Проектирование оптимальных стержневых систем с ограничениями по прочности и устойчивости плоской формы изгиба при многопараметрических нагрузках, заданных пределами изменения своих величин тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.23.17, кандидат технических наук Ижендеев, Алексей Валерьевич

• Ижендеев, Алексей Валерьевич
• кандидат технических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат технических наук Ижендеев, Алексей Валерьевич

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1. АНАЛИЗ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ, ФОРМИРОВАНИЕ ЦЕЛИ И ЗАДАЧ ИССЛЕДОВАНИЯ

1Л. Краткий обзор и анализ работ, посвященных проектированию стержневых систем с оптимальным распределением материала. Формирование цели исследования

1.2. Постановка задачи

1.3. Формирование частных задач исследования

2. ВЫБОР РАСЧЕТНОЙ СХЕМЫ И ПОСТРОЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ЗАВИСИМОСТЕЙ МЕЖДУ ПАРАМЕТРАМИ СОСТОЯНИЯ КОНСТРУКЦИИ И ПАРАМЕТРАМИ ПРОЕКТИРОВАНИЯ

2.1. Выбор расчетной схемы и ее описание

2.2. Построение аналитической зависимости между внутренними усилиями и параметрами проектирования

2.3. Построение аналитической зависимости между коэффициентом запаса по устойчивости плоской формы изгиба и параметрами проектирования

3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПАСНЫХ СОЧЕТАНИЙ НАГРУЗОК, МИНИМУМА ФУНКЦИИ ЦЕЛИ, ОПИСАНИЕ МЕТОДА ОПТИМАЛЬНОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ

3.1. Определение опасных сочетаний нагрузок по прочности и по устойчивости плоской формы изгиба

3.2. Определение минимального значения функции цели

3.3. Основная идея предлагаемого метода оптимального проектирования

4. РЕАЛИЗАЦИЯ МЕТОДА ОПТИМАЛЬНОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ КОНСТРУКЦИЙ

4Л. Блок-схема предлагаемого метода оптимального проектирования

4.2. Оптимальное проектирование стержневых систем с ограничениями по прочности и устойчивости плоской формы изгиба при действии многопараметрических нагрузок, заданных пределами изменения своих величин

4.3. Оптимальное проектирование стержневых систем с ограничениями по прочности и устойчивости плоской формы изгиба при действии не осевых многопараметрических нагрузок, заданных пределами изменения своих величин, и с учетом собственного веса

4.4. Применение разработанного метода для проектирования оптимальных стержневых конструкций при случайных многопараметрических нагрузках

4.5. Оптимальное проектирование дощатоклееных балок с ограничениями по прочности и устойчивости плоской формы изгиба при действии многопараметрических нагрузок, заданных пределами изменения своих величин

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Проектирование оптимальных стержневых систем с ограничениями по прочности и устойчивости плоской формы изгиба при многопараметрических нагрузках, заданных пределами изменения своих величин»

Введение

Актуальность проблемы сбережения ресурсов (материальных, людских, временных и, в конечном счете, денежных) общепризнанна. Учитывая, что продукция строительной отрасли является дорогостоящей, и в стоимости этой продукции значительна доля строительных конструкций, снижение материалоемкости сооружений имеет важное значение. В настоящее время, принимая во внимание особенности переходного периода, востребованность экономичных строительных конструкций возрастает.

Один из путей создания эффективных конструкций связан с развитием теории оптимального проектирования. Теория оптимального проектирования, как особая ветвь строительной механики, ставит своей целью разработку таких конструкций, которые, воспринимая заданные нагрузки и воздействия, будут в определенном смысле наилучшими из всех конструкций рассматриваемого типа.

Основное преимущество оптимального проектирования по сравнению с вариантным проектированием, господствовавшим прежде и ставившим аналогичную цель, заключается, прежде всего, в уходе от волевого назначения вариантов проекта; ведь вариантное проектирование, которое хотя иногда и опирается на имеющиеся аналоги, тем не менее, в большой части основывается на интуиции. Теория оптимального проектирования облекает задачу поиска экономичной конструкции в строгую математическую форму, а само проектирование сводит к выполнению определенных математических операций, что позволяет снизить долю субъективизма при проектировании строительных конструкций.

Уровень развития теории оптимального проектирования конструкций в значительной степени определяется уровнем развития электронно-

вычислительной техники. Эта особенность вызвана тем, что число математических операций, которые необходимо произвести, чтобы получить эффективный проект, часто велико. Кроме того, происходит постепенное усложнение форм конструкций. Одновременно уточняются и математически усложняются модели, описывающие поведение материала, учитывается вероятностный характер явлений природы и гак далее.

Бурное развитие электронно-вычислительной техники в последние годы привело к появлению немалого количества публикаций по проблемам оптимального проектирования конструкций.

Сравнительно небольшой в историческом плане период развития теории оптимального проектирования конструкций, тем не менее, позволил поставить и решить большое количество проблем, как теоретического характера, так и практической направленности. Среди исследователей, чьи работы внесли весомый вклад в формирование и развитие теории оптимального проектирования конструкций, можно отметить Абовско-гоН.П., БаничукаН.В., Виноградова А.И., Воробьева Л.Н., Гребеню-каГ.И., Гринева Б.В., Киселева В.А., Лазарева И.Б., Ляховича Л.С., Ма-цюлявичюса Д.А., Немировского Ю.В., Рабиновича И.М., РадцигаЮ.А., Ржаницына А.Р., Смирнова А.Ф., Троицкого В.А., Филиппова А.П., Филина А.П., ХуберянаК.М., ЧижасаА.П, ЧирасаА.А., АрорыЯ., Бенд-зоеМ., Васютынского 3., ЗаргамиМ., КарихалоБ., Келлера Д., ЛевиМ., МрузаЗ., НиордсонаФ., ОльхоффаН., ПрагераВ., РожваныД., Тейлора Д., Тернера М., Хога Э., Шилда Р. и др.

Несмотря на наличие большого количества работ по оптимальному проектированию конструкций, тем не менее, практика ставит задачи, решения которых еще не определены.

Большое внимание исследователей уделяется тщательному отбору ограничений, накладываемых на конструкцию при оптимизации. Вводи-

мые ограничения должны в наибольшей степени влиять на оптимальное

ЧУ 1 —V/

значение целевой функции, а учет других ограничении на стадии проверочного расчета (с возможной последующей корректировкой проекта) не должен значительно влиять на значение целевой функции. Учет всего многообразия требований, заложенных в строительные нормы, уже на стадии оптимизации способен не только усложнить расчет, но и скрыть значение каждого из ограничений. В этой связи понятно желание исследователей ограничиваться в своих работах небольшим числом ограничений. Осознавая положительные стороны этого явления, можно констатировать, что некоторые виды ограничений, в связи с этим, исследованы пока еще не достаточно полно. Анализ работ по оптимальному проектированию конструкций показывает, что публикаций, в которых исследуется ограничение по устойчивости плоской формы изгиба, в общей массе публикаций не велико. Хотя этот вид ограничений для изгибаемых стержневых конструкций естественен.

Важным при проектировании конструкции является учет характера нагрузки, ее качественные и количественные характеристики. Наиболее часто исследуются стержневые системы со статическим нагружением, для которого точно заданы и неизменны качественные и количественные характеристики. Однако такие нагружения скорее исключение, чем правило. Даже для постоянной нагрузки не всегда можно указать точную величину.

В связи с изложенным представляет интерес исследование по оптимальному проектированию конструкций при нагрузках, изменяющихся во времени либо при нагрузках неизменных, но неточно заданных, с учетом ограничений, в составе которых есть ограничение по устойчивости плоской формы изгиба.

Содержание представленной работы изложено в четырех главах,

кроме того, в конце работы дан библиографический список.

Первая глава. В 1.1 содержится обзор литературы по теме диссертации, который позволяет перейти от общих вопросов теории оптимального проектирования конструкций к тому частному вопросу, которому посвящена представленная работа. Кроме того, обзор литературы позволит проанализировать выбор функции цели, ограничений и параметров проектирования.

В 1.2 описана постановка задачи, обсуждаемая в представленной работе. Здесь описывается то особенное, что выделяет рассматриваемую задачу из класса задач оптимального проектирования конструкций.

В 1.3 содержатся общие соображения о выборе метода решения поставленной задачи, намечаются частные задачи исследования.

Вторая глава. В 2.1 производится выбор расчетной схемы исследуемых конструкций, приводится описание выбранной расчетной схемы, приводятся результаты, показывающие, насколько точно принятая расчетная схема будет описывать параметры состояния, использующиеся в процессе оптимизации.

В 2.2 показана связь между параметрами, характеризующими напряженное состояние конструкции, и параметрами проектирования. Приводится приближенная зависимость между параметрами, характеризующими напряженное состояние конструкции, и параметрами проектирования.

