Проектирование межпланетных траекторий космических аппаратов с электроракетными двигательными установками при использовании лунного гравитационного маневра тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.07.09, кандидат технических наук Ельников, Роман Викторович

• Ельников, Роман Викторович
• кандидат технических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат технических наук Ельников, Роман Викторович

Список сокращений.

Введение.

1. Методика расчета траекторий межпланетных КА с ЭРДУ при использовании гравитационного маневра у Луны.

1.1 Предварительный анализ геоцентрического участка.

1.2 Предварительный анализ гелиоцентрического участка.

1.3 Анализ участка лунного гравитационного маневра при использовании уточненной математической модели движения КА.

1.4 Совместный анализ участка перехода на промежуточную орбиту и участка раскрутки (первого и второго участков) при использовании уточненной математической модели движения КА.

1.5 Анализ гелиоцентрического участка при использовании уточненной математической модели движения КА.

2. Анализ характеристик перелета Земля-Луна-Марс для транспортной космической системы на базе РН «Союз 2.16», ХРБ «Фрегат» и электроракетной двигательной установки.

2.1 Результаты приближенного расчета геоцентрического участка траектории

2.2 Результаты приближенного расчета гелиоцентрического участка движения.

2.3 Результаты анализа участка гравитационного маневра у Луны в рамках уточненной математической модели движения КА.

2.4 Результаты анализа участка раскрутки при использовании уточненной математической модели движения КА.

2.5 Результаты анализа участка гелиоцентрического движения в рамках уточненной математической модели движения КА.

2.6 Построение результирующей зависимости конечной массы КА от суммарного времени перелета.

3. Оценка выигрыша в конечной массе КА от использования лунного гравитационного маневра на примере проекта полета к Марсу.

3.1 Основные результаты анализа схемы полета, не использующей гравитационный маневр у Луны.

3.2 Оценка выигрыша в конечной массе КА из-за использования гравитационного маневра у Луны.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Проектирование межпланетных траекторий космических аппаратов с электроракетными двигательными установками при использовании лунного гравитационного маневра»

Актуальность темы работы

Задачи исследования планет и малых небесных тел Солнечной системы на сегодняшний день являются весьма перспективными. Работы в этом направлении ведутся во многих странах мира, осуществляющих космическую деятельность. Такие исследования позволят изучить физику небесных тел, входящих в состав Солнечной системы, выявить наличие у них различных ресурсов, изучить многие вопросы теории образования Солнечной системы и других звездных систем, а также ответить на многие другие вопросы.

Развитие наук, связанных с изучением дальнего космоса, требует решения все более и более сложных исследовательских задач. Естественно, что их усложнение зачастую приводит к значительному удорожанию межпланетных исследовательских миссий.

Одним из наиболее существенных факторов, определяющих реализуемость того или иного космического проекта, является его стоимость. Стремление к удешевлению или, по крайней мере, к ограничению стоимости космических исследовательских миссий заставляет разработчиков космических проектов все чаще и чаще ориентироваться на ракеты-носители среднего класса, выводящие на низкие околоземные орбиты сравнительно небольшие массы полезных нагрузок.

Усложнение научных задач, возлагаемых на аппараты по изучению дальнего космоса с одной стороны, и стремление к ограничению стартовой массы КА с другой стороны, зачастую ставит перед специалистами, занимающимися проектно-баллистическим анализом межпланетных космических полетов, достаточно сложные задачи. Проблема дефицита массы, при проектировании межпланетного КА в этих условиях встает очень остро.

Одной из наиболее красивых и плодотворных идей механики космического полета, позволяющих существенно улучшить энерго-массовые характеристики КА, является идея использования гравитационных маневров у различных небесных тел Солнечной системы.

Уже достаточно давно предлагается идея использования гравитационного маневра у Луны для улучшения энергетики космических полетов. На сегодняшний день существует достаточно большое число работ, посвященных проблемам перелета к Луне и использования лунного гравитационного маневра для осуществления различных космических транспортных операций [3], [4], [5] [6], [9],

И], [15].

