Проекционно-характеристический метод высокого порядка аппроксимации для решения уравнения переноса на сетке из тетраэдров тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Астафуров Глеб Олегович

• Астафуров Глеб Олегович
• кандидат наук
• 2024

Оглавление диссертации кандидат наук Астафуров Глеб Олегович

Оглавление

Введение

Глава 1. Обзор литературы

Глава 2. Описание проекционно-характеристического метода

2.1 Разрешающий оператор задачи переноса в выпуклой области

2.2 Сетки и сеточные функциональные пространства

2.3 Постановка задачи и входные данные для метода СРР

2.4 Бескоординатное описание метода СРР

2.5 Алгоритм обходя ячеек в методе СРР

2.6 Структура данных для метода СРР на языке С++

Глава 3. Обоснование сходимости метода СРР

3.1 Необходимые сведения о пространствах Соболева

3.2 Оценки точности для метода СРР

3.3 Неотрицательная модификация метода СРР

Глава 4. Матричная реализация метода СРР

4.1 Барицентрические координаты и полиномиальные базисы

4.2 Необходимые матрицы и специальные функции

4.2.1 Матрицы перехода € и О

4.2.2 Матрицы й-1, Н-1 и связь с ортопроекторами Ррз(р),

4.2.3 Матрицы операторов ограничения Сг(ц) и Вк(ч)

4.2.4 Гипергеометрические специальные функции и '

4.2.5 Матрицы влияния граничного условия ¥г({) и ¥*-п(0

4.2.6 Матрицы влияния источника ий,п({) и х*-п(0

4.3 Матричное описание метода СРР

4.3.1 Вырожденная ячейка

4.3.2 Разбиения ортопроекторов

4.3.3 Ячейка первого типа

4.3.4 Ячейка второго типа

4.3.5 Ячейка третьего типа

4.3.5 Неотрицательная модификация

Глава 5. Верификация метода СРР и расчет задачи защиты

5.1 Верификация метода СРР

5.2 Применение метода СРР к задаче защиты

Заключение

Список Литературы

Список рисунков

Список таблиц

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Проекционно-характеристический метод высокого порядка аппроксимации для решения уравнения переноса на сетке из тетраэдров»

Введение

Актуальность темы исследования: Актуальность определяется необходимостью решения уравнения переноса неполяризованного излучения или незаряженных частиц в ряде задач науки и техники от моделирования процессов в ядерных реакторах до климатических задач с переносом солнечного и теплового излучения в атмосфере. Работа посвящена построению, анализу, доказательству сходимости и использованию схемы высокого порядка аппроксимации для нахождения численного решения на сетке из тетраэдров. Автором работы предложен новый метод численного решения уравнения переноса высокого порядка аппроксимации на минимальном шаблоне неструктурированной сетки, а также разработаны вычислительные алгоритмы и программная реализация, которая использована для решения прикладной задачи.

Цель диссертации: Целью настоящей работы является создание численного метода высокого порядка аппроксимации, позволяющего решать стационарное уравнение переноса на сетке из тетраэдров. Тетраэдальные сетки позволяют моделировать среды со сложным пространственным распределением оптических характеристик, таких как коэффициент поглощения/рассеяния. Высокий порядок аппроксимации позволяет получать хорошую точность вычислений для не слишком подробных сеток.

Постановка задачи: В связи с поставленной целью налагаются следующие требования к разрабатываемому численному методу:

1. Численный метод должен обладать минимальным шаблоном в рамках одной ячейки, чтобы правильно учитывать эффект от резкого изменения коэффициентов задачи между соседними ячейками.

2. Численный метод должен одинаково хорошо справляться с расчетом оптически тонких и оптически толстых ячеек. Это связано с тем, что

интегрирование по энергии может выполняться как по Риману, так и по Лебегу в различных реализациях метода. В последнем случае в каждой пространственной ячейке может наблюдаться широкий диапазон изменения коэффициента поглощения на несколько порядков для разных точек энергетического спектра.

3. Метод должен быть основан на характеристических свойствах уравнения переноса, так как в оптически толстых ячейках это позволяет явно учитывать экспоненциальное затухание решения, плохо описываемое алгебраическими способами при большой оптической толщине. Кроме того, характеристические свойства уравнения переноса позволяют реализовать эффективный алгоритм последовательного разрешения ячеек.

4. Метод должен быть экономичным по расходу памяти и расчетного времени, поскольку решается задача нахождения функции распределения большой размерности.

Методы и подходы исследования:

• Для доказательства теоретических оценок точности используются методы функционального анализа и вычислительной математики.

• Для реализации обхода разрешимых ячеек в соответствии с освещенностью используются методы теории графов.

• Распараллеливание алгоритма обхода производится в рамках подхода ОрепМР.

• Для верификации алгоритма использован вычислительный эксперимент для решения модельных задач.

Научная новизна работы включает комплекс математических, алгоритмических и программных решений. Предложен новый проекционно-характеристический метод решения уравнения переноса высокого порядка аппроксимации. Предложен новый вариант многопоточной реализации алгоритма обхода разрешимых ячеек на основе топологической сортировки графа.

Теоретическая значимость работы заключается в доказательстве сходимости предложенного метода. Доказательство является оригинальным и принадлежит лично автору диссертации.

Практическая ценность разработанного метода определяется компактностью шаблона, возможностью описания геометрии реальных технических устройств сетками из тетраэдров и высоким порядком аппроксимации, который может обеспечивать высокую точность численного результата на не слишком подробных сетках. Ценна также независимость порядка сходимости от величины оптической толщины ячеек.

Обоснованность результатов обеспечивается проделанной теоретической работой по доказательству сходимости предлагаемого метода с использованием аппарата функционального анализа.

Достоверность результатов обеспечивается моделированием на ЭВМ тестовых задач в широким диапазоне изменения коэффициента поглощения и сопоставлением полученных результатов с известными точными решениями, а также согласованностью полученных результатов моделирования с физической картиной в рамках реальной задачи.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Предложен новый проекционно-характеристический метод третьего порядка аппроксимации. Для расчета ячеек используется характеристический вид разрешающего оператора задачи переноса, в качестве замыкающего оператора используется ортопроектор, а не интерполяционный оператор.