В 2.3 показана связь между параметрами, характеризующими состояние устойчивости конструкции, и параметрами проектирования. Приводится приближенная зависимость между параметрами, характеризующими состояние устойчивости конструкции, и параметрами проектирования.

Третья глава. В 3.1 обоснованы методы поиска опасных сочетаний

нагрузок по прочности и устойчивости плоской формы изгиба, исследуются области локализации опасных сочетании в пространстве нагрузок, приводятся результаты, показывающие зависимость опасных сочетаний нагрузок от значений параметров проектирования.

В 3.2 приводится выбор и обоснование метода минимизации функции цели, исследуются области локализации минимума функции цели.

В 3.3 на основании проведенных исследований уточнена идея предлагаемого метода оптимального проектирования.

Четвертая глава. В 4.1 приведена информационная блок-схема предлагаемого метода оптимального проектирования, которая была положена в основу программы реализации метода. Программа написана на языке TURBO PASCAL 7.0.

В 4.2 приводятся результаты оптимального проектирования конструкций, показывается эффективность предлагаемого метода оптимизации, излагаются выводы, которые могут быть полезны при проектировании оптимальных конструкций.

В 4.3 приводятся результаты оптимального проектирования конструкций при действии неосевых многопараметрических нагрузок и нагрузок собственного веса, показывается эффективность предлагаемого метода оптимизации при таких нагружениях, производится сравнение полученных результатов с результатами, найденными в 4.2.

В 4.4 показано применение разработанного метода оптимизации при вероятностном проектировании оптимальных стержневых конструкций.

В 4.5 на основе предложенного метода оптимального проектирования был произведен расчет клеедеревянной балки, несущей крановые нагрузки.

В заключении изложены результаты представленной работы.

1. АНАЛИЗ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ, ФОРМИРОВАНИЕ ЦЕЛИ И ЗАДАЧ ИССЛЕДОВАНИЯ

1.1. Краткий обзор и анализ работ, посвященных проектированию стержневых систем с оптимальным распределением материала.

Формирование цели исследования

В настоящее время теория оптимального проектирования является одним из самых актуальных и бурно развивающихся разделов в механике деформируемого тела. Число публикаций в этой области постоянно увеличивается. Все более разнообразными становятся постановки задач и методы их решения.

Задачи оптимизации стержневых систем делятся на две большие группы [109]. К первой относятся задачи оптимизации внешних воздействий на заданную стержневую систему. В качестве примеров могут быть названы задачи поиска оптимального статического или динамического нагружения системы. Вторая группа включает в себя задачи оптимизации формы стержневых систем. В таких задачах осуществляется управление основными характеристиками системы, например, распределением массы, жесткости, площади поперечных сечений и так далее. В данной работе будут рассматриваться только задачи второй группы.

Задача оптимального проектирования конструкций, в том числе и стержневых, является сравнительно новой для строительной механики, так как основной целью этой задачи является не определение параметров состояния в известной конструкции, а определение параметров проектирования конструкции, отвечающих наиболее эффективному (по выбранному критерию оптимальности) проектному решению.

Всякое оптимальное проектное решение должно удовлетворять

требованиям, заложенным в строительных нормах, лишь в этом случае его можно признать допустимым. Обычно в процессе оптимального проектирования конструкций учитывается небольшое количество требований. Оптимальное проектирование конструкций с учетом всей обширной системы требований, заложенной в нормативной литературе, из-за ограниченности ресурсных возможностей электронно-вычислительных машин не нашло еще должного распространения. Однако учет при оптимальном проектировании конструкций даже нескольких требований представляется важным [69].

Следует отметить возможные значения оптимального проекта. В тех случаях, когда введено достаточное количество требований, оптимальный проект может быть реализован с некоторыми изменениями, которые учитывают роль неиспользуемых в процессе оптимизации требований. Например, в работе [52] показано, что учет в процессе оптимизации стержневых конструкций наряду с условием прочности по нормальным напряжениям условия прочности по касательным напряжениям оказывает незначительное влияние на величину объема оптимальной конструкции. Данное обстоятельство позволяет в процессе оптимизации учитывать только условие прочности по нормальным напряжениям, а влияние касательных напряжений учесть позже путем увеличения размеров тех сечений конструкции, для которых условие прочности по касательным напряжениям не выполняется. В тех случаях, когда при отыскании оптимального проекта не учитываются некоторые весьма влияющие на критерий эффективности требования, реальный проект будет значительно отличаться от оптимального. В этих случаях оптимальный проект выступает в роли некоторого идеала, с которым проектировщик может соотносить различные варианты реального проекта. Таким образом, оптимальный проект оказывается полезным не только тогда, когда он стано-

вится основой реального проекта, но и тогда, когда он не может быть использован непосредственно. В этом случае он может использоваться для оценки близости реальных проектных решений к идеальному.

Первая задача оптимального проектирования стержневых конструкций была поставлена и решена еще Лагранжем в 1770 - 1773 годах. Это была задача о колонне наименьшего веса, жестко заделанной на одном конце и загруженной сжимающей силой на другом. При решении находилась форма колонны, отвечающая минимуму веса при заданной критической силе. И хотя решение Лагранжа содержало ошибку, которая была устранена только в 1851 году в работе русского академика Клаузе-на [133], заслуги Лагранжа в формировании понятия оптимального проекта и в разработке одного из методов оптимизации общепризнанны.

Заметим, что первоначально решение задач оптимального проектирования стержневых конструкций проводилось с использованием методов классического вариационного исчисления в привычной для того времени постановке. Однако применение методов классического вариационного исчисления сдерживало развитие исследований, так как при таком подходе к реальным задачам оптимизации пространство поиска решения сужается. Данное обстоятельство приводило к тому, что решались лишь частные задачи оптимального проектирования стержневых конструкций.

Значительное развитие теории оптимального проектирования стержневых конструкций связано с успехами в развитии вычислительной техники. Появление электронно-вычислительных машин способствовало интенсивному развитию методов неклассического вариационного исчисления, математического программирования, методов оптимального управления системами с распределенными параметрами, которые позволили ставить и решать все более сложные задачи оптимизации стержне-

вых конструкций.

К настоящему времени имеется немалое количество публикаций по оптимальному проектированию стержневых конструкций. Появились также работы, где производится обзор исследований по данной тематике. Среди них отметим работы В.В. Болотина, И.И. Гольденблата и А.Ф. Смирнова [12], А.И. Виноградова, О.П. Дорошенко и И.С. Храповицкого [20], Ю.В. Немировского [72], Ф. Ниордсона и П. Педерсена [69], Н. Ольхоффа [70], В. Прагера [81], М.И. Рейтмана и Г.С. Шапиро [87], М.М. Рейтмана [71], И.Д. Сергеева и А.И. Богатырева [97], В.А. Троицкого и Л.В. Петухова [109], Э. Хога и Я. Ароры [120], С. Чжу и В. Прагера [124].

Анализ работ по оптимальному проектированию стержневых конструкций показывает, что к настоящему времени сформировались две взаимно двойственные постановки задач оптимизации стержневых конструкций. Постановки этих задач могут в общем виде формулироваться следующим образом:

1) Заданы нагрузки и воздействия. Требуется определить такие параметры проектирования, при которых потребность в ресурсах, необходимых для сооружения конструкции, была бы минимальной, а требования, заложенные в строительных нормах, выполнялись.

2) Задан некоторый объем ресурсов, необходимых для сооружения конструкции. Требуется при заданном объеме ресурсов определить такие параметры проектирования, при которых конструкция могла бы нести максимально возможные нагрузки и воздействия без нарушения требований, заложенных в строительных нормах.

В большинстве рассмотренных работ в качестве ресурсов учитываются либо материал, расходуемый на изготовление конструкции (по объему, по весу или по стоимости), либо стоимостное выражение расхо-

дов по изготовлению, транспортированию, монтажу, а иногда и по эксплуатации конструкции. Естественно предположить, что учет затрат, связанных не только с расходами материалов, более правомерен. Однако этот подход может быть реализован в частных случаях, так как стоимостные выражения расходов по изготовлению, транспортированию, монтажу и эксплуатации конструкции в большой степени зависят от конкретных условий строительства и эксплуатации здания или сооружения. Кроме того, названные выражения зачастую не удается прогнозировать с достаточной степенью точности. Поэтому, несмотря на критические замечания [27, 57], многие авторы при оптимальном проектировании стержневых конструкций учитывают в качестве ресурса лишь расходуемый материал [19, 37, 47, 84, 140 и другие].

В качестве параметров проектирования наиболее часто в рассматриваемых работах используются геометрические параметры сечений [8, 56, 137, 148 и другие].

Анализ работ, посвященных оптимальному проектированию стержневых конструкций, показал, что авторами учитываются различные требования, накладываемые на стержневые конструкции согласно строительным нормам.