Наиболее полно проблема использования гравитационного маневра у Луны для реализации именно межпланетных траекторий КА с химическими ДУ, по нашему мнению, освящена в работах В.В. Ивашкина и Ф.И. Баума [14], а также М.С. Константинова [16], [46]. В данных работах разработаны методики расчета и оптимизации межпланетных траекторий при использовании гравитационного маневра у Луны, представлены интересные численные результаты.

Так, в работе [14] было показано, что использование лунного гравитационного маневра для полета к астероиду Тои1а118 позволяет снизить импульс скорости при отлете от Земли на приблизительно 120 м/с. Результаты работ [16], [46] дают возможность сделать вывод, что гравитационный маневр у Луны позволяет на уменьшить потребную характеристическую скорость перелета к Марсу на приблизительно 110 м/с. Кроме того, в данной работе отмечается, что использование лунного гравитационного маневра позволяет расширить окна запуска при реализации межпланетного перелета, однако в этом случае получить существенный выигрыш в массе КА не удается.

Другой важной идеей, позволяющей существенно улучшить энергетические характеристики межпланетного перелета, является использование электроракетных двигательных установок на борту КА. Широко известно, что применение ЭРДУ в качестве маршевых ДУ позволяет существенно уменьшить массу рабочего тела на борту космического аппарата из-за высокого удельного импульса, которым обладают ЭРД.

Из-за того, что выигрыш от использования гравитационного маневра у Луны для КА, оснащенных химическими ДУ, оказывается не очень большим, а также изза значительных сложностей его реализации (т.к. траектория межпланетного КА б оказывается чрезвычайно чувствительной к ошибкам реализации лунного гравитационного маневра), у многих специалистов сложилось мнение, что использовать гравитационный маневр у Луны нецелесообразно.

В работе мы оценивается выигрыш от использования лунного гравитационного маневра при проектировании межпланетной траектории для космического аппарата, оснащенного ЭРДУ. Судя по литературе, этот вопрос еще мало изучен.

Возможно, что использование гравитационного маневра у Луны в сочетании с использованием двигателей малой тяги даст более существенный выигрыш из-за того, что условия подлета КА к Луне при использовании ЭРДУ могут быть существенно иными, чем для химических ДУ.

Актуальность выбранной темы связана с анализом перспективных технологий (электроракетных двигателей и новых схем полета), направленных на повышение эффективности космических транспортных операций.

Цели работы

Основными целями работы являются:

- Разработка методики для расчета межпланетных траекторий КА с ЭРДУ при использовании гравитационного маневра у Луны;

- Оценка массового выигрыша, который можно обеспечить благодаря использованию лунного гравитационного маневра для межпланетного перелета Земля-Марс для космической транспортной системы на базе РН «Союз 2.16» и ХРБ «Фрегат».

Методы проведения исследования

Для исследования задачи межпланетного перелета с использованием лунного гравитационного маневра, в рамках данной диссертационной работы были использованы следующие подходы и методы:

- Интегрирование систем обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих движение КА, осуществлялось численно с 7 использованием адаптивного метода Рунге-Кутта 8-го порядка (метод Дормана-Принса) [41];

- Задачи поиска безусловного максимума/минимума функционалов исследовались с использованием квазиньютоновского метода, использующего ВРСБ формулу [35], [40], [59];

- Для численного решения систем нелинейных уравнений использовался комбинированный метод Пауэла [34], [50], [51], [54], [55];

- Для нахождения и оптимизации законов управления вектором тяги ЭРДУ КА использовался принцип максимума Л.С. Понтрягина [27];

- В работе использовалась Парето-оптимизация, случайный поиск для определения начального приближения для сопряженных переменных (при решении краевых задач и задач оптимального управления), аппроксимация результирующих зависимостей с использованием метода наименьших квадратов, интерполяция результатов с помощью интерполяционных многочленов Лагранжа.