2. В работе выполнено доказательство сходимости метода с третьим порядком при условии достаточно гладкого точного решения. Доказательство оценок точности для методов данного класса обладает научной новизной.

3. Выполнена программная реализация метода и проведена верификация путем численного решения модельных задач, обладающих точным решением. Экспериментально подтвержден установленный теоретически третий порядок

сходимости. В рамках программной реализации было выполнено распараллеливание алгоритма разрешения ячеек, достигнуто существенное ускорение.

4. Решена задача нейтронной защиты для металлической конструкции с помощью предложенного метода.

Апробация результатов исследования осуществлена в докладах и выступлениях на следующих Всероссийских и международных конференциях:

• Математика Компьютер Образование (Пущино, 2015),

• 58-я Всероссийская научная конференция МФТИ (Долгопрудный, 2015),

• 21-я Всероссийская Конференция Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов для решения задач математической физики, посвященная памяти К.И. Бабенко (Абрау-Дюрсо, 2016),

• Международная научная конференция Актуальные проблемы прикладной математики и физики (Нальчик, 2017),

• Математика Компьютер Образование (Дубна, 2018),

• IV Международная научная конференция Актуальные проблемы прикладной математики (Нальчик, 2018),

• Математика Компьютер Образование (Пущино, 2019),

• Международная конференция КР0МШ-2019 (Ласпи, 2019),

• 63-я Всероссийская научная конференция МФТИ (Долгопрудный, 2020),

• Математика Компьютер Образование (Дубна, 2024).

Публикации. По теме диссертации автором было опубликовано 10 работ. Из них 1 - WoS, 6 - Scopus, 10 - из списка ВАК.

Личный вклад соискателя заключается в адаптации одномерного разностного метода на нерегулярные сетки и в проекционной модификации метода, в доказательстве его сходимости, в разработке программного кода и его распараллеливании, в написании научных статей и их подготовке к публикации.

Благодарности: Автор выражает благодарность научному руководителю Е.Н. Аристовой за постановку задач и чуткое руководство, коллегам А.В. Шилькову, М.Н. Герцеву за помощь при анализе результатов, полезные обсуждения и ценные рекомендации.

Глава 1. Обзор литературы

Исследование на основе уравнения переноса актуально во многих разделах науки и техники, таких как радиационная газовая динамика [1-3], лучистый теплообмен [4-6], атмосферная радиация [7], астрофизика [8], нейтронная физика и задачи защиты [9-11], физика ядерных реакторов [12, 13]. Само уравнение переноса имеет вид:

1дф

-— + ^гаа ф, м> + (ай + а5)ф = уд1: (1.1) = F + I К(ы' ^ ы,Е' ^ Е) ф(х^,ы',Е') <!ы'(1Е'.

Интегро-дифференциальное уравнение переноса (1.1) описывает кинетические процессы в среде, связанные с переносом незаряженных частиц или неполяризованного излучения. Искомый скалярный поток частиц ф зависит от многих переменных: от пространственных х = (х±,х2,х3) и от времени £, от углового направления м = ы2, ^3), |м| = 1, от энергетической переменной Е. Коэффициенты поглощения и рассеяния оа, о3 заданы и являются функциями состояния вещества. Мы предполагаем, что состояние среды известно, тем самым оа, о3 зависят от х, Е, £. Величина V представляет собой модуль скорости частиц, обладающих энергией Е. Функция источников излучения (нейтронов) F зависит от х, Е, £. Интеграл в правой части берется по энергетическому спектру Е' и по единичной сфере м' угловых направлений, ядро К интегрального оператора описывает процессы рассеяния. Также в правой части (1.1) могут присутствовать интегральные члены, отвечающие за деление и рождение частиц. При изотропном рассеянии функция К постоянна по углу рассеяния ц = {ю, м'>.

Математическая теория решения уравнения переноса (1.1) развивалась многими авторами [14-18]. В работах [17, 18] вводится понятие слабого решения задачи переноса и доказываются теоремы о свойствах гладкости решения. В

работах [15, 17] исследуются спектральные свойства краевых задач переноса. А в работе [16] изучаются локальные свойства решений. Теоретические знания о свойствах решения уравнения переноса могут оказаться полезными при выборе численного метода в конкретной ситуации, а также для априорной оценки точности метода.

Поскольку функция распределения ф зависит от многих переменных, то даже при всего десяти точках по каждой переменной общий объем данных, необходимых для хранения, равен 107. Поэтому для численного решения задач нейтронной физики в сложных областях требуется возможная минимизация сеток по каждой переменной за счет увеличения порядка аппроксимации (для интегрирования, дифференцирования). Также вводятся наблюдаемые в экспериментах интегральные моменты функции распределения:

- поток и ток излучения (нейтронов). Интегрирование по сфере угловых направлений уравнения переноса (1.1) позволяет получить уравнения на и, Ж меньшей размерности, однако отдельной задачей стоит замыкание полученной системы.

