимости от того, является ли эквивалентная с.л.а.у. совместной, имеет ли она полный или неполный ранг.

Отдельная проблема использования итерационных методов для решения несовместных с.л.а.у. состоит в способе останова итераций, ее решение позволяет ответить на вопрос, какое из приближений в последовательности стоит принять за искомое решение. Данная проблема объясняется тем, что в большинстве своем итерационные последовательности для различных итерационных методов сходятся к решению нормальной системы уравнений, а данное численное решение часто не имеет ничего общего с искомым решением исходной с.л.а.у., особенно в случае плохой обусловленности.

В большом количестве частных случаев различные задачи диагностики могут быть преобразованы в задачи разделения сигналов, когда из аддитивной смеси множества сигналов, которые поступают из источников, недоступных для непосредственного измерения, необходимо выделить некоторый отдельный сигнал или его параметры. В последнем случае говорят о параметрической идентификации. Например, к таким задачам следует относить различные задачи связи, гидро-и виброакустики, обработки речевых сигналов, изображений и др.

Описанные выше задачи по большей части являются яркими примерами

так называемых обратных задач, что предполагает возможную некорректность и теоретическую и/или вычислительную неустойчивость искомых решений.

Подводя промежуточный итог изложенному, целью работы является —

создание новых итерационных проекционных алгоритмов для отыскания вычислительно устойчивых нормальных решений произвольных с.л.а.у. больших размерностей. В первую очередь — разработка итерационных алгоритмов, обладающих свойством регуляризации. Во вторую очередь — разработка критериев останова итераций, которые бы также обладали регуляризующим свойством.

Для достижения поставленной цели решены следующие задачи:

• Разработана квазиоптимальная модификация проекционного алгоритма Качмажа, позволяющая на каждой итерации уменьшать ошибку максимально возможным образом.

• Разработана модификация проекционного алгоритма для решения задачи регуляризации А.Н. Тихонова.

• Разработаны рандомизированный и квазиоптимальный варианты регуля-ризованной модификации проекционного алгоритма, позволяющие увеличить скорость сходимости.

• Получены условия сходимости регуляризованной формы проекционного алгоритма.

• Проведено теоретическое и экспериментальное сравнение разработанных алгоритмов с уже известными, в том числе, на примере тестовой задачи моделирования реконструкции томографических данных.

• Разработан критерий останова итерационного алгоритма, обеспечивающий его регуляризирующие свойства.

Объектом исследования при этом являются конечные итерационные последовательности, построенные с использованием итерационных методов и

алгоритмов, а также некоторые структуры данных и вспомогательные подпоследовательности возникшие в процессе исследования.

Предмет исследования состоит, в первую очередь, в установлении сходимости различных исследуемых итерационных последовательностей. Во вторую очередь — в выявлении возможностей применения доказанных фактов о сходимости и разработанных итерационных алгоритмов в различных областях знаний при анализе и интерпретации больших массивов данных.

В диссертации используются следующие методы исследования. В качестве аппарата исследований применялись методы доказательства теорем линейной алгебры, математической статистики и теории вероятности, методы разработки алгоритмов, а также процедурное и функциональное программирование с использованием интерпретируемых и компилируемых языков.

Диссертация состоит из введения, четырех глав основного текста, списка литературы из 118 источников. Первая глава целиком посвящена исследованию классических модификаций итерационного метода С. Качмажа для решения совместных линейных систем. Приводится расширенная историческая справка, а также обзор известных модификаций этого метода. Далее описывается новый результат — теорема о сходимости специальной квазиоптимальной модификации исследуемого метода. Отдельный раздел первой главы посвящен обобщенной алгебраической постановке тестовой задачи компьютерной томографии, в нем рассматривается упрощение задачи в геометрической интерпретации на плоскости для псевдонепрерывных сканируемых объектов-изображений. Затем известные модификации сравниваются с предлагаемой — квазиоптимальной, в том числе впервые приводится их классификация. Указывается место предлагаемого алгоритма в этой классификации. Завершает главу описание различных программных особенностей и анализ результатов

вычислительных экспериментов для задачи компьютерной томографии с параллельной схемой сканирования.

Вторая глава диссертации посвящена решению задачи регуляризации А.Н. Тихонова с использованием итерационного проекционного метода, в том числе и квазиоптимальной модификации, предложенной в первой главе. В первой части второй главы изложены результаты исследований автора, опубликованные работах [60, 61, 62, 63], основанные на использовании метода расширенных регуляризованных систем, который был предложен руководителем А.И. Ждановым в работах [10, 11]. Приводятся два важных следствия из доказываемой теоремы о сходимости регуляризованного метода, которые используются при доказательстве последующих теорем. Затем с опорой на известные результаты Т. Штромера и Р. Вершинина [37] предлагается рандомизированная модификация регуляризованного метода Качмажа и доказывается теорема о сходимости. В завершение рассматриваются результаты сходимости квазиоптимальной модификации для классического случая и обобщаются на случай решения задачи регуляризации. Для модельной задачи компьютерной томографии, постановка которой дана в первой главе, в несовместном случае приводятся результаты вычислительных экспериментов. Глава завершается разделом, в котором обобщаются основные результаты.