Научная новизна полученных результатов

К новым научным результатам, полученным в рамках данной работы, можно отнести:

- Разработанную методику, предназначенную для расчета и оптимизации межпланетных траекторий космических аппаратов, оснащенных электроракетными двигательными установками, при использовании гравитационного маневра у Луны;

- Качественные результаты анализа траекторий ухода из окрестности Земли при одинарном и двойном пролете КА окрестности Луны;

- Качественные и численные результаты анализа перелета Земля — Марс с гравитационным маневром у Луны для космической транспортной системы на базе ракеты-носителя «Союз 2.16», химического разгонного блока «Фрегат» и КА, оснащенного ЭРДУ на базе двух СПД-140Д;

- Оценку массового выигрыша КА от использования лунного гравитационного маневра для рассмотренной транспортной космической системы по сравнению со схемой полета, не использующей гравитационный маневр у Луны;

Достоверность результатов

Достоверность полученных результатов подтверждается:

- Совпадением результатов расчета невозмущенных оптимальных геоцентрических и гелиоцентрических траекторий с малой тягой, выполненных с помощью разработанных автором методов, с результатами, известными в литературе [1], [14], [16], [17], [21];

- Использованием адекватных математических моделей движения, учитывающих основные возмущающие факторы (гравитационный потенциал Земли с учетом 2-й зональной гармоники, притяжение Луны и Солнца) на всех участках движения КА;

- Использованием апробированных численных методов для решения систем дифференциальных уравнений, систем нелинейных алгебраических уравнений, задач минимизации и задачи оптимального управления в виде полного набора необходимых условий оптимальности.

Практическая значимость

Практическая значимость работы состоит в следующем:

- Разработано программно-алгоритмическое обеспечение, программный комплекс для расчета и оптимизации межпланетных траекторий космических аппаратов, оснащенных электроракетными двигательными установками, при использовании гравитационного маневра у Луны;

- Получено решение задачи межпланетного перелета Земля - Марс с гравитационным маневром у Луны для космической транспортной системы на базе ракеты-носителя «Союз 2.16», химического разгонного блока «Фрегат» и КА, оснащенного ЭРДУ на базе двух СПД-140Д.

- Проведена оценка выигрыша в конечной массе КА от использования лунного гравитационного маневра, на основе которой можно сделать вывод о целесообразности его использования.

Апробация работы

Методы и результаты оптимизации схемы межпланетного перелета с использованием гравитационного маневра у Луны для КА с ЭРДУ обсуждались:

- На Третьей Международной конференции «Космические технологии: настоящее и будущее» (Передовые космические технологии на благо человечества), Днепропетровск, Украина, апрель 2011;

- На ХЬУ1 научных чтениях памяти К.Э. Циолковского, Калуга, октябрь 2011;

- На XXXVI Академических чтениях по космонавтике, посвященных памяти академика С.П.Королева, Москва, январь 2012.

Личный вклад и публикации

Все результаты, приведенные в диссертации, получены лично автором. Основные результаты опубликованы в четырех научных работах [60], [61], [62], [63] из которых [60], [61]- в издании из списка ВАК.

Основные положения, выносимые на защиту

Методика расчета и оптимизации межпланетных траекторий космических аппаратов, оснащенных электроракетными двигательными установками, при использовании гравитационного маневра у Луны;

Результаты анализа межпланетного перелета Земля - Марс с гравитационным маневром у Луны для космической транспортной системы на базе ракеты-носителя «Союз 2.16», химического разгонного блока «Фрегат» и КА, оснащенного ЭРДУ на базе двух СПД-140Д;

Результаты сравнительного анализа двух схем межпланетного перелета Земля-Марс с использованием и без использования гравитационного маневра у Луны.

Структура и объем работы

Работа состоит из введения, трех глав, заключения и библиографического списка. Основной текст содержит 119 страниц, включает 45 рисунков, 7 таблиц. Библиографический список содержит 63 наименования.

Заключение диссертации по теме «Динамика, баллистика, дистанционное управление движением летательных аппаратов», Ельников, Роман Викторович

3.1 Основные результаты анализа схемы полета, не использующей гравитационный маневр у Луны

Рассматриваемая схема полета КА к Марсу включает в себя следующие этапы:

1. Выведение КА вместе с химическим разгонным блоком на опорную круговую орбиту радиусом 6571 км и наклонением 51.6 градуса с помощью ракеты-носителя;

2. Перевод КА на некоторую гиперболическую отлетную траекторию с помощью ХРБ. Наклонение данной траектории равно наклонению опорной орбиты и составляет 51.6 градуса. Радиус перигея отлетной траектории составляет 6571 км, величина гиперболического избытка скорости оптимизировалась.

3. Отделение ХРБ и включение ЭРДУ КА;

4. Этап гелиоцентрического движения.