Наличие в (1.1) интегрального члена по рассеянию приводит к тому, что для решения задач с рассеянием требуется вводить итерационный процесс. В случае, когда вероятность «гибели» нейтрона/фотона в расчетной области мала (это возникает, когда велика протяженность расчетной области, или когда мал коэффициент поглощения по сравнению с коэффициентом рассеяния), метод простых итераций источника сходится медленно. В обзоре [19] показано, что наиболее медленная сходимость итерационного процесса происходит для длинноволновых компонент решения с плавной зависимостью от угловой переменной. Поэтому в этом случае возникает нужда в ускорении сходимости итерационного процесса. Методы ускорения сходимости итераций по интегралу

(1.2)

рассеяния делятся на аддитивные и мультипликативные. Выполнение итерационного шага разбивается на этапы. На первом решается, собственно, уравнение переноса. На втором решаются некоторые уравнения меньшей размерности для поправок в аддитивном случае, или уравнения с замороженными дробно-линейными функционалами от функции распределения по угловым (и/или энергетическим) переменным в мультипликативном случае. К первому классу аддитивных методов ускорения сходимости итераций источника относятся DSA (diffusion synthetic acceleration) [20-22], семейство КР-методов Лебедева [23-26], TSA (transport synthetic acceleration) [27] и ряд других близких к ним по смыслу. Заметим, что эффективность этих методов сильно зависит от пространственной дискретизации уравнений меньшей размерности. Требование кинетической согласованности является необходимым для сохранения теоретического ускорения на разностном уровне. Ко второму классу мультипликативных методов относится метод квазидиффузии В.Я. Гольдина [28, 29] и некоторые другие варианты его метода. В этом случае вводится дробно-линейный функционал (тензор квазидиффузии) :

ГТш ,-œ ,-ф d м

DlJ =Js J -. (1.3)

ХГ ф Л м

и дробно-линейные функционалы краевых условий (обозначаемые далее с), более слабо зависящие от ошибок решения. Система уравнений квазидиффузии для интегральных величин (1.2) (в которых еще присутствует зависимость от энергии) имеет вид:

1 ди

у дt а

1д^' д(Я^и) (14)

В диффузионном приближении тензор квазидиффузии полагается равным одной третьей от единичного. В методе квазидиффузии решение уравнений переноса

(высокой размерности: Hight Order) (1.1) и квазидиффузии (низкой размерности Low Order) (1.4) связаны друг с другом (Рис. 1.1). Из уравнения переноса передаются в уравнение низкой размерности вычисленное новое приближение к тензору квазидиффузии (1.3) и коэффициенты граничного условия. В свою очередь, интеграл рассеяния в уравнении переноса (1.1) преобразуется так, чтобы получить главную часть рассеяния, вычисляемую по U, W, получаемым в качестве решения уравнений квазидиффузии.

Low Order

Рисунок 1.1 - Метод квазидиффузии: обмен данными между задачами высокой и низкой размерности

В отличие от аддитивных методов, мультипликативные не требуют кинетической согласованности разностных схем для решения двух этапов. Понимая желательность ускорения итерационного процесса, в данной работе такое ускорение не сделано, так как предполагается, что os/(oa + os) < 1 в решаемых задачах. Ускорение итерационного процесса может быть целью дальнейшей работы.

Уравнение переноса должно быть дискретизировано еще и по энергии частиц. Для дискретизации по энергетической переменной существует стандартное многогрупповое приближение [30]. Его проблема в том, что оно требует введения весового модельного спектра I, который должен быть в каком-то смысле близким к решению. По модельному спектру рассчитываются групповые коэффициенты среды:

High Order

Е- +

С- о(х,Е, г)1(х, Е, г)(1Е

+

1(х,Е, г)<1Е

Ьр

Затем для каждой энергетической группы £р = [ЕЕ+] решается задача переноса, описываемая односкоростным уравнением (1.1) с групповыми коэффициентами о^, о]!. Вычисляется набор функций фр = фр(х, м, £). От качества весового спектра зависит качество групповых коэффициентов. Расчет групповых констант для нейтронных задач осуществляется на основе комплекса программ БНАБ [31, 32], которая позволяет моделировать существующие типы реакторов с хорошей степенью точности. Однако, принципиальная смена концепции реактора влечет за собой необходимость пересматривать эти константы, подстраивая модельный спектр.

Расчеты подробного поточечного представления спектра для нейтронных задач не только очень дороги, но и невозможны, так как практически для любых веществ есть области неразрешенных резонансов, в которых подробная зависимость коэффициентов поглощения от энергии нейтронов неизвестна. Учет влияния реальной физической структуры сечений на интегральные характеристики нейтронного поля достигается применением метода лебеговского осреднения спектров, развиваемым в настоящее время [33-37]. Математическое обоснование и верификацию этой идеи можно найти в работах А.В. Шилькова [33, 38]. Идея лебеговского осреднения легко воплощается математически, если коэффициенты поглощения позволяют ввести разделение по пространственным и энергетической переменным. Однако в реальных задачах такое разделение переменных ввести чаще всего невозможно. На это влияет неравномерность распределения концентраций поглощающих и рассеивающих веществ, а также различная ширина одной и той же линии поглощения в различных частях расчетной области вследствие гетерогенности термодинамических параметров. Прогресс в работах А.В. Шилькова достигнут за счет двух идей: 1) разбиение энергетической области на носители резонансов, 2) замена энергетической переменной на новую, которой

является мера лебеговых множеств. Первая идея позволяет реализовывать метод в задачах с сильной пространственной неоднородностью распределений поглощающих компонентов среды. Вторая идея позволяет учесть пространственную неоднородность ширин линий. В методе лебеговского осреднения также возникает необходимость ввести весовой спектр, однако зависимость лебеговых констант от этого спектра существенно более слабая, чем в многогрупповом приближении. Еще одним достоинством лебеговского осреднения является то, что осреднение по лебеговым множествам сохраняет классический вид уравнения переноса. Следовательно, все коды, применяемые для классического уравнения, могут быть применены к задачам с лебеговским подходом к энергетическому представлению решений.

Развиваемый в настоящей работе метод может работать как с многогрупповым приближением, так и с лебеговским осреднением спектра. Отметим, что лебеговское осреднение коэффициента поглощения сохраняет полный диапазон изменения коэффициента. В то время как групповые константы сильно сглажены и представляют собой кусочно-постоянную аппроксимацию на энергетическом интервале конкретной группы. Полный диапазон изменения коэффициента поглощения влечет за собой разброс оптических толщин фиксированной ячейки в разных участках энергетического спектра на несколько порядков. Поэтому в любой разумной задаче одна и та же ячейка будет и оптически тонкой, и оптически толстой в разных участках спектра. Этим обосновывается необходимость сохранения экспоненциальной зависимости решения вдоль характеристики, а не замена этой зависимости каким-то алгебраическим представлением или дробно-полиномиальным (Паде-аппроксимация). По этой же причине метод конечных элементов может быть не столь эффективным при произвольных оптических толщинах ячеек. Для решения конкретной задачи в главе 4 использовано стандартное многогрупповое приближение, однако в перспективе предполагается использование метода лебеговского осреднения.