В третьей главе диссертации рассматривается задача решения интегральных уравнений Фредгольма первого рода на основе метода расширенных регуляризованных систем нормальных уравнений. В первой части приводятся общие сведения и понятия из теории некорректных задач, необходимые для целостного изложения. Затем рассматриваются известные способы оценивания параметра регуляризации, а также приводится их классификация. С опорой на метод регрессионного анализа предлагается способ выбора параметра регуляризации для решения с.л.а.у. со множеством правых частей. Вторая часть третьей главы посвящена численным решениям известных тестовых задач в возмущенном случае. Рассматривается известное интегральное уравнение

Филлипса и интегральное уравнение, моделирующее задачу реконструкции изображений в одномерном случае. Для этих задач исследуются спектральные характеристики ядер их дифференциальных прототипов и применяются методы, предлагаемые и описываемые в первой и второй главах диссертации. Приводится сравнение качества регуляризованных решений, указывается что предложенный во второй главе квазиоптимальный метод обладает существенным преимуществом.

В четвертой главе решается задача отыскания регуляризованной оценки двумерной импульсной характеристики линейной искажающей системы. Данная задача рассматривается в дискретной постановке, для двумерного и одномерного случаев. В этой главе используются результаты выбора параметра регуляризации описанные в третьей главе. Основная идея состоит в том, что номер останова итераций для специального класса итерационных методов может выполнять роль параметра регуляризации. В начале главы предлагается постановка задачи непараметрической идентификации, указываются приемы оптимального сохранения в памяти ЭВМ блочных теплицевых матриц. В отличие от третьей главы, в которой рассматривается классическая задача регуляризации А.Н. Тихонова, в этой используется ее обобщенная постановка. Предлагаются приемы для приведения обобщенной задачи к каноническому виду с использованием метода расширенных регуляризованных систем. Затем описывается известный метод кросс-валидации для оценки номера останова итерационного алгоритма, который сравнивается с предлагаемым методом, основанным на идее поиска решения задачи в классе оценок с несмещенным квадратом длины, предложенным руководителем А.И. Ждановым в [98]. В завершении главы обсуждаются результаты вычислительных экспериментов, опубликованные автором в работах [64, 68, 70].

Научная новизна диссертационной работы состоит в следующем:

• предложен и обоснован новый класс итерационных алгоритмов, осно-

ванный на итерациях по методу С. Качмажа, для решения совместных с.л.а.у. общего вида, а также для отыскания регуляризованных решений линейных систем общего вида, включая несовместные. Впервые предлагаются:

- квазиоптимальная модификация классического итерационного метода С. Качмажа (и показана его связь с методом наискорейшего координатного спуска), которая на практике обладает самой быстрой сходимостью из всех известных модификаций;

- регуляризованная модификация классического итерационного метода С. Качмажа, а также специально для нее сконструированы квазиоптимальный и рандомизированный аналоги;

- классификация исследуемых итерационных методов по способу задания проекционной последовательности;

• в отличие от работ других исследователей, предлагается модификация проекционного метода, обладающая гарантированной сходимостью для систем общего вида, а также доказывается теорема о скорости сходимости;

• впервые предлагается критерий останова итерационного метода наискорейшего спуска для получения регуляризованных решений по методу наименьших квадратов с несмещенным квадратом длины.

Достоверность полученных результатов обеспечивается корректным применением математических методов доказательств в линейной алгебре и математической статистике, строгостью постановок задач, а также подтверждена результатами вычислительных экспериментов для различных задач.

Теоретическая и практическая значимость. Большая часть результатов диссертации имеет теоретический характер. Разработанные методы и алгоритмы тестируются на модельных задачах имеющих приближенное отношение к

реальности, а также представляющих ее экстремальные случаи. Часть результатов работы нашли практическое применение при разработке терагерцевого спектрометра Фабри-Перо, что описано в работах [74, 91, 67, 92]. Предлагаемые в работе методы и алгоритмы могут быть использованы при решении широкого класса вычислительных задач, приводящих к необходимости решения плохо обусловленных линейных алгебраических систем. Имеет практическое значение также и разработанный комплекс программ, опубликованный в [94].

Апробация работы. Основные результаты работы были представлены на региональных, всероссийских и международных конференциях и конкурсах:

• Студенческая научно-техническая конференция в Самарском государственном аэрокосмическом университете им акад. С.П. Королева, на секции кафедры прикладной математики, с 2006-2012 г.

• Семинар по компьютерной оптике и обработке изображений посвященный 70-летию профессора И.Н. Сисакян и 20-летию института систем обработки изображений РАН, 20-22 июня 2008 г., г. Самара.

• Международная конференция по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС'2009), 25-31 мая 2009 г., г. Алушта.

• Международная конференция «Математика. Компьютер. Образование», 25-30 января 2010 г., г. Дубна.

• Международная молодежная научная конференция «Гагаринские чтения», 6-10 апреля 2010 г., г. Москва.

• Международная научная конференции «XVIII Туполевские чтения», 2628 мая 2010 г., г. Казань.