Наиболее часто учитывалось требование соблюдения условия прочности по нормальным напряжениям [46, 58, 129, 143 и другие]. Исследования показали, что для того, чтобы стержневая конструкция имела наименьший вес, необходимо, чтобы она была переменного сечения, и, чтобы моменты сопротивления во всех сечениях были пропорциональны изгибающим моментам [102].

Учет условия прочности по касательным напряжениям для цели оптимального проектирования стержневых конструкций производится нечасто. Это обстоятельство может быть объяснено тем, что учет уело-

вия прочности по касательным напряжениям, как уже было отмечено выше, мало влияет на объем материала конструкции по сравнению с учетом условия прочности по нормальным напряжениям [52]. Однако работы, в которых исследовалось влияние условия прочности по касательным напряжениям на оптимальный проект, известны [47, 144, 145 и другие].

Учет условий устойчивости при оптимальном проектировании стержневых конструкций является естественным. Авторами рассмотренных публикаций обсуждаются постановки задач, в которых исследуется как условие недопущения изгибной потери устойчивости, так и условие недопущения изгибно-крутильной потери устойчивости.

Условие недопущения изгибной потери устойчивости при оптимальном проектировании стержневых конструкций используется давно. Достаточно указать ранее упомянутые работы Лагранжа и Клаузена. Из последних работ, в которых производится учет условия недопущения изгибной потери устойчивости, могут быть названы [64, 86, 117, 128 и другие]. Оптимальное проектирование стержневых конструкций с учетом условия недопущения изгибно-крутильной потери устойчивости исследовалось в меньшем числе работ, среди них могут быть названы [34, 62, 140, 150 и другие].

Значительное количество проанализированных работ содержит требование по ограничению деформаций [93, 121, 134, 137 и другие].

Введение в качестве ограничений конструктивных требований осуществляется многими авторами. Учет конструктивных требований позволяет избегать вырождения геометрических параметров сечений, что возможно при некоторых постановках задач оптимального проектирования. Например, оптимизация изгибаемых стержневых конструкций с формой поперечных сечений в виде прямоугольника при варьировании двумя его параметрами и учете только условия прочности приведет к об-

ращению высоты поперечных сечений банки в бесконечность и ширины поперечных сечений балки в ноль. Во избежание данного обстоятельства в [94] предлагалось принимать постоянными ширину сечения, в [85] -либо высоту, либо ширину, а в [51] предлагалось брать сечения, у которых постоянна высота либо ширина, либо сечения геометрически подобны между собой. В [88] предлагалось принимать закон изменения поперечного сечения таким, при котором площадь каждого поперечного сечения балки пропорциональна моменту сопротивления поперечного сечения балки. Приведенные примеры иллюстрируют конструктивные требования в форме равенств. Но в современных исследованиях чаще используют конструктивные требования в форме неравенств. Для примера могут быть приведены [10, 62, 64, 66 и другие]. Анализ работ показывает, что условиями-неравенствами стараются ограничить область поиска оптимальных геометрических параметров поперечных сечений стержневой системы.

При оптимальном проектировании стержневых систем приходится учитывать, что нагрузки, приложенные к системам, могут изменяться в течение времени. Учет такого рода все чаще находит отражение в работах исследователей. Анализ работ по оптимальному проектированию конструкций позволил выявить многочисленность постановок задач с учетом изменчивости нагрузок. Приведем некоторые из них.

Характерной является работа [129], в которой рассматривается вопрос оптимизации стального моста по весу конструкций при заданных ограничениях на интенсивность напряжений. Предполагается, что к мосту приложены сосредоточенные и распределенные подвижные усилия.

В работе [139] обсуждается проблема оптимального проектирования мостовых балочных конструкций, испытывающих воздействие подвижной поперечной нагрузки. Минимизируется величина корня квадрат-

ного из среднего значения перемещений под подвижной нагрузкой при постоянстве массы балки.

Обсуждению проблемы оптимального проектирования балок минимального веса, испытывающих воздействие какой-либо нагрузки из заданного набора, посвящена работа [143]. Ведется учет ограничений по нормальным и касательным напряжениям, а также максимальным прогибам.

В работе [128] приводятся примеры оптимального проектирования стержневых конструкций при нагрузках, заданных пределами изменения своих величин. Учитывались ограничения по прочности, по максимальным прогибам, по изгибной потери устойчивости, конструктивные.

Имеются и другие работы, посвященные оптимальному проектированию стержневых конструкций с учетом изменчивости нагрузок, кроме приведенных выше могут быть названы [39, 132, 144, 145, 147 и другие].

При всем многообразии исследований в области оптимального проектирования конструкций вопрос о создании метода, позволяющего проектировать оптимальные конструкции при учете изменчивости параметров нагрузок, остается открытым.

Задачи, в которых условия, накладываемые на конструкцию, зависят от параметров нагрузок, многочисленны. Причем эти условия могут быть как линейно зависящими (ограничения по прочности, по перемещениям), так и не линейно зависящими (ограничения по устойчивости) от параметров нагрузок. Кроме того, для многих из этих задач могут быть по каким-либо соображениям названы нижние и верхние пределы изменения параметров нагрузок. В представленной работе обсуждается одна из таких задач.

Цель работы. Обоснование и разработка метода проектирования оптимальных стержневых конструкций с ограничениями по прочности,

устойчивости плоской формы изгиба и конструктивными при многопараметрических нагрузках, заданных пределами изменения своих величин; создание необходимых вычислительных алгоритмов и программ для реализации метода.

1.2. Постановка задачи

Рассматривается задача оптимального проектирования стержневой системы с прямолинейной продольной осью. Конструкция выполнена из изотропного линейно-упругого материала.

На систему оказывается статическое силовое воздействие. Нагрузки расположены в единой плоскости, а линии их действия перпендикулярны недеформированной продольной оси конструкции. Плоскость действия сил совпадает с одной из главных плоскостей инерции поперечных сечений стержневой системы. При количестве нагрузок равном к может быть введен в рассмотрение вектор параметров нагрузок:

{*"}={*} Ъ - РкТ- (1.2.1)

Компоненты вектора параметров нагрузок могут изменяться в некотором интервале:

< } = (1.2.2)

где - соответственно нижний и верхний пределы изменения

>того параметра нагрузок.

Параметры, определяющие геометрические размеры поперечных сечений стержня, принимаются управляемыми. Закон изменения геометрических параметров сечений принят кусочно-постоянным, то есть стержень считается состоящим из участков, на каждом из которых размеры поперечного сечения не меняются. В каждом сечении можно варьировать

несколькими параметрами в зависимости от типа поперечного сечения. В работе принимается, что геометрические размеры сечений определяются двумя параметрами; задача рассматривается на примере стержневых систем с формой поперечных сечений в виде прямоугольника с варьируемыми по длине конструкции высотой и шириной. Однако результат может быть обобщен на другие типы сечений, с большим количеством варьируемых параметров. При разбиении конструкции на п участков параметры сечений образуют вектор:

{•*}={•*// &21 ^22 - &1п *2„}Т. (1-2.3)

Здесь первый индекс компоненты вектора обозначает тип варьируемого параметра (1 - высота сечения, 2 - ширина сечения), а второй индекс обозначает порядковый номер участка. Если необходимо запроектировать стержень с плавным законом изменения по длине размеров поперечного сечения, то, разбивая стержень на достаточно большое число участков, можно затем перейти к непрерывно меняющемуся закону.

По конструктивным соображениям величины варьируемых геометрических параметров поперечных сечений стержня не должны быть меньше некоторого положительного числа:

1 = 1,2, ] = 1,2,...,п, (1.2.4)

где - минимально допустимое значение параметра проектирования

За показатель, позволяющий производить количественную оценку эффективности проектных решений, примем функцию объема расходуемого материала, которую будем вычислять по формуле

0-2-5)

И

где /у - длина j-того участка конструкции.

Для рассматриваемых конструкций и нагружений естественными являются требования прочности и устойчивости, плоской формы изгиба.

Требование выполнения условия прочности сформулируем в виде следующей системы неравенств:

М ^ Я > 3 = (1.2.6)

где - максимальное нормальное напряжение в ^том сечении; К -

расчетное сопротивление материала конструкции с учетом коэффициентов, вводимых в расчет согласно строительным нормам .

Ограничение по устойчивости плоской формы изгиба запишем в виде неравенства:

0.2.7)

где ку„ - соответственно наименьший коэффициент запаса по

устойчивости и нормативный коэффициент запаса по устойчивости для рассматриваемой системы.

С учетом всего представленного выше, в конкретной постановке, рассматриваемой в данной работе, задачу оптимального проектирования конструкции сформулируем следующим образом.

При любых возможных сочетаниях нагрузок (1.2.2) требуется определить такие значения геометрических параметров поперечных сечений конструкции (1.2.3), которые бы обеспечили минимальный объем конструкции (1.2.5) при выполнении ограничений по прочности (1.2.6), устойчивости плоской формы изгиба (1.2.7) и конструктивных (1.2.4).