Для представления решения по угловой переменной существует метод сферических гармоник [14, 17, 39-42] (Р^метод) и метод дискретных ординат [4, 43-46] ^^метод). Идея метода сферических гармоник заключается в приближении функции распределения ф конечной суммой:

где У/, 1 = -к,...,к - ортогональный базис в пространстве сферических функций степени к. Данное выражение подставляется в уравнение переноса (1.1), затем полученное умножается на ^¿(м) и интегрируется по сфере. Получается система из ( N + 1)2 дифференциальных уравнений в частных производных относительно функции ¿(х). Математическое обоснование метода сферических гармоник и вопросы его сходимости рассмотрены в работе [17]. Метод сферических гармоник трудоемок даже для одномерных задач. В многомерных задачах предпочтение отдается SN-методу. Метод дискретных ординат состоит в том, что на сфере угловых направлений выделяется дискретный набор узлов ..., 6 5, затем для каждого из них решается уравнение переноса (1.1). Для реализации итерационного процесса по правой части уравнения переноса в методе дискретных ординат необходимо располагать сферической кубатурной формулой [47-53, 5759], позволяющей приближенно находить интеграл по сфере:

Методы дискретных ординат делятся на те, где угловые направления симметрично распределены по сфере, и на те, где используются сетки прямого произведения по каждому из углов в сферических координатах. Первые сетки экономнее, но позволяют эффективно вычислять только интегралы при малой анизотропии рассеянии. Вторые более затратные, но более эффективны для работы со сложной

ф(х,м) « (2к + 1) ф/гМУ/^м),

индикатрисой рассеяния и для работы с резкой угловой зависимостью внешнего падающего излучения.

Для сферических кубатурных формул есть понятие алгебраического порядка точности. Считается, что кубатурная формула (1.5) обладает п-свойством, если она выдает точное значение интеграла (первого рода) по сфере для всех функций из пространств сферических гармоник Ж0, ...,"Нп (ограничений на сферу однородных гармонических многочленов трех переменных). Кубатурная формула имеет алгебраический порядок точности п, если она обладает п-свойством, но не (п + 1)-свойством. Размерность пространства равна 2п+ 1, а прямой суммы - (п+ 1)2. Ограничение на сферу произвольного многочлена от трех переменных степени к совпадает с ограничением некоторого гармонического многочлена степени не выше к, поэтому обладающая п-свойством кубатурная формула точна для произвольных многочленов степени не выше п. Расположение узлов кубатурной формулы на сфере играет определяющую роль для ее построения, поскольку нахождение весов при заданных узлах представляет собой

тривиальную задачу решения системы линейных уравнений. Существуют оценки на количество узлов N при заданном порядке точности п кубатурной формулы:

N > ([п/2] + 1)2.

Для положительных (с положительными весами) кубатурных формул имеется более точная доказанная в [50] оценка:

N > ([п/2] + 1)([п/2] + 2). (1.6)

Эта оценка снизу достигается очень редко, например, на правильных многогранниках. В методе дискретных ординат используются только положительные кубатурные формулы.

Класс кубатурных формул типа прямого произведения связан со введением сферических координат (ф, 0) на поверхности сферы. За основу берется квадратурная формула на отрезке [54]:

rl ^М

I /(x)dx~> Wfc/(xfc) (1.7)

с алгебраическим порядком точности п на многочленах одной переменной. Затем по узлам —1 < x1, ...,хМ < 1 вычисляются полярные углы 0 < ...,0М < п, так что xfc = cos 0fc. По азимутальному углу вводится равномерная сетка ф1,..., фп+1 : ф i = 2п //(п + 1). Тогда сферическая кубатурная формула с узлами wfci: (фг, 0fc) в количестве N = М(п + 1) и весами = wfc2u/(n + 1) имеет алгебраический порядок точности п. Наиболее эффективная кубатурная формула произведения получается в ситуации, когда базовая квадратурная формула (1.7) является квадратурой Гаусса. В этом случае п = 2М — 1, М = [п/2] + 1 и общее количество узлов:

N = 2М2 = 2([п/2] + 1)2,

что с учетом оценки (1.6) представляет весьма хороший результат.

Кубатурная формула (1.5) называется симметричной относительно конечной группы G ортогональных преобразований, если преобразовании группы G переводят в себя ее набор узлов w1, , и возникающие при этом действии

орбиты узлов обладают одинаковым весом. Доказано [51], что для проверки алгебраического порядка точности G-симметричной кубатурной формулы (1.5) достаточно проверять точность не на всем пространстве сферических многочленов Тп = Ho0 ... 0 Hn, а только на пространстве G-инвариантов ТЩ = HOG0 .0 ЖЩ. Размерность пространства ТЩ существенно меньше размерности Тп. В случае, когда группа G порождена отражениями [55], то пространство G-инвариантных многочленов алгебраически порождается конечным набором базисных инвариантов [56]. Например, если G = Oct - группа симметрий правильного октаэдра, то любой G-инвариантный многочлен р однозначно выражается как:

p(w1, to3) = + ^2 + to2, + + ^2^),

где ^ = - многочлен от трех переменных. При ограничении р на сферу

зависимость ^ от и несущественна, так как + + ы2 = 1. Работы по построению симметричных кубатурных формул берут начало с отчета Карлсона [43]. Наиболее выдающихся результатов удалось достичь Лебедеву [57-59]. В своих работах по построению симметричных относительно группы октаэдра кубатурных формул он решал сложные нелинейные уравнения для одновременного нахождения оптимальных весов и узлов с целью достижения наивысшего алгебраического порядка точности. В работе [60] исследовалось влияние выбора кубатурной формулы на точность решения уравнения переноса (Рис. 1.2).