Этапы движения КА с первого по третий будем называть геоцентрическим участком движения. Анализ данного участка сводился к расчету одноимпульсного перехода КА с круговой орбиты на гиперболическую траекторию. Расчет проводился в рамках импульсной аппроксимации активного участка работы ХРБ. Движение КА рассматривалось в рамках ограниченной задачи двух тел «Земля-КА». Поле тяготения Земли — центральное ньютоновское.

Величина импульса скорости связана с гиперболическим избытком простым соотношением: где Угл - величина гиперболического избытка скорости, /л - гравитационный параметр Земли, ^о - радиус опорной орбиты.

Масса транспортной системы после отделения химического разгонного блока может быть найдена с использованием уравнения Циолковского. где М0 - масса транспортной системы на опорной околоземной орбите, А*7 — приращение скорости, обеспечиваемое разгонным блоком, •1уд - удельный импульс двигательной установки разгонного блока,' МРБ - конечная масса разгонного блока.

На рисунке 3.1 представлена зависимость массы КА в момент выхода из грависферы Земли от величины гиперболического избытка скорости для рассматриваемой транспортной системы.

3-1)

Мтс=М0е^-М1

РБ

3.2)

2300 2280 2260 2240 2220

Мкд, кг 2200 2180 2160 2140 2120 2100

0 0,5 1 1,5 2 2,5

У^ км/с

Рисунок 3.1— Масса КА на гиперболической отлетной траектории (после отделения ХРБ) в зависимости от величины гиперболического избытка скорости

Анализ гелиоцентрического участка перелета будем проводить в рамках метода грависфер нулевой протяженности. Рассматривается задача о перелете КА между двумя точками фазового пространства за фиксированное время. В качестве критерия оптимальности перелета выступает конечная масса КА, которая максимизируется.

Величина тяги и удельного импульса ЭРДУ постоянны. Для нахождения и оптимизации законов управления вектором тяги ЭРДУ, используется принцип максимума.

Математическая модель движения КА на гелиоцентрическом участке запишется в следующем виде:

Л г3 у' = ¥; Ж с1т Р — — —о —. ск "и>

3.3) где V - вектор скорости КА в гелиоцентрической эклиптической системе координат,

Мбш - гравитационный параметр Солнца,

Т — радиус-вектор КА в гелиоцентрической эклиптической системе координат, - вектор реактивного ускорения КА,

Р - тяга ЭРДУ, - скорость истечения рабочего тела ЭРДУ, т - текущая масса КА.

Г1, если у/ > О

О, если ц/ < О где у/ - функция переключения: т * м?

Проекции вектора реактивного ускорения на оси гелиоцентрической эклиптической системы координат запишутся следующим образом: К т + 4 + 4

Р8 4 т +4+4

Р8 Л* = --12*•

Сопряженные переменные 4' 4> 4' Ас > А* '44 находятся из системы уравнений:

Лу ■(3.6) т т где - вектор переменных, сопряженных к проекциям радиусвектора КА; X/ {К-КуК} - вектор переменных, сопряженных к проекциям вектора скорости КА;

В начальный момент времени радиус-вектор КА совпадает с радиус-вектором Земли в гелиоцентрической эклиптической системе координат.

Гелиоцентрическая скорость К А в момент выхода из грависферы Земли: где V® (О - вектор гелиоцентрической скорости Земли в момент выхода КА из грависферы Земли; ^{Ух^Уу^Уг^) - вектор гиперболического избытка скорости КА (относительно Земли).

Направление вектора гиперболического избытка скорости полагаем коллинеарным базис вектору Лу в начальной точке траектории:

-— =-¿2— =-л> 7ч

КЮ КУ(0 КМоУ к п

В конечной точке гелиоцентрического перелета обеспечиваются условия нулевой стыковки КА с Марсом (1.1). Для определения величин компонентов радиус-векторов и векторов скоростей Земли и Марса использовались эфемериды БЕ405.

Величина гиперболического избытка скорости и дата старта варьировались и выбирались такими, чтобы обеспечить максимум массы КА в конечной точке гелиоцентрической траектории.

В таблице 3.1 представлены основные результаты анализа схемы межпланетного перелета, не использующего гравитационный маневр у Луны. Серым цветом выделены ячейки, соответствующие наилучшим вариантам перелета.