1.3. Формирование частных задач исследования

Задача поиска минимального значения функции цели (1.2.5) при варьировании параметрами проектирования (1.2.3) и параметрами нагрузок (1.2.1) и учете ограничений (1.2.2, 1.2.4, 1.2.6, 1.2.7) в общем случае сводится к задаче нелинейного математического программирования [19].

В рассматриваемой задаче варьируемыми параметрами являются параметры проектирования и параметры нагрузок. Решение задачи с одновременным поиском всех значений варьируемых параметров потребует большого объема оперативной памяти ЭВМ и займет много машинного времени. Во избежании этого, целесообразно разбить задачу на два этапа, сократив при этом количество варьируемых параметров на каждом из них:

1. Варьируя только параметрами нагрузок (1.2.1), находим в области возможных нагрузок (1.2.2) такие сочетания нагрузок, которые являются опасными по устойчивости плоской формы изгиба и по прочности.

2. Учитывая опасные сочетания нагрузок, варьируя параметрами проектирования (1.2.3), решаем задачу минимизации целевой функции (1.2.5) при ограничениях по прочности (1.2.6), устойчивости плоской формы изгиба (1.2.7) и при конструктивных ограничениях (1.2.4).

Анализ результатов расчетов, произведенных по предлагаемому методу решения поставленной задачи оптимального проектирования конструкций, позволит сделать вывод о возможности применения поэтапного подхода.

Для определения параметров состояния конструкций применяются различные расчетные схемы. Как известно, вопрос выбора расчетной схемы изучаемой конструкции является весьма сложным и многосторон-

ним процессом, от успешного решения которого во многом зависит точность и трудоемкость расчетов [115].

Существуют различные способы выбора расчетных схем, но большинство из них позволяет удачно описывать состояние лишь некоторого узкого класса конструкций. Данное обстоятельство требует проведения анализа различных типов расчетных схем, на основе которого можно было бы произвести выбор той расчетной схемы, которая наиболее подходит для определения параметров состояния рассматриваемых конструкций при заданных нагружениях.

Постановка задачи указывает на то, что нагрузка, действующая на конструкцию, является многопараметрической, и параметры нагрузок заданы интервалами изменения своих величин (1.2.2). Тот факт, что нагрузка не является постоянной, вызывает необходимость производить поиск опасных сочетаний нагрузок по прочности и по устойчивости плоской формы изгиба. Таким образом, для решения задачи, поставленной в п. 1.2, необходимо выработать приемы поиска опасных сочетаний нагрузок по прочности и по устойчивости плоской формы изгиба.

В ограничение по устойчивости плоской формы изгиба (1.2.7) входит коэффициент запаса по устойчивости. Определение коэффициента запаса по устойчивости сводится к решению проблемы собственных значений некоторой матрицы, что является с математической точки зрения трудоемкой задачей. Поскольку число шагов поиска оптимального решения часто оказывается довольно большим, то решение на каждом шаге проблемы собственных значений потребует при существующем уровне развития вычислительной техники большого количества времени.

В ограничения по прочности (1.2.6) входят нормальные напряжения. Определение нормальных напряжений при использовании большинства расчетных схем производится численными методами, связанными с

операциями над матрицами, что является с математической точки зрения трудоемкой задачей. Поскольку число шагов поиска оптимального решения оказывается довольно большим, то численное определение на каждом шаге нормальных напряжений потребует при существующем уровне развития вычислительной техники большого количества времени.

В связи с изложенным выше, полезно было бы иметь приближен- . ную алгебраическую зависимость между значением коэффициента запаса по устойчивости и параметрами проектирования, а также приближенные алгебраические зависимости между нормальными напряжениями и параметрами проектирования. И использовать названные зависимости в процессе поиска оптимального проекта конструкции. При этом важно, чтобы полученные приближенные зависимости в точках формирования переходили бы в точные. Именно это обстоятельство позволит обеспечить сходимость метода.

При учете ограничения по устойчивости плоской формы изгиба важно знать не только линии действия сил, но и координаты точек приложения этих сил на линиях действия сил, так как от координат зависят значения критических сил. В связи со сказанным представляет практический интерес анализ процессов оптимизации конструкции, как при осевом, так и при внеосевом приложении нагрузки.

Собственный вес конструкции в процессе варьирования геометрических параметров поперечных сечений изменяется. В связи с этим, процесс оптимального проектирования конструкций при учете нагрузок собственного веса может оказаться несходящимся. Для исследования сходимости процесса произведем серию экспериментов по оптимизации конструкций с учетом нагрузок собственного веса.

Обобщая изложенное выше, заключаем, что для успешной реализации разрабатываемого метода решения поставленной задачи необхо-

димо следующее:

1. Проанализировать типы расчетных схем и выбрать из них наиболее подходящую для поставленной в данной работе задачи.

2. Обосновать выбор зависимости, выражающей нормальное напряжение в сечении конструкции через параметры проектирования.

3. Обосновать выбор зависимости, выражающей коэффициент запаса по устойчивости плоской формы изгиба через параметры проектирования.

4. Обосновать выбор метода поиска опасного сочетания нагрузок по прочности.

5. Обосновать выбор метода поиска опасного сочетания нагрузок по устойчивости плоской формы изгиба.

6. Подобрать наиболее удобный для поставленной задачи метод поиска минимума целевой функции.

7. Исследовать применимость предложенного метода оптимизации при проектировании конструкций с учетом нагрузок собственного веса и внеосевого приложения внешних сил.

Вышеперечисленные задачи и рассматриваются в последующих главах данной работы.

2. ВЫБОР РАСЧЕТНОЙ СХЕМЫ И ПОСТРОЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ЗАВИСИМОСТЕЙ МЕЖДУ ПАРАМЕТРАМИ СОСТОЯНИЯ КОНСТРУКЦИИ И ПАРАМЕТРАМИ ПРОЕКТИРОВАНИЯ

2.1. Выбор расчетной схемы и ее описание

В рамках постановки задачи, описанной в 1.2, подлежат определению параметры, характеризующие состояние устойчивости конструкции и ее напряженное состояние. Для определения этих параметров необходимо задать расчетную схему рассматриваемой стержневой системы. Расчетная схема, очевидно, должна давать возможность вычислять с достаточной точностью искомые значения параметров, а также, в связи с широким распространением в расчетной практике использования электронно-вычислительных машин (ЭВМ), требовать для своего анализа минимальные затраты машинного времени и оперативной памяти ЭВМ.

Вводя допущение об однородности и сплошности материала конструкции, применимое ко многим строительным материалам и широко используемое при исследовании механических систем, можно утверждать, что наиболее адекватна, с физической точки зрения, реальной конструкции континуальная расчетная схема. Ее использование задает основные уравнения изгибного и крутильного равновесия в форме дифференциальных уравнений [82]. Получить в общем случае точное решение этих уравнений не удается, а те частные стержневые системы, для которых дифференциальные уравнения удалось решить [24, 73, 82, 90 и другие], не всегда отвечают потребностям практики. Однако зачастую не требуется знать точные аналитические выражения для искомых величин, а вполне достаточно иметь числовые значения и оценки их точности.

Для приближенного решения дифференциальных уравнений разработаны многочисленные методы (Ритца, Галеркина, конечных разностей и другие) в разной степени удобные при решении конкретных частных задач. При оперировании этими методами часто имеют место трудности, лежащие в области математического анализа (подбор функций при разложении переменных в ряд, учет граничных условий и другие), решение которых при массовых расчетах становится трудоемкой задачей. Кроме того, эти методы не всегда дают возможность облечь решение в матричную форму записи, наиболее удобную для ЭВМ. Обобщая изложенное выше, заключаем, что континуальные расчетные схемы обладают особенностями, сдерживающими их использование во многих практически встречающихся случаях.

Отказ от рассмотрения дифференциальных уравнений уже на стадии принятия расчетной схемы позволяет сделать использование дискретной расчетной схемы, которая, исходя из соображений механики, дает возможность описать проблему непосредственно в линейной алгебраической форме [11].

Учитывая вышеизложенное, рассмотрим вопрос использования для расчета стержневых конструкций дискретной расчетной схемы в одной из форм метода жестких конечных элементов [62].