гс

•......86 узлов

--110 узлов /

-194 узла /

к

Рисунок 1.2 - Зависимость ошибки сеточно-характеристического метода от подробности пространственной сетки для трех различных угловых дискретизаций по кубатурам В.И. Лебедева

Перейдем к обсуждению дискретизации уравнения переноса (1.1) по пространственной переменной. Если говорить о модельном уравнении переноса с одной пространственной переменной:

ди ди дх

то развиваемые для него разностные схемы [61-63] распространяются потом либо для решения гиперболических систем законов сохранения, либо для решения кинетических уравнений, например, уравнения переноса нейтронов/фотонов. Физическая природа, описываемая в первом и во втором случаях, различна. Если решения уравнений газовой динамики вне ударных волн обладают достаточной гладкостью, то для решения уравнений переноса частиц характерны

множественные разрывы решения и его производных, связанные с конфигурацией источников и внутренних границ, а также разрывов оптических свойств материалов. Для решения гиперболических систем законов сохранения могут применяться разностные схемы с широким шаблоном (ENO3, WENO5) [64], в то время как для решения кинетического уравнения предпочтительнее использовать схемы с компактным шаблоном в рамках одной ячейки. К последним можно отнести, например, бикомпактные схемы Рогова [65-70]. Они строятся на регулярных кубических сетках и обладают четвертым порядком аппроксимации по пространственным переменным и произвольным по времени, поскольку строятся методом прямых. Увеличение порядка аппроксимации достигается за счет расширения списка неизвестных на минимальном шаблоне. Бикомпактные схемы Рогова обладают смешанным типом конечно-объемных - конечно-разностных, поэтому среди расчетных величин имеются узловые значения и средние по ячейке, характерные для методов конечных объемов. Другим примером схем на компактном шаблоне является схема CIP (Cubic Interpolation Polynomial) [71-73]. Эта схема относится к классу интерполяционно-характеристических с использованием эрмитовой интерполяции. Эрмитова интерполяция строится по значениям не только самой функции, но и ее производной. Для построения замкнутой схемы решения уравнения переноса с использованием эрмитовой интерполяции необходим способ вычисления пространственных производных на верхнем слое. В классическом методе CIP для этого применяется решение продолженного уравнения переноса:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Астафуров Глеб Олегович, 2024 год

Список литературы

1. Четверушкин, Б.Н. Математическое моделирование задач динамики излучающего газа / Б.Н. Четверушкин. - Москва: Наука, 1985. - С.304.

2. Зельдович, Я.Б. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений / Я.Б. Зельдович, Ю.П. Райзер. - Москва:Наука, 2008. - С.656.

3. Бай, Ши-и Динамика излучающего газа / Ши-и Бай. - Москва: Мир, 1968. -С.323.

4. Чандрасекар, С. Перенос лучистой энергии / С. Чандрасекар. - Москва: Издательство иностранной литературы, 1953. - С.431.

5. Зигель, Р. Теплообмен излучением / Р. Зигель, Дж. Хауэлл. - Москва: Мир, 1975. - С.934.

6. Оцисик, М.Н. Сложный теплообмен / М.Н. Оцисик. - Москва: Мир, 1976. -С.615.

7. Лиоу, Ку-Нан Основы радиационных процессов в атмосфере / Ку-Нан Лиоу. -Ленинград: Гидрометеоиздат, 1984. - С.376.

8. Михалас, Д. Звездные атмосферы / Д. Михалас. - Москва: Мир, 1982. - С.352.

9. Бергельсон, Б.Р. Многогрупповые методы расчета защиты от нейтронов / Б.Р. Бергельсон, А.П. Суворов, Б.3. Торлин. - Москва: Атомиздат, 1970. - С.272.

10. Гермогенова, Т.А. Альбедо нейтронов / Т.А. Гермогенова, В.Г. Золотухин, В.А. Климанов [и др.]. - Москва: Атомиздат, 1973. - С.280.

11. Ямпольский, П.А. Нейтроны атомного взрыва / П.А. Ямпольский. - Москва: Государственное издательство литературы в области атомной науки и техники, 1961. - С.130.

12. Теория ядерных реакторов / Д. Белл, С. Глесстон. - Москва: Атомиздат, 1974. -С.496.

13. Физическая теория ядерных реакторов / А. Вейнберг, Е. Вигнер. - Москва: Издательство иностранной литературы, 1961. - С.724.

14. Дэвисон, Б. Теория переноса нейтронов / Б. Дэвисон. - Москва: Атомиздат, 1960. - С.512.

15. Кейз, К. Линейная теория переноса / К. Кейз, П. Цвайфель. - Москва: Мир, 1972. - С.381.

16. Гермогенова, Т.А. Локальные свойства решений уравнения переноса / Т.А. Гермогенова. - Москва: Наука, 1986. - С.272.

17. Владимиров, В.С. Математические задачи односкоростной теории переноса частиц / В.С. Владимиров // Труды МИАН СССР. - 1961. - Т.61. - С.158.

18. Agoshkov, V. Boundary Value Problems for Transport Equations / V. Agoshkov. -New York: Springer, 1998. - P.278.

19. Larsen, E. Fast iterative methods for discrete-ordinates particle transport calculations / M. Adams, E. Larsen // Progress in Nuclear Energy. - 2002. - Vol.40, №1. - P.159.

20. Kopp, H. Synthetic Method Solution of the Transport Equation / H. Kopp // Nuclear Science and Engineering - 1963. - Vol.17, no.1 - P.65-74.

21. Alcouffe, R. A Stable Diffusion Synthetic Acceleration Method for Neutron Transport Iterations / R. Alcouffe // Transaction of the American Nuclear Society. - 1976. -Vol.23. P.203.

22. Alcouffe, R. Diffusion Synthetic Acceleration Methods for the Diamond-Differenced Discrete-Ordinates Equations / R. Alcouffe // Nuclear Science and Engineering. -1977. - Vol.64. - P.344-355.

