Проектирование расчетной схемы для упруго-пластической среды с эффективным тензором деформации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Пешков, Илья Михайлович

• Пешков, Илья Михайлович
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Пешков, Илья Михайлович

Введение.*

ГЛАВА 1. НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ

1.1 Основные понятия и обозначения.

1.2 Симметрические гиперболические системы.

1.2.1 Необходимые сведения из теории СГС.

1.2.2 Симметризация в терминах напряжений Пиола-Кирхгофа

1.2.3 Симметризация в терминах деформаций

1.2.4 Вычисление матриц коэффициентов.

1.2.5 Условия выпуклости уравнения состояния и корректности задачи Коши

1.3 Уравнение состояния.

1.3.1 Модельное уравнение состояния

1.3.2 Анализ критерия гиперболичности и необходимость смены постановки задачи

1.3.3 Смена постановки задачи. Введение новой независимой переменной W.

1.3.4 Замечание о симметризациях в новой постановке задачи. Постулирование дискретной модели.

1.3.5 Определение констант уравнения состояния.

ГЛАВА 2. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

2.1 Разностная схема.

2.1.1 Схема Годунова.

2.1.2 Приближенное решение задачи о распаде произвольного разрыва для консервативной системы уравнений.

2.2 Одномерный случай.

2.2.1 Основные свойства одномерной задачи.

2.2.2 Характеристики в одномерном случае.

2.2.3 Несколько критических замечаний к реализации расчетной схемы

2.3 Разрывные решения. Примеры простейших одномерных расчетов 66 2.3.1 Разрыв в продольной компоненте скорости. Сходимость разностного решения.

2.3.2 Разрыв в продольной компоненте скорости. Задача о распаде разрыва.

2.3.3 Разрыв в поперечной компоненте скорости.

2.3.4 Разрыв в продольной компоненте скорости в анизотропном материале.

ГЛАВА 3. НЕЛИНЕЙНАЯ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКАЯ СРЕДА

3.1 Тензор эффективных упругих деформаций.

3.1.1 Тензор эффективных упругих деформаций. Условия совместности деформаций.

3.2 Расчеты ударно-волнового нагружения металлов.

3.2.1 Пример 1. Столкновение алюминиевых пластин.

3.2.2 Пример 2. Столкновение урановых пластин.

3.3 Двухмерные расчеты. Задача о косом столкновении пластин

Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Проектирование расчетной схемы для упруго-пластической среды с эффективным тензором деформации»

Во многих задачах современной физики появляется необходимость исследования и прогнозирования реакции материалов и конструкций на интенсивные динамические воздействия, например такие, как высокоскоростной удар, взрыв, импульсы мощного лазерного излучения и т. д.

Вместе с тем из-за большой сложности таких быстро протекающих процессов и трудности их наблюдения появляется и необходимость в математическом моделировании. При этом для высокоскоростного деформирования материалов в ударных волнах, помимо быстрого сжатия вещества до высоких давлений и его адиабатического разогрева, современные модели должны учитывать такие чрезвычайно быстро протекающие процессы, как процессы упруго-пластической деформации, разрушения, полиморфных и фазовых превращений, химические реакции, явления электрической поляризации, ионизации и другие физические и химические явления. Тем самым современные модели должны обладать способностью адекватно описывать фундаментальные свойства вещества и неравновесных процессов в экстремальных условиях.

Многие из этих задач могут быть смоделированы на макроуровне — уровне сплошной среды. При этом свойства материала, являющиеся следствием его микроструктуры или микропроцессов протекающих в нем, описываются достаточно сложными нелинейными уравнениями состояния.

Например, в рамках такого подхода весьма актуальными являются вопросы построения математических моделей нелинейной теории упругоплас-тических деформаций твердых тел и способов их эффективного исследования с применением ЭВМ, которым и посвящена данная работа.

Основной целью настоящей работы была разработка и программная реализация алгоритма нахождения численного решения нелинейной системы теории упругости формализованной в виде симметрической гиперболической системы с общим видом уравнения состояния. А также апробация разработанного алгоритма на задачах высокоскоростного деформирования металлов.

Главным образом, диссертация является продолжением работ С. К. Годунова в области механики сплошных сред и вычислительной математики, проводимых им и под его руководством его учениками на протяжении последних более чем 45 лет. При этом основными понятиями, которыми мы будем оперировать — это законы сохранения в форме Годунова, симметрические гиперболические по Фридрихсу системы квазилинейных уравнений, эффективный тензор метрических деформаций, конечно-объемная схема Годунова, а также весь спектр задач вычислительной линейной алгебры.