• Всероссийская конференция с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи», 3-6 июня 2010 г., г. Самара.

• Международная конференция с элементами научной школы для молодежи «Перспективные информационные технологии для авиации и космо-

са», 29 сентября — 1 октября 2010 г., г. Самара.

• Международная конференция по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС'2011), 25-31 мая 2011 г., г. Алушта.

• Всероссийская конференция с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи», 15-17 сентября 2011 г., г. Самара.

• IX Всероссийский молодежный Самарский конкурс-конференция научных работ по оптике и лазерной физике, 9-13 ноября 2011 г., г. Самара.

• I Всероссийский конгресс молодых ученых, 9-14 апреля 2012г., НИУ ИТМО, г. Санкт-Петербург.

• XI Всероссийский молодежный Самарский конкурс-конференция научных работ по оптике и лазерной физике, 6-10 ноября 2013 г., г. Самара.

• IRMMW-THz 2013 — 38th International Conference on Infrared, Millimeter, and Terahertz Waves (IRMMW-THz 2013), 2013, Mainz / German.

Личный вклад. Постановка задач осуществлялась научным руководителем профессором А.И. Ждановым, Доказательства теорем и утверждений, разработка тестовых моделей и их программная реализация, анализ полученных результатов и выводы из них сделаны автором самостоятельно.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Иванов, Андрей Александрович, 2014 год

Литература

1. Тихонов, А. Н. Математические задачи компьютерной томографии [Текст] / А. Н. Тихонов, В. Я. Арсенин, А. А. Тимонов. — М. : Наука, 1987. — 160 с.

2. Абаффи, Й. Математические методы для линейных и нелинейных уравнений. Проекционные ABS-алгоритмы [Текст] / Й. Абаффи, Э. Спедикато; Перевод с англ. А. Я. Белянкова и др.; Под ред. Ю. Г. Евтушенко. — М. : Мир, 1996.-268 с.

3. Тихонов, А. Н. Методы решения некорректных задач [Текст] / А. Н. Тихонов, В. Я. Арсенин. — М. : Наука, 1974. — 224 с.

4. Gordon, R. Algebraic reconstruction techniques (ART) for three-dimensional electron microscopy and x-ray photography [Текст] / R. Gordon, R. Bender, G. T. Herman // Journal of theoretical biology. — 1970. — Vol. 29, Issue 3. — C. 471-481.

5. Micke, A. The Mathematics of Computerized Tomography [Текст] / A. Micke, F. Natterer // ZAMM - Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik (Journal of Applied Mathematics and Mechanics). — 1987. — Vol. 67, Issue 11. - С. 580. -ISBN 3-519-02103-X and 0-471-90959-9.

6. Herman, G. T. Fundamentals of computerized tomography: Image reconstruction from projection [Текст] : 2nd ed. / G. T. Herman. — Springer, 2009. - 300 с.

7. Kaczmarz, S. Angenäherte Auflösung von Systemen linearer Gleichungen [Текст] / S. Kaczmarz // Bulletin International de l'Académie Polonaise des Sciences et des Lettres / Classe des Sciences Mathématiques et Naturelles. Série A, Sciences Mathématiques. - 1937. - Vol. 35. - С. 355-357.

8. Hansen, Р. С. AIR Tools - A MATLAB package of algebraic

iterative reconstruction methods [Электронный ресурс] / Режим доступа: http://www2.compute.dtu.dk/~pcha/AIRtools/ 9. Морозов, В. А. Алгоритмические основы методов решения некорректно поставленных задач [Текст] / В.А. Морозов // Вычислительные методы и программирование. — 2003. — Т. 4. — С. 130-141.

10. Жданов, А. И. Метод расширенных регуляризованных нормальных уравнений [Текст] / А. И. Жданов // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2012. — Т. 52, вып. 2. — С. 205-208.

11. Жданов, А. И. Об одном численно устойчивом алгоритме решения систем линейных алгебраических уравнений неполного ранга [Текст] / А. И. Жданов // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». — 2008. — Вып. 1(16). — С. 149-153.

12. Васильченко, Г. П. Проекционный алгоритм решения систем линейных алгебраических уравнений большой размерности [Текст] / Г. П. Васильченко, А. А. Светлаков // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1980. -Т. 20, вып. 1. - С. 3-10.

13. Ильин, В. П. Об итерационном методе Качмажа и его обобщениях [Текст] / В. П. Ильин // Сибирский журнал индустриальной математики. — 2006. - Т. 9, вып. 3. - С. 39-49.

14. Бахвалов, Н.С. Численные методы [Текст] : учебное пособие для студентов физико-математических специальностей высших учебных заведений / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. — М. : БИНОМ. Лаб. знаний, 2012. — 636 с.

15. Бутаков Е. А. Обработка изображений на ЭВМ [Текст] / Е. А. Бутаков, В. И. Островский, И. Л. Фадеев. — М. : Радио и связь, 1987. — 240 с.

16. Как, А. С. Principles of Computerized Tomographic Imaging [Текст] / А. С. Как, M. Slaney. - IEEE Press, 1988. - 329 с.