23. Лебедев, В.И. О KP-методе ускорения сходимости итераций при решении кинетического уравнения / В.И. Лебедев // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1966. - Т.6, №4. - С.154-176.

24. Лебедев, В.И. О нахождении решений кинетических задач / В.И. Лебедев // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1966. - Т.6, №5. - С.895-912.

25. Лебедев, В.И. Об итерационном KP-методе / В.И. Лебедев // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1967. - Т.7, №6. -С.1250-1269.

26. Лебедев, В.И. О сходимости KP-метода для некоторых задач переноса / В.И. Лебедев // Журнал вычислительной математики и математической физики. -1969. - Т.9, №1. - С.226-235.

27. A Transport-Synthetic Acceleration Method for Transport Iterations / G. Ramone, M. Adams, P. Nowak // Nuclear Science and Engineering. - 1997. - Vol.125. -P.257-283

28. Гольдин, В.Я. Квазидиффузный метод решения кинетического уравнения / В.Я. Гольдин // Журнал вычислительной математики и математической физики. -1964. - Т.4, №6. - С.1078-1087.

29. Гольдин, В.Я. О математическом моделировании задач сплошной среды с неравновесным переносом / В.Я. Гольдин. - Москва: Наука, 1982. - С.340.

30. Многогрупповое приближение в теории переноса нейтронов / М. Н. Николаев, Б. Г. Рязанов, М. М. Савоськин, А. М. Цибуля. - Москва: Энергоатомиздат, 1984. - C.252.

31. Групповые константы для расчета реакторов и защиты / Л.П. Абагян, Н.О. Базазянц, М.Н. Николаев, A.M. Цибуля. - Москва: Энергоиздат, 1981. - С.233.

32. Комплекс программ CONSYST/ABBN - подготовка констант БНАБ к расчетам реакторов и защиты / М.Н. Николаев, А.М. Цибуля, А.Г. Цикунов [и др.]. -Отчет ГНЦ РФ ФЭИ №9865. - 1998.

33. Shilkov, A.V. Generalized Multigroup Approximation and Lebesgue Averaging Method in Particle Transport Problems / A.V. Shilkov // Transport Theory and Statistical Physics. - 1994. - Vol.23, no.6. - P.781-814.

34. Аристова, Е.Н. Метод лебеговского осреднения в серийных расчетах атмосферной радиации / Е.Н. Аристова, М.Н. Герцев, А.В. Шильков // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2017. - Т.57, №6. -С.1033-1047.

35. Шильков, А.В. Методы осреднения сечений и энергетического спектра в задачах переноса нейтронов / А.В. Шильков // Математическое моделирование. - 1991. - Т.3, № 2. - С.63-81.

36. Гольдин, В.Я. Эффективный метод решения уравнения переноса излучения в низкотемпературной плазме / В.Я. Гольдин, Б.Н. Четверушкин // Доклады Академии Наук СССР. - 1970. - Т.195, №2. - С.315-317.

37. Аристова, Е.Н. Расчет излучения в ударном слое спускаемого космического аппарата с учетом деталей спектра фотонов / Е.Н. Аристова, Г.О. Астафуров, А.В. Шильков // Компьютерные исследования и моделирование. - 2017. - Т.9, №4. - С.579-594.

38. Шильков, А.В. Верификация метода лебеговского осреднения / М.Н. Герцев,

A.В. Шильков // Математическое моделирование. - 2015. - Т.27, №8. - С.13-31.

39. Kofink, W. Studies of the spherical harmonics method in neutron transport theory / W. Kofink // I1 Nuovu Cimento Series 10. - 1958. - Vol.9. - P.497-541.

40. Marshak, R. Note on the spherical harmonic method as applied to the Milne problem for a sphere / R. Marshak // Physical Review. - 1947. - Vol.71. - P.443-446.

41. Марчук, Г.И. Численные методы расчета ядерных реакторов / Г.И. Марчук. -Москва: Атомиздат, 1958. - С.383.

42. Численные методы в теории переноса нейтронов / Г.И. Марчук, В.И. Лебедев.

- Москва: Атомиздат, 1981. - С.453.

43. Discrete ordinates angular quadrature for neutron transport equation: technical report / K. Lathrop, B. Carlson. - Los Alamos, 1965. - P.50.

44. Владимиров, В.С. Численное решение кинетического уравнения для сферы /

B.С. Владимиров // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1958. - Т.3. - С.3-33.

45. Метод дискретных ординат решения уравнения переноса / Ю. Князихин, А. Маршак. - Талин: Валгус, 1987. - С.159.

46. Басс, Л.П. Методы дискретных ординат в задачах о переносе излучения / Л.П. Басс, А.М. Волощенко, Т.А. Гермогенова. - Москва: ИПМ АН СССР, 1986. -

C.231.

47. Мысовских, И.П. Интерполяционные кубатурные формулы / И.П. Мысовских.

- Москва: Наука, 1981. - С.336.

48. Sloan, I. Extremal systems of points and numerical integration on the sphere / I. Sloan, R. Womersley // Advances in Computational Mathematics. - 2004. - Vol.21. -P.107-125.

49. Numerical integration on the sphere / K. Hesse, I. Sloan, R. Womersley. - New York: Springer, 2010. - P.1185-1219.

50. Delsarte P. Spherical codes and designs / P. Delsarte, J Goethals, J. Seidel // Geometriae Dedicata. - 1977. - Vol.6 - P.363-388.

51. Соболев, С.Л. О кубатурных формулах на сфере, инвариантных при преобразованиях конечных групп вращений / С.Л. Соболев // Доклады Академии Наук СССР. - 1962. - Т.146, №2. - С.310-313.

52. Соболев, С.Л. О числе узлов кубатурных формул на сфере / С.Л. Соболев // Доклады Академии Наук СССР. - 1962. - Т.146, №4. - С.770-773.

53. Xu Y. Polynomial approximation in Sobolev spaces on the unit sphere and the unit ball / Y. Xu, F. Dai // Journal of Approximation Theory. - 2011. - Vol.163. - P.1400-1418.