Основная идея, заложенная в построение названной расчетной схемы, заключается в том, что исходная стержневая конструкция заменяется абсолютно жесткими стержневыми элементами, соединенными последовательно между собой упругими шарнирами, препятствующими взаимному повороту элементов относительно продольной оси конструкции, а также в плоскости и из плоскости действия нагрузок (рис.2.1.1, б). Соответствующие коэффициенты жесткости для З-того упругого шарнира обозначим символами с ^, с ^, с ^. Жесткости упругих шарниров

Рис.2.1.1

подбираются из условия эквивалентности исходной и дискретной систем по условию равенства потенциальной энергии каждого деформированного участка конструкции и потенциальной энергии деформации в упругом шарнире, который этому участку соответствует. Обычно все участки принимаются равной длины /, а упругий шарнир располагают посередине длины участка. При этом коэффициенты жесткости ]-того упругого шарнира выразятся в виде

, , , . Е1<х> . , £/0'>

<2ЛЛ>

I * I I

где Е, С - модули упругости материала конструкции на растяжение-

тЫ)

сжатие и на сдвиг; /у момент инерции при кручении поперечного се-

т(х) г (У)

чения стержня на J-тoм участке конструкции; 7у , /у - моменты

инерции при изгибе в плоскости и из плоскости действия нагрузки для поперечного сечения стержня на >том участке конструкции. Во всем дальнейшем повествовании количество участков будет обозначено символом п.

Нагрузка, действующая на конструкцию, приводится к вектору сосредоточенных сил с размерностью, равной величине п, компоненты которого приложены к упругим шарнирам дискретной модели; приведение осуществляется по правилу рычага [42].

В форме, которая непосредственно здесь была описана, дискретная модель рассматривалась в работах [62, 135].

Для расчета дискретной модели может быть применен один из методов строительной механики (метод сил, метод перемещений и другие). В силу того, что метод перемещений позволяет формировать матрицы канонических уравнений для любых стержневых систем более единообразно по сравнению с другими методами, он нашел наиболее частое

применение. Рассмотрим приложение метода перемещений применительно к рассматриваемой модели.

Основную систему метода перемещений образуем, введя в каждый упругий шарнир дискретной модели жесткие связи, препятствующие перемещениям в плоскости и из плоскости действия нагрузки, а на стержневые элементы дискретной модели наложим абсолютно жесткие связи, препятствующие повороту относительно продольной оси конструкции (рис. 2.1.1, г). Векторы перемещений по направлению наложенных связей обозначим соответственно Основные уравнения изгиб-ного и крутильного равновесия запишутся [62, 64]:

[АГОО]М=И> (2.1.2)

[№)]{*} = X ■ [СМ ]{>■>}, (2.1.3)

[*» ^ X * [СИ ]{х}, (2.1.4)

где [да], [да], [да] - матрицы внешней жесткости на изгиб в плоскости действия нагрузки, из плоскости действия нагрузки и на кручение относительно продольной оси стержня; [№)], [вм] - матрицы геометрических жесткостей; X - параметр, количественно характеризующий вектор нагрузок.

Компоненты матриц [да], [да], [км], [№)] помещены в таблицах 2.1.1 - 2.1.4. Матрица является транспонированной

матрицей В указанных таблицах, помимо уже истолкованных

символов, имеются следующие: , - коэффициенты жестко-

стей опорных связей, наложенных на >тый упругий шарнир и препятствующих его перемещениям в плоскости и из плоскости действия нагрузки. - коэффициент жесткости опорной связи, наложенной на > тый абсолютно жесткий элемент дискретной модели и препятствующий

Таблица 2.1.1

Номер строки Номер столбца

1 2 1 11-1 п

1 -Зс1а)-2с{2и)

2 -Зс{и) -2 4и) с(«)+4с(«)+с(»> + ...

3 А») 2 -2С(2ы)-24ы)

4

. . . , , ,

1-2 Л")

1-1 - 2с™ - 2с\и)

1 ... + с\у'оп)

1+1

1+2 с(и) 1

, ., < . .

п-3 с(и) п-2

п-2 -2с£> -2с£{

п-1 ... 1 Л?.«») ^ ^>1-1 - 2с(и\-Зс(и) и-1 и

п 9С<"> +с(и> + с0,,в") п-1 и

о

Примечание: элементы, стоящие в таблице необходимо делить на I2.

Таблица 2.1.2

Номер строки Номер столбца

1 2 { • 1 « П-1 п

1 9 с? + с? + с?0,,) -3с™ -2с™

2 - 3 с? - 2 с? с? +4с? +с? + + с(х.<») ...

3 с(у) с2 -2с? -2с?

4 . . .

. . .

1-2 с(у) с/-1

ь1 - 2с? -2с?

1 ... с?+4с?+с? + + с{х,оп) ...

{+1 -2с?-2с?

[+2 с(у) ¿+1 1

• • ... • •

п-3 '-"п-2

п-2 -2С?2-2С? 1

п-1 ... ... с?2+4С?1+С? + + С(Г) -2 с00, -Зсм и-1 Я

Заключение диссертации по теме «Строительная механика», Ижендеев, Алексей Валерьевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В рамках представленной работы были получены следующие результаты.

1. Разработан метод оптимального проектирования стержневых систем с ограничениями по прочности, устойчивости плоской формы изгиба и конструктивными при нагрузках, заданных пределами изменения своих величин, и при случайных нагрузках.

2. Обоснована возможность разделения задачи при варьировании размерами геометрических параметров поперечных сечений и величинами параметров нагрузок на две частные, последовательно решаемые задачи. В первой из этих задач варьируются только величины параметров нагрузок, а во второй размеры параметров сечений.

3. Исследована аналитическая зависимость между коэффициентом запаса по устойчивости плоской формы изгиба и геометрическими параметрами поперечных сечений конструкции.

4. Проведены исследования областей локализации опасных сочетаний нагрузок в пространстве нагрузок.

5. Предложены методы поиска опасных сочетаний нагрузок по прочности и устойчивости плоской формы изгиба. Показана связь опасных сочетаний нагрузок с параметрами проектирования.

6. Проведены исследования линейного оператора отображения точек пространства параметров проектирования на границу области допустимых решений.

7. Разработан прием минимизации целевой функции, обеспечивающий сходимость оптимизационного процесса, даны рекомендации по избежанию расходящегося процесса.

8. Проведены численные эксперименты по реализации предложенного метода оптимального проектирования, показана его эффективность; произведено описание особенностей оптимальных конструкций. Все задачи ОПК решаются впервые.

9. По всем предложенным алгоритмам составлены прикладные программы на языке программирования TURBO PASCAL 7.0.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Ижендеев, Алексей Валерьевич, 1998 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Абрамов Н.И. Оптимизация статически неопределимых систем методом лучевых проекций // Исследования по теории сооружений. -1970. - Вып. 18. - С. 147-157.

2. Агаев Н.Г., Зейналов Л.М. Устойчивость тонкостенных конструкций в случае комбинированного загружения // Изв. вузов. Строительство. - 1994. - №5-6. - С.122-125.

3. Агаев Н.Г. Некоторые особенности решения задач устойчивости плоской формы изгиба балок // Изв. вузов. Строительство и архитектура. - 1986.-№12.-С. 20-24.

4. Айдемиров K.P. Подбор параметров балки при статическом и динамическом нагружении // Вопр. мех. и разрушения. - Махачкала, 1990.- С.55-63.

5. Аоки М. Введение в методы оптимизации: основы и приложения нелинейного программирования. - М.: Наука, 1977. - 344 с.

6. Арасланов А.М. О некоторых взаимосвязях вероятностного и детерминированного подходов к проектированию элементов конструкций // Изв. вузов. Авиац. техн. - 1993. - №1. - С. 68-71.

7. Баничук Н.В. Современные проблемы оптимизации конструкций // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. - 1982. - №2 . - С. 110-124.

8. Барсук A.A. Оптимальное проектирование гибких балок // Меж-дунар. конф. "Пробл. оптимиз. в мех. деформир. тверд, тела", Нижний Новгород, 16-20 окт., 1995 г.: Тез. докл. -Н. Новгород, 1995. - С. 9-10.

9. Баулис П.С., Цыпинас И.К. Применение метода проектируемых градиентов для оптимизации упругих систем, подверженных потере устойчивости // Литовский механический сборник. - 1969. - №1(4). - С. 7081.

10. Безделев В.В., Распопина В.Б. Расчет и оптимальное проектирование сильфонов с использованием объемных конечных элементов // Проблемы оптимального проектирования сооружений: Сб. докл. Всерос. семинара. - Новосибирск: НГАС, 1997. - С. 38-47.

11. Бидерман В.Л. Прикладная теория механических колебаний. -М.: Высшая школа, 1972. - 416с.

12. Болотин В.В., Гольденблат И.И., Смирнов А.Ф. Строительная механика. Современное состояние и перспективы развития. - М.: Строй-издат, 1972. - 191с.

13. Болотин В.В. Методы теории вероятностей и теории надежности в расчетах сооружений. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Стройиздат, 1981.-351 с.

14. Болотин В.В. Статистические методы в строительной механике. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Стройиздат, 1965. - 280 с.

15. Братусь A.C., Жаров И.А. Об оптимальном проектировании гибких стержней // Прикл. мех. - Киев, 1990. - 26, №3. - С. 80-86.

16. Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач. - М.: МГУ, 1974.

17. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. - М.: Наука, 1980. - 518 с.

18. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. - 2-е изд., перераб. и доп. -М.: Физматгиз, 1962. - 564 с.

19. Виноградов А.И. Вопросы расчета сооружений наименьшего веса //Тр. ХИИЖТ. -Харьков, 1965. - Вып. 25. - 175 с.

20. Виноградов А.И., Дорошенко О.П., Храповицкий И.С. Некоторые направления в теории оптимальных стержневых систем // Тр. Харьк. ин-та инжен. жел.-дор. трансп. - Харьков, 1967. - №102. - С. 5-52.

21. Виноградов А.И. Задача оптимального проектирования и ее

особенности для стержневых систем // Строит, механика и расчет сооружений. - 1974. - №4. - С. 55-60.

22. Виноградов А.И. О задаче оптимального проектирования систем с преобладающим изгибом // Исследования по теории сооружений. -1969. - Вып. 17.-С. 5-10.

23. Виноградов А.И. Проблемы оптимального проектирования в строительной механике. Цикл лекций. - Харьков: "Вшца школа". Изд-во при Харьк. ун-те, 1973. - 167 с.

24. Вольмир A.C. Устойчивость деформируемых систем. - М.: Наука, 1967. - 984 с.

25. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. - М.: Наука, 1967. - 575 с.

26. Гельфанд И.М., Вул Е.Б., Гинзбург C.JL, Федоров Ю.Г. Метод оврагов в задачах рентгено-структурного анализа. - М.: Наука, 1966.

27. Геммерлинг A.B. Оптимальное проектирование конструкций // Строительная механика и расчет сооружений. - 1974. - №4. - С. 10-13.

28. Гермейер Ю.Б. Введение в теорию исследования операций. -М.: Наука, 1971.

29. Гребенюк Г.И. Двухэтапный процесс оптимизации сложных конструкций при ограничениях по прочности и жесткости // Изв. вузов. Стр-во и архитектура. - 1988. - №12. - С. 27-31.

30. Гребенюк Г.И., Попов Б.Н., Яньков Е.В. Основы расчета и оптимизации конструкций с использованием метода конечных элементов. — Новосибирск: НИСИ,1992. - 96 с.

31. Гринев В.Б., Филиппов А.П. Об оптимальных очертаниях стержней в задачах устойчивости // Строит, механика и расчет сооружений. - 1975. - №2. - С. 21-27.

32. Гурин Л.С., Лобач В.П. Комбинация метода Монте-Карло с методом скорейшего спуска при решении некоторых экстремальных задач

// Ж. вычисл. математики и матем. физики. - 1962. - №3.

33. Евтушенко Ю.Г. Численный метод поиска глобального экстремума функций (перебор на неравномерной сетке) // Ж. вычисл. математики и матем. физики. - 1971. - Т. 11, №6. -С. 1390-1403.

34. Елизаров А.Ф. К вопросу о проектировании конструкций минимального веса // Исследования по строительным конструкциям. -Томск: ТГУ, 1968. - Том 14. - С. 7-20.

35. Елизаров А.Ф. О проектировании стержней наименьшего объема, подверженных потери устойчивости // Исследования по строительной механике и строительным конструкциям. - Томск: ТГУ, 1974. -С. 16-20.

36. Ершов В.И. Оптимальное проектирование двутавровой балки с учетом общей устойчивости // Деформир. и разрушение конструкц. элементов и матер. - JL, 1988,- С. 21-25.

37. Жичковский М., Гаевски А. Оптимальное проектирование конструкций с учетом требований устойчивости // Потеря устойчивости и выпучивание конструкций: теория и практ.: Тр. Лондон, симп. 31 авг,- 3 сент., 1982.- М.,1991,- С. 237-262.

38. Заривняк И.С. Устойчивость плоской формы изгиба балки под воздействием плоской системы сосредоточенных нагрузок // Изв. вузов. Строительство и архитектура. - 1991. - №8. - С. 116-117.

39. Здор B.C. Выбор рационального закона изменения жесткостей неразрезных балок и рам при действии подвижных нагрузок // Тр. Моск. ин-та инж. ж.-д. трансп. - 1963. - Вып. 174.

40. Избранные задачи по строительной механике и теории упругости (регулирование, синтез, оптимизация): Учебное пособие для вузов / Н.П. Абовский, Л.В. Енджиевский, В.И. Савченков и др. Под ред. Н.П. Абовского. - М.: Стройиздат,1978. - 189 с.

41. Индустриальные деревянные конструкции: Примеры проектирования: Учеб. пособие для вузов по спец. "Пром. и гражд. стр-во" / Под ред. Ю.В. Слицкоухова. -М.: Стройиздат, 1991. -256 с.

42. Исследование сложных непрерывно-дискретных систем / К.Я. Кухта, А.Г. Бойко, Н.З. Гармаш и др. - Киев: Наук, думка, 1981.272 с.

43. Карасев Г.Н., Хола Исса. Оптимизация по массе параметров изгибаемых балок коробчатого сечения // Вестн. машиностр,- 1988.-№11.-С. 9-10.

44. Карпелевич Ф.И., Садовский JI.E. Элементы линейной алгебры и линейного программирования. - М.: Физматгиз, 1963. - 276 с.

45. Катковник В .Я. Линейные оценки и стохастические задачи оптимизации. -М.: Наука, 1976.

46. Киселев В.Г. Анализ чувствительности и оптимизация пространственных рам при ограничениях по прочности // Прикл. пробл. прочн. и пластич,- 1991.- №48,- С. 25-34.

47. Киселев В.Г. Оптимизация по массе пространственных рам с различными формами поперечных сечений // Мех. неоднор. структур: Тез. докл. 3 Всес. конф., Львов, 19 сент., 1991. Ч.1.- Львов, 1991,- 150 с.

48. Колпаков А.Г. Асимптотическая задача устойчивости балок. Потеря устойчивости при изгибе (кручении) // Прикл. мех. и техн. физ. -1995.-36 №6.-С. 133-141.

49. Коршун Л.И., Хамутовский A.C. Оптимизация упругих рам с центрально сжатыми элементами // Вопр. стр-ва и архит. - Минск, 1981. -№11.-С. 120-125.

50. Криксунов Э.З., Вольнов А.З., Павловский В.Э. Программы для расчета неразрезных балок на подвижную и статическую нагрузки // Системы автоматизир. проектир. объектов стр-ва. - 1991. - №8. - С. 17-

51. Кузнецов Ю.И. Стержень равного сопротивления продольно-поперечному изгибу // Информационные материалы института строительной механики АН УССР. - 1957. - №9.

52. Кутков А.И., Челноков Р.Б. Влияние касательных напряжений от поперечных сил на объем балки равного сопротивления при продольно-поперечном изгибе // Материалы научно-технической конференции по строительной механике и строительным конструкциям. - Казань, 1966. -С. 70-75.

53. Кучерявый В.И. Вероятностное проектирование элементов конструкций по условию жесткости // Изв. вузов. Строительство. - 1993. -№10.-С. 41-43.

54. Лазарев И.Б. Математические методы оптимального проектирования конструкций. - Новосибирск: НИИЖТ, 1974. - 191 с.

55. Лазарев И.Б. Основы оптимального проектирования конструкций. Задачи и методы. - Новосибирск: Сибирская государственная академия путей сообщения, 1995.- 295 с.

56. Лежнева A.A., Попова C.B. Оптимальное проектирование балочных систем при статическом нагружении // Прочностные и динамические характеристики машин и конструкций. - Пермь, 1989.- С. 94-99.

57. Лихтарников Я.М. Вариантное проектирование и оптимизация стальных конструкций. - М.: Стройиздат, 1979. - 320 с.

58. Лукаш П.А., Ванюшенков А.М., Фунтов Е.Б. Определение оптимальных размеров и форм балок при косом изгибе // Вопр. теор. и прикл. мех. - М.: МИСИ, 1990,- С. 129-138.

59. Лукъянцева В.Д. К вопросу о проектировании оптимальных изгибаемых стержневых систем // Исследования по строительным конструкциям и строительной механике. - Томск: ТГУ, 1977. - С. 66-70.

60. Лукъянцева В.Д. Оптимизация статически неопределимых балочных систем методом одномерного поиска Л Исследования по строительным конструкциям и строительной механике. - Томск: ТГУ, 1977. -С. 59-62.

61. Ляхович Л.С., Малиновский А.П. Проектирование стержней минимального веса, находящихся под действием параметрической и вибрационной нагрузки // Исследования по расчету сооружений. - Томск: ТГУ, 1978.-С. 70-79.