17. Guan H. A projection access order for speedy convergence of ART (algebraic reconstruction technique): a multilevel scheme for computed tomography [Текст] / Guan H., R. Gordon // Physics in Medicine and Biology. — 1994. - Vol. 39, N. 11. - C. 2005-2022.

18. Heideman, M. T. Gauss and the history of the fast Fourier transform [Текст] / M. T. Heideman, D. H. Johnson, C. S. Burrus // IEEE ASSP Magazine. — 1984. - Vol. 1, Issue 4. - C. 14-21.

19. Cooley, J.W. An algorithm for the machine calculation of complex Fourier series [Текст] / J.W. Cooley, J. W. Tukey // Mathematics of Computation. — 1965. - Vol. 19, N. 90. - C. 297-301.

20. Elster, A.C. Fast bit-reversal algorithms [Текст] / A.C. Elster // Acoustics, Speech, and Signal Processing, 1989. ICASSP-89., 1989 International Conference on. - 1989. - Vol. 2. - C. 1099-1102.

21. Garrido, M. Optimum Circuits for Bit Reversal [Текст] / M. Garrido, J. Grajal, O. Gustafsson // Circuits and Systems II: Express Briefs, IEEE Transactions on. - 2011. - Vol. 58, Issue 10. - C. 657-661.

22. Mansour, M. M. A recursive algorithm for pruned bit-reversal permutations [Текст] / M. M. Mansour // Acoustics, Speech and Signal Processing (ICASSP), 2012 IEEE International Conference on. - 2012. - C. 1633-1636.

23. Anil, K. J. Fundamentals of digital image processing [Текст] / К. J. Anil. — Englewood Cliffs, NJ : Prentice Hall, 1989. - 569 c.

24. Herman, G. T. Algebraic reconstruction techniques can be made computationally efficient [Текст] / G. T. Herman, L. B. Meyer // Medical Imaging, IEEE Transactions on. — 1993. — Vol. 1, Issue 4. — C. 600-609.

25. Bauschke, H. H. A norm convergence result on random products of relaxed projections in Hilbert space [Текст] / H. H. Bauschke // Transactions of the American Mathematical Society. - 1995. - Vol. 347, N. 4. - C. 1365-1373.

26. Mosby I. Mosby's Medical Dictionary [Текст] / I. Mosby. —9th ed. — Elsevier/Mosby, 2012. - 1984 c.

27. Censor, Y., Strong underrelaxation in Kaczmarz's method for inconsistent systems [Текст] / Y. Censor, P. P.B. Eggermont, D. Gordon // Numerische Mathematik. - 1983. - Vol. 41, Issue 1. - C. 83-92.

28. Tanabe, K. Projection method for solving a singular system of linear equations and its applications [Текст] / К. Tanabe // Numerische Mathematik. — 1971. — Vol. 17, Issue 3. - С. 203-214.

29. Eggermont, P.P.B. Iterative algorithms for large partitioned linear systems, with applications to image reconstruction [Текст] / P.P.B. Eggermont, G.T. Herman, A. Lent // Linear Algebra and its Applications. — 1981. — Vol. 40. — C. 37-67.

30. Baillon, B. On the asymptotic behaviour of nonexpansive mappings and semigroups in Banach spaces [Текст] / В. Baillon, R. E. Bruck, S. Reich // Houston Journal of Mathematics. - 1978. - Vol. 4. - C. 1-9.

31. Фурсов, B.A. Идентификация оптических искажающих систем с отбором информативных фрагментов изображений [Текст] / В.А. Фурсов // Компьютерная оптика. — 1995. —Вып. 15, 4.1. — С. 79-89.

32. Фурсов, В.А. Восстановление изображений КИХ-фильтрами, построенными путем непосредственной идентификации инверсного тракта [Текст] / В.А. Фурсов // Компьютерная оптика. — 1996. —Вып. 16. — С. 103-108.

33. Фурсов, В.А. Введение в идентификацию по малому числу наблюдений. [Текст] / В.А. Фурсов. - М. : Изд-во МАИ, 1991. -36 с.

34. Sabelfeld, К Stochastic iterative projection methods for large linear systems [Текст] / К. Sabelfeld, N. Loshchina // Monte Carlo Methods and Applications.

- 1987. - Vol. 16, Issue 3-4. - C. 343-359.

35. Sezan, К. M. Applications of convex projection theory to image recovery in tomography and related areas [Текст] / К. M. Sezan, H. Stark // Image Recovery: Theory and Application / H. Stark, editor. — Academic Press, 1987.

- C. 415-462.

36. Strohmer, Т. A randomized solver for linear systems with exponential convergence [Текст] / Т. Strohmer, R. Vershynin // Approximation, Randomization, and Combinatorial Optimization. Algorithms and Techniques.

- Springer; 2006. C. 499-507.

37. Strohmer, T. A Randomized Kaczmarz Algorithm with Exponential Convergence [Текст] / Т. Strohmer, R. Vershynin // Journal of Fourier Analysis and Applications. - 2009. - Vol. 15, Issue 2. - C. 262-278.

38. Demmel, J. The probability that a numerical analysis problem is difficult [Текст] / J. Demmel // Mathematics of Computation. . — 1988. — Vol. 50, Issue 182.-C. 449^180.