54. Никольский, С.М. Квадратурные формулы / С.М. Никольский. - Москва: Наука, 1988. - С.254.

55. Humhreys, J. Reflection groups and Coxeter groups / J. Humphreys. - Cambridge: Cambridge University Press, 1992. - P.204.

56. Xu, Y. Orthogonal polynomials of several variables / C. Dunkl, Y. Xu. - Cambridge: Cambridge University Press, 2001. - P.390.

57. Лебедев, В.И. О квадратурах на сфере / В.И. Лебедев // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1976. - Т. 16, №2. - С.293-306.

58. Лебедев, В.И. Квадратурные формулы для сферы 25-29-го порядка точности / В.И. Лебедев // Сибирский математический журнал. - 1977. - Т.18, №1. - С.132-142.

59. Лебедев, В.И. Квадратурные формулы для сферы 41-, 47- и 53-го порядков / В.И. Лебедев, А.Л. Скороходов // Доклады Академии Наук. - 1992. - Т.324, №3. - С.519-524.

60. Аристова, Е.Н. О влиянии точности кубатурных формул на интегральные характеристики решения уравнения переноса / Е.Н. Аристова, Г.О. Астафуров // Математическое моделирование. - 2020. - Т.32, №1. - С. 15-30.

61. Галанин, М.П. Сравнительный анализ разностных схем для линейного уравнения переноса / М.П. Галанин, Т.Г. Еленина // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. - 1998. - №52.

62. Галанин, М.П. Тестирование разностных схем для линейного уравнения переноса / М.П. Галанин, Т.Г. Еленина // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. - 1999. - №40.

63. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений / А.Г. Куликовский, Н.В. Погорелов, А.Ю Семенов. - Москва: Физматлит, 2001. - С.608.

64. Shu, C. Essentially non-oscillatory and weighted essentially non-oscillatory schemes for hyperbolic conservation laws / C. Shu // Advanced Numerical Approximation of Nonlinear Hyperbolic Equations. - 2006. - P.325-432.

65. Рогов, Б.В. М.Н. Михайловская, Бикомпактные схемы четвертого порядка аппроксимации для гиперболических уравнений / Б.В. Рогов, М.Н. Михайловская // Доклады Академии Наук. - 2010. - Т.430, №4. - С.470-474.

66. Рогов, Б.В. Монотонные бикомпактные схемы для линейного уравнения переноса / Б.В. Рогов, М.Н. Михайловская // Математическое моделирование. -2011. - Т.23, №6. - С.98-110.

67. Рогов, Б.В. Монотонные компактные схемы бегущего счета для систем уравнений гиперболического типа / Б.В. Рогов, М.Н. Михайловская // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2012. - Т. 52, №4. -С.672-695.

68. Рогов, Б.В. О реализации граничных условий в бикомпактных схемах для линейного уравнения переноса / Е.Н. Аристова, Б.В. Рогов // Математическое моделирование. - 2012. - Т.24, №10. - С.3-14.

69. Rogov, B.V. Bicompact scheme for the multidimensional stationary linear transport equation / E.N. Aristova, B.V. Rogov // Applied Numerical Mathematics. - 2015. -Vol.93. - P.3-14.

70. Rogov, B.V. Dispersive and dissipative properties of the fully discrete bicompact schemes of the fourth order of spatial approximation for hyperbolic equations / B.V. Rogov // Applied Numerical Mathematics. - 2019. - Vol.139. - P.136-155.

71. Yabe, T. The compact CIP (cubic-interpolated pseudo-particle) method as a general hyperbolic solver / T. Yabe, T. Aoki, G. Sakaguchi, [et al.] // Computers and Fluids.

- 1991. - Vol.19. - P.421-431.

72. Tsai, T. Characteristics method with cubic- spline interpolation for open channel flow computation / T. Tsai, S. Chiang, J. Yang // International Journal for Numerical Methods in Fluids. - 2004. - Vol.46. - P.663-683.

73. Aoki, T. Stability and accuracy of the cubic interpolated propagation scheme / T. Atoki // Computer Physics Communications. - 1997. - Vol.101. - P.9-20.

74. Аристова, Е.Н. Эрмитова характеристическая схема для неоднородного линейного уравнения переноса / Е.Н. Аристова, Г.И. Овчаров // Математическое моделирование. - 2020. - Т.32, №3. - С.3-18.

75. Аристова, Е.Н. Сравнение диссипативно-дисперсионных свойств компактных разностных схем для численного решения уравнения адвекции / Е.Н. Аристова, Г.О. Астафуров // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2021. - Т.61, №11. - С.1747-1758.

76. Петров, И.Б. Компактные сеточно-характеристические схемы повышенного порядка точности для трехмерного линейного уравнения переноса / В.И. Голубев, И.Б. Петров, Н.И. Хохлов // Математическое моделирование. - 2016.

- Т.28, № 2. - С.123-132.

77. Петров, И. Б. Численное моделирование волновых процессов в скальных массивах сеточно-характеристическим методом / И. Б. Петров, А. В. Фаворская // Математическое моделирование. -2018. - Т.30, №3. - С.37-51.

78. Петров, И.Б. Сеточно-характеристический метод на системах вложенных иерархических сеток и его применение для исследования сейсмических волн /

И.Б. Петров, А.В. Фаворская, Н.И. Хохлов // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2017. - Т.57, №11. - С.1804-1811.

79. Николаева, О.В. Нодальная сеточная схема для уравнения переноса излучения на неструктурированной тетраэдральной сетке / О.В. Николаева // Математическое моделирование. - 2015. - Т.27, №5. - С. 80-96.

80. Скалько, Ю.И. Маршевый алгоритм решения задачи переноса излучения методом коротких характеристик / Ю.И. Скалько, Р.Н. Карасёв, А.В. Акопян, И.В. Цыбулин, М.А. Мендель // Компьютерные исследования и моделирование. - 2014. - Т.6, №2. - С.203-215.