62. Ляхович Л.С., Тухфатуллин Б.А. Оптимальное проектирование стержневых систем с регулированием усилий при учете ограничений прочности и устойчивости плоской формы изгиба. Отчет о научно-исследовательской работе "Разработка методов оптимального проектирования конструкций". - Томск: ТГАСА, 1995. - 26 с.

63. Мажид К.И. Оптимальное проектирование конструкций. - М.: Высш. школа, 1979. - 237 с.

64. Малиновский А.П. Проектирование стержневых систем наименьшего веса с учетом ограничений по прочности, устойчивости и частоте колебаний: Дис.... канд. техн. наук. - Томск, 1984. - 209 с.

65. Малков В.П., Угадчиков А.Г. Оптимизация упругих систем. -М : Наука, 1981.-288 с.

66. Мищенко A.B., Немировский Ю.В. Оптимальное проектирование равнопрочных слоистых балок и рам // Проблемы оптимального проектирования сооружений: Сб. докл. Всерос. семинара. - Новосибирск: НГАС, 1997. - С. 27-33.

67. Моцкус И.Б. Многоэкстремальные задачи в проектировании. -М.: Наука, 1967.

68. Мулл агулов М.Х. Проектировочный расчет стержней на устойчивость при произвольных нагрузках и условиях опирания // Изв. вузов.

Стр-во,- 1994.-№9-10.-С. 115-119.

69. Ниордсон Ф., Педерсен П. Обзор исследований по оптимальному проектированию конструкций / Механика: Период, сб. пер. иностр. статей. - 1973. - №2. - С. 136-158.

70. Ольхофф Н. Оптимальное проектирование конструкций. - М.: Мир, 1981. -277 с.

71. Оптимальное проектирование конструкций. Библиографический указатель под ред. М.М. Рейтмана. - М.: ЦНИИЭПсельстрой, 1969. -146 с.

72. Оптимальное проектирование конструкций. Библиографический указатель под ред. Ю.В. Немировского. - Новосибирск: Институт гидродинамики СО АН СССР, 1975. - Т. 1,2. - С. 221-472.

73. Папкович П.Ф. Труды по строительной механике корабля. В 4 томах. Том 4. Устойчивость стержней, перекрытий и пластин / Под общ. ред. В.В. Екимова. - Ленинград: Государственное союзное издательство судостроительной промышленности, 1963. - 552 с.

74. Пиковский A.A., Даниелов Э.Р. Оптимальное проектирование сжато-изогнутых стержневых систем при деформационном расчете // Изв. вузов. Стр-во и архитектура. - 1972. - №7. - С. 51-55.

75. Пиковский A.A. Статика стержневых систем со сжатыми элементами. - М.: Физматгиз, 1961. - 394 с.

76. Пичугин С.Ф. Вероятностное представление нагрузок, действующих на строительные конструкции // Изв. вузов. Стр-во. — 1995,- №4. -С. 12-18.

77. Половинкин А.И. Оптимальное проектирование с автоматическим поиском схем инженерных конструкций // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. - 1971. - №5.

78. Пособие по проектированию деревянных конструкций: (К

СНиП Н-25-80) / ЦНИИ строит, конструкций им. В.А. Кучеренко; [Разраб. А.К. Шенгелия и др.]. -М.: Стройиздат, 1986. - 215 с.

79. Потеря устойчивости и выпучивание конструкций: теория и практика / Под ред. Дж.Томпсона и Дж. Ханта. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1991. - 424 с.

80. Почтман Ю.М., Пятигорский З.И. Оптимальное проектирование конструкций. - Киев-Донецк: Вища школа. Головное изд-во, 1980. -112 с.

81. Прагер В. Основы теории оптимального проектирования конструкций. -М.: Мир, 1977. - 109 с.

82. Прочность, устойчивость, колебания. Справочник в 3-х томах. Том 3 / Под ред. И.А. Биргера и Я.Г. Пановко. - М.: Машиностроение, 1968.-568 с.

83. Пшеничнов Г.И. Метод декомпозиции и его применение к решению задач строительной механики // Пробл. прочн. матер, и сооруж. на трансп.: Тез. докл., предст. на 3 Междунар. конф., Санкт-Петербург, янв. 1995.- С. 124-125.

84. Рабинович И.М. Стержневые системы минимального веса // Тр. второго всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике. -М., 1966. - Вып. 3. - С. 265-275.

85. Радциг Ю.А. К вопросу о построении практических методов расчета статически неопределимых балок наименьшего объема // Труды КАИ. - Казань, 1963. -Вып.77.

86. Раевский Л.А. Оптимизация неразрезных многопролетных сжатых стоек // Изв. вузов. Стр-во и архит,- 1990.- №7.- С. 115-117.

87. Рейтман М.И., Шапиро Г.С. Методы оптимального проектирования деформируемых тел. - М.: Наука, 1976. - 266 с.

88. Ржаницын А.Р. К вопросу о теоретическом весе стержневых

конструкций // Исследования по теории сооружений. - М.: Стройиздат, 1949.-Вып. 4.

89. Ржаницын А.Р. Теория расчета строительных конструкций на надежность. - ML: Стройиздат, 1978. - 239 с.

90. Ржаницын А.Р. Устойчивость равновесия упругих систем. - М.: Гостехиздат, 1955. - 475 с.

91. Рожваны Д. Оптимальное проектирование изгибаемых систем. -М.: Стройиздат, 1980. -316 с.

92. Рондал Дж., Макуа Р. Об оптимальном проектировании полых сжатых элементов квадратного поперечного сечения // Потеря устойчивости и выпучивание конструкций: теория и практика.: Тр. Лондон, симп., 31 авг,- 3 сент., 1982. -М., 1991. - С. 263-271.

93. Сардарян Г.Р. Оптимизация формы балки // 3 Междунар. со-вещ.- семин. "Инж.-физ. пробл. нов. техн.", Москва, 17-19 мая, 1994 г.: Тез. докл.-М., 1994,- С. 74-75.

94. Свида B.C. О формах равного сопротивления при одновременном действии сжатия и изгиба // Вестник инженеров и техников. - 1934. -№7.

95. Сейранян А.П. Оптимальное проектирование балки с ограничениями на частоту собственных колебаний и силу потери устойчивости // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. - 1976. - №1. - С. 147-152.

96. Сенькин H.A., Кучерявый В.И. К вопросу вероятностного подбора сечений элементов опор линий электропередачи // Изв. вузов. Строительство. - 1992. - №9-10. - С. 115-117.

97. Сергеев Н.Д., Богатырев А.И. Проблемы оптимального проектирования конструкций. - Л.: Стройиздат, Ленингр. отд-е, 1971. - 133 с.

98. Смирнов А.Ф. Устойчивость и колебания сооружений. - М.: Трансжелдориздат, 1958. - 571 с.

99. Софронов Ю.Д. Расчет балок наименьшего веса с учетом устойчивости плоской формы изгиба // Тр. КАИ, - 1974. - Вып. 168. - С. 3443.

100. Справочник проектировщика промышленных, жилых и общественных зданий и сооружений. Расчетно-теоретический. В двух книгах. Кн. 1. / Под ред. A.A. Уманского. Изд. 2-е, перераб. и доп. - М.: Строй-издат, 1972. - 600 с.

101. Справочник проектировщика промышленных, жилых и общественных зданий и сооружений. Расчетно-теоретический. В двух книгах. }Сн. 2. / Под jpсд. A.A. Уманского. Изд. 2-е, перераб. и доп. - М.: Строи-издат, 1973. - 416 с.

102. Строительная механика в СССР. 1917-1967 / Под ред. И.М. Рабиновича. - М.: Стройиздат, 1969. - 424 с.

103. Строительная механика. Динамика и устойчивость сооружений: Учебное пособие / А.Ф. Смирнов, A.B. Александров, Б.Я. Лащенников, H.H. Шапошников. Под ред. А.Ф. Смирнова. - М.: Стройиздат, 1984. - 416 с.

104. Строительные нормы и правила: 4.2. Нормы проектирования. Гл.25. Деревянные конструкции: СНиП 11-25-80. Утв. 18.12.80. (Взамен СНиП II-B.4-71. Срок введ. в действие 01.01.82). Изд. офиц. - М.: Стройиздат, 1983. -31 с.

105. Сухарев А.Г. Оптимальный поиск экстремума. - М.: МГУ,

1975.

106. Телоян A.A. Расчет неразрезных балок методом расчленения // Сб. науч.-инф. ст. ИИСИ. - Иваново , 1994. - №1. - С. 149-152.

107. Тё А.Б. К расчету стержневых конструкций наименьшего веса при ограничении, наложенном на наибольшее собственное значение. -Томск: ТГУ, 1974. - С. 140-147.

108. Толмачев К.Х., Ищенко Ж.Б., Ланин А.И. Применение нелинейного программирования к расчету балок минимальной массы // Изв. вузов. Строительство и архитектура. - 1979. - №9. - С. 106-109.