39. JElble, J. M. GPU computing with Kaczmarz's and other iterative algorithms for linear systems [Текст] / J. M. Elble, N. V. Sahinidis, P. Vouzis // Parallel Computing. - 2010. - Vol. 36, Issues 5-6. - C. 215-231.

40. Fouad, R.H. Simulation and energy management of an experimental solar system through adaptive neural networks [Текст] / R.H. Fouad, M.S. Ashhab, A. Mukattash, S. Idwan // IET Science, Measurement & Technology. — 2012.

- Vol. 6, Issue 6. - C. 427-431.

41. Marks, L. D. A feasible set approach to the crystallographic phase problem [Текст] / L. D. Marks, W. Sinkler, E. Landree // Acta Crystallographica Section A. - 1987. - Vol. 55, Issue 4. - C. 601-612.

42. Markussen, T. An algebraic algorithm for generation of three-dimensional grain maps based on diffraction with a wide beam of hard Xrays [Текст] / T.Markussen, X. W. Fu, L. Margulies and others // Journal of Applied Crystallography. - 2004. - Vol. 35, part 1. - C. 96-102.

43. Морозов, В.А. Регулярные методы решения некорректных задач [Текст] / В .А. Морозов. — М. : Наука, 1987. — 240 с.

44. Адамар, Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа [Текст] / Ж. Адамар. — М. : Наука, 1978. — 352 с.

45. Тихонов А. Н. Об устойчивости обратных задач [Текст] / А. Н. Тихонов // Доклады Академии наук СССР. - 1943. - Т. 39, к 5. - С. 195-198.

46. Черепашук, A.M. Обратные задачи в астрофизике [Текст] / A.M. Черепа-шук // Соросовский образовательный журнал. — 1997. — №12. — С. 84-91.

47. Творец современной прикладной математики, к 100-летию со дня рождения акад. А.Н. Тихонова [Текст] / В.А. Ильин и др. // Вестник Российской академии наук. - 2006. - Т. 76, № 9. - С. 813-836.

48. Дмитриев, В.И. О работах академика А.Н. Тихонова [Текст] / В.И. Дмитриев. — М. : Диалог-МГУ, 1998. — 54 с.

49. Ягола, А.Г. Некорректные задачи и методы их численного решения. Спецкурс для аспирантов МГУ им. М.В.Ломоносова [Электронный ресурс] / Режим доступа: http://matematika.phys.msu.ru/files/scien/172/paper.pdf.

50. Жданов, А.И. Введение в методы решения некорректных задач: учеб. пособие [Текст] / А. И. Жданов. — Самара : Изд-во Самар. гос. аэрокосм, ун-та, 2006. - 87 с.

51. Жданов, А.И. Введение в методы решения некорректных задач: учеб. Пособие, 2 часть [Текст] / А. И. Жданов. — Самара : Изд-во Самар. гос. аэрокосм, ун-та, 2007. — 135 с.

52. Hansen, Р. С. A Matlab package for analysis and solution of discrete ill-posed problems [Текст] / P. C. Hansen // Numerical Algorithms — 1994. — Vol. 6, Issue 1. -C. 1-35.

53. Steven, W. S. The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing [Текст] / W. S Steven. — San Diego, CA, USA: California Technical Publishing, 1997. - 640 c.

54. Popa C. 2004. Kaczmarz extended algorithm for tomographic image reconstruction from limited-data [Текст] / С. Popa, R. Zdunek // Mathematics and Computers in Simulation. - 2004. - Vol. 65, Issue 6. - C. 579-598.

55. Angelos, J. Limit cycles for successive projections onto hyperplanes in Rn [Текст] / J. Angelos, G. Grossman, E. Kaufman, T. Lenker, L. Rakesh // Linear Algebra and its Applications. — 1998. — Vol. 285, Issue 1. — C. 201-228.

56. Bjorck, A. Accelerated projection methods for computing pseudoinverse solutions of systems of linear equations [Текст] / A. Bjorck, T. Elfving // BIT Numerical Mathematics. - 1979. - Vol. 19, Issue 2. - C.145-163.

57. Nikazad, T. Algebraic Reconstruction Methods [Текст] : PhD. Thesis, Linkoping University / T. Nikazad. — Linkoping, 2008.

58. Kamath, G. Component-Average Based Distributed Seismic Tomography in Sensor Networks [Текст] / G. Kamath, L. Shi, W.-Z. Song // IEEE International Conference on Distributed Computing in Sensor Systems. — 2013. — C. 88-95.

59. Иванов, А.А. Решение задачи полиномиальной аппроксимации с использованием итерационного метода Качмажа [Текст] / А.А. Иванов // Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета имени академика С.П. Королева. -2008. - №2(15). - С. 179 - 182.

60. Жданов, А. И. Проекционный регуляризирующий алгоритм для решения некорректных линейных алгебраических систем большой размерности [Текст] / А. И. Жданов, А. А. Иванов // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». - 2010. - Вып. 5(21). - С. 309-312.