На рисунке 3.2 представлены проекции гелиоцентрической траектории на плоскость эклиптики для двух наилучших из найденных вариантов перелета.

На рисунках 3.3 - 3.5 показаны законы управления вектором тяги ЭРДУ для данных вариантов межпланетного перелета.

В рассматриваемых случаях гелиоцентрический участок движения содержит три активных участка, разделенных двумя пассивными. Интересно то, что угол тангажа на рассматриваемых гелиоцентрических участках весьма небольшой (не превышает пяти градусов), а угол рыскания достигает значительно больших значений (около пятнадцати градусов по модулю).

Заключение

Результаты проведенной работы можно сформулировать в виде следующих выводов:

1. Разработана новая методика, позволяющая производить расчет и оптимизацию траекторий межпланетных КА, использующих гравитационный маневр у Луны и оснащенных электроракетными двигательными установками;

2. Разработаны алгоритмы и программное обеспечение, реализующее полученную методику;

3. На основе данной методики, с использованием разработанного программного обеспечения, проведен анализ характеристик перелета Земля-Марс, использующего гравитационный маневр у Луны, для транспортной космической системы на базе РН «Союз 2 16», ХРБ «Фрегат» и электроракетной двигательной установки;

4. По результатам проведенного анализа получен ряд качественных и численных результатов:

- Линия апсид оптимальной промежуточной эллиптической ОИСЗ практически принадлежит плоскости движения Луны для эпохи даты старта КА;

- Оскулирующий радиус апоцентра последнего витка траектории околоземной «раскрутки» значительно превышает средний радиус орбиты Луны. Проходя его, КА выполняет торможение с помощью ЭРДУ, целью которого является уменьшение оскулирующего радиуса перигея последнего витка перед пролетом Луны. В этот момент КА также наиболее значительно изменяет плоскость своего движения;

- Выявлена возможность использования двойного гравитационного маневра у Луны для реализации межпланетного перелета при использовании больших времен «раскрутки» на геоцентрическом участке;

- Построены зависимости конечной массы КА от суммарного времени межпланетного перелета для четырех различных вариантов раскрутки. С их помощью построена приближенная результирующая зависимость конечной массы КА от суммарного времени межпланетного перелета;

- Выявлена зависимость доли времени движения на геоцентрическом участке от суммарного времени перелета;

5. Проведен анализ схемы межпланетного перелета Земля-Марс, не использующей гравитационный маневр у Луны. При этом удалось определить величину выигрыша от использования лунного гравитационного маневра. Для рассматриваемого диапазона времен перелета схема с использованием лунного гравитационного маневра позволяет выиграть в конечной массе КА от 3.4 % до 8.5 %.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Ельников, Роман Викторович, 2012 год

1. Гродзовский Г Л., Иванов Ю.Н., Токарев ВВ., Механика космического полета. Проблемы оптимизации. М.: Наука, 1975

2. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Основные задачи и методы. М.: Наука, 1975.

3. Егоров В.А. К вопросу о захвате в ограниченной круговой проблеме трех точек. -ИСЗ, 1959, вып. 3.

4. Егоров В.А. О некоторых задачах динамики полета к Луне. Успехи физических наук, т. 63, вып. 1а, 1957, 73 - 117.

5. Егоров В.А. Пространственная задача достижения Луны. — М.: Наука, 1965.

6. Егоров В.А., Гусев Л.И. Динамика перелетов между Землей и Луной. М.: Наука, 1980.

7. Иванов В.А., Фалдин Н.В., Теория оптимальных систем автоматического управления. М.: Наука, 1981

8. Ивашкин В.В. Об оптимальных траекториях полета КА к Луне в системе Земля-Луна-Солнце. Препринт ИПМ им. Келдыша РАН, 2001

9. Ивашкин В.В О траекториях возвращения космического аппарата с геостационарной орбиты к Земле с использованием гравитационного маневра у Луны. Доклады Академии Наук. 2006, том 409, N 6. С. 770-773.

10. Ю.Ивашкин В.В. О траекториях полета точки к Луне с временным захватом ее Луной. //Доклады Академии наук, 2002, том 387, N 2, 2002 с. 196-199.