Диссертация поделена на три главы, в первой из которых мы описываем аппарат симметрических гиперболических систем уравнений вида

А = А1 > 0, Вк = В1, и основное внимание уделяем способам сведения системы уравнений нелинейной упругости к этому виду.

Важное и очень удобное понятие симметрических гиперболических систем, предложенное Фридрихсом, играет ведущую роль в наших исследованиях. В задачах механики сплошных сред такие системы являются следствием формализации законов сохранения в форме Годунова, основанной на теории термодинамических потенциалов, которые обычно надо считать выпуклыми.

Применяя такой подход для нелинейной теории упругости, нам пришлось столкнуться с проблемой вычисления матриц коэффициентов квазилинейной системы (1), для решения которой был предложен эффективный алгоритм для достаточно общего случая. Попутно при разработке этого алгоритма мы смогли получить наглядное подтверждение условий локальной корректности задачи Коши для системы нелинейной упругости, которые были ранее предложены С. К. Годуновым. Предложенный алгоритм так же позволяет привести систему уравнений теории упругости к характеристическому виду с явным вычислением характеристических скоростей и системы собственных векторов. Эти векторы нам оказались нужны только в одномерном случае, даже при решении многомерных задач.

Достаточно неожиданным фактом для нас стало то, что на данный момент нам не удалось в общем случае систему уравнений нелинейной упругости в лагранжевых координатах привести к форме Годунова, например, как это сделано в эйлеровых координатах. Однако нам удалось это сделать в предположении постоянства некоторых величин. Другими словами, нам удалось осуществить такое приведение локально. И вообще говоря, исходную нелинейную систему упругости'мы можем представить в виде (1) так же только локально, в некоторой окрестности ее решения. Из-за этого с некоторого момента наших исследований мы отказались от модели нелинейной упругой среды, как системы дифференциальных уравнений. И фактически стали исследовать поведение новой дискретной модели.

Такая модель представляет собой структуру, состоящую из дискретных элементов, внутри каждого из которых среда описывается своей собственной системой симметрических гиперболических уравнений. Движение границ и напряжение на этих границах рассчитываются по возникающей при этом задаче Римана о распаде разрыва. После этого, внутреннее термодинамическое состояние такой ячейки может быть вычислено по точным нелинейным законам сохранения.

Вторая глава работы посвящена уже непосредственно численным алгоритмам и вычислительным экспериментам. Заметим, что с точки зрения приложений, в данной работе нас главным образом интересуют задачи высокоскоростного деформирования металлов, поэтому в первую очередь лас интересовало поведение нашей модели при описании процессов с разрывами или большими градиентами. При этом, для получения численного решения мы используем конечно-объемную схему Годунова с приближенным решением задачи Римана о распаде разрыва и хорошо зарекомендовавшую себя при счете подобных экстремальных задач в газовой динамике. Отметим, что изложенная выше идеология дискретной модели по своей сути является не чем иным, как реализацией схемы Годунова.

В конце главы мы приводим ряд расчетов простейших одномерных задач, демонстрирующих поведение модели и численного алгоритма при счете разрывных решений динамики деформируемого твердого тела.

В третьей главе мы расширяем область применимости нашей модели, описывающей только упругие деформации, до описания упругопластических деформаций. Способов описания пластических деформаций на данный момент существует большое количество, что говорит о том, что наиболее универсального подхода пока не создано. В частности, в этой работе мы применяем подход Максвелла, когда изотропная среда в отсутствии какого-либо макроскопического перемещения и без притоков тепла от ее элементов меняет свое напряженное состояние так, что при этом в ней убывают касательные напряжения. Для этого мы используем понятие эффективного тензора деформации, предложенного С. К. Годуновым, и применяем такую модель упругопла-стической среды для расчета решений в задачах взрывного деформирования металлов в одномерном и двухмерном случаях.

Так же важно заметить, что к основным инструментам в настоящей работе необходимо отнести алгоритмы линейной алгебры. В большом объеме задействованы такие стандартные алгоритмы, как сингулярного разложения матриц, решения системы линейных уравнений и полная задача на собственные значения. В связи с этим еще раз очень важно подчеркнуть, что мы работаем с симметрическими матрицами, для которых разработаны весьма эффективные и достаточно надежные алгоритмы линейной алгебры. Они задействованы как в процедуре вычисления матриц коэффициентов, так и при реализации разностной схемы для системы (1).