61. Иванов, А.А. Об одной модификации итерационного алгоритма Качмажа [Текст] / А.А. Иванов, А.И. Жданов // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды седьмой Всероссийской научной конференции с международным участием. 4.4: Моделирование и оптимизация динамических систем и систем с распределенными параметрами. — Самара : СамГТУ, 2010. - С. 75-77.

62. Иванов, А.А. Регуляризованный алгоритм Качмажа в задачах компьютерной томографии [Текст] / А.А. Иванов // Материалы 18 международной

конференции «Математика. Компьютер. Образование». — Дубна, 2011. — С. 169.

63. Иванов, A.A. Метод расширенных нормальных уравнений и регуляри-зирующий алгоритм Гаусса-Зейделя [Текст] / A.A. Иванов, А.И. Жданов // Материалы XVII Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМ-СППС'2011), 25-31 мая 2011г., Алушта. - М.: Изд-во МАИ-ПРИНТ, 2011. - С. 241-243.

64. Жданов, А. И. Оценка оптимального номера останова итераций при восстановлении импульсной характеристики искажающей системы [Текст] / А. И. Жданов, А. А. Иванов // Компьютерная оптика. — Т. 34, N3. — С. 367-373.

65. Иванов, A.A. Метод L-кривой для итерационных алгоритмов решения плохо обусловленных задач [Текст] / A.A. Иванов // Перспективные информационные технологии для авиации и космоса: Труды международной конференции с элементами научной школы для молодежи. - Самара : СГАУ, 2010. - С. 628-632.

66. Иванов, A.A. Об одном критерии останова итерационных алгоритмов решения плохо обусловленных задач [Текст] / A.A. Иванов, А.И. Жданов // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды седьмой Всероссийской научной конференции с международным участием. 4.4: Моделирование и оптимизация динамических систем и систем с распределенными параметрами. — Самара: СамГТУ, 2010. — С. 78-81.

67. Terahertz polarization conversion with quartz waveplate sets [Текст] / A. K. Kaveev and others // Applied Optics. — 2013. — Vol. 52, Issue 1. — C. B60-B69.

68. Жданов А.И., Иванов A.A. Восстановление импульсной характеристики искажающей системы [Текст] / Жданов А.И., Иванов A.A. // Материалы

17 международной конференции «Математика. Компьютер. Образование», г. Дубна, 25-30 января. - 2010. - С. 115.

69. Иванов A.A. Сверточный аналог алгоритма наискорейшего спуска [Текст] / A.A. Иванов // 60-я студенческая научная конференция: тезисы докладов. - Самара : Изд-во Самар. гос. аэрокосм, ун-та, 2010. - С. 66-68.

70. Иванов, A.A. Итерационный метод решения задачи деконволюции [Текст] / A.A. Иванов. // XXXVI Гагаринские чтения. Научные труды Международной молодежной научной конференции в 8 томах, г. Москва, 6-10 апреля. - 2010. - С. 91-92.

71. Сидоров, П.С. Эффективная индексация двухуровневых теплицевых матриц [Текст] / П.С. Сидоров, A.A. Иванов // 60-я студенческая научная конференция: тезисы докладов. — Самара: Изд-во Самар. гос. аэрокосм, ун-та, 2010. - С. 68-70.

72. Сидоров, П.С. Восстанавливающий фильтр на основе алгоритма наискорейшего спуска [Текст] / П.С. Сидоров, A.A. Иванов // XVIII Туполев-ские чтения: Международная молодежная научная-конференция, материалы конференции. Том IV. — Казань : Изд-во Казан, гос. текх. ун-та, 2010. -С. 196-198

73. Иванов, A.A. Прямой проекционный алгоритм решения переопределенных СЛАУ на основе расширенной системы [Текст] / A.A. Иванов // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды седьмой Всероссийской научной конференции с международным участием. 4.4: Моделирование и оптимизация динамических систем и систем с распределенными параметрами. — Самара : СамГТУ, 2011. — С. 78-81.

74. Иванов, A.A. Об одном алгоритме решения линейных алгебраических систем неполного ранга с множеством правых частей [Текст] / A.A. Иванов // Сборник тезисов докладов конгресса молодых ученых, Выпуск 2. Труды молодых ученых / Главный редактор д.т.н., проф. В.О. Никифоров. - СПб : НИУ ИТМО, 2012. - С. 253.

75. Иванов, А.А. Об эффективной реализации прямого проекционного метода [Текст] / А.А. Иванов // Королевские чтения: Международная молодежная конференция, посвященная 50-летию первого полета человека в космос, Самара, 4-6 октября 2011 года: Тезисы докладов. — Самара : Издательство ООО «БМВ и К», 2011. -С. 295.

76. Жданов А.И. Введение в вычислительную линейную алгебру [Электронный ресурс] : электрон, учеб. пособие / А. И. Жданов. — Самара : М-во образования и науки РФ, Самар. гос. аэрокосм, ун-т им С.П. Королева (нац. исслед. ун-т), 2011. — (CD-ROM).

77. Калиткин, Н.Н. Численные методы [Текст] / Н.Н. Калиткин. — М. : Наука, 1978.- 512 с.