11. П.Ивашкин В.В. О траекториях полета точки от Луны к Земле с гравитационным освобождением от лунного притяжения. Доклады Академии Наук. Том 398, N 3, 2004, с. 340-342.

12. Ивашкин В.В. Об оптимальных траекториях полета КА к Луне в системе Земля-Луна-Солнце. Препринт, Институт прикладной математики им. Келдыша РАН, 2001, N 85. 32 с.

13. Ивашкин В.В. Оптимизация космических маневров при ограничениях на расстояния до планет. М.: Наука. 392 е., 1975

14. Ивашкин В В., Баум Ф.И. Использование гравитационного маневра у Луны для полета космического аппарата к сближающемуся с Землей астероиду. -Препринт ИПМ им. Келдыша РАН, 2000, N 67.

15. Ивашкин В.В., Тупицын H.H. Об использовании гравитационного поля Луны для выведения космического аппарата на стационарную орбиту спутника Луны. Космические исследования. Т. IX, вып. 2, 1971 с. 163-172.

16. Константинов М.С. Анализ схем использования гравитационного маневра у Луны для обеспечения вектора гиперболического избытка скорости отлета от Земли. Вестник МАИ, том 13, № 3, 2010, с. 68-78

17. П.Константинов М.С. Методы математического программирования в проектировании летательных аппаратов. М., Машиностроение, 1975.

18. Константинов М.С., Каменков Е.Ф., Перелыгин Б.П., Безвербый В.К. Под. ред.

19. B.П. Мишина, Механика космического полета. М.: Машиностроение, 1989.

20. Лебедев В.Н., Расчет движения космического аппарата с малой тягой. М., Изд.-во ВЦ АН СССР, 1968

21. Лидов М.Л., Охоцимский Д.Е., Тесленко Н.М. Исследование одного класса траекторий ограниченной задачи трех тел. Космич. Исслед. 1964, т. 2, вып. 6.1. C. 843-852.

22. Мартынов М.Б., Петухов В.Г., Концепция применения электроракетной двигательной установки в научных космических проектах: преимущества и особенности, примеры реализации, Вестник ФГУП «НПО им. С.А. Лавочкина» № 2, 2011, стр. 3-11

23. Охоцимский Д.Е., Сихарулидзе Ю.Г. Основы механики космического полета.

24. М.:Наука. 448 е., 1990. 23.Петухов В.Г. Квазиоптимальное управление с обратной связью для многовиткового перелета с малой тягой между некомпланарными эллиптической и круговой орбитами. Космические исследования, том 49, № 2, 2011 с. 128-137.

25. Петухов В.Г. Оптимальные многовитковые траектории выведения космического аппарата с малой тягой на высокую эллиптическую орбиту. Космические исследования, т. 47, № 3, 2009 с. 271-279.

26. Петухов В.Г. Робастное квазиоптимальное управление с обратной связью для перелета с малой тягой между некомпланарными эллиптической и круговой орбитами. Вестник МАИ, т. 17, № 3, ,2010, с. 50-58.

27. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. М.: Наука, 1983.

28. Понтрягин JT.C., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1976.

29. Салмин В.В. Оптимизация космических перелетов с малой тягой. М.: Машиностроение, 1987.

30. Тарасов Е.В., Космонавтика. М.: Машиностроение, 1977

31. Belbruno E.A. and Miller J.K. Sun-Perturbed Earth-to-Moon Transfers with Ballistic Capture; Journal of Guidance, Control and Dynamics. Vol. 16. № 4, 1993, Pp. 770-775.

32. Bello Mora M., F. Graziani, P. Tiofilatto, et al. A Systematic Analysis On Week Stability Boundary Transfers To The Moon. The 51st International Astronautical Congress,Rio de Janeiro, Brazil, October 2000. Paper IAF-00-A.6.03. 12 p.