81. Аристова, Е.Н. Метод коротких характеристик второго порядка для решения уравнения переноса на сетке из тетраэдров / Е.Н. Аристова, Г.О. Астафуров // Математическое моделирование. - 2016. - Т.28, №7. - С.20-30.

82. Аристова, Е.Н. Характеристическая схема для решения уравнения переноса на неструктурированной сетке с барицентрической интерполяцией / Е.Н. Аристова, Г.О. Астафуров // Математическое моделирование. -2018. - Т.30, №9. - С.33-50.

83. Астафуров, Г. О. Алгоритм обхода ячеек в характеристических методах решения уравнения переноса / Г.О. Астафуров // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. - 2018. - №193. - С.24.

84. Аристова, Е.Н. Проекционно-характеристический метод третьего порядка для решения уравнения переноса на неструктурированных сетках / Е.Н. Аристова, Г.О. Астафуров // Математическое моделирование. - 2023. - Т.35, №11. - С.79-93.

85. Астафуров, Г.О. Построение и исследование метода CPP (Cubic Polynomial Projection) решения уравнения переноса / Г.О. Астафуров // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. - 2022. - №66. - С.56.

86. Алгоритмы / С. Дасгупта, Х. Пападимитриу, У. Вазирани. - Москва: МЦНМО, 2014. - С.318.

87. Sobolev Spaces / R. Adams, J. Fournier. - Boston: Pure and Applied Mathematics Series, 2003. - P.320.

88. Пространства Соболева (теоремы вложения) / М.Ф. Павлова, М.Р. Тимербаев. -Казань: Казанский государственный университет, 2010. - С.123.

89. Сьярле, Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач / Ф. Сьярле. -Москва: Мир, 1980. - С.512.

90. The Mathematical Theory of Finite Element Methods / S. Brenner, R. Scott. - New York: Springer, 2007. - P.400.

91. Яковлев, Е.И. Вычислительная топология / Е.И. Яковлев. - Нижний Новгород: Издательство Нижегородского университета, 2003. - С.198.

92. Рогов, Б.В. Консервативная монотонизация бикомпактных схем / М.Д. Брагин, Б.В. Рогов // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. - 2019. - №8. - С.26.

93. Холодов, А. С. О критериях монотонности разностных схем для уравнений гиперболического типа / А.С. Холодов, Я.А. Холодов // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2006. - Т.46, №9. -С.1638-1667.

94. Холодов, А.С. Построение монотонных разностных схем для систем уравнений гиперболического типа / Я.А. Холодов, А.С. Холодов, И.В. Цыбулин // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2018. - Т.58, №8. -С.30-49.

95. Специальные функции / Р. Акси, Р. Рой, Дж. Эндрюс. - Москва: МЦНМО, 2013. - С.652.

96. Discrete and Computational Geometry / S. Devadoss, J. O'Rourke. - Princeton: Princeton University Press, 2011. - P.280.

97. Алгоритмы построения и анализа триангуляций / А.В. Скворцов, Н.С. Мирза. -Томск: Издательство Томского университета, 2006. - С. 168.

98. Аристова, Е.Н. Высокоточная схема для уравнения переноса в задаче нейтронной защиты / Е.Н. Аристова, Г.О. Астафуров // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. - 2024. - №13. - С.21.

Список рисунков

1.1 Метод квазидиффузии: обмен данными между задачами высокой и низкой размерности.................................................................................12

1.2 Зависимость ошибки сеточно-характеристического метода от подробности пространственной сетки для трех различных угловых дискретизаций по кубатурам В.И. Лебедева..................................................................18

1.3 Диссипативно-дисперсионные свойства схемы С1Р.................................20

2.1 Перенос излучения/нейтронов в выпуклой области.................................25

2.2 Три типа освещенности ячеек: Первый тип - одна освещенная грань, Второй тип - две освещенные грани, Третий тип - три освещенные грани.............47

2.3 Пример сетки с циклом...................................................................51

2.4 Структура данных для описания топологии сетки..................................52

4.1 Разбиение треугольника на три части...................................................88

4.2 Разбиение тетраэдра на четыре части..................................................90

4.3 Вырожденная ячейка.....................................................................100

4.4 Ячейка первого типа.....................................................................110

4.5 Ячейка второго типа......................................................................113

5.1 Зависимость ошибки метода СРР от подробности сетки в логарифмическом масштабе для теста с постоянным коэффициентом поглощения при различных значениях коэффициента поглощения................................................121

5.2 Зависимость времени работы параллельной реализации метода СРР от количества ячеек для различного количества потоков............................123

5.3 Зависимость ошибки метода СРР от подробности сетки для теста с кусочно-постоянным коэффициентом поглощения...........................................125

5.4 Зависимость ошибки метода СРР от подробности сетки для теста с переменным в ячейках коэффициентом поглощения..............................126

5.5 Модель стального тела, облучаемого нейтронами.................................130

5.6 Спектр нейтронного поля снаружи объекта многогрупповом приближении. 132

5.7 Зависимость плотности углового распределения нейтронного поля от полярного угла.............................................................................132

5.8 Узлы сферической кубатурной формулы типа прямого произведения.........133

5.9 График многочлена Чебышева 10 степени...........................................133

5.10 График многочлена Лежандра пятой степени.......................................135

5.11 Сравнение энергетического спектра нейтронного тока внутри и снаружи конструкции...............................................................................138

5.12 Угловое распределение нейтронного поля внутри конструкции для первых двенадцати энергетических групп (по вертикальной оси - азимутальный угол ф, по горизонтальной оси - полярный угол 0).....................................141

5.13 Угловое распределение нейтронного поля снаружи конструкции..............141

Список таблиц

4.1 Формулы для вычисления ^Я^65 при больших |г|..................................94

4.2 Формулы для вычисления при больших |г|..................................95

5.1 Последовательность сгущающихся расчетных сеток.............................120

5.2 Состав стали в защитной конструкции..............................................130

5.3 Спектр нейтронов при взрыве атомной бомбы....................................131