78. Shaw, С. В., Jr. Improvements of the resolution of an instrument by numerical solution of an integral equation [Текст] / С. В. Shaw, Jr. // Journal of Mathematical Analysis and Applications. — 1972. — Vol. 37, Issue 1. — C. 83-112.

79. Hansen, P. C. AIR Tools - A MATLAB package of algebraic iterative reconstruction methods [Текст] / P. C. Hansen, M. Saxild-Hansen // Journal of Computational and Applied Mathematics. — 2012. — Vol. 236, Issue 8. — C. 2167-2178.

80. Phillips, D. L. A technique for the numerical solution of certain integral equations of the first kind [Текст] / D. L. Phillips // Journal of the ACM.

- 1962. - Vol. 9, Issue 1. - C. 84-97.

81. Sahasrabudhe, S. C. On Solving Fredholm Integral Equations of the First Kind [Текст] / S. C. Sahasrabudhe, A. D. Kulkarni // Journal of the ACM - 1977.

- Vol. 24, Issue 4. - C. 624-629.

82. Twomey, S. On the Numerical Solution of Fredholm Integral Equations of the First Kind by the Inversion of the Linear System Produced by Quadrature [Текст] / S. Twomey // Journal of the ACM. - 1963. - Vol. 10, Issue 1. - C. 97-101.

83. Фурсов, В.А. Идентификация моделей систем формирования изображений по малому числу наблюдений / [Текст] / В.А. Фурсов. — Самара : Самар. гос. аэрокосм, ун-т, 1988. — 218 с.

84. Myasnikov, V. V. Computer Program for Automatic Estimation of Digital Image Quality [Текст] / V. V. Myasnikov, A. A. Ivanov, M. V. Gashnikov, E. V. Myasnikov // Pattern Recognition and Image Analysis. — 2011. — Vol. 21, No. 3.-C. 415-418.

85. Myasnikov, V.V. Software System for Identification of Optoelectronic Digital Imaging system and Estimation of Their Quality [Текст] / V.V. Myasnikov, A.A. Ivanov, M.V. Gashnikov, E.V. Myasnikov // 10th International Conference on Pattern Recognition and Image Analysis: New Information Technologies (PRIA-10-2010), St. Petersburg, Conference Proceedings, - SPb.: Politechnika, 2010.-Vol. II.-C. 109-113.

86. Myasnikov, V.V. Photodetection Devices Recognition Based on Analysis of Digital Images [Текст] / V.V. Myasnikov, A.A. Ivanov // 10th International

Conference on Pattern Recognition and Image Analysis: New Information

/

Technologies (PRIA-10-2010), St. Petersburg, Conference Proceedings. — SPb. : Politechnika, 2010. - Vol. II. - C. 327-331.

87. Постников, M.M. Лекции по геометрии, Семестр II. Линейная алгебра [Текст] / М.М. Постников. — М. : Наука, 1986. — 400 с.

88. Hamarik, U. A family of rules for parameter choice in Tikhonov regularization of ill-posed problems with inexact noise level [Текст] / U. Hamarik, R. Palm, T. Raus // Journal of Computational and Applied Mathematics. — 1994. — Vol. 236, Issue 8. - C. 2146-2157.

89. Liu, W. A predictor-corrector iterated Tikhonov regularization for linear ill-posed inverse problems [Текст] / W. Liu, C. Wu // Applied Mathematics and Computation. - 2013. - Vol. 221. - C. 802-818.

90. Ivanov, A.A. Kaczmarz algorithm for Tikhonov regularization problem [Текст]

/ A.A. Ivanov, A.I. Zhdanov // Applied Mathematics E-Notes/ — 2013. — Vol. 13. - С. 270-276.

91. Иванов, A.A. Метод расширенных регуляризованных систем для решения некорректных задач прикладной оптики [Текст] / A.A. Иванов // XI Всероссийский молодежный Самарский конкурс-конференция научных работ по оптике и лазерной физике: сборник конкурсных докладов (Самара, 6-10 ноября 2013 г.). — Москва: ФГБУН Физический институт им. П. Н. Лебедева РАН, 2013. - 351с.

92. Novel conception of the terahertz-range spectrometer based on Fabry-Perot interferometer [Текст] / I. A. Tzibizov and others // Infrared, Millimeter, and Terahertz Waves (IRMMW-THz) 38th International Conference on. - 2013. -C. 1.

93. Голуб, Дж. Матричные вычисления: Пер. с англ. [Текст] / Дж. Голуб, Л. Ч. Ван. - М. : Мир, 1999. - 548 с.

94. Ivanov, A. A. Regularizaron Kaczmarz Tools Version 1.0 for Matlab, Matlabcentral Fileexchange [Электронный ресурс] / Режим доступа: http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/43791.

95. В. В. Воеводин, Дж. X. Уилкинсон. Алгебраическая проблема собственных значений. Рецензия [Текст] / В. В. Воеводин // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1966. —Т. 6, вып. 3. — С. 602.