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Пешков, Илья Михайлович

Выводы

1. Для термодинамически-согласованной модели нелинейной теории упругости, представленной в форме Годунова, разработан завершенный алгоритм построения численного решения с произвольным уравнением состояния, удовлетворяющим условиям локальной корректности задачи Коши.

2. В ходе разработки алгоритма нам пришлось отказаться от точки зрения на модель как на систему дифференциальных уравнений. Вместо этого сплошная среда моделируется дискретной моделью, состоящей из кубических ячеек, в каждой из которых на интервале времени [£, t + г] поведение среды описывается собственной симметрической гиперболической системой уравнений с постоянными коэффициентами.

3. Для произвольного уравнения состояния элементы разработанного алгоритма позволили получить в явном виде характеристический вид одномерной системы уравнений нелинейной теории упругости. Этот результат может быть использован в численных алгоритмах и в аналитических исследованиях.

4. Проведено численное исследование поведения разрывных решений новой модели теории упругости. Экспериментально показана адекватность используемого нами подхода.

5. Дискретная модель нелинейной теории упругости расширена до модели упруго-пластической среды с эффективным тензором деформации. Показано, что уже для модельного уравнения состояния такая модель дает хорошо согласующиеся результаты с одномерными и двухмерными задачами высокоскоростного деформирования металлов.

Автор выражает благодарность своему научному руководителю С. К. Годунову за постановку задачи и постоянные дискусси, а так же С. П. Киселеву и В. И. Мали за оказанное внимание к работе и обсуждение результатов.

Работа выполнена при поддержке гранта президента Российской Федерации "Ведущие научные школы" НШ-9019.2006.1 и заказного междисциплинарного проекта №5 Президиума СО РАН.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Пешков, Илья Михайлович, 2009 год

1. Аннин Б. Д., Садовская О. В., Садовский В. М. (2000) Численное моделирование косого соударения пластин в упругопластической постановке // Физическая мезомеханика. Т. 3, № 4. С. 23-28.

2. Бабий Д. П., Годунов С. К., Жуков В. Т., Феодоритова О. Б. (2007) О разностных аппроксимациях переопределенных гиперболических уравнений классической математической физики // Журн. вычислит. математики и мат. физики. Т. 47, № 3. С. 445-459.

3. Баум Ф.А., Станюкович К. П., Шехтер Б. И., (1952) Теория взрывчатых веществ. Физика взрыва, Ч. I. М.: Физматгиз.

4. Багриновский К. А., Годунов С. К. (1957) Разностные схемы для многомерных задач // ДАН. Т. 115, № 3. С. 431-433.

5. Годунов С. К. (1959) Разностный метод численного расчета разрывных решений гидродинамики // Мат. сборник. Т. 47 (89), № 3. С. 271— 306.

6. Годунов С. К. (1961) Интересный класс квазилинейных систем // ДАН СССР. Т. 139, № 3. С. 520-523.

7. Годунов С. К. (1978) Элементы механики сплошной среды. М.: Наука.

8. Годунов С. К., Дерибас А. А. (1972) К вопросу о струеобразовании при соударениях металлов // ДАН. Т. 202, № 5. С. 1024-1027.

9. Годунов С. К., Пешков И. М. (2008а) К симметризации нелинейных уравнений газовой динамики // Сиб. Мат. Журн. Т. 49, № 5. С. 1046— 1052.

10. Годунов С. К., Пешков И. М. (2008b) Симметрические гиперболические уравнения нелинейной теории упругости // Журн. вычислит, математики и мат. физики. Т. 48, № 6. С. 1034-1055.

11. Годунов С. К., Роменский Е. И. (1998) Элементы механики сплошных сред и законы сохранения. Новосибирск: Научная книга.

12. Годунов С. К., Денисенко В. В., Козин Н. С., Кузьмина Н. К. (1975) Исследование вязкости металлов при высокоскоростных соударениях // Прикл. мех. и техн. физ. № 5. С. 162-167.

13. Годунов С. К., Дерибас А. А., Захаренко И. Д., Мали В. И. (1971) Исследование вязкости металлов при высокоскоростных соударениях // Физика горения и взрыва. Т. 7, № 1. С. 135-141.

14. Годунов С. К., Забродин А. В., Иванов М. Я. Крайко А.Н., Прокопов Г. П. (1976) Численное решение многомерных задач газовой динамики. М.:Наука.