33. Broyden C.G., A Class of Methods for Solving Nonlinear Simultaneous Equations, Mathematics of Computation, Vol 19, 1965, p 577-593

34. Byrd R. H., Lu P., Nocedal J. and Zhu C., A limited memory algorithm for bound constrained optimization, SIAM J. Scientific Computing 16, 1995, no. 5, pp. 11901208

35. Сапо J.L., Schoenmaekers J., Jehn R., et al. SMART-1 Mission Analysis:

36. Collection of Notes on the Moon Mission. Sl-ESC-RP-5004, 1999ii6

37. Chobotov V.A. Orbital Mechanics, Third Edition. AIAA Education series, 2002.

38. Edelbaum T. N., Sackett Lester L., Solar electric geocentric transfer with altitude constraints: analysis. Final technical report of NASA contract NAS 3-18886, 1975.

39. Foing B.H., Racca G.D., et al. SMART-1 after lunar capture: First results and perspectives.// Journal of Earth System Science, Vol. 114, N. 6, December 2005. Pp. 687-697.

40. Frandsen P., Jonasson K., Nielsen H,, Tingleff O., Unconstrained optimization, Technical University of Denmark, 2004

41. Hairer E., Norsett S.P., Wanner G., Solving ordinary differential equations I. Nonstiff problems. 2nd Edition. Springer series in computational mathematics, Springer-Verlag, 1993

42. Konstantinov M.S. Moon swingby at realization of trajectories of interplanetary flight. The 60-th International Astronautical Congress, IAC-09-C1.5.2, Daejon, Korea, 15 pp, 2009.

43. Koon W.S., Lo M.W., Marsden J.E., et al. Low Energy Transfer to the Moon; Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy (Kluwer Academic Publishers, Netherlands) Vol. 81, pp. 63-73.

44. Marec, J.P. Optimal Space Trajectories. Amsterdam: Elsevier Scientific Publishing Co., 1979.

45. Miller J.K., Belbruno E.A. // AAS/AIAA Spaceflight Mechanics Meeting, Houston. 1991. AAS Paper 91-100. P. 97 109.

46. More J. J., Cosnard M. Y. Numerical Solution of Nonlinear Equations, ACM Transactions on Mathematical Software, Vol 5, No 1, 1979, p 64-85

47. More J.J., Garbow B.S., Hillstrom K.E., Testing Unconstrained Optimization Software, ACM Transactions on Mathematical Software, Vol 7, No 1, 1981, p 1741

48. Petukhov V.G. Homotopic Approach to Low-Thrust Trajectory Optimization: Numerical Technique and Tools. WPP-308, Proceedings of 4th International Conference on Astrodynamics Tools and Techniques, 3-6 May 2010, ESAC, Madrid, Spain, 8 pp.

49. Petukhov V.G., Popov G.A., Svotina V.V. Suboptimal Low-Thrust Trajectories for Lunar Missions. GLUC-2010.2.2.P.3, Global Lunar Conference, Beijing, China, 2010, 8 pp.

50. Powell M.J.D. A Fortran Subroutine for Solving systems of Nonlinear Algebraic Equations. Numerical Methods for Nonlinear Algebraic Equations, P. Rabinowitz, editor. Gordon and Breach, 1970, Chap 7, p 115-161.

51. Powell M.J.D. A Hybrid Method for Nonlinear Equations Numerical Methods for Nonlinear Algebraic Equations, P. Rabinowitz, editor. Gordon and Breach, 1970, Chap 6, p 87-114

52. Sackett L.L., Malchow H.L., Edelbaum T.N. Solar Electric Geocentric Transfer with Attitude Constraints: Analysis. NASA CR-134927, 1975

53. Theodore N. Edelbaum. Optimal Space Trajectories. Final report. Contract No. AF 49 (638) - 1648/ December 1969

54. Werner. C. Rheinboldt, Methods for solving systems of nonlinear equations. The second edition, SIAM, 1998

55. Zhu С., Byrd R.H., Lu P., Nocedal J., L-BFGS-B: FORTRAN Subroutines for Large Scale Bound Constrained Optimization Tech. Report, NAM-11, EECS Department, Northwestern University, 1994

56. Ельников P.B. Гравитационный маневр у Луны при межпланетных перелетах КА с малой тягой. // Электронный журнал "Труды МАИ", №50, 2012.http ://www.mai.ru/science/trudy/published.php?ID=27613

57. Ельников P.B. Анализ перелета Земля-Марс с гравитационным маневром у Луны при использовании малой тяги. // Вестник МАИ. 2012. Т. 19. №5. Стр. 38-44.