96. Научно-образовательный Интернет-ресурс НИВЦ МГУ по численному анализу. Библиотека Численного анализа НИВЦ МГУ. Решение системы линейных алгебраических уравнений методом отражений - подпрограмма asg6r_c [Электронный ресурс] / Режим доступа: http://numanal.srcc.msu.ru/lib_na/cat/as_htm_c/asg6r_c.htm.141.

97. Воскобойников, Ю.Е. Выбор момента останова в итерационных алгоритмах восстановления сигналов и изображений [Текст] / Ю.Е. Воскобойников, Л.А. Литвинов // Автометрия. - 2004. - Т. 40, № 4. - С. 3-10.

98. Жданов, А.И. Оптимальная регуляризация решений приближенных стохастических систем линейных алгебраических уравнений [Текст] / А. И. Жданов // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1990. - Т. 30, вып. 10. - С. 1588-1593.

99. Лоунсон, Ч. Численное решение задач метода наименьших квадратов [Текст] / Ч. Лоунсон, Р. Хенсон. — М. : Наука, 1986. — 232 с.

100. de la Garza, A. An iterative method for solving systems of linear equations [Текст] : Technical Report : K-731 / A. de la Garza ; United States Atomic Energy Comission; Carbide and Carbon chemical Company. —Oak Ridge, Tennessee : Technical Information Servuce, 1951. — 10 c.

101. В. В. Воеводин, О методе регуляризации [Текст] / В. В. Воеводин // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1969. —Т. 9, вып. 3. - С. 673-675.

102. Avila, J. К. Solution of very large least squares problems by nested dissection on a parallel processor [Текст] / J. K. Avila, J. A. Tomlin. — Proceedings of the Computer Science and Statistics: 12th Annual Symposium on the Interface, Waterloo, Ontario, Canada. — 1979.

103. Kolata, G. B. Geodesy: dealing with an enormous computer task / G. B. Kolata // Science. - 1978. - Vol. 200, Issue 4340. - C. 421-466.

104. Duff, I. S. A survey of sparse matrix research [Текст] / I. S. Duff // Proceedings of the IEEE. - 1977. - Vol. 65, Issues 4. - C. 500-535.

105. Duff, I.S A comparison of some methods for the solution of sparse overdetermined systems of linear equations [Текст] /I.S. Duff, J.K. Reid // Journal of the Institute of Mathematics and its Applications. — 1976. — Vol. 17, N. 3. - 1976. C. 267-280.

106. Икрамов, X. Д. Разреженные матрицы [Текст] / X. Д. Икрамов // Итоги науки и техники. Серия «Математический анализ». — 1982. — Т. 20. — С. 179-260.

107. Икрамов, X. Д. Разреженные линейные задачи метода наименьших квадратов [Текст] / X. Д. Икрамов // Итоги науки и техники. Серия «Математический анализ». — 1985. — Т. 23. — С. 219-285.

108. Икрамов Х.Д. Численные методы для симметричных линейных систем. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. - 160с.

109. Г. П. Васильченко, А. А. Светлаков, "Проекционный алгоритм решения систем линейных алгебраических уравнений большой размерности", Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 20:1 (1980), 3-10.

110. Hounsfield, G. N. A Discussion on Recent Developments in Medical Endoscopy and Related Fields [Текст] / G. N. Hounsfield // Proceedings of the Royal Society of London. Series B, Biological Sciences. — 1977. — Vol. 195, N. 1119. -C. 281-289.

111. Икрамов Х.Д. Численное решение матричных уравнений. Под редакцией Д. К. Фадеева. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984. - 192 с.

112. Cegielski, A. Bibliography on the Kaczmarz method [Электронный ресурс] : Faculty of Mathematics, Computer Science and Econometrics University of Zielona Gora ; Poland, March, 28th, 2010 / Режим доступа: http://www.uz.zgora.pl/~acegiels/Publikacje-Kaczmarz.pdf.

113. Методы компьютерной обработки изображений [Текст] / Под. ред. В.А. Сойфера. - 2-е изд., испр. - М. : ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 784с. - ISBN 5-9221-0270-2.

114. Рора, С. Extensions of Block-Projections Methods With Relaxation Parameters to Inconsistent and Rank-Deficient Least-Squares Problems [Текст] / С. Рора // BIT Numerical Mathematics. - Vol. 38, Issue 1. - C. 151-176.

115. Рора, C. Preconditioned Kaczmarz-Extended algorithm with relaxation parameters : Report [Текст] / С. Рора. — Weizmann Institute of Science, Department of Applied Mathematics and Computer Science, 1997.

116. Рора, С. Characterization of the solutions set of leastsquares problems by an extension of Kaczmarz's projections method [Текст] / С. Рора // Koreean Journal on Сотр. and Appl. Math. - No. 1(1999), - C. 51-64.

117. Менихес, Jl.Д. Об одном достаточном условии регуляризируемости линейных обратных задач [Текст] / Л.Д. Менихес // Математические заметки. - 2007. - Т. 82. № 2. - С. 242-247.

118. Менихес Л.Д. К теории регуляризации интегральных уравнений [Текст] / Л.Д. Менихес // Известия Уральского госуниверситета. Серия: Математика. Механика. Информатика. — 2008. — №58, вып. 11. — С. 138-154.