15. Зельдович Я. Б., Райзер Ю.П. (1966) Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. М:. Наука.

16. Канель Г. И., Разоренов С. В. (2001) Аномалии температурных зависимостей объемной и сдвиговой прочности монокристаллов алюминия в субмикросекундном диапазоне. // Физика твердого тела. Т. 43, № 5. С. 839-845.

17. Канель Г. И., Фортов В. Е., Разоренов С. В. (2007) Ударные волны в физике конденсированного состояния. // Успехи физических наук. Т. 177, № 8. С. 809-830.

18. Канель Г. И., Разоренов С. В., Уткин А. В., Фортов В. Е. (1996) Ударно-волновые явления в конденсированных средах. М.: Янус-К.

19. Ковеня В.М., Яненко Н. Н. (1981) Метод расщепления в задачах газовой динамики. Новосибирск: Наука.

20. Куликовский А. Г., Свешникова Е. И. (1998) Нелинейные волны в упругих средах. М.: Московский лицей.

21. Куликовский А. Г., Погорелов Н. В., Семенов А. Ю. (2001) Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. М.: ФИЗМАТЛИТ. С. 608.

22. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. (1987) Теория упругости. Теоретическая физика, Т. VII. М.: Наука.

23. Мержиевский Л. А., Реснянский А. Д. (1984) Численное моделирование ударно-волновых процессов в металлах // Физика горения и взрыва. Т. 20, № 5. С. 114-122.

24. Мержиевский Л. А., Реснянский А. Д. (1987) Численное моделирование деформирования и разрушения, пологой конической облицовки // Физика горения и взрыва. Т. 23, № 2. С. 102-110.

25. Рождественский Б. Л., Яненко Н. Н. (1978) Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М.: Наука.

26. Сьярле Ф. (1992) Математическая теория упругости. М.: Мир.

27. Ball J. М. (1977) Convexity conditions and existence theorems in nonlinear elasticity // Arch. Rational Mech. Anal. V. 63. P. 337-403.

28. Bland D.R. (1969) Nonlinear Dynamic Elasticity. Blaisdell, Waltham, MA.

29. Cochran S., Banner S. (1977) Spall studies in uranium //J. Appl. Phys. V. 48, Ж 7, 2729-2737.

30. Courant R., Isaacson E., Rees M. (1952) On the solution of nonlinear hyperbolic differential equations by finite differences // Comm. Pure Appl. Math. V. 5, Ж 3. P. 243-255.

31. Einfeldt B. (1988) On Godunov-type methods for gas dynamics // SIAM J. Numer. Analysis. V. 25, № 2. P. 294-318.

32. Godlewski E., Raviart P. A. (1996) Numerical Approximation of Hyperbolic Systems of Conservation Laws. New York: Springer.

33. Engquist В., Osher S. (1981) One-sided difference approximations for nonlinear conservation laws // Math. Comput. V. 36, № 154. P. 321-351.

34. Friedrichs К. O. (1954) Symmetric hyperbolic linear differential equations // Comm. Pure and Appl. Math. V. VII, № 2. P. 345-392.

35. Harten A., Lax P. D., van Leer B. (1983) On upstream differencing and Godunov-type schemes for hyperbolic conservation laws // SIAM Review. V. 25, № 1. P. 35-61.

36. Kolmogorov V. L., Makotra O.A., Moiseev N.Ya. (2004) Mathematical model for the numerical solution of nonstationary problems in solid mechanics by a modified godunov method // J. of Appl. Mcch. and Technical Phys. V. 45, Ж 1, P. 54-59. c

37. Maxima 5.15.0 (2008) A system for the manipulation of symbolic and numerical expressions, http://maxima.sourceforge.net

38. Peshkov I. M. (2008) New model of elastic media: numerical studies // Shock-assisted materials synthesis and processing: science, innovations, and industrial implementation. Moscow: Torus Press. P. 103.

39. Roe P. L. (1981) Approximate Riemann solvers, parameter vectors, and difference schemes //J. Comput. Phys. V. 43, № 2. P. 357-372.

40. Того E. F. (1999) Riemann solvers and numerical methods for fluid dynamics. Heidelberg: Springer-Verlag.

41. Того E. F., Chakroborty A. (1994) The development of a Riemann solver for the steady supersonic Euler equations // Aeronaut. J. V. 98, № 979. P. 325-332.

42. Того E. F., Spruce M., Speares W. (1994) Restoration of the contact surface in the HLL-Riemann solver. // Shock Waves V. 4. P. 25-34.