109. Троицкий В.А., Петухов Л.В. Оптимизация формы упругих тел. - М.: Наука, 1982. - 432 с.

110. Трофимович В.В., Наджем A.A., Гурин К.Н. Оптимизация параметров геометрической схемы вантово-балочных систем при переменных и подвижных нагрузках // Изв. вузов. Строительство и архитектура. - 1985.-№8.-С. 14-18.

111. Трофимович В В., Романовский А. Оптимизация структурных конструкций с применением предварительного напряжения при многих загружениях // Изв. вузов. Строительство и архитектура. - 1981. - №9. -С. 2-8.

112. Тухфатуллин Б.А. Об аппроксимации пограничной поверхности в задаче устойчивости плоской формы изгиба // Исслед. по строит, мех. и строит, конструкциям. - М.: ТГАСА, 1994,- С. 121-125.

113. Филин А.П. , Гуревич Я.И. Применение вариационного исчисления к отысканию рациональной формы конструкции // Исследования по строительной механике. - Харьков: ХИИЖД, 1962. - Вып. 190. -С. 161-187.

114. Филин А.П. Прикладная механика твердого деформированного тела: Сопротивление материалов с элементами теории сплошных сред и строительной механики. Т. II - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1978. - 616 с.

115. Филин А.П. Современные проблемы использования ЭЦВМ в механике твердого деформируемого тела (о согласовании дискретных и континуальных объектов в механике твердого деформируемого тела). -Л.: Стройиздат, Ленингр. отд-е, 1974. - 72 с.

116. Фишер В.Ф. Оптимальное распределение материала и рациональная расстановка связей в задачах устойчивости и колебании стержневых систем: Дис. ... канд. техн. наук. - Томск, 1983. - 135 с.

117. Хазова Л.М. Об оптимальном проектировании сжатой стойки // Теор. и опыт, исслед. инж. сооруж. на ж.-д. трансп.- Хабаровск: Хабар, ин-т инж. ж.-д. трансп, 1991.- С. 21-25.

118. Хедли Дж. Нелинейное и динамическое программирование. -М.: Мир, 1967. - 507 с.

119. Хемчумов P.A., Покровский A.A. Сведение многопараметрической задачи устойчивости стержневых систем к однопараметрической при заданных статических и геометрических ограничениях // Изв. вузов. Строительство и архитектура. - 1991. - №9. - С. 13-15.

120. Хог Э., Apopa Я. Прикладное оптимальное проектирование -Механические системы и конструкции. - М.: Мир, 1983. - 479 с.

121. Холопов И.С. Оптимизация стержневых систем при двустороннем ограничении перемещений // Пробл. прочн. матер, и сооруж. на трансп.: Тез. докл., предст. на 3 Междунар. конф., Санкт-Петербург, янв., 1995,-СПб., 1995.-С. 86-87.

122. Цирлин A.M. Оптимальное управление технологическими процессами: Учеб. пособие для вузов. - М.: Энергоатомиздат, 1986. -400 с.

123. Черненко Н.Г. Многоэкстремальные задачи оптимизации статически неопределимых стержневых систем // Пробл. прочн. матер, и сооруж. на трансп.: Тез. докл., предст. на 3 Междунар. конф., Санкт-Петербург, янв., 1995,-СПб., 1995.-С. 89-90.

124. Чжу С., Прагер В. Последние достижения в оптимальном проектировании конструкций / Механика: Период, сб. пер. иностр. статей. -1969. -№6. -С. 129-142.

125. Чирас А.А., Боркаускас А.Э., Каркаускас Р.П. Теория и методы оптимизации упругопластических систем. - JL: Стройиздат, Ленишр. отд-е. - 279 с.

126. Ширииский В.И. Оптимальный расчет стержней переменного сечения на устойчивость // Вопр. мат. и мех. сгшош. сред. - М., 1984. -С. 146-151.

127. Шмит Л.А. Оптимизация конструкций. Некоторые основополагающие идеи и понятия // Новые направления оптимизации в строительном проектировании. -М.: Стройиздат, 1989. -С. 8-55.

128. Юдин Ю.Я. Энергетический метод в автоматизации инженерных расчетов. - Томск: ТГУ, 1986. - 256 с.

129. Adeli Hojjat, Мак K.Y. Optimization of steel bridges under moving loads. - Proc. Sth Int. Symp. Numer. Meth. Eng. Lausanne, Sept. 11-15, 1989. Vol. 2,- Southampton etc., Berlin etc., 1989- C. 311-316.

130. Allwood R.J., Chung Y.S. An optimality criteria method applied to the design of continuous beams of varying depth with stress, deflection and size constraints. - "Comput. and Struct.", 1985, 20, №6, 947-954.

131. Belegundu A.D. A role of the optimization process in structural design. - "Cir. Eng. Pract. andDes. Eng.", 1984, 3, №8, 773-785.

132. Bryant Robert H. Optimal design of elastic beams for moving loads. - J. Eng. Mech.-1991,-117, №1.- C.154-165.

133. Clausen T. Uber die Formarchitektonischer Saulen. -Bull. phys. -math. Acad. St. - Peterbourg, 1851, t.9, p.279-294.

134. Ding Yunliang, Esping Bjorn J.D. Optimum design of beams with different cross-sectional shapes. - "Comput. And Struct.", 1986, 24, №5, 707726.

135. Dougherty B.K. A Newmark-type approach to the analysis of elas-

tic beam buckling. - Civ. Eng. S. Afr.- 1990,- 32, №12,- C. 516-522.

136. Enevoldsen ib. Reliability based optimization as an information tool. - Mech. struct, and Mach.- 1994,- 22, №1,- C. 117-135.

137. Erbatur F. On minimum weight design of statically loaded continuous beams with deflection constraints. - "Acta mech.", 1988, 71, №1-4, 227232.

138. Haque M.l. Optimal design of plane frames by the complex method. - "Comput. and Struct., 1985, 20, №1-3: Adv. and trends Struct, and Dyn. Symp., Washington D.C., 22-25. Oct., 1984, 451-456.

139. Hino Junichi, Hashimoto Seiji, Yoshimura Toshio. Discrete optimal design for a beam subejet to a moving load. - Hhxoh Kmcaii raiocaH poM6yHCio. C.= Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. C.- 1990.- 56, №530,- C. 26102614.

140. Jarmai K. Multicriteria optimization of stiffened box girders via stability constraints. - Stab. Steel Struct.: Int. Conf. Budapest, Apr. 25-27, 1990. Vol. 2,-Budapest, 1991,-C. 1081-1088.

141. Jendo S. Optimal design of elastic frame structures. - Struct. Opti-miz. Vol. 2,- New York, 1990.- C. 221-255.

142. John K.V., Ramakrishnan C.V. Discrete optimal design of trusses with stress and frequency constraints. - Eng. Computat.- 1990.- 7, №1,- C. 3747.

143. Karihaloo B.L., Kanagasundaram S. Optimum design of statically indeterminate beams under multiple loads. - "Comput. and Struct.", 1987, 26, №3, 521-538.

144. Karihaloo B.L., Kanagasundaram S. Optimum design of statically indeterminate structures subject to strength and stiffness constraints and multiple loading.- Civil-Comp 87: Proc. 3rd Int. Conf. Civ. and Struct. Eng. Sept., 1987. Vol. 1.-Edinburgh, 1987,- C. 299-306.

145. Karihaloo B.L., Kanagasundaram S. Optimum design of statically indeterminate structures subject to strength and stiffness constraints and multiple loading. - Comput. And Struct.- 1988,- 30, №3.- C. 563-572.

146. Mikulski Leszek. Optimale Destaltung von elastischen Balken. -"Led. Notes Contr. and Inf. Sei.", 1987, 95, 319-330.

147. Tada Yukio, Matsumoto Ryuichi, Kusaka Kaoru. Optimum shape design of structures subjected to moving load (strain energy and kinetic energy criteria. - Hhxoh Kmcaii raKKaii poMÖyHcio. C= Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. C.- 1990,- 56, №572,- C. 1733-1738.

148. Unlusoy Y.S., Kobakci H. Optimum design of box girders. -"Comput. Mech. 86: Theory and Appl. Proc. Int. Conf., Tokyo, May 25-29, 1986. Vol. 2". Tokyo e.a., 1986, X/103-X/108.

149. Wang C.M., Thevendran V., Teo K.L., Kitipornchai S. Optimal design of tapered beams for maximum buckling strength. - "Eng. Struct", 1986, 8, №4, 276-284.

150. Wang C.N., Kitiropnchai S., Thevendran V. Optimal designs of I-beams against lateral buckling. - J. Eng. Mech., 1990,- 116, №9.- C. 19021923.

151. Wei Zhou, Ye Shanghui. Optimal sectional design of frame structures using geometric programming. - J. Struct. Eng. (USA).- 1990.- 116, №8,- C. 2292-2298.